圆周运动的多解问题及竖直面的圆周运动
一．解答题（共6小题）
1．（2015?宿迁模拟）如图所示，绳长为I的轻绳一端连一小球，另一端固定在点，开始时轻绳拉直，0A在同一水平线上，小球在同一点由静止释放后在竖直面内做圆周运动．求（1）小球运动到最低点B时的速度大小；
（2）小球运动到最低点B时，绳子对小球的拉力大小；
（3）假设在O点正下方C处有一铁钉，小球运动到最低点B时，绳子被铁钉挡住，欲使小球绕铁钉C能在竖直面内做完整的圆周运动，求0C距离的最小值．
2．（2015?眉山模拟）根据公式F向=m和F向=mrω2，某同学设计了一个实验来感受向心力．如图甲所示，用一根细绳（可视为轻绳）一端拴一个小物体，绳上离小物体40cm处标为点A，80cm处标为点B．将此装置放在光滑水平桌面上（如图乙所示）抡动细绳，使小物体做匀速圆周运动，请另一位同学帮助用秒表计时．
操作一：手握A点，使小物体在光滑水平桌面上每秒运动一周，体会此时绳子拉力的大小F1．
操作二：手握B点，使小物体在光滑水平桌面上每秒运动一周，体会此时绳子拉力的大小F2．
操作三：手握B点，使小物体在光滑水平桌面上每秒运动两周，体会此时绳子拉力的大小F3．
（1）小物体做匀速圆周运动的向心力由提供；
（2）操作二与操作一相比，是为了控制小物体运动的相同；
（3）如果在上述操作中突然松手，小物体将做运动．
3．（2015?天水一模）如图所示，用一根长为l=1m的细线，一端系一质量为m=1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ=37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T．（g取10m/s2，结果可用根式表示）求：
（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大
（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大
4．（2015春?保定校级月考）如图所示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为m的物体A放在转盘上，A到竖直筒中心的距离为r，物体A通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B相连，B与A质量相同，物体A与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A才能随盘转动．
5．（2014?宿州模拟）如图所示，质量分别为M和m的两个小球A、B套在光滑水平直杆P 上，整个直杆被固定于竖直转轴上，并保持水平，两球间用劲度系数为K，自然长度为L的轻质弹簧连接在一起，左边小球被轻质细绳拴在竖直转轴上，细绳长度也为L，现欲使横杆P随竖直转轴一起在水平面内匀速转动，其角速度为ω，求当弹簧长度稳定后，细绳的拉力和弹簧的总长度各为多少
6．（2014?象山县校级模拟）如图所示，把一个质量m=的物体通过两根等长的细绳与竖直杆上的A、B两个固定点相连接．绳a、b长都是，AB长．求：
（1）直杆和球旋转的角速度等于多少时，b绳上才有作用力
（2）当转速等于最低转速的2倍时，a、b绳上的张力各是多少
圆周运动的多解问题及竖直面的圆周运动
参考答案与试题解析
一．解答题（共6小题）
1．（2015?宿迁模拟）如图所示，绳长为I的轻绳一端连一小球，另一端固定在点，开始时轻绳拉直，0A在同一水平线上，小球在同一点由静止释放后在竖直面内做圆周运动．求（1）小球运动到最低点B时的速度大小；
（2）小球运动到最低点B时，绳子对小球的拉力大小；
（3）假设在O点正下方C处有一铁钉，小球运动到最低点B时，绳子被铁钉挡住，欲使小球绕铁钉C能在竖直面内做完整的圆周运动，求0C距离的最小值．
考点：向心力．
专题：匀速圆周运动专题．
分析：（1）根据动能定理或机械能守恒求小球运动到最低点时的速度大小；
（2）小球在最低点时所受重力和绳的拉力合力提供向心力，由牛顿第二定律求解绳子对小球的拉力大小；
（3）根据小球运动到最高点的临界条件由机械能守恒或动能定理求得小球圆周运动的半径大小，再根据半径大小确定OC距离的大小．
解答：解：（1）小球从A到B的过程中，只有重力对小球做功，根据动能定理有：
可得小球到达B点时的速度大小
（2）小球在最低点时，绳的拉力和重力的合力提供圆周运动的向心力有：
可得
（3）令小球碰到钉子后做圆周运动的半径为R，则小球能通过最高点时重力恰好提供圆周运动向心力有：
mg=
可得v
小球从A开始到圆周运动最高点时只有重力对小球做功，根据动能定理有：
mg（L﹣2R）=
代入可解得R=
所以OC间的最小距离为x=L﹣R=
答：（1）小球运动到最低点B时的速度大小为；
（2）小球运动到最低点B时，绳子对小球的拉力大小为3mg；
（3）假设在O点正下方C处有一铁钉，小球运动到最低点B时，绳子被铁钉挡住，欲使小球绕铁钉C能在竖直面内做完整的圆周运动，0C距离的最小值为．
点评：小球在运动过程中只有重力做功，机械能守恒，应用机械能守恒定律与牛顿第二定律即可正确解题；解题时要注意，小球恰好到达最高点时，重力提供向心力．
2．（2015?眉山模拟）根据公式F向=m和F向=mrω2，某同学设计了一个实验来感受向心力．如图甲所示，用一根细绳（可视为轻绳）一端拴一个小物体，绳上离小物体40cm处标为点A，80cm处标为点B．将此装置放在光滑水平桌面上（如图乙所示）抡动细绳，使小物体做匀速圆周运动，请另一位同学帮助用秒表计时．
操作一：手握A点，使小物体在光滑水平桌面上每秒运动一周，体会此时绳子拉力的大小F1．
操作二：手握B点，使小物体在光滑水平桌面上每秒运动一周，体会此时绳子拉力的大小
F2．
操作三：手握B点，使小物体在光滑水平桌面上每秒运动两周，体会此时绳子拉力的大小
F3．
（1）小物体做匀速圆周运动的向心力由绳子拉力提供；
（2）操作二与操作一相比，是为了控制小物体运动的周期（或角速度、转速）相同；（3）如果在上述操作中突然松手，小物体将做匀速直线运动．
考点：向心力．
专题：匀速圆周运动专题．
分析：（1）匀速圆周运动的向心力是合外力提供向心力，通过分析受力即知．（2）根据向心力公式F=mω2r，采用控制变量法，结合牛顿第二定律进行求解．
（3）突然松手，小物体将做离心运动，结合物体的受力情况，分析其运动情况．
解答：解：（1）小物体做匀速圆周运动时，竖直方向受到重力与支持力，二力平衡，向心力由绳子拉力提供．
（2）操作二与操作一相比，是为了控制小物体运动的周期（或角速度、转速）相同．（3）在上述操作中突然松手，绳子的拉力突然消失，小物体将做匀速直线运动．
故答案为：（1）绳子拉力．（2）周期（或角速度、转速）．（3）匀速直线．
点评：本题关键选择向心力公式的恰当形式结合题意讨论，并掌握牛顿第二定律的应用，及控制变量法的思想．
3．（2015?天水一模）如图所示，用一根长为l=1m的细线，一端系一质量为m=1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ=37°，当小球
