精心整理
第一章信号与系统（二）
1-1画出下列各信号的波形【式中)()
(t t t r ε=】为斜升函数。
（2）∞<<-∞=-t e t f t ,)(（3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε=（5）)(sin )(t r t f = （7
（2（3（4（5（7（101-2（1(t f （5（11）)]7()(6
sin()(--=k k k f εε（12）)]()3([2)(k k k f k
---=εε 解：各信号波形为 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε
（2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f
（5）
)2()2()(t t r t f -=ε
（8）
)]5()([)(--=k k k k f εε
（11）)]7()(6sin()(--=k k k k f εεπ
（12）
)]()3([2)(k k k f k ---=εε
1-3写出图1-3所示各波形的表达式。
1-4
1-5（2)t
解：1-6（1)
（7（1（2（5（6）
)25.0(-t f
（7）dt t df )(
（8）
dx x f t
?
∞
-)(
1-7已知序列)(k f 的图形如图1-7所示，画出下列各序列的图形。
（1）)()2(k k f ε-（2）)2()2(--k k f ε
（3）)]4()()[2(---k k k f εε（4）)2(--k f （5）
)1()2(+-+-k k f ε（6）)3()(--k f k f
解：
1-9
(f (t f 了
f 1-10（1（51-121-20写出图1-18各系统的微分或差分方程。 1-23设系统的初始状态为)0(x ，激励为
)(?f ，各系统的全响应)(?y 与激励和初始
状态的关系如下，试分析各系统是否是线性的。 （1）?+
=-t
t
dx x xf x e t y 0
)(sin )0()(（2）?
+=t
dx x f x t f t y 0
)()0()()(
（3）?+=t
dx x f t x t y 0)(])0(sin[)(（4）)2()()0()5.0()(-+=k f k f x k y k
（5）∑=+
=k
j j f kx k y 0
)()0()(
1-25设激励为)(?f ，下列是各系统的零状态响应)(?zs y 。判断各系统是否是线性的、
时不变的、因果的、稳定的？
（1）
dt t df t y zs )()(=（2）)()(t f t y zs =（3）)2cos()()(t t f t y zs π=
（4）)()
(t f t y zs -=（5）)1()()(-=k f k f k y zs （6）)()2()(k f k k y zs -=
（7）∑==k
j zs j f k y 0
)()(（8）
)1()(k f k y zs -=
1-28某一阶LTI 离散系统，其初始状态为)0(x 。已知当激励为)()(1k k y ε=时，其全响应为
若初始状态不变，当激励为)(k f -时，其全响应为)(]1)5.0(2[)(2k k y k ε-= 若初始状态为)0(2x ，当激励为)(4k f 时，求其全响应。
第二章
2-1已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其零输入响应。 （1）1)0(',1)0(),()(6)('5)(''-===++-y y t f t y t y t y （4）0)0(',2)0(),()()(''===+-y y t f t y t y
2-2已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其+0值)0(+y 和)0('+y 。
（2）)()(,1)0(',1)0(),('')(8)('6)(''t t f y y t f t y t y t y δ====++--
（4）)()(,2)0(',1)0(),(')(5)('4)(''2t e t f y y t f t y t y t y t ε====++-- 解：
2-4已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其零输入响应、零状态响应和全响应。
（2）)()(,2)0(',1)0(),(3)(')(4)('4)(''t e t f y y t f t f t y t y t y t
ε---===+=++
解：
2-82-12 2-16（1（42-20已知
)()(1t t t f ε=，)2()()(2--=t t t f εε，求
)2('*)1(*)()(21--=t t f t f t y δ
2-22某LTI 系统，其输入
)(t f 与输出)(t y 的关系为
dx x f e t y t x t )2()(1
)(2-=?∞---
求该系统的冲激响应)(t h 。 2-28如图2-19所示的系统，试求输入
)()(t t f ε=时，系统的零状态响应。
2-29如图2-20所示的系统，它由几个子系统组合而成，各子系统的冲激响应分别为 求复合系统的冲激响应。
第三章习题
3.1、试求序列k
01(k)=2f ???? ?????
