1:第二章
(1)二分法求解非线性方程：
#include
#include
#define f(x) ((x*x-1)*x-1)
void main()
{ float a,b,x,eps;
int k=0;
printf("intput eps\n");/* 容许误差*/
scanf("%f",&eps);
printf("a,b=\n");
for(;;)
{scanf("%f, %f",&a ,&b);
if(f(a)*f(b)>=0) /* 判断是否符合二分法使用的条件*/
printf("二分法不可使用,请重新输入:\n");
else break;
}
do
{ x=(a+b)/2;
k++;
if(f(a)*f(x)<0) /* 如果f(a)*f(x)<0，则根在区间的左半部分*/
b=x;
else if(f(a)*f(x)>0) /* 否则根在区间的右半部分*/
a=x;
else break;
}while(fabs(b-a)>eps);/*判断是否达到精度要求,若没有达到,继续循环*/
x=(a+b)/2; /* 取最后的小区间中点作为根的近似值*/
printf("\n The root is x=%f, k=%d\n",x,k);
}
运行结果：
intput eps
0.00001
a,b=
2,-5
The root is x=1.324721, k=20
Press any key to continue
总结：本题关键在于两个端点的取值和误差的判断，此程序较容易。二分法收敛速度较快，但缺点是只能求解单根。
(2)牛顿法求解非线性方程：
#include
#include
float f(float x) /* 定义函数f(x) */
{ return((-3*x+4)*x-5)*x+6; }
float f1(float x) /* 定义函数f(x)的导数*/
{ return (-9*x+8)*x-5; }
void main()
{ float eps,x0,x1=1.0;
printf("input eps:\n");
scanf("%f",&eps); /* 输入容许误差*/
do
{ x0=x1; /* 准备下一次迭代的初值*/
x1=x0-f(x0)/f1(x0); /* 牛顿迭代*/
}while(fabs(x1-x0)>eps); /*当满足精度,输出近似根*/
printf("x=%f\n",x1);
}
程序运行结果：
x=1.265328
总结：关键是牛顿迭代的应用，程序中最大缺点是函数及其导数已唯一给出确定不可求的随意函数的根，牛顿法比二分法收敛快，可以求重根。
2:第三章
(1)列主元素消去法求解线性方程：
#include
#include
#define N 20
using namespace std;
void load();
float a[N][N];
int m;
int main(){
int i,j;
int c,k,n,p,r;
float x[N],l[N][N],s,d;
cout<<"下面请输入未知数的个数m=";
cin>>m;
cout< cout<<"请按顺序输入增广矩阵a:"< load(); for(i=0;i { for(j=i;j c=(fabs(a[j][i])>fabs(a[i][i]))?j:i; /*找列最大元素*/ for(n=0;n {s=a[i][n]; a[i][n]=a[c][n]; a[c][n]=s;} /*将列最大数防在对角线上*/ for(p=0;p cout< cout< for(k=i+1;k { l[k][i]=a[k][i]/a[i][i]; for(r=i;r a[k][r]=a[k][r]-l[k][i]*a[i][r]; } } x[m-1]=a[m-1][m]/a[m-1][m-1]; for(i=m-2;i>=0;i--) { d=0; for(j=i+1;j d=d+a[i][j]*x[j]; x[i]=(a[i][m]-d)/a[i][i]; /*求解*/ } cout<<"该方程组的解为:"< for(i=0;i cout<<"x["< //system("pause"); return 0; } void load() { int i,j; for(i=0;i for(j=0;j cin>>a[i][j]; } 运行结果： 下面请输入未知数的个数m=3 请按顺序输入增广矩阵a: 1 2 3 4 5 1 0 8 4 6 9 2 4 6 9 2 0 -6.5 -11.25 5.5 0 -1.86265e-008 -0.115385 3.92308 该方程组的解为: x[0]=-9.99999 x[1]=58 x[2]=-34 Press any key to continue 总结：列主元素消去法的目的是为了防止减去一个较小的数时大数淹没小数，而使结果产生较大误差，本程序关键在每次消元时找到相应列中的最大项，然后交换两行位置，在进行计算。 (2)LU分解法求解线性方程： #include void solve(float l[][100],float u[][100],float b[],float x[],int n) {int i,j; float t,s1,s2; float y[100]; for(i=1;i<=n;i++) /* 第一次回代过程开始*/ {s1=0; for(j=1;j { t=-l[i][j]; s1=s1+t*y[j]; } y[i]=(b[i]+s1)/l[i][i]; } for(i=n;i>=1;i--) /* 第二次回代过程开始*/ { s2=0; for(j=n;j>i;j--) { t=-u[i][j]; s2=s2+t*x[j]; } x[i]=(y[i]+s2)/u[i][i]; } } void main() {float a[100][100],l[100][100],u[100][100],x[100],b[100]; int i,j,n,r,k; float s1,s2; for(i=1;i<=99;i++)/*将所有的数组置零，同时将L矩阵的对角值设为1*/ for(j=1;j<=99;j++) { l[i][j]=0,u[i][j]=0; if(j==i) l[i][j]=1; } printf ("input n:\n");/*输入方程组的个数*/ scanf("%d",&n); printf ("input array A:\n");/*读取原矩阵A*/ for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) scanf("%f",&a[i][j]); printf ("input array B:\n");/*读取列矩阵B*/ for(i=1;i<=n;i++) scanf("%f",&b[i]); for(r=1;r<=n;r++)/*求解矩阵L和U*/ { for(i=r;i<=n;i++) { s1=0; for(k=1;k<=r-1;k++) s1=s1+l[r][k]*u[k][i]; u[r][i]=a[r][i]-s1; } for(i=r+1;i<=n;i++) {s2=0; for(k=1;k<=r-1;k++) s2=s2+l[i][k]*u[k][r]; l[i][r]=(a[i][r]-s2)/u[r][r]; } } printf("array L:\n");/*输出矩阵L*/ for(i=1;i<=n;i++) { for(j=1;j<=n;j++) printf("%7.3f ",l[i][j]); printf("\n"); } printf("array U:\n");/*输出矩阵U*/ for(i=1;i<=n;i++) { for(j=1;j<=n;j++) printf("%7.3f ",u[i][j]); printf("\n"); } solve(l,u,b,x,n); printf("解为:\n"); for(i=1;i<=n;i++) printf("x%d=%f\n",i,x[i]); } 运行结果： input n: 3 input array A: 2 2 3 4 7 7 -2 4 5 input array B: 3 1 -7 array L: 1.000 0.000 0.000 2.000 1.000 0.000 -1.000 2.000 1.000 array U: 2.000 2.000 3.000 0.000 3.000 1.000 0.000 0.000 6.000 解为: x1=2.000000 x2=-2.000000 x3=1.000000 Press any key to continue 总结：关键是把矩阵分解为L、U两个三角矩阵，回代过程比较简单。3:第四章 (1)拉格朗日差值多项式; #include #include #define MAX 100 void main() { int i,j,k,m,n,N,mi; float tmp,mx; float X[MAX][MAX],Y[MAX],x[MAX],y[MAX],a[MAX]; printf("\n 输入拟合多项式的次数:\n"); scanf("%d",&m); printf("\n 输入给定点的个数n及坐标(x,y):\n"); scanf("%d",&N); printf("\n"); for(i=0;i scanf("%f,%f",&x[i],&y[i]); for(i=0;i<=m;i++) { for(j=i;j<=m;j++) { tmp=0; for(k=0;k tmp=tmp+pow(x[k],(i+j)); X[i][j]=tmp; X[j][i]=X[i][j]; } } for(i=0;i<=m;i++) { tmp=0; for(k=0;k tmp=tmp+y[k]*pow(x[k],i); Y[i]=tmp; } for(j=0;j { for(i=j+1,mi=j,mx=fabs(X[j][j]);i<=m;i++) if(fabs(X[i][j])>mx) { mi=i; mx=fabs(X[i][j]); } if(j { tmp=Y[j]; Y[j]=Y[mi]; Y[mi]=tmp; for(k=j;k<=m;k++) { tmp=X[j][k]; X[j][k]=X[mi][k]; X[mi][k]=tmp; } } for(i=j+1;i<=m;i++) { tmp=-X[i][j]/X[j][j]; Y[i]+=Y[j]*tmp; for(k=j;k<=m;k++) X[i][k]+=X[j][k]*tmp; } } a[m]=Y[m]/X[m][m]; for(i=m-1;i>=0;i--) { a[i]=Y[i]; for(j=i+1;j<=m;j++) a[i]-=X[i][j]*a[j]; a[i]/=X[i][i]; } printf("\n 所求的二次多项式为:\n"); printf("P(x)=%f",a[0]); for(i=1;i<=m;i++) printf("+(%f)*x^%d",a[i],i); } 运行结果： 输入拟合多项式的次数: 5 输入给定点的个数n及坐标(x,y): 3 1,2 5,3 4,2 所求的二次多项式为: P(x)=1.980417+(0.282759)*x^1+(-0.299937)*x^2+(0.022071)*x^3+(0.016624)*x^4+(-0.0 01934)*x^5Press any key to continue 总结：拉格朗日计算公式中，只需要知道各个点即可 4:第五章 (1)曲线拟合： #include #include #define MAX 100 void main() { int i,j,k,m,n,N,mi; float tmp,mx; float X[MAX][MAX],Y[MAX],x[MAX],y[MAX],a[MAX]; printf("\n 输入拟合多项式的次数:\n"); scanf("%d",&m); printf("\n 输入给定点的个数n及坐标(x,y):\n"); scanf("%d",&N); printf("\n"); for(i=0;i scanf("%f,%f",&x[i],&y[i]); for(i=0;i<=m;i++) { for(j=i;j<=m;j++) { tmp=0; for(k=0;k tmp=tmp+pow(x[k],(i+j)); X[i][j]=tmp; } } for(i=0;i<=m;i++) { tmp=0; for(k=0;k tmp=tmp+y[k]*pow(x[k],i); Y[i]=tmp; } for(j=0;j { for(i=j+1,mi=j,mx=fabs(X[j][j]);i<=m;i++) if(fabs(X[i][j])>mx) { mi=i; mx=fabs(X[i][j]); } if(j { tmp=Y[j]; Y[j]=Y[mi]; Y[mi]=tmp; for(k=j;k<=m;k++) { tmp=X[j][k]; X[j][k]=X[mi][k]; X[mi][k]=tmp; } } for(i=j+1;i<=m;i++) { tmp=-X[i][j]/X[j][j]; Y[i]+=Y[j]*tmp; for(k=j;k<=m;k++) X[i][k]+=X[j][k]*tmp; } } a[m]=Y[m]/X[m][m]; for(i=m-1;i>=0;i--) { a[i]=Y[i]; for(j=i+1;j<=m;j++) a[i]-=X[i][j]*a[j]; } printf("\n 所求的二次多项式为:\n"); printf("P(x)=%f",a[0]); for(i=1;i<=m;i++) printf("+(%f)*x^%d",a[i],i); } 输入拟合多项式的次数: 2 输入给定点的个数n及坐标(x,y): 5 1,2 5,3 2,4 8,3 -1,5 所求的二次多项式为: P(x)=3.952280+(-0.506315)*x^1+(0.050877)*x^2Press any key to continue 5:第六章 (1)辛普生求积方法： #include #define N 16 /* 等分数*/ float func(float x) { float y; y=4.0/(1+x*x); return(y); } void gedianzhi(float y[],float a,float h) { int i; for(i=0;i<=N;i++) y[i]=func(a+i*h); } float simpson(float y[],float h) { float s,s1,s2; int i; s1=y[1]; s2=0.0; for(i=2;i<=N-2;i=i+2) { s1+=y[i+1]; /* 计算奇数项的函数值之和*/ s2+=y[i]; /* 计算偶数项的函数值之和 */ } s=y[0]+y[N]+4.0*s1+2.0*s2; return(s*h/3.0); } main() { float a,b,h,s,f[N+1]; scanf("%f,%f",&a,&b); h=(b-a)/( float)N; gedianzhi(f,a,h); s=simpson(f,h); printf("s=%f\n",s); } 运行结果： 1,3 s=1.854590 Press any key to continue 总结：辛普生算法是一种积分方法，采用三点法插值，如果h 较小的话，误差很小，因为它的插值余项)(2180)()4(4 ξf h a b f R ?? ? ??