人口问题
一、摘要
20世纪90年代以来，中国人口的老龄化进程加快。65岁及以上老年人口从1990年的6299万增加到2000年的8811万，占总人口的比例由5.57%上升为6.96%，目前中国人口已经进入老年型。老年人口高龄化趋势日益明显。所谓人口老龄化，是指老年人在总人口中的相对比例上升，按国际通行的标准，60岁以上的老年人口或65以上的老年人在总人口的比例超过10%和7%，即可看作是达到了人口老龄化。人口的老龄化问题将成为中国面临的前所未有的新挑战。迅速发展的人口老龄化趋势，与人口生育率和出生率下降，以及死亡率下降、语气寿命提高密切相关。政府高度重视和解决人口老龄化问题，积极发展老龄事业，把老龄事业明确纳入了经济社会发展的总体规划和可持续发展战略。在社会经济不太发达的状态下进入人口老龄化，会影响我国的发展。由于抚养老年人与少年人所需的社会资源不同，负担大小也不同。社会保障支出负担重，影响到GDP，也就是国内生产总值，指在一定时期内或一个季度或者一年，一个国家或地区的经济中所生产出全部最终产品的劳务价值。它不但可以反映一个国家的经济表现，还可以反映一国的国力和财富。2016年我国的GDP达7444127亿元，同比2015年增长6.7%。解决措施①立刻完善老年社会福利保障体系，养老保险、医疗保险、等等。②提高老人的生活质量，营造健康老龄化的环境。③发展经济，增强经济承受能力。④取消计划生育政策。针对人口随时间与GDP的变化建立数学模型，解决我国人口老龄化问题，利用微分方程稳定性理论，研究我国人口老龄化问题。最后，通过Excel拟合出散点图模型。
关键词：人口老龄化出生率死亡率国内生产总值
二、问题的提出
一国人口生育率的迅速下降在造成人口老龄化加速的同时，少儿抚养比例迅速下降，劳动年龄人口比例上升，在老年人口比例达到较高水平之前，将形成一个劳动力资源相对丰富、抚养负担轻、于经济发展十分有利的“黄金时期”，人口经济学家称之为“人口红利”。中国的人口年龄结构就处在人口红利的阶段，每年供给的劳动力总量约为1000万，劳动人口比例较高，保证了经济增长中的劳动力需求。由于人口老龄化高峰尚未到来，社会保障支出负担轻，财富积累速度比较快。劳动力资源丰富和成本优势已经使中国成为世界工厂和世界经济增长的引擎。
GDP即英文gross domestic product的缩写，也就是国内生产总值,（港台地区有翻译为国内生产毛额、本地生产总值）。通常对GDP的定义为：一定时期内（一个季度或一年），一个国家或地区的经济中所生产出的全部最终产品和提供劳务的市场价值的总值。
表1是我国历年人口出生、死亡、增长数量统计表，附图是我国自1952年起GDP统计数据。请讨论如下问题：
1、人口随时间变化规律
2、人口与GDP变化之间的关系
12-16.2
三、问题的分析
由题意可知，目的就是为了建立一种模型，解决人口与时间和GDP的关系。年末人口数=年初人口数+（本期内出生人数-本期内死亡人数）+（本期内迁入人数-本期内迁出人数），还给我们了出生率和死亡率我们可以计算出自然增长率，通过各个数据建立人口随时间变化的散点图模型。
图一
四、模型假设
由于人口面临老龄化趋势，受资源环境因素的影响，我国丰富的劳动力资源牵动着经济的发展。假设人口递增速度与人口量成正比，则显然不符合俩头后期的情形，因为人口不可能递增速度越来越快。将人口增长率由设置为r。
五、模型的建立和求解
问题一
根据表一给出的数据，做出散点图，如下图
图二
从图二可以看出，人口随时间的变化规律呈递增趋势。
问题二
根据中国国内生产总值图表得出图三、图四、图五的数据并结合图二进行分析
图三
图四
图五
结合上述几幅图表可得：中国人口与名义GDP的变化关系是同时呈递增。随着人口的递增，GDP也会递增。但是人口从2003年开始增长变缓，但是GDP的增长变快。在2009-2010年期间，GDP增加迅速。到最后，就算人口不再增长，GDP也会递增。
六、模型的检验
模型的优点在于对问题所给出的数据进行拟合得出散点图看出变化趋势，简单明了，清晰易懂。采用多个散点图进行数据分析。所得结论也与事实较吻合，从而进一步说明模型具有合
理性。人口问题受诸多因素的影响，更与GDP关系密切。模型也存在着不完善，没有考虑到未来人口的变化趋势，还有我国以后GDP变化的形式。
摘要 以2010年11月1日零时为标准时点，中国大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口共13.397亿。13亿是一个忧虑的数字。13亿人要吃饭、要穿衣、要上学、要就业、要住房……，消费的需求乘以13亿，就是一个庞大的数目，而我国的耕地、水资源、森林以及矿产资源本来就稀缺，再除以13亿，就少得可怜。平均每人耕地面积只有1.4亩，水资源只相当于世界人均水平的1/4…….、 中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多，底子薄，人均耕地少，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。当前中国的人口存在着最为明显的三大特点：（1）人口基数大，人口数量的控制难度仍很大。（2）人口整体素质不高，特别是县域及以下农村人口素质普遍偏低。（3）人口结构不合理，城乡差别、地区差别和人口素质差别很大。 人口数量、质量和年龄分布直接影响一个地区的经济发展、资源配置、社会保障、社会稳定和城市活力。在我国现代化进程中，必须实现人口与经济、社会、资源、环境协调发展和可持续发展，进一步控制人口数量，提高人口质量，改善人口结构。对此，单纯的人口数量控制（如已实施多年的计划生育）不能体现人口规划的科学性。