２
中 等 数 学
獻＃ 活 劫镙 趙 讲雇
抽 屉 康 理 的 一
些 使 用 技 巧
罗
炜
（
浙江省杭州 市西湖区 ，
３ １ ００
２７
）
中 图分类号 ：
〇 １ ５ ７ 文？标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ００５ ６４１ ６ （
２
０１ ８
）
１ １
０
００２
０５
（
本讲适合高 中
）
基本的抽屉原理描述如下 ：
设集 合 Ｓ 有
Ａ
个子集 岑 ，
七 ，
…
，
＜ ，
满足
Ａ ＝
义 Ｕ
ｉ
４
２
Ｕ …
ＬＭ＊
，
任取集合 ｆｉ 〇４
，
＞ ｍＡ
，
则存在 ；
（ １
Ｕ）
，
使 得
抽屉原理是解决组合题目 的基本方法，
通过巧
妙设计抽 屉，
可 以 简洁地证 明 一
些存在性的结
论
． 抽屉原理适用这样 的问 题 ：
证 明某集合
的某类子集（
一
般指 定子集元素个数）
中 一定存在一
些元素 ，
满足某条件
． 例１ 设Ｚ 是 １
０ 〇〇〇 个整数的 集合，
每一个均不是４７的倍数．证明：可以找到尤的
一
个
２ ００７
元子集 Ｆ，
使得其中 的任何五个数
ａ、
６ 、 ｃ 、 ＜ｆ 、 ｅ
６
均有
４７ ＼ （ ａ －
ｂ ＋ｃ －
ｄ ＋ ｅ ）
．
①
（
第 ４８ 届 Ｉ
ＭＯ 预选题
）
【
分析】
当考虑用抽屉原理解题时，
应先
确定抽屉的大小、
个数及抽屉 中元素满足 的条件．
这些信息往往可从题 目 条件近似推断．
再注意到 ， 题中 条件只 与 模 ４７ 有关．
于
因为
Ｖ黑碣，
所以 ，
需要的是某
４
十个剩余类 ，
才 能保证平均情况下可 以得到
至少 ２ ００７ 个元素
． 考虑模４７ 的剩余类
１
１
９ ，
２０ ， － ， ２８
（ ｍｏｄ
４７ ） ｜
，
其中任何两个数求和在 区间 ［
３ ８ ，
５６ ］ 中 ，
任何三个数求和在 区 间 ［ ５７ ， ８４ ］ 中 ，
两个区 间中的整数模 ４７ 是不相交 的． 从而，
其 中不存在五个数 ａ 、 ６ 、
ｃ
、 ｄ、 ｅ
，
使得
４７
（ ａ
ｂ ＋
ｃ
ｄ ＋ ｅ
）
，
②
这可以作为一
个符合条件的抽屉
．
为了 应用抽屉原理 ，
还需要更多的 抽屉．
可
以利用变换 ，
从初始的 抽屉得到更多 的抽屉．
关
键是找到合适的变换，
以保持抽屉的特殊条件不变？
本题条件式①是在模４７ 下关于变量ａ ｉｃ
ｄ ｗ
的 齐次线性方程，
于是 ，
考虑线性变换
．
对每个 ＆ （
１
专 Ａ 矣 ４６ ）
，
验证
＝
｜
１９ Ａ ，
２〇ｊ
ｃｆ ，
－
， ２８ ＊ （ ｍｏｄ ４７ ）
｜
中不含五个数 ａ 、
６ 、
Ｃ 满足式②．
每个 ４均为符
合条件的抽屉 ，
且 ．
｜
ｌ ， ２ ， －
， ４６ （ ｍｏｄ ４７ ）
｝ 是， 选取模 ４７ 的几个剩余类（
其中 ６ 根据题
中每个剩余类恰在 １
０ 个 也 中出 现
？
目条件不需考虑 ） ，
使得 其中 至少有集合 Ｚ
由
于给定的 集合 Ｚ
在所有火 中 共出 一 中的 ２ ００７ 个元素 ，
且这些剩余类 中 不存在
现
１０ ０００ ｘ １ ０
次，
则 由 抽屉 原理 ，
知 其中
一
五个按题目 中的代数和得到 〇
．
ｉ
ｎ
５
个火 至
＞２ ００７
个 Ｚ
，
满足
少有｜
中的元素
收稿 日 期：
２０１
８ ０９ ２２
题目 条件
．
２０１８年第１１期
例２求满足下面条件的最小正整数Ａ：对集合ｓ＝ｕ，２，…，２０１２１的任意一个Ａ：元子集Ａ均存在Ｓ中的三个互不相同的元素ａ、６、ｃ，使得ａ＋６、６＋ｃ、ｃ＋ａ均在子集４中．
（２０１２，中国
数学奥林匹克）
【分
析】题目条件等价于在子集４中总
能找到三个数？” ，使得
ｘ＋ｙ＋ｚｘ—ｙ＋ｚｘ＋ｙｚ
２＂２＇２
是三个不同的正整数．为此，需要互不相同，满足三角不等式且和为偶数．
简单估算发现，取所有的奇数，可以得到１００６元子集，任何三个元素之和为奇数，是题目要求的子集４的较大的反例．进一步发现，可以多增加一个元素２，于是，得到１００７个数的反例．因此，猜测Ａ＝１００８．
接下来证明这个猜测．
这里用到组合极值问题的一个简单原理：“ 对所有至少Ａ个元素的子集４满足条件的最小Ａ减１
恰是“存在不满足条件尸的？元子集”的最大
ｎ．记
条件三个不同数求和是偶数且满足三角不等式．
先用抽屉原理证明的任意１００８元子集４总能找到三个元素满足条件Ｐ．
由于所取能保证某个抽屉ｒ中含４中元素多于ｆ个，从而，抽屉Ｔ７应该满足条件：ｒ中任何多于个元素中有三个元素满足条件则３，即ｎ彡６．
再证明：从集合丨３，４，… ，８丨中任取四个数，其中有三个数满足条件Ｐ．
最简单直接的证明是枚举法．
列出丨３，４，＂，８丨的所有满足条
件／＞的
三元子集，要证所有四元子集包含某个满足条件Ｐ的三元子集，只需证明所有满足条件Ｐ的三元子集的补集包含所有可能的二元子
３
集．于是，求上面所有满足条件Ｐ的三元子集的补集，并列出补集的所有二元子集，进而，检验得到六元集的所有二元子集．用顶点表示六个元素，边表示二元子集，很容易画图检验这￣■点．
通过平移可以证明对任何正整数ｎ，
）２
ｎ＋３，２ｎ＋４，？？？，２ｎ＋８｝
也是符合条件的抽屉：平移步长为偶数，保证了对比原始抽屉，对应位置的数奇偶性相同，求和为偶的条件保持不变；所有数都增加，对应的三角不等式条件减弱．
将Ｓ＝｜ｌ，２，…，２０１２丨划分为｜１，２｜，
＼６ｎ
＋３，６ｅｒ＋４，＊＊＊，６ｒｅ＋８｜
（
ｎ＝０，１，＊＊＊，３３４）．当４ＣＳ且４中至少有１００８个元素时，＞ｌ＾Ｅ
＾ｔ？｜６ｒａ＋３，６ｎ＋４，－－－，６ｔｒ＋８｜
有四个数，从而，有三个满足条件尸，可解出题目中要求的ａ、６、Ｃ．
因此，题目中的最小Ａ＝１００８．
用抽屉原理解决组合极值问题中的不等式证明部分，经常要先通过构造，猜测出要证明的极值大小．下面的组合极值问题的两个方向（不等式和构造）都是用抽屉原理证明的．
例３设集合５＝丨１，２，…，２８０１．求最小正整数ｎ，使得Ｓ的每个有ｎ个元素的子集均含有五个两两互素的数．
（第３２
届ＩＭＯ）
【分
析】所求的ｎ满足：存在ｎ１元子集４的任何五元子集中有两个不互素．／Ｉ１是存在满足上述条件的子集４的最
大值．
若能将４写成四个集合Ｕ２、求的并集，且每个集合中的元素均两两不互素，则据抽屉原理，知在子集４中任取五个元素，有
两个在同一个木中，其不互素．元素两两不互素集合的简单构造方法是取固定数的整数倍
集合，从而，设岑、皂、４乂分别是最小素因子为２、３、５、７且不超过２８０的正整数集合．应用容斥原理，计算得
４
＾！Ｕ／４２Ｕ＾３Ｕ＾４＝２１６．
因此猜测《＝２１７．
，
要证Ｓ的任何２１７元子集Ｃ中有五个两两互素的元素．这是抽屉原理适用的问题类型，需要构造抽屉，每个抽屉中的数均为两两
互素的：
４＝不超过２８０的素数｜，
Ｂ
２＝
｜不
小于１７的素数的平方｝，
Ｂ３＝｜２ｘ４１，３ｘ３７，５ｘ３１，７ｘ２９，１１ｘ２３，１３ｘｌ９！，
ｆｉ４＝１２ｘ３７，３ｘ３１，５ｘ２９，７ｘ２３，
１１ｘ
ｌ９，１３ｘｌ７（，
Ｂｓ＝＼２ｘ３１，３ｘ２９，５ｘ２３，７ｘｌ９，ｌｌｘｌ７（，
ｆｉ６＝｛２ｘ２９，３ｘ２３，５ｘ１９，７ｘ１７，１１ｘｌ３｝．
于是，ＡＵ＾Ｕ…Ｕｆｉ６包含了不在４＝皂ＬＵ２Ｌ＾＂ＬＭ４中的所有数，每个包含４中恰四个元素．若有集合Ｃ含至少２１７个元素，Ｃ在某个尽中所含元素个数超过４在尽
中的元素个数，即ＣｎＳ；多５，则Ｃ中有五个元素两两互素．
因此，满足题目条件的最小《为２１７．
【评注】
例３中的两组抽屉Ａ（ｉ＝ｌ，２，３，４）及巧（ｙ＝ｌ，２，…，６）满足：
，木门
木，＝〇，＝０；
所有木及Ａ的并集为整个集合ｓ；
禹中元素两两满足某条件，巧中元素两两不满足此条件．