--=，辛普生算法比较精确，程序关键是对所取的点的取和，注意 6:第七章 (1)改进欧拉法求解常微分方程的初值问题 #include float func(float x,float y) { return(y-x); } float euler(float x0,float xn,float y0,int N) { float x,y,yp,yc,h; int i; x=x0; y=y0; h=(xn-x0)/(float)N; for(i=1;i<=N;i++) { yp=y+h*func(x,y); x=x0+i*h; yc=y+h*func(x,yp); y=(yp+yc)/2.0; } return(y); } main() { float x0,xn,y0,e; int n; printf("\ninput n:\n "); scanf("%d",&n); printf("input x0,xn:\n "); scanf("%f,%f",&x0,&xn); printf("input y0:\n "); scanf("%f",&y0); e=euler(x0,xn,y0,n); printf("y(%f)=%6.4f",y0,e); } input n: 20 input x0,xn: 1,6 input y0: 2 y(2.000000)=7.0000Press any key to continue (2)四阶龙格—库塔法 #include float func(float x,float y) { return(x-y); } float runge_kutta(float x0,float xn,float y0,int N) { float x,y,y1,y2,h,xh; float d1,d2,d3,d4; int i; x=x0; y=y0; h=(xn-x0)/(float)N; for(i=1;i<=N;i++) { xh=x+h/2; d1=func(x,y); d2=func(xh,y+h*d1/2.0); d3=func(xh,y+h*d2/2.0); d4=func(xh,y+h*d3); y=y+h*(d1+2*d2+2*d3+d4)/6.0; x=x0+i*h; } return(y); } main() { float x0,xn,y0,e; int N; printf("\ninput n:\n "); scanf("%d",&N); printf("input x0,xn:\n "); scanf("%f,%f",&x0,&xn); printf("input y0:\n "); scanf("%f",&y0); e=runge_kutta(x0,xn,y0,N); printf("y(%f)=%8.6f",y0,e); } input n: 10 input x0,xn: 1,2 input y0: 5 y(5.000000)=2.833863Press any key to continue 2-2 Gauss-Seidel方法 #include #include int gsdl(a,b,n,x,eps) int n; double a[],b[],x[],eps; {int i,j,u,v; double p,t,s,q; for(i=0;i<=n-1;i++) {u=i*n+i; x[i]=0.0; for(j=0;j<=n-1;j++) {v=i*n+j; p=p+fabs(a[v]); } } if(p>=fabs(a[u])) {printf(“fail\n”); return(-1); } } p=eps+1.0; while(p>=eps) {for(i=0;i<=n-1;i++) {t=x[i];s=0.0; for(j=0;j<=n-1;j++) {if(j!=i) {s=s+a[i*n+j]*x[j]; } x[i]=(b[i]-s)/a[i*n+j]; q=fabs(x[i]-t)/(1.0+fabs(x[i])); {p=q; } } } return(1); } main() {int i; double eps; static double a[4][4]={{7,2,1,-2}{9,15,3,-2}{-2,-2,11,5}{1,3,2,13}}; static double x[5],b[4]={4,7,-1,0}; eps=0.000001; if(dsdl(a,b,4,x,eps)>0) {for(i=0;i<=3;i++) {printf(“x(%d)=%13.7e\n”,i,x[i]); } } 【 数值计算方法试题一 一、 填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。 2、迭代格式)2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211 0)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数， 则 a =( )， b =（ ）， c =（ ）。 4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( )， ∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当2≥n 时 = ++∑=)()3(20 4x l x x k k n k k ( )。 ； 5、设1326)(2 47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=?07 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞ =0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ?，则?= 1 4)(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2211 21b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ??? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。 数值计算方法学习指导书内容简介 数值计算方法学习指导书内容简介《数字信号处理学习指导》是浙江省高等教育重点建设教材、应用型本科规划教材《数字信号处理》(唐向宏主编，浙江大学出版社出版，以下简称教材)的配套学习指导书，内容包括学习要求、例题分析、教材习题解答、自测练习以及计算机仿真实验等。学习指导书紧扣教材内容，通过例题讲解，分析各章节的学习重点、难点以及需要理解、掌握和灵活运用的基本概念、基本原理和基本方法。全书共有66例例题分析、121题题解、2套自测练习和6个mat1ab计算机仿真实验。 