政府部门需要更详细、更系统的人口分析技术，为人口发展策略的制定提供指导和依据。 我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有二个中国人，在20世纪的一段时间内我国人口的增长速度过快，如下表： 有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理想来说，也是我们义不容辞的责任。 长期以来，对人口年龄结构的研究仅限于粗线条的定性分析，只能预测年龄结构分布的大致范围，无法用于分析年龄结构的具体形态。随着对人口规划精准度要求的提高，通过数学方法来定量计算各种人口指数的方法日益受到重视，这就是人口控制和预测。 我国人口问题已积重难返，对我国人口进行准确的预测是制定合理的社会经济发展规划
数学建模报告 ——浙江省人口增长预测模型的建立与分析 问题综述: 为了加快中国的经济建设进程，全面落实科学的发展观，按照构建社会主义和谐社会的要求，实现人口与经济社会资源环境的协调和可持续发展。我们确定人口发展战略，必须既着眼于人口本身的问题，又处理好人口与经济社会资源环境之间的相互关系，构建社会主义和谐社会，统筹解决人口数量、素质、结构、分布等问题。 人口增长预测的研究是国家（地区）制定未来人口发展目标和生育政策等有 关人口政策的基础，对于经济计划的制定和社会战略目标的决策具有重要参考价值。一般的人口预测统计学模型，其预测精度难以保证。所以选择一个好的人口预测模型，首先应符合人口基本理论和数学建模的要求，这是选择模型的关键，其次要保证模型数据可得一致性与可比性，在数据预测检验阶段应充分拟合原始数据。 浙江省是人口大省、地域小省(资源小省)，虽然从“资源小省、经济小省(国家投入小省)、工业小省”迅速发展成为“经济大省”，但人口问题始终是制约浙江省发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对浙江省做出分析和预测是一个重要问题。 近年来浙江省的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着浙江省人口的增长。 从浙江省的实际情况和人口增长的特点出发, 建立浙江省人口增长的数学模型，并由此对浙江省人口增长的中短期和长期趋势做出预测。 解：假设：不考虑特别年份的特殊性,例如特大自然灾害等对人口增长的影响； 在研究 Logistic生物模型,假设其研究对象p(t) {p(t)表示在t时刻种群的大小}是连续的；不考虑男女出生比例对人口增长的影响。 模型建立：1.短期人口预测 影响人口增长的因素有很多，有经济、政策、科学技术、自然环境等，这些众多的因素之间的关系难以准确描述出来, 它们对人口增长的作用不是用几个指标就能精确计算出来的。人口系统具有明显的灰色性, 是一个部分信息已知而部分信息未知的系统。灰色系统理论把这样受众多因素影响, 而又无法确定其复杂关系的量,称为灰色量。灰色系统所要考察和研究的是对信息不完备的喜用，通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的。本题采用了灰色系统预测方法进行短期人口预测 灰色系统模型建模是利用离散的时间序列数据建立近似连续的微分模型。灰色模型预测的方法：
关于计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究 【摘要】 本文着重于讨论两个问题:1、从目前中国人口现状出发，对于中国未来人口数量进行预测。2、针对深圳市讨论单独二胎政策对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。 对于问题1从中国的实际情况和人口增长的特点出发，针对中国未来人口的老龄化、出生人口性别比以及乡村人口城镇化等，提出了 Logistic 、灰色预测、等方法进行建模预测。 首先，本文建立了 Logistic 阻滞增长模型，在最简单的假设下，依照中国人口的历 史数据，运用线形最小二乘法对其进行拟合， 对 2014 至 2040 年的人口数目进行了预测， 得出在 2040 年时，中国人口有 14.32 亿。在此模型中，由于并没有考虑人口的年龄、 出生人数男女比例等因素，只是粗略的进行了预测，所以只对中短期人口做了预测，理 论上很好，实用性不强，有一定的局限性。 然后， 为了减少人口的出生和死亡这些随机事件对预测的影响， 本文建立了 GM(1,1) 灰色预测模型，对 2014 至 2040 年的人口数目进行了预测，同时还用 2002 至 2013 年的 人口数据对模型进行了误差检验，结果表明，此模型的精度较高，适合中长期的预测， 得出 2040 年时，中国人口有 14.22 亿。与阻滞增长模型相同，本模型也没有考虑年龄 一类的因素，只是做出了人口总数的预测，没有进一步深入。 对于问题2针对深圳市人口结构中非户籍人口比重大，流动人口多这一特点，我们采用了灰色GM(1,1)模型，通过matlab 对深圳市自2001至2010年的数据进行拟合，发现其人口变化近似呈线性增长，线性相关系数高达0.99，我们就此认定其为线性相关并给出线性方程。同理，针对其非户籍人口，我们进行matlab 拟合发现，其为非线性相关，并得出相关函数。并做出了拟合函数 0.0419775(1)17255.816531.2t X t e ?+=?-。 对于新政策的实施，我们做出了两个假设。在假设只有出生率改变的情况，人口呈现一次函数线性增加。并拟合出一次函数0.032735617965.017372.5t Y e ?=?-；在假设人口增长率增长20%时，做出了预测如果单独二胎政策实施，到2021年，深圳市常住人口数将会到达1137.98千万人。 关键词:GM(1,1)灰色模型 Logistic 阻滞增长模型 线性拟合 非线性拟合