无论此条件如何描述，若能构造出上述类型抽屉集，则相应问题的解均为木并集的
元素个数加１．
例４在使用抽屉原理时，需要对抽屉进行合理地调整．
例４已知
Ｓ为集合丨１，２，…，ｒａ丨的子集，Ｓ中没有一个数整除另一个数，也没有两
个互素的数．求Ｓ的极大值．
【分析】首先，从构造人手猜测这个极大
中等数学
值Ｉ构造没有整除关系的集合可以选取
｜？１，／？１
＋１，？，凡４／？＞｜１卜构造两两不互素
的数的集合可以选取卜，４，…，２＾｝（［＊］
表示不超过实数＊的最大整数），取两个集合
的交，记为满足兄中任何两个数没有整
除关系或互素关系．根据ｎ（ｍ〇ｄ４），Ｓ？中元
素个数分别为：
Ｓ
４ｔ
＝
＾
，
Ｓ
４ｔ＋１
＝
ｋ
，
＾４４＋２＝
＾
＋１，＾４４＋３＝Ａ：＋１．
用抽屉原理证明上述ＩＳｎＩ是对应ＩＳＩ的
极大值．目标抽屉的个数应该为ＳＪ，只要每个
抽屉中的数两两有整除关系或互素关系，就能保
证Ｓ不超过抽屉的个数．
首先，设定抽屉为１＋１，４ｔ＋２，４ｆ＋３，
４？＋４丨０，
，
？发
现其中＋１
、
＝…
卜
４ｆ＋２、４ｆ＋３
两两互素
，
４ｆ＋２与４ｔ＋４不互
素，一般也没有整除关系．于是，做调整：将每
个２“（２ｆ＋ｌ）（ｕ＞２）拿出，放到４ｆ＋２所在的
抽屉．
这样得到的抽屉个数不变，抽屉大小会
不同，每个抽屉中的数为
ｊ４ｆ
＋ｌ，４？＋３，
（
２ｆ＋ｌ）ｘ２ｕ（
的形式，显然，两两互素或有整除关系，是符
合题目条件的一组抽屉．
这样构造的抽屉个数对于
ｎＡｋ９４ｋ＋１，４ｋ＋２
９
４ｋ＋３
的情况，分别得到＋１、Ａ：＋１、Ａ；＋１个抽
屉，除了ｎ＝４Ａ＋１，抽屉个数均与前面构造
的Ｓｎ相同．从而，需要对ｎ＝４Ａ＋ｌ的情况，
将抽屉个数进一步缩小１．
此时，最后一个抽屉中只有数４Ａ＋１．
若３（４４＋１），将仙＋１放入抽屉｜１，３，２！
之中；
若３ｔ⑷＋１），将
仙
＋１放入抽屉丨
仙
１，
２０１８年第１１期
４ｋ２４ｋ３Ｚ＾．
，＼
可以验证，新的抽屉依然满足其中任何两个数有整除关系或互素关系，符合题目条件．因此，
下面的例题所使用的抽屉有少许重叠的部分．抽屉有重叠的抽屉原理可以这样考虑：
设岑，七，…，态是集合４的一些子集，并集为４Ｍ的子集Ｚ）满足其中元素属于两个办
若用“ ＋”表示计算了集合中元素重数的集合并集运算，可记
Ａｘ＋Ａ２＋？？？＋Ａｎ＝Ａ＋Ｄ．
设ｉｆ（Ｓ〇４）为子集．则
ｔｂ门４＝ｓｒｕ＋门ｄ．
ｉ＝ｌ
由抽屉原理，可推断至少一个ｉｉｆｎ木多Ｂ
ｎ
例５则用到反过来的关系式
ｄ．
ｉ＝
ｌ
例Ｓ将２０１３ｘ２０１３的方格表中的某
些格染为黑色，使得任意一个１９ｘ１９的方格表中至少包含２１个黑格．求黑格数目的最小值．
【分析】
注意到，２０１３＝１９ｘ１０５＋１８．
若以坐标模１９的某条件来将格子染黑，则每个１９ｘ１９的方格表中黑格数目相同．按
两个坐标模１９将２０１３ｘ２０１３中的方格分类，其中，（１９，１９）所在类别有１０５ｘ１０５个格子，（１９，ｙ）或“ ，１９）（１矣ｕ＜１９）所在类别
有１０５ｘ１０６个格子其他类别有１０６ｘ１０６
，
个格子．从而，选取个数最少的２１个类别可保证题目条件，黑格数目为１０５ｘ１０６ｘ２０＋１０５ｘ１０５，
记为
下面证明：任何满足题目条件的黑格数目至少为斂
５由１９＋２０１３，知不能将２０１３ｘ２０１３的
方格表完整划分成互不相交的１９ｘ１９的方格表．每个１９ｘ１９的方格表（抽屉）中可以保证有至少２１个黑格，从Ａ：的大小估算需要
１０５ｘ１０６
个抽屉，同时，允许最多１０５个童叠格．这些１９ｘ１９的方格表可如下排列：在左上到右下的对角线下方抽屉按从左到右、从下到上的顺序放置到不超过对角线为止；对角线上方按已放置抽屉关于对角线反射后
的位置放置．容易验证这样放置了１０５ｘ１０６个１９ｘ１９
的方格表在对角线上有１０５个重叠格．重叠格中的黑格数算了两次．
因此，重叠的黑格数加上总的黑格数至少为１０５ｘ１０６ｘ２１，这样总的黑格数至少为
上面的１０５ｘ１０６ｘ２１－１０５＝Ａ：．
例
６
设为正整数，满足且
２
设４为ｌ，２，＂．，ｍ｜的元ｉＫｍ＜
？
子集．证明：区间〇，＆中的每个整数均可
（）
表币为ａａＣａ＇ａ＇Ｇ
（
２０
１
８
，全
国高中数学联合竞赛）
【分析】
设畔Ａ，）
ｍ－２ｔａ＋ｂ０＾ｂ＜２ｔ．
（）
对每组连续个数
＋１，２ｗ＋２，… ，２对＋２ｆ
１２
对＋Ｚ，
＝
ｌ
，，构
造抽辰
２对＋ｔ＋ｉ丨（ｉ２，…，〇．
若抽屉中某个数超过ｍ，则去掉相
应的数？｜
１，２，…，
分配到ａｆ＋ｍｉｎ丨丨个抽屉中．
若ａ＜
Ｈ
，则
ｎ＞（ｋ＋ｍｉｎｊｂ９ｔ＼．
若ａ＞Ａ１，则
（
２ｋｌ）ｎ＞ｋｍ＝２ｋａｔ＋ｋｂ
￣（
２ｋ－ｌ）ａｔ＋ａｔ＋ｋｂ
＾（２ｋ－ｌ）ａｔ＋（ｋｌ）ｔ＋ｋｂ
＾（２ｋｌ）（ａｔ＋ｍｉｎｊｂ９ｔ＼），
因此，〃总大于抽屉总数，知存在某个抽
６
中 等 数 学
屉中 两个数均属于Ａ 即
／
（ ｒａ
） ，
使得对任何正整数
ｍ ，
集合 丨
ｍ， ｍ ＋ １ ，
ａ＾ ａ
＾：
Ａ ，
ａ
ａ ＝
ｔ
．
…
，
ｍ ＋ ｎ
１ 丨
的任一
个／（ ／
〇 元子集中 ，
均有
＇
＇
【
评注 】
给 定集合 Ｓ 及某 种二 元 条件
至少三个两两互素的元素
．
Ｐ（
＊ ，
ｙ ）
（ ＊ 、
ｙ ６ Ｓ）
，
找 Ｓ 的元素最多的 子集
，
（ ２
００４
，
全国高 中数学联合竞赛 ）
使得其中任何两个数不满足条件
Ｐ
，
这 本质
提示 证明 ：
连续六个数 中取五个数 ，
必
上是图论中 找给定 图 的最大独立集问题．
图 有三个两两互素的数
．
的顶点 对应集合 Ｓ 的元素， 图中边的端点对
答案 ： ＝ ６／
ｔ
＋ ｍ
（
０ 矣 ｍ ＜ ６ ）
，
应于满足二元关系 Ｐ 的点对．
这类题的难度
ｆ（
ｎ
）
４ｋ ＋ ｍ ＋ １
和图 的复杂程度相关，
本题中 二元关系是差
＝
为指定数 ，
图 的每个连通分支为 一
条链，
是非
３
？
设集合 Ｍ Ｃ 丨
１
， ２ ，
．．．，
２ Ｏｉ ｌ
丨
满足 ：
Ｍ
常简单的情况．
链的最大独立集的元素个数
中任意三个元素 ，
一
个是另外某一
个的 倍数
．
为长度
一 半的上取整 本题的 核
心
思路就是
求 Ｍ 的最大值
．
．
计算长度为奇数的链的 条数
． 提示 先考虑某 Ｍ １
元集，
为 ２ 的幂 抽屉原 理使用 的 核心是设计巧妙的 抽 次或 ３
乘 以 ２ 的 幂次的
数构 成的 集合；
再考 屉， 探 索 抽 屉设 计 的过程 ，
可 能包含 了 大 量的
虑区间 ［ ｎ ，
２ｎ １ ］ 中最多可能含有 Ｍ
中几个
计算和试探． 旦抽屉设计好 ，
问题的证明 可 元素． 答案 ：
２ １
． 一以非常简 洁明 了， 这也是构造法解决数学 问
４？ 设集合 ＳＣ １１ ，
２ ，
…
，
２００ ｝
，
Ｓ
中任何两 题的共性 ，
体现了 数学的美感
．
个 元 素 之 不 是 或 求 的 最 大值
、
差４ ５ ９． Ｓ
．
练 习 题
提示 考虑 连续 的 １
３ 个数中 至 多可 以
设Ｚ ＝
｜
求最小正整 含几个 Ｓ 中 的数．
答案： ６４．
１？
１ ， ２ ， … ， ２ ００ １ １
．
５？
在 ８ ｘ ８ 的方格表的每 个格 中 写入
数ｍ ，
满足 ：
对 Ｚ 的任何
个ｍ
元子集 见
， 均 一一
存在 ６允许相 同 ）
，
使得 “ ＋ ｔ
）
为
＋ １
或
１ ．
将四个方格组成的
Ｔ
形放置在方
格表上 ，
若 Ｔ 形盖住的 四 个格 中 的数之和不
２ 的方幂
．
提示 构造抽屉使得抽屉中 两个数求和
为
〇 ，
则称图形的放置是“
不成功的
试求不
为２ 的方幂 ，
某些抽屉只含一
个 ２ 的方幂的
成功放置的最小可能数 目 ．
数． 答案 ： ９９９．
提示 考虑 一个十 字形中最少有几个不
