根据标准贯入试验锤击数测定各类砂的地基承载力（公斤/平方厘米），一般为：
①当击数大于30时，密实的砾砂、粗砂、中砂（孔隙比均小于0.60）为4公斤/
平方厘米；
②当击数小于或等于30而大于15时，中密的砾砂、粗砂、中砂（孔隙比均大于
0.60而小于0.75）为3公斤/平方厘米，细砂、粉砂（孔隙比均大于0.70而小于0.85）为
1.5—2公斤/平方厘米；
③当击数小于或等于15而大于或等于10时，稍密的砾砂、粗砂、中砂（孔隙比均大于0.75而小于0.85）为2，细砂、粉砂（孔隙比均大于0.85而小于0.95）为1—1.5。对于老粘土和一般粘性土的容许承载力，当锤击数分别为3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23时，则其相应的容许承载力分别为1.2、1.6、2.0、2.4、2.8、3.2、3.6、4.2、
5.0、5.8、
6.6公斤/平方厘米。
第三章地基应力计算
第一节概述
建（构）筑物的建造使地基土中原有的应力状态发生了变化，如同其它材料一样，地基土受力后也要产生应力和变形。在地基土层上建造建（构）筑物，基础将建（构）筑物的荷载传递给地基，使地基中原有的应力状态发生变化，从而引起地基变形，其垂向变形即为沉降。如果地基应力变化引起的变形量在建（构）筑物容许范围以内，则不致对建（构）筑物的使用和安全造成危害；但是，当外荷载在地基土中引起过大的应力时，过大的地基变形会使建（构）筑物产生过量的沉降，影响建（构）筑物的正常使用，甚至可以使土体发生整体破坏而失去稳定。因此，研究地基土中应力的分布规律是研究地基和土工建（构）筑物变形和稳定问题的理论依据，它是地基基础设计中的一个十分重要的问题。
地基中的应力按其产生的原因不同，可分为自重应力和附加应力。二者合起来构成土体中的总应力。由土的自重在地基内所产生的应力称为自重应力；由建筑物的荷载或其它外荷载(如车辆、堆放在地面的材料重量等)在地基内所产生的应力称为附加应力。因地震而引起的惯性力也属于外荷载的范围。对于形成年代比较久远的土，在自重应力的长期作用下，其变形已经稳定，因此，除了新填土外，一般来说，土的自重不再会引起地基土的变形。而附加应力则不同，因为它是地基中新增加的应力，将引起地基土的变形。地基土的变形导致基础沉降、倾斜和相邻基础出现沉降差。所以，附加应力是引起地基土变形的主
40
41
要原因。除上述二种应力外，地基土中水的渗流引起的渗透力也是土中的一种应力。当然，环境条件的改变也会引起土中应力的变化。本章重点介绍自重应力和附加应力的计算方法，反映土中应力特点的有效应力原理以及土中应力变化的描述方法，即应力路径等内容。
根据土样的单轴压缩试验资料，当应力很大时,土的应力~应变关系就不是一条直线了，即土的变形是非线性的。然而，考虑到一般建筑物荷载作用下地基中应力的变化范围(应力增量)还不太大，如果用一条割线来近似地代替相应的曲线，其误差可能不超过实用的允许范围。这样，我们就可以把土看成是一种线性变形体，即土为线弹性体。
求解土中应力的方法有很多，本章只介绍目前生产实践中使用最多的古典弹性力学方法。利用弹性力学方法求解土中应力会遇到一些专用名词，下面先加以介绍：
一、理想弹性体
从力学的概念来讲，理想弹性体就是符合虎克定律的物体，即物体受荷载作用时，其应力与应变成直线关系，卸荷时仍沿此直线回弹，如图3-1中的(a)、(b)为弹性体模型。
二、无限大平面与半无限空间
向两边无限延伸的平面称为为无限大平面；无限大平面以下的无限空间称半无限空间，
图3-1 理想弹性体 图3-2 半无限空间
如图3-2所示。
当地基相对于基础尺寸而言大很多时，就可以把地基看作是半无限空间体。图3-2的坐标系统是地基计算中通常采用的。
三、平面与空间问题
当受力物体中任一点的应力和变形是三个坐标值的函数，即),,(,z y x f =εσ时，为空间问题或三维问题；若应力和变形只是二个坐标值的函数，即),(,z x f =εσ时为平面或二维问题；如果它们只随一个坐标值而变化，即)(,z f =εσ，则变为一维问题。
另外，土力学中应力的符号也有相应的规定。由于土是散粒体，一般不能承受拉应力作用，在土中出现拉应力的情况很少，因此，在土力学中对土中应力的正负符号常作如下规定：
在应用弹性理论进行土中应力计算
时，应力符号的规定法则与弹性力学相
同，但正负与弹性力学相反。即当某一个
截面上的外法线方向是沿着坐标轴的正
方向时，这个截面就称为正面，正面上的
应力分量以沿坐标轴正方向为负，沿坐标
轴的负方向为正。在用摩尔圆进行土中应
力状态分析时，法向应力仍以压为正，剪
应力方向的符号规定则与材料力学相反。
图3-3 关于应力符号的规定土力学中规定剪应力以逆时针方向为正，
与材料力学中规定的剪应力方向正好相
反。见图3-3所示。
42
43
第二节 自重应力
在计算地基中的应力时，一般假定地基为均质的线性变形半无限空间，应用弹性力学公式来求解其中的应力。 由于地基是半无限空间弹性变形体，因而在土体自重应力作用下，任一竖直平面均为对称面。因此，在地基中任意竖直平面上，土的自重不会产生剪应力。根据剪应力互等定理，在任意水平面上的剪应力也应为零。因此竖直和水平面上只有主应力存在，竖直和水平面为主平面。现研究由于土的自重在水平面和竖直平面上产生的法向应力的计算。
一、均匀地基情况 (一)竖直向自重应力z s σ
以天然地面任一点为坐标原点o ，坐标轴z 竖直向下为正。设均质土体的天然重度为γ，故地基中任意深度z 处的竖直向自重应力
z s σ就等于单位面积上的土柱重量。若z 深度内土的天然重度不发生变化，那么，该处土的自重应力为
Z A AZ
A G z s ?===γγσ （3-1）
式中：
z s σ——天然地面以下z 深度处土的 自重应力(kN/m 2)；
G ——面积A 上高为z 的土柱重量
(kN)；
A ——土柱底面积(m 2)。
由式(3-1)可知，均质土的自重应力与深度Z 成正比，即sz σ随深度按直线分布(图3-4(b))，而沿水平面上则成均匀分布(图3-4(ａ))。
