二次函数、最简分式函数
一．基础知识自测题：
1．二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c (a 、b 、c 为常数，a ≠0)的图象当 a >0 时为 开口向上 的抛物线；当 a <0 时为开口向下的抛物线。
2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 为常数，a ≠0),当系数a , b , c 满足条件 b ＝0 时为偶函数。
3．二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c (a 、b 、c 为常数，a ≠0),当a >0时，函数的最 小 值是a
b a
c 442-; 当a <0时,
函数的最 大 值是a
b a
c 442
-。
4．分式函数y ＝x
k
(k ≠0)的图象当 k >0 时为 第一、第三象限 的双曲线；当 k <0 时为 第二、第四象限 的双曲线。 5．将函数y ＝
x 2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的图象是函数 21
2+-=x y 的图象。 6．已知函数y ＝－x 2
＋7x ＋2, x ∈[0, 2)，则( C )。 (A) y min ＝2, y max ＝
4
57
(B ) y min ＝2, y max ＝12 (C ) y min ＝2, 无最大值 (D ) y min ＝0, y max ＝2 7．函数y ＝
123-x x 的值域2
3
≠y 是。 8．不等式
2
3
3211+≤
+++x x x 的解集是 (―∞, ―3)∪(―2, ―1)∪[1, ＋∞) 。 二．基本要求、基本方法：
1．理解二次函数、分式函数的概念。
2．掌握二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系。
3．理解二次函数的图象与二次方程的根的分布，韦达定理的联系，并能灵活应用。 4．掌握一般分式函数y ＝
d cx b ax ++的图象与函数y ＝x
k
的图象的联系。
5．掌握求二次函数和分式函数的最大（小）值的方法。 例1． 画出函数y ＝|x 2
―x ―6|的图象，并求出此函数的单调区间。 解：方程x 2
―x ―6＝0的解是x 1＝－2, x 2＝3,
当x <－2或x >3时，x 2
―x ―6>0, 当－2 ―x ―6<0. 函数的图象如右图。 当x ∈(－∞，－2)时，函数y ＝|x 2 ―x ―6|是减函数； 当x ∈(－2， 2 1)时, 函数y ＝|x 2 ―x ―6|是增函数； 当x ∈(2 1, 3)时, 函数y ＝|x 2 ―x ―6|是减函数; 当x ∈(3, ＋∞)时，函数y ＝|x 2 ―x ―6|是增函数。 例2． 设x 1, x 2是方程2x 2 －4mx ＋(5m 2―9m ―12)＝0的两个实数根， (1) 将x 12＋x 22表示为m 的函数； (2) 求x 12＋x 22 的最大值和最小值。 解：(1) 方程有两个实数根，∴ △≥0, 16m 2 －8(5m 2 ―9m ―12)≥0, 解得－1≤m ≤4, x 12 ＋x 22 ＝(x 1＋x 2)2 －2x 1x 2＝－m 2 ＋9m ＋12, 其中－1≤m ≤4； (2) y ＝－m 2 ＋9m ＋12, 对称轴为x ＝4.5在区间－1≤m ≤4的右边， ∴函数的最大值是y max ＝f (4)＝32, 函数的最小值是y min ＝f (－1)＝2 评注：求二次函数的最大值与最小值的问题，要注意原函数的定义域，分析抛物线的对 称轴是否在定义域内，且要比较定义域的两个端点到对称轴的距离。 例3． 已知函数y ＝4x 2 －4ax ＋(a 2 －2a ＋2)在区间[0, 2]上的最小值是3，求实数a 的值。 解：函数y ＝4x 2 －4ax ＋(a 2 －2a ＋2)的对称轴是x ＝ 2 a , (1) 当 2 a ∈[0, 2]时,即 0≤a ≤4时, 函数的最小值是抛物线的顶点纵坐标， y min ＝－2a ＋2＝3，得a ＝－2 1 ?[0, 2], 舍去； (2) 当2 a <0时, 即a <0时，对称轴在区间[0, 2]的左边， y min ＝f (0)＝a 2 －2a ＋2＝3, 解得a ＝1±2, 又a <0, ∴a ＝1－2; (3) 当 2 a >2时, 即a >4时，对称轴在区间[0, 2]的右边， y min ＝f (2)＝a 2 －a ＋18＝3, 解得a ＝5±10, 又a >4, ∴a ＝5＋10. 综上得a 1＝1－2或a 2＝5＋10. 三．基本技能训练题： 1．已知二次函数f (x )＝x 2 ＋ax ＋b ，满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－ 2 1 )的值是（ A ）。 （A ） 343 （B ）43 （C ）143 （D ）24 3 2．已知f (x )＝1 1 -+x x (x ≠1, x ≠－1)，则f (－x )等于（ A ）。 （A ） )(1x f （B ）－f (x ) （C ）－) (1x f （D ）－f (－x ) 3．若函数f (x )＝ x -11，则f [)(1x f ]的表达式是x 1 。 4．已知函数y ＝ x x sin 3sin 3+-，则它的值域是}22 1 |{≤≤y y 。 5．下列四个命题中正确的是（ B ）。 （A ）函数y ＝3x ＋4的最大值是4 （B ）函数y ＝－(x ＋a )2 －b 的最大值是－b (a , b ∈R ) （C ）函数y ＝x 6的最小值是0 （D ）函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的最大值是a b ac 442-(a ≠0) 6．已知二次函数x 2 ＋kx ＋(k －2)，其图象的对称轴是x ＝－2，那么它的最小值是 －2 。 7．函数 2 12x x +的值域是 [－1，1]。 8．已知f (x 2 －x )＝x 4 －2x 3 ＋x 2 ＋1，则f [f (x )]的表达式是 x 4 ＋2x 2 ＋2。 