数 列
一、数列的通项、数列项的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前n 项和公式
的关系：
{
11,(1)
,(2)
n n n S n a S S n -==
-≥（必要时请分类讨论）．
注意：
112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+
+-+；
1
2
112
1
n n n n n a a a a a a a a ---=
???
?．
二、等差数列{}n a ：
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，
（n ≥2，n ∈N +
），那么这个数列就叫做等差数列。 性质：（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性． 单调性：{}n a 的公差为d ，则：
ⅰ）?>0d {}n a 为递增数列； ⅱ）?<0d {}n a 为递减数列； ⅲ）?=0d {}n a 为常数列；
（2）
1(1)n a a n d =+-()m a n m d =+-；p q m n p q m n a a a a +=+?+=+．
（3）1.
1(1){}n k m a +-（k ，m 为正整数）即下标为等差数列的项仍组成等差数列；
2.数列{}b a n +λ（b ,λ为常数）仍为等差数列；
3.若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n n ka pb +(k .p 为不同时为零的常数)成等差数列。 （4）两等差数列对应项和（差）组成的新数列仍成等差数列． （5）
1211,,
m k k k m a a a a a a ++-++++++仍成等差数列．
若等差数列{}n a 的前项和，、、… 是等差数列
（6）
1()2n n n a a S +=
，1(1)2n n n S na d
-=+，21()22n d d S n a n =+-，
2121n n S a n -=-，()(21)n n n n
A a
f n f n B b =?=-．
（7）
,()0
p q p q a q a p p q a +==≠?=；
,()()
p q p q S q S p p q S p q +==≠?=-+；
m n m n S S S mnd +=++．
（8）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；
“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和；
n n S k S k k S S -2k k S S 23-
（9）有限等差数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是
奇数决定．若总项数为偶数，则“偶数项和”－“奇数项和”＝总项数的一半与其公差的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”－“偶数项和”＝此数列的中项．
（10）两数的等差中项惟一存在．在遇到三数或四数成等差数列时，常考虑选用“中项关系”
转化求解．
（11）判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法（也就是说数列是等差数列的充要条件主要有这五种形式）．
数列{n a }为等差数列n a pn q ?=+（p,q 是常数）
三、等比数列{}n a ：
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
性质：（1）等比数列的符号特征（全正或全负或一正一负），等比数列的首项、公比与等比
数列的单调性．
110,10,01a q a q >><<<或{}n a ?为递增数列；
{}110,010,1n a q a q a ><<<>?或为递减数列； {}1n q a =?为常数列； {}0n q a
（2）11n n a a q -=n m
m a q -=； p q m n p q m n b b b b +=+??=?．
（3）{||}n a ，1
(1){}n k m a +-，{}{}2
n n ca a ，， 1n a ??
????
，{}()r n a r Z ∈是等比数列，公比依次是|q |，q m ，2
1.r
q q q q
，，，
（4）两等比数列对应项积（商）组成的新数列仍成等比数列． （5）
1211,,
m k k k m a a a a a a ++-++++++成等比数列．
若等比数列{}n a 的前项和，则、、… 是等比数列.
（6）
1111
11 (1) (1)(1) (1) (1)1111n n n n na q na q S a a a a q a q q q q q q q q ==????==--??-+≠=≠??----??
．
特别：
1232
21()()n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=-+++++．
（7）
m n
m n m n n m S S q S S q S +=+=+． n n S k S k k S S -2k k S S 23-
（8）“首大于1”的正值递减等比数列中，前n 项积的最大值是所有大于或等于1的项的积；“首小于1”的正值递增等比数列中，前n 项积的最小值是所有小于或等于1的项的积； （9）有限等比数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是
奇数决定．若总项数为偶数，则“偶数项和”＝“奇数项和”与“公比”的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”＝“首项”加上“公比”与“偶数项和”积的和． （10）并非任何两数总有等比中项．仅当实数,a b 同号时，实数,a b 存在等比中项．对同号
两实数,a b
的等比中项不仅存在，而且有一对G =等比中项（非同号时），如果有，必有一对（同号时）．在遇到三数或四数成等差数列时，常优先考虑选用“中项关系”转化求解．
（11）判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、和式法（也就是
说数列是等比数列的充要条件主要有这四种形式）．
四、等差数列与等比数列的联系
（1）如果数列{}n a 成等差数列，那么数列
{}n
a A （n a A 总有意义）必成等比数列． （2）如果数列{}n a 成等比数列，那么数列{log ||}(0,1)a n a a a >≠必成等差数列．
（3）如果数列
{}n a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{}n a 是非零常数数列；但数列{}n a
是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．
（4）如果两等差数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且
新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数．
如果一个等差数列与一个等比数列有公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般的方法”进行研讨，且以其等比数列的项为主，探求等比数列中那些项是他们的公共项，并构成新的数列．
注意：（1）公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究n m a b =．但也有少数问题中
研究
n n a b =，这时既要求项相同，也要求项数相同．
（2）三（四）个数成等差（比）的中
项转化和通项转化法．
五、等差、等比数列通项公式的求法
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根
公式法：
若已知数列的前项和与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式
1
1,(1),(2)n n
n S n a S S n -=?=?
