求式子最值的几种常见的方法
我任教新教材已有二个轮回了，通过这几年教学和学习中，总结了几种求式子最值的常用方法，式子最值主要还是求函数最大值和最小值。
第一种方法是熟练利用基础函数的一些性质，基础函数包括指数函数、对数函数、幂函数、三角函数，这此函数图像和性质，学生必须牢牢记住掌握。比如二次函数在实数内求最值，只求对称轴函数值即可。再加上开口方向就定出最大或最小值。比如：y=sinx 有实数内求最大或最小值，掌握正弦函数性质，直接指出最大值是1，最小值是-1。若求基础函数在定义域内某一个区间内最值，就得看此区间函数单调情况再求最值。
方法二：利用单调性求最值，比如：y=1x-2在区间[3，4]上最值，先证明y=1x-2在[3，4]上是单调递减的，所以x=3时，y最大1，x=4时，y最小1/2。
方法三：利用线性规划求最值
例如：若变量x，y满足y≤1x+y≥0x-y-2≤0 则z=x-2y取值范围点。
A.[-1，3）
B.[-3，1）
C. [-3，3）
D. [-1，1）
先画可行域，画直线x-2y=0，平移直线x-2y=0在可能域内求使，z= x-2y产生最值的最优解，代入z= x-2y，选C。
有些函数最值还可以把线性规划问题加深求非线性目标函数最值，常利用式子几何意义来求，如：已知实数x，y满足约束条件x≥-1y≥0x+y≥1 则（x+2）2+y2最小值是
解决这个问题利用几何意义在可行域内找一点到（-2，0）点距离平方最小，最后得9/2，这些类型还有利用斜率意义等。
方法四：利用不等式求最值
利用不等式求最值，常用基本不等式2，a>0，b>0，则a+b≥2ab这个式子必须有一个固定值，当a+b确定能求出，ab积最大值，当ab积固定时能求出a+b的最小值，但在a=b前提下。老师在教学中给同学总结一正、二定、三相等，例如：设a>b>c，n∈N且1a-b+1b-c ≥na-c恒成立，求n的最大值是（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
解决这道题实际上就是求（a-c）（1a-b+1b-c）的最小值，上式变形[（a-b）+（b-c）][ 1a-b+1b-c]展开后利用重要不等式求出选C，利用不等式2求最
值例子很多……，但利用不等式1，a2+b2≥2ab，a，b 是实数题型也有，例如：
在△ABC中，A，B，C所对边 a，b，c若a2+b2=2c2，求cosC最小值为（）
A . 32 B. 22 C. 12 D. -12
解这道题先用余弦定理cosC=a2+b2-c22ab，再利用不等式1放缩a2+b2-c22ab≥
a2+b2-c2a2+b2=c22c2=12，选C
方法五：利用函数求导方法求最值
例求函数f（x）=x3+x2-x在[-2，1]上最大值与最小值，先求f（x）的导，y′=3x2+2x-1，令y′=0求根x1=-1，x2=13，再求f（-2），f（-1），f（13），f（1）的函数值。再选出函数值最大的、最小的。
求式子最值的方法很多，比如换元法，数形结合等，具体问题具体解决。比如求圆上一点到圆外直线距离最大、最小，只求圆心到直线距离加半径或减半径，表面上是考查点到直线距离公式，实际上可以归纳到利用几何意义求最值，通过平时练习作题中，接触到许多求最值例子，一定要根据题特征，利用牢固基本知识、定义、定理性质，采取恰当方法来解决，但最常见的还是上面几种求最值的方法了。
六年级下册数学试题-奥数思维训练：-3：巧算的方法（含答案）全国通用 巧算的方法同学们，能够在看似无序的算式中寻找到一定的规律，化繁为简，那么一定能够增强你学习数学的信心、兴趣和能力。 智慧姐姐 例题精选⑴ 9＋99＋999 ⑵ 84＋83＋78＋79＋80＋77 【思路点睛】⑴ 方法一：把9、99、999分别看作10、100、1000进行相加。因为每个加数都多加了1，所以要再从它们的和中减去3。 9＋99＋999 ＝10＋100＋1000－3 ＝1110－3 ＝1107 方法二：从9中分出1加给99，再分出1加给999。 9＋99＋999 ＝7＋100＋1000 ＝1107 ⑵ 观察这6个的数大小，你会发现这些数的大小相差不大，都接近80，我们可以先把这几个数都看作是80，先求6个80的和，然后再将原来的数逐一和80相比，比80大几的，就再加几，比80小几的就再减几。这种巧算的方法就叫“找基准数”。 84＋83＋78＋79＋80＋77 ＝80×6＋（4＋3－2－1－3） ＝480＋1 ＝481 思维体操
