______ 年级数学科辅导讲义（第讲）
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数列专题复习
题型一：等差、等比数列的基本运算
例1、已知数列｛a n｝是等比数列，且a2a6 =2a4，则a3a^ （）
A. 1
B. 2
C. 4 D . 8
例2、在等差数列｛a n｝中，已知a4+a8=16,则该数列前11项和S i=（）
A.58
B.88
C.143
D.176
变式1、等差数列｛a n｝中，a1+a5=10,a4=7,则数列｛a n｝的公差为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
2、若等比数列(aj1满足a2a^1，贝U a i a f a5 = __________ .
3、已知｛a n｝为等差数列，且a i 3^8,32 - 34 =12, (I)求数列｛a［的通项公式;
(n)记｛a n｝的前n项和为S.，若ai,a k,S k .2成等比数列，求正整数k的值。
题型二：求数列的通项公式
⑴.已知关系式a n1=a n? f( n)，可利用迭加法(累加法)
例1：已知数列^n冲，a i = 2,a n = a n」■ 2n -1(n _ 2)，求数列：a n 的通项公式;变式已知数列｛a n｝满足a i = 22 ,务1 -a n = 2n，求数列｛a n｝的通项公式.
(2).已知关系式a n ^a n f (n)，可利用迭乘法(累积法)
例2、已知数列CaJ满足：n_ 2), ai -2，求求数列订爲的通项公式；
a.」n+i
变式已知数列｛a n｝满足a n i = n2a n, a i =i，求数列｛a n｝的通项公式。
（3）.构造新数列
1 °递推关系形如“=pa n +q ”，利用待定系数法求解
例、已知数列a ［中，a! =1,a n d =2a n 3，求数列订鳥的通项公式. 变式已知数列￡鳥中，a i =2,內1 =4內? 5，求数列的通项公式。
2°递推关系形如“ a n pa n q n”两边同除p n 1或待定系数法求解例、已知a i =1,a n卅=2a n +3n，求数列? ｝的通项公式?
变式已知数列「a n'］，a n ^3a n - 6n，a^ 3，求数列「a n ?的通项公式。
3°递推关系形如"a n - pa nJ =qa n a n（p,q =0）,两边同除以a n a*」
例1、已知数列a n^中, a n - a n 4= 2a n a n（n亠2）,a i = 2，求数列；a n』的通项公式
变式数列也？中，a^2,a n 1 -^（ n?N J ,求数列也［的通项公式
4十a.
d、给出关于S n和a m的关系(-S nJ)
例1、设数列3匚的前n项和为S n，已知a! = a, a. 1二S n ? 3n(n ? N .)，设b^ S n - 3n, 求数列b 1的通项公式.
■Q
⑴求Wn f的通项；⑵设b n，求数列'b n ｛的前n项和T n .
2n +1
题型三：数列求和
、利用常用求和公式求和
1、等差数列求和公式：S n J ⑻务)"""d
2 2
[na1 (q=1)
2、等比数列求和公式：S
n =红- q n) / pq
1-q 1-q
前n个正整数的和 1 2 3 n』n °
2
前n个正整数的平方和12 22 3^ ?亠n2二一1)(2n
一
1)
6
前n个正整数的立方和13 23 3^ n3二［血卫］2
2
例1、在数列｛a n｝中，a1= 8, a4= 2，且满足a +2+ a n = 2a n+1.
(1)求数列｛a n｝的通项公式;
⑵设$是数列｛|刘｝的前n项和，求$.
变式设S n是数列'a n啲前n项和, a i = 1, S n = a n S n ―扌 5 -2).
二、错位相减法求和(重点)
这种方法主要用于求数列｛a n ? b n｝的前n项和，其中｛ a n ｝、｛ b n ｝分别是等差数列和等比数列?求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。
例2、求和：S n=1 3x 5x2 7x3(2n -1)x nJ
变式已知等差数列a，的通项公式a n = n ,等比数列江仏=2n 1，设C n二a n ? b n , S n是数列C n的前n项和，求
S n。
三、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或
常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可
1 1 1
例3、求数列的前n项和：1 1, 4,—…；u，3n-2，…
a a a n
变式求数列｛n(n+1)｝的前n项和.
四、裂项法求和
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2、已知等比数列｛a n ｝ 中, a 1= 3,a 4= 81,若数列｛b n ｝满足log 3如则数列’bi 土 的前n 项和 __________________
题型四：等差、等比数列的判定
例1、已知S n 为等差数列 ◎ '的前n 项和，b n 二色（n ? NJ.求证：数列 匕是等差数列 精品文档
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的
裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后 .通项分解（裂项）女口：
(1) a n = f(n 1) _ f(n)
(2) Snl
tan(n 1) -tann
cos n cos(n +1)
(3) a n
1 n(n 1)
(4) a n
(2n )2
(2n -1)(2n 1)
=1丄(」
2 2n —1 1 2n 1
(5) a n
1 n(n -1)(n 2) 1 1 1
[
2 n(n 1) (n 1)(n 2) a n
n 2
1
n(n 1) 2n
2(n 1) -n n(n 1)
(n 1)2
,则S n
1 (n - 1)2n
例4求数列 --- ，…的前 n 项禾廿.
.n i n 1
变式
1
2 n
1、在数列｛an ｝中，a n 二——
-
一，又b n
n+1 n+1 n+1
2
a n
a
n 1
求数列｛bn ｝的前n 项的和.
变式：已知公比为3的等比数列bn ?与数列玄1满足b n =3a n, n ? N，且a i =1，证明Ca n］是等差数列。例2、设｛a n｝是等差数列，b n ='丄;，求证：数列｛b｝是等比数列; 、、2)
变式1、数列｛a n｝的前n项和为S,数列｛b n｝中，若a n+S=n.设C n=a n —1，求证：数列｛6｝是等比数列;
2、已知S n为数列?｝的前n项和，a i=1, S n=4an+2数列￡丿，b n=a n+—2a n，求证：札｝是
等比数列；
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课后作业：
1已知数列｛a n｝的各项均为正数，前n项和为S n,且满足2S n= a n+ n—4(n€ N*).
(1) 求证：数列｛a n｝为等差数列；
(2) 求数列｛a n｝的通项公式。
2、已知数列｛a n｝的前n项和为S n,且S n = 4a n —3(n€ N*).
(1)证明：数列｛a n｝是等比数列；
⑵若数列｛b n｝满足b n+仟a n+ b n(n€ N*),且b l = 2,求数列｛b n｝的通项公式.
3、已知等差数列｛a n｝的前n项和为S n, a5= 5, S5二15,贝擞列二H 的前n项和人
4、已知数列｛a n｝的前n 项和为S n= 3n,数列｛b n｝满足b i=—1, b n+1 = b n+ (2n—1)(n€ N ).
(1) 求数列｛a n｝的通项公式a n；
(2) 求数列｛b n｝的通项公式b n；
⑶若C n=越；严'，求数列｛C n｝的前n项和T n.