前面的三个a都不需要进行比较，只要确定主串中不等于b的那个位是否为a，即可以进行如下的比较：如果为a，则继续比较主串后面一位是否为b；如果不为a，则此次比较结束，继续将模式串的第一位去与主串的下一位进行比较。由此看来，在模式串的第五位上，进行的比较偏移了4位（不进行偏移，直接比较下一位为0），故第五位b的nextval值为
4。
我们可以利用第一个例子“abaabcac”对这种方法进行验证。
a的nextval值为0，因为如果主串的第一位不是a，那么没有再比较下去的必要，直接
比较主串的第二位是否为a。如果比较到主串的第二位才发生错误，则主串第一位肯定为a，第二位肯定不为b，此时不能直接跳到第三位进行比较，因为第二位还可能是a，所以对主串的第二位再进行一次比较，偏移了1位，故模式串第二位的nextval值为1。以此类推，nextval值分别为：01021302。其中第六位的nextval之所以为3，是因为，如果主串比较到第六位才发生不匹配现象，那么主串的前五位必定为“abaab”且第六位必定不是“c”，但第六位如果为“a”的话，那么我们就可以从模式串的第四位继续比较下去。所以，这次比较为：
而不是：
因为前两位a和b已经确定了，所以不需要再进行比较了。所以模式串第六位的nextval
值为这次比较的偏移量3。
再来看求nextval数组值的第二种方法。
1.第一位的nextval值必定为0，第二位如果与第一位相同则为0，如果不同则为1。
2.第三位的next值为1，那么将第三位和第一位进行比较，均为a，相同，则，第三位
的nextval值为0。
3.第四位的next值为2，那么将第四位和第二位进行比较，不同，则第四位的nextval
值为其next值，为2。
4.第五位的next值为2，那么将第五位和第二位进行比较，相同，第二位的next值为1，则继续将第二位与第一位进行比较，不同，则第五位的nextval值为第二位的next值，为1。
5.第六位的next值为3，那么将第六位和第三位进行比较，不同，则第六位的nextval
值为其next值，为3。
6.第七位的next值为1，那么将第七位和第一位进行比较，相同，则第七位的nextval
值为0。
7.第八位的next值为2，那么将第八位和第二位进行比较，不同，则第八位的nextval
值为其next值，为2。
在“aaaab”内进行验证。
定义类的构造函数 作者：lyb661 时间：20150613 定义类的构造函数有如下几种方法： 1、使用默认构造函数(类不另行定义构造函数)：能够创建一个类对象，但不能初始化类的各个成员。 2、显式定义带有参数的构造函数：在类方法中定义，使用多个参数初始化类的各个数据成员。 3、定义有默认值的构造函数：构造函数原型中为类的各个成员提供默认值。 4、使用构造函数初始化列表：这个构造函数初始化成员的方式显得更紧凑。 例如：有一个学生类。其中存储了学生的姓名、学号和分数。 class Student { private: std::string name; long number; double scores; public: Student(){}//1:default constructor Student(const std::string& na,long nu,double sc); Student(const std:;string& na="",long nu=0,double sc=0.0); Student(const std:;string& na="none",long nu=0,double sc=0.0):name(na),number(nu),scores(sc){} ……….. void display() const; //void set(std::string na,long nu,double sc); }; ......... Student::Student(const std::string& na,long nu,double sc) { name=na; number=nu; scores=sc; } void Student::display()const { std::cout<<"Name: "< 高中数学中求函数值域的几种方法 汝南双语学校赵保刚 函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题. 定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄彼，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难。实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函数的理解，从而深化对函数本质的认识。 若有非空数集A到B的映射f:A→B，则函数：y=f(x)(x∈A,y∈B)的值域是自变量x在f作用 下的函数值y的集合C，很明显，C B，求函数值域的方法要随函数式的变化而灵活掌握，同时应注重数形结合，等价转换，分类讨论等重要数学思想的理解与运用。下面通过八个方面的例题来加以说明。 题型一定义法 要深刻领会映射与函数值域的定义。 例1．已知函数f:A→B（A，B为非空数集），定义域为M，值域为N，则A，B，M，N的关系：（）。 A．M＝A，N＝B B．M N，N＝B C．M＝A，N B D．M A，N B 说明：函数的定义域是映射f：A→B中的原象集合A，而值域即函数值的集合是集合B的子集。 故：应有M＝A，N B，选C。 例2．已知函数f(x)=2log2x的值域是[-1，1]，求函数y=f-1(x)的值域。 分析：要求反函数的值域，只需求原函数的定义域。 解：由已知可得 f(x)∈[-1，1]，，解之得， 求线性目标函数的最值 1．设x ，y 满足约束条件????? 2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0， x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________． 