递推最小二乘法的一般步骤：
1. 根据输入输出序列列出最小二乘法估计的观测矩阵?：
] )(u ... )1( )( ... )1([)(T b q n k k u n k y k y k ------=?
没有给出输出序列的还要先算出输出序列。
本例中， 2)]-u(k 1),-u(k 2),-1),-y(k -[-y(k )(T =k ?。
2. 给辨识参数θ和协方差阵P 赋初值。一般取0θ=0或者极小的数，取σσ,20I P =特别
大，本例中取σ=100。
3. 按照下式计算增益矩阵G ：
)
()1()(1)()1()(k k P k k k P k G T ???-+-= 4. 按照下式计算要辨识的参数θ：
)]1(?)()()[()1(?)(?--+-=k k k y k G k k T θ?θθ
5. 按照下式计算新的协方差阵P ：
)1()()()1()(---=k P k k G k P k P T ?
6. 计算辨识参数的相对变化量，看是否满足停机准则。如满足，则不再递推；如不满足，
则从第三步开始进行下一次地推，直至满足要求为止。
停机准则：ε???<--)
(?)1(?)(?max k k k i i i i 本例中由于递推次数只有三十次，故不需要停机准则。
7. 分离参数：将a 1….a na b 1….b nb 从辨识参数θ中分离出来。
8. 画出被辨识参数θ的各次递推估计值图形。
为了说明噪声对递推最小二乘法结果的影响，程序5-7-2在计算模拟观测值时不加噪声， 辨识结果为a1 =1.6417，a2 = 0.7148，b1 = 0.3900，b2 =0.3499，与真实值a1 =1.642， a2 = 0.715， b1 = 0.3900，b2 =0.35相差无几。
程序5-7-2-1在计算模拟观测值时加入了均值为0，方差为0.1的白噪声序列，由于噪声
的影响，此时的结果为变值，但变化范围较小，现任取一组结果作为辨识结果。辨识结果为a1 =1.5371， a2 = 0.6874， b1 = 0.3756，b2 =0.3378。
程序5-7-2-2在计算模拟观测值时加入了有色噪声，有色噪声为
E(k)+1.642E(k-1)+0.715E(k-2)，E(k)是均值为0，方差为0.1的白噪声序列，由于有色噪声的影响，此时的辨识结果变动范围远比白噪声时大，任取一组结果作为辨识结果。辨识结果为a1 =1.6676， a2 = 0.7479， b1 = 0.4254，b2 =0.3965。
可以看出，基本的最小二乘法不适用于有色噪声的场合。
广义最小二乘法适用于AR 模型，它的基本思想在于对数据先进行一次白化滤波处理，然后利用基本的最小二乘法对滤波后的数据进行辨识。
广义最小二乘法的递推算法步骤如下：
1. 给定初始条件：
???????====I
)0(P 0
)0(?(I )0(P 0)0(?(e))(2(f)e θσσθ特别大）或者极小值
2.利用
?????==--)
()()()()()(1(f)1(f)k u z C k u k y z C k y 计算)()(k y f 及)()(k u f 。
3.利用 ] )(...u )1( )( ... )1([)(T )()()()()(b f f q f f f n k k u n k y k y k ------=?
构造滤波后的观测矩阵)()(k f ?。
本例中， 2)]-(k u 1),-(k u 2),-(k 1),-y -(k [-y )(T )()()()()(f f f f f k =?。
4.利用下式估计递推计算1
?+N θ ????
?????---=+-=--+-=)()()()()()()()()()()()()()()1()()()1()()()(1)()1()()]1(?)()([)()1(?)(?f T f f f f f N f T f f f f T f f f k P k k G k P k P k P k k k P k G k k k y k G k k ????θ?θθ 5.由新得到的)(?k θ
计算出新的残差估计值)(?k e ，并构造残差数据向量 由滤波前的观测向量
] )(u ... )1( )( ... )1([)(T b a n k k u n k y k y k ------=?计算出新的残差估计值)(?k e
)(?)()()(?k k k y k e
T θ?-= 残差数据向量T c e n k e k e
k )](? ... )1(?[)()(----=?。 6. 利用下式估计递推计算)()(?e k θ
????
?????---=-+-=--+-=)()()()()()(1)()()()()()()()()()()1()()()1()()()1()(1)()1()(])1(?)()(?[)()1(?)(?e T e e e e e e T e e e e e T e e e e k P k k G k P k P k k P k k k P k G k k k e k G k k ????θ?θθ 7.返回第2步进行迭代计算，直至获得满意的辨识结果。
程序5-7-4使用广义最小二乘法，得到的结果为a1 =1.6363，a2 =0.7172，b1 = 0.3679，b2 = 0.3603，c0 =-0.6951， c1 =-0.0214，结果a1、a2、b1、b2与真实值结果a1 =1.642， a2 = 0.715， b1 = 0.39，b2 =0.35较为接近，但c0、c1与真实值1、-0.4相差较远。
三、 增广最小二乘法
增广最小二乘法是最小二乘法的一种推广，它只是扩充了参数向量θ和数据向量)(k ?的
维数，在辨识过程中考虑了噪声模型的参数，适用于MA 模型。
增广最小二乘法的一般步骤如下：
1.根据输入输出序列以及噪声序列列出增广最小二乘法估计的数据向量?：
] )( ... )1( )( )(u ... )1( )( ... )1([)(T d b a n k k k n k k u n k y k y k --------=εεε?
没有给出输出序列的还要先算出输出序列。
本例中， ])2(, )1(, )( 2),-u(k 1),-u(k 2),-1),-y(k -[-y(k )(T --=k k k k εεε?。
9. 给辨识参数θ和协方差阵P 赋初值。一般取0θ=0或者极小的数，取σσ,20I P =特别
大，本例中取σ=100。
10. 按照下式计算增益矩阵G ：
)
()1()(1)()1()(k k P k k k P k G T ???-+-= 11. 按照下式计算要辨识的参数θ：
)]1(?)()()[()1(?)(?--+-=k k k y k G k k T θ?θθ
12. 按照下式计算新的协方差阵P ：
)1()()()1()(---=k P k k G k P k P T ?