四．试题精选 （一）选择题： 1．若二次函数y ＝x 2 ＋x ＋m 的图象总在x 轴的上方，那么实数m 的取值范围是（ B ）。 （A ）0 41 （B ）m >41 （C ）m ≥41 （D ）0≤m ≤4 1 2．二次方程x 2 ＋(a 2 ＋1)x ＋a －4＝0有一个实根大于1，另一个实根小于1，则a 的取值范围是（ C ）。 （A ）（1, ＋∞） （B ）（―∞, ―2） （C ）（－2, 1） （D ）[－2, 1] 3．如果y ＝241x x -+，那么（ D ）。 （A ）y 最小值＝5 （B ）y 最小值＝5 （C ）y 最大值＝5 （D ）y 最大值＝5 4．一个二次函数的顶点坐标是( 2 1 , 25)，且它与x 轴的两个交点的横坐标的立方和等于19，则这个二次函数的解析式是f (x )＝（ A ）。 （A ）－4x 2 ＋4x ＋24 （B ）4x 2 －4x －24 （C ）2x 2 －2x ＋24 21 （D ）－2x 2 ＋2x ＋252 1 5．已知函数f (x )的定义域是[4, 5]，则函数f (x 2 ＋3)的定义域是（ B ）。 （A ）[1, 2] （B ）[－2,－1]∪[1, 2] （C ）[2,＋∞) （D ）(－∞,－2]∪[2, ＋∞) 6． 已知二次函数y ＝ax 2 ―ax ―a (a ≠0)，那么它的图象可能是（ A ）。 （A ） （B ） （C ） （D ） 7．若方程x 2 －(k －1)x ＋1＝0有大于2的根，则实数k 的取值范围是（C ）。 （A ）(－∞, 27) （B ）(－∞, 27] （C ）(27, ＋∞) （D ）[2 7 , ＋∞) 8．已知二次函数的对称轴为x ＝2，它经过点(2, 3)，且与一次函数的图象交于点(0, －1)，而此一次函数的图象与y ＝3x 的图象平行，那么已知的二次函数的解析式是（A ）。 （A ）f (x )＝－x 2＋4x －1 （B ）f (x )＝－x 2 ＋4x ＋1 （C ）f (x )＝－x 2－4x ＋1 （D ）f (x )＝x 2 －4x ＋1 9．抛物线y ＝x 2 ＋(m －2)x ＋5－m 与x 轴的两个交点都在点(2, 0)的右方，则m 的取值范围是（A ）。 （A ）(－5, －4] （B ）(－∞, －4] （C ）(－∞, －2) （D ）(－∞, －5)∪(－5, －4) 10．若f (x )＝(m －1)x 2 ＋2mx ＋3是定义在(－∞, ＋∞)上的偶函数，那么f (x )在(0, ＋∞)上（B ）。 （A ）是增函数 （B ）是减函数 （C ）部分增，部分减 （D ）不能确定 （二）填空题： 11．已知函数f ( x x +-22)＝x ，则函数f (x )的表达式是1 ) 1(2)(+-=x x x f 。 12．已知函数f (x )＝x 2 －x ＋1，则函数f [f (－x )]＝ x 4 ＋2x 3 ＋2x 2 ＋x ＋1 。 13．已知函数f (x )＝x 2 ―2x ―3, x ≤0, 则f 1-(x )＝41+- x 3-≥x 。 14．已知函数y ＝x b a x b a cos cos -+ (a >b >0), 则它的最小值是b a b a +-；最大值是b a b a -+。 （三）解答题： 15．已知二次函数y ＝x 2 －2ax ＋a 2 －1在[0, 1]上是减函数，问当a 取何值时，函数y 在[0, 1]上的值满足y >0恒成立。 解：二次函数y ＝x 2 －2ax ＋a 2 －1的顶点为(a , －1), ∴它在(－∞, a )上为减函数，∴a ≥1, 又函数y 在[0, 1]上的值满足y >0恒成立，∴ 最小值f (1)>0, f (1)＝1－2a ＋a 2－1>0, ∴a >2或a <0(舍去). ∴ a >2. 16．设二次函数y ＝f (x )满足f (x －2)＝f (―x ―2)且图象在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段的长为22，求y ＝f (x )的解析表达式。 解：二次函数y ＝f (x )满足f (x －2)＝f (―x ―2)， ∴ y ＝f (x )的对称轴为x ＝－2, 由函数图象在 y 轴上的截距为1，∴ f (0)＝1， 函数图象在x 轴上截得的线段的长为22，∴ 它与x 轴的交点为(－2＋2, 0)和(－2－2, 0), 设 f (x )＝a (x ＋2－2)(x ＋2＋2), 将f (0)＝1代入，解得a ＝2 1 , ∴ f (x )＝ 2 1x 2 ＋2x ＋1 17．求函数y ＝ 1cos 22 sin -+θθ的值域。 解：将函数y ＝1 cos 22 sin -+θθ整理化简得2yc os θ－y －sin θ－2＝0, 引入辅助角得 142+y sin(θ＋φ)＝y ＋2, ∴ 1 422++y y ≤1, 化简得3y 2 －4y －3≥0, ∴ 3132--≤y ≤3 13 2+-. 18．已知函数y ＝2x 2 －2ax ＋3在区间[－1, 1]上的最小值是f (a )， (1) 求函数f (a )的解析表达式； (2) 求函数g (a )＝log 2 1f (a )的单调区间。 解：(1) y ＝2(x －2 a )2 ＋3－22a , 当a <－2时, y 在区间[－1, 1]上递增，最小值为f (－1)＝2a ＋5; 当 a >2时, y 在区间[－1, 1]上递减，最小值为f (1)＝－2a ＋5; 当－2≤a ≤2时, y 在区间[－1, 1]上的最小值为3－22 a ； ∴f (a )＝? ????>-≤≤--<+2 25222a 32522a a a a a － (2) f (a )>0, 当－2 5 2 5 时, 5－2a 为递减，f (a )为递增； 当－2≤a <0时, 3－22a 为递增，f (a )为递减； 当0 2 a 为递减，f (a )为递增。 