第十七章 勾股定理 7.勾股定理（一）
基础题训练
01.在Rt △ABC 中，∠C =90°，a ＝3,b ＝4,则c =______. 【解答】：c =5
02. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，a =6, c =10,则b =______. 【解答】：b =8
03. 在△ABC 中, ∠C =90°, ∠A=30°，则其三边a ：b ：c =__________ 【解答】：a ：b ：c =1:3:2
04. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A ，∠B , ∠C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论正确的是
（ ） A.2
2
2
a c
b =+ B. 2
2
2
c b a =- C. 2
2
2
b c a -= D. 2
2
2
b c a =- 【解答】：C
05.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边分别为（ ）
A.2、4、6
B.4、6、8
C.6、8、10
D.3、4、5 【解答】：C
06.等腰直角三角形的直角边为2，则斜边的长为（ ） A.
2 B. 22 C.1 D.2
【解答】：B
07.已知等边三角形的边长为2cm,则等边三角形的面积为（
）
A. 32
B.
3 C.1 D. 2
【解答】：B
08.如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB =15，则两个正方形面积的和为（
）
A.150
B.200
C.225
D.350
【解答】：C
09. 在△ABC 中, ∠C =90°,c =20, a ：b =3:4，则a =_____. 【解答】：12
A
B
C
10. 如图，在△
ABC 中，AB =AC =10cm ，高AD =8cm ，求BC 的长及S △ABC .
【解答】：BC =12，S △ABC =48. 11.（2013·资阳）如图，点E 在正方形内，∠AEB = 90°，AE =6，BE =8，求阴影部分的面积.
【解答】：S 阴 = 76.
12. 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB =3，BD =2，DC =1，求AC 的长.
【解答】：AC=6.
中档题训练
13．已知直角三角形的两边为2和3，则第三边的长为 【解答】（答案13或5）
14．如图，已知直角△ABC 中，∠C =90°，3BC =，4AC =，CD ⊥AB 于D ．
()1求AB 的长；()2 求CD 的长．
D
C
B
A
A
B
C
D
E
C
B
D
A
[解析] （1）5AB =；(2) 由面积法可求 125
CD =
15．已知直角△ABC 的周长为12cm ，一直角边的长为4cm ，求斜边的长？ [解析] 设另一直角边为x ，则斜边为8-x ，在Rt △ABC 中，2
2
2
4(8x x +=-） ∴ 3x =， ∴ 斜边为835-= 16．如图在△ABC 中，AB BC =,∠ABC =90°，D 为AC 的中点，DE ⊥DF ,DE 交AB 于E ,DF BC 交于F
1（） 求证：BE CF =；
(2) 若3AE =，1CF =，求EF 的长
[解析] 1（） 证△BED ≌△CFD (2) 10EF =
综合题训练
17．如图CA CB =，CD CE = ，∠ACB =∠ECD 90=°，D 为AB 边上一点．若
1AD =，3BD =，求CD 的长．
[解析] 由△ACE ≌△BCD 可得，∠EAC =∠45B =°，∠90EAD =°，
2222210DE AD AE AD BD =+=+=，10DE =5CD =
8. 勾股定理（二）
基础训练
01.在直角坐标系中，点P（－2,3）到原点的距离为
【解答】：13
02.如图，∠ACB＝∠ABD＝90，AC＝2，BC＝1，AD＝14,则BD＝
【解答】3
03.已知△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高，CD＝2，则BD为（）
A.4
B.6
C.8
D.210
【解答】B
04.如图，每个小正方形的边长为1，ABC中边长为无理数的边共有（)条
A.0
B.1
C.2
D.3
【解答】C
05.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防
车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是（)
A.12米
B.13米
C.14米
D.15米
【解答】A
06.把三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则其斜边扩大到原来的（）
A.1倍
B.2倍
C.3倍
D.4倍
【解答】B
07.如图，在水塔的东北方向32m 处有一抽水站A,在水塔的东南方向24m 处有一建筑工地
B,在A,B间建一条水管，则水管AB的长为（)
A.45m
B.40m
C.50m
D.60m
【解答】B
08.一直角三角形的斜边长比一直角边的长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（)
A.4
B.8
C.10
D.12
【解答】C
09.如图，有两棵树，一棵树高10米，另一棵树高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树
的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（ )
A.8米
B.10米
C.12米
D.14米 【解答】B
10.如图，将一个有45°角的三角板ABC 的直角顶点C 放在一张宽为3cm 的纸带边沿上，另
一顶点B 在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，求三角板最大边AB 的长。
【解答】：62cm
11.如图，四边形OEBC 为正方形， （1）图中的点A 表示的数是
（2）在图中作出表示3的点M.
【解答】：（1）2
中档题训练
12.直角三角形的周长为12，斜边长为5，则其面积为（ ） A ．12 B ．6 C ．8 D ．10 【解答】B
13.(2013常德)如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使边CD 落在对角线AC 上，折痕为CE ，且点D 落在对角线D ′处，若AB ＝3，AD ＝4，则ED 的长为（ ） A ．32 B ．3 C ．1 D ．43
【解答】A
14.如图，△ABC 中，∠A ＝45°，AC ＝2，AB ＝3＋1， (1)求S △ABC ；(2)求BC 的长.
【解析】(1)作CD ⊥AB 于点D ，CD ＝AD ＝1，S △ABC ＝
3＋12.
(2)BD ＝3，BC ＝2.
15.如图，Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，AC ＝5，将△ABC 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE ，求BE 的长.
【解析】在Rt △ABC 中，AB 2＋BC 2＝AC 2，∴BC ＝4，设BE ＝x ，则AE ＝CE ＝4－x ,
在Rt △ABE 中，AB 2＋BE 2＝AE 2，(4－x )2＋32＝x 2，解得x ＝7
8.
16.(2013包头)如图，一根长为63米的木棒（AB ），斜靠在与地面（OM ）垂直的墙(ON )上，与地面的倾斜角（∠ABO ）为60°.当木棒A 端沿墙下滑至点A ′时，B 端沿地面向右滑行至点B ′.
(1)求OB 的长；
(2)当AA ′＝1米时，求BB ′的长.
【解析】(1)OB ＝ABcos ∠ABO ＝63cos 60°＝33米.
(2) AB ′＝AB ＝63米.OA ＝ABsin ∠ABO ＝63sin 60°＝9米，OA ′＝8米， 在Rt △A ′OB ′中，OB ′＝211米，∴BB ′＝ OB ′－OB ＝（211－33）米.
综合题训练
17.如图，在Rt△ABC中，∠C＝
90°，点D为AB中点，E、F分别为边BC和边AC上两点，且∠EDF＝90°.
(1)求证：AF2＋BE2＝EF2；
(2)若BE＝5，AF＝12，求EF的长.
【解析】延长ED至G，使DG＝ED，连接GF，易证△AGD≌△BED，∴∠GAD＝∠B.