(二)水平向自重应力σsx 、y s σ 由于z s σ沿任一水平面上均匀地无限分布，既为侧限条件(侧向应变为零的一种应力状态)。所以，地基土在自重应力作用
下只能产生竖向变形，而不能有侧向变形
和剪切变形。故有0==y x εε，且x s σ=y s σ。根据广义虎克定律
)(z y x
x E
E
σσμ
σε+-
=
(3-2)
将侧限条件代入式(3-2)
图3-4 均质土中竖向自重应力
(a)任意水平面上的分布；(b)沿深度的分布；
(c)水平自重应力
44 0)(=+?=
sz sy sx x E
E σσμ
σε
得 sz sy sx σμ
μ
σσ-==1
令 μ
μ
-=
10K (3-3)
则 sz sy sx K σσσ?==0 (3-4) 式中：x s σ、sy σ——分别为沿x 轴和y 轴方向的水平自重应力(kN/m 2)；
K 0——土的静止土压力系数，是侧限条件下土中水平向有效应力与竖直向有效应力 之比，故侧限状态又称K 0状态； μ——土的泊松比。
K 0和μ依据土的种类、密度不同而异，可由试验确定或查相应表格。 在上述公式中，竖向自重应力z s σ和水平向自重应力x s σ、y s σ一般均指有效自重应力。因此，对处于地下水位以下的土层必须以有效重度γ'代替天然重度γ。为简便，以后各章把常用的竖向自重应力z s σ简称为自重应力。
二、成层地基情况
地基土往往是成层的，各层天然土层具有不同的重度，所以需要分层来计算。第一土层下边界(即第二层土顶面)土的自重应力为
111h sz γσ= (3-5)
式中：1γ、h 1——第一层土的重度和厚度。
在第二层土和第三层土交界面处的自重应力可写成下面形式：
22112
12h h A
G G sz ?+?=+=
γγσ (3-6) 式中：2sz σ——第二层土下边界面处土的自重应力； 2γ、h 2——分别为第二层土的重度和厚度。 其余符号同前。
同理，第n 层土中任一点处的自重应力公式可以写成 ∑=?=
+++=n
i i i
n n szn h h h h 1
2211γ
γγγσ (3-7)
式中：n γ——第n 层土的重度；
h n ——第n 层土(从地面起算)中所计算应力的那一点到该土层顶面的距离。
应当指出，在求地下水位以下土的自重应力时，对地下水位以下的土应按有效重度代入公式(3-7)。
45
图3-5是按照公式(3-7)的计算结果绘出的成层地基土自重应力分布图，该图也称为土的自重应力分布曲线。
分析成层土的自重应力分布曲线的变化规律，可以得到下面三点结论： （1）土的自重应力分布曲线是一条折线，拐点在土层交界处(当上下两个土层重度不同时)和地下水位处； （2）同一层土的自重应力按直线变化； （3）自重应力随深度的增加而增大。 此外，地下水位的升降也会引起土中自重应力的变化。例如在软土地区，常因大量抽取地下水而导致地下水位长期大幅度下降，使地基中原水位以下土的自重应力增加
(图3-6ａ)，造成地表大面积下沉的严重后
果。至于地下水位的长期上升(图3-6ｂ)，
常发生在人工抬高蓄水水位地区(如筑坝蓄水)或工业用水大量渗入地下的地区，如果该地区土质具有遇水后发生湿陷或膨胀的性质，则必须引起足够的注意。
图3-6 地下水位升降对土中自重应力的影响
(0-1-2线为原来的自重应力分布曲线；0-1′-２′线为地下水位升降后的自重应力分布曲线)
三、土坝的自重应力
土坝、土堤是具有斜坡的土体，它是一种比较特殊的情况。为计算土坝坝身和坝基的沉降，必须知道坝身中和坝底面上的应力分布。由于此时土坝土体的自重应力已不是一维问题，严格求解较困难。对于简单的中小型土坝、土堤，工程中常近似用上述自重应力计算公式，即假设坝体中任何一点因自重所引起的竖向应力均等于该点上面土柱的重量，故任意水平面上自重应力的分布形状与坝断面形状相似，见图3-7(ａ)。对较重要的高土石坝，近年来多采用有限元法计算其自重应力，可参考专门文献。图3-7(ｂ)表示某均质土坝用有限元法与简化法计算得到的基底竖直应力的比较，其最大误差约为15%。
图3-7 土坝中的竖直自重应力分布
【例题3-1】 按照图3-8(ａ)给出的资料，计算并绘制出地基中的自重应力z s σ沿深度的分布曲线。 解：
1．▽41.0m 高程处(地下水位处)
H 1＝44.0-41.0=3.0m
11H sz γσ==17.0×3.0=51kN/m 2
图3-5 成层地基土中自重应力 (a)地基剖面图；(b)竖向自重应力沿深度分布
46 2．▽40.0m 高程处
H 2＝41.0-40.0=1.0m
22
11H H sz γγσ'+=＝51+(19.0-9.8)×１=60.2kN/m 2 3．▽38.0m 高程处
H 3＝40.0-38.0=2.0m
3322
11H H H sz γγγσ'+'+= =60.2+(18.5-9.8)×2＝77.6kN/m 2
图3-8 例题3-1图
4．▽35.0m 高程处
H 4＝38.0-35.0=3.0m
443322
11H H H H sz γγγγσ'+'+'+= =77.6+(20-9.8)×3=108.2kN/m 2
自重应力z s σ沿深度的分布如图3-8(ｂ)所示。
第三节 地基附加应力
地基附加应力是指外荷载作用下地基中增加的应力。常见的外荷载有建筑物荷重等。建筑物荷重通过基础传递给地基。当基础底面积是圆形或矩形时，求解地基附加应力属于空间问题；当基础底面积是长条形时，常将其近似为平面问题。
地基中的附加应力是地基发生变形，引起建筑物沉降的主要原因。在计算地基中的附加应力时,把地基看成是均质的弹性半空间，应用弹性力学理论求解。
下面介绍当地表上作用不同类型的荷载时，在地基中引起的附加应力计算。
47
一、竖向集中荷载作用下地基中的附加应力
在地基表面作用有竖向集中荷载P 时，在地基内任意一点M (r ,θ, z )的应力分量及位移分量由法国数学家布辛奈斯克(J.Boussinesq)在1885年用弹性理论求解得出(图3-9)，其中应力分量为：
图3-9 竖向集中荷载作用下的应力
2
/522
5
3112323???