13. 计算辨识参数的相对变化量，看是否满足停机准则。如满足，则不再递推；如不满足，
则从第三步开始进行下一次地推，直至满足要求为止。
停机准则：ε???<--)
(?)1(?)(?max k k k i i i i 本例中由于递推次数只有三十次，故不需要停机准则。
14. 分离参数：将a 1….a na b 1….b nb d 1…d nd 从辨识参数θ中分离出来。
15. 画出被辨识参数θ的各次递推估计值图形。
由以上可见，递推增广最小二乘法的算法与基本最小二乘法的递推算法形式是一致的，只是参数向量θ和数据向量)(k ?的维数扩充了m 维。
程序5-7-5在是运用增广最小二乘法来辨识系统参数，得到的结果为a1 =1.6412，a2 = 0.7144，b1 = 0.3900，b2 =0.3497，d0=0.9992，d1=1.6417,d2=0.7145与真实值a1 =1.642， a2 = 0.715， b1 = 0.3900，b2 =0.35, d0=1，d1=a1=1.642,d2=a2=0.7145相差无几。
课题：《整式的乘法》小结与复习（1） 学习目标： 1、理解幂的运算性质、单项式乘法、多项式乘法法则。 2、掌握整式的乘法运算。 重点：掌握整式式的乘法法则并加以运用. 难点：理解整式乘法法则的推导过程和运用法则进行计算。 教学过程： 一、本章知识结构：（出示ppt课件） 用ppt课件，师生共同回忆本章的知识结构，提醒学生注意以下几个问题： 1、同底数幂的乘法和幂的乘方容易混淆，运算时要注意区分. 2、多项式与多项式相乘注意不要漏乘. 3、运用乘法公式进行运算，要把握公式的特征，灵活选用公式. 二、整式乘法的注要内容：（出示ppt课件） 1. 幂的运算性质： （1）同底数幂乘法的运算性质：a m · a n=a m+n（m、n都是正整数） 法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。 （2）幂的乘方运算法则：(a m)n=a mn（m，n都是正整数） 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 （3）积的乘方法则：(ab)n= a n b n（n为正整数）． 法则：积的乘方，先把积中各因式分别乘方，再把所得的幂相乘。（即等于积中各因式乘方的积。） 2、整式乘法： （1）单项式乘以单项式 法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母则连同它的指数不变，作为积的一个因式。 (2) 单项式乘以多项式 法则：单项式乘以多项式，就是根据分配律用单项式的去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 (3) 多项式乘以多项式 法则：多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 三、基础训练：（出示ppt课件） 1、判断下列各式是否正确。 (1) a3·a3=2a3(2) b4+b4=b8 (3) m2+m2=2m2 (4) (-x) 3·(-x) 2·(-x)=x6 (5) (a4) 4=a4+4=a8(6) [(b2) 3] 4=b2×3×4=b24 (7) (-x2) 2n-1=x4n-2(8) (a4) m=(a m) 4=(a2m) 2 2. 判断下列说法是否正确： （1）单项式乘以单项式，结果一定是单项式（） （2）两个单项式相乘，积的系数是两个单项式系数的积（） （3）两个单项式相乘，积的次数是两个单项式次数的积（）
递推最小二乘法推导（RLS）——全网最简单易懂的推导过程 作者：阿Q在江湖 先从一般最小二乘法开始说起 已知x和y的一系列数据，求解参数theta的估计。用矩阵的形式来表达更方便一些： 其中k代表有k组观测到的数据， 表示第i组数据的输入观测量，yi表示第i组数据的输出观测量。令： ，则最小二乘的解很简单， 等价于即参数解为：如果数据是在线的不断的过来，不停的采用最小二乘的解法来解是相当消耗资源与内存的，所
以要有一种递推的形式来保证对的在线更新。 进一步推导出递推最小二乘法（RLS） 我们的目的是从一般最小二乘法的解 推导出 的递推形式。一定要理解这里的下标k代表的意思，是说在有k组数据情况下的预测，所以k比k-1多了一组数据，所以可以用这多来的一组数据来对原本的估计进行修正，这是一个很直观的理解。下面是推导过程： 先看一般最小二乘法的解 下面分别对 和 这两部分进行推导变换，令
得到下面公式（1） 下面来变换得到公式（2） 下面再来，根据一般最小二乘法的解，我们知道下式成立，得到公式（3）（注：后续公式推导用到） 好了，有了上面最主要的三步推导，下面就简单了,将上面推导的结果依次代入公式即可：
至此，终于变成 的形式了。 通过以上推导，我们来总结一下上面RLS方程： 注：以上公式7中，左边其实是根据公式1，右边I为单位矩阵
公式（5）和（7）中，有些文献资料是用右边的方程描述，实际上是等效的，只需稍微变换即可。例如（5）式右边表达式是将公式（1）代入计算的。为简化描述，我们下面还是只讨论左边表达式为例。 上面第7个公式要计算矩阵的逆，求逆过程还是比较复杂，需要用矩阵引逆定理进一步简化。 矩阵引逆定理： 最终RLS的方程解为：
题目： （递推最小二乘法） 考虑如下系统： )()4(5.0)3()2(7.0)1(5.1)(k k u k u k y k y k y ξ+-+-=-+-- 式中，)(k ξ为方差为0.1的白噪声。 取初值I P 610)0(=、00=∧ ）（θ。选择方差为1的白噪声作为输入信号)(k u ，采用PLS 法进行参数估计。 Matlab 代码如下： clear all close all L=400; %仿真长度 uk=zeros(4,1); %输入初值：uk(i)表示u(k-i) yk=zeros(2,1); %输出初值 u=randn(L,1); %输入采用白噪声序列 xi=sqrt(0.1)*randn(L,1); %方差为0.1的白噪声序列 theta=[-1.5;0.7;1.0;0.5]; %对象参数真值 thetae_1=zeros(4,1); %（）θ初值 P=10^6*eye(4); %题目要求的初值 for k=1:L phi=[-yk;uk(3:4)]; %400×4矩阵phi 第k 行对应的y(k-1),y(k-2),u(k-3), u(k-4) y(k)=phi'*theta+xi(k); %采集输出数据 %递推最小二乘法的递推公式 K=P*phi/(1+phi'*P*phi); thetae(:,k)=thetae_1+K*(y(k)-phi'*thetae_1); P=(eye(4)-K*phi')*P; %更新数据 thetae_1=thetae(:,k); for i=4:-1:2 uk(i)=uk(i-1); end uk(1)=u(k); for i=2:-1:2 yk(i)=yk(i-1);