∴∠GAF＝90°.在Rt△AGF中，AF2＋AG2＝GF2，∴GF＝EF＝13.
专题勾股定理与特殊角
【方法归纳】非直角三角形的求值问题一般要作垂线构造含特殊角的直角三角形来处理。
一、直接运用30°和45°的直角三角形
1.如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，若AC=3，求AD的长。【解析】设CD＝x,则AD＝2x，222
x(3)(2x),x1,AD2
∴+==∴=。
2.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠A＝30°，CD＝2，求AB的长。
D
A B
【解析】
32383
BD=CD=AD=3CD=23AB=
∴
，，。
3.如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B＝60°，∠C＝45°，AC＝2，求BD的长。
【解析】AD=
2
。
二、作垂线构造30°或45°的直角三角形
（一）将105°转化为45°和60°
4.如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＝105°，AC＝2，求BC的长。
D
A
D
B
C B
C
【解析】过A作AD⊥BC于D，∴∠C＝30°，∴AD＝1，
在Rt△ACD
中，222
2=1+DC，
AD BD1
==，
（二）将75°转化为30°和45°
5.如图，在△ABC中，∠ACB＝75°，∠B＝60°，BC
＝
ABC
S
?
。
D
A
B
【解析】过C作CD⊥AB于D
，则AD=CD=3，
ABC
1933
S=3+33=+
22
?
（）
6.
如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠BAC＝75°，
BC的长。
B
【解析】过A作AD⊥BC于D，设AD＝BD＝x，在Rt△
ABD中，
22
x x
,x
+==在Rt△ACD22
+CD=2CD CD=1
（），
，∴。
专题讲练 运用勾股定理列方程
方法归纳
运用勾股定理列方程是数形结合思想的体现。 一、直接用勾股定理列方程
1、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB 交CB 于D ,CD ＝3，BD ＝5，求AD 的长。
【解析】：作DE ⊥AB 于E ,∴CD ＝DE ＝3，∴BE ＝4，设AC ＝AE ＝x , ∴2
x ＋2
)53(+＝2
)4(+x .x ＝6,∴AD ＝53.
2、如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ,且∠CAD ＝2∠BAD ,若BD ＝3，CD ＝8，求AB 的长。
【解析】：过A 作AE 平分∠CAD 交CD 于E ,过E 作EM ⊥CA 于M ,∴BD ＝DE ＝EM ＝3， CE ＝5，∴CM ＝4，设AD ＝x ,∴2
2
8+x ＝2
)4(+x ，∴x ＝6,∴AB ＝53.
二、巧用”连环勾“列方程
3、如图，在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝24,求S △ABC 。
【解析】：过A 作AD ⊥BC 于D ，设BD ＝x ，则CD ＝7－x ，
在Rt △ABD 中，2AB －2BD ＝2AD ，在Rt △ACD 中，2AC －2CD ＝2
AD ， ∴2
AB －2
BD ＝2
AC －2
CD ,2
5－2
x ＝32－2
)7(x -，x ＝3,∴AD ＝4， S ΔABC ＝2
1
?7?4＝14.
4、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ,AC ＝3，BC ＝4，求AD 的长。
【解析】：方法一；由面积法先求CD ，再在Rt ΔACD 中用勾股定理求AD 。 方法二；设AD ＝x ,则BD ＝5－x ,∵2
AC －2AD ＝2
CD ＝2
BC －2BD , ∴2
3－2
x ＝24－2
)5(x -.x ＝59,∴AD ＝5
9
.
5、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ,AD ＝1，BD ＝4，求AC 的长。
【解析】：设AC ＝x ,BC ＝y ，∴2
2
2
5=+y x ① 2
2
2
2
41-=-y x ② 由①②解得x ＝5,∴AC ＝5.
6、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ,CD ＝3，BD ＝4，求AD 的长。
【解析】：设AD ＝x ,AC ＝y ,则2
2
2
)4(5+=+x y ① 2
2
2
3=-x y ② 由①②解得x ＝49,∴AD ＝4
9
.
专题
勾股定理与折叠问题
【方法归纳】扣住折叠前后的对应线段、对应角相等，将有关线段转化到直角三角形中用勾股定理来解决.
一、折叠直角三角形
1.如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 为AB 上一点，沿CD 折叠△ABC ，点A 恰好落在边BC 上的A ′处，AB ＝4，AC ＝3，求BD 的长.
A
B
C
D
A'
【解答】由题意得AD ＝A ′D 、AC ＝A ′C ，设AD ＝x ，则BD ＝4－x , 在Rt △A ′BD 中，22＋x 2＝(4－x )2,x ＝32.BD ＝5
2.
二、折叠长方形
2.如图，长方形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，F 为CD 上一点，将长方形沿折痕AF 折叠，点D 恰好落在BC 上的点E 处，求CF 的长.
【解答】BE ＝3.设CF ＝x ，DF ＝EF ＝4－x ,CE ＝2, 22＋x 2＝(4－x )2,x ＝3
2.
3. 如图，长方形ABCD 中，AD ＝8cm ，AB ＝4cm ，沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，使点C 与点C′重合.
(1)求DE 的长; (2)求折痕EF 的长.
【解答】(1)由题意得DE ＝EB ，设DE ＝EB ＝x ,则AE ＝8－x . 在Rt △AEB 中， x 2＝42＋(8－x )2,x ＝5.
(2)作EM ⊥BC 于M ，证∠DEF ＝∠BEF ＝∠BFE ，∴BE ＝BF ＝5，MF ＝2. ∴EF ＝EM 2＋MF 2＝2 5.
4. 如图，长方形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，沿BD 折叠使点A 到A ′处，DA ′交BC 于点F . (1)求证：FB ＝FD ；(2) 求证：CA ′∥BD ；(3) 求△DBF 的面积.
【解答】(1)∠DBF ＝∠ADB ＝∠DBF ，∴FB ＝FD .
(2)A ′D ＝AD ＝BC ，FA ′＝FC ，∠DBF ＝∠BDF ＝∠FCA ′＝∠FA ′C ， (3)设FB ＝FD ＝x ,x 2＝(8－x )2＋62,x ＝254,∴S △BFD ＝12×254×6＝75
4.
三、折叠正方形
5.如图，长方形ABCD 中，点E 在边CD 上，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，G 为BC 的中点，连接AG 、CF . (1)求证：AG ∥CF ；(2)求DE
CE 的值.
【解答】(1)连接BF ，∴BG ＝FG ＝CG .∴CF ⊥BF . ∵BG ＝FG ，AB ＝AF ，∴AG 垂直平分BF .∴AG ∥CF .
(2)设DE ＝EF ＝x ，BG ＝FG ＝y ,则CE ＝2y －x ，CG ＝y ,在△CEG 中，（x ＋y ）2＝（2y －x ）2＋y 2,3x ＝2y ,∴DE CE ＝12
专题 勾股定理与分类讨论
【方法规律】在涉及到等腰三角形、直角三角形及三角形的面积、高等问题时往往需要分类讨论.