-≥?构造两式作差求解。 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即1a 和n a 合为一个表达，（要先分1n =和2≥n 分别进行运算，然后验证能否统一）。
n S
累加法：
形如)(1n f a a n n +=+型的递推数列（其中)(n f 是关于n 的函数）可构造：
112
21(1)(2)..(1.)
n n n n a a f n a a f n a a f ----=????
--=--=??? 将上述1-n 个式子两边分别相加，可得：
1(1)(2)...(2)(1),(2)n a f n f n f f a n =-+-+++≥
①若()f n 是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若()f n 是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ③若()f n 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ④若()f n 是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和.
累乘法： 形如1()
n n a a f n +=? 、 1()n n a f n a +??
= ???
型的递推数列（)(n f 是关于n 的函数）可构造：11
22
1
(1)(.2)(1..)n
n n n a f n a a f n a a f a ---=-=-??????=????? 将上述1-n 个式子两边分别相乘，可得：
1(1)(2)...(2)(1),(2)n a f n f n f f a n =-?-??≥
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。
构造数列法：
（一）形如q pa a n n +=+1（其中,p q 均为常数且0p ≠）型的递推式： （1）若1p =时，数列{n a }为等差数列; （2）若0q =时，数列{n a }为等比数列;
（3）若1p ≠且0≠q 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种：
法一：设1()n n a p a λλ++=+,展开移项整理得1(1)n n a pa p λ+=+-,与题设1n n a pa q +=+比较系数
（待定系数法）得1,(0)()111
n n q q q
p a p a p p p λ+=≠?+=+---1()11n n q q a p a p p -?+
=+--,即1n q a p ??
+??-?
?构成以1
1q a p +-为首项，以p 为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出1n q a p ??
+
??-?
?
的通项整理可得.n a 法二：由q pa a n n +=+1得1(2)n n a pa q n -=+≥两式相减并整理得
11
,n n
n n a a p a a +--=-即
{}1n n a a +-构成以21a a -为首项，以p 为公比的等比数列.求出{}1n n a a +-的通项再转
化为类型Ⅲ（累加法）便可求出.n a
（二）形如1()n n a pa f n +=+(1)p ≠型的递推式： ⑴当()f n 为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设[]1(1)n n a An B p a A n B -++=+-+，通过待定系数法确定A B 、
的值，转化成以1a A B ++为首项，以p 为公比的等比数列{}n a An B ++，再利用等比数列的通项公式求出{}n a An B ++的通项整理可得.n a
法二：当()f n 的公差为d 时，由递推式得：1()n n a pa f n +=+，1(1)n n a pa f n -=+-两式相减得：11()n n n n a a p a a d +--=-+，令1n n n b a a +=-得：1n n b pb d -=+转化为类型Ⅴ求出 n b ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出.n a ⑵当()f n 为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设[]1()(1)n n a f n p a f n λλ-+=+-，通过待定系数法确定λ的值，转化成以
1(1)a f λ+为首项，以p 为公比的等比数列{}()n a f n λ+，再利用等比数列的通项公式求
出{}()n a f n λ+的通项整理可得.n a
法二：当()f n 的公比为q 时，由递推式得：1()n n a pa f n +=+——①，
1(1)n n a pa f n -=+-，两边同时乘以q 得1(1)n n a q pqa qf n -=+-——②，由①②两式相
减得11()n n n n a a q p a qa +--=-，即
11
n n
n n a qa p a qa +--=-，在转化为类型Ⅴ便可求出.n a
法三：递推公式为n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数）或1n n n a pa rq +=+（其中p ，q, r 均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以1+n q ，得：
q q a q p q
a n n n n 1
1
1+?=++，引入辅助数列{}n b （其中n
n n q a b =
），得：q b q p b n
n 1
1+=+再应用类型Ⅴ的方法解决。 ⑶当()f n 为任意数列时，可用通法：
在1()n n a pa f n +=+两边同时除以1n p +可得到
111()n n n n n a a f n p p p +++=+，令n
n n
a b p =，则11
()
n n n f n b b p
++=+
，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出n b 之后得n n n a p b =.
对数变换法：
形如1(0,0)q n n a pa p a +=>>型的递推式：
在原递推式1q n a pa +=两边取对数得1lg lg lg n n a q a p +=+，令lg n n b a =得：
1lg n n b qb p +=+，化归为q pa a n n +=+1型，求出n b 之后得10.n b n a =（注意：底数不一定
要取10，可根据题意选择）。
倒数变换法：
形如11n n n n a a pa a ---=（p 为常数且0p ≠）的递推式：两边同除于1n n a a -，转化为
111n n p a a -=+形式，化归为q pa a n n +=+1型求出1n
a 的表达式，再求n a ； 还有形如1n n n ma a pa q +=+的递推式，也可采用取倒数方法转化成111n n m m a q a p
+=+形式，化归为
q pa a n n +=+1型求出
1n
a 的表达式，再求n
a .
形如qa pa +=型的递推式：
用待定系数法，化为特殊数列}{1--n n a a 的形式求解。方法为：
设)(112n n n n ka a h ka a -=-+++，比较系数得q hk p k h =-=+,，可解得h k 、，于是1{}n n a ka +-是公比为h 的等比数列，这样就化归为q pa
a n n +=+1型。
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式.n a
n 项和公式的求法
如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！） ①若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则数列{}n n a b ?的求和就要采用此法. ②将数列{}n n a b ?的每一项分别乘以
{}n b 的公比，然后在错位相减，进而可得到数列
{}n n a b ?的前n 项和.（此法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法.）
一般地，当数列的通项12()()
n c
a an
b an b =
++ 12(,,,a b b c 为常数）时，往往可将n
a 变成两项的差，采用裂项相消法求和.
