平面向量基本定理
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.(2014·太原高一检测)下面说法中,正确的是( )
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底;
②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底;
③零向量不可作为基底中的向量;
④对于平面内的任一向量a和一组基底e1,e2,使a=λe1+μe2成立的实数对一定是唯一的.
A.②④
B.②③④
C.①③
D.①③④
【解析】选B.因为不共线的任意两个向量均可作为一组基底,故②③正确,
①不正确,由平面向量基本定理知④正确.
2.(2014·邢台高一检测)在平行四边形ABCD中,E,F分别是边CD,BC的中点,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ的值为( )
A. B.2 C.3 D.1
【解析】选A.设=a,=b,则=a+b,=b+a,又因为=b+a,所以=(+),即λ=μ=,故λ+μ=.
3.若向量a,b为两个非零向量,且|a|=|b|=|a-b|,则向量a+b与a的夹角为
( )
A. B. C. D.
【解析】选A.作=a,=b,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,
则=a-b,=a+b,∠AOC为向量a与a+b的夹角.因为|a|=|b|=|a-b|,所以△OAB是等边三角形,平行四边形OACB是菱形,所以∠AOB=,∠AOC=∠AOB=.
【举一反三】本题中“|a-b|”改为“|a+b|”,求a,b的夹角.
【解析】作=a,=b,则=a+b,由|a|=|b|=|a+b|及向量三角形法则可知,表示向量a,b,a+b 的有向线段可构成等边三角形△OAB(如图所示),所以a,b的夹角为.
4.在△ABC中,∠C=90°,BC=AB,则与的夹角是( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
【解析】选C.如图,作向量=,
则∠BAD是与的夹角,
在△ABC中,
因为∠C=90°,BC=AB,
所以∠ABC=60°,
所以∠BAD=120°.
【误区警示】解答本题容易忽视向量夹角的定义要求两个向量共起点,导致误认为∠ABC是与的夹角的错误.
5.(2014·宜春高一检测)如图,在△ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为( )
A.1
B.
C.
D.3
【解析】选C.因为B,P,N三点共线,
所以∥,设=λ,
即-=λ(-),
所以=+①,
又因为=,所以=4,
所以=m+=m+②,
对比①,②,由平面向量基本定理可得:
?m=.
【拓展延伸】三点共线的两种常用方式:
(1)若A,B,C三点共线,则存在实数λ,使得=λ.
(2)若A,B,C三点共线,则存在实数α,β和点O,使得=α+β且α+β=1.
6.(2013·大连高一检测)如图,在平面直角坐标系xOy中,两个非零向量,与x轴正半轴的夹角分别为和,向量满足++=0,则与x轴正半轴夹角取值范围是( )
A. B.
C. D.
【解题指南】先由++=0推知向量+与反向,然后通过分析向量+与x轴正半轴的夹角推知向量与x轴正半轴的夹角.
【解析】选B.因为++=0,
所以+=-,
如图1所示,以OA,OB为邻边作平行四边形OAC1B,
则+=,=-,
固定的长度,的长度缩小,点C1向B靠近(图2),
固定的长度,的长度缩小,点C1向A靠近(图3).
因为向量,与x轴正半轴的夹角分别为和,所以与x轴正半轴夹角取值范围为
,由与的方向相反知与x轴正半轴夹角取值范围为.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.设e1,e2是表示平面内所有向量的一组基底,则向量a=e1+λe2与向量b=-e1+2e2共线的条件是λ= .
【解析】由于a,b共线,因此只需基底对应系数成比例即可,即=,所以λ=-2.
答案:-2
8.(2014·徐州高一检测)设e1,e2是平面内一组基底,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基底a,b的线性组合,即e1+e2= .
【解题指南】设e1+e2=m a+n b(m,n∈R),根据e1,e2不共线及平面向量基本定理求m,n.
【解析】设e1+e2=m a+n b,因为a=e1+2e2,b=-e1+e2,所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=
(m-n)e1+(2m+n)e2,因为e1,e2不共线,所以解得m=,n=-,故e1+e2=a-b.
答案:a-b
【变式训练】在如图所示的平行四边形ABCD中,=a,=b,AN=3NC,M为BC的中点,则= (用a,b表示).