一、锐角、钝角不明时需分类讨论
1. 在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，S △ABC ＝7.5，求BC 的长.
【解答】(1)当△ABC 为锐角三角形时，过B 作BD ⊥AC 于点D ，S △ABC ＝1
2·AC ·BD ＝7.5.∴BD ＝3.
在Rt △ABD 中，AD ＝52－32＝4.∴＝1. 在Rt △中，BC ＝32＋12＝10.
(2) 当△ABC 为钝角三角形时，同理可得＝310.
2. 在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，AD 为△ABC 的高，AD ＝12，求BC .
【解答】(1)当AD 在△ABC 内部时，如图，易知BD ＝9，CD ＝5，∴BC ＝14. (2) 当AD 在△ABC 外部时，如图，同样可知BD ＝9，CD ＝5，∴BC ＝4.
二、腰和底不明时需分类讨论
3. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 为AC 上一点，且△ABD 是等腰三角形，求△AB D 的周长.
【解答】分三种情况：
①图1中，当AB ＝AD 时，周长为20＋45； ②图2中，当AB ＝BD 时，周长为32;
③图3中，当AD ＝BD 时，CD ＝x ,x 2＋82＝(x ＋6)2,x ＝73,周长为80
3. 三、直角边、斜边不明时需分类讨论
4.已知直角三角形两边长分别为2和3，则第三边的长为___________.
【解答】13或 5
5. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，以AB 为边向外作等腰直角△ABD ，求CD 的长.
【】分三种情况：
①图1中，当BD 为斜边时，过点D 作DE ⊥AC 于E ，△ABC ≌△DAE ，易求CD ＝213； ②图2中，当AD 为斜边时，过点D 作DE ⊥BC 于E ，△ABC ≌△BDE ，易求CD ＝210； ③图3中，当AB 为斜边时，过点D 作DE ⊥BC 于E ，过点A 作AF ⊥DE 于F ，△BED ≌△DFA ，设DF ＝BE ＝x ,则DE ＝4－x ,易求BD ＝2
2AB ＝10.∴x 2＋(4－x )2＝(10)2,x ＝1,∴CD ＝3 2.
9 匀股定理的逆定理(一)
基础题训练
1.如果三角形的三边长为a 、b 、c 满足______________，那么这个三角形是直角三角形. 【解答】a 2＋b 2＝c 2
2.下列各组数中，以它们为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A ．9，1，15
B ．7，24，25
C ．2， 3 ， 5
D ．13，14 ，1
5 【解答】D
3.下列说法中正确的是（ ）
A ．真命题的逆命题是真命题
B ．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
C ．任何命题一定有逆命题
D ．任何定理一定有逆定理 【解答】C
4. 在△ABC 中，AB ＝12，BC ＝16，AC ＝20，则△ABC 的面积为（ ） A ．96 B ．120 C ．160 D ．200 【解答】A
5. 在△ABC 中，下列说法 ：①∠B ＝∠C －∠A ；②a 2＝(b ＋c )(b －c )；③∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5；④a ：b ：c ＝5：4：3；⑤a 2：b 2：c 2＝1：2：3，其中能判断△ABC 为直角三角形的条件有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个 【解答】C
6. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，判断下列三角形是否为直角三角形？并判断哪个角是直角？
(1)a＝26，b＝10，c＝24；(2) a＝5，b＝7，c＝9；；(3) a＝2，b＝3，c＝7；
【解答】(1)∠A＝90°；
(2) 不是直角三角形；
(3)∠C＝90°.
【解答】
7.写出下列命题的逆命题，并指出逆命题的真假性：
(1)同位角相等，两直线平行；(2)全等三角形的对应角相等.
【解答】(1)两直线平行，同位角相等. 是真命题.
(2)对应角相等的两个三角形全等. 是假命题.
8.如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，AD＝13.求S四边形ABCD 的值.
【解答】(1)连接BD，在Rt△BDC中，CD2＋BC2＝BD2，BD＝5.
又AB2＋BD2＝169＝AD2，∴△为直角三角形.
(2) S四边形ABCD＝36.
9. 如图，每个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点分别在小正方形的格点上，试判断△ABC的形状，并说明理由.
【解答】△ABC为直角三角形.
中档题训练
10.一个三角形三边满足，则这个三角形是（）
A．直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D.不确定
【解答】A
11.直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（）
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D.等腰直角三角形
【解答】A
12.△ABC的三边长为a、b、c，且满足,则此三角形一定是（）
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D.锐角三角形
【解答】B
13.若三角形的边长分别为n＋1,n＋2,n＋3,当n＝_____ ，此三角形是直角三角形.
【解答】2
14.在△ABC中，若,则△ABC是（）
A．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D.直角三角形
【解答】D
15.如图，已知试判断△ABO的形状，并说明理由.
【解析】直角三角形
16.如图，正方形ABCD中，E为BC边的中点，F点CD边上一点，且DF=3CF.求证：∠AEF=90°.
【解析】连AF，设CF=x，则DF=3x，BE=CE=2x，由勾股定理易知AF=25.
AE= 20，EF=5.∴∠AEF=90°.
综合题训练
17.王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔.已知第一条边长为a米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米.
⑴请用a表示第三条边长；
⑵问第一条边长可以为7米吗？为什么？请说明理由，并求出a的取值范围；
⑶能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法；若不能，请说明理由.
【解析】⑴第一条边为a，第二条边为2a+2，第三条边为30-a–(2a+2)=28-3a
⑵不可以是7，∵第一条边为7，第二条边为16，第三条边为7，不满足三边之间的
关系.不可以构成三角形.
⑶5,12,13.可以围成一个满足条件的直角三角形.
10. 勾股定理的逆定理（二）
基础题训练
1、下列各命题中，它们的逆命题成立的是（ ） A. 内错角相等，两直线平行 B.对顶角相等
C.全等三角形的对应角相等
D.如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 【解析】A
2、若一个三角形的三边长分别为1、2、3，则三角形的面积为（ ）
A.
