《医疗器械注册管理办法（修订草案）》
（征求意见稿）
第一章总则
第一条为规范医疗器械的注册管理，保证医疗器械的安全、有效，根据《医疗器械监督管理条例》，制定本办法。
第二条在中华人民共和国境内销售、使用的医疗器械均应当按照本办法的规定申请注册，未获准注册的医疗器械，不得销售、使用。
第三条医疗器械注册是指食品药品监督管理部门依照法定程序，根据医疗器械注册申请人的申请，对其针对拟上市销售、使用医疗器械的安全性、有效性、质量可控性进行的研究及其结果实施系统评价，以决定是否同意其申请的审批过程。
第四条医疗器械注册实行分类注册管理。
境内第一类医疗器械由设区的市级食品药品监督管理部门审查，批准后发给医疗器械注册证。
境内第二类医疗器械由省、自治区、直辖市食品药品监督管理部门审查，批准后发给医疗器械注册证。
境内第三类医疗器械由国家食品药品监督管理局审查，批准后发给医疗器械注册证。
进口医疗器械由国家食品药品监督管理局审查，批准后发给医疗器械注册证。
台湾、香港、澳门地区医疗器械的注册，参照进口医疗器械注册办理。
第二章基本要求
第五条医疗器械注册申请人（以下简称申请人）是指提出医疗器械注册申请，承担相应法律责任，并在该申请获得批准后持有注册证的机构。
境内申请人是指在中国境内合法登记的企业法人。
境外申请人是指在中国境外合法登记的企业法人。
办理医疗器械注册申请事务的人员应当具有相应的专业知识，熟悉医疗器械注册管理的法律、法规、规章和技术要求。
第六条未在中国境内设有办事机构的境外申请人应当在中国境内指定独立法人机构作为其代理人。
境外申请人办理进口医疗器械注册应当通过其在中国境内设立的办事机构或者其代理人办理。
第七条申请注册的进口医疗器械，应当是在出口国家或地区获得上市许可的医疗器械。
第八条境外申请人在中国境内的办事机构或其代理人应当承担以下责任：
（一）与相应注册管理部门、境外申请人的联络；
（二）上市后医疗器械不良事件信息的收集和报告；
（三）医疗器械上市后的产品召回；
（四）申请人保证产品质量和售后服务的连带责任。
第九条申请人应当按照医疗器械质量管理体系的相关要求提供售后服务，并在中国境内指定法人机构在医疗器械寿命期内做好售后服务工作。
第十条申请人在提出医疗器械注册申请前，应当完成医疗器械的研发，并保证其过程真实、规范，所有数据准确、完整和可溯源，以证明其拟上市医疗器械符合医疗器械安全性、有效性基本要求。
申请人应当对申请注册的医疗器械进行相关研究和风险分析，并对其安全性、有效性和质量可控性进行确认，提交技术性能、风险管理、临床资料、产品检测报告和质量管理体系自查报告等有关文件。
第十一条第二类、第三类医疗器械的产品检测报告应当由国家食品药品监督管理局认可的医疗器械检测机构出具。
申请人应当对其上市的医疗器械建立符合法规要求的质量管理体系，并保持有效运行。
第十二条申请人应当对拟注册的医疗器械编制注册产品标准的文件。
注册产品标准一般包括产品的命名规则、型号、规格、结构、组成、材料描述，反映产品特性的功能参数，为实现产品预期用途和安全性而必须具备或者达到的各项参数和特性，以及试验方法。
第十三条确定医疗器械注册单元，应根据医疗器械产品的技术结构、性能指标和预期用途等情况进行综合判定。
同一生产企业制造，设计和生产过程、预期用途均相同，只是形状、颜色、气味或大小不同的医疗器械，可以作为一个注册单元；为满足特定需要而包装在一起的医疗器械包可以作为一个注册单元；几个医疗器械组合使用以实现部分或全部预期功能而组成的医疗器械系统，可以作为一个注册单元。
已获准注册的医疗器械，其医疗器械注册证中的“性能结构及组成”栏内所列出的组合部件用于原有组合和原用途的，可以单独销售。
第十四条国家食品药品监督管理局建立医疗器械注册特别审批程序。对申请在中国境内生产，并且无同类产品上市，技术上和临床应用上有重大创新，具有自主知识产权的医疗器械，由国家食品药品监督管理局按照特别审批程序进行审批。
第十五条食品药品监督管理部门、相关技术机构及其工作人员，对申请人提交的实验数据和技术秘密具有保密义务。
第三章临床资料要求及管理
第十六条申请医疗器械注册一般需提供临床资料。临床资料是指申请人对通过临床试验和/或临床应用所获得的安全性和有效性信息进行评价所形成的文件。
需要进行临床试验的，提交的临床资料应当包括临床试验方案和临床试验报告。
食品药品监督管理部门认为必要时，可以要求提交临床试验合同、知情同意书和临床试验的原始记录。
第十七条申请医疗器械注册，第三类医疗器械需进行临床试验；第二类医疗器械一般需进行临床试验；第一类医疗器械不需要进行临床试验。
进行临床试验应当符合医疗器械临床试验管理的有关规定。
第十八条符合以下条件之一的第一类、第二类医疗器械注册申请，可以免于提交临床资料：
（一）产品工作（作用）机理明确、设计定型、工艺成熟，临床应用多年，不改变常规用途，且无严重不良事件记录。
（二）通过非临床评价可以充分证实产品安全性、有效性能够得到保证。