一、 递推最小二乘法 递推最小二乘法的一般步骤： 1. 根据输入输出序列列出最小二乘法估计的观测矩阵?： ] )(u ... )1( )( ... )1([)(T b q n k k u n k y k y k ------=? 没有给出输出序列的还要先算出输出序列。 本例中， 2)]-u(k 1),-u(k 2),-1),-y(k -[-y(k )(T =k ?。 2. 给辨识参数θ和协方差阵P 赋初值。一般取0θ=0或者极小的数，取σσ,20I P =特别大，本例中取σ=100。 3. 按照下式计算增益矩阵G ： ) ()1()(1)()1()(k k P k k k P k G T ???-+-= 4. 按照下式计算要辨识的参数θ： )]1(?)()()[()1(?)(?--+-=k k k y k G k k T θ?θθ 5. 按照下式计算新的协方差阵P ： )1()()()1()(---=k P k k G k P k P T ? 6. 计算辨识参数的相对变化量，看是否满足停机准则。如满足，则不再递推；如不满足， 则从第三步开始进行下一次地推，直至满足要求为止。 停机准则：ε???<--) (?)1(?)(?max k k k i i i i 本例中由于递推次数只有三十次，故不需要停机准则。 7. 分离参数：将a 1….a na b 1….b nb 从辨识参数θ中分离出来。 8. 画出被辨识参数θ的各次递推估计值图形。 为了说明噪声对递推最小二乘法结果的影响，程序5-7-2在计算模拟观测值时不加噪 声， 辨识结果为a1 =1.6417，a2 = 0.7148，b1 = 0.3900，b2 =0.3499，与真实值a1 =1.642， a2 = 0.715， b1 = 0.3900，b2 =0.35相差无几。 程序5-7-2-1在计算模拟观测值时加入了均值为0，方差为0.1的白噪声序列，由于噪 声的影响，此时的结果为变值，但变化范围较小，现任取一组结果作为辨识结果。辨识结果为a1 =1.5371， a2 = 0.6874， b1 = 0.3756，b2 =0.3378。 程序5-7-2-2在计算模拟观测值时加入了有色噪声，有色噪声为 E(k)+1.642E(k-1)+0.715E(k-2)，E(k)是均值为0，方差为0.1的白噪声序列，由于有色噪声的影响，此时的辨识结果变动范围远比白噪声时大，任取一组结果作为辨识结果。辨识结果为a1 =1.6676， a2 = 0.7479， b1 = 0.4254，b2 =0.3965。 可以看出，基本的最小二乘法不适用于有色噪声的场合。
八年级14.1整式的乘法知识点总结 【知识点一】整式的混合运算 例题一、计算：()()()2443][-a a a a -+-?? 例题二、计算：3 222132213??? ??-???? ??-+xy y y x 例题三、计算：()()()()y x y x y x y x 4333223+--++ 【知识点二】利用幂的运算法则解决问题 例题一、已知510=a ，610=b ，求b a 3210+的值。 例题二、解方程：486331222=-++x x 例题三、已知0352=-+y x ，求y x 324?的值。
【知识点三】整式除法的运用 例题一、已知()p n y mx y x y x 72323212--=?? ? ??-÷，求n,m,p 的值。 例题二、已知一个多项式与单项式457-y x 的积为()2 234775272821y x y y x y x +-，求这个多项式 【知识点四】整式化简求值 例题一、先化简，再求值： ()() ()x x x x x x x x -+-----321589622，其中61-=x 例题二、先化简，再求值： ()()()?? ? ??--++--+-y x x y x x y x y x 2563222，其中2,1=-=y x .
【知识点五】开放探求题 例题一、若多项式()()4 3 2 2+ - + +x x n mx x展开后不含有3x项和2x项，试求m,n的值。例题二、甲乙二人共同计算一道整式乘法：()()b x a x+ +3 2，由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为10 11 62- +x x；由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为10 9 22+ -x x。 （1）你能知道式子中b a,的值各是多少吗？ （2）请你计算出这道整式乘法的正确结果。 例题三、若x是整数，求证 1 21 22 3 + -+ -- x x x x x是整数。
14.1.4整式的乘法 教案 教学目标 1.知识与技能： （一）掌握单项式乘法的法则，会进行单项式的乘法运算； （二）掌握单项式与多项式的乘法法则，能熟练地进行有关计算； （三）掌握多项式的乘法法则，能熟练地进行多项式的乘法； （四）通过整式乘法中运算的转化体会数形结合，换元等数学方法和“转换”的数学思想. 2.过程与方法：通过讲练结合的方式，在复习单项式和多项式概念的基础上逐步讲解单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式三种整式乘法运算. 3.情感态度与价值观：营造积极活泼的课堂气氛，引导学生思考，并逐步学以致用. 教学重点 单项式乘多项式及多项式乘法中不要出现漏乘，多乘现象. 符号问题. 教学难点 单项式乘法法则，单项式与多项式乘法法则，多项式的乘法法则，特殊二项式乘法公式的应用. 教学方法 讲练结合、引导探究. 教具学具 黑板. 教学过程 知识点1：单项式的乘法法则. 单项式乘法是指单项式乘以单项式. 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 为了防止出现系数与指数的混淆，同底数幂的乘法性质与幂的乘方性质的混淆等错误，同学们在初学本节解题时，应该按法则把计算步骤写全，逐步进行计算.如 21x 2y·4xy 2=(2 1×4)·x 2+1y 1+2=2x 3y 3. 在许多单项式乘法的题目中，都包含有幂的乘方、积的乘方等，解题时要注意综合运用