在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T．（g取10m/s2，结果可用根式表示）求：
（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大
（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大
考点：向心力．
专题：匀速圆周运动专题．
分析：（1）小球刚要离开锥面时的速度，此时支持力为零，根据牛顿第二定律求出该临界角速度ω0．
（2）若细线与竖直方向的夹角为60°时，小球离开锥面，由重力和细线拉力的合力提供向心力，运用牛顿第二定律求解．
解答：解：（1）若要小球刚好离开锥面，则小球受到重力和细线拉力如图所示．小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平．
在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得：
mgtan θ=mωlsin θ
解得：ω=，即ω0== rad/s．
（2）同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式有：mgtan α=mω′2lsin α
解得：ω′2=，即ω′===2 rad/s．
答：
（1）小球的角速度ω0至少为 rad/s．
（2）小球的角速度ω′为=2 rad/s．
点评：本题的关键点在于判断小球是否离开圆锥体表面，不能直接应用向心力公式求解．
4．（2015春?保定校级月考）如图所示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为m的物体A放在转盘上，A到竖直筒中心的距离为r，物体A通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B相连，B与A质量相同，物体A与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A才能随盘转动．
考点：向心力；牛顿第二定律．
专题：牛顿第二定律在圆周运动中的应用．
分析：取物体A为研究对象，物体A随转盘转动的向心力应由绳的拉力和摩擦力提供，摩擦力可能为零，可能指向圆心，也可能背离圆心，绳的拉力F总等于B物体的重力mg．根据牛顿第二定律即可解题．
解答：解：由于A在圆盘上随盘做匀速圆周运动，所以它受的合外力必然指向圆心，而其中重力与支持力平衡，绳的拉力指向圆心，
所以A所受的摩擦力的方向一定沿着半径，或指向圆心，或背离圆心．
当A将要沿盘向外滑时，A所受的最大静摩擦力指向圆心，A受力分析如图（甲）所示，
A的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力，即：
F+F m′=mω12r①
由于B静止，故：F=mg；②
由于最大静摩擦力是压力的μ倍，即：
F m′=μF N=μmg．③
由①、②、③解得：ω1=
当A将要沿盘向圆心滑时，A所受的最大静摩擦力沿半径向外，A受力分析如图（乙）所示，这时向心力为：
F﹣F m′=mω22r④
由②③④解得ω2=
则转盘转动的角速度的范围是≤ω≤．
答：转盘转动的角速度≤ω≤，物体A才能随盘转动．点评：该题要注意摩擦力摩擦力可能为零，可能指向圆心，也可能背离圆心，再根据牛顿第二定律解题．
5．（2014?宿州模拟）如图所示，质量分别为M和m的两个小球A、B套在光滑水平直杆P 上，整个直杆被固定于竖直转轴上，并保持水平，两球间用劲度系数为K，自然长度为L的轻质弹簧连接在一起，左边小球被轻质细绳拴在竖直转轴上，细绳长度也为L，现欲使横杆P随竖直转轴一起在水平面内匀速转动，其角速度为ω，求当弹簧长度稳定后，细绳的拉力和弹簧的总长度各为多少
考点：向心力；胡克定律．
专题：匀速圆周运动专题．
分析：横杆P随竖直转轴在水平面内匀速转动，B球靠弹簧的弹力提供向心力，A靠拉力和
弹簧的弹力的合力提供向心力，结合牛顿第二定律和胡克定律求出细绳的拉力大小和弹簧的总长度．
解答：解：设直杆匀速转动时，弹簧伸长量为x，
对A球有：F T﹣F=Mω2L
对B球有：F=mω2（2L+x）
F=Kx
解以上方程组可得：
则弹簧的总长为：
答：当弹簧长度稳定后，细绳的拉力为，弹簧的总长度为．
点评：解决本题的关键搞清向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解．
6．（2014?象山县校级模拟）如图所示，把一个质量m=的物体通过两根等长的细绳与竖直杆上的A、B两个固定点相连接．绳a、b长都是，AB长．求：
（1）直杆和球旋转的角速度等于多少时，b绳上才有作用力
（2）当转速等于最低转速的2倍时，a、b绳上的张力各是多少
考点：向心力．
专题：匀速圆周运动专题．
分析：（1）当b绳刚好伸直还无张力时的角速度为球旋转的最小角速度．此时小球靠重力和a绳的拉力的合力提供向心力，结合牛顿第二定律和几何关系求出最小的角速度大小．
（2）对小球分析，抓住竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力求出两根绳子的拉力大小．
解答：解：抓住临界条件，当b绳刚好伸直还无张力时的角速度为球旋转的最小角速度．已知a、b绳长均为1m，如图所示，
即AC=BC=1m，AO==，
在△AOC中，cos=
得sinθ=，θ=37°
小球做圆周运动的轨道半径r=OC=AC?sinθ=1×=
b绳被拉直但无张力时，小球所受的重力mg与a绳拉力F Ta的合力F提供向心力，其受力分析如图所示，
由图可知小球的向心力为F=mgtanθ
根据牛顿第二定律得F=mgtanθ=mr?ω2
解得直杆和球的角速度为．
（2）当角速度，
则有F a cosθ=mg+F b cosθ
代入数据解得F a=，F b=．
答：（1）直杆和球旋转的角速度等于rad/s时，b绳上才有拉力；
（2）a、b绳的张力分别为：、．
点评：解决本题的关键抓住临界状态，搞清向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解．