例1（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围； （2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围 （4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2 3[-上的最大值为1，求实数a 的值。 解（1）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1( 2019 高一数学二次函数知识点归纳为了帮助考生们了解更多高中知识点，查字典数学网分享了高一数学二次函数知识点归纳，供您参考! I. 定义与定义表达式 一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y=ax A2+bx+c (a , b, c为常数，a0,且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0 时，开口方向向下，IaI 还可以决定开口大小，IaI 越大开口就越小，IaI 越小开口就越大.) 则称y 为x 的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II. 二次函数的三种表达式 一般式：y=axA2+bx+c(a ，b，c 为常数，a0) 顶点式：y=a(x-h)A2+k[ 抛物线的顶点P(h，k)] 交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[ 仅限于与x 轴有交点A(x? ，0) 和 B(x?，0) 的抛物线] 注：在3 种形式的互相转化中，有如下关系： h=-b/2ak=(4ac-bA2)/4ax? ，x?=(-bbA2-4ac)/2a III. 二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=xA2 的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 IV. 抛物线的性质 1. 抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x=-b/2a 。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地，当b=0 时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x=0） 2. 抛物线有一个顶点P,坐标为 P（-b/2a , （4ac-bA2）/4a） 当-b/2a=0 时，P在y轴上；当=bT-4ac=0时，P在x轴上。 3. 二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小。 当a0 时，抛物线向上开口；当a0 时，抛物线向下开口。 |a| 越大，则抛物线的开口越小。 4. 一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。当a 与 b 同号时（即ab0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab0），对称轴在y 轴右。 5. 常数项c 决定抛物线与y 轴交点。抛物线与y 轴交于（0 ，c） 6. 抛物线与x 轴交点个数 =b A2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。 =b A2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 =bA2-4ac0 时，抛物线与x 轴没有交点。X 的取值是虚数（x=-bbA2-4ac 的值的相反数，乘上虚数i ，整个式子除以2a） V. 二次函数与一元二次方程 特别地，二次函数（以下称函数）y=axA2+bx+c ， 当y=0 时，二次函数为关于x 的一元二次方程( 以下称方程) ， [A 基础达标] 1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋5(0≤x <5)的值域为( ) A ． (0，5] B ．[0，5] C ．[5，9] D ．(0，9] 解析：选D.f (x )＝－x 2＋4x ＋5＝－(x －2)2＋9(0≤x <5)，当x ＝2时，f (x )最大＝9；当x >0且x 接近5时，f (x )接近0，故f (x )的值域为(0，9]． 2．已知函数y ＝x 2－6x ＋8在[1，a )上为减函数，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤3 B ．0≤a ≤3 C ．a ≥3 D ．10时，f (x )的对称轴为x ＝12a ，在????－∞，12a 上是递减的，由题意(－∞，2)?? ???－∞，12a ， 所以2≤12a ，即a ≤14 ，综上，a 的取值范围是????0，14. 4．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( ) A ．f (－2)＜f (0)＜f (2) B ．f (0)＜f (－2)＜f (2) C ．f (2)＜f (0)＜f (－2) D ．f (0)＜f (2)＜f (－2) 解析：选D.函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x 都有f (1＋x )＝f (－x )．可知函数f (x )图像的对称轴为x ＝12 ，又函数图像开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大，故选D. 5．设二次函数f (x )＝－x 2＋x ＋a (a <0)，若f (m )>0，则f (m ＋1)的值为( ) 高一数学 必修一 第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题 (18) 一、选择题（本大题共9小题，共45.0分） 1. 若a >b ，则下列正确的是( ) A. a 2>b 2 B. ac >bc C. ac 2>bc 2 D. a ?c >b ?c 2. 