所学的知识. 【注意】 (1)运算顺序是先乘方，后乘法，最后加减. (2)做每一步运算时都要自觉地注意有理有据，也就是避免知识上的混淆及符号等错误. 知识点2：单项式与多项式相乘的乘法法则. 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 例如：a(m+n+p)=a m+a n+a p. 【说明】 (1)单项式与多项式相乘，其实质就是乘法分配律的应用. (2)在应用乘法分配律时，要注意单项式分别与多项式的每一项相乘. 探究交流 下列三个计算中，哪个正确？哪个不正确？错在什么地方？ (1)3a(b-c+a)=3a b-c+a (2)-2x(x2-3x+2)=-2x3-6x2+4x (3)2m(m2-mn+1)=2m3-2m2n+2m 点拨(1)(2)不正确，(3)正确. (1)题错在没有将单项式分别与多项式的每一项相乘. (2)题错在没有将-2x中的负号乘进去. 知识点3：多项式相乘的乘法法则. 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 【说明】多项式相乘的问题是通过把它转化为单项式与多项式相乘的问题来解决的，渗透了转化的数学思想. (a+b)(m+n)=(a+b)m+(a+b)n=a m+bm+a n+bn. 计算时是首先把(a+b)看作一个整体，作为单项式，利用单项式与多项式相乘的乘法法则计算. 典例剖析 1化简(-x)3·(-x)2的结果正确的是( ) A.-x6 B.x6 C.x5 D.-x5 (分析)本题主要考查幂的乘方与单项式的乘法，解法有两种：①原式=(-x3)·x2=-x5；②原式=(-x)5=-x5.故正确答案为D项. 2下列运算中，正确的是( )
控制理论与控制工程 学位课程《系统辨识》考试报告 递推阻尼最小二乘法公式详细 推导 专业：控制理论与控制工程 班级：2011双控（研） 学生姓名：江南 学号：20110201016 任课教师：蔡启仲老师 2012年06月29 日
摘要 在参数辨识中，递推最小二乘法是用得最多的一种算法。但是，最小二乘法存在一些缺点，如随着协方差矩阵的减小，易产生参数爆发现象；参数向量和协方差矩阵的处置选择不当会使得辨识过程在参数收敛之前结束；在存在随机噪声的情况下，参数易产生漂移，出现不稳定等。为了防止参数爆发现象，Levenberg 提出在参数优化算法中增加一个阻尼项，以增加算法的稳定性。本文在一般的最小二乘法中增加了阻尼因子，构成了阻尼最小二乘法。又根据实时控制的要求，详细推到了递推阻尼最小二乘公式，实现在线辨识。 关键字：系统辨识，最小二乘法，递推算法 正文 1.题目的基本要求 已知单入单出系统的差分方程以及噪声，在应用最小二乘法进行辨识的时候，在性能指标中加入阻尼因子，详细推导阻尼最小二乘法的递推公式。 2.输入辨识信号和系统噪声的产生方法和理论依据 2.1系统辩识信号输入选择准则 （1）输入信号的功率或副度不宜过大，以免使系统工作在非线性区，但也不应过小，以致信噪比太小，直接影响辩识精度； （2）输入信号对系统的“净扰动”要小，即应使正负向扰动机会几乎均等； （3）工程上要便于实现，成本低。 2.2白噪声及其产生方法 （1） 白噪声过程 （2）白噪声是一种均值为0、谱密度为非0常数的平稳随机过程。 （3）白噪声过程定义：如果随机过程 () t ω的均值为0，自相关函数为 ()()2 R t t ωσδ= （2.2.1） 式中()t δ 为狄拉克（Dirac) 分布函数，即 (){ (),00,0 1t t t dt δδ∞ ∞=≠∞ ==? -且t （2.2.2） 则称该随机过程为白燥声过程。 2.3白噪声序列 (1) 定义 如果随机序列{() }w t 均值为0，并且是两两不相关的，对应的自相关函数为 ()2 ,0,1,2w l R l l σδ==±± 式中{1,0 0,0 l l l δ=≠=则称这种随机序列{()}w t 为白噪声序列。 2.4白噪声序列的产生方法 (1) （0，1）均匀分布随机数的产生 在计算机上产生（0，1）均匀分布随机数的方法很多，其中最简单、最方便的是数学方法。产生伪随机数的数学方法很多，其中最常用的是乘同余法和混合同余法。 ①乘同余法。
龙文教育教师1对1个性化教案学生姓 名刘皓轩 教师 姓名 薛磊 授课 日期 8月20日 授课 时段 10:00-12:00 课题整式的乘法法则 教学目标1、了解单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算 2、经历探索平方差公式的过程．会推导平方差公式，并能运用公 式进行简单的运算 3、掌握完全平方公式的推导及其应用．了解完全平方公式的几何解释 教学步骤及教学内容教学过程： 一、教学衔接（课前环节） 1、回收上次课的教案，了解学生掌握情况； 2、捕捉学生的思想动态 二、教学内容 知识点1、单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则．知识点2、平方差公式、完全平方公式 三、教学辅助练习（或探究训练） 四、知识总结 五、知识的延伸和拓展 六、布置作业 教导处签字： 日期：年月日
教学过程中学生易错点归类 作业布置 学习过程评价一、学生对于本次课的评价 O 特别满意O 满意O 一般O 差 二、教师评定 1、学生上次作业评价 O好O较好O 一般O差 2、学生本次上课情况评价 O 好O 较好O 一般O 差 家长 意见 家长签名：
整式的乘法法则 课时一：单项式乘以单项式 一、回顾旧知： 回忆幂的运算性质： a m·a n=a m+n (a m)n=a mn (ab)n=a n b n (m，n都是正整数) 二、创设情境 1.问题：光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间 大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗? (3×105)×(5×102)=(3×5)×(105×102)=15×107 如果将上式中的数字改为字母，即ac5·bc2，如何计算？ ac5·bc2=(a·c5)·(b·c2) =(a·b)·(c5·c2) =abc5+2 =abc7 类似地，请试着计算：(1)2c5·5c2；(2)(-5a2b3)·(-4b2c) 得出结论：单项式与单项式相乘：把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 三、巩固结论，加强练习： 1.计算： (1)（-5a2b）·（-3a） (2)（2x）3·（-5xy2） 2.小民的步长为a米，他量得家里的卧室长15步，宽14步，这间卧室 的面积有多少平方米?