2 B.
22 C. 23 D. 2
6
【解析】B
3、已知在△ABC 中，AB ：BC ：AC =1：2：1，则ABC ∠的度数为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
【解析】B
4、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现想把它们摆成两个直角三角形，图中正确的是（ ）
A B C D
【解析】B
5、如图,正方形网格中的△ABC 是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 锐角三角形 或钝角三角形 【解析】A
6、已知在△ABC 中， A ∠、B ∠、C ∠的对边分别是a 、b 、c ，下列说法中错误的是（ ）
A. 如果∠C －∠B ＝∠A ，那么∠C ＝ 90°
B. 如果∠C ＝ 90°，那么2
2
2
a b c =-
C. 如果2
))((c b a b a =-+，那么∠A =90° D. 如果∠A ＝30°,∠B ＝60°，那么AB ＝2BC 【解析】D
7、在直角坐标系中点A （－1，0），B （0,1），点P 为坐标轴上一点，若要使△ABP 为直角三角形，则点P 的坐标为 . 【解析】(0,0)，（1,0），（0,－1） 8、已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且3=+b a ，1=ab ，7=c ，
（1）求2
2
b a +的值； （2）试判断△ABC 的形状，并说明理由
【解析】∵72)(222=-+=+ab b a b a ，72=c ，∴22b a +=2c ，△ABC 是直角三角形 9、如图所示的一块地（图中阴影部分），∠ADC ＝ 90°，AD ＝ 12，CD ＝ 9 ，AB ＝ 25， BC ＝ 20 （1）求∠ACB 的度数； （2）求阴影部分的面积
【解析】⑴∠ACB ＝90° ⑵S 阴＝96
中档题训练
10.观察下列各式：2243+= 52, 2268+ = 102, 22158+ = 172, 221024+=262……,根据其中规律，写出下一个式子-------- 【解析】2
2
1235+=372
11.已知m ＞n ,m ,n 为正整数，以22n m -,2mn,22n m +为边的三角形是--------------------三角形。 【解析】直角
12.一个三角形的三边分别为n ＋1,n －1,8, 其中n ＋1是最大边，当n 为多少时，三角形为直角三角形？ 【解析】n ＝1
13.如图，分别以△ABC 的三边为直径向外作三个半圆，面积分别为 S 1、S 2、S 3 ，若S 1＋S 2＝S 3 ，
求证：∠ABC ＝90°
【解析】S 1＋S 2＝
81πAC 2＋81πBC 2＝8
1
πAB 2.∴AC 2＋BC 2＝AB 2.∴∠ABC ＝90°.
14.如图在四边形ABCD 中，AB :BC :CD :DA ＝2：2：3:1,且∠B ＝90°. (1)求∠DAB 的度数；
(2)若AB ＝1，求S 四ABCD 的值.
【解析】（1）连AC .∠DAB ＝135°；(2)
21
+4
2 . 15.如图，点A 的坐标为（2,1）， （1）求OA 的长；
（2）点P 为X 轴正半轴上一点，且△AOP 是等腰三角形，求P 点坐标。
【解析】（1）OA ＝ 5
(2)P (
4
5
,0)或P （4,0）
综合题训练
16.问题背景：在△ABC 中，AB ,BC ,AC 三边的长分别为5、10、，13,求这个三角形的面积。小辉同学在解答这道题时先建立了一个正方形网格（每个小正方形的 边长为1），再在网格中画出格点△ABC (△ABC 的三个顶点都在正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求△ABC 的高，而借用 网格就能计算它的面积。
（1）请直接写出△ABC 的面积
（2）我们把上述方法叫做构图法，若△ABC 中，AB ,BC ,AC 三边的长分别为a 5、a 8、
a 17、，请你用图2的正方形网格（每个小正方形的 边长为a ）画出相应的△ABC ,并求其
面积。
【解析】(1)3.5
（2）S △ABC ＝3a 2
专题 利用勾股定理逆定理证垂直
【方法归纳】证垂直的方法较多，用勾股定理的逆定理证垂直可实现由数向形的转化.
1.如图，在△ABC 中，点D 为边BC 上一点，且AB ＝10，BD ＝6，AD ＝8，AC ＝17，求CD 的长.
B
C
D
【解答】∵AD 2＋BD 2＝100＝AB 2，∴△ABD 为直角三角形，∴在Rt △ACD 中，CD 2＋AD 2＝AC 2，CD ＝15.
2. 如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝2，BC ＝5，CD ＝5，AD ＝4，求S 四边形ABCD .
C
D
【解答】连AC ，在Rt △ACB 中，AB 2＋BC 2＝AC 2，AC ＝3.
∵AC 2＋AD 2＝CD 2，∴△ACD 为直角三角形，∴S 四边形ABCD .＝12×2×5＋1
2×3×4＝6＋ 5.
3. 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，AB ＝5，AD ＝6，AC ＝13，求BC 的长.
B
C
E
【解答】延长AD 至E ，使DE ＝AD ，连接CE ，易证△ABD ≌△ECD ，则AE ＝2AD ＝12， 易知AE 2＋CE 2＝AC 2，∴∠E ＝∠BAD ＝90°，BD ＝52＋62＝61，BC ＝261.
三角形重难点培优突破 1、知：a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简︱a+b-c ︱+︱b-a-c ︱-︱c-a+b ︱ 2、知：a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简︱a-b-c ︱+︱b-c-a ︱-︱c+a-b ︱. 3、为△ABC 内任意一点，BP 延长线交AC 于D ，试说明： （1）AB+AC+BC>2BD （2）AB+AC>PB+PC 4、所示②③两条路线，哪一条比较近？为什么？ 5、三角形中，一腰上的中线把三角形的周长分为6cm 和15cm 的两部分，求此三角形的腰和底边的长. 6、所示，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63o， 求∠DAC 的度数． 7、图所示,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠C=32°,∠D=28°,求∠P 的度数. A B C D P ② ③ A B C D E 2 1C A
8、已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为50°，则∠BAC的度数为。 9如图，把△ABC的纸片沿着DE折叠． （1）若点A落在四边形BCDE的内部点A′的位置．（如图1）且∠1=40°，∠2=24°，求：∠A′的度数； （2）若点A落在四边形BCDE的外部（BE的上方）点A′的位置（如图2），则∠A′与∠1，∠2有怎样的关系？请说明你的理由； （3）若点A落在四边形BCDE的外部（CD的下方）点A′的位置（如图3），∠A′与∠1，∠2又有怎样的关系？直接写出你的结论． 10、，∠MON=90°，点A、B分别在射线OM、ON上移动，BD是∠NBA的平分线，BD的反向延长线与∠BAO的平分线相交于点C．试猜想：∠ACB的大小是否随A、B的移动发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A、B的移动发生变化，请给出变化范围．
八年级数学培优练习题及答案大全 1．如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN．若AB=?14，?AC=19，则MN的长为． A． B．2.C．D．3.2.如图，在周长为20cm的□ABCD 中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE 的周长为 4cm 6cm8cm 10cm AE O B C A F M DQ 3题 o B C N 3、如图，在平行四边形 ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45，且
AE+AF=ABCD的周长是 4、如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD，BC 的中点，把BC向上翻折，使点C恰好落在MN上的Ｆ点处，BQ为折痕，则∠FBQ＝ A 0° B 5° C 0° D 15° 5、如图所示,在正方形ABCD中,点E、F、G、H均在其内部，且DE＝EF＝FG＝GH＝HB＝2,∠E=∠F=∠G=∠H=60°,则正方形ABCD的边长为 A. B.2 C. D.32 6、如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点A出发，沿长方体的表面爬到和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是． 7、已知一组数据10，10，x，8的众数与它的平均数相等，则这组数的中位数是． 8、如图OA、AB分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动 路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：①射线BA表示甲的路程与时间的函数关系；②甲的速度比乙快1.5米/秒；③甲让乙先跑12米；④秒钟后，甲超过了乙，其中正确的说法是。