数值计算方法学习指导书目录绪论 第1章离散时间信号与系统 1.1 学习要点 1.2 例题 1.3 教材习题解答 第2章离散系统的变换域分析与系统结构 2.1 学习要点 2.2 例题 2.3 教材习题解答 第3章离散时间傅里叶变换 3.1 学习要点 3.2 例题 3.3 教材习题解答 第4章快速傅里叶变换 4.1 学习要点 4.2 例题 4.3 教材习题解答 第5章无限长单位冲激响应(iir)数字滤波器的设计5.1 学习要点 5.2 例题 5.3 教材习题解答 第6章有限长单位冲激响应(fir)数字滤波器的设计6.1 学习要点 6.2 例题 6.3 教材习题解答 第7章数字信号处理中的有限字长效应 7.1 学习要点 7.2 例题 7.3 教材习题解答 第8章自测题 8.1 自测题(1)及参考答案 8.2 自测题(2)及参考答案 第9章基于matlab的上机实验指导 9.1 常见离散信号的matlab产生和图形显示 9.2 信号的卷积、离散时间系统的响应 9.3 离散傅立叶变换 9.4 离散系统的频率响应分析和零、极点分布 9.5 iir滤波器的设计 9.6 fir滤波器的设计 数值计算方法学习指导书内容文摘第1章离散时间信号与系统 1.1 学习要点 本章主要介绍离散时间信号与离散时间系统的基本概念，着重阐述离散时间信号的表示、运算，离散时间系统的性质和表示方法以及连续时间信号的抽样等。本章内容基本上是“信号与系统”中已经建立的离散时间信号与系统概念的复习。因此，作为重点学习内容，在概念上需要明白本章在整个数字信号处理中的地位，巩固和深化有关概念，注意承前启后，加强葙关概念的联系，进一步提高运用概念解题的能力。学习本章需要解决以下一些问题： (1)信号如何分类。 (2)如何判断一个离散系统的线性、因果性和稳定性。 (3)线性时不变系统(lti)与线性卷积的关系如何。 (4)如何选择一个数字化系统的抽样频率。 (5)如何从抽样后的信号恢复原始信号。 因此，在学习本章内容时，应以离散时间信号的表示、离散时间系统及离散时间信号的产生为主线进行展开。信号的离散时间的表示主要涉及序列运算(重点是卷积和)、常用序列、如何判 目录 第一章非线性方程求根 (3) 1.1迭代法 (3) 1.2牛顿法 (4) 1.3弦截法 (5) 1.4二分法 (6) 第二章插值 (7) 2.1线性插值 (7) 2.2二次插值 (8) 2.3拉格朗日插值 (9) 2.4分段线性插值 (10) 2.5分段二次插值 (11) 第三章数值积分 (13) 3.1复化矩形积分法 (13) 3.2复化梯形积分法 (14) 3.3辛普森积分法 (15) 3.4变步长梯形积分法 (16) 第四章线性方程组数值法 (17) 4.1约当消去法 (17) 4.2高斯消去法 (18) 4.3三角分解法 (20) 4.4雅可比迭代法 (21) 4.5高斯—赛德尔迭代法 (23) 第五章常积分方程数值法 (25) 5.1显示欧拉公式法 (25) 5.2欧拉公式预测校正法 (26) 5.3改进欧拉公式法 (27) 5.4四阶龙格—库塔法 (28) 数值计算方法 第一章非线性方程求根 1.1迭代法 程序代码： Private Sub Command1_Click() x0 = Val(InputBox("请输入初始值x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = (Exp(2 * x0) - x0) / 5 If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求f(x)=e2x-6x=0在x=0.5附近的根（ep=10-10） 1.2牛顿法 程序代码： Private Sub Command1_Click() b = Val(InputBox("请输入被开方数x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = x0 - (x0 ^ 2 - b) / (2 * b) If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求56的值。（ep=10-10） 数值分析上机实验报告 选题：曲线拟合的最小二乘法 指导老师： 专业： 学号： 姓名： 课题八曲线拟合的最小二乘法 一、问题提出 从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。 在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量y 与时间t 的拟合曲线。 二、要求 1、用最小二乘法进行曲线拟合； 2、近似解析表达式为()33221t a t a t a t ++=?； 3、打印出拟合函数()t ?，并打印出()j t ?与()j t y 的误差，12,,2,1 =j ； 4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较； 5、*绘制出曲线拟合图*。 三、目的和意义 1、掌握曲线拟合的最小二乘法； 2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组； 3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。 四、计算公式 对于给定的测量数据(x i ,f i )(i=1,2,…，n )，设函数分布为 ∑==m j j j x a x y 0)()(? 特别的，取)(x j ?为多项式 j j x x =)(? (j=0, 1,…，m ) 则根据最小二乘法原理，可以构造泛函 ∑∑==-=n i m j i j j i m x a f a a a H 1 10))((),,,(? 令 0=??k a H (k=0, 1,…，m ) 则可以得到法方程 ???? ??????? ?=????????????????????????),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(1010101111000100m m m m m m m m f f f a a a ????????????????????? 求该解方程组，则可以得到解m a a a ,,,10 ，因此可得到数据的最小二乘解 ∑=≈m j j j x a x f 0)()(? 曲线拟合：实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。 五、结构程序设计 在程序结构方面主要是按照顺序结构进行设计，在进行曲线的拟合时，为了进行比较，在程序设计中，直接调用了最小二乘法的拟合函数polyfit ，并且依次调用了plot 、figure 、hold on 函数进行图象的绘制，最后调用了一个绝对值函数abs 用于计算拟合函数与原有数据的误差，进行拟合效果的比较。 数值计算方法试题一 一、填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（）次。 2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（）。 3、已知是三次样条函数，则 =( )，=（），=（）。 4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则 ( )，( )，当时( )。 5、设和节点则 和。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则。 