解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题 意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z 3 过点A 时，z 取得最小值，联立????? 2x －y ＋1＝0，x －2y －1＝0，解得A (－1，－1)，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10． 答案：－10 求非线性目标函数的最值 2．已知实数x ，y 满足????? x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0， 3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________． 解析：根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则 (x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行 域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d 的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由????? x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)， 所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25 ． 所以d 2的最小值为45 ，最大值为13． 所以x 2＋y 2的取值范围是??? ?45，13． 答案：??? ?45，13 线性规划中的参数问题 3．已知x ，y 满足????? x ≥2，x ＋y ≤4， 2x －y －m ≤0. 若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为10，则z 的最小 值为________． 解析：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，作 直线l ：3x ＋y ＝0，平移l ，从而可知经过C 点时z 取到最大值， 由????? 3x ＋y ＝10，x ＋y ＝4，解得????? x ＝3，y ＝1， ∴2×3－1－m ＝0，m ＝5． 由图知，平移l 经过B 点时，z 最小， ∴当x ＝2，y ＝2×2－5＝－1时，z 最小，z min ＝3×2－1＝5． 答案：5 [通法在握] 1．求目标函数的最值3步骤 (1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线； (2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置； (3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． 2．常见的3类目标函数 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ． 求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截 距z b 取最小值时，z 取最大值． (2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2． (3)斜率型：形如z ＝y －b x －a ． [提醒] 注意转化的等价性及几何意义． 例析构造函数的基本方法 一、用作差法构造函数 求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+-)1ln(1 11 证明：设函数x x x f -+=)1ln()(，1111)(+-=-+= 'x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数，故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞，于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 令111)1ln()(-+++=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则， 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ，即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数，故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ， ∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥-++ +x x ∴111)1ln(+- ≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(111,1有时 二、换元法构造函数 对任意的正整数n ，不等式3 211)11ln(n n n ->+ 都成立. 分析：从所证结构出发，只需令x n =1，则问题转化为：当0>x 时， 恒有32)1ln(x x x ->+成立，现构造函数)1ln()(23++-=x x x x h ，求导即可达到证明。 求极值与最值的方法 1 引言 在当前的数学教育中，求初等函数的极值与最值占有比较重要的位置，由于其解法灵活，综合性强，能力要求高，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法。下面我们将要介绍多种求初等函数的极值和最值的方法。 2 求函数极值的方法 极值定义：设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义，且对此邻域内任一点 x 0()x x ≠，均有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数错误！未找到引用源。的一个极大值；同样如果对此邻域内任一点x 0()x x ≠，均有错误！未找到引用源。，则称0()f x 是函数错误！未找到引用源。的一个极小值。