力矩与平面力偶系
第一节 力对点之矩
力对点的矩是很早以前人们在使用杠杆、滑车、绞盘等机械搬运或提升重物时所形成的一个概念。现以板手拧螺母为例来说明。如图3－1所示，在板手的A 点施加一力F ，将使板手和螺母一起绕螺钉中心O 转动，这就是说，力有使物体（扳手）产生转动的效应。实践经验表明，扳手的转动效果不仅与力F 的大小有关，而且还与点O 到力作用线的垂直距离d 有关。当d 保持不变时，力F 越大，转动越快。当力F 不变时，d 值越大，转动也越快。若改变力的作用方向，则扳手的转动方向就会发生改变，因此，我们用F 与d 的乘积再冠以适当的正负号来表示力F 使物体绕O 点转动的效应，并称为力F 对O 点之矩，简称力矩，以符号M O （F ）表示，即
d F F M ?±=)(O （3－1）
O 点称为转动中心，简称矩心。矩心O 到力作用线的垂直距离d 称为力臂。
式中的正负号表示力矩的转向。通常规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩为正，反之为负。在平面力系中，力矩或为正值，或为负值，因此，力矩可视为代数量。
由图3－2可以看出，力对点之矩还可以用以矩心为顶点，以力矢量为底边所构成的三角形的面积的二倍来表示。即
面积OAB 2)(O ?±=F M （3－2）
显然，力矩在下列两种情况下等于零：（1）力等于零；（2）力的作用线通过矩心，即力臂等于零。
力矩的单位是牛顿?米（N ?m ）或千牛顿?米（kN ?m ）
【例3－1】 分别计算图3－3所示的F 1、F 2对O 点的力矩。
【解】：由式（3－1），有 m kN 455.130)(m
kN 530sin 110)(222O 111O ?-=?-=?-=?=?
??=?=d F F M d F F M
第二节
合力矩定理
图3-1
我们知道平面汇交力系对物体的作用效应可以用它的合力R 来代替。这里的作用效应包括物体绕某点转动的效应，而力使物体绕某点的转动效应由力对该点之矩来度量，因此，平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于该力系的各分力对该点之矩的代数和。合力矩定理是力学中应用十分广泛的一个重要定理，现用两个汇交力系的情形给以证明。
证明：如图3－4所示，设在物体上的A 点作用有两个汇交
的力F 1和F 2，该力系的合力为R 。在力系的作用面内任选一点
O 为矩心，过O 点并垂直于OA 作为y 轴。从各力矢的末端向
y 轴作垂线，令Y 1、Y 2和R y 分别表示力F 1、F 2和R 在y 轴上
的投影。由图3－4可见
ob ob ob y 2211=-==R Y Y
各力对O 点之矩分别为
??
????=?=?=?=?-=?-=?=?=?=OA OA O AOB 2)(OA OA O AOB 2)(OA OA O AOB 2)(y O 2222O 1111O R b M Y b M Y b M R F F
(a)
根据合力矩定理有
21y Y Y R +=
上式两边同乘以OA 得
OA OA OA 21y ?+?=?Y Y R
将（a ）式代入得
)()()(2O 1O O F M F M M +=R
以上证明可以推广到多个汇交力的情况。用式子可表示为
)()()()()(O n O 2O 1O O F R M M M M M ∑=+++=F F F Λ （3－3）
虽然这个定理是从平面汇交力系推证出来，但可以证明这个定理同样适用于有合力的其它平面力系。
【例3－2】 图3－5所示每1m 长挡土墙所受土压力
的合力为R ，它的大小R =200kN ，方向如图所示，求土压
力R 使墙倾覆的力矩。
【解】：土压力R 可使挡土墙绕A 点倾覆，求R 使墙
倾覆的力矩，就是求它对A 点的力矩。由于R 的力臂求解
较麻烦，但如果将R 分解为两个分力F 1和F 2，则两分力
的力臂是已知的。为此，根据合力矩定理，合力R 对A 点
之矩等于F 1、F 2对A 点之矩的代数和。则
m kN 41.146230sin 200230cos 2003)()()(212A 1A A ?=??-?=?-=+=??b h M M M F F F R F
【例3-3】 求图3－6所示各分布荷载对A 点的矩
【解】：沿直线平行分布的线荷载可以合成为一个合力。合力的方向与分布荷载的方向相同，合力作用线通过荷载图的重心，其合力的大小等于荷载图的面积。
根据合力矩定理可知，分布荷载对某点之矩就等于其合力对该点之矩
（1）计算图3－6（a）三角形分布荷载对A点的力矩
m
kN
3
1
3
2
2
1
)
(A?