1．399＋298＋197＋96 2．199＋1999＋19999 3．31＋28＋29＋30＋32＋33 4．68＋71＋72＋70＋69＋68＋71 例题精选⑴ 355＋82－123＋645－182－77 ⑵ 578＋（122－46）－（198＋54） 【思路点睛】⑴ “355”与“＋645”，合起来凑整；“＋82”与“－182”加减抵消，减数大，抵消之后仍然减；“－123”与“－77”，合成“－200”。 355＋82－123＋645－182－77 ＝1000－100－200 ＝700 ⑵ 在计算有括号的运算时，先算括号里的，但有时可以先去掉括号，然后进行运算会更加简便。去括号时，如果括号前面是加号，可直接去掉括号，其它都不变；如果括号前面是减号，那么去括号后，原括号里面的运算符号要变号，加号变减号，减号变加号。 578＋（122－46）－（198＋54） ＝578＋ 122－46 － 198－54 ＝700―100―198 ＝600－200＋2 ＝402 思维体操1．735－326－274 2．1409－579＋79 3．684－65＋26＋74－135
小学数学中的几种巧算 一、十几乘十几的巧算 口诀：头乘头是高位积，尾加尾是中积，尾乘尾是末尾的积。最后再排列，遇到满十的向前位进一就是了。 例如：12×13=156方法：头乘头1×1=1；尾相加2+3=5；尾相乘2×3=6。最后再排列起来就是156。 15×17=255方法：头乘头1×1=1；尾相加5+7=12；尾相乘5×7=35，最后排列时，高位积本是1，要加进上来的中位积12中的1，就是2了；中位积本是2，加尾积进上来的3就是5了；末尾积就是5。就是255。 说明：这种巧算只限于十几乘十几 二、多位数与11相乘的巧算 例如：36×11=396方法：首积照着写3，中积是3+6=9，尾积照着写6就是了。遇到要进位的同上向前一位进一就是了。 2476×11=3236方法：首积本是2，但后面的4+7=11，要向前一位进1，首积就成了2；中间依次写是4+7=11，个位是1本应该写1，可后面的7+6=13又向前一位进1，所以就写2，再写3；尾积就是原来数中的尾数6了。 说明：这种方法掌握好了，可以大大的提高运算速度，同样像乘22，33，88等一系列的乘法都可以运用此法，因为22可以分解为11×2、33可以分解为11×3…… 三、首数相同，尾数之和为十的两位数乘两位数的巧算 口诀例如：26×24=624方法：首数2+1=3，3×2=6；6×4=24；排列起来就是624。 85×85=7225方法：首数8+1=9，9×8=72；5×5=25；排列起来就是7225。 说明：这种方法只限于首数相同，尾数互补（相加为10）的两位数乘两位数。当然也能灵活的运用的，如42×例如：34×74=2516方法：3×7+4=25这前积；4×4=16为后积，相连就是2516。 57×57=3249方法：5×5+7=32是前积；7×7=49是后积，相连就是3249。
浅谈求最值问题的几种方法 摘要：最值问题综合性强, 涉及到中学数学的许多分支, 因而这类问题题型广, 知识面宽,而且在解法上灵活多样, 能较好体现数学思想方法的应用. 在历年的高考试题中, 既有基础题, 也有一些小综合的中档题, 更有一些以难题的形式出现. 解决这类问题要掌握多方面的知识, 综合运用各种数学技巧, 灵活选择合理的解题方法, 本文就几类最值问题作一探求. 关键词：数学；函数；最值；最大值；最小值 1. 常见函数的最值问题. 1.1 一次函数的最大值与最小值. 一次函数b kx y +=在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的, 但是, 如果对自变量 x 的取值范围有所限制时, 一次函数就可能有最大值和最小值了. 例1. 设0>a 且 a ≠1,)1(1 x a ax y -+=,(0≤x ≤1),求y 的最大值与最小值. 解: )1(1x a ax y -+=可化为：.1 )1(a x a a y +-=下面对一次项系数分两种情况讨论： （1）当a ＞1时，a -a 1＞0,于是函数a x a a y 1 )1(+-=的函数值是随着x 的增加而增加的,所 以 当x =0时,y 取最小值 a 1; 当x =1时,y 取最大值a . （2）当0＜a ＜1时,01<-a a ,于是函数a x a a y 1 )1(+-=的函数值是随着x 的增加而减少的,所以 当x =0时,y 取最大值 a 1; 当x =1时,y 取最小值. 例2. 已知z y x ,,是非负实数,且满足条件 .503,30=-+=++z y x z y x 求z y x u 245++=的最大值和最小值. 分析： 题设条件给出两个方程,三个未知数z y x ,,，当然， z y x ,,的具体数值是不能求出的.但是,我们固定其中一个，不防固定x ，那么z y ,都可以用x 来表示，于是u 便是x 的函数了（需注意x 的取值范围），从而我们根据已知条件，可求出u 的最大值与最小值.