八年级上册数学三角形填空选择单元培优测试卷 一、八年级数学三角形填空题（难） ∠=，边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC的垂直平分线1．在ABC中，BACα ∠的度数为______.(用含α的代数式表示) 交边BC于点E，连结AD，AE，则DAE 【答案】2α﹣180°或180°﹣2α 【解析】 分两种情况进行讨论，先根据线段垂直平分线的性质，得到∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，进而得到∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°－a，再根据角的和差关系进行计算即可． 解：有两种情况： ①如图所示,当∠BAC?90°时， ∵DM垂直平分AB， ∴DA=DB， ∴∠B=∠BAD， 同理可得，∠C=∠CAE， ∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°?α， ∴∠DAE=∠BAC?(∠BAD+∠CAE)=α?(180°?α)=2α?180°； ②如图所示,当∠BAC<90°时， ∵DM垂直平分AB， ∴DA=DB， ∴∠B=∠BAD， 同理可得，∠C=∠CAE， ∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°?α， ∴∠DAE=∠BAD+∠CAE?∠BAC=180°?α?α=180°?2α. 故答案为2α?180°或180°?2α. 点睛：本题主要考查垂直平分线的性质.根据题意准确画出符合题意的两种图形是解题的关键. 2．△ABC的两边长为4和3，则第三边上的中线长m的取值范围是_______．
【答案】 17 22 m << 【解析】 【分析】 作出草图，延长AD到E，使DE=AD，连接CE，利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，然后根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之和小于第三边求出AE的取值范围，便不难得出m的取值范围． 【详解】 解：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接CE， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD， 在△ABD和△ECD中， AD DE ADB EDC BD CD = ? ? ∠=∠ ? ?= ? , ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴CE=AB， ∵AB=3，AC=4， ∴4-3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7， ∴ 17 22 m <<． 故答案为： 17 22 m <<． 【点睛】 本题主要考查倍长中线法构造全等三角形和三边关系，解决本题的关键是要熟练掌握倍长中线法构造全等三角形. 3．如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、B分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上移动,点M在第二象限，且MA平分∠BAO，做射线MB，若∠1=∠2，则∠M的度数是_______。
2015——2016学年度第二学期 八（13）（14）数学培优计划 一、培优目标： 以全面提高学生素质为契机，全面贯彻和落实党的教育方针，进一步更新教育理念，以创新精神和实践能力的培养为重点，突出学生的发展，积极推进素质教育课程改革，以提高教学质量为核心，重视基础，狠抓培优，为培养更多的优秀合格人才做出新的贡献。 二、培优对象：邹晓雯，曾晓怡，黄静仪，欧韵梦，邹嘉怡，黄浩贤，刘智权，钟凤敏，陈精沅，唐振枫，李世河，成汝其，刁凌星，谢梦瑶，陈家乐，黄宇等 三、培优措施： 1、是要提醒他们人外有人，天外有天。在没有看到考题，考试结果未公布之前，任何自负都是虚的，并且有一定的危害性。应该做到自信而不自负，懂得自己只是与一流的学生站在了同一条起跑线上，并没有太大的优势。 2、是要让他们懂得在考场上只有认真、努力，再加上平和的心态才是取得成功的关键。我们可以轻松但不能轻视，可以在战略上轻视，却绝不能在战术与实战中有丝毫的轻视，恰恰相反，要加倍地重视才对。因为，没有取得的成功不是你的成功。西方也有句类似的格言，蛋还没孵，先不要数鸡，如意算盘打不得。所以，对于优秀生来说一定要做到自信而不自傲。 3、我们应该让他们知道，自己在考试之前已经尽了自己 最大的努力，至于成绩的好坏是由许多因素造成的。我们没必要过分地担心与自责。应该勇敢地面对，既然自己已经尽了最大的努力，只要在考试中做到简单的题得满分，有些难度的题也要搏它一搏争取满分，类似于古人的破釜沉舟和背水一战。激起他们的斗志，往往会考出意想不到的好成绩。 只要尽了自己最大的努力，无愧于自己，无愧于这次考试就可以了，没必要过多地担忧结果。而对于考试之前忽然感觉自己什么都不会的情况，我们不
人教版八年级数学上册期末试卷培优测试卷 一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．（1）问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证明 △ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是； （2）探索延伸： 如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点， 且∠EAF＝1 2 ∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）结论应用： 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O 之间夹角∠EOF=70°，试求此时两舰艇之间的距离． （4）能力提高： 如图4，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且 ∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，试求出MN的长． 【答案】（1）EF＝BE＋FD；（2）EF＝BE＋FD仍然成立；（3）210；（4）MN10．【解析】 试题分析：（1）由△AEF≌△AGF，得EF=GF，又由BE=DG，得 EF=GF=DF+DG=DF+BE；（2）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG，再证△AEF≌△AGF，得EF=FG，即可得到答案；（3）连接EF，延长AE，BF相交于点C，根据探索延伸可得EF=AE+FB，即可计算出EF的长度；（4）在△ABC外侧作
苏科版八年级上册数学 三角形解答题（培优篇）（Word 版 含解析） 一、八年级数学三角形解答题压轴题（难） 1．如图1，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，1∠与2∠互补. (1)试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由. (2)如图2，BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且GH EG ⊥，求证：//PF GH . (3)如图3，在(2)的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使PHK HPK ∠=∠，作PQ 平分 EPK ∠，求HPQ ∠的度数. 【答案】(1)AB//CD ，理由见解析；(2)证明见解析；(3)45HPQ ∠=. 【解析】 【分析】 （1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF 、∠CFE 互补，即可证明； （2）利用（1）中平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理可得∠EPF=90°，即EG ⊥PF ，再结合GH ⊥EG ，即可证明; （3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠A=90°-∠3=90°-2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK=-1 2 ∠EPK=45°+∠2，最后根据角与角间的和差关系即可求解. 【详解】 (1)//AB CD ， 理由如下：如图1， 图1 ∵1∠与2∠互补， ∴12180∠+∠=?，
又∵1AEF ∠=∠，2CFE ∠=∠， ∴180AEF CFE ∠+∠=?， ∴//AB CD ； (2)如图2，由(1)知，//AB CD ， 图2 ∴180BEF EFD ∠+∠=?． 又∵BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ， ∴1 (2 )90FEP EFP BEF EFD ∠+∠= ∠+∠=?， ∴90EPF ∠=?，即EG PF ⊥． ∵GH EG ⊥， ∴//PF GH ； (3)如图3， ∵PHK HPK ∠=∠， 2PKG HPK ∴∠=∠. 又∵GH EG ⊥， ∴90902KPG PKG HPK ∠=-∠=-∠． ∴180902EPK KPG HPK ∠=-∠=+∠． ∵PQ 平分EPK ∠， ∴1 452 QPK EPK HPK ∠= ∠=+∠． ∴45HPQ QPK HPK ∠=∠-∠=．
数学培优 （一） 1. 如果x x >，且0