???????? ??+?
=
?=
z r z
p R
z p z ππσ (3-8)
??
?
???+--=
)(213252z R R R zr p
r μπ
σ (3-9) ??
?
???-+-=
3)(1)21(2R z z R R p μπσθ (3-10) 5
223R r z p rz
?=πτ (3-11) 0==θθττr z (3-12) 在集中荷载p 的作用下，其径向位移和竖向位移分别按下列公式计算
48 ??
????+--+=
)()21(2)1(),(3z R R r
R rz E p z r u μπμ (3-13)
??
?
???-++=R R z E p z r w )1(22)1(),(32μπμ (3-14)
在地基表面上任一点(z=0)的竖向位移为：
Er
p r w πμ)
1()0,(2-= (3-15)
式中：p ——作用在坐标原点O 点的竖向集中荷载； z ——M 点的深度；
r ——M 点与集中荷载作用线之间的距离，22y x r +=； R ——M 点与坐标原点的距离，222z y x R ++=； μ——土的泊松比。
由公式(3-8)可知竖向附加应力z σ与地基土的性质(E ,μ)无关。为了计算方便，可令 2
/52123
???
???????? ??+=
z r πα （3-16）
则公式(3-8)变成 2
z p
z α
σ= (3-17) 式中α称为集中荷载作用下的地基竖向附加应力系数，其数值可按r /z 值由表3-1查得。
49
【例题3-2】 在地面作用一集中荷载p =200kN ，试确定：
(1)在地基中z=2m 的水平面上，水平距离r=1、2、3和4m 各点的竖向附加应力z σ值，并绘出分布图；
(2)在地基中r=0的竖直线上距地面z=0、1、2、3和4m 处各点的z σ值，并绘出分布图； (3)取z σ=20、10、4和2kN/ｍ2，反算在地基中z=2m 的水平面上的r 值和在r=0的竖直线上的z 值，并绘出相应于该四个应力值的z σ等值线图。
解：(1)在地基中z=2m 的水平面上指定点的附加应力z σ的计算数据，见例表3-1；
z σ的分布图见图3-10。
（2）在地基中r=0的竖直线上，指定点的附加应力z σ的计算数据见例表3-2；z σ分布图见图3-11。
例表3-1 例题3-2附表
图3-10 例题3-2附图
图3-11 例题3-2附图图3-12 例题3-2附图
例表3-2 例题3-2附表
σ时，反算z=2m的水平面上的r值和在r=0的竖直线上的z值（3）当指定附加应力
z
σ的等值线绘于图3-12。
的计算数据，见例表3-3；附加应力
z
例表3-3 例题2-2附表
50
51
由于竖直向集中力作用下地基中的附加应力是轴对称的空间问题，再通过上面的例题分析，可知地基土中附加应力分布的特征如下：
(1)在集中力p 作用线上，r =0，由公式(3-16)及(3-8)可知，πα23
=，223z
p z ?=πσ。
在地面下同一深度处,该水平面上的附加应力不同，沿竖直向集中力作用线上的附加应力最大，向两边则逐渐减小；
(2)离地表愈深，应力分布范围愈大，在同一铅直线上的附加应力随深度的增加而减小。如果在空间将z σ相同的点连接起来形成曲面，就可以得到如图3-12所示的等值线，其空间曲面的形状如泡状，所以也称为应力泡。
通过上述对附加应力z σ分布图形的讨论，应该建立起土中应力分布的正确概念：即 集中力P 在地基中引起的附加应力z σ的分布是向下、向四周无限扩散的，其特性与杆件中应力的传递完全不一样。
当地基表面作用有几个集中力时，可以分别算出各集中力在地基中引起的附加应力，然后根据弹性体应力叠加原理求出地基的附加应力的总和。
在实际工程应用中，当基础底面形状不规则或荷载分布较复杂时，可将基底划分为若干个小面积，把小面积上的荷载当成集中力，然后利用上述公式计算附加应力。如果小面积的最大边长小于计算应力点深度的1/3，用此法所得的应力值与正确应力值相比，误差不超过5%。
二、矩形面积承受竖直均布荷载作用时的附加应力
地基表面有一矩形面积，宽度为B ，长度为L ，其上作用着竖直均布荷载，荷载强度为P ，求地基内各点的附加应力z σ。轴心受压柱基础的底面附加压力即属于均布的矩形荷载。这类问题的求解方法是：先求出矩形面积角点下的附加应力，再利用“角点法”求出任意点下的附加应力。 (一)角点下的附加应力
角点下的附加应力是指图3-13中O 、A 、C 、D 四个角点下任意深度处的附加应力。只要深度z 一样，则四个角点下的附加应力z σ都相同。将坐标的原点取在角点O 上，在荷载面积内任取微分面积d A = d x ·d y ，并将其上作用的荷载以集中力d P 代替，则d P = P · d A = P ·d x d y 。利用式(3-8)即可求出该集中力在角点O 以下深度z 处M 点所引起的竖直向附加应力d z σ：
52 y x z y x z P R z P z d d )(232d 3d 2
/52223
53++?=?=
ππσ (3-18) 将式(3-18)沿整个矩形面积OACD 积分，即可得出矩形面积上均布荷载P 在M 点引起的附加应力z σ：
??
++?=
L B z y x z y x z P 002
/52223
d d )(23πσ ???
?
???
???? ??