六年级奥数速算、巧算方法及习题 姓名 成绩 一、认真思考，对号入座：（共30分） （1）一个圆的周长是6.28米，半径是（1米）。 （2）一块周长是24分米的正方形铁板，剪下一个最大的圆，圆的面积是（28.26平方分米）。 （3）一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要9小时完成。甲、乙合做2小时，完成了这项工程的（5/9），余下的由甲单独做，还要（8/3）小时完成。 （4）以“万”为单位，准确数5万与近似数5万比较最多相差（0.5万）。 （5）在推导圆的面积公式时，将圆等分成若干份，拼成一个近似的长方形，已知长方形的长比宽多6.42厘米，圆的面积是（28.26）平方厘米。 （6）已知：a ×23 ＝b ×135 ＝c ÷23 ，且a 、b 、c 都不等于0，则a 、b 、c 中最小的数是（b ）。 （7）甲是乙的15 ，乙是丙的15 ，则甲是丙的（1/25）。 （8）六年级共有学生180人，选出男生的 131和5名女生参加数学比赛，剩下的男女 人数相等。六年级有男生（91）人。 （9）今年王萍的年龄是妈妈的3 1,二年前母子年龄相差24岁,四年后小萍的年龄是(16)岁。 （10）六(1)班男生的一半和女生的 41共16人,女生的一半和男生的4 1共14人,这个班(40)人。 （11）把一个最简分数的分母缩小到原来的1/3，分子扩大到原来的3倍，这个分数的值15/2，这个最简分数是（5/6）。 （12）一个真分数，分子和分母的和是33，如分子减2，分母增加4，约简后是2/3，原分数是（16/17）。
（13）一件工作，甲做3天，乙做5天可完成1/2；甲做5天，乙做3天可完成1/3。那么，甲乙合做（9.6）天可完成。 （14）把20克药粉放入180克水中，药粉占药水的（1/10）。 （15）一桶水连桶共重1734 千克,把水倒出13 后,重1214 千克,空桶重（5/4）千克。 二、看清题目，巧思妙算：（共27分） （1）计算下列各题 [28÷[7.8]×5] [7×[9.3]－2.3] [13.8÷[313 ]×12] =20 =60 =55 （2）3000以内有多少个数能被11整除？ [3000/11]=272 （3）有13个自然数，它们的平均值精确到小数点后一位数是18.6，那么精确到小数点后三位数是多少？ 18.55×13?13个自然数的和?18.64×13 241.15?13个自然数的和?242.32 242÷13≈18.615 （4）用最简便的方法计算。 138 7131287÷+? 6.63×45+4.37÷145 -45 =7/8 =450 (435 ×3.62+4.6×61350 )÷23 (12 +1112 )÷219 ÷(2-0.25) =4.6×9.88÷23 =19/12×9/19×7/4
人力资源需求预测的常用方法 1.管理人员判断法 管理人员判断法，即企业各级管理人员根据自己的经验和直接，自下而上确定未来所需人员。这是一种粗浅的人力需求预测方法，主要适用于短期预测。 2.经验预测法 经验预测法也称比率分析，即根据以往的经验对人力资源需求进行预测。 由于不同人的经验会有差别，不同新员工的能力也有差别，特别是管理人员、销售人员，在能力、业绩上的差别更大。所以，若采用这种方法预测人员需求，要注意经验的积累和预测的准确度。 3.德尔菲法 德尔菲法（Delphi Method）是使专家们对影响组织某一领域发展（如组织将来对劳动力的需求）达成一致意见的结构化方法。该方法的目标是通过综合专家们各自的意见来预测某一领域的发展趋势。具体来说，由人力资源部作为中间人，将第一轮预测中专家们各自单独提出的意见集中起来并加以归纳后反馈给他们，然后重复这一循环，使专家们有机会修改他们的预测并说明修改的原因。一般情况下重复3~5次之后，专家们的意见即趋于一致。 这里所说的专家，可以是来自一线的管理人员，也可以是高层经理；可以是企业内部的，也可以是外请的。专家的选择基于他们对影响企业的内部因素的了解程度。 4.趋势分析法 这种定量分析方法的基本思路是：确定组织中哪一种因素与劳动力数量和结构的关系最密切，然后找出这一因素随聘用人数而变化的趋势，由此推断出未来人力资源的需求。 选择与劳动力数量有关的组织因素是需求预测的关键一步。这个
因素至少应满足两个条件： 第一，组织因素应与组织的基本特性直接相关 第二，所选因素的变化必须与所需人员数量变化成比例。 有了与聘用人数相关的组织因素和劳动生产率，我们就能够估计出劳动力的需求数量了。 在运用趋势分析法做预测时，可以完全根据经验估计，也可以利用计算机进行回归分析。 所谓回归分析法，就是利用历史数据找出某一个或几个组织因素与人力资源需求量的关系，并将这一关系用一个数学模型表示出来，借助这个数学模型，就可推测未来人力资源的需求。但此过程比较复杂，需要借助计算机来进行。
常用的巧算和速算方法 【顺逆相加】用“顺逆相加”算式可求出若干个连续数的和。例如著名的大数学家高斯（德国）小时候就做过的“百数求和”题，可以计算为 所以，1＋2＋3＋4＋……＋99＋100 =101×100÷2 =5050。 又如，计算“3+5+7+………＋97+99=？”，可以计算为 所以，3+5＋7＋……＋97+99=（99＋3）×49÷2= 2499。 这种算法的思路，见于书籍中最早的是我国古代的《张丘建算经》。张丘建利用这一思路巧妙地解答了“有女不善织”这一名题： “今有女子不善织，日减功，迟。初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫。问织几何？” 题目的意思是：有位妇女不善于织布，她每天织的布都比上一天减少一些，并且减少的数量都相等。她第一天织了5尺布，最后一天织了1尺，一共织了30天。问她一共织了多少布？ 张丘建在《算经》上给出的解法是： “并初末日织尺数，半之，余以乘织讫日数，即得。”“答曰：二匹一丈”。 这一解法，用现代的算式表达，就是