8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛。 9、解初值问题的改进欧拉法是 阶方法。 10、设，当（）时，必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（）条件时，这种分解是唯一的。 二、二、选择题（每题2分） 1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。（1）, (2) , (3) , (4) 2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 （1），（2），（3），（4）， （1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次 4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）。 (1), (2), (3), (4) 三、1、 2、（15 (1)(1) 试用余项估计其误差。 （2）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。 四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。 2、（8分）已知方程组，其中 ， （1）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 （2）（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。 五、1、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格—库塔法求的值。 2、（8分）求一次数不高于4次的多项式使它满足 ,,,, 六、（下列2题任选一题，4分） 1、1、数值积分公式形如 （1）（1）试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。 2、2、用二步法 求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。 数值计算方法试题二 一、判断题：（共16分，每小题２分） １、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。（） 《数值计算方法》教学大纲 课程编号：MI3321048 课程名称：数值计算方法英文名称：Numerical and Computational Methods 学时： 30 学分：2 课程类型：任选课程性质：任选课 适用专业：微电子学先修课程：高等数学,线性代数 集成电路设计与集成系统 开课学期：Y3开课院系：微电子学院 一、课程的教学目标与任务 目标：学习数值计算的基本理论和方法，掌握求解工程或物理中数学问题的数值计算基本方法。 任务：掌握数值计算的基本概念和基本原理，基本算法，培养数值计算能力。 二、本课程与其它课程的联系和分工 本课程以高等数学，线性代数，高级语言编程作为先修课程，为求解复杂数学方程的数值解打下良好基础。 三、课程内容及基本要求 (一) 引论（2学时） 具体内容：数值计算方法的内容和意义，误差产生的原因和误差的传播，误差的基本概念，算法的稳定性与收敛性。 1.基本要求 （1）了解算法基本概念。 （2）了解误差基本概念，了解误差分析基本意义。 2.重点、难点 重点：误差产生的原因和误差的传播。 难点：算法的稳定性与收敛性。 3.说明：使学生建立工程中和计算中的数值误差概念。 (二) 函数插值与最小二乘拟合（8学时） 具体内容：插值概念，拉格朗日插值，牛顿插值，分段插值，曲线拟合的最小二乘法。 1.基本要求 （1）了解插值概念。 （2）熟练掌握拉格朗日插值公式，会用余项估计误差。 （3）掌握牛顿插值公式。 （4）掌握分段低次插值的意义及方法。 （5）掌握曲线拟合的最小二乘法。 2.重点、难点 重点：拉格朗日插值, 余项，最小二乘法。 难点：拉格朗日插值, 余项。 3.说明：插值与拟合是数值计算中的常用方法，也是后续学习内容的基础。 (三) 第三章数值积分与微分（5学时） 具体内容：数值求积的基本思想，代数精度的概念，划分节点求积公式（梯形辛普生及其复化求积公式），高斯求积公式，数值微分。 1.基本要求 （1）了解数值求积的基本思想，代数精度的概念。 （2）熟练掌握梯形，辛普生及其复化求积公式。 （3）掌握高斯求积公式的用法。 （4）掌握几个数值微分计算公式。 2.重点、难点 重点：数值求积基本思想，等距节点求积公式，梯形法，辛普生法，数值微分。 难点：数值求积和数值微分。 3.说明：积分和微分的数值计算，是进一步的各种数值计算的基础。 (四) 常微分方程数值解法（5学时） 具体内容：尤拉法与改进尤拉法，梯形方法，龙格—库塔法，收敛性与稳定性。 1.基本要求 （1）掌握数值求解一阶方程的尤拉法，改进尤拉法，梯形法及龙格—库塔法。 （2）了解局部截断误差，方法阶等基本概念。 （3）了解收敛性与稳定性问题及其影响因素。 2.重点、难点 重点：尤拉法,龙格－库塔法，收敛性与稳定性。 难点：收敛性与稳定性问题。 3.说明：该内容是常用的几种常微分方程数值计算方法，是工程计算的重要基础。 (五) 方程求根的迭代法（4学时） 具体内容：二分法，解一元方程的迭代法，牛顿法，弦截法。 1.基本要求 （1）了解方程求根的对分法和迭代法的求解过程。 （2）熟练掌握牛顿法。 （3）掌握弦截法。 2.重点、难点 重点：迭代法，牛顿法。 昆明理工大学工科研究生《数值分析》上机实验 学院：材料科学与工程学院 专业：材料物理与化学 学号：2011230024 姓名: 郑录 任课教师：胡杰 P277-E1 1.已知矩阵A= 10787 7565 86109 75910 ?? ?? ?? ?? ?? ??,B= 23456 44567 03678 00289 00010 ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ,错误！未找到引用源。 = 11/21/31/41/51/6 1/21/31/41/51/61/7 1/31/41/51/61/71/8 1/41/51/61/71/81/9 1/51/61/71/81/91/10 1/61/71/81/91/101/11?????????????????? （1）用MA TLAB函数“eig”求矩阵全部特征值。 （2）用基本QR算法求全部特征值（可用MA TLAB函数“qr”实现矩阵的QR分解）。解：MA TLAB程序如下： 求矩阵A的特征值： clear; A=[10 7 8 7;7 5 6 5;8 6 10 9;7 5 9 10]; E=eig(A) 输出结果： 求矩阵B的特征值： clear; B=[2 3 4 5 6;4 4 5 6 7;0 3 6 7 8;0 0 2 8 9;0 0 0 1 0]; E=eig(B) 输出结果： 求矩阵错误！未找到引用源。的特征值： clear; 错误！未找到引用源。=[1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6; 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7; 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8; 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9;1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10; 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10 1/11]; E=eig(错误！