第十九条用于支持、维持生命的，或者境内市场上尚未出现的植入人体的医疗器械，其临床试验应当由国家食品药品监督管理局批准后进行，临床试验机构应当向其所在地省、自治区、直辖市食品药品监督管理部门备案；其它医疗器械临床试验，申请人和临床试验机构应当分别向其所在地省、自治区、直辖市食品药品监督管理部门备案。
临床试验审批和备案的有关要求，国家食品药品监督管理局另行规定。
第二十条省、自治区、直辖市食品药品监督管理部门负责本辖区内医疗器械临床试验的监督检查。
第四章注册申请与审批
第二十一条申请医疗器械注册，申请人应当按照本办法附件的要求报送申报资料。
申请境内第一类医疗器械注册，应当向申请人所在地设区的市级食品药品监督管理部门提出申请并报送申报资料。
申请境内第二类、第三类医疗器械注册，应当向申请人所在地省、自治区、直辖市食品药品监督管理部门提出申请并报送申报资料。
申请进口医疗器械注册，应当向国家食品药品监督管理局提出申请并报送申报资料。
第二十二条食品药品监督管理部门收到申请后进行形式审查，并根据下列情况分别作出处理：
（一）申请事项依法不属于其职权范围的，应当即时告知申请人不受理；
（二）申报资料存在可以当场更正的错误的，应当允许申请人当场更正；
（三）申报资料不齐全或者不符合法定形式的，应当当场或者在5个工作日内一次告知申请人需要补正的全部内容，逾期不告知的，自收到申报资料之日起即为受理；
（四）申请事项属于其职权范围，申报资料齐全、符合法定形式，或者申请人按照要求提交全部补正资料的，予以受理。
第二十三条设区的市级食品药品监督管理部门受理境内第一类医疗器械注册申请后，应当自受理申请之日起30个工作日内，完成技术审评，并在技术审评结束后30个工作日内作出是否批准的决定。予以批准的，发给《医疗器械注册证》；不予批准的，应当书面说明理由。
第二十四条省、自治区、直辖市食品药品监督管理部门受理境内第二类医疗器械注册申请后，应当自受理申请之日起60个工作日内，完成技术审评。在技术审评过程中，省、自治区、直辖市食品药品监督管理部门还应当按照国家食品药品监督管理局的规定组织进行质量管理体系检查。省、自治区、直辖市食品药品监督管理部门应当在技术审评结束后30个工作日内作出是否批准的决定。予以批准的，发给《医疗器械注册证》；不予批准的，应当书面说明理由。
第二十五条省、自治区、直辖市食品药品监督管理部门受理境内第三类医疗器械注册申请后，应当自受理之日起50个工作日内，按照国家食品药品监督管理局的规定组织进行质量管理体系检查，出具质量管理体系检查报告，将申报资料和质量管理体系检查报告报送国家食
品药品监督管理局医疗器械技术审评机构。
国家食品药品监督管理局医疗器械技术审评机构在收到报送的资料后，应当在150个工作日内完成技术审评，必要时可以要求申请人补充资料。
国家食品药品监督管理局医疗器械技术审评机构完成技术审评后，提出技术审评意见，连同相关资料报送国家食品药品监督管理局。
国家食品药品监督管理局在收到报送的资料后，应当在30个工作日内作出是否批准的决定。予以批准的，发给《医疗器械注册证》；不予批准的，应当书面说明理由。
第二十六条国家食品药品监督管理局受理进口医疗器械注册申请后，应当自受理申请之日起150个工作日内完成技术审评，并在技术审评结束后30个工作日内作出是否批准的决定。予以批准的，发给《医疗器械注册证》；不予批准的，应当书面说明理由。
对于第二类、第三类医疗器械，国家食品药品监督管理局还应当按照有关规定组织质量管理体系检查技术机构进行质量管理体系检查；质量管理体系检查应当自受理注册申请之日起90个工作日内完成。
第二十七条食品药品监督管理部门可以在批准医疗器械注册时提出附加要求，要求申请人在产品上市后完成相关工作。
第二十八条注册申报资料应当使用中文。根据外文资料翻译的申报资料，应当同时提供原文。注册申报资料应当完整、规范，数据必须真实、可靠。引用未公开发表的文献资料时，应当提供资料所有者许可使用的证明文件。
申请人应当对其注册申报资料的真实性负全部责任。
第二十九条医疗器械技术审评机构在对注册申报资料进行技术
审评时，需要申请人补充资料的，应当一次性发出书面补充资料通知。申请人应当在60个工作日内按照补充资料通知的要求一次性提交补充资料。申请人补充资料的时间不计算在审评时限内。
第三十条申请人对补充资料通知内容有异议的，可在收到补充资料通知后10个工作日内，向相应的技术审评机构提出书面意见，说明理由并提供相应的技术支持资料。
第三十一条申请人对补充资料通知内容未提出异议，并且未能在60个工作日内补充资料的，审评、审批部门应当予以退审。
第三十二条食品药品监督管理部门应当自作出审批决定之日起10个工作日内颁发、送达有关行政许可证件。
第五章变更申请与审批
第三十三条医疗器械注册申请批准后，发生登记事项和许可事项变更的，应当根据本办法规定向相应的食品药品监督管理部门提出变更申请。发生登记事项变更的，申请人应当自发生变化之日起30日内提出变更申请；发生许可事项变更的，申请人应当提出变更申请并在变更申请批准后实施。办理变更申请事项时，申请人应当按照本办法附件的相应要求提交申报资料。
第三十四条登记事项变更包括下列内容的变更：
（一）申请人名称；
（二）申请人注册地址；
（三）生产地址（文字性变更）；