1匹=4丈，1丈=10尺， 90尺=9丈=2匹1丈。（答略） 张丘建这一解法的思路，据推测为： 如果把这妇女从第一天直到第30天所织的布都加起来，算式就是 5＋…………＋1 在这一算式中，每一个往后加的加数，都会比它前一个紧挨着它的加数，要递减一个相同的数，而这一递减的数不会是个整数。 若把这个式子反过来，则算式便是 1+………………＋5 此时，每一个往后的加数，就都会比它前一个紧挨着它的加数，要递增一个相同的数。同样，这一递增的相同的数，也不是一个整数。 假若把上面这两个式子相加，并在相加时，利用“对应的数相加和会相等”这一特点，那么，就会出现下面的式子： 所以，加得的结果是6×30=180（尺） 但这妇女用30天织的布没有180尺，而只有180尺布的一半。所以，这妇女30天织的布是 180÷2=90（尺） 可见，这种解法的确是简单、巧妙和饶有趣味的。
统计分析的八种方法 统计分析的八种方法一、指标对比分析法指标对比分析法，又称比较分析法，是统计分析中最常用的方法。是通过有关的指标对比来反映事物数量上差异和变化的方法。有比较才能鉴别。单独看一些指标，只能说明总体的某些数量特征，得不出什么结论性的认识；一经过比较，如与国外、外单位比，与历史数据比，与计划相比，就可以对规模大小、水平高低、速度快慢作出判断和评价。 指标分析对比分析方法可分为静态比较和动态比较分析。静态比较是同一时间条件下不同总体指标比较，如不同部门、不同地区、不同国家的比较，也叫横向比较；动态比较是同一总体条件不同时期指标数值的比较，也叫纵向比较。这两种方法既可单独使用，也可结合使用。进行对比分析时，可以单独使用总量指标或相对指标或平均指标，也可将它们结合起来进行对比。比较的结果可用相对数，如百分数、倍数、系数等，也可用相差的绝对数和相关的百分点（每1％为一个百分点）来表示，即将对比的指标相减。 二、分组分析法指标对比分析法是总体上的对比，但组成统计总体的各单位具有多种特征，这就使得在同一总体范围内的各单位之间产生了许多差别，统计分析不仅要对总体数量特征和数量关系进行分析，还要深入总体的内部进行分组分析。分组分析法就是根据统计分析的目的要求，把所研究的总体按照一个或者几个标志划分为若干个部分，加以整理，进行观察、分析，以揭示其内在的联系和规律性。 统计分组法的关键问题在于正确选择分组标值和划分各组界限。 三、时间数列及动态分析法时间数列。是将同一指标在时间上变化和发展的一系列数值，按时间先后顺序排列，就形成时间数列，又称动态数列。它能反映社会经济现象的发展变动情况，通过时间数列的编制和分析，可以找出动态变化规律，为预测未来的发展趋势提供依据。时间数列可分为绝对数时间数列、相对数时间数列、平均数时间数列。 时间数列速度指标。根据绝对数时间数列可以计算的速度指标：有发展速度、增长速度、平均发展速度、平均增长速度。 动态分析法。在统计分析中，如果只有孤立的一个时期指标值，是很难作出判断的。如果编制了时间数列，就可以进行动态分析，反映其发展水平和速度的变化规律。 进行动态分析，要注意数列中各个指标具有的可比性。总体范围、指标计算方法、计算价格和计量单位，都应该前后一致。时间间隔一般也要一致，但也可以根据研究目的，采取不同的间隔期，如按历史时期分。为了消除时间间隔期不同而产生的指标数值不可比，可采用年平均数和年平均发展速度来编制动态数列。此外在统计上，许多综合指标是采用价值形态来反映实物总量，如国内生产总值、工业总产值、社会商品零售总额等计算不同年份的发展速度时，必须消除价格变动因素的影响，才能正确的反映实物量的变化。
常用的巧算和速算的方法 1、顺逆相加 1+ 2 + 3+ 4+ 5+……+100 +100+99+ 98+ 97+ 96+……+1 101+ 101+101+101+101+……+101 101×100÷2 =5050 举一反三 3+5+7+……+97+99= 2、分组计算 4.75-9.64+8.25-1.36=_____. 3.17-2.74+ 4.7+ 5.29-0.26+ 6.3=_____ 3、乘法分配律与结合律 (5.25+0.125+5.75)?8=_____. 34.5?8.23-34.5+2.77?34.5= 19.98?37-199.8?1.9+1998?0.82=_____. 常用的整十整百整千 :_________________________________________________ 4、由小推大 计算“100×100”的方阵的和 1 2 3 4 5 6 (100) 2 3 4 5 6 7 (101) 3 4 5 6 7 8 (102) 4 5 6 7 8 9 (103) 5 6 7 8 9 10 (104) 6 7 8 9 10 11 (105) ……………………… 100 101 102 103 104 105 (199) 先化大为小 计算“5?5”的方阵 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 5 6 7 8 9 对角线上五个5之和为25 ，五个斜行每个斜行数之和都为25，所以“5?5”方阵和为25×5=125 即 5?5×5=53=125 所以，“100×100”的方阵和为1003=1000 000 5、凑整方法 计算13.5?9.9+6.5?10.1=_____. 1.5×105= 104× 2.5= 2.5×32×12.5= 举一反三 计算 25×12 = 125×72 = 17×32-17×22= 3200÷4÷25 = 6、整体思想 计算 32.14+64.28?0.5378?0.25+0.5378?64.28?0.75-8?64.28?0.125?0.5378. 原式=32.14+64.28?0.5378?(0.25+0.75-8?0.125) =32.14+64.28?0.5378?0 =32.14 举一反三 (1) 计算 （2+3.15+5.87）×(3.15+5.87+7.32)-(2+3.15+5.87+7.32) ×(3.15+5.87) 的值 7、拆数加减 12 +16 + 112 +120 + 1 30 + 142 + 156 + 172 + 1 90 = 11×2 + 1 2×3 + 13×4 + 1 4×5 + 1 5×6 + 1 6×7 + 17×8 + 18×9+ 19×10 =（1-1 2）+（1 2?1 3）+(13?14)+(1 4?1 5)+(1 5?1 6)+(1 6?1 7)+(1 7?1 8)+ (1 8?1 9)+（1 9?1 10）