实验报告 课程名称：数学建模 课题名称：求解常微分方程与人口模型 专业：信息与计算科学 姓名：胡家炜 班级： 123132 完成日期： 2016 年 6 月 10 日
一．求解微分方程的通解 (1). dsolve('2*x^2*y*Dy=y^2+1','x') ans = (exp(C3 - 1/x) - 1)^(1/2) -(exp(C3 - 1/x) - 1)^(1/2) i -i (2). dsolve('Dy=(y+x)/(y-x)','x') ans = x + 2^(1/2)*(x^2 + C12)^(1/2) x - 2^(1/2)*(x^2 + C12)^(1/2) (3). dsolve('Dy=cos(y/x)+y/x','x') ans = (pi*x)/2-x*log(-(exp(C25 + log(x)) - i) /(exp(C25 + log(x))*i - 1))*i (4). dsolve('(x*cos(y)+sin(2*y))*Dy=1','x') ans = -asin(x/2 + lambertw(0, -(C30*exp(- x/2 - 1))/2) + 1) (5). dsolve('D2y+3*Dy-y=exp(x)*cos(2*x)','x') ans = C32*exp(x*(13^(1/2)/2 - 3/2)) + C33*exp(-x*(13^(1/2)/2 + 3/2)) + (13^(1/2)*exp(x*(13^(1/2)/2-3/2))*exp((5*x)/2(13^(1/2)*x)/2)* (2*sin(2*x) - cos(2*x)*(13^(1/2)/2 - 5/2)))/(13*((13^(1/2)/2 - 5/2)^2 +4))-(13^(1/2)*exp(x*(13^(1/2)/2+3/2))*exp((5*x)/2 +(13^(1/2)*x)/2)*(2*sin(2*x)+cos(2*x)*(13^(1/2)/2+5/2))) /(13*((13^(1/2)/2 + 5/2)^2 + 4)) （6）dsolve('D2y+4*y=x+1+sin(x)','x') ans = cos(2*x)*(cos(2*x)/4 - sin(2*x)/8 + sin(3*x)/12 - sin(x)/4 + (x*cos(2*x))/4 - 1/4) + sin(2*x)*(cos(2*x)/8 - cos(3*x)/12 + sin(2*x)/4 + cos(x)/4 + (x*sin(2*x))/4 + 1/8) + C35*cos(2*x) + C36*sin(2*x)
中国人口增长预测与控制 摘要 近年来，中国人口最突出的特点是：老龄化加速、出生人口性别比持续增高和乡村人口城镇化。针对这些特点，建立各个影响因素的数学模型，最后建立中国人口的增长模型。 对于问题一，首先将人口增长的预测问题转化为对出生率、死亡率和城镇乡转移率的预测。通过原题附录3数据的分析研究，发现影响人口增长的主要因素可以归结为出生率、死亡率和城镇乡转移率，并依此建立了不同参数随时间变化的递推数学模型，讨论了各个参数对人口增长的影响。其次，分别拟合死亡率和生育率、城镇乡转移率对年龄的分布。建立了差分数学模型，将死亡率、生育率与城镇乡转移率的预测归结到总和死亡率、总和生育率与城镇乡总和转移率的预测，由于概率分布是相对稳定的，模型参数整体健壮。对中短期的预测而言，总和死亡率、生育率和转移率的变化是近似线性的；对长期的预测，采用SI和SIS模型来描述其非线性变化，其模型的控制参数变化体现了国家人口政策的控制力度，结果表明模型具有长期可控性。 对于问题二，采用所建模型对0—90岁人口做出中短期和长期预测。2006-2030年总人口逐年增加，2006年为13.062亿，2007年为13.109亿，2008年为13.158亿，2010年为13.3亿，2023年达到高峰期13.829亿，以后开始下降趋于平缓，到2030年为13.805；乡城转移率逐年增加，短期线性变化，2006年为0.454，2007年为0.471，2008年为0.490，2010年为0.526，长期由非线性模型描述，到2030年，城乡比例为0.901；整体老龄化程度增大，2006年为0.129，2007年为0.134，2008年为0.139，2010年为0.150，到2030年为0.325，在农村老龄化尤其严重，可以确定为地区间的迁移。同时在做长期预测时，不同的国家策略导致不同的人口状况(见图[26-30])，得到的结论可以作为国家制定人口方针的建议。 对于问题三，指出模型的优缺点。通过求解经典的Logistic模型和Leslie模型，并将所得结果与本文模型结果比较，发现本文模型具有易操作性、可控性、健壮性等优点；主要缺点是在短期预测时准确度稍差。 关键词：人口控制差分模型预测拟和Leslie模型Logistic方程 一、问题重述 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007 年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1) 还做出了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。试从中国的实际情况和人口