，
的差分(k)f ?、(k)f ?和i=-(i)k f ∞∑。
3.6、求下列差分方程所描述的LTI 离散系统的零输入相应、零状态响应和全响应。
1）()-2(-1)(),()2(),(-1)-1y k y k f k f k k y ε===
3）()2(-1)(),()(34)(),(-1)-1y k y k f k f k k k y ε+==+= 5）
1
()2(-1)(-2)(),()3()(),(-1)3,(-2)-5
2
k y k y k y k f k f k k y y ε++====
3.8、求下列差分方程所描述的离散系统的单位序列响应。 2）()-(-2)()y k y k f k =
5）()-4(-1)8(-2)()y k y k y k f k +=
3.9、求图所示各系统的单位序列响应。
（a ） （c ）
3.10、求图所示系统的单位序列响应。 3.11、各序列的图形如图所示，求下列卷积和。
（1）12()()f k f k *（2）23()()f k f k *（3）34()()f k f k *（4）[]213()-()()f k f k f k * 3.13
3.143.153.163.18()k
k ε，激励3.22()1h k 4.6（1（3）)4sin()2cos(t t +（4）)5cos()3cos()2cos(t t t πππ++ （5）)4
sin()2
cos(t t ππ+（6）)5
cos()3
cos()2
cos(t t t π
ππ++
4.7用直接计算傅里叶系数的方法，求图4-15所示周期函数的傅里叶系数（三角形式或指数形式）。
图4-15
4.10利用奇偶性判断图4-18示各周期信号的傅里叶系数中所含有的频率分量。
图4-18
4-11某1Ω电阻两端的电压)(t u 如图4-19所示， （1）求)(t u 的三角形式傅里叶系数。
（2）利用（1）的结果和1)2
1(=u ，求下列无穷级数之和 （3
（44.17（1（2（34.184.19图4-23
4.20若已知)(j ])([ωF t f F =，试求下列函数的频谱：
（1）)2(t tf （3）dt
t df t
)
(（5）)-1(t)-(1t f （8）)2-3(t f e jt （9）t
dt t df π1
*)(
4.21求下列函数的傅里叶变换
（1）??
?><=0
0,1,)(j ωωωωωF
（3）)(3cos 2)(j ωω=F （5）ωω
ω
ω1)(2n -2
0sin 2)(j +=∑
=j n e F
4.23试用下列方式求图4-25示信号的频谱函数
（1
（2（34.25
4.27（1（34.28（1t ∞-∞-+22)
1(x 4.29一周期为T 的周期信号)(t f ，已知其指数形式的傅里叶系数为n F ，求下列周期信号的傅里叶系数
（1）)()(01t t f t f -=（2）)()(2t f t f -= （3）dt
t df t f )
()(3=（4）0),()(4>=a at f t f
4.31求图4-30示电路中，输出电压电路中，输出电压)(2t u 对输入电流)(t i S 的频率响应)
()
()(2ωωωj I j U j H S =
，为了能无失真的传输，试确定R 1、R 2的值。 图4-30
4.33某LTI 系统，其输入为)(t f ，输出为
式中a 为常数，且已知)()(ωj S t s ?，求该系统的频率响应)(ωj H 。
4.34某LTI 系统的频率响应ω
ω
ωj j j H +-=22)(，若系统输入)2cos()(t t f =，求该系统的输出)(t y 。
4.35一理想低通滤波器的频率响应 4.36一个LTI 系统的频率响应 若输入)5cos()
3sin()(t t
t t f =
，求该系统的输出)(t y 。 4.39如图4-35的系统，其输出是输入的平方，即)()(2t f t y =（设)(t f 为实函数）。该系统是线性的吗？
（1）如t t
t f sin )(=
，求)(t y 的频谱函数（或画出频谱图）。 （2）如)2cos(cos 2
1
)1(t t f ++=，求)(t y 的频谱函数（或画出频谱图）。
4.45如图4-42(a)
的系统，带通滤波器的频率响应如图(b)所示，其相频特性0)(=ω?，若输入 求输出信号)(t y 。
图4-42
4.48有限频带信号)(t f 的最高频率为100Hz ，若对下列信号进行时域取样，求最小取样频率s f 。
（1）)3(t f （2）)(2t f
（3）)2(*)(t f t f （4）)()(2t f t f +
4.50有限频带信号)4cos()2cos(25)(11t f t f t f ππ++=，其中kHz f 11=，求Hz f s 800=的冲激函数序列)(t δ进行取样（请注意f f <）。
（1）画出)(t f 及取样信号)(t f s 在频率区间（-2kHz ，2kHz ）的频谱图。
（2）若将取样信号)(t f s 输入到截止频率Hz f c 500=，幅度为的理想低通滤波器，即其频率响应
画出滤波器的输出信号的频谱，并求出输出信号)(t y 。
图4-47 图4-48
图4-49
4.53求下列离散周期信号的傅里叶系数。 （2）)4)(30()2
1
()(=≤≤=N k k f k
第五章
5-2求图5-1所示各信号拉普拉斯变换，并注明收敛域。
5-3利用常用函数（例如)(t ε，
)(t e at
ε-，)()sin(t t εβ，)()cos(t t εβ等）的象函数及拉普拉斯变换的性质，求下列函数
)(t f 的拉普拉斯变换)(s F 。
（1）
)2()()2(-----t e t e t t εε（3）)]1()()[sin(--t t t εεπ （5）)24(-t δ（7）)()4
2sin(t t επ
-
（9）?
