第1课 二次函数在闭区间上的最值
一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。 一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.
设)0()(2
≠++=a c bx ax x f ，求)(x f 在][n m x ，∈上的最大值与最小值。
分析：将)(x f 配方，得顶点为???? ?
?--a b ac a b 4422，、对称轴为a b
x 2-= 当0>a 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上)(x f 的最值：
（1）当[]n m a b ，∈-2时，)(x f 的最小值是a b
ac a b f 4422
-=
??
? ??-， )(x f 的最大值是)()(n f m f 、中的较大者。
（2）当),(2m a b
-∞∈-
时，)(x f 在[]n m ，上是增函数则)(x f 的最小值是)(m f ，最大值是)(n f （3）当),(2+∞∈-n a
b
时，)(x f 在[]n m ，上是减函数则)(x f 的最大值是)(m f ，最小值是)(n f
当0 （一）、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形： （1）轴定，区间定； （2）轴定，区间变； （3）轴变，区间定； （4）轴变，区间变。 1. 轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。 例1. 函数242 -+-=x x y 在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 练习. 已知x x 322 ≤，求函数1)(2 ++=x x x f 的最值。 2、轴定区间变 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。 例2. 如果函数f x x ()()=-+112 定义在区间[] t t ，+1上，求f x ()的最小值。 例3. 已知32)(2 +-=x x x f ，当]1,[+∈t t x ，()R t ∈时，求)(x f 的最大值． 观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个理解，不难解释第二个例题为 典型例题 基础过关 什么这样讨论。 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当a >0时??? ???? +<-+≥-=) )((212)())((2 12)()(21max 如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ?? ? ? ? ? ??? <-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f 当0 ? ????? <-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(876max 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()min =-≥+-<+?? ??? ??，，如图如图212212910 3、轴变区间定 二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。 例4. 已知x 21≤，且a -≥20，求函数f x x ax ()=++2 3的最值。 例5. (1) 求2 f (x )x 2ax 1=++在区间[-1,2]上的最大值。 (2) 求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值。 4. 轴变区间变 二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。 例6. 已知)(42 a x a y -= ()0>a ，求()22 3y x u +-=的最小值。 （二）、逆向型 是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。 例7. 已知函数2 ()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值。 例8. 已知函数2 ()2 x f x x =-+在区间[,]m n 上的最小值是3m 最大值是3n ，求m ，n 的值。 评注：解法利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m ，n 的取值范围，避开了繁 难的分类讨论，解题过程简洁、明了。 例9. 已知二次函数2 f (x )ax (2a 1)x 1=+-+在区间?? ? ???- 2,23上的最大值为3，求实数a 的值。 解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程简洁、明了。 巩固训练 1．函数y 12 ++=x x 在]1,1[-上的最小值和最大值分别是（ ） )(A 1 ,3 ) (B 43 ,3 （C ）21- ,3 （D ）4 1 -, 3 2．函数242 -+-=x x y 在区间]4,1[ 上的最小值是（ ） )(A 7- )(B 4- )(C 2- )(D 2 3．函数5 48 2 +-= x x y 的最值为（ ） )(A 最大值为8，最小值为0 )(B 不存在最小值，最大值为8 （C ）最小值为0, 不存在最大值 )(D 不存在最小值，也不存在最大值 4．若函数]4,0[,422∈+--=x x x y 的取值范围是______________________ 5．已知函数f x ax a x a ()()()[]=+--- 2 21303 2 2≠在区间，上的最大值是1，则实数a 的值为 6．如果实数y x ,满足12 2 =+y x ，那么)1)(1(xy xy +-有（ ） (A) 最大值为 1 , 最小值为 21 (B) 无最大值，最小值为4 3 （C ）最大值为 1, 无最小值 (D) 最大值为1，最小值为4 3 7．已知函数322 +-=x x y 在闭区间],0[m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（ ） (A) ),1[+∞ (B) ]2,0[ (C) ]2,1[ (D) ]2,(-∞ 8．若12,0,0=+≥≥y x y x ，那么2 32y x +的最小值为__________________ 9．设21,,x x R m ∈是方程0122 2=-+-m mx x 的两个实根，则2 22 1x x +的最小值______ 10．