1递推最小二乘法在电厂模型辨识中的应用 电厂中大多数热工对象可以用一阶或二阶有迟延和非迟延的模型来表示，对这些模型中参数的辨识，递推最小二乘法是一种较好的方法。本文以火电厂部分典型一阶模型为例子，借助于某电厂现场数据，分别对以下几种环节进行辨识。 1.1 一阶惯性环节 火电厂中，来自锅炉的过热蒸汽，经高压调节汽门和导汽管道进入高压缸膨胀做功，高压缸的排汽回到锅炉再热器被重新加热，加热后的蒸汽经中压调节汽门进入中低压缸进一步膨胀做功，做功后的乏汽最终排入凝汽器变成凝结水，一般中压调节汽门的开度是高压调节汽门的3倍，即在机组负荷大于额定的30%或者滑压运行时，汽轮机的中压调门是完全开启的。因此，在简化模型中，汽机侧调速器一级压力与机组有功功率可以简化为一阶惯性环节如下： 1 11()1 K G s T s = + 将以上环节离散化，并写成差分方程的形式 11111111 ()[(1)](1)(1)()/,/y k a y k b u k v k a T T T b K T T =--+-+-=-= 其中 u 为调速器一级压力，y 为机组有功功率，()v k 为零均值方差为1的高斯白噪 声。 该论文依据递推最小二乘法原理，借助 MATLAB 工具编写程序，设定合适 的初始值和加权因子进行参数辨识，辨识结果为11?? 2.7547,0.9193a b ==-，由11??,a b 可得到134.12K =，112.36s T =进而得到系统的传递函数为： 134.12 ()12.361 G s s = + 下面运用递推最小二乘法对所得结果进行仿真：假设134.12K =，112.36s T =已知， 采样时间为1s T =，则计算可得
整式的乘法 教学目标 1.知识与技能： （一）掌握单项式乘法的法则，会进行单项式的乘法运算； （二）掌握单项式与多项式的乘法法则，能熟练地进行有关计算； （三）掌握多项式的乘法法则，能熟练地进行多项式的乘法； （四）通过整式乘法中运算的转化体会数形结合，换元等数学方法和“转换”的数学思想. 2.过程与方法：通过讲练结合的方式，在复习单项式和多项式概念的基础上逐步讲解单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式三种整式乘法运算. 3.情感态度与价值观：营造积极活泼的课堂气氛，引导学生思考，并逐步学以致用. 教学重点 单项式乘多项式及多项式乘法中不要出现漏乘，多乘现象. 符号问题. 教学难点 单项式乘法法则，单项式与多项式乘法法则，多项式的乘法法则，特殊二项式乘法公式的应用. 教学方法 讲练结合、引导探究. 教具学具 黑板. 教学过程 知识点1：单项式的乘法法则. 单项式乘法是指单项式乘以单项式. 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 为了防止出现系数与指数的混淆，同底数幂的乘法性质与幂的乘方性质的混淆等错误，同学们在初学本节解题时，应该按法则把计算步骤写全，逐步进行计算.如 21x 2y·4xy 2=(2 1×4)·x 2+1y 1+2=2x 3y 3. 在许多单项式乘法的题目中，都包含有幂的乘方、积的乘方等，解题时要注意综合运用
所学的知识. 【注意】 (1)运算顺序是先乘方，后乘法，最后加减. (2)做每一步运算时都要自觉地注意有理有据，也就是避免知识上的混淆及符号等错误. 知识点2：单项式与多项式相乘的乘法法则. 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 例如：a(m+n+p)=a m+a n+a p. 【说明】 (1)单项式与多项式相乘，其实质就是乘法分配律的应用. (2)在应用乘法分配律时，要注意单项式分别与多项式的每一项相乘. 探究交流 下列三个计算中，哪个正确？哪个不正确？错在什么地方？ (1)3a(b-c+a)=3a b-c+a (2)-2x(x2-3x+2)=-2x3-6x2+4x (3)2m(m2-mn+1)=2m3-2m2n+2m 点拨(1)(2)不正确，(3)正确. (1)题错在没有将单项式分别与多项式的每一项相乘. (2)题错在没有将-2x中的负号乘进去. 知识点3：多项式相乘的乘法法则. 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 【说明】多项式相乘的问题是通过把它转化为单项式与多项式相乘的问题来解决的，渗透了转化的数学思想. (a+b)(m+n)=(a+b)m+(a+b)n=a m+bm+a n+bn. 计算时是首先把(a+b)看作一个整体，作为单项式，利用单项式与多项式相乘的乘法法则计算. 典例剖析 1化简(-x)3·(-x)2的结果正确的是( ) A.-x6 B.x6 C.x5 D.-x5 (分析)本题主要考查幂的乘方与单项式的乘法，解法有两种：①原式=(-x3)·x2=-x5；②原式=(-x)5=-x5.故正确答案为D项. 2下列运算中，正确的是( )
1最小二乘法的理论基础 1.1最小二乘法 设单输入单输出线性定长系统的差分方程表示为： 其中δ(k)为服从N(0,1)的随机噪声,现分别测出n+N 个输出输入值y(1),y(2),…,y(n+N),u(1),u(2),…,u(n+N),则可写出N 个方程，写成向量－矩阵形式 (4.1.1) ()()()()()()()() 1201121n n y k a y k a y k a y k n b u k b u k b u k n k ξ=-------+ +-+ +-+()()()()()()101122,,n n a y n n y n a n y b y n N n N b ξξθξξ?? ??++????????????++? ???===??????????????++?????????? ???? ()()()()()()()()() () ()()()() ()( )()()10111121222112n n y n y n y u n u y n y n y u n u y n N y n N y N u n N u N a n a n b n N b ξξξ+--+???? ????+-+-+???? =?????????+-+--+???? ?? ???? ??+?? ??????+??+??????? ???+??????????