未找到引用源。) 输出结果： （2）A= 10 7877565861097 5 9 10 第一步：A0=hess(A);[Q0,R0]=qr(A0);A1=R0*Q0 返回得到： 第二部：[Q1,R1]=qr(A1);A2=R1*Q1 数值计算方法作业 姓名：李琦 学号：062410124 求 013=--x x 在x=1.5附近的一个根。 一．牛顿下山法： #include 二．加权法 #include 三．单点弦法： #include 第一章绪论 习题一 1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1. 2.4)有 已知x*的相对误差满足，而 ，故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有5位有效数字，其误差限，相对误差限 有2位有效数字， 有5位有效数字， 3.下列公式如何才比较准确？ （1） （2） 解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。 （1） （2） 4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。 5.计算取，利用：式计算误差最小。 四个选项： 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值 误差限，因 ，故 二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值 误差限 ，故 2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少? 解：用误差估计式（5.8）， 令 因 得 3. 若，求和. 解：由均差与导数关系 于是 4. 若互异，求 的值，这里p≤n+1. 解：，由均差对称性 可知当有 而当P＝n＋1时 于是得 5. 求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得 6. 已知的函数表 1． 设?+=1 05dx x x I n n ， （1） 由递推公式n I I n n 1 51+-=-，从0I 的几个近似值出发，计算20I ； 解：易得：0I =ln6-ln5=0.1823, 程序为： I=0.182; for n=1:20 I=(-5)*I+1/n; end I 输出结果为：20I = -3.0666e+010 （2） 粗糙估计20I ，用n I I n n 51 5111+- =--，计算0I ； 因为 0095.05 6 0079.01020 201 020 ≈<<≈??dx x I dx x 所以取0087.0)0095.00079.0(2 1 20=+= I 程序为：I=0.0087; for n=1:20 I=(-1/5)*I+1/(5*n); end I 0I = 0.0083 （3） 分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。 首先分析两种递推式的误差；设第一递推式中开始时的误差为000I I E '-=，递推过程的舍入误差不计。并记n n n I I E '-=，则有01)5(5E E E n n n -==-=-Λ。因为=20E 20020)5(I E >>-，所此递推式不可靠。而在第二种递推式中n n E E E )5 1(5110-==-=Λ，误差在缩小， 所以此递推式是可靠的。出现以上运行结果的主要原因是在构造递推式过程中，考虑误差是否得到控制， 即算法是否数值稳定。 2． 求方程0210=-+x e x 的近似根，要求4 1105-+?<-k k x x ，并比较计算量。 （1） 在[0，1]上用二分法； 程序：a=0;b=1.0; while abs(b-a)>5*1e-4 c=(b+a)/2; 东南大学数值分析上机作业 汇总 -标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 数值分析上机报告 院系： 学号： 姓名： 目录 作业1、舍入误差与有效数 (1) 1、函数文件cxdd.m (1) 2、函数文件cddx.m (1) 3、两种方法有效位数对比 (1) 4、心得 (2) 作业2、Newton迭代法 (2) 1、通用程序函数文件 (3) 2、局部收敛性 (4) （1）最大δ值文件 (4) （2）验证局部收敛性 (4) 3、心得 (6) 作业3、列主元素Gauss消去法 (7) 1、列主元Gauss消去法的通用程序 (7) 2、解题中线性方程组 (7) 3、心得 (9) 作业4、三次样条插值函数 (10) 1、第一型三次样条插值函数通用程序： (10) 2、数据输入及计算结果 (12) 作业1、舍入误差与有效数 设∑ =-=N j N j S 2 2 11 ，其精确值为?? ? ??---1112321N N . （1）编制按从小到大的顺序1 1 131121222-? ??+-+-=N S N ，计算N S 的通用程序； （2）编制按从大到小的顺序()1 21 11111222-???+--+-=N N S N ，计算N S 的通用程序； （3）按两种顺序分别计算642101010,,S S S ,并指出有效位数； （4）通过本上机你明白了什么？ 程序： 1、函数文件cxdd.m function S=cxdd(N) S=0; i=2.0; while (i<=N) S=S+1.0/(i*i-1); i=i+1; end script 运行结果（省略>>）： S=cxdd(80) S= 0.737577 2、函数文件cddx.m function S=cddx (N) S=0; for i=N:-1:2 S=S+1/(i*i-1); end script 运行结果（省略>>）： S=cddx(80) S= 0.737577 3、两种方法有效位数对比 《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ，拉 格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度 为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达 式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式1999 2001- 数值计算方法教学大纲(本) 本着“崇术重用、服务地方”的办学理念和我校“高素质应用型人才”的培养目标，特制定了适合我校工科专业本科生的新教学大纲。 一、课程计划 课程名称：数值计算方法Numerical Calculation Method 课程定位：数学基础课 开课单位：理学院 课程类型：专业选修课 开设学期：第七学期 讲授学时：共15周，每周4学时，共60学时 学时安排：课堂教学40学时+实验教学20学时 适用专业：计算机、电科、机械等工科专业本科生 教学方式：讲授（多媒体为主）+上机 考核方式：考试60%+上机实验30%+平时成绩10% 学分：3学分 与其它课程的联系 预修课程：线性代数、微积分、常微分方程、计算机高级语言等。 