分段函数、复合函数
一、分段函数
1.分段函数只是一个函数：
2.分段函数的定义域与值域：
二、复合函数及两句话
1.
2.
具体题型的基本解法及易错点复合函数与分段函数相结合：两句话+作图+由内及外。
例题讲解
一、 分段函数与复合函数
1. 设函数21,1()2,1x x f x x x
?+≤?=?>??，则((3))f f =（ ）
A. 15
B.3
C.23
D.139
2. 已知函数221,1(),1
x x f x x ax x ?+<=?+≥?，若[(0)]4f f a =，则实数a =（ ） A. 12 B. 45
C. 2
D. 9 3. 设函数?
??≥-<-+=1,121),2(log 1)(2x x x x x f ，则=+-)12(log )2(2f f （ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
4. 已知函数3,10()[(5)],10n n f n f f n n -≥?
=?+
5. 设???<+≥-=)
10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ） A. 10 B ．11 C ．12 D ．13
6. 设函数)(x f =???>≤-.1,,
0,2x x x x 若)(a f =4，则实数a =（ ）
A. －4或－2 B ．－4或2 C ．-2或4 D ．－2或2
7. 已知函数???>-≤-=-0
,20,)(1x x x e x f x ，若1)(-=a f ，则实数a 的范围（ ）
A. 2
B. 1±
C. 1
D. 1-
8. 设函数2)(2-=x x g ，???≥-<++=)
(,)()(,4)()(x g x x x g x g x x x g x f ，则)(x f 的值域为（ ） A. ),1(]0,49[+∞- B. ),0[+∞ C. ),4
9[+∞ D. ),2(]0,49[+∞- 9. 已知???≥<+-=1
,ln ,1,3)21()(x x x a x a x f 的值域为R ，那么a 的取值范围是（ ） A. ]1,(--∞ B. )21
,1(- C. )21,1[- D. )2
1,0( 10. 已知?????<++≥=0
,2)5(0,8sin )(x x f x x x f π，则=-)2016(f （ ） A. 810 B. 809 C. 808 D. 806
11. 1,0()0,01,0x f x x x >??==??-
，1,()0,R x Q g x x Q ∈?=?∈?e，则(())f g π的值为（ ）
A. 1 B 、0 C 、1- D 、π
12. 设?
??=)(,0)(,1)(为无理数为有理数x x x f ，使所有x 均满足)()(x g x xf ≤的函数)(x g 是（ ） A. x x g sin )(= B. x x g =)( C. 2)(x x g = D. x x g =)(
13. 符号函数??
???<-=>=0,10,00,1]sgn[x x x x ，)(x f 是R 上的增函数，)1)(()()(>-=a ax f x f x g ，
则（ ）
A. ]sgn[)](sgn[x x g =
B. ]sgn[)](sgn[x x g -=
C. )](sgn[)](sgn[x f x g =
D. )](sgn[)](sgn[x f x g -=
14. 已知)(x f 的定义域为实数集R .R x ∈?，???≤->=-0
,0,lg )90(x x x x x f ，则)100()10(--f f 的值为？
15. 已知函数2log (1),0()(1)1,0
x x f x f x x -≤?=?-+>?，则(2010)f =
16. 已知实数0a ≠，函数2,1()2,1x a x f x x a x +
--≥?，若(1)(1)f a f a -=+，求a 的值.