函数的极大值与极小值统称为函数的极值。使函数取得极值的点0x ，称为极值点。 2.1 求导法 判别方法一： 设()f x 在点0x 连续，在点错误！未找到引用源。的某一空心邻域内可导。当 x 由小增大经过错误！未找到引用源。时，如果： (1)'()f x 由正变负，那么0x 是极大值点； (2)错误！未找到引用源。由负变正，那么0x 是极小值点； (3)错误！未找到引用源。不变号，那么0x 不是极值点。 判别方法二： 设()f x 在点0x 处具有二阶导数,且'()0f x =,''()0f x =。 (1)如果''()0f x <，则()f x 在点0x 取得极大值； (2)如果''()0f x >，则()f x 在点0x 取得极小值。 判别方法三： 设()f x 在点0x 有n 阶导数，且0)()()(0)1(00===''='-x f x f x f n 0)(0)(≠x f n ，则： （1）当为偶数时，)(x f 在0x 取极值，有0)(0)( 函数极值的几种求法 ──针对高中生所学知识 摘要：函数是数学教学中一个重要的组成部分，从小学六年级的一元一次方程继而延伸到初中的一次函数，二次函数的初步介绍，再到高中的函数的单调性、周期性、最值、极值，以及指数函数、对数函数、三角函数的学习，这些足以说明函数在数学教学中的地位。极值作为函数的一个重要性质，无论是在历年高考试题中，还是在实际生活运用中都占有不可或缺的地位。本文主要阐述了初高中常见的几种函数，通过函数极值的相关理论给出每种函数极值的求解方法。 关键词：函数；单调性；导数；图像；极值 Abstract: Function is an important part of mathematics teaching. First the learning of linear equation in six grade, secondly the preliminary introduction of linear functions and quadratic functions in junior high school, then the monotonicity, the periodicity, the most value and the extreme value of function, finally the learning of the logarithmic function, exponential function and trigonometric function in high school. These are enough to show the important statue of the function in mathematics teaching. As an important properties of function, extreme value has an indispensable status whether in the calendar year test, or in daily life. This article will mainly expound the methods of solving the extreme value of sever functions in middle school. Key words: function; monotonicity; derivative; image; extreme value “函数”一词最先是由德国的数学家莱布尼茨在17世纪采用的，当时莱布尼茨用“函数”这一词来表示变量x的幂，也就是x的平方x的立方。之后莱布尼茨又将“函数”这一词用来表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等与曲线上的点有关的变量[]1。就这样“函数”这词逐渐盛行。在中国，清代著名数学家、天文学家、翻译家和教育家，近代科学的先驱者善兰给出的定义是： 构造函数法证明不等式的八种方法 1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法： 一、移项法构造函数 【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有 x x x ≤+≤+-)1ln(1 11 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数 11 1)1ln()(-++ +=x x x g ，从其导数入手即可证明。 【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时， 0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证） ， 现证左面，令11 1)1ln()(-+++=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ， ∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即011 1)1ln(≥-++ +x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(11 1,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ）， 那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数33 2)(x x g =的图象的下方； 例说求函数的最大值和最小值的方法 例1.设x 是正实数，求函数x x x y 32 + +=的最 小值。 解：先估计y 的下界。 5 5 )1(3)1(5)21 (3)12(222≥+-+-=+-+++-=x x x x x x x y 又当x =1时，y =5，所以y 的最小值为5。 说明 本题是利用“配方法”先求出y 的下界，然后再“举例”说明这个下界是可以限到的。“举例”是必不可少的，否则就不一定对了。例如，本题我们也可以这样估计： 7 7 )1(3)1(7)21 (3)12(222-≥-++-=-++++-=x x x x x x x y 但y 是取不到7的。