设),](1,[,44)(2 R t t t x x x x f ∈+∈--=求函数)(x f 的最小值)(t g 的解析式。 11．已知)(x f 2 2 a ax x + -=，在区间]1,0[上的最大值为)(a g ，求)(a g 的最小值。 12. 设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--. (1) 若(0)1f ≥，求a 的取值范围；(2) 求()f x 的最小值； (3) 设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．不等式()1h x ≥的解集(不需给出演算步骤). 第2课 函数的定义域和值域 一、定义域： 1．函数的定义域就是使函数式 的集合. 基础过关 2．常见的三种题型确定定义域： ① 已知函数的解析式，就是 . ② 复合函数)]([x g f 的有关定义域，就要保证内函数)(x g 的 域是外函数)(x f 的 域. ③ 实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合. 二、值域： 1．函数)(x f y =中，与自变量x 的值 的集合. 2．求函数值域的常用方法： ①观察法； ②配方法； ③反函数法； ④不等式法； ⑤单调性法； ⑥数形法； ⑦判别式法； ⑧有界性法； ⑨换元法 例如：① 2 21x y += ，可采用 法； ② 2312++=x x y )3 2 (-≠x ，可采用 法或 法； ③ c x bf x f a y ++=)()]([2 ，可采用 法； ④ x x y --=1，可采用 法； ⑤21x x y --=，可采用 法； ⑥ x x y cos 2sin -=可采用 法等. 例1. 求下列函数的定义域： （1）x x x y -+= ||)1(0; (2)23 253 1 x x y -+-= ; (3) 1·1-+=x x y . 变式训练1：求下列函数的定义域： （1）0 2 )1(12) 2lg(-+-+-= x x x x y ; (2)02 )45()34lg(-++=x x x y ; 2. 设函数)(x f y =的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域. （1）)3(x f y =; （2）)1 (x f y =; （3）)3 1()31(-++=x f x f y ; （4）)()(a x f a x f y -++=. 变式训练2：若函数)(x f 的定义域是［0，1］，则)()(a x f a x f -?+（0＜a ＜2 1）的定义域是 （ ） A.? B.]1,[a a - C. ]1 ,[a a +- D.［0，1］ 例3. 求下列函数的值域： （1）;122+--=x x x x y (2) x x y 21--=; (3)1 e 1 e +-=x x y . 变式训练3：求下列函数的值域： （1）5 21+-= x x y ; (2) 2 1x x y -?=. 典型例题 例4．若函数a x x x f +-= 2 2 1)(的定义域和值域均为［1，b ］ （b ＞1），求a 、b 的值. 变式训练4：已知函数624)(2 ++-=a ax x x f (x∈R). （1）求函数的值域为［0，+∞)时的a 的值； （2）若函数的值均为非负值，求函数32)(+-=a a a f 的值域. 第3课 指数、对数和幂函数 1．指数：(1) 规定：① a 0＝ (a ≠0)； ② a -p ＝ ； ③ (0,m n m n a a a m => . (2) 运算性质：① a a a a s r s r ,0(>=?+ (a>0, r 、∈s R ) ② a a a s r s r ,0()(>=? (a>0, r 、∈s R ) ③ >>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( 2．指数函数： ① 定义：函数 称为指数函数， ② 性质： 1) 函数的定义域为 ； 2) 函数的值域为 ； 3）恒过定点 ， 4) 当________时函数为减函数， 当_______时为增函数. ③ 函数图象： 3．对数：(1) 定义：如果N a b =)1,0(≠>a a 且，那么 ，其中a 称为对数的底，N 称为真数. (2) 基本性质：①01log =a ； ②1log =a a ； ③N a N a =log ．④m a b n log = 换底公式log a N ＝ 4．对数函数： ① 定义：函数 称为对数函数， ② 性质 1) 函数的定义域为 ； 2) 函数的值域为 ；3）恒过定点 ， 4) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数； 5) 函数x y a log =与函数 )1,0(≠>=a a a y x 且互为反函数. ③ 函数图象： 5．幂函数：① 定义：我们把形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数； ② 性质：（1）幂函数的图象都过点 ； （2）任何幂函数都不过 象限； （3）当0α>时，幂函数在[0,)+∞上 ；当0α<时，幂函数在(0,)+∞上 ； （4）当2,2α=-时，幂函数是 ；当11,1,3,3 α=-时，幂函数是 ． ③ 函数图象： 1.指数函数 例1. 已知a=9 1 ,b=9. 求：（1）;3 15 3 8 3327 a a a a ?÷ -- （2）1 1 1) (---+ab b a . 变式训练1：化简下列各式（其中各字母均为正数）: （1） ;)(6 5 3 1 2121132 b a b a b a ????- - （2）.)4()3(6 521 3321 21231----?÷-??b a b a b a 基础过关 例2. 函数f(x)=x 2 -bx+c 满足f(1+x)=f (1-x)且f(0)=3,则f(b x )与f(c x )的大小关系是 （ ） A.f(b x )≤f(c x ) B.f(b x )≥f(c x ) C.f(b x )＞f(c x ) D.大小关系随x 的不同而不同 变式训练2：已知实数a 、b 满足等式11( )()23 a b =，下列五个关系式中，不可能成立的关系式有（ ）个 ① 0＜b ＜a; ②a ＜b ＜0; ③0＜a ＜b; ④b ＜a ＜0; ⑤a=b. 例3. 求下列函数的定义域、值域及其单调区间： （1）f(x)=3 4 52+-x x ; （2）g(x)=-11 ( )4()542 x x ++. 变式训练3：求下列函数的单调递增区间： （1）y=(2 26) 2 1 x x -+; (2)y=2 6 2--x x . 例4．