+++++?+++=
22
2
222211111arctg 2n n m n m n m n m n m P
π
(3-19) 式中，B L m =；B z
n =，其中L 为矩形的长边，B 为矩形的短边。
图3-13 矩形面积均布荷载作用时角点下点的附加应力
为了计算方便，可将式(3-19)简写成
P c z ?=ασ (3-20)
称c α为矩形竖直向均布荷载角点下的应力分布系数，c α=f （m ，n ），可从表3-2中查得。
表3-2 矩形面积受竖直均布荷载作用时角点下的应力系数c α
53
0.0092 0.0132 0.0167 0.0198 0.0222 0.0280
(二)任意点的附加应力——角点法
利用矩形面积角点下的附加应力计算公式(3-19)和应力叠加原理，推求地基中任意点的附加应力的方法称为角点法。角点法的应用可以分下列两种情况。第一种情况：计算矩形面积内任一点M ′深度为z 的附加应力(图3-14(ａ))。过M ′点将矩形荷载面积abcd 分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ4个小矩形，M ′点为4个小矩形的公共角点，则M ′点下任意z 深度处的附加应力
M z 'σ为
P c c c c M z )(IV III II I αααασ+++=' (3-21a)
图3-14 用角点法计算M ′点
以下的附加应力
54 第二种情况：计算矩形面积外任意点M ′下深度为z 的附加应力。思路是：仍然设法使M ′点成为几个小矩形面积的公共角点，如图3-14(ｂ)所示。然后将其应力进行代数叠加。
P c c c c M z )(IV III II I αααασ--+=' (3-21b) 以上两式中I c α、II c α、III c α、IV c α分别为矩形M ′hbe 、M ′fce 、M ′hag 、M ′fdg 的角点应力分布系数，P 为荷载强度。必须注意，在应用角点法计算每一块矩形面积的αc 值时，B 恒为短边，L 恒为长边。
【例题3-3】 今有均布荷载P=100kN/m 2，荷载面积为2×１m 2，如图3-15所示，求荷载面积上角点A 、边点E 、中心点O 以及荷载面积外F 点和G 点等各点下z=1m 深度处的附加应力。并利用计算结果说明附加应力的扩散规律。
解：
1.A 点下的附加应力 A 点是矩形ABCD 的角点，且m=L/B=2/1=2；n=z/B=1，查表3-2得
c α=0.1999，故
201001999.0=?=?=P c zA ασkN/m 2 2.E 点下的附加应力
通过E 点将矩形荷载面积划分为两个相等的矩形EADI 和EBCI 。求EADI 的角点应力系数c α：
111===
B L m ；11
1
===B Z n 查表3-2得c α=0.1752，故
P c zE ?=ασ2=2×0.1752×100=35kN/m 2
3．O 点下的附加应力
通过O 点将原矩形面积分为4个相等的矩形OEAJ ，OJDI ，OICK 和OKBE 。求OEAJ 角点的附加应力系数c α：
25.01===
B L m ；25
.01
===B Z n 查表3-2得c α=0.1202，故P c zO ?=ασ4=4×0.1202×100=48.1kN/m 2
4．F 点下附加应力
图3-15 例题3-3图
55
过F 点作矩形FGAJ ，FJDH ，FGBK 和FKCH 。假设I c α为矩形FGAJ 和FJDH 的角点应力系数；II c α为矩形FGBK 和FKCH 的角点应力系数。
求I c α： 55.05.2===B L m ；25.01
===B Z n
查表3-2得I c α=0.1363 求II c α： 15.05.0===B L m ；25
.01===B Z n 查表3-2得II c α=0.0840
故 P c c zF )(2II I αασ-==2（0.1363-0.0840）×100=10.5kN/m 2
5．G 点下附加应力
通过G 点作矩形GADH 和GBCH 分别求出它们的角点应力系数I c α和II c α。 求I c α： 5.215.2===B L m ；11
1
===B Z n 查表3-2得I c α=0.2016。 求II c α： 25.01===B L m ；25
.01===B Z n 查表3-2得II c α=0.1202。
故 P c c zG )(II I αασ-==（0.2016-0.1202）×100=8.1kN/m 2
将计算结果绘成图3-16，可以看出，在矩形面积受均布荷载作用时，不仅在受荷面积垂直下方的范围内产生附加应力，而且在荷载面积以外的地基土中(F 、G 点下方)也会产生附加应力。另外，在地基中同一深度处(例如z=1m)，离受荷面积中线愈远的点，其z σ值愈小，矩形面积中点处zO σ最大。将中点O 下和F 点下不同深度的z σ求出并绘成曲线，如图3-16(ｂ)所示。本例题的计算结果证实了上面所述的地基中附加应力的扩散规律。
56
图3-16 例题3-3计算结果
三、矩形面积承受水平均布荷载作用时的附加应力
如果地基表面作用有水平的集中力P h 时，求解地基中任意点M (x , y , z ) 所产生的附加应力可由弹性理论的西罗提(V.Cerruti)公式求得，其与沉降计算关系最大的垂直压应力的表达式为：
5
3
23R xz P h z ?
=πσ (3-22) 当矩形面积上作用有水平均布荷载P h (图3-18)时，即可由式(3-22)对矩形面积积分，从
而求出矩形面积角点下任意深度z 处的附加应力z σ，简化后由下式表示：
h h z P ?=ασ (3-23)
式中：
???
????
?+++-+=2
222
221)1(21n m n mn n m m h πα B
L m =
,B z
n =
B 、L ——分别为平行于、垂直于水平荷载
的矩形面积边长。 称h α为矩形面积承受水平均布荷载作用时角点下的附加应力分布系数，可查表3-3求得。 经过计算可知，在地面下同一深度处，四个角
点下的附加应力的绝对值相同，但应力符号不同，图3-18中
表3-3 矩形面积受水平均布荷载作用时角点下的附加应力系数h α值
图3-18 矩形面积作用水平均布荷载时角点下的z
σ
57
p t
图3-19 矩形面积三角形分布荷载下地基中附加
应力计算
c 、a 点下的z σ取负值，b 、
d 点下的z σ取正值。
同样，也可以利用角点法和应力叠加原理计算水平均布荷载下矩形面积内外任意点的附加应力z σ。
四、矩形面积承受竖直三角形分布荷载作用时的附加应力
设竖向荷载在矩形面积上沿着x 轴方向呈三角形分布，而沿y 轴均匀分布，荷载的最大值为p t ，取荷载零值边的角点1为坐标原点(图3-19)。与均布荷载相同，以
pdxdy B
x
dp t =
代替微元面积dA=dxdy 上的分布荷载，则可按下式求得角点1下深度z 处的M １点由该矩形面积竖直三角形分布荷载引起的附加应力z σ：
y x z y x B z xp B L
t z d d )(230
2
/52223
??