-
=
?
?
?
-
=
q
M
（2）计算图3－6（b）均布荷载对A点的力矩为
m
kN
18
5.1
3
4
)
(A?
-
=
?
?
-
=
q
M
（3）计算图3－6（c）梯形分布荷载对A点之矩。此时为避免求梯形形心，可将梯形分布荷载分解为均布荷载和三角形分布荷载，其合力分别为R1和R2，则有
m
kN
15
2
3
2
2
1
5.1
3
2
)
(A?
-
=
?
?
?
-
?
?
-
=
q
M
第三节力偶及其基本性质
一、力偶和力偶矩
在生产实践和日常生活中，经常遇到大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力所组成的力系。这种力系只能使物体产生转动效应而不能使物体产生移动效应。例如，司机用双手操纵方向盘（图3－7（a）），木工用丁字头螺丝钻钻孔（图3－7（b）），以及用拇指和食指开关自来水龙头或拧钢笔套等。这种大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力称为力偶。用符号（F，F′）表示。力偶的两个力作用线间的垂直距离d称为力偶臂，力偶的两个力所构成的平面称为力偶作用面。
实践表明，当力偶的力F越大，或力偶臂越大，则力偶使物体的转动效应就越强；反之就越弱。因此，与力矩类似，我们用F与d的乘积来度量力偶对物体的转动效应，并把这一乘积冠以适当的正负号称为力偶矩，用m表示，即
Fd
m±
=（3－4）
式中正负号表示力偶矩的转向。通常规定：若力偶使物体作逆时针方向转动时，力偶矩为正；反之为负。在平面力系中，力偶矩是代数量。力偶矩的单位与力矩相同。
二、力偶的基本性质
力偶不同于力，它具有一些特殊的性质，现分述如下：
1．力偶没有合力，不能用一个力来代替
由于力偶中的两个力大小相等、方向相反、作用线
平行，如果求它们在任一轴x 上的投影，如图3－8所示。
设力与轴x 的夹角为α，由图可得
0cos cos ='-=∑ααF F X
这说明，力偶在任一轴上的投影等于零。
既然力偶在轴上的投影为零，，所以力偶对物体只能
产生转动效应，而一个力在一般情况下，对物体可产生
移动和转动两种效应。
力偶和力对物体的作用效应不同，说明力偶不能用一个力来代替，即力偶不能简化为一个力，因而力偶也不能和一个力平衡，力偶只能与力偶平衡。
2．力偶对其作用面内任一点之矩都等于力偶矩，与矩心位置无关
力偶的作用是使物体产生转动效应，所以力偶对物体的转动效应可以用力偶的两个力对其作用面某一点的力
矩的代数和来度量。图3－9所示力偶（F ，F ′），力偶臂
为d ，逆时针转向，其力偶矩为m=Fd ，在该力偶作用面
内任选一点O 为矩心，设矩心与F ′的垂直距离为x 。显
然力偶对O 点的力矩为
m Fd x F x d F F F M ==?'-+=')(),(O
此值就等于力偶矩。这说明力偶对其作用面内任一点的矩
恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关。
3．同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶等效，称为力偶的等效性。（其证明从略）
从以上性质还可得出两个推论：
（1）用面内任意移转，而不会改变它对物体的转动效应。例如图3－10（a ）作用在方向盘上的两个力偶（P 1，P 1′）与（P 2，P 2′）只要它们的力偶矩大小相等，转向相同，作用位置虽不同，但转动效应是相同的。
（2）在保持力偶矩大小 和转向不变的条件下，可以任意改变力偶的力的大小 和力偶臂的长短，而不改变它对物体的转动效应。例如图3－10（b ）所示，在攻螺纹时，作用在纹杆上的（F 1，F 1′）或（F 2，F 2′）虽
然d 1和d 2不相等，但只要调整力的大小，使力偶矩2211d F d F =，
则两力偶的作用效果是相同的。
由以上分析可知，力偶对于物体的
转动效应完全取决于力偶矩的大小、
力偶的转向及力偶作用面，即力偶
的三要素。因此，在力学计算中，
有时也用一带箭头的弧线表示力偶，
如图3－11所示，其中箭头表示力
偶的转向，m 表示力偶矩的大小。
第四节 平面力偶系的合成与平衡
一、平面力偶系的合成
作用在同一平面内的一群力偶称为平面力偶系。平面力偶系合成可以根据力偶等效性来进行。合成的结果是：平面力偶系可以合成为一个合力偶，其力偶矩等于各分力偶矩的代数和。即
i n 21m m m m M ∑=+++=Λ （３－５）
【例３－４】 如图３－１２所示，在物体同一平面内受到三个力偶的作用，设m N 150 N,400 N,20021?===m F F ，求其合成的结果。
【解】：三个共面力偶合成的结果是一个合力偶，各分力偶矩为
m
N 150m N 20030sin
25.0400m
N 20012003222111?-=-=?=?