设a ＞0,f(x)= e e x x a a +是R 上的偶函数. （1）求a 的值； （2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数. 变式训练4：已知定义在R 上的奇函数f(x)有最小正周期2即(2)()f x f x +=，且当x ∈(0,1)时， f(x)=241 x x +. （1）求f （x)在［-1，1］上的解析式；（2）证明：f(x)在（0，1）上是减函数. 2.对数函数 例1 计算：（1）23 log (23)+ -（2）2(lg 2)2 +lg 2·lg5+ 2(lg 2)lg 21-+; 变式训练1：化简求值. （1）(lg2)2+lg2·lg50+lg25;（2）(log 32+log 92)·(log 43+log 83). 例2 比较下列各组数的大小.（1）log 33 2与log 55 6; （2）log 1.10.7与log 1.20.7; 变式训练2：已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a b b b b a 1log ,log ,1的大小关系是 （ ） A.log a b b b b a 1 log log 1<< B.b b b b a a 1log 1log log << C.b b b a b a 1log 1log log << D.b b b a a b log 1 log 1log << 例3已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a 的 取值范围. 变式训练3：已知函数f （x ）=log 2(x 2 -ax-a)在区间（-∞,1-3］上是单调递减函数.求实数a 的 取值范围. 例4 已知函数1 3 1()log 1x f x x +=-．（1）求)(x f 的定义域； （2）判断)(x f 的奇偶性并予以证明； （3）若()0f x > 求实数x 的取值范围 变式训练4 已知).1,0(11log )(≠>-+=a a x x x f a （1）求f (x )的定义域;（2）判断f (x )的奇偶性并予以证明;（3）求使f (x )＞0的x 取值范围. 3.幂函数 例1.写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性： （1）2 2 y x x -=+ （2）112 2 y x x - =+ （3）1124 ()3()f x x x =+- 变式训练1：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性： （1）43 y x - = （2）54 y x = （3）12 y x - = 例2比较大小：（1）112 2 1.5,1.7 （2）33 ( 1.2),( 1.25)-- （3）112 5.25,5.26,5.26--- （4）30.530.5,3,log 0.5 变式训练2：将下列各组数用小于号从小到大排列： （1）2 223332.5,( 1.4),(3)-- （2）3338 420.16,0.5,6.25- - （3）113 323255(),(),log 333 -- 例3已知幂函数2 23 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值． 分析：幂函数图象与x 轴、y 轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合m Z ∈，便可逐步确定m 的值． 变式训练3：证明幂函数1 2 ()f x x -=在(0,)+∞上是减函数． 例1（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围； （2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围 （4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2 3[-上的最大值为1，求实数a 的值。 解（1）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1( 高中数学-二次函数定区间上最值问题 一、二次函数知识点回顾 （一）二次函数的概念： 一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． （二）二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大； 当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小； 当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a -． （三）二次函数基本形式： 1、2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 二、二次函数闭区间上的最值解题思路分析 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 如设： f x a x b xc a ()() =++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 方法思路分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a a c b a 2442，、对称轴为x b a =- 2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上 f x ()的最值： 数学高一函数练习题（高一升高二衔接） 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴33y x =+- ⑵y = ⑶01(21)111 y x x = +-+ - 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -= + ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 22 5941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y =⑽ 4y = ⑾y x =6、已知函数22 2()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1 ()()1 f x g x x += -，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y = ⑶ 2 61y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236x y x -= +的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x ； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。 [A 基础达标] 1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋5(0≤x <5)的值域为( ) A ． (0，5] B ．[0，5] C ．[5，9] D ．(0，9] 解析：选D.f (x )＝－x 2＋4x ＋5＝－(x －2)2＋9(0≤x <5)，当x ＝2时，f (x )最大＝9；当x >0且x 接近5时，f (x )接近0，故f (x )的值域为(0，9]． 2．已知函数y ＝x 2－6x ＋8在[1，a )上为减函数，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤3 B ．0≤a ≤3 C ．a ≥3 D ．10时，f (x )的对称轴为x ＝12a ，在????－∞，12a 上是递减的，由题意(－∞，2)?? ???－∞，12a ， 所以2≤12a ，即a ≤14 ，综上，a 的取值范围是????0，14. 4．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( ) A ．f (－2)＜f (0)＜f (2) B ．f (0)＜f (－2)＜f (2) C ．f (2)＜f (0)＜f (－2) D ．f (0)＜f (2)＜f (－2) 解析：选D.函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x 都有f (1＋x )＝f (－x )．可知函数f (x )图像的对称轴为x ＝12 ，又函数图像开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大，故选D. 5．设二次函数f (x )＝－x 2＋x ＋a (a <0)，若f (m )>0，则f (m ＋1)的值为( ) §1．3．1函数的最大（小）值 一．教学目标 1．知识与技能： 理解函数的最大（小）值及其几何意义． 学会运用函数图象理解和研究函数的性质． 2．过程与方法： 通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值，有利于培养以形识数的解题意识． 3．情态与价值 利用函数的单调性和图象求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，激发学生学习的积极性． 二．教学重点和难点 教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义 教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值． 三．学法与教学用具 1．学法：学生通过画图、观察、思考、讨论，从而归纳出求函数的最大（小）值的方法和步骤． 2．教学用具：多媒体手段 四．教学思路 （一）创设情景，揭示课题． 画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ ①()3f x x =-+ ②()3 [1,2]f x x x =-+∈- ③2 ()21f x x x =++ ④2 ()21[2,2]f x x x x =++∈- （二）研探新知 1．函数最大（小）值定义 最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =． 那么，称M 是函数()y f x =的最大值． 思考：依照函数最大值的定义，结出函数()y f x =的最小值的定义． 注意： ①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0x I ∈，使得0()f x M =； ②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x I ∈，都有 ()(())f x M f x m ≤≥． 2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法． ①配方法 ②换元法 ③数形结合法 （三）质疑答辩，排难解惑． 例1．（教材P 30例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值． 解（略） 例2．将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？ 解：设利润为y 元，每个售价为x 元，则每个涨（x －50）元，从而销售量减少 10(50),x -个共售出500-10(x-50)=100-10x(个) ∴y=(x-40)(1000-10x) 9000(50x +≤2=-10(x-70)＜100） ∴max 709000x y ==时 答：为了赚取最大利润，售价应定为70元． 例3．求函数2 1 y x = -在区间 上的最大值和最小值． 解：（略） 例4．求函数y x =+ 解：令201t x t =≥=-+有则 2215 1()024 y t t t t =-++=--+ ≥Q 21()02t ∴--≤ 2155 ()244 t ∴--+≤ .∴5 原函数的最大值为4 高一数学第二单元一二次函数知识点及测试题 一次函数二次函数知识点： 一、定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx （k为常数，k≠0） 二、一次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数） 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1．作法与图形：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点） 2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。 3．k，b与函数图像所在象限： 当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b＞0时，直线必通过一、二象限； 当b=0时，直线通过原点 当b＜0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。 这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式： 已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。 （1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。 （2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ①和y2=kx2+b …… ② （3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。 （4）最后得到一次函数的表达式。 高一数学 必修一 第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题 (18) 一、选择题（本大题共9小题，共45.0分） 1. 若a >b ，则下列正确的是( ) A. a 2>b 2 B. ac >bc C. ac 2>bc 2 D. a ?c >b ?c 2. 不等式?2x 2+x +3≤0的解集是( ) A. {x|?1≤x ≤3 2} B. {x|x ≤?1或x ≥3 2} C. {x|x ≤?3 2或x ≥1} D. {x|?3 2≤x ≤1} 3. 下列各函数中，最小值为2的是( ) A. y =x +1 x B. y =sinx +1 sin x ，x ∈(0,π 2) C. y =2√x 2+2 D. y =x ?2√x +3 4. 下列四个结论中正确的个数是( ) (1)对于命题p:?x 0∈R 使得x 02?1≤0，则?p:?x ∈R 都有x 2?1>0； (2)已知X ～N(2,σ2)，则P(X >2)=0.5 (3)已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为y ?=2x ?3； (4)“x ≥1”是“x +1 x ≥2”的充分不必要条件． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 已知集合A ={y |y =1 2}，B ={x|x 2<4}，则A ∪B = A. (0,2) B. (?2,2) C. (?1,+∞) D. (?2,+∞) 6. 函数f(x)=?x 2+3x ?2a ，g(x)=2x ?x 2，若f(g(x))≥0对x ∈[0,1]恒成立，则实数a 的取 值范围为 A. (?∞,?2] B. (?∞,?1] C. (?∞,0] D. (?∞,1] 7. 已知函数f(x)=xe x +1 2x 2+x +a ，g(x)=xlnx +1，若存在x 1∈[?2,2]，对任意x 2∈[1 e 2,e]， 都有f (x 1)=g (x 2)，则实数a 的取值范围是( ) A. [?3?1 e ?2e 2,e ?3?2e 2] B. (?3?1 e ?2e 2,e ?3?2e 2) C. [e ?3?2e 2,3 2] D. (e ?3?2e 2,3 2) 8. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a =4，A =π 3，则该三角形面积的最 大值是( ) A. 2√2 B. 3√3 C. 4√3 D. 4√2 二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为- -?? ???b a ac b a 2442 ，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是 f b a ac b a f x -?? ???=-2442 ，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[] - ?b a m n 2，时 若-< b a m 2，由f x ()在[] m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n b a <-2，由f x ()在[] m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。 二、例题分析归类： （一）、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。 1. 轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。 例1. 函数y x x =-+-2 42在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 练习. 已知232 x x ≤，求函数f x x x ()=++2 1的最值。 2、轴定区间变 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的 最值”。 例2. 如果函数f x x ()()=-+112 定义在区间[] t t ，+1上，求f x ()的最值。 例3. 已知2 ()43f x x x =--+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最值． 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当a >0时??? ???? +<-+≥-=) )((212)())((2 12)()(21max 如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ?? ? ? ? ? ??? <-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f 1.3.1函数的单调性与最大（小）值（第一课时） 教学设计 一、教学内容解析： (1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点； 本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》（以下简称“新教材”）第一章节。 函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如增函数表现为“随着x增大，y也增大”这一特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质． 函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质． 函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法：加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画． 函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位． 