即7不能作为y 的最小值。 例 2. 求函数 1 22322 2++--=x x x x y 的最大值和最小 值。 解 去分母、整理得：(2y 1)x 2+2(y +1)x +(y +3)=0. 当2 1≠y 时，这是一个关于x 的二次方程，因为x 、y 均为实数，所以 =[2(y +1)]24(2y 1)(y +3)0, y 2 +3y -40, 所以 4y 1 又当3 1-=x 时，y =4;x =2时，y =1.所以y min =4，y max =1. 说明 本题求是最值的方法叫做判别式法。 例3.求函数1 52++-=x x y ，x [0,1]的最大值 解：设 ] 2,1[1∈=+t t x ，则x =t 21 y = 2(t 21)+5t = 2t 2+5t +1 原函数当t =169,45=x 即时取最大值8 33 例4求函数2 2 3 ,5212 ≤≤+--=x x x x y 的最小值和最 大值 解：令x 1=t (121≤≤t ) 则t t t t y 414 2 +=+= y min =5 1,172 max = y 例 5.已知实数x ,y 满足1x 2+y 24,求f (x )=x 2+xy +y 2的最小值和最大值 解：∵) (2122 y x xy +≤ ∴6 )(2 3),(2222 ≤+≤ ++=y x xy y x y x f 又当2==y x 时f (x ,y )=6，故f (x ,y )max =6 又因为) (2122 y x xy +-≥ ∴2 1)(21),(2222 ≥+≥ ++=y x xy y x y x f 简单的线性 (整数 )规划问题 一. 知识要点： 1.线性规划的基础概念 (1)线性约束条件 约束条件都是关于x, y 的一次整式不等式. (2)目标函数 待求最值 (最大值或最小值 )的函数 . (3)线性目标函数 目标函数是关于变量x, y 的一次解析式(整式). (4)线性规划 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题, 其中在限定变量为整数的时候 , 对应的线性规划问题 , 也称为整数规划问题 . (5)可行解 满足全部约束条件的解 (x, y). (6)可行域 全部可行解构成的集合称为线性规划问题的可行域 . (7)最优解 使目标函数取到最大值或最小值的可行解. 注意 : ①线性约束条件即可用二元一次不等式表示 , 也可以用二元一次方程 表示 . ②最优解如果存在 (当然 , 最优解有不存在的情况 ), 其个数并不一定是唯一的 , 可能有多个最优解 , 也可能存在无数个最优解 . ③目标函数 z ax by 取到最优解(最大或最小值)的点,往往出现在可行域的顶点或边界上 . ④对于整数规划问题 ( xゥ, y ), 最优解未必在边界或顶点处取得, 往往 要在可行域的顶点或边界附近寻找 . ⑤寻找最优解的前提是尽量准确画出可行域的草图 , 从而有助于我们发现最优解 . 二.解题思路 : 解决线性规划问题 , 先要准确作出可行域 , 且明白目标函数表示的 几何意义 , 通过数形结合找到目标函数取到最值时可行域的顶点 (或边界上的点). 而对于整数规划问题, 则应该进一步验证解决, 边界点或顶点可能不在是最优点 , 而是在它们的临近区域的整点 . 三．求解步骤 ①在平面直角坐标系中画出可行域(对于应用问题 , 则要先正确写出 规划模型及满足的约束条件, 再画出可行域 ). ②结合目标函数的几何意义 , 将目标函数变形写成直线的方程形式或 写成一次函数的形式 . ③确定最优点 : 在可行域平行移动目标函数变形后的直线 , 从而找到最优点 . 求三角函数值域及最值的常用方法 （一）一次函数型 或利用：=+ =x b x a y cos sin )sin(22?+?+x b a 化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512 y x π =-- +，x x y cos sin = （3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2 π 上的最小值为 1 ． （4）函数tan( )2 y x π =- (4 4 x π π - ≤≤ 且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-?+∞ （二）二次函数型 利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。 （2）函数)(2cos 2 1 cos )(R x x x x f ∈- =的最大值等于43． （3）.当2 0π < （三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解 型如d x c b x a x f ++= cos sin )(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法： ①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值； ②利用万能公式求解； ③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。 例1：求函数sin cos 2 x y x = -的值域。 解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2 x y x = -得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为3 3 -、 33。结合图形可知，此函数的值域是33 [,]33 - 。 解法2：将函数sin cos 2x y x =-变形为cos sin 2y x x y -=，∴22s i n ()1y x y φ+= +由2 |2||sin()|11y x y φ+= ≤+22(2)1y y ?≤+，解得：3333 y - ≤≤，故值域是33 [,]33- 解法3：利用万能公式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =-得到2 213t y t =--则有2 320yt t y ++=知：当0t =，则0y =，满足条件；当0t ≠，由2 4120y =-≥△，3333 y ?