一、填空题 1、设 ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，其中a ，b 满足0)2(42=+-+-+b a b a ， 则第三边的长c 的取值范围是 ． 2、函数34+-=x y 的图象上存在点P ，点P 到x 轴的距离等于4，则点P 的坐标是________。 3、在△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线相交于O ，若∠BOC=α，则∠A=_________。 4、直角三角形两锐角的平分线交角的度数是 。 5、已知直线()42-+--=a x x a y 不经过第四象限，则a 的取值范围是 。 6、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角度数为__ _________。 7、如图，折线ABCDE 描述了一辆汽车在某一直线上行驶过程中，汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120km ；②汽车在行驶途中停留了0.5h ；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为 80 3 km ；④汽车自出发后3h-4.5h 之间行驶的速度在逐渐减少。其中正确的说法有_______________. 8、放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，?两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28千克，你呢？”小丽思考了一会儿说：“我来考考，左图、右图分别表示你和我的工作量与工作时间关系，你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了___D_____千克．” 二、选择题
) 1、等腰三角形腰上的高与底边的夹角为Cm °则顶角度数为( ) A.m ° B.2m ° C.(90-m)° D.(90-2m)° 2、药品研究所开发一种抗菌素新药，经过多年的动物实验之后，首次用于临床人体试验，测得 成人服药后血液中药物浓度y (微克/毫升)与服药后时间x (时)之间的函数关系如图所示，则 当1≤x ≤6时，y 的取值范围是（ ） A ． 8 3≤y ≤ 64 11 B ． 64 11≤y ≤8 C ． 8 3 ≤y ≤8 D ．8≤y ≤16 3、水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示．某天0点到 6点，该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示．下列论断：①0点到1点，打开两个进水口，关闭出水口；②1点到3点，同时关闭两个进水口和—个出水口；③3点到4点，关闭两个进水口，打开出水口；④5点到6点．同时打开两个进水口和一个出水口．其中，可能正确的论断是( ) A ．①③ B.①④ C.②③ D.②④ 4、将长为15cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同 的截法有( ) A.5种 B. 6种 C. 7种 D.8种 5、在△ABC 中，适合条件C B A ∠=∠=∠4 1 31，则△ABC 中是 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 6、直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x ＋c 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于 x 的不等式k 1x ＋b ＜k 2x ＋c 的解集为（ ）． A .x ＞1 B .x ＜1 C .x ＞－2 D .x ＜－2 k 1x ＋b
数学八年级上册 全等三角形单元培优测试卷 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5，点 P 是 AD 上的一动点，则 PE+PF 的最小值是_____． 【答案】10 【解析】 利用正多边形的性质，可得点B 关于AD 对称的点为点E ，连接BE 交AD 于P 点，那么有PB=PF ，PE+PF=BE 最小，根据正六边形的性质可知三角形APB 是等边三角形，因此可知BE 的长为10，即PE+PF 的最小值为10. 故答案为10. 2．如图，ABC 中，ABC=45∠?，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ，下列结论： BF=AC ①；A=67.5∠?②；DG=DF ③；ADGE GHCE S S =四边形四边形④，其中正确的有 __________（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】
只要证明△BDF≌△CDA，△BAC是等腰三角形，∠DGF=∠DFG=67.5°，即可判断①②③正确，作GM⊥BD于M，只要证明GH＜DG即可判断④错误． 【详解】 解：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°， ∴∠A＋∠ABE=90°，∠ABE＋∠DFB=90°， ∴∠A=∠DFB， ∵∠ABC=45°，∠BDC=90°， ∴∠DCB=90°?45°=45°=∠DBC， ∴BD=DC， 在△BDF和△CDA中， ∠BDF=∠CDA，∠A=∠DFB，BD=CD， ∴△BDF≌△CDA（AAS）， ∴BF=AC，故①正确． ∵∠ABE=∠EBC=22.5°，BE⊥AC， ∴∠A=∠BCA=67.5°，故②正确， ∵BE平分∠ABC，∠ABC=45°， ∴∠ABE=∠CBE=22.5°， ∵∠BDF=∠BHG=90°， ∴∠BGH=∠BFD=67.5°， ∴∠DGF=∠DFG=67.5°， ∴DG=DF，故③正确． 作GM⊥AB于M．如图所示： ∵∠GBM=∠GBH，GH⊥BC， ∴GH=GM＜DG， ∴S△DGB＞S△GHB， ∵S△ABE=S△BCE， ∴S四边形ADGE＜S四边形GHCE．故④错误， 故答案为：①②③． 【点睛】 此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题．
八年级数学培优 Document serial number【LGGKGB-LGG98YT-LGGT8CB-LGUT-
目录 第1讲全等三角形的性质与判定(P2----11) 第2讲角平分线的性质与判定(P12----16) 第3讲轴对称及轴对称变换(P17----24) 第4讲等腰三角形(P25----36) 第5讲等边三角形(P37----42) 第6讲实数(P43----49) 第7讲变量与函数(P50----54) 第8讲一次函数的图象与性质(P55----63) 第9讲一次函数与方程、不等式(P64----68) 第10讲一次函数的应用(P69----80) 第11讲幂的运算（P81----86) 第12讲整式的乘除((P87----93) 第13讲因式分解及其应用(P94----100) 第14讲分式的概念性质与运算(P101----108) 第15讲分式的化简求值与证明(P109----117)第16讲分式方程及其应用(P118----125) 第17讲反比例函数的图像与性质(P126----138) 第18讲反比例函数的应用(P139----146) 第19讲勾股定理(P) 第20讲平行四边形(P) 第21讲菱形矩形(P)
第22讲正方形(P) 第23讲梯形(P) 第24讲数据的分析(P) 模拟测试一 模拟测试二 模拟测试三 第01讲全等三角形的性质与判定 考点·方法·破译 1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等； 3．全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL法； 4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明； 5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等. 经典·考题·赏析 【例１】如图，AB∥EF∥DC,∠ABC＝90°,AB＝CD，那么图中有全等三角形 （）
新人教版八年级数学上册培优资料（中考题 型） 第16讲认识三角形经典·考题·赏析 【例１】若的三边分别为4，x，9，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________ ；当周长为奇数时，x＝______________. 【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5＜x＜13，18＜l＜26；周长为19时，x＝6，周长为21时，x ＝8，周长为23时，x＝10，周长为25时，x＝12， 【变式题组】 01．若△ABC的三边分别为4，x，9，且9为最长边，则x的取值范围 是______________，周长l的取 值范围是______________. 02．设△ABC三边为a，b，c的长度均为正整数，且a＜b＜c，a+b+c＝ 13，则以a，b，c为边的三角形， 共有______________个. 03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全 部用完，能摆出不同形状的三角 形个数是( ). A．1 B．2 C．3 D．4 【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm，周长为58cm，试求三角形三边的长. 【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予讨论.当18cm为腰时，底边为58－18×2＝22，则三边为18，18，22. 当18cm为底边时，腰为 5818 2 ＝20，则三边为20，20，18.此两种情况都符合两边之和大于第三边. 解：18cm，18cm，22cm或18cm，20，20cm.