教学的重点是：引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间D上任意取x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2)），则称函数f（x）在区间D上是增函数（或减函数）． (2)教学内容的知识类型； 在本课教学内容中，包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识，函数单调性的符号语言表述属于事实性知识，利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识，发现问题----提出问题----解决问题的研究模式，以及从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法，属于元认知知识. (3)教学内容的上位知识与下位知识； 在本课教学内容中，函数的单调性，是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识. (4)思维教学资源与价值观教育资源； 生活常见数据曲线图例子，能引发观察发现思维；函数f(x)= +1和函数 1 y x x =+，能引发 提出问题---分析问题----解决问题的研究思维，不等关系等价转化为作差定号，是转化化归思维的好资源，是树立辩证唯物主义价值观的好契机；创设熟悉的二次函数探究背景，是引发从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料，树立了“事物是普遍联系的”价值观. 二、教学目标设置： 本课教学以《普通高中数学课程标准（实验）》（以下统称为“课标”）为基本依据，以“数学育人”作为根本目标设置。 “课标”数学1模块内容要求是：不仅把函数看成变量之间的依赖关系，还要用集合与对应的语言刻画函数，体会函数的思想方法与研究方法，结合实际问题，体会函数在数学和其他学科中的重要性。 “课标”对本课课堂教学内容要求是：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.(第一课时) 为尽好达到以上要求，结合学生实际，本课课堂教学目标设置如下： (1)知识与技能： 理解函数单调性的概念，让学生能清晰表述函数单调性的定义与相关概念； 能利用图象法直观判断函数的单调性； 二次函数综合问题例谈 二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了. 学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题. 1. 代数推理 由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质. 1.1 二次函数的一般式c bx ax y ++=2 )0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数. 例1 已知f x ax bx ()=+2 ，满足1≤-≤f ()12且214≤≤f ()，求f ()-2的取值范围. 分析：本题中，所给条件并不足以确定参数b a ,的值，但应该注意到：所要求的结论不是()2-f 的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把1≤-≤f ()12和 4)1(2≤≤f 当成两个独立条件，先用()1-f 和()1f 来表示b a ,. 解：由()b a f +=1，()b a f -=-1可解得： ))1()1((2 1 )),1()1((21--=-+= f f b f f a （*） 将以上二式代入f x ax bx ()=+2 ，并整理得 ()()??? ? ??--+???? ??+=2)1(2122x x f x x f x f , ∴ ()()()1312-+=f f f . 又∵214≤≤f ()，2)1(1≤-≤f , ∴ ()1025≤≤f . 二次函数在各区间上的最值 一、知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设，求在上的最大值与最小值。 分析：将配方，得顶点为、对称轴为 当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上的最值： （1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。 （2）当时 若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是 若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是 当时，可类比得结论。 二、例题分析归类： （一）、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。 1. 轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。 例1.函数在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 解：函数是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上， 如图1所示。函数的最大值为，最小值为。 图1 练习. 已知，求函数的最值。 解：由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。 图2 2、轴定区间变 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。 例2. 如果函数定义在区间上，求的最小值。 解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。 如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值。 图1 如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。当时，函数取得最小值。 图2 如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。当时，函数取得最小值 综上讨论，?? ? ??<+≤≤>+-=0110,11 ,1)1()(22min t t t t t x f 图8 例3. 已知 2 ()23f x x x =-+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最大值． 解：由已知可求对称轴为1x =．高中数学二次函数分类讨论经典例题
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