-≤≤，故所求函数的值域是33[,]33-。 解法4：利用重要不等式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x = -得到2 213t y t =--当0t =时，则0y =，满足条件；当0t ≠时， 22 113(3) y t t t t = =---+，如果t > 0，则2223113233(3)y t t t t ==-≥-=---+， x Q P y O 高中数学求函数值域的 方法十三种 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】 高中数学：求函数值域的十三种方法 一、观察法（☆ ） 二、配方法（☆） 三、分离常数法（☆） 四、反函数法（☆） 五、判别式法（☆） 六、换元法（☆☆☆） 七、函数有界性 八、函数单调性法（☆） 九、图像法（数型结合法）（☆） 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、 十三、一一映射法 十四、 多 种 方 法 综 合 运 用 一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。 【例1】 求函数1y =的值域。 11≥， ∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【例2】求函数 x 1 y = 的值域。 【解析】∵0x ≠ ∴0 x 1≠ 显然函数的值域是： ),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。 【解析】因为{}2,1,0,1- =f f，()1 1- f所以： = 2 0= f，()()0 ∈ 3 x，而()()3 -f = 1= {}3,0,1- ∈ y 注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R x∈，则函数的值域为{}1 y。 y ≥ |- 二．配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2 =++的 F x af x bf x c ()()() 函数的值域问题，均可使用配方法。 【例1】求函数225,[1,2] y x x x =-+∈-的值域。 【解析】将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，，当时，故函数的值域是：[4，8] 【变式】已知，求函数的最值。 【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。 图2 微专题：构造函数法解选填压轴题 高考中要取得高分，关键在于选准选好的解题方法，才能省时省力又有效果。近几年各地高考数学试卷中，许多方面尤其涉及函数题目，采用构造函数法解答是一个不错的选择。所谓构造函数法是指通过一定方式，设计并构造一个与有待解答问题相关函数，并对其进行观察分析，借助函数本身性质如单调性或利用运算结果，解决原问题方法，简而言之就是构造函数解答问题。怎样合理的构造函数就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方面问题。 几种导数的常见构造： 1．对于()()x g x f ''>，构造()()()x g x f x h -= 若遇到()()0'≠>a a x f ，则可构()()ax x f x h -= 2．对于()()0''>+x g x f ，构造()()()x g x f x h += 3．对于'()()0f x f x +>，构造()()x f e x h x = 4．对于'()()f x f x > [或'()()0f x f x ->]，构造()()x f x h x e = 5．对于()()0'>+x f x xf ，构造()()x xf x h = 6．对于()()0'>-x f x xf ，构造()()x x f x h = 一、构造函数法比较大小 例1．已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称,且当(,0),()'()0x f x xf x ∈-∞+<成立，0.20.22(2)a f =，log 3(log 3)b f ππ=，33log 9(log 9)c f =,则,,a b c 的大小关系是 ( ) .Aa b c >> .B a c b >> .C c b a >> .Db a c >> 【解析】因为函数()y f x =关于y 轴对称,所以函数()y xf x =为奇函数.因为[()]'()'()xf x f x xf x =+, 所以当(,0)x ∈-∞时,[()]'()'()0xf x f x xf x =+<,函数()y xf x =单调递减, 当(0,)x ∈+∞时,函数()y xf x =单调递减. 因为0.2122<<,0131og π<<,3192og =,所以0.23013219og og π<<<,所以b a c >>,选D. 变式: 已知定义域为R 的奇函数()f x 的导函数为'()f x ，当0x ≠时，()'()0f x f x x + >， 若111(),2(2),ln (ln 2)222 a f b f c f ==--=，则下列关于,,a b c 的大小关系正确的是（ D ） .Aa b c >> .B a c b >> .C c b a >> .Db a c >> 例2．已知()f x 为R 上的可导函数，且x R ?∈，均有()()f x f x '>，则有 求式子最值的几种常见的方法 我任教新教材已有二个轮回了，通过这几年教学和学习中，总结了几种求式子最值的常用方法，式子最值主要还是求函数最大值和最小值。 第一种方法是熟练利用基础函数的一些性质，基础函数包括指数函数、对数函数、幂函数、三角函数，这此函数图像和性质，学生必须牢牢记住掌握。比如二次函数在实数内求最值，只求对称轴函数值即可。再加上开口方向就定出最大或最小值。比如：y=sinx 有实数内求最大或最小值，掌握正弦函数性质，直接指出最大值是1，最小值是-1。