++=
π
σ (3-24)
由此可得受荷面积角点1下深度z 处的附加应力z σ为：
58 t c z p ?=1ασ (3-25) 式中：???
?
???
?+++-
+?=2
222
221
1)1(12m n m m m n m n c πα (3-26) 同理可得受荷面积角点2下深度z 处M 2点的附加应力z σ为：
s c z p ?=2ασ (3-27) 式中：???
?
???
?++-+?-++++++?+=n m n m m n m n m n m m n m n m n c 222
222222222
1arctg
1)1)(()21(221
ππ
α (3-28)
表3-5 矩形面积上竖直三角形分布荷载作用下的附加压力系数1c α、2c α
59
续表3-4
1c α、2c α为三角形荷载附加应力系
数，1c α为三角形荷载零角点下的附加应力系数；2c α为三角形荷载最大值角点下的附加应力系数。根据n = L /B 和m = z /B
由表3-4查得1c α、2c α。其中B 为承载面积沿荷载呈三角形分布方向的边长。
应用均布和三角形分布荷载的角点公式及叠加原理，可以求得矩形承载面积上的三角
图3-20 利用力的叠加原理确定矩形三角形荷载下地基附加应力
Q2第4章土中应力 一简答题 1.何谓土中应力？它有哪些分类与用途？ 2.怎样简化土中应力计算模型？在工程中应注意哪些问题？ 3.地下水位得升降对土中自重应力有何影响？在工程实践中,有哪些问题应充分考虑其影响？ 4.基底压力分布得影响因素有哪些？简化直线分布得假设条件就是什么？ 5.如何计算基底压力与基底附加压力？两者概念有何不同？ 6.土中附加应力得产生原因有哪些？在工程实用中应如何考虑？ 7.在工程中,如何考虑土中应力分布规律？ 二填空题 1、土中应力按成因可分为与。 2、土中应力按土骨架与土中孔隙得分担作用可分为与 。 3、地下水位下降则原水位出处得有效自重应力。 4、计算土得自重应力应从算起。 5、计算土得自重应力时,地下水位以下得重度应取。 三选择题 1.建筑物基础作用于地基表面得压力,称为()。 (A)基底压力;(B)基底附加压力;(C)基底净反力;(D)附加应力 2.在隔水层中计算土得自重应力c时,存在如下关系()。 (A) =静水压力 (B) =总应力,且静水压力为零 (C) =总应力,但静水压力大于零 (D)=总应力—静水压力,且静水压力大于零 3.当各土层中仅存在潜水而不存在毛细水与承压水时,在潜水位以下得土中自重应力为()。 (A)静水压力 (B)总应力 (C)有效应力,但不等于总应力 (D)有效应力,但等于总应力 4.地下水位长时间下降,会使()。 (A)地基中原水位以下得自重应力增加 (B)地基中原水位以上得自重应力增加 (C)地基土得抗剪强度减小 (D)土中孔隙水压力增大 5.通过土粒承受与传递得应力称为()。 (A)有效应力;(B)总应力;(C)附加应力;(D)孔隙水压力 6.某场地表层为4m厚得粉质黏土,天然重度=18kN/m3,其下为饱与重度sat=19 kN/m3得很厚得黏土层,地下水位在地表下4m处,经计算地表以下2m处土得竖向自重应力为()。 (A)72kPa ; (B)36kPa ;(C)16kPa ;(D)38kPa 7.同上题,地表以下5m处土得竖向自重应力为()。 (A)91kPa ; (B)81kPa ;(C)72kPa ;(D)41kPa
四 地基中的应力计算 一、填空题 1. 地下水位升高将引起土体中的有效自重应力_________，地下水位下降会引起土体中的有效自重应力_________。 2. ______应力引起土体压缩，______应力影响土体的抗剪强度。 3. 在计算自重应力时，地下水位以下土的重度应取_________。 4. 在基础宽度和附加压力都相同时，条形荷载的影响深度比矩形荷载________。 5. 土中竖向附加应力z σ的影响深度比xz τ的影响深度范围要_______，xz τ在________处最大。 6. 在中心荷载作用下，基底压力近似呈________分布，在单向偏心荷载作用下，当偏 心距6 l e < 时，基底压力呈________分布；当6l e =时，基底压力呈________分布。 7. 甲、乙两矩形基础，甲的长、宽为22A B ?，乙的长、宽为A B ?，基底附加应力相同，埋置深度d 也相同。则基底中心线下Z =甲______Z 乙处，z z σσ=乙甲。 8. 在离基础底面不同深度z 处的各个水平面上，z σ随着与中轴线距离的增大而______。 9. 在荷载分布范围内之下，任意点的竖向应力z σ随深度的增大而_________。 10. 当岩层上覆盖着可压缩土层时，即双层地基上软下硬，E 1＜E 2，这时在荷载作用下地基将发生__________现象，岩层埋深愈浅，应力集中的影响愈_________。 11. 当硬土层覆盖在软弱土层上时，即双层地基上硬下软，E 1＞E 2，这时在荷载作用下地基将发生_________现象，上覆硬土层厚度愈______，应力扩散现象愈显著。 12. 均布矩形荷载角点下的附加应力系数可根据________和_______通过查表确定。 13. 已知某天然地基上的浅基础，基础底面尺寸为3.0m 5.0m ?，基础埋深2.5m ，上部结构传下的竖向荷载为4500kN ，则基底压力为__________kPa 。 14.刚性基础在中心荷载作用下，基底各点的沉降是_________的，此时基底压力呈________分布。随着荷载的增大，_________处应力增大直至产生塑性变形，则引起基底压力重新分布，最终发展为__________分布。 15. 某均质地基，其重度为3 19kN/m γ=，地下水位在地表以下3m 处，则在地表下3m 处土的竖向自重应力为________kPa ；若地下水位以下土体达到饱和状态，其饱和重度为 321kN/m sat γ=，则地表下5m 处土的竖向自重应力为________kPa 。 1. 减小，增加。 2. 附加，有效。 3. 浮重度。 4. 大。 5. 大，基础边缘。 6. 矩形，梯形，三角形。 7. 2.0。 8. 减小。 9. 减小。10. 应力集中，显著。11. 应力扩散，大。12. /z b ，/l b 。13. 350。14. 相同，马鞍型，基础边缘，抛物线。15. 57，79。 二、选择题 1. 已知土层的静止土压力系数为0K ，主动土压力系数为a K ，被动土压力系数为P K ，当地表面增加一无限均布荷载p 时，则在z 深度处的侧向应力增量为多少？ （A ）0K p （B ）a K p （C ）P K p （C ）p 2. 自重应力在均质土层中呈_____分布。 （A ）均匀 （B ）直线 （C ）折线 （C ）曲线