高中物理必修2复习--圆周运动的问题难点突破 一、难点形成的原因 1、对向心力和向心加速度的定义把握不牢固，解题时不能灵活的应用。 2、圆周运动线速度与角速度的关系及速度的合成与分解的综合知识应用不熟练，只是了解大概，在解题过程中不能灵活应用； 3、圆周运动有一些要求思维长度较长的题目，受力分析不按照一定的步骤，漏掉重力或其它力，因为一点小失误，导致全盘皆错。 4、圆周运动的周期性把握不准。 5、缺少生活经验，缺少仔细观察事物的经历，很多实例知道大概却不能理解本质，更不能把物理知识与生活实例很好的联系起来。 二、难点突破 （1）匀速圆周运动与非匀速圆周运动 a.圆周运动是变速运动，因为物体的运动方向（即速度方向）在不断变化。圆周运动也不可能是匀变速运动，因为即使是匀速圆周运动，其加速度方向也是时刻变化的。 b.最常见的圆周运动有：①天体（包括人造天体）在万有引力作用下的运动；②核外电子在库仑力作用下绕原子核的运动；③带电粒子在垂直匀强磁场的平面里在磁场力作用下的运动；④物体在各种外力（重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力等）作用下的圆周运动。 c.匀速圆周运动只是速度方向改变，而速度大小不变。做匀速圆周运动的物体，它所受的所有力的合力提供向心力，其方向一定指向圆心。非匀速圆周运动的物体所受的合外力沿着半径指向圆心的分力，提供向心力，产生向心加速度；合外力沿切线方向的分力，产生切向加速度，其效果是改变速度的大小。 例1：如图1所示，两根轻绳同系一个质量m=0.1kg的小球，两绳的另一端分别固定在轴上的A、B两处，上面绳AC长L=2m，当两绳都拉直时，与轴的夹角分别为30°和45°，求当小球随轴一起在水平面内做匀速圆周运动角速度为ω=4rad/s时，上下两轻绳拉力各为多少？ 【审题】两绳张紧时，小球受的力由0逐渐增大时，ω可能出现两个临界值。 【解析】如图1所示，当BC刚好被拉直，但其拉力T2 恰为零， 图1
圆周运动的多解问题及竖直面的圆周运动 一．解答题（共6小题） 1．（2015?宿迁模拟）如图所示，绳长为I的轻绳一端连一小球，另一端固定在点，开始时轻绳拉直，0A在同一水平线上，小球在同一点由静止释放后在竖直面内做圆周运动．求（1）小球运动到最低点B时的速度大小； （2）小球运动到最低点B时，绳子对小球的拉力大小； （3）假设在O点正下方C处有一铁钉，小球运动到最低点B时，绳子被铁钉挡住，欲使小球绕铁钉C能在竖直面内做完整的圆周运动，求0C距离的最小值． 2．（2015?眉山模拟）根据公式F向=m和F向=mrω2，某同学设计了一个实验来感受向心力．如 图甲所示，用一根细绳（可视为轻绳）一端拴一个小物体，绳上离小物体40cm处标为点A，80cm处标为点B．将此装置放在光滑水平桌面上（如图乙所示）抡动细绳，使小物体做匀速圆周运动，请另一位同学帮助用秒表计时． 操作一：手握A点，使小物体在光滑水平桌面上每秒运动一周，体会此时绳子拉力的大小F1． 操作二：手握B点，使小物体在光滑水平桌面上每秒运动一周，体会此时绳子拉力的大小F2． 操作三：手握B点，使小物体在光滑水平桌面上每秒运动两周，体会此时绳子拉力的大小F3． （1）小物体做匀速圆周运动的向心力由提供； （2）操作二与操作一相比，是为了控制小物体运动的相同； （3）如果在上述操作中突然松手，小物体将做运动． 3．（2015?天水一模）如图所示，用一根长为l=1m的细线，一端系一质量为m=1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ=37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T．（g取10m/s2，结果可用根式表示）求： （1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？ （2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
第9点 圆周运动的周期性造成多解 匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同的运动，其中一个做匀速圆周运动，另一个做其他形式的运动．因匀速圆周运动具有周期性，使得在一个周期中发生的事件在其它周期同样可能发生，这就要求我们在解决此类问题时，必须考虑多解的可能性. 一般处理这类问题时，要把一个物体的运动时间t ，与圆周运动的周期T 建立起联系，才会较快地解决问题． 图1 对点例题 如图1所示，小球Q 在竖直平面内做匀速圆周运动，当Q 球转到图示位置时，有另一小球P 在距圆周最高点h 处开始自由下落，要使两球在圆周最高点相碰，则Q 球的角速度ω应满足什么条件？ 解题指导 设P 球自由下落到圆周最高点的时间为t ，由自由落体运动规律可得 12gt 2＝h ，解得t ＝2h g . Q 球由图示位置转至最高点的时间也是t ，才能与P 球在圆周最高点相碰，其做匀速圆周运动，设周期为T ，有 t ＝(4n ＋1)T 4 (n ＝0,1,2,3…) 两式联立再由T ＝2πω得(4n ＋1)π2ω＝2h g . 所以ω＝π2(4n ＋1)g 2h (n ＝0,1,2,3…)． 答案 π2(4n ＋1)g 2h (n ＝0,1,2,3…)
图2 如图2所示，B 物体放在光滑的水平地面上，在水平恒力F 的作用下由静止开始运动，B 物体质量为m ，同时A 物体在竖直面内由M 点开始逆时针做半径为r 、角速度为ω的匀速圆周运动．求力F 为多大时可使A 、B 两物体在某些时刻的速度相同． 答案 2mrω2 (4n ＋3)π (n ＝0,1,2…) 解析 因为物体B 在力F 的作用下沿水平地面向右做匀加速直线运动，速度方向水平向右，要使A 与B 速度相同，则只有当A 运动到圆轨道的最低点时，才有可能． 设A 、B 运动时间t 后两者速度相同(大小相等，方向相同)． 对A 物体有：t ＝34 T ＋nT ＝????n ＋342πω(n ＝0,1,2…)，v A ＝rω. 对B 物体有：F ＝ma ，a ＝F m ，v B ＝at ＝F m t . 令v B ＝v A ，得F m ????n ＋342πω ＝ωr . 解得F ＝2mrω2 (4n ＋3)π (n ＝0,1,2…)．
匀速圆周运动的多解问题 匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同的运动，其一做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动。因此，依据等时性建立等式求解待求量是解答此类问题的基本思路。特别需要提醒同学们注意的是，因匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这就要求我们在表达做匀速圆周运动物体的运动时间时，必须把各种可能都考虑进去，以下几例运算结果中的自然数“n ”正是这一考虑的数学外化。 例1：如图1所示，直径为d 的圆筒绕中心轴做匀速圆周运动，枪口发射的子弹速度为v ，并沿直径匀速穿过圆筒。若子弹穿出后在圆筒上只留下一个弹孔，则圆筒运动的角速度为多少 解析：子弹穿过圆筒后作匀速直线运动，当它再次到达圆筒壁时，若原来的弹孔也恰好运动到此处，则圆筒上只留下一个弹孔。在子弹运动位移为d 的时间内，圆筒转过的角度为2n ππ+，其中n =0123，，，…，即 d v n =+2ππω 解得角速度为：ωππ= +=20123n d v n ()，，，… 例2：质点P 以O 为圆心做半径为R 的匀速圆周运动，如图2所示，周期为T 。当P 经过图中D 点时，有一质量为m 的另一质点Q 受到力F 的作用从静止开始作匀加速直线运动。为使P 、Q 两质点在某时刻的速度相同，则F 的大小应满足什么条件 解析：速度相同包括大小相等和方向相同。由质点P 的旋转情况可知，只有当P 运动到圆周上的C 点时P 、Q 速度方向才相同。即质点P 应转过()n + 34周（n =0123，，，…），经历的时间 t n T n =+=()()()3 401231，，，… 质点P 的速度v R T = 22π() 在同样的时间内，质点Q 做匀加速直线运动，速度应达到v ，由牛顿第二定律及速度公式得 v =F m t ()3 联立以上三式，解得：F mR n T n = +=84301232π()()，，，… 例3：如图3所示，在同一竖直面内A 物体从a 点做半径为R 的匀速圆周运动，同时B 物体从圆心O 处自由落下，