可用待定系数法进行裂项：
设1
2
n a an b an b λ
λ
=
-
++，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得
21c b b λ=
-，从而可得122112
11
=().()()()c c an b an b b b an b an b -++-++
常见的拆项公式有： ①
111(1)1n n n n =-++； 1111()=- ②
11
11
();(2
1)(21)2212
1n n n n =--+-+
1
a b =-
④11;
m m m
n n n C C C -+=-
!(1)!!.n n n n ?=+-
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.
如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：121...n n a a a a -+=+= ⑸记住常见数列的前n 项和：
1123(1)
2
n n n ++++=+，
22221123(1)(21)
6
n n n n +++
+=++2135(21)n n +++
+-= ， 2135(21)(1)n n +++++=+
高中数学数列综合专项 练习讲义 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
专题数 列综合 考点精要 会求简单数列的通项公式和前n 项和． 热点分析 数列的通项和求和，历来是高考命题的常见考查内容．要重点掌握错位相减法，灵活运用裂项相消法，熟练使用等差和等比求和公式，掌握分组求和法． 知识梳理 1.数列的通项求数列通项公式的常用方法： （1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、 数字、字母与项数n 在变化过程中的联系，初步归纳公式。 （2）公式法：等差数列与等比数列。 （3）利用n S 与n a 的关系求n a ：则???≥-==-2111 n S S n S a n n n （注意：不能忘记讨论1=n ） （4）逐项作差求和法（累加法）；已知)2)((1≥=--n n f a a n n ，且{f(n)}的和可求，则求n a 可用累加法 （5）逐项作商求积法（累积法）;已知 )2)((1 ≥=-n n f a a n n ，且{f(n)}的和可求，求n a 用累乘法. （6）转化法 2几种特殊的求通项的方法 （一）1n n a ka b +=+型。 （1）当1k =时，{}1n n n a a b a +-=?是等差数列，1()n a bn a b =++ （2）当1k ≠时，设1()n n a m k a m ++=+，则{}n a m +构成等比数列，求出{}n a m +的通项，进一步求出{}n a 的通项。 例：已知{}n a 满足111,23n n a a a +==-，求{}n a 的通项公式。
§2.1 等差数列（二） 教学目标 1．知识与技能:能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问 题；体会等差数列与一次函数的关系。 2. 过程与方法:进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概 念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。 3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。 教学重点：会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。 教学难点：等差数列与一次函数之间的联系 教学过程： 一、等差数列的通项公式 特征： 1? 等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，n 是自变量,+∈N n n a 是函数 2? 如果通项公式是关于n 的一次函数，则该数列成等差数列； 证明：若A n B A B A n A B An a n )1()()1(-++=++-=+= 它是以B A +为首项，A 为公差的等差数列。 3? 图象是直线)(1d a dx y -+=上一些等间隔的点，公差d 是该直线的斜率. 4? 公式中若 0>d 则数列递增，0 例1:已知(1,1),(3,5)是等差数列{an}图像上的两点. (1)求这个数列的通项公式; (2)画出这个数列的图像; (3)判断这个数列的单调性. 解:(1)略. (2)图像是直线y=2x-1上一些等间隔的点. (3)因为一次函数y=2x-1是增函数, 所以数列{an}是递增数列. 二、等差中项的概念 如果在a 与b 中间插入一个数A, 使a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项 若A 是a 与b 的等差中项，则2 b a A += 或b a A +=2 证明：设公差为d ，则d a A += d a b 2+= ∴A d a d a a b a =+=++=+222 例2:一个木制梯形架的上、下两底边分别为33cm ，75cm ，把梯形的两腰各6等分，用平行 木条连接各对应点，构成梯形架的各级。试计算梯形架中间各级的宽度。 解: 记梯形架自上而下各级宽度所构成的数列为{an},则由梯形中位 线的性质，易知每相邻三项均成等差数列，从而{an}成等差数列。 依题意有cm a 331= cm a 757= 现要求65432,,,a a a a a ,即中间5层的宽度。 )(76 33751717cm a a d =-=--=cm a 407332=+=， cm a 477403=+=,cm a 544=， cm a 615=，cm a 686= 答：梯形架中间各级的宽度自上而下依次是40cm,47cm,54cm,61cm,68cm. 例3：在-1与7之间顺次插入三个数c b a ,,使这五个数成等差数列，求此数列。 解：∵成等差数列7,,,,1c b a - ∴b 是-1与7 的等差中项 ∴ 3271=+-= b a 又是-1与3的等差中项 ∴12 31=+-=a c 又是1与7的等差中项 ∴52 73=+=c 7533 2.1 等差数列(二) 学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题． 知识点一 等差数列通项公式的推广 思考1 已知等差数列{a n }的首项a 1和公差d 能表示出通项a n ＝a 1＋(n －1)d ，如果已知第m 项a m 和公差d ，又如何表示通项a n ? 思考2 由思考1可得d ＝a n －a 1n －1，d ＝a n －a m n －m ，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？ 梳理 等差数列{a n }中，若公差为d ，则a n ＝a m ＋(n －m )d ，当n ≠m 时，d ＝ a n －a m n －m . 知识点二 等差数列的性质 思考 还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？ 梳理 在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则a m ＋________＝a p ＋________.特别地，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p . 知识点三 由等差数列衍生的新数列 思考 若{a n }是公差为d 的等差数列，那么{a n ＋a n ＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？ 