（四）代理人。
第三十五条许可事项变更包括下列内容的变更：
（一）型号/规格；
（二）性能结构及组成；
（三）预期用途；
（四）生产地址（实质性变更）。
第三十六条变更生产地址（实质性变更）的许可事项变更，申请人需要按照本办法规定向相应的食品药品监督管理部门提交申请，相应的食品药品监督管理部门应进行质量管理体系检查。
第三十七条许可事项的变更如发生在注册证有效期届满前6个月内的，申请人可以在提出变更申请的同时一并提出重新注册申请。
第三十八条食品药品监督管理部门批准其变更申请的，发给《医疗器械变更申请批件》；不予批准的，应当书面说明理由。
《医疗器械变更申请批件》与原《医疗器械注册证》合并使用，其有效期限与原注册证相同。
第三十九条境内第一类医疗器械变更申请，由设区的市级食品药品监督管理部门受理、审查。
设区的市级食品药品监督管理部门受理境内第一类医疗器械登记事项变更申请后，应当在10个工作日内作出是否予以变更的决定。经审查符合规定予以变更的，发给《医疗器械变更申请批件》。经审查不符合规定的，作出不予变更的书面决定，并说明理由。
设区的市级食品药品监督管理部门受理境内第一类医疗器械许可事项变更申请后，应当自受理申请之日起30个工作日内，完成技术审评，并在技术审评结束后30个工作日内作出是否予以变更的决定。经审查符合规定予以变更的，发给《医疗器械变更申请批件》。经审查不
符合规定的，作出不予变更的书面决定，并说明理由。
第四十条境内第二类医疗器械变更申请，由省、自治区、直辖市食品药品监督管理部门受理、审查。
省、自治区、直辖市食品药品监督管理部门受理境内第二类医疗器械登记事项变更申请后，应当在10个工作日内作出是否予以变更的决定。经审查符合规定予以变更的，发给《医疗器械变更申请批件》。经审查不符合规定的，作出不予变更的书面决定，并说明理由。
省、自治区、直辖市食品药品监督管理部门受理境内第二类医疗器械许可事项变更申请后，应当自受理申请之日起60个工作日内，完成技术审评，并在技术审评结束后30个工作日内作出是否予以变更的决定。经审查符合规定予以变更的，发给《医疗器械变更申请批件》。经审查不符合规定的，作出不予变更的书面决定，并说明理由。
第四十一条境内第三类医疗器械登记事项变更申请，由省、自治区、直辖市食品药品监督管理部门受理、审查。
省、自治区、直辖市食品药品监督管理部门受理境内第三类医疗器械登记事项变更申请后，应当在10个工作日内作出是否予以变更的决定。经审查符合规定予以变更的，发给《医疗器械变更申请批件》，并于30个工作日内将《医疗器械变更申请批件》复印件报送国家食品药品监督管理局备案。经审查不符合规定的，作出不予变更的书面决定，并说明理由。
第四十二条境内第三类医疗器械许可事项变更中的生产地址实质性变更申请，由省、自治区、直辖市食品药品监督管理部门受理、审查。
省、自治区、直辖市食品药品监督管理部门受理境内第三类医疗器
械生产地址实质性变更申请后，应当自受理申请之日起30个工作日内，完成技术审评，并在技术审评结束后30个工作日内作出是否予以变更的决定。经审查符合规定予以变更的，发给《医疗器械变更申请批件》，并于30个工作日内将《医疗器械变更申请批件》复印件报送国家食品药品监督管理局备案。经审查不符合规定的，作出不予变更的书面决定，并说明理由。
第四十三条境内第三类医疗器械许可事项变更中型号/规格、性能结构及组成、预期用途的变更申请，由国家食品药品监督管理局受理、审查。
国家食品药品监督管理局受理境内第三类医疗器械变更型号/规格、性能结构及组成、预期用途的变更申请后，应当自受理申请之日起120个工作日内，完成技术审评，并在技术审评结束后30个工作日内作出是否予以变更的决定。经审查符合规定予以变更的，发给《医疗器械变更申请批件》。经审查不符合规定的，作出不予变更的书面决定，并说明理由。
第四十四条进口医疗器械变更申请，由国家食品药品监督管理局受理、审查。
国家食品药品监督管理局受理进口医疗器械登记事项变更申请后，应当在10个工作日内作出是否予以变更的决定。经审查符合规定予以变更的，发给《医疗器械变更申请批件》。经审查不符合规定的，作出不予变更的书面决定，并说明理由。
国家食品药品监督管理局受理进口医疗器械许可事项变更申请后，应当自受理申请之日起120个工作日内，完成技术审评，并在技术审评结束后30个工作日内作出是否予以变更的决定。经审查符合规定予以
变更的，发给《医疗器械变更申请批件》。经审查不符合规定的，作出不予变更的书面决定，并说明理由。
第六章重新注册的申请与审批
第四十五条医疗器械注册证有效期5年。有效期届满，需要继续销售或者使用的，申请人应当在有效期届满前6个月内，根据本办法第四章规定向相应的食品药品监督管理部门提出重新注册申请，并按照本办法附件的相应要求提交申报资料。
第四十六条申请人提出重新注册申请并同时提出变更申请事项的，应当予以说明，并按照重新注册申请及变更申请的规定提交申报资料。
第四十七条有下列情形之一的，不予重新注册：
（一）未完成食品药品监督管理部门在批准上市时提出的要求的；