【变式题组】 01．已知等腰三角形两边长分别为6cm，12cm，则这个三角形的周长 是( ) A．24cm B．30cm C．24cm或30cm D．18cm 02．已知三角形的两边长分别是4cm 和9cm，则下列长度的四条线段中 能作为第三条边的是( ) A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm 03．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10 两部分，则此等腰三角形的腰长 为______________. 【例３】如图AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，EF是△DEC的中线，FG是△EFC的中线，若S△GFC＝1cm2，则S△ABC＝______________. 【解法指导】中线将原三角形面积一分为二，由FG为△EFC的中线，知S△EFC＝2S△GFC＝2.又由EF为△DEC中线，S△DEC＝2S△EFC＝4.同理S△ADC＝8，S△ABC ＝16. 【变式题组】 01．如图，已知点D、E、F 分别是BC、AD、BE的中 点，S△ABC＝4，则S△EFC＝ ______________. 02．如图，点D是等腰△ABC底边BC 上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC 于F，若一腰上的高为4cm，则 DE+DF＝______________. 03．如图，已知四边形ABCD是矩形(AD ＞AB) ，点E在BC上，且AE＝AD， DF⊥AE于F，则DF与AB的数量 关系是______________. 【例４】已知，如图，则 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ ______________. 【解法指导】这是本章的一个基 本图形，其基本方法为构造三角形或 四边形内角和，结合八字形角的关系 (第2题图)
等腰三角形培优专题 等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一般三角形的性质，同时，还具有自身的特殊性，这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛．等腰三角形的性质和判定为证明两个角相等和两条线段相等提供了依据．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三角形底边上的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径． 练习 1．如图，已知△ A．7．5°ABC中， AB B．10° ＝AC ，AD ＝ C．12.5 ° AE ，∠ BAE D．18° ＝ 30 °，则 ∠ DEC 等于（）． 2．如图，AA′、 BB′分别是△ABC的外角∠C 在一直线上，则∠ACB的度数是多少？EAB 和∠CBD 的平分线，且AA′＝ AB ＝ B′Ｂ，A′、 B 、 3．如图，则∠ BDC 等腰三角形 ＝ ________ ABC ． 中，AB ＝AC ，∠ A ＝20 °． D 是AB 边上的点，且AD ＝ BC ，连 结 CD ， 例 2 如图， D 是等边三角形ABC 的 AB 边延长线上一点， E 是等边三角形ABC 的 AC 边延长线上一点，且EB ＝ ED ．那么CE 与 AD 相等吗？试说明理由． E
C A B D
练习 线交1．已知如图，在△ CA 的延长线于点 ABC中，AB＝CD，D是 F ，判断AD 与 AF 相等吗？ AB 上一点，DE⊥BC ， E 为垂足，ED? 的延长 2．如图，△ABC ＝ 15°，则 BD 与 A ． BD>BA 是等腰直角三角形，∠ BA 的大小关系是（ B ． BD八年级数学下培优卷因式分解
八年级数学下培优卷：因式分解 知识点一、因式分解的意义 1．下列由左边到右边的变形，是分解因式的有（ ） ①a 2﹣9=（3）（a ﹣3） ②（2）（m ﹣2）2﹣4 ③a 2﹣b 2=（）（a ﹣b ）+1 ④2π2π2π（） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 2．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A ． a 2x ﹣（﹣1） B ． a 2﹣32（a ﹣3）+2 C ． 2x （x ﹣1）=2x 2﹣22x D ． x 21=（1）2 知识点二、提公因式法：1．观察下列各式：①2和； ②5m （a ﹣b ）和﹣； ③3（）和﹣a ﹣b ；④x 2﹣y 2和x 22；其中有公因式的是（ ） A ． ①② B ． ②③ C ． ③④ D ． ①④ 2．把多项式9a 2b 2﹣182分解因式时，应提出的公因式是（ ） A ． 9a 2b B ． 92 C ． a 2b 2 D ． 182 3．分解因式﹣22+6x 3y 2﹣10时，合理地提取的公因式应为（ ） A ． ﹣22 B ． 2 C ． ﹣2 D ． 2x 2y 4．把多项式p 2（a ﹣1）（1﹣a ）分解因式的结果是（ ） A ． （a ﹣1）（p 2） B ． （a ﹣1）（p 2﹣p ） C ． p （a ﹣1）（p ﹣1） D ． p （a ﹣1）（1） 5．下列多项式的分解因式，正确的是（ ） A ． 8﹣12a 2x 2=4（2﹣3） B ． ﹣6x 3+6x 2﹣12﹣6x （x 2﹣2） C ． 4x 2﹣622x （2x ﹣3y ） D ． ﹣3a 29﹣6﹣3y （a 2+3a ﹣2） 6、22)()(y x x y -=-； （2）)2)(1()2)(1(--=--x x x x 7．多项式10a （x ﹣y ）2﹣5b （y ﹣x ）的公因式是 ． 8、不解方程组23532x y x y +=-=-??? ，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++ 9、分解因式：(1)、322x x x ()()--- （2）412132q p p ()()-+- （3）-+-41222332m n m n mn （4）2 1222+ +x x
等腰三角形 【知识精读】 （－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 【分类解析】 例1. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE ＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。
F E G 暑假数学培优二 1、如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O，∠ACB 的角平分线分别交AB、BD 于M、N 两点．若AM＝2，则线段ON 的长为 . 2、如图，E为正方形ABCD 内一点，∠AEB=90°，CF⊥DE 于F，若EF=2，DF=6，则S△ADE 的面积为； AE 的长为 A D B C 3、如下图，在正方形ABCD 内有一折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE=6，EF=8，FC=1 0，则正方 形的边长为 4、如图，正方形ABCD 中，点E 在CD 的延长线上，点F 在AB 上，连接EF 交AD 于点G，EF=CE，若 BF=3，DG=2，则CE 的长为 E A D F B C
5、如图，正方形ABCD 的边长为4，点O 为对角线AC、BD 的交点，点E 为边AB 的中点，△BED 绕着点 B 旋转至△BD1E1，如果点D、E、D1 在同一直线上，那么EE1 的长为 6、如图，已知点E 在正方形ABCD 的边AB 上，以BE 为边向正方形ABCD 外部作正方形BEFG，连接 DF，M、N 分别是DC、DF 的中点，连接MN．若AB=7，BE=5，则MN= 7、如图，正方形ABCD 的边长为12，点E 在边AB 上，BE＝8，过点E 作EF∥BC，分别交BD、CD 于 G、F 两点．若点P、Q 分别为DG、CE 的中点，则PQ 的长为