梳理 若{a n }，{b n }分别是公差为d ，d ′的等差数列，则有 数列 结论 {c ＋a n } 公差为d 的等差数列(c 为任一常数) {c ·a n } 公差为cd 的等差数列(c 为任一常数) {a n ＋a n ＋k } 公差为2d 的等差数列(k 为常数，k ∈N ＋) {pa n ＋qb n } 公差为pd ＋qd ′的等差数列(p ，q 为常数) 类型一 等差数列推广通项公式的应用 例1 在等差数列{a n }中，已知a 2＝5，a 8＝17，求数列的公差及通项公式． 反思与感悟 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算． 跟踪训练1 数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N ＋)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于( ) 最新整理初一数学教案七年级数学上规律探究——数列与循环专题复习讲义(浙教版) 专题：规律探究 重难点易错点解析 例题1 (1)已知一列数：1，4，7，10，13，16，…则该列数中第n个数与第n1个数的差是，这列数中第n个数是；（用含有n的代数式表示） (2)古希腊数学家把1，3，6，10，15，…叫做三角形数，则第16个三角形数与第15个三角形数的差是，第n个三角形数与第n1个三角形数的差是； (3)已知一组数：1，2，3，4，5，6，…则这组数中，第n个数是． 数列的规律 例题2 观察下面算式，用你所发现的规律得出32014的末位数字是． ，，，，… 循环中的规律 金题精讲 题一 QQ空间等级是用户资料和身份的象征，按照空间积分划分不同的等级．当用户在10级以上，每个等级与对应的积分有一定的关系．现在知道第10级的积分是90，第11级的积分是160，第12级的积分是250，第13级的积分是360，第14级的积分是490，…若某用户的空间积分为1000，则他的等级是第级，该 用户若要升入下一级，还需积分． 数列的规律 题二 下图是某年11月的日历，并且在日历中用一个长方形方框圈出任意的3×3个数.请根据图示，回答下列问题： (1)如果3×3的方框中，左下角与右上角“对角线”上的3个数字的和为42，这9个数的和为多少？这9个日期中最后一天是几号？ (2)在这个月的日历中，能否用方框圈出总和为108的9个数？如果能，请求出这9个日期中的最大值；若不能，请推测下个月的日历中，能否用方框圈出，并推测圈出的9个日期中最后一天是周几． 日历中的数列与循环问题 题三 如图所示，电子跳蚤跳一步，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈，现有一只红跳蚤从标有“0”的圆圈开始按顺时针方向跳2050步，落在一个圆圈内；另一只黑跳蚤也从标有“0”的圆圈开始按逆时针方向跳2000步落在一个圆圈内，则这两个圆圈中两数的乘积是_________． 循环中的规律 题四 定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是．已知，，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，……以此类推，a2014=． 循环中的规律 思维拓展 课 题：3.1 等差数列（一） 教学目的：1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式； 2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题 教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式 教学难点：等差数列的性质 内容分析： 本节是等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线) 教学过程： 一、复习引入： 上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法和前n 项和公式..这些方法从不同的角度反映数列的特点下面我们看这样一些例子 1．小明觉得自己英语成绩很差，目前他的单词量只 yes,no,you,me,he 5个他决定从今天起每天背记10个单词，那么从今天开始，他的单词量逐日增加，依次为：5，15，25，35，… （问：多少天后他的单词量达到3000？） 2．小芳觉得自己英语成绩很棒，她目前的单词量多达3000不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉5个单词，那么从今天开始，她的单词量逐日递减，依次为：3000，2995，2990，2985，… （问：多少天后她那3000个单词全部忘光？） 从上面两例中，我们分别得到两个数列 ① 5，15，25，35，… 和 ② 3000，2995，2990，2980，… 请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？ ·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 二、讲解新课： 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） ⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N + ，则此数列是等差数列，d 为公差 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】 若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，求其通项公式， 根据其定义可得：d a a =-12即：d a a +=12 d a a =-23即：d a d a a 2123+=+= d a a =-34即：d a d a a 3134+=+= …… 由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n )1(1-+= 已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项n a 练习：开始的题目：讲解过程（略） 分析：当0>d ，为递增数列 当0 年级 数学 科辅导讲义（第 讲） 学生 授课教师： 授课时间： 数列专题复习 题型一：等差、等比数列的基本运算 例1、已知数列}{n a 是等比数列，且4622a a a =，则=53a a ( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 例2、在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则该数列前11项和S 11= ( ) A.58 B.88 C.143 D.176 变式 1、等差数列{a n }中，a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2、若等比数列{}n a 满足2412 a a = ，则2 135a a a = . 3、已知{}n a 为等差数列，且13248,12,a a a a +=+=（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，若12,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值。 题型二：求数列的通项公式 ⑴.已知关系式)(1n f a a n n +=+，可利用迭加法（累加法） 例1：已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式； 变式 已知数列{}n a 满足122a =，12n n a a n +-=，求数列{}n a 的通项公式． (2).已知关系式)(1n f a a n n ?=+，可利用迭乘法（累积法） 例2、已知数列{}n a 满足：111 (2),21 n n a n n a a n --=≥=+，求求数列{}n a 的通项公式； 变式 已知数列{}n a 满足n n a n a 2 1=+，11=a ，求数列{}n a 的通项公式。 