17. 已知函数2log ,0()2,
0x x x f x x >?=?≤?则满足不等式(())1f f x >的x 的取值范围是？ 18. 已知函数21,0()1,
0x x f x x ?+≥=?的解集是？ 19. 已知函数224,0()4,0
x x x f x x x x ?+≥=?-，求a 的取值范围. 二、 分段函数、复合函数能力提高
1. 设集合)21,0[=A ，]1,21[=B ，函数?????∈-∈+=B
x x A x x x f ),1(2,21)(，若A x ∈0，且A x f f ∈))((0，则0x 的取值范围是（ ）
A. ]41,0(
B. ]21,41(
C. )21,41(
D. ]8
3,0[
2. 函数???≥<+=1,
31,12)(x x x x f x ，则满足)(3))((m f m f f =的实数m 的取值范围是( ) A. ??????--∞21]0,( B ．]1,0[ C ．??????-∞+21),0[ D ．),1[∞+ 3. 设函数1(2),()2()1(3),()3
x x a a f x x x a a ?-≥??-=??-
精心整理 2015-2016学年度???学校9月月考卷 分段函数、抽象函数与复合函数 考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 第I卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 5．已知函数 3,0, () ln(1),>0. x x f x x x ?≤ =? + ? ,若2 (2)() f x f x ->，则实数x的取值范围是（） A．(,1)(2,) -∞-?+∞B．(,2)(1,) -∞-?+∞C．(1,2) - D．(2,1) -
6．定义一种运算? ??>≤=?b a b b a a b a ,,，令()()t x x x x f -?-+=224（t 为常数），且[]3,3-∈x ， 则使函数()x f 最大值为4的t 值是（） A ．2-或6B ．4或6C ．2-或4D ．4-或4 7．已知? ???+∈+=R x x i R x x x f ,)1(,1)(，则=-))1((i f f （） A.2i - B.1 C.3 D.3i + 8 34x x <，且(f A ．9A ．1 10a 的取A ．(C ．[11．若() 2 2,,0()21,[0,) x x f x x x x ?--∈-∞=?--∈+∞?，x 1＜x 2＜x 3，且f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)，则x 1+x 2+x 3的值的范围是（） A ．[1,2) B ．(1,2] C ．(0,1] D ．[2,3) 12．已知函数()2 3,2 x f x x x ≥=-
13．已知函数()() ()?????≤?? ? ??>=0340sin x x x x f x π，则()()1-f f 的值为（） A. 4 3π B.1sin - C.22 D.1- 14．设函数???><=0 ,log 0 ,2)(2x x x x f x ，若存在唯一的x ，满足a a x f f 28))((2+=，则正实数．．． a 的最小值是（） （A 15A.(16a 的个A ．17A ．918A.(191)]1([=g f A.1B.2C.3D.1- 20．已知函数2|log |,02 ()sin(),2104 x x f x x x π <
周期函数 通俗定义 对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT （k∈Z且k≠0）都是它的周期。 严格定义 设f(x）是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质：f （x+T）=f（x）； 则称f（x）是数集M上的周期函数，常数T称为f（x）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（x）的最小正周期。 由定义可得：周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。 正弦函数图象 编辑本段周期函数性质 ⑴若T（≠0）是f(X）的周期，则-T也是f(X）的周期。 ⑵若T（≠0）是f(X）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X）的周期。 ⑶若T1与T2都是f(X）的周期，则T1±T2也是f(X）的周期。 ⑷若f(X）有最小正周期T*，那么f(X）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。 ⑸若T1、T2是f(X）的两个周期，且是无理数，则f(X）不存在最小正周期 ⑹若T1、T2是f(X）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f(X）不存在最小正周期。 ⑺周期函数f(X）的定义域M必定是至少一方无界的集合。 编辑本段判定 定理1 若f(X）是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X）分别是集M和集{X/ f(X) ≠0，X }上的以T*为最小正周期的周期函数。[1] 证：
∵T*是f(X）的周期，∴对有X±T* 且f(X+T*)= f(X），∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C， ∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。 假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T’（0
分段函数及函数的单调性奇偶性 一、分段函数 基础测试 1、已知函数2311()4615x x f x x x x -≤≤?=?-+<?=?-+-≤?在R 上为增函数，则实数b 的取值范围是 。 （2）、若函数f(x)=|2x+a|的单调区间是[3,+∞)，则a 的值为 。