基于最小二乘拟合法的人口增长模型 摘要： 针对题目所提问题，本文结合题目所给数据，采取最小二乘拟合法，利用1982年到1998年的出生率和死亡率，对1999年到2008年的出生率和死亡率进行预测，并得出此时间段内的人口自然增长率，进而得出1999年到2008年的人口总数，并和实际人口总数进行对比。 一、问题背景及重述 1.1 问题的背景 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。我国自1973年全面推行计划生育以来，生育率迅速下降，取得了举世瞩目的成就，但全面建设小康社会仍面临着人口的形势和严峻挑战。随着我国经济的发展、国家人口政策的实施，未来我国人口高峰期到底有多少人口，专家学者们的预测结果不一。因此，根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。 1.2 问题的重述 下表列出了中国1982～1998年的人口统计数据，去1982年为起始年（t=0），1982年的人口101654万人，人口自然增长率为14‰，以36亿作为我国人口的容纳量，试建立一个较好的人口数学模型并
给出相应的算法和程序，并与实际人口进行比较。 时间1982 1983 1984 1985 1986 1987 人口（万人）101654 103008 104357 105851 107507 109300 时间1988 1989 1990 1991 1992 1993 人口（万人）111026 112704 114333 115823 117171 118517 时间1994 1995 1996 1997 1998 人口（万人）119850 121121 122389 123626 124810 二、问题分析 三、模型假设与符号说明 3.1、模型假设 1．在未来50年人口生存的社会环境相对稳定（即没有战争及毁 灭性灾难）。 2.国际人口迁入与迁出量相等。
数学建模实例：人口预报问题 1.问题 人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口. 表1 美国人口统计数据 2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型） 此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出. [1] 假设：人口增长率r 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）. [2] 建立模型： 记时刻t =0时人口数为x 0, 时刻t 的人口为()t x ，由于量大，()t x 可视为连续、可微函数.t 到t t ?+时间内人口的增量为： ()()()t rx t t x t t x =?-?+ 于是()t x 满足微分方程：
()0d d 0x rx t x x ?=? ??=? （1） [3] 模型求解： 解微分方程（1）得 ()0e rt x t x = （2） 表明：∞→t 时，()∞→t x （r >0）. [4] 模型的参数估计： 要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r 进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章. 通过表中1790—1980的数据拟合得：r =0.307. [5] 模型检验： 将x 0=3.9，r =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2. 表2 美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
数学建模期末考查题 数学建模期末考查是检验我们学习情况，也是培养我们的数学建模能力，团队合作能力，也有助于我们思考能力的锻炼，所以数学建模期末题我们会认真对待，用我们所学、尽我们所能的完成它。 我们选择的题是：人口迁移的动态分析。 参与成员： 日期: 2010 年___ 12月___ 15 日
摘要 本文主要是计算A1、A2、A3 三地区经过迁移后的人口及人口比例的变化，经过分析列出方程组，利用C程序计算出10年后、100年后三地区的人口数。由计算所得绘制出人口数量的走势图，加以数据的分析，进而对时间无限的增长各地区人口比例的稳定性进行了很好的分析。 通过对该问题的数学模型建立，培养了团队合作能力，锻炼了我们的发散思维能力，增强了用数学方法解决实际问题的能力。 关键词：人口迁移模型，研究性学习，VC++,递归方法
问题重述 在工业化的进程中， 经济欠发达地区的人口会向经济发达地区迁移， 形成一个稳定的朝向城市的 人口流动趋势。假设有三个地区 A 1、 A 2、 A 3 ，第一年初三个地区的总人口为 1 亿人，各个地 区人口在总人口中的比例分别是 25%、35%、40%。地区 A 每年有人口的1 %流向地区 A 2，有 人口的1%流向地区 A ；地区A 2每年有人口的1 %流向地区 A ，有人口的2%流向地区 A i ； 地区A 3每年有人口的3%流向地区 A i ，有人口的2%流向地区 A 。 (1 )假如三个地区的总人口保持不变，并且人口流动的这种趋势继续下去，问 10 年以后三个 地区的人口各是多少 100 年以后呢时间无限增大各地区人口比例是否会稳定在某一个水平。 (2)设地区 A 的人口自然增长率 5%o ；地区 A 2的人口自然增长率为 7%o ；地区 A 的人人口自 然增长率为11%o 。