２？
对于 整数
７１
（ ７１ ＾ ４ ） ，
求 出 最小 的 整数
成功的 Ｔ．答案 ：
１
３２．
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碑刊 編辑 部
8-2抽屉原理 教学目标 抽屉原理是一种特殊的思维方法，不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断，同时能够帮助同学证明很多看似复杂的问题。本讲的主要教学目标是： 1．理解抽屉原理的基本概念、基本用法； 2．掌握用抽屉原理解题的基本过程； 3. 能够构造抽屉进行解题； 4. 利用最不利原则进行解题； 5.利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。 知识点拨 一、知识点介绍 抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决． 二、抽屉原理的定义 （1）举例 桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。 （2）定义 一般情况下，把n＋1或多于n＋1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个
苹果。我们称这种现象为抽屉原理。 三、抽屉原理的解题方案 （一）、利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商……余数 余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝x ()()11x n -， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二）、利用最值原理解题 将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法． 模块一、利用抽屉原理公式解题 （一）、直接利用公式进行解题 （1）求结论 【例 1】 6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？ 【解析】 6只鸽子要飞进5个笼子，如果每个笼子装1只，这样还剩下1只鸽子．这只鸽子可以任意飞进 其中的一个笼子，这样至少有一个笼子里有2只鸽子．所以这句话是正确的． 利用刚刚学习过的抽屉原理来解释这个问题，把鸽笼看作“抽屉”，把鸽子看作“苹果”， 6511÷= ，112+=（只）把6个苹果放到5个抽屉中，每个抽屉中都要有1个苹果，那么 肯定有一个抽屉中有两个苹果，也就是一定有一个笼子里有2只鸽子． 【巩固】 把9条金鱼任意放在8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼． 【解析】 在8个鱼缸里面，每个鱼缸放一条，就是8条金鱼；还剩下的一条，任意放在这8个鱼缸其中的 任意一个中，这样至少有一个鱼缸里面会放有两条金鱼． 【巩固】 教室里有5名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业 试说明：这5名 学生中，至少有两个人在做同一科作业． 【解析】 将5名学生看作5个苹果 将数学、英语、语文、地理作业各看成一个抽屉，共4个抽屉 由抽 屉原理，一定存在一个抽屉，在这个抽屉里至少有2个苹果．即至少有两名学生在做同一科的 作业． 【巩固】 年级一班学雷锋小组有13人．教数学的张老师说：“你们这个小组至少有2个人在同一月过生 日．”你知道张老师为什么这样说吗？ 【解析】 先想一想，在这个问题中，把什么当作抽屉，一共有多少个抽屉？从题目可以看出，这道题显 知识精讲
【第一篇方格涂色】把一个长方形画成 3 行 9 列共 27 个小方格， 然后用红、蓝铅笔任意将每个小方格涂上红色或蓝色。
是否一定有两列小方格涂色的方式相同？ 将 9 列小方格看成 9 件物品，每列小方格不同的涂色方式看成不 同的抽屉。 如果涂色方式少于 9 种，那么就可以得到肯定的答案。 涂色方式共有下面 8 种 9 件物品放入 8 个抽屉，必有一个抽屉的物品数不少于 2 件，即 一定有两列小方格涂色的方式相同。 【第二篇相同的四位数】用 1，2，3，4 这 4 个数字任意写出一 个 10000 位数，从这个 10000 位数中任意截取相邻的 4 个数字，可以 组成许许多多的四位数。 这些四位数中至少有多少个是相同的？ 猛一看，谁是物品，谁是抽屉，都不清楚。 因为问题是求相邻的 4 个数字组成的四位数有多少个是相同的， 所以物品应是截取出的所有四位数，而将不同的四位数作为抽屉。 在 10000 位数中，共能截取出相邻的四位数 10000-3=9997 个， 即物品数是 9997 个。 用 1，2，3，4 这四种数字可以组成的不同四位数，根据乘法原 理有 4×4×4×4=256 种，这就是说有 256 个抽屉。 9997÷256=3913，所以这些四位数中，至少有 40 个是相同的。 【第三篇取数字】从 1，3，5，7，，47，49 这 25 个奇数中至少
任意取出多少个数，才能保证有两个数的和是 52。 首先要根据题意构造合适的抽屉。 在这 25 个奇数中，两两之和是 52 的有 12 种搭配 ｛3，49｝，｛5，47｝，｛7，45｝，｛9，43｝， ｛11,41｝，｛13，39｝，｛15，37｝，｛17，35｝， ｛19，33｝，｛21，31｝，｛23，29｝，｛25，27｝。 将这 12 种搭配看成 12 个抽屉，每个抽屉中有两个数，还剩下一
个数 1，单独作为一个抽屉。 这样就把 25 个奇数分别放在 13 个抽屉中了。 因为一共有 13 个抽屉，所以任意取出 14 个数，无论怎样取，至
少有一个抽屉被取出 2 个数，这两个数的和是 52。 所以本题的答案是取出 14 个数。 【第四篇班级人数】 把 125 本书分给五 2 班学生，如果其中至少有 1 人分到至少 4 本
书，那么，这个班最多有多少人？ 这道题一下子不容易理解，我们将它变变形式。 因为是把书分给学生，所以学生是抽屉，书是物品。 本题可以变为 125 件物品放入若干个抽屉，无论怎样放，至少有
一个抽屉中放有 4 件物品，求最多有几个抽屉。 这个问题的条件与结论与抽屉原理 2 正好相反，所以反着用抽屉
原理 2 即可。 由 125÷4-1＝412 知，125 件物品放入 41 个抽屉，至少有一个
管理学原理复习资料 第一章：管理与管理学 【考核知识点与考核要求】 （一）管理概述 识记：（1）管理的概念；（2）管理的特征；（3）管理的职能 领会：（1）管理的产生及必要性；（2）管理有效性的衡量 应用：联系实际说明管理的必要性 （二）管理者 识记：（1）管理者的概念与分类；（2）管理者的角色；（3）管理者的技能 领会：（1）不同层次管理者应重点掌握的技能；（2）举例说明管理者扮演的角色（3）有效的管理者与成功的管理者 （三）管理学 识记：管理学的概念 领会：管理学的特点 第一节：管理概述 一、管理的产生及必要性 1.管理的产生：①管理产生于欲望的无限性和资源有限性之间矛盾的协调 ②管理是人类群体活动的产物 2.管理的必要性：管理是组织不可缺少的要素，有组织就需要管理，管理与组织如影相随。 ①从整个社会发展来看，管理是社会进步与发展的物质力量 ②管理是任何组织生存发展的重要条件 ③管理活动具有的普遍性 二、管理的概念 概念：管理就是组织为了更有效地实现组织目标而对各种资源进行计划、组织、领导、控制的一系列协调活动的过程 ①管理是对组织的管理，组织是管理的载体 ②管理是一项有目的的活动，管理的目的是为了实现组织目标 ③管理是由一系列活动构成的 ④管理是一个追求有效的过程 ⑤管理的实质是协调 三、管理的特性 ①管理活动不同于作业活动 ②管理工作既具有科学性又具有艺术性 ③管理的核心是以人为本（处理好人际关系） 四、管理的职能（计划、组织、领导、控制） ㈠计划是对组织未来活动的预先筹划和安排 ㈡组织是为了完成计划而对分工协作关系所做的整体安排 ㈢领导是指挥和影响下属为实现组织目标而努力工作的过程