?==?=?==m m d F m d F m 由式（３－５）得合力偶为
m N 250150200200321i ?=-+=++=∑=m m m m M
即合力偶矩的大小等于m N 250?，转向为逆时针方向，作用在原力偶系的平面内。
第五节力矩和平面力偶系 一、力矩 1．力矩概念 力对刚体的移动效应取决于力的大小、方向和作用线；而力对刚体的转动效应则用力矩来度量。实践告诉我们，用扳手拧（转动）螺母时，见图7-18a，其转动效应取决于力F的大小、方向（扳手的旋向〕以及力F到转动中心O的距离h。 a) b) 图7-18 力矩概念 一般情况下，刚体在图示平面内受力F作用，见图7-18b，并绕某一点O转动，则点O称为矩心，矩心O到力F作用线的距离h称为力臂，乘积F·h并加上适当的正负号称为力对O点之矩，简称力矩，用符号M O（F）或M O表示。即 M O＝M O（F）＝±Fh （7-9） 力矩的正、负号规定如下：力使刚体绕矩心作逆时针方向转动时为正，反之为负。因此，力矩是一个与矩心位置有关的代数量。力矩的单位为N·m。 2．合力矩定理 设刚体受到一合力为F的平面力系F1，F2，…，F n的作用，在平面内任取一点O为矩心，由于合力与整个力系等效，所以合力对O点的矩一定等于各个分力对O点之矩的代数和（证明从略），这一结论称为合力矩定理。记为 M O（F）＝M O（F1）＋M O（F2）＋…＋M O（F n）＝ΣM O（F i）（7-10） 或M O＝M O l＋M O2＋…＋M O n＝ΣM Oi=ΣM O 例7-4图7-19所示为一渐开线（在平面上，一条动直线（发生线）沿着一个固定的圆（基圆）作纯滚动时，此动直线上一点的轨迹）直齿圆柱齿轮，其齿廓在分度圆上的P点处受到一法向力F n的作用，且已知F n＝1000N，分度圆直径d＝200mm，分度圆压力角(P点处的压力角)α＝20°，试求力F n对轮心O点之矩。
第3章力矩与平面力偶系 教学提示：本章主要研究力矩、力偶和平面力偶系的理论。这都是有关力的转动效应的基本知识，在理论研究和工程实际应用中都有重要的意义。 教学要求：本章让学生掌握力矩、力偶和平面力偶系的概念，掌握力对点之矩的两种求解方法，即直接作力臂的方法与利用合力矩定理求解的方法，掌握平面力偶的性质及平面力偶系的合成与平衡条件，会利用平衡条件求解约束反力。 力对点之矩 1.力矩的概念 力不仅可以改变物体的移动状态，而且还能改变物体的转动状态。力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之矩。以扳手旋转螺母为例，如图3－1所示，设螺母能绕点O转动。由经验可知，螺母能否旋动，不仅取决于作用在扳手上的力F的大小，而且还与点O到F的作用线的垂直距离d有关。因此，用F与d的乘积作为力F使螺母绕点O转动效应的量度。其中距离d称为F对O 点的力臂，点O称为矩心。由于转动有逆时针和顺时针两个转向，则力F对O 点之矩定义为：力的大小F与力臂d的乘积冠以适当的正负号，以符号m o(F)表示，记为 m o(F)＝±Fh（3－1）通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩为正，反之为负。 图 由图3－1可见，力F对O点之矩的大小，也可以用三角形OAB的面积的两倍表示，即 m o(F)＝±2ΔABC（3－2）在国际单位制中，力矩的单位是牛顿?米（N?m）或千牛顿?米（kN?m）。 由上述分析可得力矩的性质： （1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。力矩随矩
心的位置变化而变化。 （2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变，再次说明力是滑移矢量。 （3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。 2.合力矩定理 定理：平面汇交力系的合力对其平面内任一点的矩等于所有各分力对同一点之矩的代数和。 m o(F R)＝m o(F1)＋m o(F2)＋…＋m o(F n) 即 m o(F R)＝Σm o(F)（3－3） 上式称为合力矩定理。合力矩定理建立了合力对点之矩与分力对同一点之矩的关系。这个定理也适用于有合力的其它力系。 例试计算图中力对A点之矩。 图 解本题有两种解法。 （1）由力矩的定义计算力F对A点之矩。 先求力臂d。由图中几何关系有： d=ADsinα=(AB-DB)sinα=(AB-BCctg)sinα=(a-bctgα)sinα=asinα-bcosα 所以 m A(F)=F?d=F(asinα-bcosα) （2）根据合力矩定理计算力F对A点之矩。 将力F在C点分解为两个正交的分力和，由合力矩定理可得 m A(F)= m A(F x)+ m A(F y)=－F x?b+ F y?a=－F(bcosα＋asinα) =F(asinα-bcosα) 本例两种解法的计算结果是相同的，当力臂不易确定时，用后一种方法较为简便。 力偶和力偶矩