常见的预测方法 一、外推法 这是利用过去的资料来预测未来状态的方法。它是基于这样的认识：承认事物发展的延续性，同时考虑到事物发展中随机因素的影响和干扰。其最大优点是简单易行，只要有有关过去情况的可靠资料就可对未来做出预测。其缺点是撇开了从因果关系上去分析过去与未来之间的联系，因而长期预测的可靠性不高。外推法在短期和近期预测中用的较多。其中常用的一种方法是时间序列法。 时间序列法是按时间将过去统计得到的数据排列起来，看它的发展趋势。时间序列最重要的特征是它的数据具有不规则性。为了尽可能减少偶然因素的影响，一般采用移动算术平均法和指数滑动平均法。 1．移动算术平均法。移动算术平均法是假设未来的状况与较近时期有关，而与更早的时期关系不大。一般情况下，如果考虑到过去几个月的数据，则取前几个月的平均值。 2．指数滑动平均法。指数滑动平均法只利用过去较近的一部分时间序列。当时间序列已表现出某种规律性趋势时，预测就必须考虑这些趋势的意义，因此要采用指数滑动平均法。指数滑动平均法是对整个时间序列进行加权平均，其中的指数为0～1之间的小数，一般取0.7～0.8左右。 二、因果法 因果法是研究变量之间因果关系的一种定量方法。变量之间的因果关系通常有两类：一类是确定性关系，也称函数关系；另一类是不确定性关系，也称相关关系。因果法就是要找到变量之间的因果关系，据此预测未来。 1．回归分析法。没有因果关系的预测只是形式上的一种预测，而找出因果关系的预测才是本质的预测。回归分析法就是从事物变化的因果关系出发来进行的一种预测方法，不仅剔除了不相关的因素，并且对相关的紧密程度加以综合考虑，因而其预测的可靠性较高。 回归分析的做法是：首先进行定性分析，确定有哪些可能的相关因素，然后收集这些因素的统计资料，应用最小二乘法求出各因素（各变量）之间的相关系数和回归方程。根据这个方程就可预测未来。在技术预测中，多元回归分析很有价值。
专题：基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式： ①，、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③， 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链： b a 11 2 +2 a b +≤≤≤2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞ ；单调递减区间：(0, ，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 解析：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 1≥312≥+52=， 当且仅当 2 11 (1) 22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①2 3 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析：① 3 0,3202 x x <<->∴， ∴2 3(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3(32)[ ]13 x x x ++-≤=， 当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2x x x =??22231sin sin 2cos 4( )2327 x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π < < tan x ?=tan x arc =时 “=”号成立，故 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ，求4 ()f x x x =+ )10(≤
速算与巧算 1、凑整：43+88+57 2、带符号搬家：43+88-33 3、变加为乘： 8+8+8+8+8+8+8+7 4、加减抵消： 92-16+23-23+16 5、减法巧算： 100-36-24，88-（28+15） 6、找基准数： 52+50+49+46 7、分组： 90-89+88-87+86-85+84-83 8、等差数列（高斯公式）： 1+2+3+……+998+999+1000 单数项的等差数列： 3+5+7+9+11 = 7×5 9、金字塔数列： 1+2+3+……+98+99+100+99+98+……+3+2+1 速算第一步：观察！ （是否能用公式，数字有什么特点，符号有什么特点，是否有别的简便方法……） 速算思想： 1、“整”比“散”好！（100+200 比 156+288好算） 2、“小”比“大”好！（1+2 比 1257+3658好算） 掌握理论： （理论对于三年级的孩子来说比较晦涩，通过简单的例子让他们记忆深刻，会用就可以了） 1、加法交换律：1+2 = 2+1 2、加法结合律：（1+2）+3 = 1+（2+3） 3、带符号搬家：加减法中数字就像逛超市，每人推着自己的小车，去哪儿都推着（即符号 在前面） 43+88-33 = 43-33+88 = 88+43-33 5、减括号：5+（3-2）= 5+3-2， 5-（3+2）=5-3-2=5-（3+2 一、分组凑整法 例：（1350+249+468）+（251+332+1650） =1350+249+468+251+332+1650 =（1350+1650）+（249+251）+（468+332） =3000+500+800 =4300 894-89-111-95-105-94 =（894-94）-（89+111）-（95+105） =800-200-200 =400 567+231-267+269 =（567-267）+（231+269） =300+500 =800