后继课程：偏微分方程数值解及其它专业课程。 二、课程介绍 数值计算方法也称为数值分析，是研究用计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门学科。随着计算科学与技术的进步和发展，科学计算已经与理论研究、科学实验并列成为进行科学活动的三大基本手段，作为一门综合性的新科学，科学计算已经成为了人们进行科学活动必不可少的科学方法和工具。 数值计算方法是科学计算的核心内容，它既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际实验的高度技术性的特点，是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程.主要介绍插值法、函数逼近与曲线拟合、线性方程组迭代解法、数值积分与数值微分、非线性方程组解法、常微分方程数值解以及矩阵特征值与特征向量数值计算，并特别加强实验环节的训练以提高学生动手能力。通过本课程的学习，不仅能使学生初步掌握数值计算方法的基本理论知识，了解算法设计及数学建模思想，而且能使学生具备一定的科学计算能力和分析与解决问题的能力，不仅为学习后继课程打下良好的理论基础，也为将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。 科学计算是21世纪高层次人才知识结构中不可缺少的一部分，它潜移默化地影响着人们的思维方式和思想方法，并提升一个人的综合素质。 第二章 1. 题目：运用MATLAB编程实现牛顿迭代 2. 实验操作 1、打开MATLAB程序软件。 2、在MATLAB中编辑如下的M程序。 function [p1,err,k,y]=newton(f,df,p0,delta,max) %f 是要求根的方程(f(x)=0); %df 是f(x)的导数； %p0是所给初值,位于x*附近； %delta是给定允许误差； %max是迭代的最大次数； %p1是newton法求得的方程的近似解； %err是p0的误差估计； %k是迭代次数； p0 for k=1:max p1=p0-feval('f',p0)/feval('df',p0); err=abs(p1-p0); p0=p1; k p1 err y=feval('f',p1) if (err p0 = 1.2000 k =1 p1=1.1030 err=0.0970 y=0.0329 k= 2 p1=1.0524 err=0.0507 y=0.0084 k =3 p1=1.0264 err=0.0260 y=0.0021 k =4 p1=1.0133 err=0.0131 y=5.2963e-004 k =5 p1=1.0066 err=0.0066 y=1.3270e-004 k =6 p1=1.0033 err=0.0033 y=3.3211e-005 k =7 p1=1.0017 err=0.0017 y=8.3074e-006 k =8 p1=1.0008 err=8.3157e-004 y = 2.0774e-006 k =9 p1=1.0004 err=4.1596e-004 y =5.1943e-007 k=10 p1=1.0002 err=2.0802e-004 y= 1.2987e-007 k=11 p1=1.0001 err=1.0402e-004 y =3.2468e-008 k=12 p1=1.0001 err=5.2014e-005 y=8.1170e-009 k=13 p1=1.0000 err=2.6008e-005 y= 2.0293e-009 k=14 p1=1.0000 err=1.3004e-005 y=5.0732e-010 k=15 p1 =1.0000 err=6.5020e-006 y=1.2683e-010 k=16 p1 =1.0000 err=3.2510e-006 y=3.1708e-011 k=17 p1 =1.0000 err=1.6255e-006 y =7.9272e-012 k=18 p1 =1.0000 err =8.1279e-007 y= 1.9820e-012 ans = 1.0000 结果说明：经过18次迭代得到精确解为1，误差为8.1279e-007。 数值分析作业答案 插值法 1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。 （1）用单项式基底。 （2）用Lagrange插值基底。 （3）用Newton基底。 证明三种方法得到的多项式是相同的。 解：（1）用单项式基底 设多项式为: ， 所以： 所以f(x)的二次插值多项式为： （2）用Lagrange插值基底 Lagrange插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： (3) 用Newton基底: 均差表如下： xk f(xk) 一阶均差二阶均差 1 0 -1 -3 3/2 2 4 7/ 3 5/6 Newton插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。 6、在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h应取多少？ 解：以xi-1,xi,xi+1为插值节点多项式的截断误差，则有 式中 令得 插值点个数 是奇数，故实际可采用的函数值表步长 8、，求及。 解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系： 所以有： 15、证明两点三次Hermite插值余项是 并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。 证明：利用[xk，xk+1]上两点三次Hermite插值条件 知有二重零点xk和k+1。设 确定函数k(x): 当或xk+1时k(x)取任何有限值均可； 当时，，构造关于变量t的函数 显然有 在[xk,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle定理，存在及使得 在，，上对使用Rolle定理，存在，和使得 再依次对和使用Rolle定理，知至少存在使得 而，将代入，得到 推导过程表明依赖于及x 综合以上过程有： 确定误差限： 记为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。在区间[xk，xk+1]上有 而最值 进而得误差估计： 16、求一个次数不高于4次的多项式，使它满足，，。 第四章 问题一 一、问题综述 在离地球表面高度为y处的重力加速度如下： 计算高度y=55000m处的重力加速度值。 二、问题分析 以高度y作为自变量，重力加速度的值为因变量。得到以下信息： f(0)=9.8100; f(30000)=9.7487; f(60000)=9.6879; f(90000)=9.6278; f(120000)=9.5682; 本题要求的就是f(55000)的值。 以下将采用课堂中学到的Lagrange插值多项式法、Newton插值多项式法、分段低次插值法和样条插值法求解该问题。 三、问题解决 1. lagrange插值多项式法 对某个多项式函数，已知有给定的k+ 1个取值点： 其中对应着自变量的位置，而对应着函数在这个位置的取值。 