一． 等差、等比数列的基本理论 ⑴等差、等比数列： ⑵判定一个数列是不是等差数列有以下三种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数). ⑶判定一个数列是不是等比数列有以下三种方法： ①1(2,)n n a a q n q -=≥为非零常数 ②112-+?=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a ) ③n n cq a =(q c ,为非零常数). ⑷数列{n a }的前n 项和n S 与其通项n a 之间的关系：???≥-===-)2()1(111n s s n a s a n n n 例1. 在等差数列{}n a 中，972S =。求249?a a a ++= 解：法一：因为9119(91)9936722 S a d a d -=+=+= 所以148a d += 249113123(4)3824a a a a d a d ∴++=+=+=?= 法二：因为91289...72S a a a a =++++= 而19285...2a a a a a +=+== 所以 5972a = 58a ∴= 249533824a a a a ∴++==?= 例2. 在等比数列{}n a 中，11a =，634S S =。求4?a = 解：因为634S S = 所以公比1q ≠（事实上，若1q =，则6166S a ==，3133S a ==此时显然不满足题设条件634S S =） 于是有 6311(1)(1)411a q a q q q --=-- 6314(1)q q ?-=- 又6331(1)(1)q q q -=+- 314q ∴+= 33q ∴= 341133a a q ∴==?= 例3. 在等差数列{}n a 中，535a a =。求95 ?S S = 解：法一：19551513319(91)999(4)992595(51)5(2)555 52a d S a a a d S a d a a a d -+ +====?=?=-++ 法二：因为95539,5S a S a == 所以95553399959555 S a a S a a ==?=?= 例4. 设数列{}n a 满足11a =，12n n a a +=， n *∈N 。求5?a =，8?S = 解：因为12n n a a += 等差数列及其前n 项和 [考试要求] 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题. 4.了解等差数列与一次函数的关系． 1．等差数列 (1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *)，d 为常数． (2)等差中项：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫作 a 与 b 的等差中项，即A ＝ a ＋b 2 . 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋ n n －1 2 d ＝ n a 1＋a n 2 . 3．等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系 (1)当d ≠0时，等差数列{a n }的通项公式a n ＝dn ＋(a 1－d )是关于d 的一次函数． (2)当d ≠0时，等差数列{a n }的前n 项和S n ＝d 2 n 2＋? ?? ??a 1－d 2n 是关于n 的二次函数． 4．等差数列的前n 项和的最值 在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． [常用结论] 等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)． (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N *)也是等差数列，公差为m 2d . (5)若{a n }是等差数列，则???? ?? S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差是{a n }的公 差的12 . (6)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 偶－S 奇＝nd ， S 奇 S 偶＝ a n a n ＋1 . (7)若{a n }，{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ，T n ，则. (8)若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1，则 ①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；② S 奇S 偶 ＝ n ＋1n . 一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的. ( ) 第55炼 数列中的不等关系 一、基础知识： 1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点 2、如何判断数列的单调性： （1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于n 的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。由于n N * ∈ ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为()0,+∞ 的函数，得到函数的单调性后再结合n N * ∈得到数列的单调性 （2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与1比较，但要求是正项数列） 3、用数列的眼光去看待有特征的一列数：在解数列题目时，不要狭隘的认为只有题目中的 {}{},n n a b 是数列，实质上只要是有规律的一排数，都可以视为数列，都可以运用数列的知识 来进行处理。比如：含n 的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前n 项和n S 也可看做数列{}12:,,,n n S S S S L 等等。 4、对于某数列的前n 项和{}12:,,,n n S S S S L ，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发，用函数的观点解决。也可以考虑相邻项比较。在相邻项比较的过程中可发现：1n n n a S S -=-，所以{}n S 的增减由所加项n a 的符号确定。进而把问题转化成为判断n a 的符号问题 二、典型例题 例1：已知数列{}1,1n a a =，前n 项和n S 满足()130n n nS n S +-+= （1）求{}n a 的通项公式 （2）设2n n n n c a λ?? =- ??? ，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数λ的取值范围 解：（1）()113 30n n n n S n nS n S S n +++-+=? = 《等差数列的前n 项和》教学设计 一、概念的提出与逆项相加原理 设}{n a 是等差数列，n S 为}{n a 前n 项的和，则n n a a a S +++=...21.这就是我们这节课要学习的内容，即等差数列前n 项的求和问题. 下面我们来认识一个因为高斯而著名的例题，并给出高斯算法. 例1 }{n a 的通项公式为,n a n =求100S . 高斯算法：10099984321100+++++++=...S 123979899100100+++++++=...S 因为这两项上下对应项的和均为101，所以 101001011011012100100=+++= 个 ...S 所以， 5050.2 10100S 100== 这里运用了一种原理，叫作逆项相加原理。