（二）未能履行产品质量责任，发生严重不良事件拒不报告，或对产品导致的严重后果未能及时有效处置的；
（三）申请人质量管理体系检查不符合要求的；
（四）经食品药品监督管理部门再评价后，认为产品不能保证安全、有效的；
（五）不符合食品药品监督管理部门规定的其他情形。
第四十八条设区的市级食品药品监督管理部门受理境内第一类医疗器械重新注册申请后，应当自受理申请之日起15个工作日内，完成技术审评，并在技术审评结束后30个工作日内作出是否批准的决定。予以批准的，发给《医疗器械注册证》；不予批准的，应当书面说明理
错位相减法求和专项．}{a分别是等差数列和等比数列，在应用过{ab}型数列，其中错位相减法求和适用于nn`nn 程中要注意： 项的对应需正确； 相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项； 若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为1 数列的前项已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数，1. 均在函数，点的图象上．和为 ）求数列Ⅰ（的通项公式； 是数列的前项和，求．（Ⅱ）设， [解析]考察专题：，，，；难度：一般 [答案] （Ⅰ）由于二次函数的图象经过坐标原点，
，，则设 ∴，∴， 又点均在函数的图象上， ∴． 时，，当∴ 又，适合上式，∴．．．．．．．．．．．．（7分） ，）知，Ⅰ）由（Ⅱ （． ∴， ∴， 上面两式相减得：
． 整理得．．．．．．．．．．．．．．（14分） 是数列的前n2.项和，且已知数列的各项均为正数， ． ）求数列的通项公式；1 （ ）的值.（2][答案查看解析 时，解出an = 1 = 3,] [解析（1）当12－①34S又= a + 2a nnn = + 2a－4s3 ②当时n-1n1－ 即，, －①② , ∴． （），
是以3为首项，2为公差的等差数列，6分 ． ）2③ （ 又④ ③④－ = 12分 设函数，19,12分）（2013年四川成都市高新区高三4月月考，3. ，数列前数列.项和，满足， ）求数列的通项公式；（Ⅰ
，证明：的前，数列.项和为（Ⅱ）设数列的前项和为 ，得由Ⅰ[答案] () 为公比的等比数列，故.是以 ）由（Ⅱ得， …， …+，记
用错位相减法可求得： （注：此题用到了不等式：进行放大. . ） 与的等比中项．4.已知等差数列是中，； ）求数列的通项公式：（Ⅰ 项和Ⅱ）若的前．求数列 （ 的等比中项．所以，是（[解析]Ⅰ）因为数列与是等差数列，
— 1. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244S S =,122+=n n a a (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式 (Ⅱ)设数列{}n b 满足 *12 12 1 1,2 n n n b b b n N a a a +++ =-∈ ，求{}n b 的前n 项和n T 2. （2012年天津市文13分） 已知{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，{n b }是等比数列,且1a =1=2b ，44+=27a b ，44=10S b -. (Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式； (Ⅱ)记1122=++ +n n n T a b a b a b ，+n N ∈，证明1+18=n n n T a b --+(2)n N n >∈，。 … 【答案】解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 由1a =1=2b ，得3 44423286a d b q s d =+==+，，。
由条件44+=27a b ，44=10S b -得方程组 3 3 23227 86210 d q d q ?++=??+-=??，解得 3 2d q =??=?。 ∴+ 312n n n a n b n N =-=∈，，。 (Ⅱ)证明：由（1）得，()23225282132n n T n =?+?+?+-?+ ①； ∴()234+12225282132n n T n =?+?+?+?+- ②； 由②－①得， ： ()()234+1122232323+2332n n n T n =-?-?+?+?-+??+ ()()()()()()+12341+1+1+1+11=4+323222+2412111=4+323=4+32+1232142 =8+3=+8 n n n n n n n n n n n n a b ----?+++??---? --?----- ∴1+18=n n n T a b --+ (2)n N n >∈，。 3.