并且假定人口迁移是在每年初或年末一次完成的， 问10年以后三个地区的人 口各是多少 100 年以后呢时间无限增大各地区人口比例是否会稳定在某一个水平。 问题分析：( 1 )、我们需要建立一个描述这 3 个地区人口流动的模型，并求出在多少年后 A 1、 A 2、 A 3 地区的人口。 问题假设 1、 A 1、A 2、A 3地区是相对封闭的地区，人口的流动只发生在这 3个地区。 2、 问题中提过 3 个地区的总人口不变， 所以假设该 3 个地区的出生率等于死亡率。 在问(2) 中 则不是，A 1、A 2、A 3地区的人口是增长的，没个地区的增长率不一样，而迁移的时候是在增长了 人口后。 3、 假设人口的迁移时是一次性完成的，在每年末完成。 4、 每个地区的迁入、迁出的比例不变。 5、 符号的说明： A j (i=1、2、3，j=1、2、3??：.)：A i 地区在j 年后的人口数。 r i (i=1、2、3):为Ai 地区的自然增长率。 则在第一年的基础上迁移： A 12=* A 11+* A 21*+* A 31* A 11* 问题的解决 问题( 1)我们从问题中获得的信息可以列出数学表达式如下：设 第一年： A 1 1 =*x+*x*+*x* A 2 1 =*x+*x*+*x* x 为总人口数，则 A 31=*x+*x*+*x* 第二年
高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
中国人口增长预测 摘要: 中国作为世界上人口最多的发展中国家，人口问题直接影响着我们国家的 发展。本文运用数学建模的方法，建立了中国人口增长的数学模型，并对未来中国的人口状况做出了预测。 中短期人口模型：我们以莱斯利（Leslie ）模型作为理论基础，建立了一个全国人口模型。由于中国城镇化进程不断加快，所以把全国划分为城，镇，乡三个独立子系统建模方法是不可行的。通过对数据进行处理，在得到了全国人口的死亡率和生育率之后，再使用指数平滑的方法，就可以得到一个相对稳定的各个年龄段的死亡率和生育率。如果把中国看作一个独立的人口系统，就可以使用莱斯利模型顺利的建立起全国女性人口模型。建立了全国女性人口模型后，我们引入了两个重要的变量：男女比例矩阵)t (p 和初生男女婴儿比例函数)(t f 。通过这两个变量就可以由全国女性人口模型建立起全国人口的中短期模型。 通过中短期模型，可以分析出我国人口在未来几十年的变化趋势，得出以下结果。在2025年-2030年期间我国人口将达到峰值，然后人口数量就开始下降（参见图1）。而我国的老龄化进程会不断地加剧，在2040年左右将达到人口老龄化的最高峰，并在以后的十几年的时间里保持这种状态，形成一个人口老龄化的高峰平台（参见图2）。有意思的是，性别比例异常也对人口走势产生了影响。性别比例异常不会对人口增长产生特别明显的效果，但在人口衰退期，却对人口数目的减少起到了微妙的作用（参见图4）。 长期人口模型：在长期模型中，我们尝试着模拟未来中国100年的时间里人口总量的变化情况。 我们对莱斯利模型进行了改进，使这个模型能够适用于三个人口子系统（城，镇，乡）之间人口相互转移的情况，从而使长期人口模型在大的时间跨度能够更好的符合实际情况。 我们在模型中引入了迁移率（迁入人口与总人口的比）的概念，使这三个系统之间的迁入迁出关系得到量化。这样通过迁移率将三个相对独立的人口子系统联系起来，就能利用改进的莱斯利模型进行求解。 通过对长期人口模型的分析，我们可以得到未来100年的时间里中国人口总量的变化趋势 (见图5)。在经历了21世纪中叶的人口高峰后，我国人口可能会经历一个长达半个世纪的衰退期. 关键字：莱斯利（Leslie ）模型， 城镇化，指数平滑，老龄化，迁移率
基于人口增长模型的数学建模(DOC)
数学建模论文 题目：人口增长模型的确定专业、姓名： 专业、姓名： 专业、姓名：
人口增长模型 摘要 随着人口的增加，人们越来越认识到资源的有限性，人口与资源之间的矛盾日渐突出，人口问题已成为世界上最被关注的问题之一。问题给出了1790—1980年间美国的人口数据，通过分析近两百年的美国人口统计数据表，得知每10年的人口数的变化。预测美国未来的人口。对于问题我们选择建立Logistic 模型(模型2)现实中，影响人口的因素很多，人口也不能无限的增长下去，Logistic 模型引进常数N 表示自然资源和环境所能承受的最大人口数，因而得到了一个贝努利方程的初值问题公式，从实际效果来看，这个公式较好的符合实际情况的发展，随着时间的递增，人口不是无限增长的，而是趋近于一个数，这个即为最大承受数。我们还同时对数据作了深入的探讨，作数据分析预测，通过观测比较选择一个比较好的拟合模型（模型3）进行预测。预测接下来的每隔十年五次人口数量，分别为251.4949， 273.5988 ， 293.4904 ， 310.9222 325.8466。 关键词：人口预测Logistic模型指数模型
一、问题重述 1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。 年份17 90 18 00 18 10 18 20 18 30 18 40 18 50 18 60 18 70 18 80 人口(?106) 3. 9 5. 3 7. 2 9.6 12 .9 17 .1 23 .2 31 .4 38 .6 50 .2 年份18 90 19 00 19 10 19 20 19 30 19 40 19 50 19 60 19 70 19 80 人口(?106) 62 .9 76 .0 92 .0 10 6.5 12 3. 13 1. 15 0. 17 9. 20 4. 22 6.