t
dx t 0)sin(π（11）)]()[sin(22
t t dt
d επ
（13）)(22t e t t ε-（15）)1()3(---t te
t ε
123
5-4如已知因果函数)(t f 的象函数11
)(2+-=s s s F ，
求下列函数
)(t y 的象函数
)(s Y 。
（1）)2
(t f e t
-（4）)12(-t tf 5-6求下列象函数)(s F 的原函数的初值
)0(+f 和终值)(∞f 。
（1）2)1(32)(++=s s s F （2）)1(13)(++=s s s s F
5-7求图5-2所示在
0=t 时接入的有始周期信号)(t f 的象函数)(s F 。
图5-2
5-8求下列各象函数)(s F 的拉普拉斯变换
)(t f 。
（1）)4)(2(1
++s s （3）235422
++++s s s s （5）)4(422++s s s
（7）2
)1(1
-s s （9）)52(5
2+++s s s s
5-9求下列象函数)(s F 的拉普拉斯变换
)(t f ，并粗略画出它们的波形图。
（1
5-10T
（15-12)(t
（1）已知2)0(',1)0(),()(===--y y t t f ε。 （2）已知
1)0(',0)0(),()(===---y y t e t f t ε。
5-13描述某系统的输出)(1t y 和)(2t y 的联立微分方程为
（1）已知
0)(=t f ，1)0(1=-y ，2)0(2=-y ，求零状态响应)(1t y zs ，
)(2t y zs 。
5-15描述某LTI 系统的微分方程为
)(4)(')(2)('3)(''t f t f t y t y t y +=++
求在下列条件下的零输入响应和零状态响应。 （1）
1)0(',0)0(),()(===--y y t t f ε。
（2）
1)0(',1)0(),()(2===---y y t e t f t ε。
5-16
（1（25-17（15-18（1（35-22冲激响应分别为1
1
)(1+=s s H ，21)(2+=s s H ，)()(3t t h ε=，
)()(24t e t h t ε-=，求复合系统的冲激响应)(t h 。
5-26如图5-7所示系统，已知当
)()(t t f ε=时，系统的零状态响应
)()551()(32t e e t y t t zs ε--+-=，求系数a 、b 、c 。
5-28某LTI 系统，在以下各种情况下起初始状态相同。已知当激励)()(1t t f δ=时，
其全响应)()()(1t e
t t y t
εδ-+=；当激励)()(2t t f ε=时，其全响应
)(3)(2t e t y t ε-=。
（1）若)()
(23t e t f t
ε-=，求系统的全响应。
5-29如图5-8所示电路，其输入均为单位阶跃函数)(t ε，求电压)(t u 的零状态响
应。
5-42某系统的频率响应ωω
ωj j j H +-=11)(，求当输入
)(t f 为下列函数时的零状
态响应)(t y zs 。
（1）
)()(t t f ε=（2）)(sin )(t t t f ε=
5-50求下列象函数的双边拉普拉斯变换。
（1）3]Re[1,)3)(1(2
<<---s s s （2）
1]Re[3,)
3)(1(2-<<-++s s s （3）0]Re[,4
42
<+s s （4）0]Re[1,)1)(4(4
2
<<-+++-s s s s 6.4根据下列象函数及所标注的收敛域，求其所对应的原序列。 （1）1)(=z F ，全z 平面 （2）∞<=z z z F ,)(3 （3）0,)(1>=-z z z F
（4）∞<<-+=-z z z z F 0,12)(2
（5）a z az z F >-=
-,11
)(1
（6）a z az
z F <-=-,11
)(1
6.5已知1)(?k δ，a
z z
k a k -?)(ε，2
)1()(-?z z k k ε，试利用z 变换的性质求下列序列的z 变换并注明收敛域。
（1）)(])1(1[2
1k k ε-+（3）)()1(k k k ε- （5
（96.8。
（16.10（1（2（3（4）2131,)1(2
1()(23
<<--=
z z z z z F
6.11求下列象函数的逆z 变换。 （1）1,1
1
)(2
>+=
z z z F （2）1,)
1)(1()(22>+--+=
z z z z z
z z F
（5）1,)
1)(1()(2>--=
z z z z
z F
（6）a z a z az
z z F >-+=
,)()(3
2 6.13如因果序列)()(z F k f ?，试求下列序列的z 变换。 （1）)(0i f a k
i i ∑=（2）∑=k
i k
i f a
)(
6.15
（1（36.17已知)(k zs 及
6.19)(k g 。 6.20（16.23（1（26.24图6-6所示系统， （1）求系统函数)(z H ； （2）求单位序列响应)(k h ；
（3）列写该系统的输入输出差分方程。
6.26已知某LTI 因果系统在输入
)()2
1()(k k f k
ε=时的零状态响应为