若求基础函数在定义域内某一个区间内最值，就得看此区间函数单调情况再求最值。 方法二：利用单调性求最值，比如：y=1x-2在区间[3，4]上最值，先证明y=1x-2在[3，4]上是单调递减的，所以x=3时，y最大1，x=4时，y最小1/2。 方法三：利用线性规划求最值 例如：若变量x，y满足y≤1x+y≥0x-y-2≤0 则z=x-2y取值范围点。 A.[-1，3） B.[-3，1） C. [-3，3） D. [-1，1） 先画可行域，画直线x-2y=0，平移直线x-2y=0在可能域内求使，z= x-2y产生最值的最优解，代入z= x-2y，选C。 有些函数最值还可以把线性规划问题加深求非线性目标函数最值，常利用式子几何意义来求，如：已知实数x，y满足约束条件x≥-1y≥0x+y≥1 则（x+2）2+y2最小值是 解决这个问题利用几何意义在可行域内找一点到（-2，0）点距离平方最小，最后得9/2，这些类型还有利用斜率意义等。 方法四：利用不等式求最值 利用不等式求最值，常用基本不等式2，a>0，b>0，则a+b≥2ab这个式子必须有一个固定值，当a+b确定能求出，ab积最大值，当ab积固定时能求出a+b的最小值，但在a=b前提下。老师在教学中给同学总结一正、二定、三相等，例如：设a>b>c，n∈N且1a-b+1b-c ≥na-c恒成立，求n的最大值是（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 解决这道题实际上就是求（a-c）（1a-b+1b-c）的最小值，上式变形[（a-b）+（b-c）][ 1a-b+1b-c]展开后利用重要不等式求出选C，利用不等式2求最 求函数值域的十种方法 一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1．求函数1y = 的值域。 【解析】0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【练习】 1．求下列函数的值域： ①32(11)y x x =+-≤≤； ②x x f -+=42)(； ③1 += x x y ； ○ 4()112 --=x y ，{}2,1,0,1-∈x 。 【参考答案】①[1,5]-；②[2,)+∞；③(,1)(1,)-∞+∞U ；○4{1,0,3}-。 二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如 2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。 例2．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。 ∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤，∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。 ∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。 例3．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。 【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设： )0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得 ][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ?∈?。 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为： 0)(≥x f 。 例4．若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。 浅谈求最值问题的几种方法 摘要：最值问题综合性强， 涉及到中学数学的许多分支, 因而这类问题题型广, 知识面宽，而且在解法上灵活多样, 能较好体现数学思想方法的应用. 在历年的高考试题中, 既有基础题， 也有一些小综合的中档题， 更有一些以难题的形式出现. 解决这类问题要掌握多方面的知识， 综合运用各种数学技巧， 灵活选择合理的解题方法， 本文就几类最值问题作一探求. 关键词:数学；函数；最值；最大值；最小值 1． 常见函数的最值问题． １.1 一次函数的最大值与最小值. 一次函数b kx y +=在其定义域(全体实数）内是没有最大值和最小值的， 但是, 如果对自变量x 的取值范围有所限制时, 一次函数就可能有最大值和最小值了. 例1. 设0>a 且 a ≠1，)1(1 x a ax y -+=,(0≤x ≤1），求y 的最大值与最小值. 解: )1(1x a ax y -+=可化为:.1 )1(a x a a y +-=下面对一次项系数分两种情况讨论: （1)当a ＞1时,a －a 1＞0,于是函数a x a a y 1 )1(+-=的函数值是随着x 的增加而增加的，所 以 当x ＝0时,y 取最小值 a 1 ; 当x =1时,y 取最大值a . （2）当0 人教版必修一求函数值域的几种常见方法 1．直接法：利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ， 当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{a b a c y y 4)4(|2 -≤}. 例1．求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1 += x x y ④x x y 1 + = 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3， ∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②∵),0[4+∞∈-x ∴),2[)(+∞∈x f 即函数x x f -+=42)(的值域是 { y| y ≥2} ③1 111 111 +- =+-+= +=x x x x x y ∵ 01 1≠+x ∴1≠y 即函数的值域是 { y| y ∈R 且y ≠1}（此法亦称分离常数法） ④当x>0，∴x x y 1+ ==2)1(2 +- x x 2≥， 当x<0时，)1(x x y -+ --==－2)1(2 --- -x x 2-≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2，+∞).