不等式?2x 2+x +3≤0的解集是( ) A. {x|?1≤x ≤3 2} B. {x|x ≤?1或x ≥3 2} C. {x|x ≤?3 2或x ≥1} D. {x|?3 2≤x ≤1} 3. 下列各函数中，最小值为2的是( ) A. y =x +1 x B. y =sinx +1 sin x ，x ∈(0,π 2) C. y =2√x 2+2 D. y =x ?2√x +3 4. 下列四个结论中正确的个数是( ) (1)对于命题p:?x 0∈R 使得x 02?1≤0，则?p:?x ∈R 都有x 2?1>0； (2)已知X ～N(2,σ2)，则P(X >2)=0.5 (3)已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为y ?=2x ?3； (4)“x ≥1”是“x +1 x ≥2”的充分不必要条件． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 已知集合A ={y |y =1 2}，B ={x|x 2<4}，则A ∪B = A. (0,2) B. (?2,2) C. (?1,+∞) D. (?2,+∞) 6. 函数f(x)=?x 2+3x ?2a ，g(x)=2x ?x 2，若f(g(x))≥0对x ∈[0,1]恒成立，则实数a 的取 值范围为 A. (?∞,?2] B. (?∞,?1] C. (?∞,0] D. (?∞,1] 7. 已知函数f(x)=xe x +1 2x 2+x +a ，g(x)=xlnx +1，若存在x 1∈[?2,2]，对任意x 2∈[1 e 2,e]， 都有f (x 1)=g (x 2)，则实数a 的取值范围是( ) A. [?3?1 e ?2e 2,e ?3?2e 2] B. (?3?1 e ?2e 2,e ?3?2e 2) C. [e ?3?2e 2,3 2] D. (e ?3?2e 2,3 2) 8. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a =4，A =π 3，则该三角形面积的最 大值是( ) A. 2√2 B. 3√3 C. 4√3 D. 4√2 高一数学第二单元一二次函数知识点及测试题 一次函数二次函数知识点： 一、定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx （k为常数，k≠0） 二、一次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数） 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1．作法与图形：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点） 2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。 3．k，b与函数图像所在象限： 当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b＞0时，直线必通过一、二象限； 当b=0时，直线通过原点 当b＜0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。 这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式： 已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。 （1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。 （2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ①和y2=kx2+b …… ② （3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。 （4）最后得到一次函数的表达式。 二次函数综合问题例谈 二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了. 学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题. 1. 代数推理 由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质. 1.1 二次函数的一般式c bx ax y ++=2 )0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数. 例1 已知f x ax bx ()=+2 ，满足1≤-≤f ()12且214≤≤f ()，求f ()-2的取值范围. 分析：本题中，所给条件并不足以确定参数b a ,的值，但应该注意到：所要求的结论不是()2-f 的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把1≤-≤f ()12和 4)1(2≤≤f 当成两个独立条件，先用()1-f 和()1f 来表示b a ,. 解：由()b a f +=1，()b a f -=-1可解得： ))1()1((2 1 )),1()1((21--=-+= f f b f f a （*） 将以上二式代入f x ax bx ()=+2 ，并整理得 ()()??? ? ??--+???? ??+=2)1(2122x x f x x f x f , ∴ ()()()1312-+=f f f . 又∵214≤≤f ()，2)1(1≤-≤f , ∴ ()1025≤≤f . 第1课 二次函数在闭区间上的最值 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。 一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，求)(x f 在][n m x ，∈上的最大值与最小值。 分析：将)(x f 配方，得顶点为???? ? ?