一、知识点介绍 抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决． 二、抽屉原理的定义 （1）举例 桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子”）。它是组合数学中一个重要的原理。 （2）定义 一般情况下，把n ＋1或多于n ＋1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。 三、抽屉原理的解题方案 （一）、利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商……余数 余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝x ()()1 1x n -， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二）、利用最值原理解题 将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法． 四、应用抽屉原理解题的具体步骤 知识框架 抽屉原理 发现不同
第二步：构造抽屉。这是个关键的一步，这一步就是如何设计抽屉，根据题目的结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的“苹果”及其个数，为使用抽屉铺平道路。第三步：运用抽屉原理。观察题设条件，结合第二步，恰当运用各个原则或综合几个原则，将问题解决。 例题精讲 【例 1】6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？ 【巩固】教室里有5名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业试说明：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业． 【例 2】向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？ 【巩固】人的头发平均有12万根，如果最多不超过20万根，那么13亿中国人中至少有人的头发的根数相同。
管理学原理》考试知识点 第一章管理与管理学管理的任务是：设计和维持一种环境，使用权在这一环境中工作的人们能够用尽可能少的支出，实现既定的目标。 管理的职能：计划、组织、人员配备、领导、控制等五项；管理层次为：上中下三层。管理学的内容： 1）根据管理活动总是在一定社会生产方式下进行的，其研究内容可以分为三个方面：生产力、生产关系、上层建筑。2）从历史的角度研究管理实践，管理思想及管理理论的形成与演变过程 3）从管理者的基本职能或工作出发来系统研究管理活动的原理、规律和方法。管理及其性质 概念：管理是管理者为有效地达到组织目标，对组织资源和组织活动有意识、有组织、不断地进行的协调活动 性质：1、管理的二重性，它具有自然属性和社会属性2、管理的科学性，管理的科学性是指管理伙为一个活动过程，期间存在着一系列基本的客观规律3、管理的艺术性，管理的艺术性就是强调管理的实践性，没有管理实践则无所谓管理艺术。 管理理论的形成与发展管理学形成与发展大致可分为： 1）古典管理理论阶段：泰罗科学管理理论；法约尔的过程管理理论。马克斯?韦伯的理想行政组织体系 2）人际关系学说和行为科学理论：30-50 年代；梅奥霍桑试验 3）管理理论丛林 管理过程学派；社会合作学派（巴纳德）；经验或案例学派；人际关系行为学派（马斯洛）；群体行为学派（梅奥，克里斯）；社会技术系统学派（塔维斯托克研究所）；决策理论学派（西蒙）；沟通中心学派（纽曼）；数学或管理科学学派；权变理论学派（卢桑斯） 4）学习型组织理论：卓越绩效模式、六西格玛、BPR标杆超越法 法约尔的过程管理理论的十四原则 分工；职权与职责；纪律；统一指挥；统一领导；个人利益服从整体利益；个人报酬；集中化；等级链；秩序；公正；作用期稳定；首创精神；集体精神。 霍桑试验内容包括：工场照明试验；继电器装配室试验；大规模的访问与普查；电话线圈装配工试验；霍桑试验的结论： 职工是社会人；企业中存在着非正式组织；新型的领导能力在于提高职工的满足度；存在着霍桑效应。管理过程学派的基本观点是： 1）管理是一个过程； 2）管理过程的职能有五个：计划、组织、人员配备、指挥和控制； 3）管理职能具有普遍性； 4）管理应具有灵活性。 第二章计划计划工作的具体含义（5W1H）： 预先决定做什么What，讨论为什么Why要做，确定何时When做、何地Where做、何人Who做，以及如何How做. 计划工作的基本特征： 目的性；主导性；普遍性；经济性。 计划工作的意义： 1)弥补不肯定性和变化带来的问题； 2)有利于管理人员把注意力集中于目标； 3)有利于更经济地进行管理； 4)有利于控制。 综上所述，计划工作是一个指导性、科学性、预见性很强的管理活动，但同时又是一项复杂而又困难的工作。 计划的种类
第五讲抽屉原理二 本讲知识点汇总： 一、最不利原则：为了保．证．能完成一件事情，需要考虑在最倒霉（最不利）的情况下，如何能 达到目标． 二、抽屉原理： 形式1：把n 1个苹果放到n个抽屉中，一定有2个苹果放在一个抽屉里； 形式2：把m n 1个苹果放到n 个抽屉中，一定有m 1个苹果放在一个抽屉里． 例1．中国奥运代表团的173 名运动员到超市买饮料，已知超市有可乐、雪碧、芬达、橙汁、味全和矿泉水 6 种饮料，每人各买两种不同的饮料，那么至少多少人买的饮料完全相同？「分析」本题的“抽屉”是饮料的选法，“苹果”是 1 73名运动员． 练习1、中国奥运代表团的83 名运动员到超市买饮料．超市有可乐、雪碧、芬达和橙汁，每人各买两种不同的饮料，那么至少多少人买的饮料完全相同？ 例2．国庆嘉年华共有5项游艺活动，每个学生至多参加2项，至少参加1项．那么至少有多少个学生，才能保证至少有 4 个人参加的活动完全相同？「分析」本题的“抽屉”是参加活动的方法． 练习2、高思运动会共有 4 个项目，每个学生至多参加3项，至少参加 1 项．那么至少有多少个学生，才能保证至少有 5 个人参加的活动完全相同？
例3．从1到50这50个自然数中，至少选出多少个数，才能保证其中一定有两个数的和是50？ 「分析」思考一下：哪两个数的和是50？ 练习3、从1到35这35 个自然数中，至少选出多少个数才能保证其中一定有两个数的和为34？ 例4．从1到100这100个自然数中，至少选出多少个数才能保证其中一定有两个数的和是7的倍数？如果要保证是 6 的倍数呢？「分析」两个数的和是7 的倍数，这两个数除以7 的余数要符合什么条件哪？ 练习4、从1至99这99 个自然数中任意取出一些数，要保证其中一定有两个数的和是 5 的倍数，至少要取多少个？ 例5．至少取出多少个正整数，才能保证其中一定有两个整数的和或差是100 的倍数？ 「分析」从余数角度思考一下：什么样的两个数的和或差是100？ 例6．在边长为 2 的正六边形中，放入50 个点，任意三点不共线，请证明：一定能从中选出三个点，以它们为顶点的三角形面积不大于 「分析」通过把正六边形均分，来构造“抽屉” 1．