（2012年天津市理13分）已知{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，{n b }是等比数列,且1a =1=2b ，44+=27a b ，44=10S b -. (Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式； (Ⅱ)记1121=++ +n n n n T a b a b a b -，+n N ∈，证明:+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈. 【答案】解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 由1a =1=2b ，得3 44423286a d b q s d =+==+，，。 & 由条件44+=27a b ，44=10S b -得方程组 3 3 23227 86210 d q d q ?++=??+-=??，解得 3 2d q =??=?。 ∴+ 312n n n a n b n N =-=∈，，。 (Ⅱ)证明：由（1）得，231212222n n n n n T a a a a --=+++?+ ①；[
错位相减法求和专项 错位相减法求和适用于{a n'b n}型数列，其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意： 项的对应需正确； 相减后应用等比数列求和部分的项数为(n-1)项； 若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为1 1.已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数/■］■:I “亠］,数列?的前 项和为，点均在函数：=y：/.：：的图象上? (I)求数列的通项公式; (n)设，,■是数列的前」项和，求?’? ［解析］考察专题：2.1 , 2.2 , 3.1 , 6.1 ;难度：一般 ［答案］(I)由于二次函数-的图象经过坐标原点， 则设, 又点「均在函数的图象上， 二当心时,?、、= J ；：? ；?■■■ L］ 5 T
又忙：=.：「=乜，适合上式,
I ............................................... （7 分） （n）由（i）知 - 2 - :' 2 - ：......................................... |；■：■: 2 ? ? ：' - 'I+（2?+ l）^"kl,上面两式相减得 =3 21 +2 （21 +23十…4『r）-（2打+ 】 卜2* 4屮一才丨, , : ■ . 1=2 整理得：，?................. 2.已知数列’的各项均为正数，是数列’ （14 分）的前n项和，且 （1）求数列’的通项公式； （2）二知二一- ［答案］查看解析 解出a i = 3, ［解 析］ 又4S n = a n? + 2a n —3 ①
数列练习题 一、单选题 1．设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为（ ） A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 二、填空题 2．已知公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，首项12a =，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则7S 的值为___________. 三、解答题 3．正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12461,4a S S S =+=． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a n +的前n 项和n T ． 4．已知公差不为零的等差数列{}n a 满足132a a =，是1a 与7a 的等比中项． （1）求{}n a 的通项公式； （2）是否存在n 值，使得{}n a 的前n 项和27n S =？
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 5．已知在递增等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3是a 1和a 9的等比中项． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若112 n a n n n b a a +=+?，求数列{b n }的前n 项和S n ． 6．已知n S 为{}n a 的前n 项和，{}n b 是等比数列且各项均为正数，且23122n S n n =+，12b =，2332 b b +=. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）记()41n n n a c b += ，求数列{}n c 的前n 项和n T .