--a b ac a b 4422，、对称轴为a b x 2-= 当0>a 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上)(x f 的最值： （1）当[]n m a b ，∈-2时，)(x f 的最小值是 a b ac a b f 4422 -= ?? ? ??-， )(x f 的最大值是)()(n f m f 、中的较大者。 （2）当),(2m a b -∞∈- 时，)(x f 在[]n m ，上是增函数则)(x f 的最小值是)(m f ，最大值是)(n f （3）当),(2+∞∈-n a b 时，)(x f 在[]n m ，上是减函数则)(x f 的最大值是)(m f ，最小值是)(n f 当0 二次函数 1．解析式、待定系数法 若()2 f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值． 变式1：若二次函数()2 f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点坐标为(0,11)，则 A ．1,4,11a b c ==-=- B ．3,12,11a b c === C ．3,6,11a b c ==-= D ．3,12,11a b c ==-= 变式2：若()()2 23,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x =1对称，则c =_______． 变式3：若二次函数()2 f x ax bx c =++的图像与x 轴有两个不同的交点()1,0A x 、()2,0B x ，且 2212269 x x += ，试问该二次函数的图像由()()2 31f x x =--的图像向上平移几个单位得到？ 2．图像特征 将函数()2 361f x x x =--+配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像． 变式1：已知二次函数()2 f x ax bx c =++，如果()()12f x f x =(其中12x x ≠)，则122x x f +?? = ??? A ．2b a - B ．b a - C ． c D ．244ac b a - 变式2：函数()2 f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、()1f -、()1f 的大小关 系是 A ．()()()110f f f <-< B ．()()()011f f f <-< C ．()()()101f f f <<- D ．()()()101f f f -<< 变式3：已知函数()2 f x ax bx c =++的图像如右图所示， 请至少写出三个与系数a 、b 、c 有关的正确命题_________． 3．）单调性 已知函数()2 2f x x x =-，()()2 2[2,4]g x x x x =-∈． (1)求()f x ，()g x 的单调区间；(2) 求()f x ，()g x 的最小值． 变式1：已知函数()2 42f x x ax =++在区间(),6-∞内单调递减，则a 的取值范围是 A ．3a ≥ B ．3a ≤ C ．3a <- D ．3a ≤- x y O 高一数学二次函数的综合问题人教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 二次函数的综合问题 二. 教学重难点： 含有参数的或在给定区间上的二次函数问题，讨论可化为二次函数的问题及二次函数与方程，不等式的综合问题。 【典型例题】 [例1] 求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值。 解：函数4)2(2 2a a x y +--=图象的对称轴方程为2a x =，应分121≤≤-a ，12-a 即22≤≤-a ，2-a 这三种情形讨论，下列三图分别为（1）2-a 时的草图。 由图易知： ???? ???>≤≤--<-=2,)1(22,)2(2 ,)1(a f a a f a f y 最大 ；即???????>-≤≤--<+-=2 ,122,42,)1(2a a a a a a y 最大 [例2] 已知函数)()1()(2 R m m x m x x f ∈++-= （1）设A 、B 是ABC ?的两个锐角，且A tan 、B tan 是方程04)(=+x f 的两个实根，求证：5≥m ； （2）当3≥m 时，函数)(sin αf 的最大值是8，求m 的值。 证明： （1）方程04)(=+x f 即为04)1(2 =+++-m x m x 依题意，得?? ? ??>+=?>+=+≥+-+=?04tan tan 01tan tan 0)4(4)1(2m B A m B A m m ?????->->≥-≤?4 15 3m m m m 或5≥?m （2）∵ 4 )1()21(sin sin )1(sin )(sin 2 22 +-++-=++-=m m m m m f αααα ∵ 3≥m 而22 1 ≥+m ∴ 当1sin -=α时，)(sin αf 取得最大值22+m 由题意知822=+m ∴ 3=m [例3] 已知函数c bx x x f ++=2 )(（b 、R c ∈，2-≥c ），c x f x F -=)()(，当 ]2,2[-∈x 时，恒有0)(≤x f ，且对于任意实数1x 、2x ，总有)()(2121x x F x x F -++ )]()([221x F x F +=，求函数)(x f 的解析式。 解：由bx x x F +=2 )(，得F （0）=0 在)]()([2)()(212121x F x F x x F x x F +=-++中，令01=x ，x x -=2 得)]()0([2)()(x F F x F x F -+=+- ∴ )()(x F x F -= ∴ )(x F 是偶函数 因此0=b ∴ c x x f +=2 )( 又)(x f 在]2, 2[-上恒有0)(≤x f 所以0)2()2(≤=-f f ，即02≤+c ，亦即2-≤c 又 2-≥c ∴ 2-=c ，故)(x f 22-=x [例4] 已知二次函数)(x f 满足条件1)0(=f 及x x f x f 2)()1(=-+ （1）求)(x f ； （2）求)(x f 在区间]1,1[-上的最大值和最小值 解： （1）设c bx ax x f ++=2 )(，由1)0(=f ，可知1=c 一、选择题: 1.