匀速圆周运动的多解问题 郭建 白头然 匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同的运动，其一做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动。因此，依据等时性建立等式求解待求量是解答此类问题的基本思路。特别需要提醒同学们注意的是，因匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这就要求我们在表达做匀速圆周运动物体的运动时间时，必须把各种可能都考虑进去，以下几例运算结果中的自然数“n ”正是这一考虑的数学外化。 例1：如图1所示，直径为d 的圆筒绕中心轴做匀速圆周运动，枪口发射的子弹速度为v ，并沿直径匀速穿过圆筒。若子弹穿出后在圆筒上只留下一个弹孔，则圆筒运动的角速度为多少？ 解析：子弹穿过圆筒后作匀速直线运动，当它再次到达圆筒壁时，若原来的弹孔也恰好运动到此处，则圆筒上只留下一个弹孔。在子弹运动位移为d 的时间内，圆筒转过的角度为2n ππ+，其中n =0123，，，…，即 d v n =+2ππω 解得角速度为：ωππ= +=20123n d v n ()，，，… 例2：质点P 以O 为圆心做半径为R 的匀速圆周运动，如图2所示，周期为T 。当P 经过图中D 点时，有一质量为m 的另一质点Q 受到力F 的作用从静止开始作匀加速直线运动。为使P 、Q 两质点在某时刻的速度相同，则F 的大小应满足什么条件？ 解析：速度相同包括大小相等和方向相同。由质点P 的旋转情况可知，只有当P 运动到圆周上的C 点时P 、Q 速度方向才相同。即质点P 应转过()n +34周（n =0123，，，…），经历的时间 t n T n =+=()()()3401231，，，… 质点P 的速度v R T = 22π() 在同样的时间内，质点Q 做匀加速直线运动，速度应达到v ，由牛顿第二定律及速度公式得 v =F m t ()3 联立以上三式，解得：F mR n T n = +=84301232π()()，，，…
4．“水流星”问题 绳系装满水的杯子在竖直平面内做圆周运动，即使到了最高点杯子中的水也不会流出，这是因为水的重力提供水做圆周运动的向心力。 (1)杯子在最高点的最小速度v min ＝(gL) 1/2 (2)当杯子在最高点速度为v 1>v min 时，杯子内的水对杯底有压力，若计算中求得杯子在最高点速度v 2 1 / 1 圆周运动的周期性引起的多解问题 1、如图所示的皮带传动装置中，右边两轮是连在一起同轴转动，图中三轮半径的关系为：r 1=2r 2，r 3=1.5r 1， A 、 B 、 C 三点为三个轮边缘上的点，皮带不打滑，则A 、B 、C 三点的线速度之比为．角 速度之比为．周期之比为． 2、如图所示，在轮B 上固定有同轴小轮A ，轮B 通过皮带带动轮C ，皮带和两轮之间无相对滑动，A 、B 、C 三轮的半径依次为r 1、r 2和r 3，绕在A 轮边的绳子一端固定在A 轮边缘上，另一端系有 重物P ．当重物P 以速度v 匀速下落时，C 轮转动的角速度为． 3、如图所示，半径为R 的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h 处沿OB 方向水平 抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B ，则小球的初速度v =，圆盘转动的角 速度ω=。 4、如图所示，直径为d 的纸制圆筒以角速度ω绕垂直纸面的轴O 匀速运动(图示为截 面)．从枪口发射的子弹沿直径穿过圆筒．若子弹在圆筒旋转不到半周时，在圆周上留 下a 、b 两个弹孔，已知ao 与bo 夹角为θ，求子弹的速度． 5、如图所示，小球Q 在竖直平面内做匀速圆周运动，当Q 球转到图示位置时，有另一小球P 在距 圆周最高点为h 处开始自由下落，要使两球在圆周最高点相碰，则Q 球的角速度ω应满足什么 条件? 6、如图所示，一个水平放置的圆桶正绕中轴匀速转动，桶上有一小孔，桶壁很薄，当小孔运动到桶的上方时，在孔的正上方h 处有一个小球由静止开始下落，已知圆孔的半径略大于小球的半 径，为了让小球下落时不受任何阻碍，h 与桶的半径R 之间应满足什么关系(不考虑空 气阻力)? 7、如图所示，竖直圆筒内壁光滑，半径为R ，顶部有一入口A ，在A 的正下方h 处有一出口B ， 一质量为m 的小球从入口A 处沿切线方向射入圆筒内，要使小球恰能从B 处飞出，求小球进入 入口的速度v 的表达式． 8、如图所示的装置可测量子弹的飞行速度，在一根轴上相隔S=1m 处安装两个平行的薄圆盘，使轴带动两圆盘以n=3000r ／min 匀速转动，飞行的子弹平行于轴沿一直线穿过两圆盘，即在盘上留下两个孔，现测得两小孔所在半径间的夹角为300 ，子弹飞行速度大小可能是下述的 ( ) A ．500m ／s B ．600m ／s C ．700m ／s D ．800m ／s 9、如图所示，在同一高度上有A 、B 两物体，它们的质量分别为m 和M ，A 物体在竖直面内做匀速圆周运动，运动方向为逆时针方向，轨道半径为R ，同时B 物体在恒力F 作用下，从静止 开始做匀加速直线运动，运动方向向右，问：要使两物体的速度相同，A 物体 做圆周运动的角速度ω为多大? 圆周运动的多解问题 如图所示，在半径为R 的水平圆盘中心轴正上方水平抛出一小球，圆盘以角速度做匀速转动，当圆盘半径Ob恰好转到与小球初速度方向相同且平行的位置时，将小球抛出，要使 小球与圆盘只碰一次，且落点为b，重力加速度为g，小球抛出点 a 距圆盘的高度h 和小球的初速度 v0可能应满足 A．，B．， C．，D．， 【参考答案】ABD 【名师点睛】小球做平抛运动，小球在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向做自由落体 运动，圆盘转动的时间和小球平抛运动的时间相等，在这段时间内，圆盘转动n 圈，从而确 定运动的时间，再根据水平位移求出抛出的初速度，根据竖直方向求出高度。 【知】 周运的多解 （1）明确两个物体参与运的性和求解的。两个物体然独立运行，但一定有系点，其系点 一般是或位移，求系点是解的突破点。 （2）注意周运的周期性造成的多解，分析可不考周期性，表示出一个周期的 情况，再根据周运的周期性，在的角速度上加上2nπ，具体n的取情况而 定。 （2018·山西省梁市柳林盛中学高一第二学期元）如所示，直径 d 的制筒，以角速度ω 中心匀速，把口垂直筒，使子穿筒，果 筒上只有一个孔，子的速度不可能是 A．dω / πB．dω /2πC．dω /3πD．dω /4π如所示，一位同学做游，已知的直径d，距L，且准上的 A点水平抛出，初速度v0，抛出的同，以垂直心O的水平 匀速，角速度ω 。若恰好中A点，下列关系正确的是 22 B．ωL=π (1+2 n) v0， ( n=0， 1， 2，3?) A．dv0=L g 0222 C．v =ωD．dω =gπ(1+2 n) ， ( n=0， 1， 2，3?)（2018·四川省成都外国学院高一下学期期中考）一中空筒 l ＝200 cm，其两 端以封，使筒其中心′匀速，一子沿与′平行的方向以 v ＝ 400 m/s OO OO 的速度匀速穿筒，在筒两端面分留下孔 A 和，如所示。今得 A 和所在B 高中圆周运动知识要点、受力分析和题目精讲（复习大全） 一、基础知识 匀速圆周运动问题是学习的难点，也是高考的热点，同时它又容易和很多知识综合在一起，形成能力性很强的题目，如除力学部分外，电学中“粒子在磁场中的运动”涉及的很多问题仍然要用到匀速圆周运动的知识，对匀速圆周运动的学习可重点从两个方面掌握其特点，首先是匀速圆周运动的运动学规律，其次是其动力学规律，现就各部分涉及的典型问题作点滴说明。 匀速圆周运动的加速度、线速度的大小不变，而方向都是时刻变化的，因此匀速圆周运动是典型的变加速曲线运动。为了描述其运动的特殊性，又引入周期（T）、频率（f）、角速度（ ）等物理量，涉及的物理量及公式较多。因此，熟练理解、掌握这些概念、公式，并加以灵活选择运用，是我们学习的重点。 1. 匀速圆周运动的基本概念和公式 （1）线速度大小，方向沿圆周的切线方向，时刻变化； （2）角速度，恒定不变量； （3）周期与频率； （4）向心力，总指向圆心，时刻变化，向心加速度，方向与向心力相同； （5）线速度与角速度的关系为，、、、的关系为 。所以在、、中若一个量确定，其余两个量也就确定了，而还和有关。 【例1】关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（） A. 线速度不变 B. 角速度不变 C. 加速度为零 D. 周期不变 解析：匀速圆周运动的角速度和周期是不变的；线速度的大小不变，但方向时刻变化，故匀速圆周运动的线速度是变化的，加速度不为零，答案为B、D。 【例2】在绕竖直轴匀速转动的圆环上有A 、B 两点，如图1所示，过A 、B 的半径与竖直轴的夹角分别为30°和60°，则A 、B 两点的线速度之比为 ；向心加速度之比为 。 ω O 60°30° A B 解析：A 、B 两点做圆周运动的半径分别为 R R r A 21 30sin = ?= R R r B 2360sin =?= 它们的角速度相同，所以线速度之比3331= ===B A B A B A r r r r v v ωω 加速度之比3322 = =B B A A B A r r a a ωω 2. 质点做匀速圆周运动的条件 （1）具有一定的速度； （2）受到的合力（向心力）大小不变且方向始终与速度方向垂直。合力（向心力） 与速度始终在一个确定不变的平面内且一定指向圆心。 3. 向心力有关说明 向心力是一种效果力。任何一个力或者几个力的合力，或者某一个力的某个分力，只要其效果是使物体做圆周运动的，都可以认为是向心力。做匀速圆周运动的物体，所需向心力就是该物体受的合外力，总是指向圆心；而做变速圆周运动的物体，所需向心力则是该物体受的合外力在指向圆心方向的分力，合外力的另一个分力沿着圆周的切线，使速度大小改变，所以向心力不一定是物体所受的合外力。因此，解答圆周运动的基本思路是：先分析物体的受力情况，然后把物体受的各外力沿指向圆心（即沿半径）方向与沿切线方向正交分解，最后用沿指向圆心的合外力等于向心力，即 列方程求解做答。 二、解决圆周运动问题的步骤 圆周运动中的临界问题 教学目的:会运用受力分析及向心力公式解决圆周运动的临界问题 教学重点:掌握解决圆周运动的两种典型的临界问题 教学难点:会分析判断临界时的速度或受力特征 教学内容 一、 有关概念 1、向心加速度的概念 2、向心力的意义 （由一个力或几个力提供的效果力） 二、内容 1、在竖直平面内作圆周运动的临界问题 （1）如图4－2－2和图4－2－3所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况： v 0 图4－2－2 图4－2－3 ①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg =m R v 2 v 临界=Rg ②能过最高点的条件：v ≥Rg ，当v ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力； ③不能过最高点的条件：v ＜v 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）. （2）如图4－2－4的球过最高点时，轻质杆对球产生的弹力情况： ①当v =0时，F N =mg （F N 为支持力）； ②当0＜v ＜Rg 时，F N 随v 增大而减小，且mg ＞F N ＞0，F N 为支持力； ③当v =Rg 时，F N =0； ④当v ＞Rg 时，F N 为拉力，F N 随v 的增大而增大. v 杆 图42 4 图4－2－5 若是图4－2－5的小球在轨道的最高点时，如果v ≥Rg ，此时将脱离轨道做平抛运动，因为轨道对小球不能产生拉力. 例1 长L ＝0.5m ，质量可以忽略的的杆，其下端固定于O 点，上端连接着一个质量m ＝2kg 的小球A ，A 绕O 点做圆周运动（同图5），在A 通过最高点，试讨论在下列两种情况 下杆的受力： ①当A 的速率v 1＝1m ／s 时 ②当A 的速率v 2＝4m ／s 时 解析： V 0=gL ＝10×0.5 m ／s ＝ 5 m ／s 小球的速度大于 5 m ／s 时受拉力， 小于 5 m ／s 时受压力。 解法一：①当v 1＝1m ／s ＜ 5 m ／s 时，小球受向下的重力mg 和 向上的支持力N a 图 4 图 5 带电粒子在磁场中运动的多解问题 磁场中的圆周运动：常见的几何关系 1、构建之间三角形：垂直平分线 【例1】在直径为d 的圆形区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于圆面指向纸外， 一电荷量为q ，质量为m 的粒子，从磁场区域的一条直径AC 上的A 点射入磁场，其 速度大小为v0，方向与 AC 成α 角，若此粒子恰能打在磁场区域圆周的D 点，AD 与AC 的夹角为β ，如图5所示。求该磁场的磁感应强度B 的大小。 