求三角函数值域及最值的常用方法 （一）一次函数型 或利用：=+ =x b x a y cos sin )sin(22?+?+x b a 化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512 y x π =-- +，x x y cos sin = （3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2 π 上的最小值为 1 ． （4）函数tan( )2 y x π =- (4 4 x π π - ≤≤ 且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-?+∞ （二）二次函数型 利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。 （2）函数)(2cos 2 1 cos )(R x x x x f ∈- =的最大值等于43． （3）.当2 0π < （三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解 型如d x c b x a x f ++= cos sin )(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法： ①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值； ②利用万能公式求解； ③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。 例1：求函数sin cos 2 x y x = -的值域。 解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2 x y x = -得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为3 3 -、 33。结合图形可知，此函数的值域是33 [,]33 - 。 解法2：将函数sin cos 2x y x =-变形为cos sin 2y x x y -=，∴22s i n ()1y x y φ+= +由2 |2||sin()|11y x y φ+= ≤+22(2)1y y ?≤+，解得：3333 y - ≤≤，故值域是33 [,]33- 解法3：利用万能公式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =-得到2 213t y t =--则有2 320yt t y ++=知：当0t =，则0y =，满足条件；当0t ≠，由2 4120y =-≥△，3333 y ?-≤≤，故所求函数的值域是33[,]33-。 解法4：利用重要不等式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x = -得到2 213t y t =--当0t =时，则0y =，满足条件；当0t ≠时， 22 113(3) y t t t t = =---+，如果t > 0，则2223113233(3)y t t t t ==-≥-=---+， x Q P y O 丁继葳 六、由小推大：一种数学思维方法，也是一种速算、巧算技巧。 遇到有些题数目多，关系复杂时，我们可以从数目较小的特殊情况入手，研究题目特点，找出一般规律，再推出题目的结果。例如： （1）计算下面方阵中所有的数的和。 这是个“100×100”的大方阵，数目很多，关系较为复杂。不妨先化大为小，再由小推大。先观察“5×5”的方阵，如下图（图4.1）所示。 容易看到，对角线上五个“5”之和为25。这时，如果将对角线下面的部分（右下部分）用剪刀剪开，如图4.2 那样拼接，那么将会发现，这五个斜行，每行数之和都是25。所以，“5×5”方阵的所有数之和为25×5=125，即53=125。很容易推出大的数阵“100×100”的方阵所有数之和为1003=1，000，000。 七、巧妙试商：除数是两位数的除法，可以采用一些巧妙试商方法，提高计算速度。 （1）用“商五法”试商。 当除数（两位数）的10 倍的一半，与被除数相等（或相近）时，可以直接试商“5”。如70÷14=5，125÷25=5。 当除数一次不能除尽被除数的时候，有些可以用“无除半商五”。“无除”指被除数前两位不够除，“半商五”指若被除数的前两位恰好等于（或接近）除数的一半时，则可直接商“ 5”。例如：1248÷24=52，2385÷45=53 （2）同头无除商八、九。 “同头”指被除数和除数最高位上的数字相同。“无除”仍指被除数前两位不够除。这时，商定在被除数高位数起的第三位上面，再直接商8 或商9。 例如：5742÷58=99，4176÷48=87。 （3）用“商九法”试商。 当被除数的前两位数字临时组成的数小于除数，且前三位数字临时组成的数与除数之和，大于或等于除数的10 倍时，可以一次定商为“9”。 一般地说，假如被除数为m，除数为n，只有当9n≤m＜10n 时，n 除m 的商才是9。同样地，10n≤m＋n＜11n。这就是我们上述做法的根据。 例如：4508÷49=92，6480÷72=90。 （4）用差数试商。 当除数是11、12、13…………18 和19，被除数前两位又不够除的时候，可以用“差数试商法”，即根据被除数前两位临时组成的数与除数的差来试商的方法。若差数是1 或2，则初商为9；差数是3 或4，则初商为8；差数是5 或 16种常用的数据分析方法汇总 2015-11-10 分类：数据分析评论(0) 经常会有朋友问到一个朋友，数据分析常用的分析方法有哪些，我需要学习哪个等等之类的问题，今天数据分析精选给大家整理了十六种常用的数据分析方法，供大家参考学习。 一、描述统计 描述性统计是指运用制表和分类，图形以及计筠概括性数据来描述数据的集中趋势、离散趋势、偏度、峰度。 1、缺失值填充：常用方法：剔除法、均值法、最小邻居法、比率回归法、决策 树法。 2、正态性检验：很多统计方法都要求数值服从或近似服从正态分布，所以之前 需要进行正态性检验。常用方法：非参数检验的K-量检验、P-P图、Q-Q图、W 检验、动差法。 二、假设检验 1、参数检验 参数检验是在已知总体分布的条件下（一股要求总体服从正态分布）对一些主要的参数(如均值、百分数、方差、相关系数等）进行的检验。 1）U验使用条件：当样本含量n较大时，样本值符合正态分布 2）T检验使用条件：当样本含量n较小时，样本值符合正态分布 A 单样本t检验：推断该样本来自的总体均数μ与已知的某一总体均数μ0 (常为理论值或标准值)有无差别； B 配对样本t检验：当总体均数未知时，且两个样本可以配对，同对中的两者在 可能会影响处理效果的各种条件方面扱为相似； C 两独立样本t检验：无法找到在各方面极为相似的两样本作配对比较时使用。 