《土力学》第四章练习题及答案 第4章土中应力 一、填空题 1.由土筑成的梯形断面路堤，因自重引起的基底压力分布图形是形，桥梁墩台等刚性基础在中心荷载作用下，基底的沉降是的。 2.地基中附加应力分布随深度增加呈减小，同一深度处，在基底点下，附加应力最大。 3.单向偏心荷载作用下的矩形基础，当偏心距e > l/6时，基底与地基局部，产生应力。 4.超量开采地下水会造成下降，其直接后果是导致地面。 5.在地基中同一深度处，水平向自重应力数值于竖向自重应力，随着深度增大，水平向自重应力数值。 6.在地基中，矩形荷载所引起的附加应力，其影响深度比相同宽度的条形基础，比相同宽度的方形基础。 7.上层坚硬、下层软弱的双层地基，在荷载作用下，将发生应力现象，反之，将发生应力现象。 二、名词解释 1.基底附加应力 2.自重应力 3.基底压力 4.地基主要受力层 三、简答题 1. 地基附加应力分布规律有哪些？ 四、单项选择题 1.成层土中竖向自重应力沿深度的增大而发生的变化为： （A）折线减小 （B）折线增大 （C）斜线减小 （D）斜线增大 您的选项（） 2.宽度均为b，基底附加应力均为p0的基础，同一深度处，附加应力数值最大的是： （A）方形基础 （B）矩形基础 （C）条形基础 （D）圆形基础（b为直径） 您的选项（） 3.可按平面问题求解地基中附加应力的基础是： （A）柱下独立基础 （B）墙下条形基础 （C）片筏基础 （D）箱形基础 您的选项（） 4.基底附加应力p0作用下，地基中附加应力随深度Z增大而减小，Z的起算点为：
（A）基础底面 （B）天然地面 （C）室内设计地面 （D）室外设计地面 您的选项（） 5.土中自重应力起算点位置为： （A）基础底面 （B）天然地面 （C）室内设计地面 （D）室外设计地面 您的选项（） 6.地下水位下降，土中有效自重应力发生的变化是： （A）原水位以上不变，原水位以下增大 （B）原水位以上不变，原水位以下减小 （C）变动后水位以上不变，变动后水位以下减小 （D）变动后水位以上不变，变动后水位以下增大 您的选项（） 7.深度相同时，随着离基础中心点距离的增大，地基中竖向附加应力： （A）斜线增大 （B）斜线减小 （C）曲线增大 （D）曲线减小 您的选项（） 8.单向偏心的矩形基础，当偏心距e < l/6（l为偏心一侧基底边长）时，基底压应力分布图简化为： （A）矩形 （B）梯形 （C）三角形 （D）抛物线形 您的选项（） 9.宽度为3m的条形基础，作用在基础底面的竖向荷载N＝1000kN/m ，偏心距e＝0.7m，基底最大压应力为： （A）800 kPa （B）417 kPa （C）833 kPa （D）400 kPa 您的选项（） 10.埋深为d的浅基础，基底压应力p与基底附加应力p0大小存在的关系为： （A）p < p0 （B）p = p0 （C）p = 2p0 （D）p > p0 您的选项（） 11.矩形面积上作用三角形分布荷载时，地基中竖向附加应力系数K t是l/b、z/b的函数，b
第2章土中应力计算 一、知识点： 概述土中自重应力基底压力(接触应力) 2.3.1 基底压力的简化计算基底附加压力 地基附加应力 2.4.1 竖向集中力下的地基附加应力 2.4.2 矩形基础下的地基附加应力 2.4.3 线荷载和条形荷载下的地基附加应力非均质和各向异性地基中的附加应力 地基沉降的弹性力学公式 二、考试内容： 重点掌握内容 1．自重应力在地基土中的分布规律，均匀土、分层土和有地下水位时土中自重应力的计算方法。2．基底接触压力的概念，基底附加压力的概念及计算方法。 3．基底附加压力的概念，基底附加压力在地基土中的分布规律。应用角点法计算地基土中任意一点的竖向附加应力。 三、本章内容： § 概述 建筑物的建造使地基土中原有的应力状态发生变化，从而引起地基变形，出现基础沉降。由于建筑物荷载差异和地基不均匀等原因，基础各部分的沉降或多或少总是不均匀的，使得上部结构之中相应地产生额外的应力和变形。基础不均匀沉降超过了一定的限度，将导致建筑物的开裂、歪斜甚至破坏，例如砖墙出现裂缝、吊车轮子出现卡轨或滑轨、高耸构筑物倾斜、机器转轴偏斜以及与建筑物连接管道断裂等等。因此，研究地基变形，对于保证建筑物的正常使用、经济和牢固，都具有很大的意义。 地基的沉降，必须要从土的应力与应变的基本关系出发来研究。对于地基土的应力一般要考虑基底附加应力、地基自重应力和地基附加应力。地基的变形是由地基的附加应力导致，变形都有一个由开始到稳定的过程。我们把地基稳定后的累计变形量称为最终沉降量。地基应力一般包括由土自重引起的自重应力和由建筑物引起的附加应力，这两种应力的产生条件不相同，计算方法也有很大差别。此外，以常规方法计算由建筑物引起的地基附加应力时，事先确定基础底面的压力分布是不可缺少的条件。 从地基和基础相互作用的假设出发，来分析地基上梁或板的内力和变形，以便设计这类结构复杂的连续基础时，也要以本章的有关内容为前提。 地基土的变形都有一个由开始到稳定的过程，各种土随着荷载大小等条件的不同，其所需时间的差别很大，关于地基变形随时间而增长的过程是土力学中固结理论的研究内容。它是本章的一个重要组成部分。在工程实践中，往往需要确定施工期间和完工后某一时间的基础沉降量，以便控制施工速度，确定建筑物的使用措施，并要考虑建筑物有关部分之间的预留净空和连接方式，还必须考虑地基沉降与时间的关系。 § 土中自重应力 土是由土粒、水和气所组成的非连续介质。若把土体简化为连续体，而应用连续体力学(例如弹性力学)来研究土中应力的分布时，应注意到，土中任意截面上都包括有骨架和孔隙的面积在内，所