2、三角形的对称性： 1）圆形磁场区域中：入射方向指向圆心，出射方向的反向延长线肯定也指向圆心 2）线性边界：入射角等于出射角 【例1】圆心为O 、半径为r 的圆形区域中有一个磁感强度为B 、方向为垂直于纸面向 里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L 的O ＇处有一竖直放置的荧屏MN ，今有一 质量为m 的电子以速率v 从左侧沿ＯＯ＇方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏 上之P 点，如图１所示，求O ＇P 的长度和电子通过磁场所用的时间． 【例2】如图所示，半径为r 的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个 带电粒子（不计重力），从A 点以速度v 0垂直磁场方向射入磁场中，并从B 点射出，已 知∠AOB =120°，求该带电粒子在磁场中运动的时间？ 【例3】以速率v 垂直于屏S 经过小孔O 射入存在着匀强磁场的真空室中，如图14所 示，磁感强度B 的方向与离子的运动方向垂直，并垂直于纸面向里． （1）求离子进入磁场后到达屏S 上时的位置与O 点的距离． （2）如果离子进入磁场后经过时间t 到达位置P ，试证明：直线OP 与离子入射方向之间的夹角θ跟t 的关系是 3、照成多解问题的原因 一、粒子的带电性质不明的情况 【例】如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里， MN 是它的下边界。现有质量为m ，电荷量大小为q 的带电粒子与 MN 成30°角垂直射入磁场，求粒子在磁场中运动的时间。 二、磁场方向的不确定 【例】如图2所示，一带负电的质点在固定的正的点电荷作用下绕该 正电荷做匀速圆周运动，周期为T 0，轨道平面位于纸面内，质点速度方向如图2中箭头所示，现加一垂直于轨道平面的匀强磁场，已知轨道半径并不因此而改变，则（ ） A ．若磁场方向指向纸里，质点运动的周期将大于T 0 B ．若磁场方向指向纸里，质点运动的周期将小于T 0 C ．若磁场方向指向纸外，质点运动的周期将大于T 0 D ．若磁场方向指向纸外，质点运动的周期将小于T 0 三、临界条件不唯一的照成的多解问题（一般为几何关系不唯一） 【例1】 图10－25为方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场区域。电场 强度为E ，磁感强度为B ，复合场的水平宽度为d ，竖直方向足够长。 现有一束电量为+q 、质量为m 初速度各不相同的粒子沿电场方向进入 场区，求能逸出场区的粒子的动能增量ΔE k 。 【例2】初速度为零的离子经过电势差为U 的电场加速后，从离子枪T M N O L A O 图1 P 圆周运动几个难点问题学案（2014-7） 知识梳理： 1．火车转弯问题 由于火车的质量比较大，火车拐弯时所需的向心力就很大．如果铁轨内外侧一样高，则外侧轮缘所受的压力很大，容易损坏；实用中使外轨略高于内轨，从而重力和弹力的合力提供火车拐弯时所需的向心力． 铁轨拐弯处半径为R，内外轨高度差为H，两轨间距为L，火车总质量为M，则： (1)火车在拐弯处运动的“规定速度”即内外轨均不受压的速度v P＝． (2)若火车实际速度大于v P，则轨将受到侧向压力． (3)若火车实际速度小于v P，则轨将受到侧向压力． 2．“水流星”问题 绳系装满水的杯子在竖直平面内做圆周运动，即使到了最高点杯子中的水也不会流出，这是因为水的重力提供水做圆周运动的向心力。 (1)杯子在最高点的最小速度v min＝ (2)当杯子在最高点速度为v1>v min时，杯子内的水对杯底有压力，若计算中求得杯子在最高点速度v2 难点突破： 一、斜面、悬绳弹力的水平分力提供加速度a ＝gtan α的问题 1．斜面体和光滑小球一起向右加速的共同加速度a ＝gtan α 因为F 2＝F N cos α＝mg F 1＝F N sin α＝ma 所以a ＝gtan α 2．火车、汽车拐弯处把路面筑成外高内低的斜坡，向心加速度和α 的关系仍为a ＝gtan α，再用tan α＝h/L,a ＝v 2/R 解决问题． 3．加速小车中悬挂的小球、圆锥摆的向心加速度、光滑锥内不同位置的小球，都有a ＝gtan α的关系． 二、典型的非匀速圆周运动-------竖直面内的圆周运动 这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。 1．如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直面内作圆周运动通过最高点，弹力只可能 向下，如绳拉球。这种情况下有mg R mv mg F ≥=+2即gR v ≥，否则不能通过最高点。 ①临界条件是绳子或轨道对小球没有力的作用，在最高点v =Rg ．②小球能通过最高 点的条件是在最高点．③小球不能通过最高点的条件是在最高点 2．弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有：gR v mg R mv F mg ≤∴≤=-,2 ，否则车将离开桥面，做平抛运动。 3．弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）。这种情况下，速 度大小v 可以取任意值。但可以进一步讨论：①当gR v >时物体受到的弹力必然是向下的；当gR v <时物体受到的弹力必然是向上的；当gR v =时物体受到的弹力恰好为零。②当弹力大小F 第 7 点 圆周运动的周期性造成多解 匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同的运动，其中一个做匀速圆周运动，另 一个做其他形式的运动 . 因匀速圆周运动具有周期性， 使得在一个周期中发生的事件在其他周 期同样可能发生，这就要求我们在解决此类问题时，必须考虑多解的可能性 . 一般处理这类 问题时，要把一个物体的运动时间 t ，与圆周运动的周期 T 建立起联系，才会较快地解决问题 . 【对点例题1】如图所示，小球 Q 在竖直平面内绕 O 点做匀速圆 周运动，当 Q 球转到图示位 置时，O 点正上方有另一小球 P 在距圆周最高点 h 处开始自由下落，要使两球在圆周最高点 相碰，则 Q 球的角速度 ω 应满足什么条件？ 解题指导：设P 球自由落体到圆周最高点的时间为t ，由自由落体可得：212h gt = 求得 t =Q 球由图示位置转至最高点的时间也是t ，但做匀速圆周运动，周期为T ，有 (41)4 T t n =+ (n =0，1，2，3……) 两式联立再由2T π ω=，得 (41)2n πω+ 所以 ω = (42n π+ (n =0，1，2，3……) 【练习】 1 如图所示，半径为R 的圆盘绕垂直于盘面的中心轴O 匀速转 动，其正上方h 处有一个小球，B 为圆盘边缘上的一点，现将小 球沿OB 方向水平抛出一小球，使球恰好只与圆盘边缘上的B 相碰，则 （1）小球的初速度v 为多少？ （2）圆盘转动的角速度ω为多少？ 