2、非参数检验 非参数检验则不考虑总体分布是否已知，常常也不是针对总体参数，而是针对总体的某些一股性假设（如总体分布的位罝是否相同，总体分布是否正态）进行检验。 适用情况：顺序类型的数据资料，这类数据的分布形态一般是未知的。 A 虽然是连续数据，但总体分布形态未知或者非正态； B 体分布虽然正态，数据也是连续类型，但样本容量极小，如10以下； 主要方法包括：卡方检验、秩和检验、二项检验、游程检验、K-量检验等。 三、信度分析 检査测量的可信度，例如调查问卷的真实性。 分类： 1、外在信度：不同时间测量时量表的一致性程度，常用方法重测信度 2、内在信度；每个量表是否测量到单一的概念，同时组成两表的内在体项一致 性如何，常用方法分半信度。 四、列联表分析 用于分析离散变量或定型变量之间是否存在相关。 对于二维表，可进行卡方检验，对于三维表，可作Mentel-Hanszel分层分析。 列联表分析还包括配对计数资料的卡方检验、行列均为顺序变量的相关检验。 五、相关分析 研究现象之间是否存在某种依存关系，对具体有依存关系的现象探讨相关方向及相关程度。 1、单相关：两个因素之间的相关关系叫单相关，即研究时只涉及一个自变量和一个因变量； 2、复相关：三个或三个以上因素的相关关系叫复相关，即研究时涉及两个或两个以上的自变量和因变量相关； 求式子最值的几种常见的方法 我任教新教材已有二个轮回了，通过这几年教学和学习中，总结了几种求式子最值的常用方法，式子最值主要还是求函数最大值和最小值。 第一种方法是熟练利用基础函数的一些性质，基础函数包括指数函数、对数函数、幂函数、三角函数，这此函数图像和性质，学生必须牢牢记住掌握。比如二次函数在实数内求最值，只求对称轴函数值即可。再加上开口方向就定出最大或最小值。比如：y=sinx 有实数内求最大或最小值，掌握正弦函数性质，直接指出最大值是1，最小值是-1。若求基础函数在定义域内某一个区间内最值，就得看此区间函数单调情况再求最值。 方法二：利用单调性求最值，比如：y=1x-2在区间[3，4]上最值，先证明y=1x-2在[3，4]上是单调递减的，所以x=3时，y最大1，x=4时，y最小1/2。 方法三：利用线性规划求最值 例如：若变量x，y满足y≤1x+y≥0x-y-2≤0 则z=x-2y取值范围点。 A.[-1，3） B.[-3，1） C. [-3，3） D. [-1，1） 先画可行域，画直线x-2y=0，平移直线x-2y=0在可能域内求使，z= x-2y产生最值的最优解，代入z= x-2y，选C。 有些函数最值还可以把线性规划问题加深求非线性目标函数最值，常利用式子几何意义来求，如：已知实数x，y满足约束条件x≥-1y≥0x+y≥1 则（x+2）2+y2最小值是 解决这个问题利用几何意义在可行域内找一点到（-2，0）点距离平方最小，最后得9/2，这些类型还有利用斜率意义等。 方法四：利用不等式求最值 利用不等式求最值，常用基本不等式2，a>0，b>0，则a+b≥2ab这个式子必须有一个固定值，当a+b确定能求出，ab积最大值，当ab积固定时能求出a+b的最小值，但在a=b前提下。老师在教学中给同学总结一正、二定、三相等，例如：设a>b>c，n∈N且1a-b+1b-c ≥na-c恒成立，求n的最大值是（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 解决这道题实际上就是求（a-c）（1a-b+1b-c）的最小值，上式变形[（a-b）+（b-c）][ 1a-b+1b-c]展开后利用重要不等式求出选C，利用不等式2求最 小学数学速算与巧算方法例解【转】 速算与巧算 在小学数学中，关于整数、小数、分数的四则运算，怎么样才能算得既快又准确呢？这就需要我们熟练地掌握计算法则和运算顺序，根据题目本身的特点，综合应用各种运算定律和性质，或利用和、差、积、商变化规律及有关运算公式，选用合理、灵活的计算方法。速算和巧算不仅能简便运算过程，化繁为简，化难为易，同时又会算得又快又准确。 一、“凑整”先算 1.计算：（1）24+44+56 （2）53+36+47 解：（1）24+44+56=24+（44+56） =24+100=124 这样想：因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来. （2）53+36+47=53+47+36 =（53+47）+36=100+36=136 这样想：因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带着符号搬家，搬到+36前面；然后再把53+47的和算出来. 2.计算：（1）96+15 （2）52+69 解：（1）96+15=96+（4+11） =（96+4）+11=100+11=111 这样想：把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算. （2）52+69=（21+31）+69 =21+（31+69）=21+100=121 这样想：因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，再把31+69=100凑整先算. 3.计算：（1）63+18+19 （2）28+28+28 解：（1）63+18+19 =60+2+1+18+19 =60+（2+18）+（1+19） =60+20+20=100 这样想：将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算. （2）28+28+28 =（28+2）+（28+2）+（28+2）-6 =30+30+30-6=90-6=84 这样想：因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去. 