原理1 把多于n 个的物体放到n 个抽屉中，则至少有一个抽屉中有2个或2个以上的物体。 原理2 把多于mn (m 乘以n )个的物体放到n 个抽屉中，则至少有一个抽屉中有1+m 个 或多于1+m 个的物体。 ? 构造“抽屉”、找出“物体”及物体的放法是应用抽屉原理解决问题的关键。 常见的构造抽屉的方法有：数的分组法；剩余类法；图形分割法；染色法。 ? 当问题中出现“保证”二字，就要求我们必须利用“最不利”原则情况分析问题。 最不利原则就是从“极端倒霉”的情况考虑问题，将所有不利的情况都考虑进来。 我们可以用如下方法，解决简单抽屉原理的问题： 将n 个物品放到m 个抽屉中，如果a m n =÷，那么一定有一个抽屉中至少有a 个物品；如果b a m n ΛΛ=÷（0>b ），那么一定有一个抽屉中至少有1+a 个物品。 四年（1）班一共有42名学生，那么一定有至少几名学生的属相相同？ 盒子中装有红、白、黑三种颜色的小球各20个，这些小球摸起来手感都一样。14个小朋友闭着眼睛玩摸球游戏，每个小朋友一次只能摸出一个小球。那么一次至少有几个小朋友摸出的小球颜色相同？
有3个不同的自然数，至少有两个数的和是偶数，为什么？ 4个连续自然数分别被3除后，必有两个余数相同，为什么？ 布袋中有60块大小、形状都相同的木块，每15块涂上相同的颜色，一次至少取出多少块才能保证其中至少有3块颜色相同？ 一副扑克牌一共有54张，至少从中取出多少张才能保证： （1）至少有4张牌的花色相同； （2）4种花色的牌都有； （3）至少有4张牌是黑桃。 2012名冬令营营员去游览长城、颐和园、天坛，规定每人最少去一处，最多去两处游览，至少有几个人游览的地方完全相同？ 某班组织全班45人进行体育比赛，项目有A、B、C三种，规定每人至少参加一项，最多参加三项，至少有几人参加的项目是相同的？
一、抽屉原理定义 （1）举例 桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。 （2）定义 一般情况下，把n ＋1或多于n ＋1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。 二、抽屉原理的解题方案 （一）、利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商……余数 余数：（1）余数＝1结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝x ()()11x n -，结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉 里 （3）余数＝0，结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 例1．A 、3个苹果放到2个抽屉里，那么一定有1个抽屉里至少有2个苹果。 B 、5块手帕分给4个小朋友，那么一定有1个小朋友至少拿了（ ）块手帕。 C 、6只鸽子飞进5个鸽笼，那么一定有一个鸽笼至少飞进（ ）只鸽子。 例2、 三个小朋友在一起玩，请说明其中必有两个小朋友是同性别。 例 3. 三年一班有13名女生，她们的年龄都相同，请说明，至少有两个小朋友在一个相同的月份内出生。 例4. 任意三个整数中，总有两个整数的差是偶数。 例5． 有10个鸽笼，为保证每个鸽笼中最多住1只鸽子（可以不住鸽子），那么鸽子总数最多能有几只？请用抽屉原理加以说明。 例6. 某班有37个学生，最大的10岁，最小的8岁，问：是否一定有4个学生，他们是同年同月出生的？
例7、有红袜2双，白袜3双，黑袜4双，黄袜5双，（每双袜子包装在一起）若取出9双，证明其中必有黑袜或黄袜2双. 1．6只鸽子飞进了5个鸟巢，则总有一个鸟巢中至少有（）只鸽子； 2．把三本书放进两个书架，则总有一个书架上至少放着（）本书；
管理学原理复习总结 当今世界的管理 管理与组织的定义： 管理：是指通过与其他人的共同努力，既有效率又有效果地把工作做好的过程。P8 组织：是为了达到某些特定的目标而将一定的人员有系统地安排在一起的实体。P6 管理的职能和属性： 职能：计划：定义目标，制定战略，构建层级计划并协调活动。P10 组织：决定需要做什么工作，怎么做，谁去做。领导：指导并激励相关人员并解决冲突。控制：监督活动，确保能够按计划实施。 属性：自然属性：不以人的意志为转移，不因社会制度、意识形态的不同而不同(PPT) 社会属性：从来都是为生产资料占有者服务的，从国家管理到企业管理再到自我 管理，无不是社会生产关系的反映。 什么是管理者，类型和角色。 管理者：指的是在一个组织中有权利和责任直接督导他人工作的那类群体。管理者通常可以分为高层、中层和基层三个层级。P7 角色类型：人际角色：挂名者，领导人，联络人。P11 信息转换角色：讯息收集人，讯息传达人，发言人。 决策角色：企业家，危机处理者，资源分配者，谈判者。 管理者所需具备的一般技能：P13~P14 理念技能：也称“概念技能”，是指分析和判断复杂形势的心智能力。 人际关系技能：是指管理者了解、指导、激励与之相关的个体和团队工作的能力。技术性技能：是指管理者应用专业性知识或经验的能力。 政治技能：是指提高个体在组织中的职位，建立权力基础并维系社会关系方面的能力。计划与战略规划
人们常说“计划永远赶不上变化”，美国的一位管理学者也曾说过“长期计划根本就是无效的”，就此请你说说自己的看法。 优势：计划能够提供指导、减少变化的影响、减少浪费、为便于控制而提供了标准。P24（计划可以预测结果。计划可以了解轻重缓急。计划可以让各项资源配置效率最高。）---PPT 弱势：计划工作会导致僵化、计划难以在一个动态环境中得到发展、正式计划不能代替直觉和创造性、计划使管理者关注今天的竞争，而不是明天的存亡。P25 比较“正式计划”与“非正式计划”；战略计划与战术计划的异同之处。正式计划与非正式计划：P24 异：非正式计划很少形成书面形式。要做什么样的事情常常装在个人或少数人的脑子里。而且，组织的目标很少以文字的形式记录下来。这种计划一般出现在小型组织中。。这种计划工作往往是一般性的并且缺乏连续性。 正式计划，即把具体目标以文字的形式记录下来让组织成员贯彻实行。这也就意味着管理者非常明确自己究竟想通过一种什么样的途径来达到组织的目标。同：都主要关注：目的（做什么）以及手段（怎么做）。P24 战略计划与战术计划：P27 异： 战略计划是指那种应用于整个组织，为组织设定总目标，并且依据环境对组织进行定位的计划。 战术计划有时也称作业计划,就是将组织要达到的总体目标进行专门细化 战术计划一般是短期的; 战略计划跨越的时间间隔较长，通常为五年或更长。它所覆盖的领域范围更广，涉及的细节也更少。最后，战略计划还包括目标的正式化，而战术计划则假设目标已经存在，进而描述怎样才能达成目标。 在什么情况下“短期计划”更为适用？在什么情况下“专项计划”更为适用？ 短期计划：组织的当前计划对未来的承诺影响较小，管理层使用的时间期限较短。那也就是说，所制定的计划应该有足够的时间保证今天所作出的承诺能够执行。在变化的程度方面，不确定性越大，针对短期变化的计划就越多。也就是说，如果发生突然的或重要的技术、社会、经济、法律及其他方面的变化，那些精心设计、精确规划的路径可能不是帮助而是妨碍了组织绩效的改进。时期较短的计划往往有更大的灵活性。P27 专项计划：有着清晰明确的目标，既没有模棱两可的东西，也不会产生令人误解的问题，
简单抽屉原理 把3 个苹果放进2个抽屉中，无论怎么放，一定能找到一个抽屉，里面至少有2