求该系统的系统函数)(z H ，并画出它的模拟框图。
图6-12
6-29已知某一阶LTI 系统，当初始状态1)1(=-y ，输入)()(1k k f ε=时，其全响应
)(2)(1k k y ε=；当初始状态1)1(-=-y ，输入)(2
1
)(2k k k f ε=
时，其全响应)()1()(2k k k y ε-=。求输入)(2
1
()(k k f k ε=时的零状态响应。
6.31
6.33 6.346.37)(k 后，
6.46（1（2（3）若频响函数存在，求输入)8.302
cos(20)(ο+=k k f π
时系统的稳态响应)(k y ss 。
7.3如图7-5的RC 带通滤波电路，求其电压比函数)
()
()(12s U s U s H =
及其零、极点。 7.7连续系统a 和b ，其系统函数)(s H 的零点、极点分布如图7-12所示，且已知当∞→s 时，1)(=∞H 。
解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章
第五章 二次曲线一般的理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1 (,)F x y ， 2 (,)F x y 及3 (,)F x y . （1） 2222 1x y a b +=；（2） 22 22 1x y a b -=；（3）2 2y px =；（4） 223520; x y x -++= （5）2 226740 x xy y x y -+-+-=.解：（1） 221 0010 000 1a A b ?? ? ? ?= ? ?- ? ?? ?； 121(,)F x y x a = 221(,)F x y y b =3(,)1F x y =-；（2） 221 0010 0001a A b ?? ? ? ?=- ? ?- ? ?? ? ； 121(,)F x y x a = 221(,)F x y y b =-；3 (,)1F x y =-.（3） 0001000p A p -?? ?= ? ?-?? ； 1(,)F x y p =-；2 (,)F x y y =；3 (,)F x y px =-；（4） 510 20 305022A ?? ? ?=- ? ? ? ??； 15(,)2F x y x =+ ；2 (,)3F x y y =-；3 5(,)22 F x y x =+；（5）
222420 x xy ky x y ++--=交于两个共轭虚交点.解：详解 略.（1）4k <-；（2）1k =或3k =（3）1k =或5k =；（4） 4924 k >. §5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线 1. 求下列二次曲线的渐进方向并指出曲线属于 何种类型的（1） 22230 x xy y x y ++++=；（2） 22342250 x xy y x y ++--+=；（3）24230xy x y --+=. 解：（1）由2 2(,)20 X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:1:1 X Y =-或1:1-且属于抛物型的； （2）由2 2(,)3420 X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:(22):3 X Y i =-且属于椭圆型的； （3） 由(,)20X Y XY φ==得渐进方向为:1:0X Y =或0:1且属于双曲型的. 2. 判断下列曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线. （1）2 2224630 x xy y x y -+--+=；（2）2 2442210 x xy y x y -++--=； （3）2 281230 y x y ++-=；（4）2 296620 x xy y x y -+-+=.解：（1） 因为2 1110 12I -= =≠-，所以它为中心曲线； （2）因 为2 120 24 I -= =-且121 241-=≠--，所以它为无心曲线； （3）因为2 00002I = =且004 026 =≠，所以它为无心曲线； （4）因为2 930 3 1 I -==-且933312--==-，所以它为线心曲线；
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 § 4.1柱面 1、已知柱面的准线为： ? ? ?=+-+=-+++-0225 )2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。 解：（1）从方程 ?? ?=+-+=-+++-0 225 )2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(2 2 2 =-+++--z y y z 即：02 3 5622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。 （2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线? ??