则式(1.1.1)可写为 （4.1.2） 式中：y 为N 维输出向量；ξ为N 为维噪声向量；θ为（2n+1）维参数向量；Φ为N ×（2n+1）测量矩阵。因此，式（4.1.1）是一个含有（2n+1）个未知参数，由N 个方程组成的联立方程组。 11y θφφξ--=- 在给定输出向量y 和测量矩阵Φ的条件下求参数θ的估计，这就是系统辨识问题。 设 表示 θ 的估计值，?表示y 的最优估计，则有 （4.1.3） 式中： ()()()10??1??2??,???n n a y n a y n y b y n N b θ???? +????????+????==????????+?????? ???? 设e(k)=y(k)- ?(k), e(k)称为残差，则有e=y- ?=y-Φθ 最小二乘估计要求残差的平方和最小，即按照指数函数 （4.1.4） 求Ｊ对 的偏导数并令其等于0可得： （4.1.5） 由式（4.1.5）可得的 θ 最小二乘估计： （4.1.6） J 为极小值的充分条件是： 即矩阵ΦT Φ为正定矩阵，或者说是非奇异的。 1.1.1最小二乘法估计中的输入信号 当矩阵ΦT Φ的逆阵存在是，式（1.1.6）才有解。一般地，如果u(k)是随机序列或伪随机二位式序列，则矩阵ΦT Φ是非奇异的，即（ΦT Φ）－1存在，式（1.1.6）有解。 现在从ΦT Φ必须正定出发，讨论对u(k)的要求。 y φθξ=+?θ??y θ=Φ()() ??T T J e e y y θ θ==-Φ-Φ?θ() ?20?T J y θ θ ?=-Φ-Φ=??T T y θ ΦΦ=Φ()1 ?T T y θ -=ΦΦΦ220?T J θ ?=ΦΦ>?1 n N yy yu T +-ΦΦ??
第一章整式的乘除 4 整式的乘法（第1课时） 总体说明： 在七年级上册的学习中，学生已经学习了数的运算、字母表示数、合并同类项、去括号等内容，具备了由数的运算转化为式的运算的知识基础，类比有理数运算学习整式的运算是本章的重点，是代数知识学习的重点内容，可以帮助学生认识到代数与现实世界、学生生活、相关学科联系十分密切，为数学本身和其他学科的研究提供了语言、方法和手段.本单元提前安排了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等知识，然后通过实例引入了整式的乘法，使学生通过对乘法分配律等法则的运用探索整式乘法的运算法则以及一些重要的公式，所以，本节知识既是对前面所学知识的综合应用，也为下面学习乘法公式、整式除法以及八年级学习因式分解打好基础. 本单元共分3课时，由浅入深地学习单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式，三节课的知识环环相扣，每节课新知识的学习既是对前一节所学知识的应用，也为后一节学习奠定基础.所以在教学时要注意引导学生发现各知识点之间的联系，善于应用转化的思想，化未知为已知，形成较完整的知识结构. 一、学生起点分析： 学生的知识技能基础：在七年级上册的学习中，学生已经学习了数的运算、字母表示数、合并同类项、去括号等内容，了解有关运算律和法则，同时在前面几节课又学习了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方法则，具备了类比有理数运算进行整式运算的知识基础.对于整式乘法法则的理解，不是学生学习的难点，需要注意的是学生在运用法则进行计算时易混淆对于幂的运算性质法则的应用，出现计算错误，所以应加强训练，帮助学生提高认识. 学生的活动经验基础：学生在小学及七年级上的学习中，受到了较好的运算能力训练，能够独立完成计算活动，并具有一定的将实际问题转化为数学问题，通过计算解决实际问题的能力.但是学生在进行计算时往往仅关注对于法则的掌握及应用，对于算理认识不足，所以教学中要通过设计问题，让学生经历获得法则的过程，真正理解算理.
整式的乘法教学反思 整式的乘法是在学生学习了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等知识之后安排的有关整式的运算学习。下面是由我为大家带来的关于整式的乘法教学反思，希望能够帮到您! 整式的乘法教学反思一 这部分内容是在学习了有理数的四则混合运算、幂的运算性质、合并同类项、去括号、整式的加减等内容的基础上进行的，它是前面知识的延伸.这一部分具有承前启后的作用，启后是它是学习整式的除法、分式的运算、函数、二次方程的解法学习的基础。整式的乘法这一部分内容主要分成三部分内容。 第一部分是单项式乘单项式，这一部分内容主要是要注意运算的法则依据是乘法的交换律，分成三步计算：一是各个单项式的系数相乘，二是同底数幂相乘，三是单独的字母照抄。这部分的计算中往往会混合了积的乘方，要注意运算的顺序，积的乘方应注意复习巩固。 第二部分是单项式乘多项式，这一部分内容的依据是乘法分配律，要注意有乘方运算时的运算顺序以及符号的确定。 第三部分内容是多项式乘多项式，注意带符号运算以及不要漏乘。在混合运算中注意括号运算，不要漏括号。 在整个这一部分的内容教学中，难点与易错点主要是： 1、符号不能正确的判断，其中主要是没有注意带符号运算或者没有注意整体思想，漏掉括号或者去括号错误。
2、同时注意整体思想的渗透，作为整体的相反数的的变形，根据指数的奇偶性来判断符号。 3、注意实际问题主要是图形的面积问题的正确解决。 注重难点与学习方法。 1、关注对教学难点的教学。 新课程标准下，数学教育的根本任务是发展学生的思维，教材中的难点往往是数学思维迅速丰富、过程大步跳跃的地方，所以在本节课难点教学中既注意了化难为易的效果，又注意了化难为易的过程，在探究法则的过程中设置循序渐进的问题，不断启迪学生思考，发展学生的思维能力，在应用法则的过程中，又引导学生进行解题后的反思，这些将促使学生知识水平和能力水平同时提高。 2、关注对学生学习方法的指导。 建构主义学习理论认为，学生的学习是对知识主动建构的过程，同时学生要主动构建对外部信息的解释交流，所以在教学中注重营造学生自主参与、师生互动合作、探究创新为主线的教学模式，从学生已有的知识结构入手，逐渐发现和提出新问题，在解决问题的过程中学会思考，在探究中掌握知识。 3、教育的根本目的在于促进每一个学生的发展，这也是数学教育的根本目的，因此教师在教学设计时，结合学生实际，有效整合教材，精选例习题，分层施教。本单元教学是以习题训练为主的，教学时注意选择了有层次的例题和练习，采用"兵教兵"的方法，组织学生开展合作学习。在探究问题的设计上也是由浅入深，目的就在于通过引导学生对问题的解