(2003?大连)抛物线y=(x-2)2+3的对称轴是( ). A.直线x=-3 B.直线x=3 C.直线x=-2 D.直线x=2 2.(2004?重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则点M(b, )在( ). A.第一象限; B.第二象限; C.第三象限; D.第四象限 3.(2004?天津)已知二次函数y=ax2+bx+c,且a<0,a-b+c>0,则一定有( ). A.b2-4ac>0 B.b2-4ac=0 C.b2-4ac<0 D.b2-4ac≤0 4.(2003?杭州)把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有( ). A.b=3,c=7 B.b=-9,c=-15 C.b=3,c=3 D.b=-9,c=21 5.(2004?河北)在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( ). 6.(2004?昆明)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点P的横坐标是4,?图象交x轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么AB的长是( ). A.4+m B.m C.2m-8 D.8-2m 二、填空题 1.(2004?河北)若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式,则y=_______. 2.(2003?新疆)请你写出函数y=(x+1)2与y=x2+1具有的一个共同性质_______. 3.(2003?天津)已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为_________. 4.(2004?武汉)已知二次函数的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:_________. 5.(2003?黑龙江)已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=_____. 6.(2002?北京东城)有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点: 甲:对称轴是直线x=4; 乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数; 丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式: 三、解答题 1.(2003?安徽)已知函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2). (1)求这个函数的解析式; (2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标; (3)当x>0时,求使y≥2的x取值范围. 2.(2004?济南)已知抛物线y=- x2+(6- )x+m-3与x轴有A、B两个交点,且A、B两点关于y轴对称. (1)求m的值; (2)写出抛物线解析式及顶点坐标; (3)根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来. 3.(2004?南昌)在平面直角坐标系中,给定以下五点A(-2,0),B(1,0),C(4,0),D(-2, ),E(0,-6),从这 高一数学一次函数、二次函数练习题 一、选择题 1.已知一次函数23)2(2--+-=m m x m y ，它的图象在y 轴上的截距为4-，则m 的 值为（ ） A.4- B.2 C.1 D.2或1 2.已知一次函数y ＝kx ＋b ，x ＝1时，y ＝－2，且在y 轴上的截距为－5，那么它的解析式是（ ） A ．y ＝3x ＋5 B ．y ＝－3x －5 C ．y ＝－3x ＋5 D ．y ＝3x －5 3．一次函数k kx y -=，若y 随x 的增大而增大，则它的图象经过 （ ） A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限 C.第一、二、四象限 D.第二、三、四象限 4.已知函数[]355,5y x x =-∈-，则其图象的形状为 （ ） A.一条直线 B.一条线段 C.一系列点 D.不存在 5.如果ab>0，bc<0，那么ax ＋by ＋c ＝0的图象的大致形状是 （ ） 6.二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的图象如右图所示，则( ) A ．a>0，b>0 B ．a>0，c>0 C ．b>0，c>0 D ．a 、b 、c 均 小于0 7.函数()23f x ax bx =++在(],1-∞-上是增函数，在[)1,-+∞上是 减函数，则（ ） A.00b a ><且 B.20b a =< C.20b a => D.,b a 的符号不定 8.已知函数()()2123f x m x mx =-++为偶函数，则()f x 在区间()5,2--上是（ ） A.增函数 B.减函数 C.部分增部分减 D.无法确定单调性 9.若二次函数b x a ax x f +-=2242)(对任意的实数ｘ都满足)3()3(x f x f -=+，则实数ａ的值为 （ ） Ａ．23 Ｂ．－2 3 Ｃ．－３ Ｄ．３ 高一数学二次函数与一元二次方程教案 高邮市送桥中学 知识目标:（1）会用判别式的符号解释二次函数图象与x 轴交点及一元二次方程的根。 （2）理解解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间。 能力目标：体验并理解函数与方程相互转化的数学思想培和数形结合的数学思想。 情感目标：培养学生积极探索，主动参与，大胆创新，勇于开拓的精神 教学过程: 一、引入 等式2 0ax bx c ++=()0a ≠是关于x 的一元二次方程，关系式2 y ax bx c =++()0a ≠则 是关于自变量x 的二次函数。今天我们将进一步研究它们之间的关系。 二、新授 观察思考： 1、 几个具体的一元二次方程及其对应的二次函数，如 ①方程2230x x --=与函数2 23y x x =--； ②方程2 210x x -+=与函数2 21y x x =-+； ③方程2 230x x -+=与函数223y x x =-+。 研讨探究 问题：一元二次方程的根与二次函数图象和x 轴交点坐标有什么关系 ？ 探究点一：二次函数图象与一元二次方程根的关系。 ⑴以①为例（幻灯片） 结论：一元二次方程2230x x --=的判别式?＞0 ?一元二次方程2 230x x --=有两个 不相等的实数根?对应的二次函数2 23y x x =--的图象与x 轴有两个交点为（3，0），（–1，0）。 （2）再研究②③，能得类似的结论吗？ 结论：一元二次方程2210x x -+=判别式?=0一元二次方程2 210x x -+=?有两 等根?对应的二次函数2 21y x x =-+的图象与x 轴有唯一的交点为（1，0）。 一元二次方程判别式2230x x -+=?﹤0 ?一元二次方程2 230x x -+= 方程无实数根?对应的二次函数2 23y x x =-+的图象与x 轴没有交点。 联想发散 2、一元二次方程2 0ax bx c ++=（a ＞0）根的个数及其判别式与二次函数 2y ax bx c =++（a ＞0）图象与x 轴的位置之间有什么联系？） 高一数学二次函数试题 一．选择题（共23小题） 1．如果函数f （x）=x2+bx+c对任意实数t都有f（2+t）=f（2﹣t），那么（） A．f（2）＜f（1）＜f （4）B．f（1）＜f（2）＜f （4） C．f（2）＜f（4）＜f （1） D．f（4）＜f（2）＜f （1） 考点：二次函数的图象；二次函数的性质． 专题：压轴题；数形结合． 分析：先从条件“对任意实数t都有f （2+t）=f （2﹣t）”得到对称轴，然后结合图象判定函数值的大小关系即可． 解答：解：∵对任意实数t都有f （2+t）=f （2﹣t） ∴f（x）的对称轴为x=2，而f（x）是开口向上的二次函数故可画图观察 可得f（2）＜f（1）＜f（4）， 故选A． 点评：本题考查了二次函数的图象，通过图象比较函数值的大小，数形结合有助于我们的解题，形象直观． 2．二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为x=1，图象与x轴的两个交点中，一个交点的横坐标x1∈（2，3），则有 （） A．a bc＞0 B．a+b+c＜0 C．a+c＞b D．3b＜2c 考点：二次函数的图象；二次函数的性质． 专题：计算题． 分析：由二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为x=1，可以知道a＜0，b=﹣2a，交点的横坐标x1∈（2，3），可得到，从而可得答案． 解答：解：∵二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向下， ∴a＜0，又对称轴为x=1， ∴x=﹣=1， ∴b=﹣2a； ∴f（x）=ax2﹣2ax+c． 又与x轴的两个交点中，一个交点的横坐标x1∈（2，3），a＜0， ∴即：， ∴， ∴a+c＞﹣2a=b．C符合． 又a＜0，b=﹣2a＞0，c＞0， ∴abc＜0，排出A， ∵二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为x=1， ∴f（1）=a+b+c＞0，排出B，f（﹣1）=f（3）， 图象与x轴的两个交点中一个交点的横坐标x1∈（2，3）， ∴f（﹣1）=f（3）＜0，而f（﹣1）=a﹣b+c=﹣b+c＜0， ∴3b＞2c，排出D． 故选C． 点评： 本题考查了二次函数图象与性质，关键在于准确把握题目信息的意图，合理转化，特别是分析与应用是难点．属于中档题． 3．（2011?厦门模拟）已知函数，这两个 函数图象的交点个数为（） A．1B．2C．3D．4 考点：二次函数的图象；一次函数的性质与图象． 专题：综合题． 分析：本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数y=f（x）的图象与函数y=3x的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案． 解答：解：在同一坐标系下，画出函数y=f（x）的图象与函数y=3x的图象如下图： A B C D O x y 高中数学学习材料 金戈铁骑整理制作 1．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图1所示,下列五个代数式ab 、ac 、a-b+c 、b 2- 4ac 、2a+b 中,值大于0的个数为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 2．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，下列结论： ①0 O M A N B C y x C 、D 两点在抛物线y ＝－x 2＋6x 上．设OA ＝m (0＜m ＜3)，矩形ABCD 的周长为l ，则l 与m 的函数解析式为 ． 9．已知抛物线22b x x y ++=经过点1()4a -，和1()a y -，，则1y 的值是 ． 10、若二次函数y=ax 2+bx+c 的顶点在第一象限，且经过点 （0，1），（-1，0），则S=a+b+c 的变化范围是 ( ) (A) 0 第三十课时二次函数与一元二次方程 【学习导航】 知识网络 学习要求 1．