==c z y x 的直线方程为： ??? ??=-=-=? ?? ? ??=+=+=z z t y y t x x z z t y y t x x 0 00000 而0M 在准线上，所以 ?? ?=+--+=-++-+--0 2225 )2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：026888232 22=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。 2 而0M 在准线上，所以： ?? ?+=-++=-) 2(2)2(2 2t z t x t z y t x 消去t ，得到：010******* 22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。 3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解：过 又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{ }1,1,1的直线方程为： ??? ??-=-=-=? ?? ? ??+=+=+=t z z t y y t x x t z z t y y t x x 1 11111 将此式代入准线方程，并消去t 得到： 013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x 此即为所求的圆柱面的方程。 4、已知柱面的准线为{})(),(),((u z u y u x u =γ，母线的方向平行于矢量{}Z Y X ,,=，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为： S v u Y x +=)( 与 ?? ? ??+=+=+=Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 式中的v u ,为参数。 证明：对柱面上任一点),,(z y x M ，过M 的母线与准线交于点))(),(),((u z u y u x M '，则， v M =' 即 1、求顶点在原点，准线为01,0122 =+-=+-z y z x 的锥面方程。 解：设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为： z Z y Y x X == 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去参数t ，得： 0)()(222=-+--y z y z z x 即：02 22=-+z y x 此为所要求的锥面方程。 2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,12 22=+-=-+z y x z y x ，试求它的方程。
第五章 二次曲线一般的理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1(,)F x y ，2(,)F x y 及3(,)F x y . （1）22221x y a b +=；（2）22 221x y a b -=；（3）22y px =；（4）223520;x y x -++= （5）2226740x xy y x y -+-+-=.解：（1）221 0010 000 1a A b ?? ? ? ?= ? ?- ? ???；121(,)F x y x a =221 (,)F x y y b =3(,)1F x y =-；（2）2210010 000 1a A b ?? ? ? ?=- ? ?- ? ?? ? ；121(,)F x y x a =221(,)F x y y b =-；3(,)1F x y =-.（3）0001000p A p -?? ? = ? ? -?? ； 1(,)F x y p =-；2(,)F x y y =；3(,)F x y px =-；（4）51020 305022A ?? ? ?=- ? ? ? ??； 15(,)2F x y x =+；2(,)3F x y y =-；35 (,)22 F x y x =+；（5）1232 171227342 A ??-- ? ? ?=- ? ? ?-- ??? ；11(,)232F x y x y =- -；217(,)22F x y x y =-++；37(,)342 F x y x y =-+-. 2. 求二次曲线2 2 234630x xy y x y ----+=与下列直线的交点.（1）550 x y --=
习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ?
(3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ?
2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ?
(3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4?