广义递推最小二乘辨识 一、实验目的 1 通过实验掌握广义最小二乘辨识算法； 2 运用MATLAB编程，掌握算法实现方法。 二、实验原理 广义最小二乘法的基本思想是基于对数据先进行一次滤波预处理，然后利用普通最小二乘法对滤波后的数据进行辨识。如果滤波模型选择得合适，对数据进行了较好的白色化处理，那么直接利用普通最小二乘法就能获得无偏一致估计。 广义最小二乘法所用的滤波模型实际上就是一种动态模型，在整个迭代过程中不断靠偏差信息来调整这个滤波模型，使它逐渐逼近于一个较好的滤波模型，以便对数据进行较好的白色化处理，使模型参数估计称为无偏一致估计。理论上说，广义最小二乘法所用的动态模型经过几次迭代调整后，便可对数据进行较好的白化处理，但是，当过程的输出噪信比比较大或模型参数比较多时，这种数据白色化处理的可靠性就会下降。此时，准则函数可能出现多个局部收敛点，因而辨识结果可能使准则函数收敛于局部极小点上而不是全局极小点上。这样，最终的辨识结果往往也会是有偏的。 其收敛速度比较慢，需要经过多次迭代计算，才能得到较准确的参数估计值。一般情况下，经过多次迭代后，估计值便会收敛到稳态值。但在某些情况下（如噪声比较低时）存在局部极小值，估计值不一定收敛到准则函数的全局极小值上。为了防止参数估计值收敛到局部极小值，最好选定初值接近最优解，一般可以用最小二乘法的批处理估计值作为初值。如果系统是时变的，或为了克服数据饱和现象，可以在两次RLS算法中分别引进遗忘因子。 三、实验内容 <1> 数据获取：实验数据按照表9-1，为二阶线性离散系统的输入输出数据 <2> 数据处理：为了提高辨识精度，实验者必须对原始数据进行剔除坏数据、零均值化、工频滤波等处理。实验进行了白化滤波处理。 <3> 辨识算法：利用处理过的数据（取适当的数据长度），选择某种辨识方法（如RLS递推最小二乘法、RELS、RIV或RML等参数估计算法及F-检验或AIC定
递推算法典型例题 一、教学目标 1、由浅入深，了解递推算法 2、掌握递推算法的经典例题 二、重点难点分析 1、重点：递推关系的建立 2、难点：如何将所求问题转化为数学模型 三、教具或课件 微机 四、主要教学过程 (一)引入新课 客观世界中的各个事物之间或者一个事物的内部各元素之间，往往存在(隐藏)着很多本质上的关联。我们设计程序前．应该要通过细心的观察、丰富的联想、不断的尝试推理．尽可能先归纳总结出其内在规律，然后再把这种规律性的东西抽象成数学模型，最后再去编程实现。递推关系和递归关系都是一种简洁高效的常见数学模型，我们今天先来深入研究一下递推算法如何实现。 (二)教学过程设计 递推法是一种重要的数学方法，在数学的各个领域中都有广泛的运用，也是计算机用于数值计算的一个重要算法。这种算法特点是：一个问题的求解需一系列的计算，在已知条件和所求问题之间总存在着某种相互联系的关系，在计算时，如果可以找到前后过程之间的数量关系（即递推式），那么，这样的问题可以采用递推法来解决。从已知条件出发，逐步推出要解决的问题，叫顺推；从问题出发逐步推到已知条件，此种方法叫逆推。无论顺推还是逆推，其关键是要找到递推式。这种处理问题的方法能使复杂运算化为若干步重复的简单运算，充分发挥出计算机擅长于重复处理的特点。 递推算法的首要问题是得到相邻的数据项间的关系（即递推关系）。递推算法避开了通项公式的麻烦，把一个复杂的问题的求解，分解成了连续的若干步简单运算。一般说来可以将递推算法看成是一种特殊的迭代算法。（在解题时往往还把递推问题表现为迭代形式，用循环处理。所谓“迭代”，就是在程序中用同一个变量来存放每一次推算出来的值，每一次循环都执行同一个语句，给同一变量赋以新的值，即用一个新值代替旧值，
整式的乘法 同底数幂的乘积 为正整数）n m a a a n m n m ,(+=? 注意点：（1）必须清楚底数、指数、幂这三个基本概念的涵义。 （2）前提必须是同底数，指数才可以相加 （3）底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或多项式， （4）指数都是正整数 （5）三个或三个以上的同底数幂相乘，即为正整数）p n m a a a a p n m p n m ,,(++=?? （6）不要与整式加法相混淆。 （7）这个公式是可逆的为正整数）n m a a a n m n m ,(?=+ 类型一：x 3·x 4 = x n ·x 4 = ________3=?a a ________3 2=??a a a ； 3x 2·x n ·x 4= =??252222 =?+12n n y y ； 类型二：(1) 已知x m-n ·x 2n+1 =x 11,且y m-1 ·y 4-n =y 5,求mn 2 的值。 (2)若22m ·8=2n ,则n= 类型三：(1)、 (- )(- ) 2 (- )3 (2)、 -a 4·(-a)4·(-a) 5 (3)、 (x-y)3 (y-x)(y-x)6 （4）、 2012 2011 2-)-2(）（+ 类型四：已知2a =3, 2b =6, 2c =12，试探究a 、b 、c 之间的关系；