二、复合函数的单调性 例：（1）求下列函数的单调区间 y ＝1(x ＋1)2 13y ?= ??? （2）、已知函数log (2)a y ax =-在[0,1]上是减函数，则a 的取值范围为 。 三、函数的单调性的应用 1、（比较大小）若函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，对任意实数x 都有f (2－x )＝f (2＋x )成立，则f (－1)，f (2)，f (4)的大小关系为 。 2、（解不等式）已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是增函数，且f (t －1)
2018年高考数学复合函数定义域及常见函数解析式的求法总结 （1）定义域一定是x的范围,注意力应放在x上,不管已知定义域,还是求定义域,都是指x范围.如f(3x+1)的定义域为[1,2]是指括号内3x+1中的x的范围是[1,2] （2）求定义域的方法是：凡是f后面括号内的范围是相同的,不管括号内是什么,通过这个求x范围 如f(3x+1)的定义域为[1,2]求f(x)定义域 由条件可得整个括号内的范围为[4,7] 而f(x)中,括号内只有x,故定义域即为[4,7] 再如f(3x+1)的定义域为[1,2]求f(1-2x)定义域 由上可知括号内范围[4,7] 故1-2x的范围也是[4,7] 解不等式4≤1-2x≤7得出的x范围即为所求的定义域 函数解析式的七种求法 一）求函数的解析式 1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0； 2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形； 3、求函数解析式的一般方法有： （1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。 （2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之； （4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x 代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f （x）的表达式； （5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。 （二）求函数定义域 1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示； 2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题； 3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等； 4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域； 5、分段函数的定义域是各个区间的并集；
分段函数 1.已知函数f （x ）＝232,1, ,1,x x x ax x +?=?≤?，则1(())9f f = A.4 B. 14 C.-4 D-14 【答案】B 【解析】根据分段函数可得311()log 299f ==-，则211(())(2)294 f f f -=-==， 所以B 正确. 3.定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ???>---≤-0 ),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( ) A.-1 B. 0 C.1 D. 2 【解析】:由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-, (2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=, (4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=, 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f （2009）= f （5）=1,故选C. 4.设函数2()2()g x x x R =-∈， ()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是 （A ）9,0(1,)4??-?+∞???? （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4-+∞（D ）9,0(2,)4??-?+∞???? 【答案】D 【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难 题。 依题意知22222(4),2()2,2x x x x f x x x x x ?-++<-??--≥-??， 222,12()2,12 x x x f x x x x ?+<->??---≤≤??或 5.若函数f(x)=212 log ,0,log (),0x x x x >???-f(-a),则实数a 的取值范围是
高考数学讲座——函数 主讲：奉贤中学 宋林荣 函数是中学数学最重要的内容之一（三大板块内容之一），是高中数学教材的一条主线，是历年高考命题的重点。函数的概念是以集合为基础，也是学习高等数学的基础。 函数的主要．．内容：函数的概念（三个要素：定义域、值域和对应法则）、基本初等函数的性质和图像。其中包括了三角函数和反三角函数，数列实质上也是函数，只是定义域为正整数集或正整数集的子集。 学习中，要求掌握的函数具体内容有：函数的定义域、值域、图像、奇偶性、单调性、周期性、最值、反函数、和（积）函数，以及相关的具体函数的图像及性质。 研究函数，主要从定义、图像、性质三方面加以研究。 高考相关内容点击： 一、函数与反函数 【例题1】 已知xy 0<，而且2 2 4x 9y 36-=。由此能否确定一个函数关系y f (x)=？如果能， 求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由。 【例题2】下列各对函数中，相同的是（ ） （A ）2 f (x)l g x =和g(x)2lg x = （B ）x 1 f (x)lg x 1 +=-和g(x)lg(x 1)lg(x 1)=+-- （C ）f (s)= g(t)= （D ）f (x)x =和g(x)=【例题3】求下列函数的反函数：（1）2 y x 2x(x 1)=-≥；（2）x x 21 y (x 0)21 +=<-。 【例题4】下列函数中，反函数为其自身的函数是（ ） （A ）2 f (x)x ,x [0,)=∈+∞ （B ）3 f (x)x ,x (,)=∈-∞+∞