第五章地基中的应力计算 一、单项选择题 1. 计算自重应力时，对地下水位以下的土层一般采用C。 (A) 天然重度(B) 饱和重度(C) 有效重度 2. 只有才能引起地基的附加应力和变形。B (A) 基底压力(B) 基底附加压力(C) 有效自重应力 3. 某建筑场地的土层分布均匀，地下水位在地面下2m深处，第一层杂填土厚1.5m，γ=17kN/m3，第二 层粉质粘土厚4m，γ=19kN/m3，第三层淤泥质粘土厚8m,γ=18kN/m3，第四层粉土厚8m，γ=19.5kN/m3，第五层砂岩（透水）未钻穿，则第四层底的竖向有效自重应力为______。 (A) 299kPa (B) 310kPa (C) 206.5kPa (D) 406.5kPa 4. 在基底总压力不变时，增大基础埋深对基底以下土中应力分布的影响是_______。B (A) 土中应力增大(B) 土中应力减小(C) 土中应力不变(D) 两者没有联系 5. 一矩形基础，短边b=3m，长边l=4m ，在长边方向作用一偏心荷载F+G=1200kN 。试问当p min=0 时，最大压应力为。c (A) 120 kN/m2(B) 150 kN/m2(C) 200 kN/m2 6. 有一基础埋置深度d=1.5m ，建筑物荷载及基础和台阶土重传至基底总应力为100 kN/m2，若基底 以上土的重度为18 kN/m2，基底以下土的重度为17 kN/m2，地下水位在基底处，则基底竖向附加压力是A。 (A) 73 kN/m2(B) 74.5 kN/m2(C) 88.75 kN/m2 7. 在砂土地基上施加一无穷均布的填土，填土厚2m ，重度为16kN/m3，砂土的重度为18kN/m3，地 下水位在地表处，则5m深度处作用在骨架上的竖向应力为C。 (A) 40 kN/m2(B) 32 kN/m2(C) 72 kN/m2 8. 有一个宽度为3m的条形基础，在基底平面上作出用着中心荷载F=240kN/m及力矩M=100kN?m/m 。 试问压力较小一侧基础边的底面与地基之间会不会脱开？ A (A) p min>0 (B) p min=0 (C) 脱开 9. 地下水位突然从基础底面处下降3m，试问对土中的应力有何影响？ c (A) 没有影响(B) 应力减小(C) 应力增加 10. 甲乙两个基础的l/b相同，且基底平均附加压力相同，但它们的宽度不同，b甲>b乙，基底下3m深
土中应力计算 1 土中自重应力 地基中的 应力分: 自重应力——地基中的 自重应力是指由土体本身的 有效重力产生的 应力. 附加应力——由建筑物荷载在地基土体中产生的 应力,在附加应力的 作用下,地基土将产生压缩变形,引起基础沉降. 计算土中应力时所用的 假定条件: 假定地基土为连续、匀质、各向同性的 半无限弹性体、按弹性理论计算. 地基中除有作用于水平面上的 竖向自重应力外,在竖直面上还作用有水平向的 侧向自重应力.由于沿任一水平面上均匀地无限分布,所以地基土在自重作用下只能产生竖向变形,而不能有侧向变形和剪切变形. 3.1.1均质土的 自重应力 a 、假定:在计算土中自重应力时,假设天然地面是一个无限大的 水平面,因而在任意竖直面和水平面上均无剪应力存在.可取作用于该水平面上任一单位面积的 土柱体自重计算. b 、均质土层Z 深度处单位面积上的 自重应力为: 应力图形为直线形. z cz γσ= σcz 随深度成正比例增加;沿水平面则为均匀分布. 必须指出,只有通过土粒接 触点传递的 粒间应力,才能使土
粒彼此挤紧,从而引起土体的 变形,而且粒间应力又是影响土体强度的 —个重要因素,所以粒间应力又称为有效应力.因此,土中自重应力可定义为土自身有效重力在土体中引起的 应力.土中竖向和侧向的 自重应力一般均指有效自重应力.并用符号σcz 表示 . 3.1.2成层土的 自重应力 地基土往往是成层的 ,成层土自重应力的 计算公式:∑== n i i i cz z 1 γ σ 结论:土的 自重应力随深度Z ↑而↑.其应力图形为折线形. 自然界中的 天然土层,一般形成至今已有很长的 地质年代,它在自重作用下的 变形早巳稳定.但对于近期沉积或堆积的 土层,应考虑它在自重应力作用下的 变形.此外,地下水位的 升降会引起土中自重应力的 变化(图2—4). 3.1.3 1、地下水对自重应力的 影响 地下水位以下的 土,受到水的 浮力作用,使土的 重度减轻.计算时采用水下土的 重度(w sat γγγ-=') 2、不透水层的 影响
第二章地基中的应力计算 土像其他任何材料一样。受力后也要产生应力和变形。在地基上建造建筑物将使地基中原有的应力状态发生变化，引起地基变形。如果应力变化引起的变形量在允许范围以内，则不致对建筑物的使用和安全造成危害；当外荷载在土中引起的应力过大时，则不仅会使建筑物发生不能容许的过大沉降，甚至可能使土体发生整体破坏而失去稳定。因此，研究土中应力计算和分布规律是研究地基变形和稳定问题的依据。 土体中的应力按其产生的原因主要有两种：由土体本身重量引起的自重应力和由外荷载引起的附加应力。 第一节土体自重应力的计算 自重应力:未修建建筑物前,由土体本身自重引起的应力称土体自重应力. 说明：从结构分析：土为单粒、蜂窝、絮状结构，土为三相体；从构造分析：层状、节理、裂隙、软硬不均、断裂、层理等具有一定的构造，因此土是非均匀、非连续、各向异性体，很难用解析法或公式法进行计算，大型工程一般用计算机或实验分析。但为计算方便，常将其假定为弹性体、均匀、连续各项同性半无限体。