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1.
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且244S S =,122+=n n a a (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式 (Ⅱ)设数列{}n b 满足
*12
12
1
1,2
n n n b b b n N a a a +++
=-∈ ,求{}n b 的前n 项和n T
2. (2012年天津市文13分)
已知{n a }是等差数列,其前n 项和为n S ,{n b }是等比数列,且1a =1=2b ,44+=27a b ,44=10S b -. (Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式; (Ⅱ)记1122=++
+n n n T a b a b a b ,+n N ∈,证明1+18=n n n T a b --+(2)n N n >∈,。
…
【答案】解:(1)设等差数列的公差为d ,等比数列的公比为q ,
由1a =1=2b ,得3
44423286a d b q s d =+==+,,。
由条件44+=27a b ,44=10S b -得方程组
3
3
23227
86210
d q d q ?++=??+-=??,解得 3 2d q =??=?。 ∴+
312n n n a n b n N =-=∈,,。
(Ⅱ)证明:由(1)得,()23225282132n n T n =?+?+?+-?+ ①; ∴()234+12225282132n n T n =?+?+?+?+- ②; 由②-①得,
:
()()234+1122232323+2332n n n T n =-?-?+?+?-+??+
()()()()()()+12341+1+1+1+11=4+323222+2412111=4+323=4+32+1232142
=8+3=+8
n n n n n n n n n n n n a b ----?+++??---?
--?-----
∴1+18=n n n T a b --+
(2)n N n >∈,。
3.(2012年天津市理13分)已知{n a }是等差数列,其前n 项和为n S ,{n b }是等比数列,且1a =1=2b ,44+=27a b ,44=10S b -.
(Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式; (Ⅱ)记1121=++
+n n n n T a b a b a b -,+n N ∈,证明:+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈.
【答案】解:(1)设等差数列的公差为d ,等比数列的公比为q ,
由1a =1=2b ,得3
44423286a d b q s d =+==+,,。
&
由条件44+=27a b ,44=10S b -得方程组
3
3
23227
86210
d q d q ?++=??+-=??,解得 3 2d q =??=?。 ∴+
312n n n a n b n N =-=∈,,。
(Ⅱ)证明:由(1)得,231212222n
n n n n T a a a a --=+++?+ ①;[
∴234+1
12122222n n n n n T a a a a --=+++?+ ②;
由②-①得,
()()()()234112232112+222+22n n n n n n n n n n T a a a a a a a a a a b -----=--+-+-+?-+ ()()23423412+232323+2322=2+4+3222+2412=2+4+3=2+412+62=2+4+612
12
=2+1012
n n n n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b b a b -=-?+?+?+??+?-?+++??--?
--?-----
"
∴+12=2+10n n n T a b -+
()n N ∈。
4.(2012年江西省理12分)已知数列{}n a 的前n 项和2
12
n S n kn =-+(其中k N +∈)
,且n S 的最大值为8。 (1)确定常数k ,并求n a ; (2)求数列92{
}2
n
n
a -的前n 项和n T 。 【答案】解:(1)当n =k N +∈时,S n =-12n 2+kn 取最大值,即8=S k =-12k 2+k 2
=12
k 2,
∴k 2
=16,∴k =4。
∴1n n n a S S -=-=9
2-n (n ≥2)。
又∵a 1=S 1=72,∴a n =9
2
-n 。
[
(2)∵设b n =9-2a n 2n =n 2n -1,T n =b 1+b 2+…+b n =1+22+322+…+n -12n -2+n
2n -1,
∴T n =2T n -T n =2+1+12+…+12n -2-n 2n -1=4-12n -2-n 2n -1=4-n +2
2
n -1。
【考点】数列的通项,递推、错位相减法求和,二次函数的性质。 【解析】(1)由二次函数的性质可知,当n =k N +∈时,2
12
n S n kn =-
+取得最大值,代入可求k ,然后利用1n n n a S S -=-可求通项,要注意1n n n a S S -=-不能用来求解首项1a ,首项1a 一般通过11a S =来求解。
(2)设b n =9-2a n 2n =n
2
n -1,可利用错位相减求和即可。
5.(2009山东高考)等比数列{n a }的前n 项和为n S , 已知对任意的*
n N ∈点(,)n n S ,均在函数(0
x
y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上. (1)求r 的值;
(2)当2b =时,记 *1
()4n n
n b n N a +=
∈,求数列{}n b 的前n 项和n T ~
【解析】因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ,均在函数(0x
y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.
所以得n
n S b r =+,当1n =时,11a S b r ==+,
当2n ≥时,111
1()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-, 又因为{n a }为等比数列, 所以1r =-, 公比为b , 所以1
(1)n n a b b -=-
(2)当b=2时,11
(1)2n n n a b b --=-=, 11
111
4422n n n n n n n b a -++++=
==? 则234123412222n n n T ++=
++++ 345
12
1
234
1
222222n n n n n T +++=
++++
+
相减,得2345121211111
2222222
n n n n T +++=+++++-
31211(1)112212212
n n n -+?-++--12311422n n n +++=--
所以1131133
22222
n n n n n n T ++++=--=-
6. (山东理)设数列{}n a 满足2
1
123333
3
n n n a a a a -++++=
…,a ∈*
N . (Ⅰ)求数列{}n a 的通项; (Ⅱ)设n n
n
b a =
,求数列{}n b 的前n 项和n S . (Ⅰ)2112333...3,3n n n a a a a -+++=22
1231133...3(2),3
n n n a a a a n ---+++=≥
1113(2).333n n n n a n --=-=≥1(2).3n n a n =≥验证1n =时也满足上式,*1
().3
n n a n N =∈
(Ⅱ) 3n n b n =?,232341
132333...33132333...3n n n n S n S n +=?+?+?+?=?+?+?+? 231
233333n n n S n +-=+++-?
11332313n n n S n ++--=-?-, 1113
33244
n n n n S ++=?-?+?