我们就以这种方法去获取等差数列前n 项和的公式. 二、等差数列前n 项求和公式的推导 设n S 是等差数列}{n a 前n 项和，即 n n a a a S +++=...21. 根据等差数列}{n a 的通项公式，上式可以写成 ])([...)()(d n a d a d a a S n 121111-+++++++= 再把项的次序倒过来，可以写成 ])([...)()(d n a d a d a a S n n n n n 12--++-+-+= 把两式等号两边分别相加，得 个 n n n n n a a a a a a S )(...)()(++++++=1112 )(n a a n +=1 于是，首项为1a ，末项为n a ，项数为n 的等差数列的前n 项和 2 1)(n n a a n S += )(* 这个公式表明，等差数列的前n 项和等于首末项的和与项数乘积的一半. 例2 联系例1中的等差数列，求 （1）;...99321++++ (2);...99531++++ 第2讲 数列求和及数列的简单应用 典型真题： 1.[2019·浙江卷] 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=4,a 4=S 3.数列{b n }满足:对每个n ∈N *,S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)记c n =√ a n 2 b n ,n ∈N *,证明:c 1+c 2+…+c n <2√n ,n ∈N *. 2.[2019·天津卷] 设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,已知 a 1=4, b 1=6,b 2=2a 2-2,b 3=2a 3+4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式. (2)设数列{c n }满足c 1=1,c n ={1,2k 关键一:通过列方程(组)求关键量a1和d(或q). 关键二:利用通项公式和前n项和公式求解. 2.解决数列的递推问题: 关键一:利用a n={S1,n=1, 得出关于a n与a n+1(或a n-1)的递推式. S n-S n-1,n≥2, 关键二:观察递推式的形式,采用不同方法求a n. 3.解决数列求和问题 关键一:利用等差数列、等比数列的前n项和公式. 关键二:利用分组求和法、错位相减法、裂项相消法. 4.(1)等差数列的判断方法:定义法、等差中项法、利用通项公式判断、利用前n项和公式判断. (2)等比数列的判断方法: =q(q是常数且q≠0),则数列{a n}是等比数列. (a)定义法:若a n+1 a n (b)等比中项法:若a n+1 2=a n a n+2(n∈N*),则数列{a n}是等比数列. (c)通项公式法:若a n=pq n(p,q为常数且p,q≠0),则数列{a n}是等比数列. 5.解决关于数列的不等式证明问题常用放缩法,解决数列的最值问题常用基本不等式法. 解答1等差、等比数列基本量的计算 1 已知{a n}是递增的等比数列,a5=48,4a2,3a3,2a4成等差数列. (1)求数列{a n}的通项公式; (2)设数列{b n}满足b1=a2,b n+1=b n+a n,求数列{b n}的前n项和S n. 第二节等差数列 （一）等差数列 【教学目标】 1.知识与技能 （1）理解等差数列的定义，能够应用定义判断一个数列是否为等差数列，并确定等差数列的公差； （2）能运用等差数列的通项公式解决相关问题． 2.过程与方法 通过对等差数列概念和通项公式的探究，培养学生观察、归纳、类比、猜想、推理等发现规律的一般方法。 3.情感、态度与价值观 通过对等差数列概念和通项公式的探究，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好学习习惯。 【教学重难点】 重点：等差数列概念和通项公式的探究及等差数列通项公式的运用。 难点：等差数列通项公式的探究及其运用。 【教学过程】 一、课前预习指导： 仔细阅读课本，完成以下预习检测 1．观察下面几组数列： (1)3,4,5,6,7，…； (2)6,3,0，－3，－6，…； (3)1.1,2.2,3.3,4.4,5.5，…； (4)－1，－1，－1，－1，－1，…. 回答这几组数列的共同特点是________________________________． 2.判断下列数列是否为等差数列，如果是，指出首项a1和公差d；如果不是， 请说明理由． (1)4,7,10,13,16，…； (2)31,25,19,13,7，…； (3)0,0,0,0,0，…； (4)a，a－b，a－2b，…； (5)1,2,5,8,11，…. 二、新课学习 问题探究一等差数列的概念 例1判断下列数列是否为等差数列. （1）a n＝2n－1 （2）a n＝（－1） 问题探究二等差数列的通项公式 例2 已知等差数列｛a n｝，a=1，d= 2，求通项a n. 思考：如果等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，你能用两种方法求其通项吗？例3 （1）求等差数列9,5,1，…的第10项； （2）已知等差数列{a n}，a n = 4n-3,求首项a1和公差d. 例4已知在等差数列{a n}中，a5＝-20，a20＝-35，求它的通项公式。 学后检测1若{a n}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75. 学后检测2 已知{a n}为等差数列，a3＝5，a7＝13，求它的通项公式． 问题探究三等差数列与一次函数的联系 根据上述对比可知公差d的几何意义是等差数列的图像上任意两点(n，a n)、(m，a )连线的斜率，即d＝ .所以当d ＞0时,{a n}是数列；当d ＜m 0时, {a n}为数列；当d＝0时，{a n}为数列． 例5 已知（1，1），（3,5）是等差数列{a n}图像上的两点. （1）求这个数列的通项公式； （2）画出这个数列的图像； （3）判断这个数列的单调性. 学后检测 3四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． 问题探究四等差中项 1 如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫作x和y的等差中项，试用x，y表示A. 微专题52 等差等比数列的证明 在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既考察了学生证明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。 一、基础知识： 1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列 （1）定义法（递推公式）：1n n a a d +-=（等差）， 1 n n a q a +=（等比） （2）通项公式：n a kn m =+（等差），()0n n a k q q =?≠（等比） （3）前n 项和：2n S An Bn =+（等差），n n S kq k =-（等比） （4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列： （1）通常利用定义法，寻找到公差（公比） （2）也可利用等差等比中项来进行证明，即n N * ?∈，均有： 122n n n a a a ++=+ （等差） 2 12n n n a a a ++=? （等比） 二、典型例题： 例1：已知数列{}n a 的首项1133,,521 n n n a a a n N a *+= =∈+． 求证：数列11n a ?? -? ??? 