人口增长模型 摘要 本文根据某地区的人口统计数据，建立模型估计该地区2010年的人口数量。 首先，通过直观观察人口的变化规律后，我们假设该地区的人口数量是时间的二次函数，建立了一个二次函数模型，并用最小二乘法对已有数据进行拟合得到模型的具体参数，从而可以预测2010年的人口数为333.8668百万。 然后，我们发现从1980年开始该地区的人口增长明显变慢，于是我们假设人口增长率是人口数的线性减函数，即随着人口数的增加，人口的增长速度会慢慢下降，从而我们建立了阻滞增长模型，利用此模型我们最后求出2010年的人口预报数为296.3865。 关键字：人口预报，二次函数模型，阻滞增长模型 问题重述： 根据某地区人口从1800年到2000年的人口数据（如下表），建立模型估计出该地区2010年的人口，同时画出拟合效果的图形。 表1 该地区人口统计数据
符号说明 )(t x t 时刻的人口数量 0x 初始时刻的人口数量 r 人口增长率 m x 环境所能容纳的最大人口数量，即0)( m x r 问题分析 首先，我们运用Matlab 软件[1]编程（见附件1），绘制出1800年到2000年的人口数据图，如图1。
18001820184018601880190019201940196019802000 图1 1800年到2000年的人口数据图 从图1我们可以看出1800年到2000年的人口数是呈现增长的趋势的，而且类似二次函数增长。所以我们可以建立了一个二次函数模型，并用最小二乘法对已有数据进行拟合得到模型的具体参数。 于是我们假设人口增长率是人口数的线性减函数，即随着人口数的增加，人口的增长速度会慢慢下降,从而我们可以建立一个阻滞增长模型。 模型建立 模型一：二次函数模型 我们假设该地区t时刻的人口数量的人口数量)(t x是时间t的二次函数，即：
2015海南师范大学第七届数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： B 所属院系（请填写完整的全名）：数学与统计学院 参赛队员： 1. 任敏嘉 2. 陈亚 3. 刘小方 日期：2015 年 4 月26 日
人口问题模型 【摘要】： 日本是人口小国，日本人口数量已连续4年呈减少趋势，人口总数降至约1.27亿，创下15年来新低。其中，年满65岁者占人口总数超过四分之一，老龄化形势严峻。日本人口数量已连续4年减少，较2008年的峰值减少了约100万人。同时，人口总数也创下2000年以来的新低。 本文根据日本近十年的人口数据从而对其人口现状，人口老龄化程度等方面以及2011年我国第六次人口普查登记的全国总人口数，政府对控制人口数所提出的政策进行修改后，对未来某年的人口数进行预测，并运用MATLAB软件对各方面进行分析，根据所建设的模型对日本人口减少状况的预测和中国对控制人口政策的修改是否有利及相关问题的解决。 【关键词】： 人口现状、数据拟合、一元线性回归、老龄化、预测结果、生育模式，生育率、存活率。
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1.
2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期：年月赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 摘要 本文主要容是结合中国近几年的人口实际情况，我们从拟合和递推两种方向考虑建立了两个模型，对中国未来人口的变化趋势做出了预测。并且我们通过预测得出的数据对男女比、老龄化以及劳动龄人口数进行年分析。 模型一：Logistic模型 通过查询中国从1980年开始的各年人口总数，建立了Logistic模型，通过拟合数据得出方程参数，并预测未来人口情况，得出中国将在2060年后人口基本趋于稳定，峰值在14.8亿人左右。这个数据与附录1中的峰值几乎一致，但是峰值到来的年限要晚了近30年，证明这个模型并不适合人口的长期预测，但我们通过对比2006年到2010年中国人口来看，发现这个模型在短期预测方面还是很准确的。为了对人口进行长期预测，结合附录2的数据，我们又建立了考虑的更多因素的基于Leslie矩阵的模型。 模型二：Leslie模型 我们结合了实际情况，对模型进行了3个改进：
摘要:人口的增长是当前世界上引起普遍关注的问题作为世界上人口最多的国家，我国的人口问题 是十分突出的由于人口基数大尽管我国已经实行了20多年的计划生育政策人口的增长依然很快，巨大人口压力会给我国的社会 政治经济医疗就业等带来了一系列的问题。因此研究和解决人口问题在我国显得尤为重要。我们经常在报刊上看见关于人口增长预报，说到本世纪，或下世纪中叶，全世界的人口将达到多少亿。你可能注意到不同报刊对同一时间人口的预报在数字商场有较大的区别，这显然是由于用了不同的人口整张模型计算出来的结果。 人类社会进入20世纪以来，在科学和技术和生产力飞速发展的同时世界人口也以空前的规模增长。人口每增加十亿的时间，有一百年缩短为十几年。我们赖以生存的地球已经携带着他的60亿子民踏入下一个世纪。 长期以来，人类的繁殖一直在自然地进行着，只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系、人口数量的变化规律以及如何惊醒人口控制等问题。 本文件里两个模型： （1）：中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。 （2）：中国人口的Logistic 图形，标出中国人口的实际统计数据进行比较。 而且利用MATLAB 图形 ，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线和两种预测模型的误差比较图，并分别标出其误差。 关键词： 指数增长模型 Logistic 模型 MATLAB 软件 人口增长预测 1.问题的提出 下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（0=t ），101654 0=N 万人， 200000=m N 万人。 要求：（1）建立中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。 （2）建立中国人口的Logistic 模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。 （3）利用MA TLAB 图形，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线。 （4）利用MA TLAB 图形，画出两种预测模型的误差比较图，并分别标出其误差。 【注】常微分方程一阶初值问题的MATLAB 库函数为：ode45。 语法为：[t,Y] =ode45(odefun,tspan,y0) 2.问题的分析 人口的变化受到众多方面因素影响，因此对人口的预测与控制复杂，很难再一个模型中综合考虑到各个因素的影响。要预报未来若干年的人口，最重要的影响因素自然是今年的人口和今后这些年的增长率（即人口出生率减去死亡率），根据这两个数据进行人口预报是十分容易的。例如根据我国国家统计