个苹果．这个现象，在数学中我们把它称作抽屉原理。 抽屉原理I 把一些苹果随意放入若干个抽屉，如果苹果个数多于抽屉个数，那么 一定能找到一个抽屉，里面至少有2 个苹果． 抽屉原理II 把m 个苹果放入n 个抽屉（m 大于n），结果有两种可能： （1）如果m ÷n没有余数，那么就一定有抽屉至少放了“m ÷n”个苹果； （2）如果m ÷n有余数，那么就一定有抽屉至少放了“m ÷n的商再加1” 个苹果． 例1 一个鱼缸里有4 个品种的鱼，每种鱼都有很多条．至少要捞出多少条鱼，才能保证其中有5 条相同品种的鱼？ 练习1. 一个布袋里有7 种不同颜色的彩球，每种颜色的彩球都有很多，那么至少要拿出多少个彩球，才能保证其中有6 个相同颜色的彩球？
例2 一个布袋里有大小相同颜色不同的一些木球，其中红色的有10 个，黄色的有8 个，蓝色的有3 个，绿色的有1 个．现在闭着眼睛从中摸球，请问：（1）至少要取出多少个球，才能保证取出的球至少有三种颜色？ （2）至少要取出多少个球，才能保证其中必有红球和黄球？ 练习2. 爷爷给小明买了一盒糖，这些糖分为苹果味、桔子味和菠萝味三种口味，每种口味各30 颗．小明特别喜欢吃苹果味的，他闭着眼睛，至少需要摸出多少颗糖，才能保证一定能拿到1 颗苹果味的？至少需要摸出多少颗糖，才能保证能拿到两种口味的糖？ 例3将1 只白袜子、2 只黑袜子、3 只红袜子、8 只黄袜子和9 只绿袜子放入一个布袋里．请问： （1）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子？ （2）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？ （两只袜子颜色相同即为一双） 练习3. 袋子里白袜子、黑袜子、红袜子各10 只，现在闭着眼睛从袋子中摸袜子，请问： （1）至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子？ （2）至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？（两只袜子颜色相同即为一双）
管理学原理知识点整理 第一章管理与管理学 一、管理的概念与性质 1.管理的定义 （1）世界著名管理学家对管理下的定义： 科学管理之父泰罗对管理下的定义：确切知道你要别人去干什么，并使他用最好的方法去干。 诺贝尔经济学奖获得者赫伯特·西蒙对管理学下的定义：管理即制定决策。“现代经营管理之父”亨利·法约尔认为：管理是所有的人类组织都有的一种活动，这种活动由5项要素构成：计划、组织、指挥、协调和控制。 ! 现代管理大师哈罗德·孔茨对管理下的定义：管理是设计并保持一种良好的环境，使人在群体里高效地完成既定目标的过程，他认为管理包括计划、组织、人事、领导和控制5个职能，管理的目标就是创造盈余 斯蒂芬.P.罗宾斯认为，管理就是同别人一起或通过别人使活动完成得更加有效的过程，这个过程包括计划、组织、领导和控制4个职能。 综合以上各种管理的定义，可给出如下定义： 管理是在特定的环境下，运用和整合组织资源，通过计划、组织、领导、控制等来协调组织中的群体行为，达成组织既定目标和责任的动态创造性活动。 2.管理的二重性 管理的自然属性是与生产力的发展相联系的，它反映了社会化大生产要求生产过程中的各个方面能协调一致，有序进行，以提高生产的效率的客观要求。 管理的社会属性是与生产关系、社会制度相联系的，它要代表一定社会制度中的一定阶级的意志，反映一定阶级的利益要求。因此从管理学的社会属性来看，社会主义的管理和资本主义的管理存在着本质的区别。 ！ 3.管理的科学性和艺术性 管理的科学性是管理作为一个活动过程，人们通过一个多世纪的不断研究和探索，已经抽象总结出了一套比较完整的、反映管理过程中客观规律的知识体系。人们一方面利用这些理论和方法来指导自身的管理实践，解决新的管理问题，另一方面又以管理活动的结果来衡量管理过程中所使用的理论和方法是否正确，是否行之有效，从而使管理的科学理论和方法在实践中得到不断的验证、丰富和发展。因此，管理是一门科学，是有规律可循的。 管理不是一门不精确的科学，而且还是一门正在发展的科学。管理科学没有，也不可能为管理者提供解决一切问题的标准答案，他只是探索管理的一般规律，指导人们按照客观规律的要求，从实际出发，创造性地进行管理工作。从这个意义上讲，管理又是一门艺术，即利用系统化的知识——科学，并根据实际情况发挥创造性的艺术。 二、管理的要素、职能、任务和作用 1.管理的要素：
管理学原理知识点总结 一、选择 1、管理者的角色（或者简答） 人际关系方面的角色：挂名首脑、领导者、联络者 信息传递方面的角色：监听者、传播者、发言人 决策制定方面的角色：企业家、调解人、资源分配者、谈判者 2、基层管理者侧重短期的作业计划。 3、在这样的背景下，19世纪末20世纪初，美国出现了持续四五十年的社会性管理研究潮流，这一时期被人们称为“管理运动”。 4、法约尔的一般管理理论是西方古典管理理论的重要代表，后来成为管理过程学派的理论基础。 5、韦伯认为等级、权利和科层制度是一切社会组织的基础。对于权力，他认为有三种类型：超凡权力、传统权力和法定权力。法定权力是法律规定的权力，只有它才能作为科层组织体系的基础。 6、韦伯被后人称为“组织理论之父”。 7、以泰勒、法约尔、韦伯等人的理论为代表的古典管理理论广泛传播和实际应用，大大提高了效率。 8、古典管理理论学派的理论前提是“经济人”假设。 9、经验主义学派主张通过分析大企业的管理经验来研究管理问题。 10、系统管理学派将企业作为一个有机整体，以系统的观点分析企业内部和企业同周围环境的关系。 11、权变理论学派认为，在管理中要根据企业所处的内外部条件随机
而变，没有什么一成不变、普遍适用的“最好的”管理理论和方法。 12、企业文化包括精神文化、制度文化和物质文化三个层次，其中精神文化是核心。 13、管理的14条基本原则:劳动分工、权力与责任、纪律、统一指挥、统一领导、个人利益服从整体利益、人员报酬、集中、等级链、秩序、公平，人员稳定、首创精神、团队精神 14、根据环境不确定性的程度，把环境分为动态环境和稳定环境 15、根据环境内容的性质，把环境分为政治法律环境、经济环境、社会文化环境、科学技术环境和自然环境 16、管理的特殊环境主要包括顾客、供应商、竞争者、管理机构和战略联盟伙伴 17、滚动式计划发：分段编制，近细远粗 18、组织目标是环境因素、组织系统本身以及组织成员需要三方力量相互协调的产物 19、定向预测方法：是专家调查法,包括专家会议法和德尔菲法。 20、按照决策的重复程度可分为程序化决策和非程序化决策。 21、预测种类包含：经济预测、技术预测、社会和政治预测。其中经济预测包括宏观经济预测和微观经济预测。 22、宏观经济预测内容：最终产品的社会需要量、非生产性的社会需求、再生产的社会条件、财政税收信贷储蓄等的变动、国民生产总值、国民收入、社会总需求、劳动力的需求与供给等。 23、宏观经济预测的用途：为制定国民经济规划，经济计划和经济政