【解析】=+=-=b-=b-a.
答案:b-a
9.如图,在△ABC中,D,E分别是BC,AC的中点,F为AB上一点,且=4,若=x+y,则x= ,y= .
【解析】连接DE,因为=+
=+=+×4=+2.
所以x=2,y=1.
答案:2 1
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.如图所示,在△ABC中,点M是AB的中点,且=,BN与CM相交于点E,设=a,=b,试用基底a,b表示向量.
【解题指南】本题需不断地利用三点共线进行转化,最后通过利用基底表示任意一向量的唯一性,即若a=λ1e1+μ1e2且a=λ2e1+μ2e2,则构建方程组从而使得问题获解.
【解析】易得==b,==a,由N,E,B三点共线知存在实数m,满足
=m+(1-m)=m b+(1-m)a.
由C,E,M三点共线知存在实数n,满足=n+(1-n)=n a+(1-n)b.所以m b+(1-m)a=n a+(1-n)b. 由于a,b为基底,所以解得
所以=a+b.
11.如图,平面内有三个向量,,,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,
且||=||=1,||=2,若=λ+μ(λ,
μ∈R).求λ+μ的值.
【解析】如图,以OA,OB所在射线为邻边,
OC为对角线作平行四边形ODCE,则=+
,在直角△OCD中,因为||=2,
∠COD=30°,∠OCD=90°,所以||=4,
||=2,故=4,=2,即λ=4,μ=2,
所以λ+μ=6.
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.(2014·德州高一检测)已知a,b是两个不共线的向量,m,n∈R,且m a+n b=0,则( )
A.a=0,n=0
B.m,n的值不确定
C.m=n=0
D.m,n不存在
【解析】选C.因为a,b是两个不共线的向量,m a+n b=0,故m=n=0.
2.已知向量e1≠0,e2≠0,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1,若a与b共线,则下列关系一定成立的是( )
A.e1∥e2
B.e2=0
C.λ=0
D.e1∥e2或λ=0
【解析】选D.因为a与b共线,所以a=x b,若e1,e2不共线,则2x=1,λ=0,若e1,e2共线,则a与b 一定共线.
3.(2014·嘉兴高一检测)过△ABC的重心G任意作一直线分别交AB,AC于点D,E,若=x,=y,xy≠0,则+的值为( )
A.4
B.3
C.2
D.1
【解析】选B.因为G,D,E三点共线,所以=α+β(α+β=1),即=αy+βx;又设BC的中点为M,==×,所以αy=,βx=,所以+=3α+3β=3.
【变式训练】在△ABC中,=2,=+λ,则λ的值为( )
A. B. C.- D.-
【解析】选B.因为=2,所以A,D,B三点共线,=+λ,故+λ=1,解得λ=. 【拓展延伸】三角形中的常用结论
在△ABC中:
(1)若=,则AD是△ABC中BC边的中线.
(2)=?G为△ABC的重心,特别地,++=0?G为△ABC的重心.
(3)||=||=||?O是△ABC的外心.
4.(2013·广东高考)设a是已知的平面向量且a≠0,关于向量a的分解,有如下四个结论:
①给定向量b,总存在向量c,使a=b+c;
②给定向量b和c,总存在实数λ和μ,使a=λb+μc;
③给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a=λb+μc;
④给定正数λ和μ,总存在单位向量b和单位向量c,使a=λb+μc;
上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则正确的个数是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解题指南】本题考查平面向量的加减运算、平面向量基本定理、平面向量的几何意义等知识,可逐一检验.
【解析】选B.利用向量加法的三角形法则,易得①是真命题;利用平面向量的基本定理,易得②是真命题;以a的终点为圆心,作半径为μ的圆,这个圆必须和向量λb有交点,这个不一定能满足,③是假命题;由向量加法的三角形法则(不共线两边的和大于第三边),即而给定的λ和μ不一定满足此条件,所以④是假命题.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2014·潭州高一检测)若e1,e2是表示平面所有向量的一组基底,且a=3e1-4e2,b=6e1+k e2不能作为一组基底,则k的值为.