上传是为了分析数学的乐趣，请粘贴复制的时候也多思考哈。为了更多 的学子们。 2014年数学建模论文 第二套 题目：人口增长模型的确定 专业、姓名：土木135 提交日期：2015/7/2晚上
题目：人口增长模型的确定 摘要 对美国人口数据的变化进行拟合，并进行未来人口预测，在第一个模型中，考虑到人口连续变化的规律，用微分方程的方法解出其数量随时间变化的方程，用matlab里的cftool工具箱求出参数，即人口净增长率r=0.02222,对该模型与实际数据进行对比，并计算了从1980年后每隔10年的人口数据，与实际对比，有很大出入。因此又改进出更为符合实际的阻滞增长模型，应用微分方程里的分离变量法和积分法解出其数量随时间变化的方程，求出参数人口增长率r=0.02858和人口所能容纳最大值x=258.9,与实际数据对比，拟合得很好，并预测出1980年后每隔10年的人口数据，m 与实际对比，比较符合。为了便于比较两个模型与实际数据的描述情况作对比，又做出了两个模型与实际数据的对比图，以及两个模型的误差图。 关键词：人口预测微分方程马尔萨斯人口增长模型阻滞增长模型 一、问题重述 1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。 表1 人口记录表 试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。 如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测。 二、问题分析 由于题目已经说明首先用马尔萨斯人口增长模型来刻划，列出人口增长指数增长方程并求解，并进行未来50年内人口数据预测，但发现与实际数据有较大出入。考虑到实际的人口增长率是受实际情况制约的，因此，使人口增长率为一变化的线性递减函数，列出人口增长微分方程，求出其方程解，并预测未来五十年内人口实际数据。 三、问题假设 1.假设所给的数据真实可靠;
数学建模人口增长模型 摘要:人口的增长是当前世界上引起普遍关注的问题作为世界上人口最多的国家，我国的人口问题是十分突出的由于人口基数大尽管我国已经实行了20多年的计划生育政策人口的增长依然很快，巨大人口压力会给我国的社会政治经济医疗就业等带来了一系列的问题。因此研究和解决人口问题在我国显得尤为重要。我们经常在报刊上看见关于人口增长预报，说到本世纪，或下世纪中叶，全世界的人口将达到多少亿。你可能注意到不同报刊对同一时间人口的预报在数字商场有较大的区别，这显然是由于用了不同的人口整张模型计算出来的结果。 人类社会进入20世纪以来，在科学和技术和生产力飞速发展的同时世界人口也以空前的规模增长。人口每增加十亿的时间，有一百年缩短为十几年。我们赖以生存的地球已经携带着他的60亿子民踏入下一个世纪。 长期以来，人类的繁殖一直在自然地进行着，只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系、人口数量的变化规律以及如何惊醒人口控制等问题。 本论文中有两个模型： （1）：中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实
际人口数据进行比较。 （2）：中国人口的Logistic图形，标出中国人口的实际统计数据进行比较。而且利用MATLAB图形，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线。 关键字：人口预测；Malthus模型；Logistic模型；MATLAB软件
一、问题背景及重述 1.1问题的背景 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。我国自1973年全面推行计划生育以来，生育率迅速下降，取得了举世瞩目的成就，但全面建设小康社会仍面临着人口的形势和严峻挑战。随着我国经济的发展、国家人口政策的实施，未来我国人口高峰期到底有多少人口，专家学者们的预测结果不一。因此，根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。 1.2 问题的重述 下表列出了中国1982~1998年的人口统计数据，取1982年为起始年(t=0)，1982年的人口101654万人，人口自然增长率为14‰，以36亿作为我国人口的容纳量，试建立一个较好的人口数学模型并给出相应的算法和程序，并与实际人口进行比较。 二、问题分析
数学建模竞赛 承诺书 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A 参赛队员：1. 王春慧 2. 刘双 3. 车珂 指导老师或指导教师组负责人：数学建模组 日期：2014 年 05 月 11 日评阅编号（由评阅老师评阅前进行编号）：
2014年“深圳杯”夏令营数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进）