管理学知识点汇总 第一章管理概述 管理的概念:是指在一定条件下，组织中的管理者通过计划、组织、领导、控制等职能，协调各类资源，以实现共同目标的过程。管理的主体是管理者；载体是组织；手段是计划、组织、领导、控制；本质是协调；对象是人，财，物，信息等各类资源；目的是实现共同目标。 管理的核心：决策管理的基本职能（四个）：计划、组织、领导、控制 管理者的技能:①技术性技能②人际关系技能③概念性技能（构想技能） 管理的性质：①管理的二重性，即自然属性和社会属性。（马克思主义的基本观点）②管理的科学性和艺术性。3普遍性 管理者分类：按层次分：高层中层基层（中层管理者比基层管理者更多地依靠正式权力与沟通技巧）按内容分：战略战术执行 按综合程度分：综合专业 管理者素质：①良好的思想品德素质②知识能力素质③身体素质 亨利.明茨伯格［加］—角色 人际关系角色：代表人（挂名首脑）领导者联络者 信息传递角色：监听者传播者发言人 决策制定角色：企业家谈判者混乱驾驭者资源分配者 科学管理理论：泰勒吉尔布雷斯夫妇甘特 泰罗（勒）［美］，1911年《科学管理原理》—科学管理之父 科学管理原理内容：1工作定额原理2为工作挑选“第一流的工人”3标准化原理4有差别的计件工资制5劳资双方的密切合作6职能工长制7把计划职能同执行职能分开8例外原则 科学管理理论着重研究如何提高单个工人的生产率。 组织管理理论亨利.法约尔马克斯.韦伯切斯特.巴纳德 亨利．法约尔［法］，1916年《工业管理与一般管理》—组织管理理论之父【第一个概括和阐述一般管理理论的管理学家】 一、区别经营和管理：六大活动：商业，安全，技术，财务，会计，管理 二、管理的职能：五大职能：计划，组织，指挥，协调，控制 三、管理的十四项原则：14条基本原则：分工，权利与责任，纪律，统一指挥，统一领导，个人利益服从集体利益，报酬合理，等级制度与跳板，适当的集权与分权，秩序，公平，人员稳定，首创精神，人员的团结 四、管理教育的重要性。管理是一种独立的适用于所有类型事业的活动；随着管理层级的不断上升，管理能力越重要；管理是能够传授的。 五、管理的普遍性。 马克思.韦伯［德］，《社会组织和经济组织》—行政管理理论【组织理论之父】 韦伯理想的行政组织体系的主要特点如下： 权威来源：①合理合法式权威②传统式权威③个人崇拜式权威 行为科学理论（20世纪20年代） 梅奥［美］—霍桑实验 1车间照明实验 2继电器装配试验（福利试验）-工作环境和物质条件间接影响着劳动生产率的提高 3大规模访谈计划-社会归属和人际关系 4接线板绕线组的工作室试验-正式组织中存在着非正式组织 霍桑实验结论①工人是社会人，而不是经济人*企业中存在着非正式组织*新的领导能力在于提高工人的满意度 正式组织以效率逻辑为主要标准，非正式组织以感情逻辑为主要标准 行为科学的主要研究内容：个体行为研究#动机与激励理论#群体行为研究#组织行为
第一步：初步理解该知识点的定理及性质 1、提出疑问：什么是抽屉原理？ 2、抽屉原理有哪些内容呢？ 【抽屉原理1】：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件； 【逆抽屉原理】：从n个抽屉中拿出多于n件的物品，那么至少有2个物品来至于同一个抽屉。 【抽屉原理2】：将多于mn件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于（m+1）件。 第二步：学习最具有代表性的题目 【例1】证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。 【例2】对于任意的五个自然数，证明其中必有3个数的和能被3整除。 【总结】以上的例题都是在考察抽屉原理在整除与余数问题中的运用。以上的题目我们都是运用抽屉原理一来解决的。 第三步：找出解决此类问题的关键 【例3】从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。 【例4】从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12。
【例5】从1到20这20个数中，任取11个数，必有两个数，其中一个数是另一个数的倍数。 ｛1，2，4，8，16｝ ｛3，6，12｝，｛5，10，20｝ ｛7，14｝，｛9，18｝ ｛11｝，｛13｝，｛15｝，｛17｝，｛19｝。 【总结】根据题目条件灵活构造“抽屉”是解决这类题目的关键。 第四步：重点解决该类型的拓展难题 我们先来做一个简单的铺垫题： 【铺垫】请说明，任意3个自然数，总有2个数的和是偶数。 【例6】请说明，对于任意的11个正整数，证明其中一定有6个数，它们的和能被6整除。 【总结】上面两道题目用到了抽屉原理中的“双重抽屉”与“合并抽屉”，都是在原有典型抽屉原理题目的基础上进行的拓展。 什么是抽屉原理？ （1）举例
(★★★) 在一个盒子里装着形状相同的三种口味的果冻，分别是苹果口味、巧克力口味和香芋口味的，每种果冻都有20个，现在闭着眼睛从盒子里拿果冻。请问： ⑴至少要从中拿出多少个，才能保证拿出的果冻中有香芋口味的？ ⑵至少要从中拿出多少个，才能保证拿出的果冻中至少有两种口味？ (★★★) 口袋中有三种颜色的筷子各10根，问： ⑴至少取多少根才能保证三种颜色都取到？ ⑵至少取多少根才能保证有2双颜色不同的筷子？ ⑶至少取多少根才能保证有2双颜色相同的筷子？ (★★★) 一个布袋里有大小相同的颜色不同的一些球，其中红色的有10个，白色的有9个，黄色的有8个，蓝色的有3个，绿色的有1个。那么一次最少取出多少个球，才能保证有4个颜色相同的球？ (★★★★) 将1只白手套、2只黑手套、3只红手套、8只黄手套和9只绿手套放入一个布袋里，请问： ⑴一次至少要摸出多少只手套才能保证一定有颜色相同的两双手套？ ⑵一次至少要摸出多少只手套才能保证一定有颜色不同的两双手套？(两只手套颜色相同即为一双)
(★★★★) 一副扑克牌54张。 ⑴一次至少要抽出多少张才能保证有3张花色相同？ ⑵一次至少要抽出多少张才能保证3种花色都有？ (★★★★★) ⑴从大街上至少选出多少人，才能保证至少有3人属相相同？ ⑵为保证至少5个人的属相相同，但不保证有6人属相相同，那么总人数应在什么范围内？ (★★★★★) 幼儿园小朋友分200块饼干，无论怎样分都有人至少分到8块饼干，这群小朋友至多有多少名？ 重点例题：例2，例4，例6
在线测试题 温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。 1．(★★★) 在一个袋子里装着形状相同的四种口味的糖果，分别是草莓口味、巧克力口味、菠萝口味和苹果口味的，每种糖果各有15块。现在闭着眼睛从盒子里拿果冻，那么至少要从中拿出()块，才能保证拿出的果冻中有菠萝口味的糖果。 A．16B．31C．46D．60 2．(★★★) 口袋中有四种颜色的筷子各6双，至少取()根才能保证四种颜色都取到；至少取()根才能保证有2双颜色相同的筷子。 A．37、13B．19、16C．25、12D．13、19 3．(★★★) 一个布袋里有大小相同的颜色不同的一些球，其中红色的有12个，白色的有11个，黄色的有9个，蓝色的有4个，绿色的有2个。那么一次最少取出()个球，才能保证有5个颜色相同的球。 A．20B．16C．14D．12 4．(★★★★) 将5只白手套、4只黑手套、8只红手套、10只黄手套和15只绿手套放入一个布袋里，那么一次至少要摸出()只手套才能保证一定有颜色相同的三双手套；一次至少要摸出()只手套才能保证一定有颜色不同的三双手套。(两只手套颜色相同即为一双) A．16、23B．24、20C．17、23D．25、29 5．(★★★★) 一副扑克牌54张。一次至少要抽出()张才能保证有4张花色相同；一次至少要抽出()张才能保证有2种花色。 A．16、19B．15、16C．20、19D．23、28 6．(★★★★) 为保证至少4个人的属相相同，但不保证有6人属相相同，那么总人数应在()范围内。 A．48至72B．48至60C．36至61D．37至60
第一章管理与管学 一、管理的概念与属性 【1】管理的概念：管理是社会组织中为了实现预期的目标，以人为中心进行的协调活动。包括：（1）管理的目的是为了实现预期目标 （2）管理的本质是协调 （3）协调必产生在组织中，协调的中心是人，协调的法具有多样性。 【2】管理的二重性 管理的自然属性：体现人与物的关系 强调管理的自然属性，就是强调其不以人的意志为转移、也不因社会制度和意识形态的不同而有所改变的基本性质或一般性质。从这个意义上说，管理活动完全是一种客观存在。 管理的社会属性：体现人与人的关系 强调管理的社会属性，就是强调其不能脱离特定生产关系和特定社会制度、不能回避管理为谁的利益而服务的特殊性质或社会性质。从这个意义上说，尽管社会历经变迁，但管理的这种特殊性质从根本上仍然没有改变 【3】管理的科学性、艺术性与技术性 管理的科学性：遵循客观规律、客观规则，具有普遍性和真理性。 管理的艺术性：富有创造性 管理的技术性：技术手段、法 二、管理的主体与客体 【1】管理者：管理者是从事管理工作，负有领导和指挥下属完成任务职责的人。是指挥别人活动的人。管理者是管理的主体。 管理者的层次：高层管理者中层管理者基层管理者操作者