二、改变运算顺序：在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序可改变 计算：（1）45-18+19 （2）45+18-19 解：（1）45-18+19=45+19-18 =45+（19-18）=45+1=46 这样想：把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1. （2）45+18-19=45+（18-19） 统计过程控制 1、统计过程控制的基本知识 1.1统计过程控制的基本概念 统计过程控制（Stastistical Process Control简称SPC）是为了贯彻预防原则，应用统计方法对过程中的各个阶段进行评估和监控，建立并保持过程处于可接受的并且稳定的水平，从而保证产品与服务符合规定要求的一种技术。 SPC中的主要工具是控制图。因此，要想推行SPC必须对控制图有一定深入的了解，否则就不可能通过SPC取得真正的实效。 对于来自现场的助理质量工程师而言，主要要求他们当好质量工程师的助手：（1）在现场能够较熟练地建立控制图； （2）在生产过程中对于控制图能够初步加以使用和判断； （3）能够针对出现的问题提出初步的解决措施。 大量实践证明，为了达到上述目的，单纯了解控制图理论公式的推导是行不通的，主要是需要掌握控制图的基本思路与基本概念，懂得各项操作的作用及其物理意义，并伴随以必要的练习与实践方能奏效。 1.2统计过程控制的作用 （1）要想搞好质量管理首先应该明确下列两点： ①贯彻预防原则是现代质量管理的核心与精髓。 ②质量管理学科有一个十分重要的特点，即对于质量管理所提出的原则、方针、目标都要科学措施与科学方法来保证他们的实现。这体现了质量管理学科的科学性。 为了保证预防原则的实现，20世纪20年代美国贝尔电话实验室成立了两个研究质量的课题组，一为过程控制组，学术领导人为休哈特；另一为产品控制组，学术领导人为道奇。其后，休哈特提出了过程控制理论以及控制过程的具体工具——控制图。道奇与罗米格则提出了抽样检验理论和抽样检验表。这两个研究组的研究成果影响深远，在他们之后，虽然有数以千记的论文出现，但至今仍未能脱其左右。休哈特与道奇是统计质量控制（SQC）奠基人。1931年休哈特出版了他的代表作《加工产品质量的经济控制》这标志着统计过程控制时代的开始。 常用的巧算和速算方法 小学数学速算与巧算方法例解【转】 速算与巧算 在小学数学中，关于整数、小数、分数的四则运算，怎么样才能算得既快又准确呢？这就需要我们熟练地掌握计算法则和运算顺序，根据题目本身的特点，综合应用各种运算定律和性质，或利用和、差、积、商变化规律及有关运算公式，选用合理、灵活的计算方法。速算和巧算不仅能简便运算过程，化繁为简，化难为易，同时又会算得又快又准确。 一、凑整”先算 1.计算：(1)24+44+56 (2)53+36+47 解：(1)24+44+56=24+ (44+56) =24+100=124 这样想：因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来. (2) 53+36+47=53+47+36 =(53+47 ) +36=100+36=136 这样想：因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带着符号搬家，搬到+36前面；然后再把53+47 的和算岀来. 2.计算：(1 ) 96+15 (2) 52+69 解：(1 ) 96+15=96+ ( 4+11 ) =(96+4 ) +11=100+11=111 这样想：把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算. (2) 52+69= ( 21+31 ) +69 =21+ (31+69 ) =21+100=121 这样想：因为69+3仁100，所以把52分拆成21与31之和，再把31+69=100凑整先算. 3.计算：(1 ) 63+18+19 (2) 28+28+28 解：(1) 63+18+19 =60+2+1+18+19 =60+ (2+18 ) + (1+19 ) =60+20+20=100 这样想：将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算. (2) 28+28+28 =(28+2 ) + (28+2 ) + (28+2 ) -6 =30+30+30-6=90-6=84 这样想：因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去. 二、改变运算顺序：在只有“+”、-'”号的混合算式中，运算顺序可改变 计算：(1) 45-18+19 (2) 45+18-19 解：( 1 ) 45-18+19=45+19-18 =45+ (19-18 ) =45+1=46 这样想：把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1. =45-1=44 这样想：加18减19的结果就等于减1. 三、计算等差连续数的和 相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如： 1，2, 3，4, 5，6，7，8，9 1，3, 5，7, 9 2，4, 6，8，10 3,6, 9, 12, 15 4,8, 12 , 16 , 20等等都是等差连续数. 1.等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个数，简记成： (1 )计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9 =5X9中间数是5 =45共9个数 (2)计算：1+3+5+7+9 =5X5中间数是5 =25共有5个数 (3)计算：2+4+6+8+10 =6X5中间数是6 =30共有5个数 (4)计算：3+6+9+12+15 =9X5中间数是9 =45共有5个数 (5)计算：4+8+12+16+20 =12X5中间数是12 =60共有5个数 2.等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数与末数之和乘以个数的一半，简记成： (1 )计算：小学十种常用速算与巧算方法 详
16种统计分析方法
求式子最值的几种常见的方法
(完整版)常用的巧算和速算方法
统计过程控制的几种常用方法
常用的巧算和速算方法
相关主题
文本预览