基于灰色预测讨论计划生育政策对人口的影响 摘要 随着社会经济的发展，人口数量和结构成为发展的重要因素。继计划生育政策的颁布，有效控制了人口增长。但同时也造成人口红利消失、临近超低生育率水平、人口老龄化、出生性别比例失调等问题。我国计划生育工作取得了举世瞩目的成就。从1970年到2010年，我国人口自然增长率从25.83‰下降到4.79?，总和生育率从5.81下降到1.18，我国人口快速增长的势头得到了有效控制，人口质量和人均生活水平得到了显著提高。然而，计划生育政策带来的负面影响也日见端倪，如人口老龄化程度持续加重，全国城镇职工基本养老保险基金出现“个人账户空帐”，这引发了公众对我国养老事业的担忧，可能引发我国养老保险制度的“信任危机”；“老来丧子”自古以来都被认为是人生悲剧，如今一胎化政策带来的独生子女家庭“失独”问题也是屡屡触动了公众的神经；少数名人、富人跑到外地躲着生、花钱买着生的现象使得我国计划生育政策的公平性受到普通百姓的质疑；少数计生委工作人员暴力执法、社会抚养费去向不明的报道也是常常刺激着公众的眼球；随着刘易斯拐点的临近，我国人口红利和人力资源优势即将消失。同时，我国目前超低的生育率震惊了学术界，计划生育的负面效应引发了公众对于我国计划生育政策的反思。本文假定总和生育率是变动的，并将人口政策变量作为控制变量引入到总和生育率的多元回归模型中，与人均GDP、出生率、城市化率一起解释总和生育率，模型导入人口发展方程中组建联立方程模型，对维持现状不变、完全取消、适度放松管制等三种人口政策下的人口结构进行预测，对比找出比较合理的人口政策 如何有效预测人口未来增长，进而解决社会问题。由于人们的思想观念，经济影响等不确定因素具有部分信息不可知性，而灰色系统是根据部分信息已知，部分信息未知构建的预测模型，故我们采用灰色预测模型对全国人口结构进行预测；我们初步拟采用GM(1.1)模型，运用MATLAB最小二乘拟合，从而可预测出未来十年人口数量。本文基于计划生育政策下的人口数量、结构的变化，建立相关预测模型。 关键词：线性回归；灰色预测模型；SPSS；
中国人口增长预测模型 班级：071221 姓名：王丹 学号：07122032
摘要 以2010年11月1日零时为标准时点，中国大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口共13.397亿。13亿是一个忧虑的数字。13亿人要吃饭、要穿衣、要上学、要就业、要住房……，消费的需求乘以13亿，就是一个庞大的数目，而我国的耕地、水资源、森林以及矿产资源本来就稀缺，再除以13亿，就少得可怜。平均每人耕地面积只有1.4亩，水资源只相当于世界人均水平的1/4…….、 中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多，底子薄，人均耕地少，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。当前中国的人口存在着最为明显的三大特点：（1）人口基数大，人口数量的控制难度仍很大。（2）人口整体素质不高，特别是县域及以下农村人口素质普遍偏低。（3）人口结构不合理，城乡差别、地区差别和人口素质差别很大。 人口数量、质量和年龄分布直接影响一个地区的经济发展、资源配置、社会保障、社会稳定和城市活力。在我国现代化进程中，必须实现人口与经济、社会、资源、环境协调发展和可持续发展，进一步控制人口数量，提高人口质量，改善人口结构。对此，单纯的人口数量控制（如已实施多年的计划生育）不能体现人口规划的科学性。政府部门需要更详细、更系统的人口分析技术，为人口发展策略的制定提供指导和依据。 我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有二个中国人，在20世纪的一段时间内我国人口的增长速度过快，如下表： 有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理想来说，也是我们义不容辞的责任。 长期以来，对人口年龄结构的研究仅限于粗线条的定性分析，只能预测年龄结构分布的大致范围，无法用于分析年龄结构的具体形态。随着对人口规划精准度要求的提高，通过数学方法来定量计算各种人口指数的方法日益受到重视，这就是人口控制和预测。 我国人口问题已积重难返，对我国人口进行准确的预测是制定合理的社会经济发展规划
数学建模实例：人口预报问题 1.问题 人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口. 表1 美国人口统计数据 2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型） 此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766~1834）于1798年提出. [1] 假设：人口增长率r是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）. ()t x，由于量大，[2] 建立模型：记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ()t x可视为连续、可微函数.t到t +时间内人口的增量为： t?
()()()t rx t t x t t x =?-?+ 于是()t x 满足微分方程： ()??? ??==0 0x x rx dt dx （1） [3] 模型求解： 解微分方程（1）得 ()rt e x t x 0= （2） 表明：∞→t 时，()∞→t x （r>0）. [4] 模型的参数估计： 要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r 进行估计，这可以用表1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章. 通过表中1790-1980的数据拟合得：r=0.307. [5] 模型检验： 将x 0=3.9，r=0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810-1920的人口数，见表2. 表2 美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
以后的误差越来越大. 分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人 口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的模型中著名的一个. 3. 阻滞增长模型（Logistic 模型） [1]假设： （a ）人口增长率r 为人口 ()t x 的函数()x r （减函数），最简单假定 ()0, ,>-=s r sx r x r （线性函数），r 叫做固有增长率. （b ）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量m x . [2]建立模型： 当 m x x =时，增长率应为0，即()m x r =0，于是 m x r s =，代入 ()sx r x r -=得： ()??? ? ??- =m x x r x r 1 （3） 将（3）式代入（1）得： 模型为： ()?? ???=???? ??-=001x x x x x r dt dx m （4）