高层:全面负责整个组织的管理,负责制定组织的总目标、总战略，掌握大政针并评价整体绩效---“挥手” 中层：贯彻执行高层管理者制定的重大决策，监督协调基层管理人员的工作，注重日常的管理事务---“叉腰” 基层：给下属作业人员分派具体工作任务，直接指挥和监督现场作业活动，保证各项活动的有效完成 管理者技能：基本技能一：技术技能；运用管理者所监督的专业领域中的过程、惯 例、技术和工具的能力 基本技能二：人际技能；成功地与别人打交道并与别人沟通的能力 基本技能三：概念技能；把观点设想出来并加以处理以及将关系抽 象化的精神能力 管理者的角色：正式权力和地位： 人际角色：代表人、领导者、联络者 信息角色：监督者、传播者、发言人 决策角色：企业家、干扰对付者、资源分配者、谈判者 【2】管理的客体 管理的客体是组织的各种资源，包括无形资源和有形资源。 市场资源、知识产权资源、人力资源、财力资源、基础结构资源、组织能力资源 三、管理的职能：管理具有计划、组织、领导、控制和创新这五种最基本的职能 四、管理学的对象与法： 管理学以各种管理工作中普遍适用的原理和法作为自己的研究对象。 管理学的研究法：归纳法、实验法、演绎法 小结
奥数知识点解析之抽屉原理 第一步：初步理解该知识点定理及性质 1、提出疑问：什么是抽屉原理？ 2、抽屉原理有哪些内容呢？ 【抽屉原理1】：将多于n件物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一种抽屉中物品不少于2件； 【逆抽屉原理】：从n个抽屉中拿出多于n件物品，那么至少有2个物品来至于同一种抽屉。 【抽屉原理2】：将多于mn件物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一种抽屉中物品不少于（m+1）件。 第二步：学习最具备代表性题目 【例1】证明：任取8个自然数，必有两个数差是7倍数。 【例2】对于任意五个自然数，证明其中必有3个数和能被3整除。 【总结】以上例题都是在考察抽屉原理在整除与余数问题中运用。以上题目咱们都是运用抽屉原理一来解决。 第三步：找出解决此类问题核心 【例3】从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。
【例4】从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几种数，就可以保证其中一定涉及两个数，它们差是12。 【例5】从1到20这20个数中，任取11个数，必有两个数，其中一种数是另一种数倍数。 ｛1，2，4，8，16｝ ｛3，6，12｝，｛5，10，20｝ ｛7，14｝，｛9，18｝ ｛11｝，｛13｝，｛15｝，｛17｝，｛19｝。 【总结】依照题目条件灵活构造“抽屉”是解决此类题目核心。 第四步：重点解决该类型拓展难题 咱们先来做一种简朴铺垫题： 【铺垫】请阐明，任意3个自然数，总有2个数和是偶数。 【例6】请阐明，对于任意11个正整数，证明其中一定有6个数，它们和能被6整除。 【总结】上面两道题目用到了抽屉原理中“双重抽屉”与“合并抽屉”，都是在原有典型抽屉原理题目基本上进行拓展。 什么是抽屉原理？
第一篇绪论 一管理与管理学 1、管理就是由一个或者更多的人来协调他人的活动，以便收到个人单独活动所不能收到的效果而进行的活动。管理就是计划、组织、控制等活动的过程。 管理是指组织中的管理者通过实施计划、组织、人员配备、领导、控制等职能来协调他人的活动使他人 同自己一起实现既定目标的活动过程。 2、管理的基本特征： （1）管理是一种文化现象 存在管理必须具备两个必要条件: (1)两个人以上的集体活动，(2)有一致认可的目标。 （2）管理的主体是管理者管理者的责任（德鲁克） 管理一个组织，即确定组织的使命、目标以及如何实现目标； 管理管理者，即管理者要培训下属，并运用目标管理和自我控制进行管理； 管理工作和工人，激发员工的积极性和创造性。 （3）管理的任务、职能与层次 管理的任务：设计和维持一种环境，使在这一环境中工作的人们能够用尽可能少的支出，实现既定的目标。 管理的五大基本职能：计划、组织、人员配备、领导、控制（法约尔提出） 管理的层次：上、中、下三个管理层次 （4）管理的核心是处理好人际关系。 3、为什么书管理既是一门科学，又是一种艺术？ （1）管理是一门科学，目前管理知识已经成为系统化的知识体系，包括一系列行之有效的管理方法和技术；（2）管理也是一门艺术。管理的艺术性强调的是管理的实践性，即管理活动要因地、因时、因人而制宜，具有灵活性； （3）最富有成效的管理艺术建立在对管理理论的理解之上。靠经验、凭直觉、碰运气，难以取得有效成果；（4）靠背诵管理原理和原则，忽视实际情况，缺乏创造性，其管理活动也会是无效的。 4、管理的两重性是马克思主义关于管理问题的基本观点。管理的两重性反映出管理的必要性（即管理是有效组织劳动所必需的）和目的性（即管理反映了生产资料占有者组织劳动的目的） 5、为什么要掌握管理两重性（自然属性、社会属性）的重要意义？ （1）认真总结我国在管理理论与实践上正反两方面的经验教训，更好地发挥社会主义制度的优越性； （2）注意学习引进国外对我们有益的管理理论、技术和方法。 （3）结合实际随机制宜的学习运用。 6、管理学是一门系统的研究管理过程的普遍规律、基本原理和一般方法的科学。 7、管理学的特点1.一般性 2.多科性 3.历史性 4.实践性（多选） 8、管理学是一门系统研究管理过程的普遍规律、基本原理和一般方法的科学。管理学研究和范围大体分为三个层次或侧重点： （1）根据管理活动总是在一定社会生产方式下进行的，其研究内容分为.生产力方面、生产关系方面、深层建筑。 （2）从历史的角度研究管理实践、管理思想及管理理论的形成与演变过程。 （3）从管理者的基本职能或工作出发.研究管理活动的原理、规律和方法。 9、为什么要学习、研究管理学？（简答） （1）管理的重要性决定了学习、研究管理学的必要性。 （2）学习、研究管理学是培养管理人员的重要手段之一。 （3）学习、研究管理学是未来的需要。 10、学习和研究管理学的方法？ （1）唯物辩证法（2）系统方法（3）理论联系实际的方法 11、系统是指由相互作用和相互依赖的若干组成部分结合而成的、具有特定功能的有机整体系统本身又是它从属的一个更大系统的组成部分。 12、系统的特性：1.整体性 2.目的性 3.开放性4.交换性 5.相互依赖性 6.控制性 整体性，有效的管理总能带来“整体大于部分”的效果，也即1+1>2的效果 13、系统的观点： （1）整体观点（2）“开放性”与“封闭性”（3）封闭则消亡的观点（4）模糊分界的观点 （5）保持“体内动态平衡”的观点（6)信息反馈观点（7)分级观点（8）不断分化和完善的观点 （9）等效观点 二管理学的形成与发展 1、18世纪到19世纪末是管理学的萌芽阶段。19世纪末20世纪初泰罗科学管理理论的出现，是管理学形成的标志。管理学形成和发展过程总结 (1)各种管理思想：19世纪末以前 (2)古典管理论阶段：20世纪初泰罗科学管理理论出现到1930年代行为科学理论出现，特点是标准化、制度化； (3)人际关系学说与行为科学理论阶段：1930年代--1950年代，主要指行为科学理论的形成和发展，特点是重视人的因素； (4)管理理论丛林：1950年--1960年代，这一阶段管理理论学派林立，全面性、系统性和精确性是这一阶段的特