假设任意两个不同的x j都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为： 其中每个为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为： 拉格朗日基本多项式的特点是在上取值为1，在其它的点上取值为0。 源程序lagrange.m function [c,f]=lagrange(x,y,a) % 输入：x是自变量的矩阵；y是因变量的矩阵；a是要计算的值的自变量； % 输出：c是插值多项式系数矩阵；f是所求自变量对应的因变量； m=length(x); l=zeros(m,m); % l是权矩阵 f=0; for i=1:m v=1; for j=1:m if i~=j v=conv(v,poly(x(j)))/(x(i)-x(j)); % v是l_i(x)的系数矩阵 end end l(i,:)=v; % l矩阵的每一行都是x从高次到低次的系数矩阵 end c=vpa(y*l,10); % 对应阶次的系数相加，乘以y，显示10位有效数字 for k=1:m f=f+c(k)*a^(m-k); end 输入矩阵 x=[0 30000 60000 90000 120000] y=[9.81 9.7487 9.6879 9.6278 9.5682] a=55000 再运行源函数，可得： c = [ -2.057613169e-23, 4.938271605e-18, -3.703703702e-14, -0.000002046111111, 9.81] f = 9.6979851723251649906109417384537 2015.1.9 上机作业题报告 JONMMX 2000 1.Chapter 1 1.1题目 设S N =∑1j 2?1 N j=2 ，其精确值为 )1 1 123(21+--N N 。 （1）编制按从大到小的顺序1 1 131121222-+ ??+-+-=N S N ，计算S N 的通用程序。 （2）编制按从小到大的顺序1 21 1)1(111222-+ ??+--+-= N N S N ，计算S N 的通用程序。 （3）按两种顺序分别计算64210,10,10S S S ,并指出有效位数。（编制程序时用单精度） （4）通过本次上机题，你明白了什么？ 1.2程序 1.3运行结果 1.4结果分析 按从大到小的顺序，有效位数分别为：6，4，3。 按从小到大的顺序，有效位数分别为：5，6，6。 可以看出，不同的算法造成的误差限是不同的，好的算法可以让结果更加精确。当采用从大到小的顺序累加的算法时，误差限随着N 的增大而增大，可见在累加的过程中，误差在放大，造成结果的误差较大。因此，采取从小到大的顺序累加得到的结果更加精确。 2.Chapter 2 2.1题目 （1）给定初值0x 及容许误差ε，编制牛顿法解方程f(x)=0的通用程序。 （2）给定方程03 )(3 =-=x x x f ,易知其有三个根3,0,3321= *=*-=*x x x ○1由牛顿方法的局部收敛性可知存在,0>δ当),(0δδ+-∈x 时，Newton 迭代序列收敛于根x2*。试确定尽可能大的δ。 ○2试取若干初始值，观察当),1(),1,(),,(),,1(),1,(0+∞+-----∞∈δδδδx 时Newton 序列的收敛性以及收敛于哪一个根。 （3）通过本上机题，你明白了什么？ 2.2程序 数值计算大作业 题目一、非线性方程求根 1.题目 假设人口随时间和当时人口数目成比例连续增长，在此假设下人口在短期内的增长建立数学模型。 （1）如果令()N t 表示在t 时刻的人口数目，β 表示固定的人口出生率，则人口数目满足微分方程() ()dN t N t dt β=，此方程的解为0()=t N t N e β； （2）如果允许移民移入且速率为恒定的v ，则微分方程变成() ()dN t N t v dt β=+， 此方程的解为 0()=+ (1) t t v N t N e e βββ -； 假设某地区初始有1000000人，在第一年有435000人移入，又假设在第一年年底该地区人口数量1564000人，试通过下面的方程确定人口出生率β，精确到 410-；且通过这个数值来预测第二年年末的人口数，假设移民速度v 保持不变。 435000 1564000=1000000(1) e e βββ + - 2.数学原理 采用牛顿迭代法，牛顿迭代法的数学原理是，对于方程0)(=x f ，如果) (x f 是线性函数，则它的求根是很容易的，牛顿迭代法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程0)(=x f 逐步归结为某种线性方程来求解。 设已知方程0)(=x f 有近似根k x (假定0)(≠'x f )，将函数)(x f 在点k x 进行泰勒展开，有 . ))(()()(???+-'+≈k k k x x x f x f x f 于是方程0)(=x f 可近似地表示为 ))(()(=-'+k k x x x f x f 这是个线性方程，记其根为1k x +，则1k x +的计算公式为 数值计算方法上机题目1 1、实验1. 病态问题 实验目的： 算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出： 考虑一个高次的代数多项式 ∏=-= ---=20 1)()20)...(2)(1()(k k x x x x x p （E1-1） 显然该多项式的全部根为l ，2，…，20，共计20个，且每个根都是单重的（也称为简 单的）。现考虑该多项式方程的一个扰动 0)(19 =+x x p ε (E1-2) 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（E1-1）中19 x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（E1-1）和（E1-2）根的差别，从而分析方程（E1-1）的解对扰动的敏感性。 实验内容： 为了实现方便，我们先介绍两个 Matlab 函数：“roots ”和“poly ”，输入函数 u ＝roots （a ） 其中若变量a 存储1+n 维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,...,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程 0...1121=++++-n n n n a x a x a x a 的全部根，而函数 b=poly(v) 的输出b 是一个n ＋1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“Poly ”是两个互逆的运算函数. ve=zeros(1,21); ve(2)=ess; roots(poly(1:20))+ve) 上述简单的Matlab 程序便得到（E1-2）的全部根，程序中的“ess ”即是（E1-2）中的ε。 实验要求： （1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。如果扰动项的系数ε很小，我们自然感觉（E1-1）和(E1-2)的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现？表明有些解关于如此的扰动敏感性如何？ （2）将方程（E1-2）中的扰动项改成18 x ε或其他形式，实验中又有怎样的现象出现？数值计算方法试题及答案
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