（此法也称为配方法） 函数x x y 1+ =的图像为： 2．二次函数比区间上的值域(最值)： 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： ①142+-=x x y ； ②]4,3[,142∈+-=x x x y ；③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ； 4 3 21 -1-2-3 -4 -6 -4 -2 2 4 6 y=x o -2 -112 f x () = x+ 1x 简单的线性(整数)规划问题 一.知识要点： 1.线性规划的基础概念 (1)线性约束条件 约束条件都是关于x, y的一次整式不等式. (2)目标函数 待求最值(最大值或最小值)的函数. (3)线性目标函数 目标函数是关于变量x, y的一次解析式(整式). (4)线性规划 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题, 其中在限定变量为整数的时候, 对应的线性规划问题, 也称为整数规划问题. (5)可行解 满足全部约束条件的解(x, y). (6)可行域 全部可行解构成的集合称为线性规划问题的可行域. (7)最优解 使目标函数取到最大值或最小值的可行解. 注意: ①线性约束条件即可用二元一次不等式表示, 也可以用二元一次方程表示. ②最优解如果存在(当然, 最优解有不存在的情况), 其个数并不一定是唯一的, 可能有多个最优解, 也可能存在无数个最优解. ③目标函数z ax by =+取到最优解(最大或最小值)的点, 往往出现在可行域的顶点或边界上. ④对于整数规划问题(, x y ゥ), 最优解未必在边界或顶点处取 ∈∈ 得, 往往要在可行域的顶点或边界附近寻找. ⑤寻找最优解的前提是尽量准确画出可行域的草图, 从而有助于我们发现最优解. 二. 解题思路: 解决线性规划问题, 先要准确作出可行域, 且明白目标函数表示的几何意义, 通过数形结合找到目标函数取到最值时可行域的顶点(或边界上的点). 而对于整数规划问题, 则应该进一步验证解决, 边界点或顶点可能不在是最优点, 而是在它们的临近区域的整点. 三．求解步骤 ①在平面直角坐标系中画出可行域(对于应用问题, 则要先正确写出 规划模型及满足的约束条件, 再画出可行域). ②结合目标函数的几何意义, 将目标函数变形写成直线的方程形式或写成一次函数的形式. ③确定最优点: 在可行域平行移动目标函数变形后的直线, 从而找到最优点. 几种构造辅助函数的方法及应用 许生虎 （西北师范大学数学系，甘肃 兰州 730070） 摘 要：在对数学命题的观察和分析基础上给出了构造辅助函数的方法，举例说 明了寻求辅助函数的几种方法及在解题中的作用。 关键词：辅助函数 弧弦差法 原函数法 几何直观法 微分方程法 1. 引言 在解题过程中，根据问题的条件与结论的特点，通过逆向分析、综合运用数学的基本概念和原理，经过深入思考、缜密的观察和广泛的联想，构造出一个与问题有关的辅助函数，通过对函数特征的考查达到解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做构造辅助函数法。 构造函数方法在许多命题证明中的应用，使问题得以解决，如在微分中值定理、泰勒公式、中值点存在性、不等式等证明。但构造辅助函数方法的内涵十分丰富没有固定的模式和方法，构造过程充分体现了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归思想。但如何通过构造，构造怎样的辅助函数给出命题的证明，是很难理解的问题之一，本文通过一些典型例题归纳、分析和总结常见的构造辅助函数方法及应用。 2. 构造辅助函数的七中方法 “逆向思维法” 例1： 设()x f 在[]1,0 上可微，且满足 ()()?=21 21dx x xf f ，证明在][1,0内至少有一点θ，使()() θ θθf f - ='. 证明:由所证明的结论出发,结合已知条件,探寻恰当的辅助函数. 将() () θ θθf f '变为()()0='?+θθθf f ,联想到()[]()()θθθθf f x xf x '?+=' =, 可考虑辅助函数 ()()[].1,0,∈=x x xf x F 因为()()ξξf f =1 , 而对于()x F ,有()()ξξξf F =,()().11f F = 所以,()()1F F =ξ ,由罗尔定理知,至少存在一点()1,ξθ∈,使得()0='θF 即:()() θ θθf f - ='. 证毕 2.2 原函数法 在微分中值定理(尤其是罗尔定理)求解介值(或零点)问题时要证明的结论往往是某一个函数的导函数的零点,因此可通过不定积分反求出原函数作为辅助函数,用此法构造辅助函数的具体步骤如下: (1)将要证的结论中的;)(0x x 换或ξ (2)通过恒等变换,将结论化为易积分(或易消除导数符号)的形式; (3)用观察法或凑微分法求出原函数(必要时可在等式两端同乘以非零的积 分因子),为简便起见,可将积分常数取为零; (4)移项,将等式一边为零,则等式的另一边为所求的辅助函数. 例2: ()[]() (),0,0,,>>a f a b a b a x f 且内可导，其中上连续，在在设 ()()()ξξ ξξf a b f b a '?-=?∈?,,证明： 分析: ()()ξξ ξf a b f '?-= ()()x f a x b x f x '?-=??→?=ξ令 ()()x b a x f x f -='? ()()c x b x f a ln ln ln +-=??→?-积分 ()()c x f x b a =-? 可令 ()()()x f x b x F a -= 证明: 作辅助函数 ()()()x f x b x F a -=求函数值域的几种方法
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