第一章 矢量与坐标 §1.3 数量乘矢量 4、 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→ →→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→ → → → → → → → → → =+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382 ∴→ AB 与→ BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线． 6、 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量AL , BM , CN 可 以构成一个三角形. 证明： )(21 AC AB AL += Θ )(21 BC BA BM += )(2 1 CB CA CN += 0)(2 1 =+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL 7.、设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明 OB OA ++OC =OL +OM +ON . [证明] LA OL OA +=Θ MB OM OB += NC ON OC += )(NC MB LA ON OM OL OC OB OA +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++ 由上题结论知：0=++CN BM AL ON OM OL OC OB OA ++=++∴ 从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。 8.、如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明 OA +OB +OC +OD ＝4OM . [证明]：因为OM ＝ 21 (OA +OC ), OM ＝2 1 (OB +OD ), 所以 2OM ＝2 1 (OA +OB +OC +OD ) 所以 OA +OB +OC +OD ＝4OM . 10、 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半． 图1-5
1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11） )]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ （12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε 解：各信号波形为 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f
（5） )2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11） )]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ （12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε 1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。 1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。 1-5 判别下列各序列是否为周期性的。如果是，确定其周期。 （2）)6 3cos()443cos()(2ππππ+++=k k k f （5）)sin(2cos 3)(5t t t f π+= 解： 1-6 已知信号)(t f 的波形如图1-5所示，画出下列各函数的波形。 （1）)()1(t t f ε- （2）)1()1(--t t f ε （5） )21(t f - （6）)25.0(-t f （7）dt t df ) ( （8）dx x f t ?∞-)( 解：各信号波形为 （1）)()1(t t f ε- （2） )1()1(--t t f ε （5）)21(t f -
第三章 平面与空间直线 § 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面； （3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1）Θ }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： 一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又}3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为： 一般方程为：0745910=-++z y x 。 （ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB ， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式：
042:=+-+z y x π. 解： π与三个坐标轴的交点为：)4,0,0(),0,20(),0,0,4(--， 所以，它的截距式方程为： 14 24=+-+-z y x . 又与所给平面方程平行的矢量为：}4,0,4{},0,2,4{-， ∴ 所求平面的参数式方程为： 3.证明矢量},,{Z Y X =平行与平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： 0=++CZ BY AX . 证明： 不妨设0≠A ， 则平面0=+++D Cz By Ax 的参数式方程为： 故其方位矢量为：}1,0,{},0,1,{A C A B --， 从而v 平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： ，}1,0,{},0,1,{A C A B -- 共面? ? 0=++CZ BY AX . 4. 已知连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ，求B 点的z 坐标. 解： Θ }5,2,3{z +-= 而平行于0147=--+z y x 由题3知：0)5(427)3(=+-?+?-z 从而18=z . 5. 求下列平面的一般方程. ⑴通过点()1,1,21-M 和()1,2,32-M 且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点()4,2,3-M 且在x 轴和y 轴上截距分别为2-和3-的平面;
一、信号的傅里叶变换对 ?傅氏正变换 ?傅氏反变换 二、欧拉公式 三、常用信号傅里叶变换 1、第1组---时域：模拟单频信号 ?傅里叶变换： ) (ω δ πA A ? t t f F t d e)( ) (jω ω- ∞ ∞ - ?= ω ωωd e) ( 2 1 )(j t F t f?∞∞-π = 00 00 j j j j 1 cos(e e) 2 1 sin(e e) 2j t t t t t t ωω ωω ω ω - - =+ =- []) ( ) ( cos ω ω δ ω ω δ π ω- + + ? t 1 t )(t δ ω t )(t δ 时域单位冲激函数及频谱 t ω t ) (ω δ ) ( 2ω δ πA 时域直流函数及频谱 正弦、余弦函数及频谱
? 频谱图： ? 物理含义：类似于直流信号，都是只含某一个频率的频率分量，所以它们 的密度频谱都是冲激函数。 2、第2组 时域： 数字信号 ? 单位冲激序列函数 为 周期且 波形图 频谱图 ? 单脉冲信号 波形图 频谱图 [] )()(sin 000ωωδωωδπω--+ ?j t t e 0j ωt 0cos ω t 0sin ω∑∞ -∞=-=n T nT t t ) ()(δδ0 2ωπ=T T ∑∑∞ -∞ =∞ -∞=-=-?n n T n n T t ) ()(12)(000ωωδωωωδπδ()a () b ) 2 ( Sa )()(00ωτ τω=?F t f
周期矩形脉冲( 幅度为 1 、宽度为τ、周期为 T ) 的傅立叶变换。 波形图 四、傅里叶变换的几个重要结论（性质） （1）带宽受限于无限 时域受限 频域无限 频域受限 时域无限 （2）时域卷积与频域卷积 )()()()(2121ωωF F t f t f ??* )()()()(2121t f t f F F ??*ωω （3）尺度展缩 ∑∑∞ -∞=∞ -∞=-=-? n n T n n n n T t f )()2(Sa )()2(Sa 2)(00000ωωδτωτωωωδτωπτ 2 τ 2 -2 2
解析几何第四版吕林根 课后习题答案 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
第三章 平面与空间直线 § 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面； （3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1） }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： 一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又 }3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为： 一般方程为：0745910=-++z y x 。 （ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB ， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式：