7．已知数列{}n a 的前n 项和243n S n n =-+，求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值. 8．已知等差数列{}n a 满足23a =，4822a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1 1n n n b a a += ，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 9．已知数列{}n a 的前n 项的和235n S n n =+． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设1 3n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和．
特定数列求和法—错位相减法 在高中所学的数列求合的方法有很多，比如倒序相加法、公式法、数学归纳法、裂项相消法、错位相减法等等，在此处我们就只着重讲解一种特定数列求和的方法——错位相减法。那到底什么是错位相减法呢？现在咱们来回忆当初学习等比数列时老师是怎么一步步推导出等比数列的求和公式的，下面是推导过程： 数列{}n a 是由第一项为1a ，且公比为q 的等比数列，它的前n 项和是 111121...n n a a q a q a q s -=++++ ，求 n s 的通项公式。 解 由已知有 111121...n n a a q a q a q s -=++++， ○ 1 两端同乘以q ，有 ○ 1-○2得 当1q =时，由○ 1可得 当1q ≠时，由○ 3可得 于是 1(1)n s na q == 或者 11(1)1n n a a q s q q -=≠- 通过上述推导过程老师运用了一种特殊的推导方法将本来很复杂的运算简化了，从而得到等比数列的求和公式，这种方法叫错位相减法，那我们是不是遇到复杂的运算就都可以用这种方法呢？答案当然不是，我们仔细观察这推导过程，就会发现其实错位相减法是用来计算一个等比数列乘以一个等差数列而成的复杂数列的。可以归纳数学模型如下： 已知数列{}n a 是以1a 为首项，d 为公差的等差数列，数列{}n b 是以1b 为首项，(1)q q ≠为公比的等比数列，数列n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和. 解 由已知可知 两端同乘以q 可得 = 11223311...n n n n n qc a b q a b q a b q a b q a b q --=+++++
专项训练:错位相减法 目录 1.(2003北京理16) (2) 2.(2005全国卷Ⅰ) (2) 4.(2005湖北卷) (2) 5.(2006安徽卷) (2) 6.(2007山东理17) (2) 7.2007全国1文21) (2) 8.(2007江西文21) (2) 9.(2007福建文21) (2) 10.(2007安徽理21) (3) 11.(2008全国Ⅰ19) (3) 12.(2008陕西20) (3) 13.(2009全国卷Ⅰ理) (3) 14.(2009山东卷文) (3) 15.(2009江西卷文) (3) 16.(2010年全国宁夏卷17) (3) 17.(2011辽宁理17) (4) 18.(2012天津理) (4) 19.2012年江西省理 (4) 20.2012年江西省文 (4) 21.2012年浙江省文 (4) 22.(2013山东数学理) (4) 23.(2014四川) (4) 24.(2014江西理17) (5) 25.(2014安徽卷文18) (5) 26.(2014全国1文17) (5) 27.(2014四川文19) (5) 28.(2015山东理18) (5) 29.(2015天津理18) (5) 30.(2015湖北,理18) (5) 31.(2015山东文19) (5) 32.(2015天津文18) (6) 33.(2015浙江文17) (6) 专项训练错位相减法答案 (7)
已知数列{}n a 是等差数列且12a =,12312a a a ++= (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)令()n b a x x R =?∈ 数列{}b 的前n 项和的公式 在等差数列{}n a 中,11a =,前n 项和n S 满足条件 242 ,1,2,1 n n S n n S n +==+L , (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)记(0)n a n n b a p p =>,求数列 b 的前n 项和n T ? 设{}n a 为等比数列,11a =,23a =. (1)求最小的自然数n ,使2007n a ≥; (2)求和:212321232n n n T a a a a = -+--L . 9.(2007福建文21) 数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,* 12()n n a S n +=∈N . (1)求数列{}n a 的通项n a ; (2)求数列{}n na 的前n 项和n T .
数列专练（裂项相消法） 1. 已知数列{}n a 的前项和2 2n S n n =+； （1）求数列的通项公式n a ；（2）设1234 1 23111 1 n n n T a a a a a a a a +=++++ ，求n T ． 2. 已知数列{}n a 的前项和为n S ，且满足213 (1,) 22n S n n n n N *=+≥∈ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n T 为数列? ?? ??? +11n n a a 的前n 项和，求使不等式20121005>n T 成立的n 的最小值. 2. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()11 1,2,3, 2 n n a S n +==． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）当()312 log 3n n b a +=时，求证：数列11n n b b +??? ??? 的前n 项和1n n T n = +. 3. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点), (n s n n 在直线2 1121+=x y 上，数列{}n b 满足0212=+-++n n n b b b ，() *N n ∈，113=b ，且其前9项和为153. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设) 12)(112(3 --=n n n b a c ，求数列{}n c 前n 项的和n T . 4. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-，(1,2,3)n =???；数列{}n b 中，11,b = 点 1(,)n n P b b +在直线20x y -+=上．