解：（1）小球做平抛运动在竖直方向上：212 h gt = 则运动时间 t = 又因为水平位移为R ，所以球的速度v =R t =（2）在时间t 内，盘转过的角度θ=n ?2π，又因为θ=ωt ，则转盘角速度： ω=22n n t π=n =1，2，3…） 2 如图所示，B 物体放在光滑的水平地面上，在水平恒力F 的作用下由静止开始向右运动，B 物体质量为m ，同时A 物 体从图中位置开始在竖直面内由M 点开始逆时针做半径为r 、 角速度为ω的匀速圆周运动.求力F 为多大时可使A 、B 两物 体在某些时刻的速度相同 . 解析 因为物体 B 在力 F 的作用下沿水平地面向右做匀加速直线运动，速度方向水平向右，要使A 与B 速度相同，则只有当A 运动到圆轨道的最低点时，才有可能 . 设 A 、 B 运动时间 t 后两者速度相同 ( 大小相等，方向相同 ). 对 A 物体有：332()44t T nT n πω =+=+ ( n ＝ 0,1,2 … ) A v r ω= 对 B 物体有：B F F F ma a v at t m m ==== 令 v B ＝ v A ， 得 32()4F n r m πωω += 解得 2 2(43)mr F n ωπ =+ ( n ＝ 0,1,2 … ). 圆周运动的问题难点突 破 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 高中物理必修2复习--圆周运动的问题难点突破 一、难点形成的原因 1、对向心力和向心加速度的定义把握不牢固，解题时不能灵活的应用。 2、圆周运动线速度与角速度的关系及速度的合成与分解的综合知识应用不熟练，只是了解大概，在解题过程中不能灵活应用； 3、圆周运动有一些要求思维长度较长的题目，受力分析不按照一定的步骤，漏掉重力或其它力，因为一点小失误，导致全盘皆错。 4、圆周运动的周期性把握不准。 5、缺少生活经验，缺少仔细观察事物的经历，很多实例知道大概却不能理解本质，更不能把物理知识与生活实例很好的联系起来。 二、难点突破 （1）匀速圆周运动与非匀速圆周运动 a.圆周运动是变速运动，因为物体的运动方向（即速度方向）在不断变化。圆周运动也不可能是匀变速运动，因为即使是匀速圆周运动，其加速度方向也是时刻变化的。 b.最常见的圆周运动有：①天体（包括人造天体）在万有引力作用下的运动；②核外电子在库仑力作用下绕原子核的运动；③带电粒子在垂直匀强磁场的平面里在磁场力作用下的运动；④物体在各种外力（重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力等）作用下的圆周运动。 c.匀速圆周运动只是速度方向改变，而速度大小不变。做匀速圆周运动的物体，它所受的所有力的合力提供向心力，其方向一定指向圆心。非匀速圆周运动的物体所受的合外力沿着半径指向圆心的分力，提供向心力，产生向心加速度；合外力沿切线方向的分力，产生切向加速度，其效果是改变速度的大小。 例1：如图1所示，两根轻绳同系一个质量m=0.1kg 的小球，两绳的另一端分别固定在轴上的A 、B 两处，上面绳AC 长L=2m ，当两绳都拉直时，与轴的夹角分别为30°和45°，求当小 球随轴一起在水平面内做匀速圆周运动角速度为ω=4rad/s 时，上下两轻绳拉力各为多少？ 【审题】两绳张紧时，小球受的力由0逐渐增大时，ω可能出现两个临界值。 【解析】如图1所示，当BC 刚好被拉直，但其拉力T 2恰为零，设此时角速度为ω1，AC 绳上拉力设为T 1，对小球有：mg T =?30cos 1① 30sin L ωm =30sin T AB 2 11②代入数据得：s rad /4.21=ω 要使BC 绳有拉力，应有ω>ω1，当AC 绳恰被拉直，但其拉力T 1恰为零，设此时角速度为ω2，BC 绳拉力为T 2，则有 mg T =?45cos 2③ T 2sin45°=m 22ωL AC sin30°④ 代入数据得：ω2=s 。要使AC 绳有拉力，必须ω<ω2，依题意ω=4rad/s>ω2，故AC 绳已无拉力，AC 绳是松驰状态，BC 绳与杆的夹角θ>45°，对小球有： T 2cos θ=m ω2L BC sin θ⑤而L AC sin30°=L BC sin45°L BC =2m ⑥ 由⑤、⑥可解得N T 3.22=；01=T 【总结】当物体做匀速圆周运动时，所受合外力一定指向圆心，在圆周的切线方向上和垂直圆周平面的方向上的合外力必然为零。 （2）同轴装置与皮带传动装置 在考查皮带转动现象的问题中，要注意以下两点： a 、同一转动轴上的各点角速度相等； 图1 圆周运动中的临界问题和周期性问题 一、圆周运动问题的解题步骤： 1、确定研究对象 2、画出运动轨迹、找出圆心、求半径 3、分析研究对象的受力情况，画受力图 4、确定向心力的来源 5、由牛顿第二定律r T m r m r v m ma F n n 222)2(π ω====……列方程求解 二、临界问题常见类型： 1、按力的种类分类： （1）、与弹力有关的临界问题：接触面间的弹力：从有到无,或从无到有 绳子的拉力：从无到有，从有到最大，或从有到无 （2）、与摩擦力有关的弹力问题：从静到动，从动到静，临界状态下静摩擦力达到最大静摩擦 2、按轨道所在平面分类： （1）、竖直面内的圆周运动 （2）、水平面内的圆周运动 三、竖直面内的圆周运动的临界问题 1、单向约束之绳、外轨道约束下的竖直面内圆周运动临界问题： 特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力 ① 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用： mg=mv 2/R →v 临界=Rg （可理解为恰好转过或恰好转不过的速度） 即此时小球所受重力全部提供向心力 ②能过最高点的条件：v ≥Rg ，当v ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力． ③不能过最高点的条件：v ＜V 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动） 例1、绳子系着装有水的木桶，在竖直面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg ，绳子长度为l=60cm ，求：（g 取10m/s 2） A 、最高点水不留出的最小速度？ B 、设水在最高点速度为V=3m/s ，求水对桶底的压力？ 答案：（1）s m /6 （2）2.5N 变式1、如图所示，一质量为m 的小球，用长为L 细绳系住，使其在竖直面内作圆周运动.(1)若过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点和最低点的速度分别是多少？小球的受力情况分别如何？(2)若小球在最低点受到绳子的拉力为10mg ，则小球在最高点的速度及受到绳子的拉力是多少？ 