M 8、如图，正方形 ABCD 中，点 E 是AB 边上一点，点F 是 BC 边上一点，连接 EF ，设∠EDF= . （1）如图 1，=45°，E 为 AB 的中点，则 CF ：BF 的值为 （2）如图 2，=30°，过点 E 作 EM ∥BC 交 DF 于M 点，问 AE+CF 与 EM 有何数量关系？ （3）如图 3，若 =60°，AD=4，直接写出 S △DEF 的最小值 A D A D A D E E E B F F F 9、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AB=8．点 P 从点A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿边 AB 向点 B 运动．过点 P 作PD ⊥AB 交折线 AC-CB 于点 D ，以 PD 为边在 PD 右侧做正方形PDEF ．设正方形PDEF 与△ABC 重叠部分图形的面积为 S ，点 P 的运动时间为 t 秒（0＜t ＜4）． （1）当点D 在边 AC 上时，正方形PDEF 的边长为 （用含 t 的代数式表示）． （2）当点E 落在边 BC 上时，求 t 的值． （3）当点D 在边 AC 上时，求S 与 t 之间的函数关系式． （4）作射线PE 交边 BC 于点G ，连结 DF ．当DF=4EG 时，直接写出 t 的值．
八年级上册数学 三角形填空选择单元培优测试卷 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，ABC ?的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ，点,E F 分别在线段BD 、CD 上，点G 在EF 的延长线上，EFD ?与EFH ?关于直线EF 对称，若60,84,A BEH HFG n ???∠=∠=∠=，则n =__________. 【答案】78. 【解析】 【分析】 利用ABC ?的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D 得到 ∠DBC= 12∠ABC ，∠ACD=12(∠A+∠ABC)，根据三角形的内角和得到∠D=12 ∠A=30?，利用外角定理得到∠DEH=96?，由EFD ?与EFH ?关于直线EF 对称得到∠DEG=∠HEG=48?，根据外角定理即可得到∠DFG=∠D+∠DEG=78?. 【详解】 ∵ABC ?的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ∴∠DBC=12∠ABC ，∠ACD=12 (∠A+∠ABC)， ∵∠DBC+∠BCD+∠D=180?，∠A+∠ABC+∠ACB=180?， ∴∠D=12 ∠A=30?， ∵84BEH ?∠=, ∴∠DEH=96?, ∵EFD ?与EFH ?关于直线EF 对称， ∴∠DEG=∠HEG=48?，∠DFG=∠HFG n ?=, ∵∠DFG=∠D+∠DEG=78?， ∴n=78. 故答案为：78. 【点睛】 此题考查三角形的内角和定理、外角定理，角平分线性质，轴对称图形的性质，此题中求出∠D=12 ∠A=30?是解题的关键.
2．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。 【答案】45? 【解析】 【分析】 根据三角形内角与外角的关系可得2M MAB ∠∠∠=+ 由角平分线的性质可得MAB MAO ∠∠= 根据三角形内角和定理可得OBA OAB BOA 180∠∠∠++=? 易得∠M 的度数。 【详解】 在ABM 中，2∠是ABM 的外角 ∴2M MAB ∠∠∠=+ 由三角形内角和定理可得OBA OAB BOA 180∠∠∠++=? ∵BOA 90∠=? ∴OBA OAB 90∠∠+=? ∵MA 平分BAO ∠ ∴BAO 2MAB ∠∠= 由三角形内角与外角的关系可得12BAO BOA 90BAO ∠∠∠∠∠+=+=?+ ∵12∠∠= ∴2290BAO ∠∠=?+ 又∵2M MAB ∠∠∠=+ ∴222M 2MAB 2M BAO ∠∠∠∠∠=+=+ ∴90BAO 2M BAO ∠∠∠?+=+ 2M 90∠=? M 45∠=? 【点睛】 本题考查三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和。 3．某多边形内角和与外角和共1080°，则这个多边形的边数是__________． 【答案】6 【解析】 ∵多边形内角和与外角和共1080°，
八年级数学培优 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
目录 第1讲全等三角形的性质与判定(P2----11) 第2讲角平分线的性质与判定(P12----16) 第3讲轴对称及轴对称变换(P17----24) 第4讲等腰三角形(P25----36) 第5讲等边三角形(P37----42) 第6讲实数(P43----49) 第7讲变量与函数(P50----54) 第8讲一次函数的图象与性质(P55----63) 第9讲一次函数与方程、不等式(P64----68) 第10讲一次函数的应用(P69----80) 第11讲幂的运算（P81----86) 第12讲整式的乘除((P87----93) 第13讲因式分解及其应用(P94----100) 第14讲分式的概念性质与运算(P101----108) 第15讲分式的化简求值与证明(P109----117)第16讲分式方程及其应用(P118----125) 第17讲反比例函数的图像与性质(P126----138) 第18讲反比例函数的应用(P139----146) 第19讲勾股定理(P) 第20讲平行四边形(P) 第21讲菱形矩形(P)
第22讲正方形(P) 第23讲梯形(P) 第24讲数据的分析(P) 模拟测试一 模拟测试二 模拟测试三 第01讲全等三角形的性质与判定 考点·方法·破译 1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等； 3．全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL法； 4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明； 5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等. 经典·考题·赏析 【例１】如图，AB∥EF∥DC,∠ABC＝90°,AB＝CD，那么图中有全等三角形 （）
八年级培优试卷 一、填空题 1、设?ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，其中a ，b 满足0)2(42=+-+-+b a b a ， 则第三边的长c 的取值范围是 ． 2、函数34+-=x y 的图象上存在点P ，点P 到x 轴的距离等于4，则点P 的坐标是________。 3、在△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线相交于O ，若∠BOC=α，则∠A=_________。 4、直角三角形两锐角的平分线交角的度数是 。 5、已知直线()42-+--=a x x a y 不经过第四象限，则a 的取值范围是 。 6、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角度数为__ _________。 7、如图，折线ABCDE 描述了一辆汽车在某一直线上行驶过程中，汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120km ；②汽车在行驶途中停留了0.5h ；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为 80 3 km ；④汽车自出发后3h-4.5h 之间行驶的速度在逐渐减少。其中正确的说法有_______________. 8、放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，?两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28千克，你呢？”小丽思考了一会儿说：“我来考考，左图、右图分别表示你和我的工作量与工作时间关系，你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了________千克．” 二、选择题 1、等腰三角形腰上的高与底边的夹角为Cm °则顶角度数为( ) A.m ° B.2m ° C.(90-m)° D.(90-2m)° 2、药品研究所开发一种抗菌素新药，经过多年的动物实验之后，首次用于临床人体试验，测得 成人服药后血液中药物浓度y (微克/毫升)与服药后时间x (时)之间的函数关系如图所示，则 当1≤x ≤6时，y 的取值范围是（ ） A ． 8 3≤y ≤ 64 11 B ． 64 11 ≤y ≤8 C ． 8 3 ≤y ≤8 D ．8≤y ≤ 16