力矩与平面力偶系 2.2.1 力对点之矩(简称为力矩) 1.力对点之矩的概念 为了描述力对刚体运动的转动效应，引入力对点之矩的概念。 （F）来表示，即 力对点之矩用M O Mo(F) = ± Fd 一般地，设平面上作用一力F，在平面内任取一点O——矩心，O点到力作用线的垂直距离d称为力臂。 Mo(F) = ± 2△OAB
力对点之矩是一代数量，式中的正负号用来表明力矩的转动方向。矩心不同，力矩不同。 规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩取正号；反之，取负号。 力矩的单位是Nmm。 由力矩的定义可知： （1）若将力F沿其作用线移动，则因为力的大小、方向和力臂都没有改变，所以不会改变该力对某一矩心的力矩。 （2）若F=0，则Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F≠0，则d=0，即力F通过O点。 力矩等于零的条件是：力等于零或力的作用线通过矩心。 2.合力矩定理 设在物体上A点作用有平面汇交力系F 1、F 2 、---F n ，该力的合力F可由汇交力系 的合成求得。
计算力系中各力对平面内任一点O的矩，令OA=l，则 --- 由上图可以看出，合力F对O点的矩为 据合力投影定理，有 F y=F1y+F2y+---+F ny 两边同乘以l，得 F y l=F1y l+F2y l+---+F ny l 即 M o(F)=M o(F1)+M o(F2)+---+M o(F n) 合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩，等于其所有分力对同一点的力矩的代数和。
3 .力对点之矩的求法(力矩的求法) （1）用力矩的定义式，即用力和力臂的乘积求力矩。 注意：力臂d 是矩心到力 作用线的距离，即力臂必须垂直于力的作用线。 例2-3 如图所示，构件OBC 的O 端为铰链支座约束，力F 作用于C 点，其方向角为α，又知OB=l ，BC=h ，求力F 对O 点的力矩。 解 （1）利用力矩的定义进行求解
力矩与平面力偶系 第一节 力对点之矩 力对点的矩是很早以前人们在使用杠杆、滑车、绞盘等机械搬运或提升重物时所形成的一个概念。现以板手拧螺母为例来说明。如图3－1所示，在板手的A 点施加一力F ，将使板手和螺母一起绕螺钉中心O 转动，这就是说，力有使物体（扳手）产生转动的效应。实践经验表明，扳手的转动效果不仅与力F 的大小有关，而且还与点O 到力作用线的垂直距离d 有关。当d 保持不变时，力F 越大，转动越快。当力F 不变时，d 值越大，转动也越快。若改变力的作用方向，则扳手的转动方向就会发生改变，因此，我们用F 与d 的乘积再冠以适当的正负号来表示力F 使物体绕O 点转动的效应，并称为力F 对O 点之矩，简称力矩，以符号M O （F ）表示，即 d F F M ?±=)(O （3－1） O 点称为转动中心，简称矩心。矩心O 到力作用线的垂直距离d 称为力臂。 式中的正负号表示力矩的转向。通常规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩为正，反之为负。在平面力系中，力矩或为正值，或为负值，因此，力矩可视为代数量。 由图3－2可以看出，力对点之矩还可以用以矩心为顶点，以力矢量为底边所构成的三角形的面积的二倍来表示。即 面积OAB 2)(O ?±=F M （3－2） 显然，力矩在下列两种情况下等于零：（1）力等于零；（2）力的作用线通过矩心，即力臂等于零。 力矩的单位是牛顿?米（N ?m ）或千牛顿?米（kN ?m ） 【例3－1】 分别计算图3－3所示的F 1、F 2对O 点的力矩。 【解】：由式（3－1），有 m kN 455.130)(m kN 530sin 110)(222O 111O ?-=?-=?-=?=? ??=?=d F F M d F F M 第二节 合力矩定理 图3-1