为等比数列 思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在 1n a 这样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：113121 213n n n n n n a a a a a a +++= ?=+ 即 112133n n a a +=+，在考虑构造“1-”：112111 111333n n n a a a +??-=+-=- ??? 即数列11n a ??-? ??? 是公比为1 3的等比数列 思路二：代入法：将所证数列视为一个整体，用n b 表示：1 1n n b a = -，则只需证明{}n b 是等比数列即可，那么需要关于n b 的条件（首项，递推公式），所以用n b 将n a 表示出来，并代换 高三数学二轮讲义：数列（1） 班级 姓名 1．已知等差数列}{n a 的公差为1，且9999=S ，则99963a a a a ++++ 等于（ ） A ．77 B ．66 C ．33 D ．0 2．已知f (x )是偶函数，且)2()2(x f x f -=+，当-2≤x ≤0时，f (x )=2x ，若* N n ∈，)(n f a n =， 则=2007a （ ） A ．2007 B ．12 C ．1 4 D ．2 3．设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若1+n S ，n S ，2+n S 成等差数列，则q 的值为 ． 4．已知数列}{n a 的首项2 11=a ，n S 是其前n 项的和，且满足n n a n S 2 =，则此数列}{n a 的通项 公式为=n a ． 5．设数列}{n a 的前n 项和2 n S n =，且n n n a b 3 =，记数列}{n b 的前n 项和为n T ． （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求证：n T <1． 6．某地现有居民住房的总面积为a m 2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半．当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建设新住房，计划10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番． （1）试问每年应拆除的旧住房总面积x 是多少？ （2）过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少？（保留到小数点后第一位）？ 7．已知数列}{n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且)(52* 1N n n S S n n ∈++=+． （1）证明：数列{}1n a +是等比数列； （2）令212()n n f x a x a x a x =++ +，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '，并比较2(1)f '与 22313n n -的大小． 2.1 等差数列(二) 双基达标 (限时20分钟) 1．已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于 ( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 解析 a 2＋a 8＝2a 5＝12，∴a 5＝6. 答案 C 2．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于 ( )． A ．40 B ．42 C ．43 D ．45 解析 ∵a 2＋a 3＝2a 1＋3d ，∴d ＝3，∴a 4＋a 5＋a 6＝a 1＋a 2＋a 3＋3×3d ＝42. 答案 B 3．在等差数列{a n }中，a 3，a 9是方程2x 2－x －7＝0的两根，则a 6等于 ( )． A.12 B.14 C ．－72 D ．－74 解析 依题意有a 3＋a 9＝12，∴a 6＝a 3＋a 92＝14 . 答案 B 4．已知{a n }为等差数列，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5＝________. 解析 ∵a 3＋a 8＝a 5＋a 6＝22，∴a 5＝22－a 6＝22－7＝15. 答案 15 5．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，那么数列{a n ＋b n } 的第37项为________． 解析 因为数列{a n }，{b n }都是等差数列，所以{a n ＋b n }的首项是a 1＋b 1＝25＋75＝100， 又a 2＋b 2＝100，所以公差为0，所以第37项为100. 答案 100 6．在等差数列{a n }中， (1)已知a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，求a 13； (2)已知a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2·a 5＝52，求公差d . 解 法一 (1)直接化成a 1和d 的方程如下： (a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋22d )＋(a 1＋23d )＝48， 高二上学期第二次数学基础测试题（等差数列部分） 一，选择 1.在等差数列{a n}中，已知a4+a8=26，则该数列前11项和S11=（） A.58 B.88 C.143 D.176 2.已知数列{a n}是公差大于0的等差数列，且满足a1+a5=4，a2a4=-5，则数列{a n}的前10项的和等于（） A.23 B.95 C.135 D.138 3.已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，若S6＞S7＞S5，则下列命题错误的是（） A.d＜0 B.S11＞0 C.{S n}中的最大项为S11 D.|a6|＞|a7| 4.等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10=20，S20=15，则S30=（） A.10 B.-30 C.-15 D.25 5.《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布． A. B. C. D. 6.等差数列{a n}和{b n}，{b n}的前n项和分别为S n与T n，对一切自然数n，都有=，则 等于（） A. B. C. D. 7.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=-3，a k+1=，S k=-12，则正整数k=（） A.10 B.11 C.12 D.13 8.在等差数列{a n}中，a1=-2011，其前n项的和为S n．若-=2，则S2011=（） A.-2010 B.2010 C.2011 D.-2011 9.在△ABC中，三边a，b，c成等差数列，B=30°，三角形ABC的面积为，则b的值是（） A.1+ B.2+ C.3+ D. 10.等差数列{a n}的前n项之和为S n，已知a1＞0，S12＞0，S13＜0，则S1，S2，S3，S4，…，S11，S12中最大的是（） A.S12 B.S7 C.S6 D.S1 11.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a5+3a7+2a9=14，则S13等于（） A.26 B.28 C.52 D.13 12.