【解析】当a与b共线时,a与b不能作为一组基底,故存在λ,使得a=λb,即3e1-4e2=λ(6e1+k e2),所以6λ=3,kλ=-4,解得λ=,k=-8.
答案:-8
【变式训练】已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y= . 【解析】由题意解得
故x-y=3.
答案:3
6.(2014·厦门高一检测)e1,e2为两个不共线的向量,a=-e1+3e2,b=4e1+2e2,c=-3e1+12e2,用b,c为基底表示向量a= .
【解题指南】利用平面向量的基本定理可设a=x b+y c(x,y∈R),由于e1,e2为两个不共线的向量,利用向量相等求解x,y即可.
【解析】设a=x b+y c(x,y∈R),则-e1+3e2
=x(4e1+2e2)+y(-3e1+12e2),即-e1+3e2
=(4x-3y)e1+(2x+12y)e2,所以
解得所以a=-b+c.
答案:-b+c
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.如图,在平行四边形ABCD中,M,N分别为DC,BC的中点,已知=c,=d,试用c,d表示,
.
【解析】设=a,=b,则由M,N分别为DC,BC的中点,可得:=a,=b.又+=,
即b+a=c①,+=,即b+a=d②,由①②可得a=2d-c,b=2c-d,
即=2d-c,=2c-d.
8.(2014·常德高一检测)已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1,e2不共线,向量c=2e1-9e2,问是否存在实数λ,μ,使向量d=λa+μb与c共线?
【解题指南】假设存在λ,μ使d=λa+μb与c共线,设d=k c(k∈R),利用平面向量基本定理和向量共线定理求解λ,μ的值是否有解.
【解析】假设存在λ,μ使d=λa+μb与c共线,设d=k c(k∈R).
因为d=λa+μb=(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2,而k c=2k e1-9k e2,所以2λ+2μ=2k,3μ-3λ=-9k,两式消去k,得λ=-2μ,故λ=-2μ时,d=λa+μb与c共线.
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
平面向量测试题 一、选择题: 1。已知ABCD 为矩形,E 是DC 的中点,且?→?AB =→a ,?→?AD =→b ,则?→ ?BE =( ) (A ) →b +→a 2 1 (B ) →b -→a 2 1 (C ) →a +→b 2 1 (D ) →a -→ b 2 1 2.已知B 是线段AC 的中点,则下列各式正确的是( ) (A ) ?→?AB =-?→?BC (B ) ?→?AC =?→?BC 2 1 (C ) ?→?BA =?→?BC (D ) ?→?BC =?→ ?AC 2 1 3.已知ABCDEF 是正六边形,且?→?AB =→a ,?→?AE =→b ,则?→ ?BC =( ) (A ) )(2 1→→-b a (B ) )(2 1 →→-a b (C ) →a +→b 2 1 (D ) )(2 1→ →+b a 4.设→a ,→b 为不共线向量,?→?AB =→a +2→b ,?→?BC =-4→a -→b ,?→ ?CD = -5→ a -3→ b ,则下列关系式中正确的是 ( ) (A )?→?AD =?→?BC (B )?→?AD =2?→ ?BC (C )?→?AD =-?→ ?BC (D )?→?AD =-2?→ ?BC 5.将图形F 按→ a =(h,k )(其中h>0,k>0)平移,就是将图形F ( ) (A ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (B ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (C ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 (D ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6.已知→a =()1,2 1,→ b =(), 2 22 3- ,下列各式正确的是( ) (A ) 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a (B ) →a ·→b =1 (C ) →a =→b (D ) →a 与→b 平行 7.设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量,且k → 1e +→ 2e 与→ 1e +k → 2e 共线,则k 的值是( ) (A ) 1 (B ) -1 (C ) 1± (D ) 任意不为零的实数 8.在四边形ABCD 中,?→?AB =?→?DC ,且?→?AC ·?→ ?BD =0,则四边形ABCD 是( ) (A ) 矩形 (B ) 菱形 (C ) 直角梯形 (D ) 等腰梯形 9.已知M (-2,7)、N (10,-2),点P 是线段MN 上的点,且?→ ?PN =-2?→ ?PM ,则P 点的坐标为( ) (A ) (-14,16)(B ) (22,-11)(C ) (6,1) (D ) (2,4)
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法