（C ）x f (x)e ,x (,)=∈-∞+∞ （D ）1 f (x),x (0,)x =∈+∞ 【例题5】函数x 3f (x)2x 1 += -，函数g(x)是函数1 y f (x 1)-=+的反函数，求g(3)的值。 二、函数的定义域与值域（最值） 【例题6】（1）已知函数x x f -= 11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，求 M N 。 （2 ）函数2()f x =的定义域为 。 【例题7 】求函数f (x)= 【变式题】求函数f (x)=定义域和值域。 【例题8】设1x f (x)tx (t 0)t -=+>，g(t)是f (x)在x [0,1]∈上的最小值，求g(t)的最大值。 三、和函数与积函数 【例题9】设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是（ ）
复合函数的导数 求分段函数的导数 例 求函数?????=≠=0 ,00,1sin )(2x x x x x f 的导数 分析：当0=x 时因为)0(f '存在，所以应当用导数定义求)0(f '，当0≠x 时，)(x f 的关系式是初等函数x x 1sin 2，可以按各种求导法同求它的导数． 解：当0=x 时，01sin lim 1sin lim )0()(lim )0(0200===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当0≠x 时，x x x x x x x x x x x x x x x f 1cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明：如果一个函数)(x g 在点0x 连续，则有)(lim )(0 0x g x g x x →=，但如果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续，不能认为)(lim )0(0 x f f x →='． 指出函数的复合关系 例 指出下列函数的复合关系． 1．m n bx a y )(+=；2．32ln +=x e y ； 3．)32(log 322+-=x x y ；4．)1sin(x x y +=。 分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程． 解：函数的复合关系分别是 1．n m bx a u u y +==,； 2．2,3,ln +===x e v v u u y ； 3．32,log ,32 2+-===x x v v u y u ；
高中数学单元测试-２015０４２8?满分:?班级：__＿＿_____ 姓名:______ ＿__ 考号：__＿_＿____ 一、单选题(共19小题） 1.已知函数若互不相等,且，则的取值范围是( ） ?A.(1,２014) B.(１，20１５） C．（2,2015) D．［2，20１５] ２.已知函数若方程有三个不同实数根，则实数的取值范围是( )??A． B． Ｃ. D ． 3.已知函数，若有且只有一个实数解，则的取值范围是（） A ． Ｂ. Ｃ． D．
４.已知函数，其中,则的值为( ） ?A．６ B.7 C．８ D．９ ５．已知函数，则( ) A. B． C. D． 6.对实数和，定义运算“”:，设函数,若函数的图像与ｘ轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（） A.(2,4](5,＋) Ｂ．（1，2] (4，5］ Ｃ．(一，1)（４，５] D.[1，２] ７．已知函数若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数 的取值范围是( ）
A． B． C. D. 8.函数的图像大致是（） A． B. C． D. ９.对任意实数a，b定义运算“”:设，若函数的图象与x轴恰有三个不同交点，则ｋ的取值范围是（ ) A.(－2，1) B．[0,1］ C．［－2,0)
D.[-2,1) 10.函数若关于的方程有五个不同的实数解,则的取值范围是( ) A. B． C. D. 11.对于实数和，定义运算“*” :*设*，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根,，，则的取值范围是（ ) Ａ. Ｂ． Ｃ． Ｄ． 12.函数与（且) 在同一直角坐标系下的图象可能是( ) A. B．
复合函数的零点个数问 题 集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]
复合函数、分段函数零点个数问题 1.（2013届八校联考理10）已知函数???<≥=) 0()-(log ) 0(3)(3x x x x f x ，函数 )()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判断不正确．．． 的是（ ） A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,4 1 2-x g t <<有两个零 点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点 2、（2013届八校联考-文10）已知函数(0) ()lg()(0)x e x f x x x ?≥=?-0) ()-2(0)x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数 1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为 ________. 5.已知函数1 + (0)()0(=0) x x f x x x ?≠?=??? 则关于x 的方程 2()b ()0f x f x c ++= 有5个不同的实数解的充要条件是（ ） A b<-2且c>0 B b>-2且c<0 C b<-2且c=0 D b 2c=0≥-且 6 已知函数31 +,>0 ()3,0x x f x x x x ??=??+≤?， 则函数)2(-)2()(F 2>+=a a x x f x 的零点个数 不可能．．． 为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6