已知lg2，，lg（1-y）顺次成等差数列，则（） A.y有最大值1，无最小值 B.y有最小值-1，最大值1 C.y有最小值，无最大值 D.y有最小值，最大值1 专题：数列求和 （一）主要知识： 1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 （1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （2）等比数列的求和公式S n ＝???? ?na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1.（切记：公比含字母时一定要讨论） 2．公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和. 222221 (1)(21) 1236 n k n n n k n =++=+++ += ∑ 2 3 333 3 1 (1)1232n k n n k n =+??=+++ +=? ???∑ 3．倒序相加法：类似于等差数列的前项和的公式的推导方法，如果一个数列{}n a 的前项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法，如等差数列的前项和公式即是用此法推导的． 4．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求，如等比数列的前项和公式就是用此法推导的． 若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令 ， 则 两式错位相减并整理即得. 5．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似 （其中 是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法 （1），特别地当时，； n n n n n n n [学业水平训练] 1．在等差数列{a n }中，a n ＞0，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，则a 5＋a 6＝( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．36 解析：选B.∵数列{a n }是等差数列，且a n ＞0， ∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝5(a 5＋a 6)＝30， ∴a 5＋a 6＝6. 2．(2014·临清高二检测)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝6，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．30 B ．15 C ．5 6 D ．10 6 解析：选B.∵数列{a n }为等差数列． ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝52(a 2＋a 4)＝52 ×6＝15. 3．(2014·东北育才学校质检)在等差数列{a n }中，若a 1，a 2 015为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 2＋a 1 008＋a 2 014＝( ) A ．10 B ．15 C ．20 D ．40 解析：选B.∵a 1，a 2 015为方程x 2－10x ＋16＝0的两个根． ∴a 1＋a 2 015＝2a 1 008＝10. ∴a 1 008＝5， ∴a 2＋a 1 008＋a 2 014＝3a 1 008 ＝3×5＝15. 4．设{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37＝( ) A ．0 B ．37 C ．100 D ．－37 解析：选C.设c n ＝a n ＋b n ，由于{a n }，{b n }都是等差数列，则{c n }也是等差数列，且c 1＝a 1＋b 1＝25＋75＝100. c 2＝a 2＋b 2＝100. ∴{c n }的公差d ＝c 2－c 1＝0. 高中数学专题讲义:高考中的数列问题的热点题型 高考导航 对近几年高考试题统计看,全国卷中的数列与三角基本上交替考查,难度不大.考查内容主要集中在两个方面:一是以选择题和填空题的形式考查等差、等比数列的运算和性质,题目多为常规试题；二是等差、等比数列的通项与求和问题,有时结合函数、不等式等进行综合考查,涉及内容较为全面,试题题型规范、方法可循. 热点一 等差数列、等比数列的综合问题 解决等差、等比数列的综合问题时,重点在于读懂题意,灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n 项和公式解决问题,求解这类问题要重视方程思想的应用. 【例1】 已知首项为3 2的等比数列{a n }不是递减数列,其前n 项和为S n (n ∈N *),且S 3＋a 3,S 5＋a 5,S 4＋a 4成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设T n ＝S n －1 S n (n ∈N *),求数列{T n }的最大项的值与最小项的值. 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q , 因为S 3＋a 3,S 5＋a 5,S 4＋a 4成等差数列, 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5,即4a 5＝a 3, 于是q 2＝a 5a 3 ＝1 4. 又{a n }不是递减数列且a 1＝3 2, 所以q ＝－1 2 . 故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×? ????－12n －1 ＝(－1)n －1·3 2n . (2)由(1)得S n ＝1－? ???? －12n ＝?????1＋12n ，n 为奇数，1－1 2n ，n 为偶数， 当n 为奇数时,S n 随n 的增大而减小, 所以1高中数学第一章数列等差数列学案北师大版
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北师大版数学高二必修5第一章2.1第二课时等差数列的性质作业
高中数学专题讲义：高考中的数列问题的热点题型
S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－7 12. 综上,对于n ∈N *, 总有－712≤S n －1S n ≤5 6. 所以数列{T n }最大项的值为56,最小项的值为－7 12. 探究提高 解决等差数列与等比数列的综合问题,既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解,更要善于根据具体问题情境具体分析,寻找解题的突破口. 【训练1】 (2017·济南模拟)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列,其前n 项和为S n ,满足S 5－2a 2＝25,且a 1,a 4,a 13恰为等比数列{b n }的前三项. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式； (2)设T n 是数列? ?????????1a n a n ＋1的前n 项和,是否存在k ∈N *,使得等式1－2T k ＝1 b k 成立？若 存在,求出k 的值；若不存在,请说明理由. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0), ∴?????? ? ???5a 1＋5×42d －2（a 1＋d ）＝25， （a 1＋3d ）2＝a 1（a 1＋12d ）， 解得a 1＝3,d ＝2,∴a n ＝2n ＋1. ∵b 1＝a 1＝3,b 2＝a 4＝9, ∴等比数列{b n }的公比q ＝3,∴b n ＝3n . (2)不存在.理由如下:
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