能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数； 2．了解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间； 3．体验并理解函数与方程相互转化的 数学思想和数形结合的数学思想． 自学评价 1.二次函数的零点的概念 一元二次方程20ax bx c ++=()0a ≠的根也称为二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的零点． 2. 二次函数的零点与对应一元二次方程根的关系 （1）一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）有两个不相等的实数根1x ，2x ?判别式0?>?对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴有两个交点为()1,0x ，()2,0x ?对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）有两个不同的零点1x ，2x ； （2）一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）有两个相等的实数根1x =2x ?判别式0?=?对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴有唯一的交点为（1x ，0）?对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）有两个相同零点1x =2x ； （3）一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）没有实数根?判别式0? ∴一元二次方程22370x x +-=有两个不相等的实数根． 证法2 设2()237f x x x =+-， ∵函数的图象是一条开口向上的抛物线，且2(0)2030770f =?+?-=-<∴函数()f x 的图象与x 轴有两个不同的交点，即一元二次方程22370x x +-=有两个不相等的实数根． 点评:例1还可用配方法将方程化为2365()416x +=再证明．也可仿照证法2，由抛物线开口向上及(1)23720f =+-=-<来推证． 例2：右图是一个二次函数()y f x =的图象． （1）写出这个二次函数的零点； （2）写出这个二次函数的解析式； （3）试比较(4)(1)f f --，(0)(2)f f 与0的大小关系． 【解】（1）由图象可知此函数的零点是：13x =-，21x =． 听课随笔 二次函数与 一元二次方程 函数的零点 二次函数的零点与对应 一元二次方程根的关系 函数的零点与 对应方程的关系 二次函数 的零点 高一数学二次函数题型 复习总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 基本初等函数 1、常函数：C C y ,=为任意常数。图像：平行于x 轴直线。 2、一次函数：)0(≠+=a b ax y 。图像：直线。 3、二次函数：)0(2≠++=a c bx ax y 。图像:抛物线。 4、幂函数：,a x y =自变量在底数。图像：根据a 不同的取值，图像性质不同。 5、指数函数：,x a y =自变量在指数。图像：1>a 递增，10<a 递增，10< 3、区间固定、对称轴固定 例3：（1）求[]1,1-6)(2在+-=x x x f 的值域 （2）求[]1,1-)0(6)(2在≠+-=a ax ax x f 的值域 4、区间固定、对阵轴动 例4：（1）求[]4,06)(2在+-=ax x x f 的最小值 （2）求[]4,06)(2在+-=ax x x f 的最大值 （3）升级： 5、对称轴固定、区间动 例5：[]1,,34)(2+∈++=t t x x x x f ，把该函数最小值记为)(t g 求（1）)(t g 的表达式 （2）)(t g 在[]3,3-∈t 的最值 练习：[]1,,34)(2+∈++=t t x x x x f ，求该函数最大值。 基本初等函数 1、常函数：C C y ,=为任意常数。图像：平行于x 轴直线。 2、一次函数：)0(≠+=a b ax y 。图像：直线。 3、二次函数：)0(2≠++=a c bx ax y 。图像:抛物线。 4、幂函数：,a x y =自变量在底数。图像：根据a 不同的取值，图像性质不同。 5、指数函数：,x a y =自变量在指数。图像：1>a 递增，10<a 递增，10< 题型一、求二次函数最值 1、无指定区间、对称轴固定 例1：（1）求6)(2+-=x x x f 的值域 （2）求a x x x f +-=2)(的值域 2、无指定区间、对称轴不固定 例2：（1） 求6)(2+-=ax x x f 的值域 （2）求)0(6)(2≠+-=a x ax x f 的值域 3、区间固定、对称轴固定 例3：（1）求[]1,1-6)(2在+-=x x x f 的值域 （2）求[]1,1-)0(6)(2在≠+-=a ax ax x f 的值域 4、区间固定、对阵轴动 例4：（1）求[]4,06)(2在+-=ax x x f 的最小值高中数学二次函数分类讨论经典例题
高一数学二次函数知识点归纳
北师大版数学高一必修1练习 二次函数的性质
高一数学 必修一 第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题 (18)-200708(解析版)
高一数学函数一二次函数知识点测试题
高中数学专题-二次函数综合问题例谈
高一数学二次函数在闭区间上的最值练习题
高一数学《二次函数》试题
高一数学二次函数的综合问题人教版
高一数学必修一二次函数练习题及
高一数学一次函数二次函数练习题
高一数学二次函数与一元二次方程教案 苏教版
高一数学二次函数试题(有详细解答)
人教B版高中数学必修一二次函数练习题及答案
苏教版高中数学必修一第课时——二次函数与一元二次方程
高一数学二次函数题型复习总结
高一数学二次函数题型复习总结
相关主题
文本预览