错位相减法求和专题训练 1．已知数列{}n a 满足22,{ 2,n n n a n a a n ++=为奇数为偶数 ，且*12,1,2n N a a ∈==. (1)求 {}n a 的通项公式； (2)设* 1,n n n b a a n N +=?∈，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ； (3)设()2121n n n n c a a -=?+-，证明： 123 111154 n c c c c ++++ < 2．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足37a =， 2 1691n n a S n +=++， *n N ∈. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若正项等比数列{}n b 满足1132,b a b a ==，且n n n c a b =?，数列{}n c 的前n 项和为n T . ①求n T ； ②若对任意2n ≥， *n N ∈，均有()2 563135n T m n n -≥-+恒成立，求实数m 的取值范 围. 3．已知*n N ∈，设n S 是单调递减的等比数列{}n a 的前n 项和， 112 a = 且224433,,S a S a S a +++成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列{}n na 的前n 项和为n T ，求证：对于任意正整数n ， 1 22 n T ≤<. 4．递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且26S =， 430S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12 log n n n b a a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求1 250n n T n ++?>成立的正整数n 的 最小值. 5．已知数列{}n a 及()2 12n n n f x a x a x a x =++ +，且()()11?n n f n -=-, 1,2,3, n =. （1）求123a a a ，，的值； （2）求数列{}n a 的通项公式；
错位相减法的运用 错位相减法是一种常用的数列求和方法， 形如{}n n b a 的数列，其中{n a }为等差数列，{}n b 为等比数列；分别列出n S ，再把所有式子同时乘以等比数列的公比q ，即n qS ；然后错一位，两式相减即可。适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和。 典型例题： 例 1. （2012年四川省文12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，常数0λ>，且 11n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立。 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设10a >，100λ=，当n 为何值时，数列1 {lg }n a 的前n 项和最大？ 【解析】（I ）由题意，n=1时，由已知可知11(2)0a a λ-=，分类讨论：由1a =0及1a 0≠，结合数列的和与项的递推公式可求。 （II ）由10a >且100λ=时，令1 lg n n b a =，则2lg 2n b n =-，结合数列的单调性可 求和的最大项 。 【答案】解：（Ⅰ）取n=1，得2 1112=2a S a λ=，∴11(2)0a a λ-=。 若1a =0，则1S =0, 当n 2≥时，1=0n n n a S S --=。 若1a 0≠，则12 a λ = ， 当n 2≥时，22n n a S λ=+，112 2n n a S λ --=+， 两个相减得：12n n a a -=，∴n 2n a λ = 。∴数列{}n a 公比是2的等比数列。 综上所述，若1a =0, 则 n 0a =；若1a 0≠，则n 2n a λ =。 （Ⅱ）当10a >且100λ=时，令1 lg n n b a =，则2lg 2n b n =-。 ∴{}n b 是单调递减的等差数列（公差为－lg2） 则 b 1>b 2>b 3>…>b 6=01lg 64100 lg 2 100lg 6 =>=； 当n≥7时，b n ≤b 7=01lg 128100 lg 2 100lg 7=<=。 ∴数列{lg n a 1}的前6项的和最大，即当n =6时，数列1 {lg }n a 的前n 项和最大。 【考点】等差数列、等比数列、对数等基础知识，分类与整合、化归与转化等数学思想的应 用。 例2. （2012年天津市理13分）已知{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，{n b }是等比数列,且1a =1=2b ，44+=27a b ，44=10S b -. (Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式； (Ⅱ)记1121=+++n n n n T a b a b a b -L ，+ n N ∈，证明+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈.
数列综合练习（一） 1．等比数列前n 项和公式： (1)公式：S n ＝???? a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1) na 1 (q ＝1) . (2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况． 2．若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 1 1－q (1－q n )＝A (q n －1)．其中 A ＝a 1 q －1 . 3．推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和． 4．拆项成差求和经常用到下列拆项公式： (1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1 ； 一、选择题 1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5 S 2 等于( ) A ．11 B ．5 C ．－8 D ．－11 答案 D 解析 由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0， ∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25 ) a 1(1－22) ＝－11. 2．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10 S 5 等于( ) A ．－3 B ．5 C ．－31 D ．33 答案 D 解析 由题意知公比q ≠1，S 6 S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3) 1－q ＝1＋q 3＝9， ∴q ＝2，S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5) 1－q ＝1＋q 5 ＝1＋25＝33. 3．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4 a 2 等于( ) A ．2 B ．4 C.152 D.172
错位相减法数列求和十题 1.设正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且a3=4，S2=3． 2.（1）求数列{a n}的通项公式； 3.（2）令b n=(2n-1)a n(n∈N*)，求数列{b n}的前n项和为T n． 4.已知函数f（x）=x2+2x，数列{a n}的前n项和为S n，对一切正整数n，点P n（n，S n）都 在函数f（x）的图象上，且过点P n（n，S n）的切线的斜率为k n． 5.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=2kn?a n，求数列{b n}的前n项和T n． 6.数列的前项和为,且是和的等差中项，等差数列满足 ? 7.（1）求数列、的通项公式 8.（2）设=，求数列的前项和. 9.（本小题满分12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n是S n与2的等差中项，数列 {b n}中，b1=1，点P（b n，b n+1）在直线上。 10.（1）求a1和a2的值；???? 11.（2）求数列{a n}，{b n}的通项a n和b n； 12.（3）设c n=a n·b n，求数列{c n}的前n项和T n. 13.已知数列{a n}的前n项和为S n，点（a n+2，S n+1）在直线y=4x-5上，其中n∈N*．