1. 幂的乘方 为正整数）n m a a mn n m ,()(= 注意点：（1）幂的底数a 可以是具体的数也可以是多项式。 （2）不要和同底数幂的乘法法则相混淆 （3）公式的可逆性： 为正整数）n m a a n m n m ,()(=+；为正整数）n m a a a mn m n n m ,()()(= （4）公式的扩展: 为正整数）p n m a a mnp p n m ,,(])[(= 为正整数）,,()(])[(n m b a b a mn n m +=+ 类型一：(a 3)5 = ; =-3 )(3m x ; =?n a a 3 2)( ; [(a+b )2]3= ; [(a 2)5]3 = ; 类型二：【例1】若3y 2x 5,35,25+==求y x 【例2】若,510,410==m n 求,101032m n +的值； 【例3】已知33 44555,4b ,3a ===c ，试比较a,b,c 的大小; 2. 积的乘方 ()为正整数）n b a n n (ab n = 注意点：（1）注意与前二个法则的区别： （2）积的乘方推广到3个以上因式的积的乘方()为正整数）n a a a a a a a n m n n m (a 321n 321 =?? （3）每个因式可以是单项式，多项式，或者其他代数式 （4）每个因式都要乘方，然后将所得的幂相乘 （5）公式的可逆性：()为正整数）n b a n n (ab n = (6) 幂的乘方,积的乘方的可逆性： a mn =(a m )n =(a n )m 类型一：________)(3=ab ；________)2(32=-b a ； ________)5(2 23=-b a 类型二：【例1】当ab= ，m=5, n=3, 求(a m b m )n 的值。
底数a n 指数幂 = a·a·…·a n 个a 15.1整式的乘法（第1课时） ——同底数幂的乘法 主备人：依买尔江 学习目标 1.理解并掌握同底数幂的乘法法则； 2.运用同底数幂的乘法法则进行相关运算。 教学重点 正确理解同底数幂的乘法法则 教学难点 运用同底数幂的乘法法则进行相关运算 教学过程 一、板书课题，揭示学习目标 1.板书课题： 15.1.1同底数幂的乘法 2.揭示学习目标： 二、创设情境，导入新课 a n 表示的意义是什么？其中a 、n 、a n 分别叫做什么? 学生回顾七年级所学数学知识回答。 三、自学指导一 请同学们认真阅读教材P255页探究以上的的内容，思考下列问题， 1．问题的结果中底数是多少？指数各是多少？ 2．同底数幂的乘法的规律？ 学生对照自学指导自学，教师巡逻，确保人人都学习。 四、当堂检测 (1)24 = × × × ； (2)103 = × × ； (3)3×3×3×3×3=3 （ ） ； (4)a ·a ·a ·a ·a ·a=a ( ) . 学生练习纠错，教师点拨。 五、自学指导二 请同学们认真阅读教材P255页探究及探究以下至P256页练习以上的内容，思考下列问题 1.完成探究并归纳； 2.同底数幂的乘法法则是什么？ 3.同底数幂的乘法法则的条件和结果分别是什么？
(3) x 3 ·x 5； (4) a 2n ·a n-1. (1) 78 ×73 ；(2) (－2)8 ×(－2)7 ；学生对照自学指导自学，教师巡逻，确保人人都学习。 六、当堂检测 1.完成P255页练习； 2.计算下列各式,结果用幂的形式表示. 让学生上黑板练习，学生纠错，教师点拨。 七、课堂小结：这节课的学习你有什么收获？（学生归纳） 八、板书设计 九、作业 教材P256页习题第1题。 十、课后反思 课题：15.1整式的乘法（第2课时） ——幂的乘方，积的乘方 主备人：依买尔江 学习目标 1.经历幂的乘方法则的形成过程，会进行幂的乘方运算. 15.1.1同底数幂的乘法 25×22=……=27 例1 a 3·a 2=……=a 5 同底数幂相乘…… a m ·a n =a m+n a 4 =a ·a ·a ·a （m,n 都是正整数） =2×2×2 底数 幂 指数 23
线性方程组的最优求解方法 一．递推最小二乘法 设线性方程组 b Ax = (1) 则有 k b k =x :A ),(, (n k Λ,2,1=) (2) 其中，[]kn k k a a a k ,,,:),(21Λ=A ，[]T n x x x ,,,21Λ=x 。 设 x :A ),()(k k f = (3) 下面采用基于递推最小二乘法(RLS)的神经网络算法来训练权值向量x ，以获得线性方程组（1）的解x 。由式（3）可知，若以)(k f 为神经网络输出，以k b 为神经网络训练样本，以x 为神经网络权值向量，[]kn k k a a a k ,,,:),(21Λ=A 为神经网络输入向量，则解线性方程组的神经网络模型如同1所示。 图1 神经网络模型 采用RLS 算法训练神经网络权值向量x ，其算法如下： （1）神经网络输出： x :A ),()(k k f = (4) （2）误差函数：
)()(k f b k e k -= (5) （3）性能指标： ∑==n k k e J 1 2)(21 (6) （4）使min =J 的权值向量x ，即为所求的神经网络权值向量x ，这是一个多变量线性优化问题，为此，由 0=??x J 可得最小二乘递推法（RLS ）： ]),([1k k k k k k b x :A Q x x -+=+ (7) ),(),(1),(:A P :A :A P Q k k k T k T k k += (8) k k k k P :A Q I P )],([1-=+ (9) ()n k ,,2,1Λ= 随机产生初始权值向量)1,(0 n rand =x ，设n n ?∈=R I P α0（α是足够大的正数（一般取10610~10=α），n n ?∈R I 是单位矩阵），通过对样本数据训练，即可获得神经网络权值 向量x ，此即为线性方程组（1）的解。 二．具有遗忘因子的递推最小二乘估计公式为： ]),([1k k k k k k b x :A Q x x -+=+ (10) ),(),(),(:A P :A :A P Q k k k T k T k k +=λ (11) k k k k P :A Q I P )],([11-= +λ (12) 式中，1:)],(:),([)(-=k A k A k T W P ，W 为加权对角阵：