2、单向约束之内轨道约束下（拱桥模型）的竖直面内圆周运动的临界问题： 汽车过拱形桥时会有限速，是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度 gr v =时，汽车对弧顶的压力FN=0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动， 因为桥面不能对汽车产生拉力． 例2、半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体， 如图所示。今给小物体一个水平初速度0v = ） A.沿球面下滑至 M 点 B.先沿球面下滑至某点Ｎ，然后便离开斜面做斜下抛运动 Ｃ.按半径大于 R 的新的圆弧轨道做圆周运动 D.立即离开半圆球做平抛运动 3、双向约束之轻杆、管道约束下的竖直面内圆周运动的临界问题 物体(如小球)在轻杆作用下的运动，或在管道中运动时，随着速度的变化，杆或管道对其弹力发生变化．这里的弹力可以是支持力，也可以是压力，即物体所受的弹力可以是双向的，与轻绳的模型不同．因为绳子只能提供拉力，不能提供支持力；而杆、管道既可以提供拉力，又可以提供支持力；在管道中运动，物体速度较大时可对上壁产生压力，而速度较小时可对下壁产生压力．在弹力为零时即出现临界状态． （一）轻杆模型 如图所示，轻杆一端连一小球，在竖直面内作圆周运动． (1)能过最高点的临界条件是：0v =．这可理解为恰好转过或恰好不能转过最高点的临界条件，此时支持力mg N =． (2) 当0v << mg N <<0，N 仍为支持力，且N 随v 的增大而减小， 圆周运动问题汇总 一． 传动装置问题 1.同轴传动的各点角速度相同 2.当皮带不打滑时，传动皮带、用皮带连接的两轮边沿上的各点线速度大小相等 例1:如图所示的传动装置中，B 、C 两轮固定在一起绕同一轴转动，A 、B 两轮用皮带传动，三轮半径关 系 ，若皮带不打滑，求A 、B 、C 轮 边缘的a 、b 、c 三质点的角速度，线速度和向心加速度 之比。 解析：由于b 、c 是同轴的物体，所以，由于a 、b 是轮子边缘上的点，所以，线 速度与角速度的关系,则可以得到 ， 二． 转弯问题 1.水平路面转弯由静摩擦力提供向心力 2.倾斜路面转弯由重力和支持力的合力提供向心力 例2：汽车甲和汽车乙质量相等，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在乙车的外 侧，两车沿半径方向受到的摩擦力分别为 和 ，以下说法正确的是 A. 小于 B. 等于 C. 大于 D. 和均与速率无关 解析：因为在水平路面上转弯由静摩擦力提供向心力，根据向心力公式可得 小于 ，所 以选A 项 例3：高速行驶的竞赛汽车依靠摩擦力转弯是有困难的，所以竞赛场地的弯道处做成侧向斜坡，如果弯道半径为r ，斜坡和水平方向成θ角，则汽车完全不依靠摩擦力转弯折速度大小为 A. B. C. D. 解析：高速行驶的竞赛汽车完全不依靠摩擦力转弯时所需的向心力由重力和路面 的支持力的合力提供，力图如图．根据牛顿第二定律得 ??,可得 ，所以选C 项 三．圆锥摆问题 圆锥摆问题中物体所受的重力与弹力提供向心力 例4：如图所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的 A.运动周期相同 B.运动线速度大小相同 C.运动角速度相同 D.向心加速度大小相同 解析：对其中一个小球受力分析，如图，受重力，绳子的拉力，由于小球做匀速圆周运动，故细线的拉力与重力的合力提供向心力； 将重力与拉力合成，合力指向圆心，由几何关系得，细线的拉力 ，因θ不同，故T不同，故A错误．B、C、D合力F=mgtanθ①；由向心力公式得到，F=mω2r②；设绳子与悬挂点间的高度差为h，由几何关系，得：r=htanθ③；由①②③三式得，， 与绳子的长度和转动半径无关，故C正确；由v=wr，两球转动半径不等，故B错误；由a=ω2r，两球转动半径不等，故D错误；故选：C． 四、汽车过拱桥问题 汽车过拱桥问题中物体所受的重力与弹力提供向心力 例5：有一辆质量为1.2t的小汽车驶上半径为50m的圆弧形拱桥，如图所示。求：（1）汽车到达桥顶的速度为10m/s时对桥的压力有多大？ （2）汽车以多大的速度经过桥顶时恰好对桥没有压力作用而腾空？ v，并沿直线匀速穿 下一个弹孔，则圆筒运动的角速度为多少？ 若原来的弹孔也恰好运动到此 d的时间内，圆筒转过的角度为 π π+ n2，其中 3,2 ,1,0 = n，即ω π π+ = n v d2 。 周期为T。当P经过图中D点时， P、Q两质点在 只有当P运动到圆周上的C点时P、Q速度方向才相同，即质点P转过 ) 4 3 (+ n 周 ) 3,2,1,0 ( = n 经历的时间 ) 3,2,1,0 ( ) 4 3 ( = + =n T n t ① 质点P的速率T R v π2 = ② 在同样的时间内，质点Q做匀加速直线运动，速度应达到v，由牛顿第二定律及速度公式得 t m F v= ③联立以上三式，解得 ) 3,2,1,0 ( )3 4( 8 2 = + =n T n mR F π 3. 如图3所示，在同一竖直平面内，A物体从a点开始做匀速圆周运动，同时B物体从圆心O 处自由落下，要使两物体在b点相遇，求A的角速度。 解析：A 、B 两物体在b 点相遇，则要求A A 从a 匀速转到b 的时间T n t )43(1+== B 从O 自由下落到b 点的时间g R t 22= 由21t t =，解得)3,2,1,0(2)4 3(2 =+=n R g n πω 4. 如图，半径为R 的水平圆盘正以中心O 为转轴匀速转动，从圆板中心O 的正上方h 高处水平抛出一球，此时半径OB 恰与球的初速度方向一致。要使球正好落在B 点， 则小球的初速度及圆盘的角速分别为多少？ 解析：要使球正好落在B 点，则要求小球在做平抛运动的时间内，圆盘恰 好转了n 圈（ 3,2,1=n ）。 对小球 221gt h = ① t v R 0= ② 对圆盘)3,2,1(2 ==n t n ωπ ③ 联立以上三式，解得)3,2,1(2 ==n h g n π ω h g R v 20= 5.一辆实验小车可沿水平地面（图中纸面）上的长直轨道匀速向右运动，一台发出细光束的激光器装在小转台M 上，到轨道的距离MN 为d=10m ，转台匀速转动，使激光束在水平面内扫描，扫描一周的时间为T=60s ，光束转动方向如图箭头所示。当光束与MN 的夹角为45°时，光束正好射到小车上，如果再经过△t=2.5s 光束又射到小车上，则小车的速度为多少？（结果保留二位数字）圆周运动的周期性引起的多解问题
高中物理课时圆周运动的多解问题每日一题(课堂同步系列二)新人教必修1.docx
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磁场综合：磁场中圆周运动的多解及其临界问题
圆周运动中几个难点问题
第 7 点 圆周运动的多解性
圆周运动的问题难点突破
圆周运动中的临界问题和周期性问题圆周运动问题的解题步骤
圆周运动问题汇总
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