令 b n=a n+1-2a n．且a1=1．求数列{b n}的通项公式；若f（x）=b1x+b2x2+b3x3+…+b n x n，计算f′ （1）的结果． 14.已知数列的前项和，数列满足 15.（1）求数列的通项公式;（2）求数列的前项和; 16.（3）求证：不论取何正整数，不等式恒成立 17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，满足a1=1，S6=36，数列{b n}是等比数列且满足b1+b2=3， b4+b5=24。 18.（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式； 19.（2）设c n=1+a n·b n，求c n的前n项和T n。 20.已知等差数列{a n}的公差d不为0，设S n=a1+a2q+…+a n q n-1，T n=a1-a2q+…+（-1）n-1a n q n-1， q≠0，n∈N*， 21.(1)若q=1，a1=1，S3=15，求数列{a n}的通项公式； 22.(2)若a1=d，且S1，S2，S3成等比数列，求q的值； 23.(3)若q≠±1，证明(1-q)S2n-(1+q)T2n=，n∈N*。
例1. 设数列{}n a 的前n 项和n s ，数列{}n s 的前n 项和为{}n T ，满足 2*2,n n T S n n N =-∈． （1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式． 例2. 已知数列{}n a 的前n 项和212 n S n kn =-+（其中k N +∈），且n S 的最大值为8。 （1）确定常数k ，并求n a ；（2）求数列92{ }2n n a -的前n 项和n T 。 例 3. 已知数列{}n a 的前n 项和n n S kc k =-（其中c ，k 为常数），且 263=4=8a a a ， （1）求n a ；（2）求数列{}n na 的前n 项和n T 。 例8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =22n n +，n ∈N ﹡，数列{b n }满足a n =4log 2b n ＋3，n ∈N ﹡. （1）求a n ，b n ；（2）求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 1.已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若312S =，且1232,,1a a a +成等比数列. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记3n n n a b = 的前n 项和为n T ，求n T . 2.在数列}{n a 中，41 , 4111==+n n a a a 已知，*)(log 324 1N n a b n n ∈=+. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求证：数列}{n b 是等差数列； （3）设数列n n n n b a c c ?=满足}{，求{}n c 的前n 项和n S . 3．已知数列{}n b 前n 项和n n S n 2 123 2-=.数列{}n a 满足 )2(3 4+-=n b n a )(*∈N n ，数列{}n c 满足n n n b a c =。 （1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；
错位相减法求和专题训练 2018.1.20 1．已知数列{}n a 满足22,{ 2,n n n a n a a n ++=为奇数为偶数 ，且*12,1,2n N a a ∈==. (1)求 {}n a 的通项公式； (2)设* 1,n n n b a a n N +=?∈，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ； (3)设()2121n n n n c a a -=?+-，证明： 123 111154 n c c c c ++++ < 2．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足37a =， 2 1691n n a S n +=++， *n N ∈. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若正项等比数列{}n b 满足1132,b a b a ==，且n n n c a b =?，数列{}n c 的前n 项和为n T . ①求n T ； ②若对任意2n ≥， *n N ∈，均有()2 563135n T m n n -≥-+恒成立，求实数m 的取值范 围. 3．已知*n N ∈，设n S 是单调递减的等比数列{}n a 的前n 项和， 112 a = 且224433,,S a S a S a +++成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列{}n na 的前n 项和为n T ，求证：对于任意正整数n ， 1 22 n T ≤<. 4．递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且26S =， 430S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12 log n n n b a a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求1 250n n T n ++?>成立的正整数n 的 最小值. 5．已知数列{}n a 及()2 12n n n f x a x a x a x =++ +，且()()11?n n f n -=-, 1,2,3, n =. （1）求123a a a ，，的值； （2）求数列{}n a 的通项公式；
错位相减法是一种常用的数列求和方法， 形如{}n n b a 的数列，其中{n a }为等差数列，{}n b 为等比数列；分别列出n S ，再把所有式子同时乘以等比数列的公比q ，即n qS ；然后错一位，两式相减即可。适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和。 典型例题： 例 1. （2012年四川省文12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，常数0λ>，且 11n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立。 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设10a >，100λ=，当n 为何值时，数列1 {lg }n a 的前n 项和最大？ 【答案】解：（Ⅰ）取n =1，得2 1112=2a S a λ=，∴11(2)0a a λ-=。 若1a =0，则1S =0, 当n 2≥时，1=0n n n a S S --=。 若1a 0≠，则12 a λ = ， 有 当n 2≥时，2 2n n a S λ = +，112 2n n a S λ --= +， 两个相减得：12n n a a -=，∴n 2n a λ = 。∴数列{}n a 公比是2的等比数列。 综上所述，若1a =0, 则 n 0a =；若1a 0≠，则n 2n a λ =。 （Ⅱ）当10a >且100λ=时，令1 lg n n b a =，则2lg 2n b n =-。 ∴{}n b 是单调递减的等差数列（公差为－lg2） 则 b 1>b 2>b 3>…>b 6=01lg 64100 lg 2 100lg 6 =>=； 当n ≥7时，b n ≤b 7=01lg 128100lg 2 100lg 7 =<=。 ∴数列{lg n a 1}的前6项的和最大，即当n =6时，数列1 {lg }n a 的前n 项和最大。 【考点】等差数列、等比数列、对数等基础知识，分类与整合、化归与转化等数学思想的应用。