这和实际情况会有的区别，但研究表明，当地基上均匀施加荷载，且在正常允许范围内时，其应力—应变如图示，且研究的是基础作用下的宏观应变而不是土粒之间微观应变，假设应力—应变为直线能够满足设计要求。当然对高层作用或构造非常明显的地基应根据情况分析。 半无限体如图： σ y x ε z 土应力应变半无限体 自重应力是指土体本身的有效重量产生的应力，在建筑物建造之前就存在于土中，使土体压密并且有一定的强度和刚度。研究地基自重应力的目的是为了确定土体的初始应力状态。 一、竖向自重应力 假定地表面是无限延伸的水平面，在深度Z处水平面上各点的自重应力相等且均匀地无限分布，任何竖直面和水平面上均无剪应力存在，故地基中任意深度Z处的竖向自重应力就等于单位面积上的土柱重量。 如图2-1（a）所示。若Z深度内的土层为均质土，天然重度γ不发生变化，则土柱的自身重力为W=γZA，而W必与Z深度处的竖向自重应力σCZ的合力σCZ A相平衡，故有：
根据标准贯入试验锤击数测定各类砂的地基承载力（公斤/平方厘米），一般为： ①当击数大于30时，密实的砾砂、粗砂、中砂（孔隙比均小于0.60）为4公斤/ 平方厘米； ②当击数小于或等于30而大于15时，中密的砾砂、粗砂、中砂（孔隙比均大于 0.60而小于0.75）为3公斤/平方厘米，细砂、粉砂（孔隙比均大于0.70而小于0.85）为 1.5—2公斤/平方厘米； ③当击数小于或等于15而大于或等于10时，稍密的砾砂、粗砂、中砂（孔隙比均大于0.75而小于0.85）为2，细砂、粉砂（孔隙比均大于0.85而小于0.95）为1—1.5。对于老粘土和一般粘性土的容许承载力，当锤击数分别为3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23时，则其相应的容许承载力分别为1.2、1.6、2.0、2.4、2.8、3.2、3.6、4.2、 5.0、5.8、 6.6公斤/平方厘米。 第三章地基应力计算 第一节概述 建（构）筑物的建造使地基土中原有的应力状态发生了变化，如同其它材料一样，地基土受力后也要产生应力和变形。在地基土层上建造建（构）筑物，基础将建（构）筑物的荷载传递给地基，使地基中原有的应力状态发生变化，从而引起地基变形，其垂向变形即为沉降。如果地基应力变化引起的变形量在建（构）筑物容许范围以内，则不致对建（构）筑物的使用和安全造成危害；但是，当外荷载在地基土中引起过大的应力时，过大的地基变形会使建（构）筑物产生过量的沉降，影响建（构）筑物的正常使用，甚至可以使土体发生整体破坏而失去稳定。因此，研究地基土中应力的分布规律是研究地基和土工建（构）筑物变形和稳定问题的理论依据，它是地基基础设计中的一个十分重要的问题。 地基中的应力按其产生的原因不同，可分为自重应力和附加应力。二者合起来构成土体中的总应力。由土的自重在地基内所产生的应力称为自重应力；由建筑物的荷载或其它外荷载(如车辆、堆放在地面的材料重量等)在地基内所产生的应力称为附加应力。因地震而引起的惯性力也属于外荷载的范围。对于形成年代比较久远的土，在自重应力的长期作用下，其变形已经稳定，因此，除了新填土外，一般来说，土的自重不再会引起地基土的变形。而附加应力则不同，因为它是地基中新增加的应力，将引起地基土的变形。地基土的变形导致基础沉降、倾斜和相邻基础出现沉降差。所以，附加应力是引起地基土变形的主 40
第三章地基应力计算 第一节概述 建（构）筑物的建造使地基土中原有的应力状态发生了变化，如同其它材料一样，地基土受力后也要产生应力和变形。在地基土层上建造建（构）筑物，基础将建（构）筑物的荷载传递给地基，使地基中原有的应力状态发生变化，从而引起地基变形，其垂向变形即为沉降。如果地基应力变化引起的变形量在建（构）筑物容许范围以内，则不致对建（构）筑物的使用和安全造成危害；但是，当外荷载在地基土中引起过大的应力时，过大的地基变形会使建（构）筑物产生过量的沉降，影响建（构）筑物的正常使用，甚至可以使土体发生整体破坏而失去稳定。因此，研究地基土中应力的分布规律是研究地基和土工建（构）筑物变形和稳定问题的理论依据，它是地基基础设计中的一个十分重要的问题。 地基中的应力按其产生的原因不同，可分为自重应力和附加应力。二者合起来构成土体中的总应力。由土的自重在地基内所产生的应力称为自重应力；由建筑物的荷载或其它外荷载(如车辆、堆放在地面的材料重量等)在地基内所产生的应力称为附加应力。因地震而引起的惯性力也属于外荷载的范围。对于形成年代比较久远的土，在自重应力的长期作用下，其变形已经稳定，因此，除了新填土外，一般来说，土的自重不再会引起地基土的变形。而附加应力则不同，因为它是地基中新增加的应力，将引起地基土的变形。地基土的变形导致基础沉降、倾斜和相邻基础出现沉降差。所以，附加应力是引起地基土变形的主要原因。除上述二种应力外，地基土中水的渗流引起的渗透力也是土中的一种应力。当然，环境条件的改变也会引起土中应力的变化。本章重点介绍自重应力和附加应力的计算方法，反映土中应力特点的有效应力原理以及土中应力变化的描述方法，即应力路径等内容。 根据土样的单轴压缩试验资料，当应力很大时,土的应力~应变关系就不是一条直线了，即土的变形是非线性的。然而，考虑到一般建筑物荷载作用下地基中应力的变化范围(应力增量)还不太大，如果用一条割线来近似地代替相应的曲线，其误差可能不超过实用的允许范围。这样，我们就可以把土看成是一种线性变形体，即土为线弹性体。 求解土中应力的方法有很多，本章只介绍目前生产实践中使用最多的古典弹性力学方法。利用弹性力学方法求解土中应力会遇到一些专用名词，下面先加以介绍： 一、理想弹性体 从力学的概念来讲，理想弹性体就是符合虎克定律的物体，即物体受荷载作用时，其应力与应变成直线关系，卸荷时仍沿此直线回弹，如图3-1中的(a)、(b)为弹性体模型。 二、无限大平面与半无限空间 向两边无限延伸的平面称为为无限大平面；无限大平面以下的无限空间称半无限空间，40