25.3解直角三角形
第1题.如图，在观测点E 测得小山上铁塔顶A 的仰角为60 ，铁塔底部B 的仰角为45
．已知塔高
20m AB =，观测点E 到地面的距离35m EF =，求小山BD 的高（精确到0.1m 3 1.732，≈）．
第2题.如图，身高1.6m 的小丽用一个两锐角分别为30
和60
的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m ，那么这棵树高大约为 ．（结果精确到0.1m ，其中3 1.73≈，小丽眼睛距离地面高度近似为身高）
第3题.某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A 测得某岛C 在北偏东60
方向上，航行半小时后到达点B ，测得该岛在北偏东30
方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁 （1）试说明点B 是否在暗礁区域外？
（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由． A B
E
F
D
60 C
E
A
B
东
北
30o
第4题.如图，小岛A 在港口P 的南偏西45 方向，距离港口81海里处．甲船从A 出发，沿AP 方向以9海里／时的速度驶向港口，乙船从港口P 出发，沿南偏东60 方向，以18海里／时的速度驶离港口．现两船同时出发，
（1）出发后几小时两船与港口P 的距离相等？
（2）出发后几小时乙船在甲船的正东方向？（结果精确到0.1小时）（参考数据：2 1.41≈，3 1.73≈）
第5题.如图，在一个坡角为15
的斜坡上有一棵树，高为AB ．当太阳光与水平线成50
时，测得该树在斜坡上的树影BC 的长为7m ，求树高．（精确到0.1m ）
P
45 60
北 东
A
第6题.如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a 经过三个景点A
B C ，，．景区管委会又开发了风景优美的景点D ．经测量景点D 位于景点A 的北偏东30
方向8km 处，位于景点B 的正北方向，还位于景点C 的北偏西75
方向上．已知5km AB =．
（1）景区管委会准备由景点D 向公路a 修建一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长．（结果精确到0.1km ）
（2）求景点C 与景点D 之间的距离．（结果精确到1km ）
（参考数据：3 1.73=，5 2.24=，sin53cos370.80==
，sin37cos530.60==
，
tan53 1.33= ，
tan 370.75= ，sin 38cos520.62== ，sin 52cos380.79== ， tan380.78tan52 1.28== ，，sin750.97cos750.26tan 75 3.73=== ，，．）
第7题. 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=
，45C ∠=
，BE CD ⊥于点E ，1AD =，22CD =． 求：BE 的长． 北
东 北
30
A
B
C
D
a
Ａ
Ｄ Ｅ
Ｃ
Ｂ
第8题.如图所示，在一笔直的公路MN 的同一旁有两个新开发区A B ，，已知10AB =千米，直线AB 与公
路MN 的夹角30AON =
∠，新开发区B 到公路MN 的距离3BC =千米．
（1）求新开发区A 到公路MN 的距离；
（2）现要在MN 上某点P 处向新开发区A B ，修两条公路PA
PB ，，使点P 到新开发区A B ，的距离之和最短．请你用尺规作图在图中找出点P 的位置（不用证明，不写作法，保留作图痕迹），并求出此时PA PB +的值．
第9题.如图，在某建筑物AC 上，挂着“多彩贵州”的宣传条幅BC ，小明站在点F 处，看条幅顶端B ，测得仰角为30
；再往条幅方向前行20米到达点E 处，看条幅顶端B ，测得仰角为60
．求宣传条幅BC 的长．（小明的身高忽略不计，结果精确到0.1米）
A
B
C
N
M
O 30
30
60 F
E
C
A
B
第10题.菏泽市在城市建设中，要折除旧烟囱AB （如图所示），在烟囱正西方向的楼CD 的顶端C ，测得
烟囱的顶端A 的仰角为45 ，底端B 的俯角为30
，已量得21m DB ．
（1）在原图上画出点C 望点A 的仰角和点C 望点B 的俯角，并分别标出仰角和俯角的大小．
（2）拆除时若让烟囱向正东倒下，试问：距离烟囱东方35m 远的一棵大树是否被歪倒的烟囱砸着？请说明理由．
第11题.如图，某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，与地面的夹角BPC ∠为30
，窗户的一部分在教室地面所形成的影长PE 为3.5米，窗户的高度AF 为2.5米．求窗外遮阳蓬外端一点D 到窗户上椽的距离
AD ．（结果精确0.1米）
B
D C
A
A
D B F
C
E
P
30
第12题.小红同学想测量河对岸一通信塔的高度，她先在点A 处测得塔顶D 的仰角为30
，这时她再往正前方前进20米到点B ，又测得塔顶D 的仰角为45
，请你帮她算一算塔CD 的高（答案保留根号）．
第13题.某科技馆座落在山坡M 处，从山脚A 处到科技馆的路线如图所示．已知A 处海拔高度为103.4m ，
斜坡AB 的坡角为30 ，40m AB =，斜坡BM 的坡角为18
，60m BM =，那么科技馆M 处的海拔高
度是多少？（精确到0.1m ）
（参考数据：sin180.309=
cos180.951=
tan180.324=
cot18 3.08=
） A B C
D
30 45
30
18
Ａ
Ｂ
Ｍ
第14题.如图，小鹏准备测量学校旗杆的高度．他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB 的影子恰好落在水平地面BC 和斜坡坡面CD 上，测得旗杆在水平地面上的影长20BC =米，在斜坡坡面上的影长8CD =米，太阳光线AD 与水平地面成30
角，且太阳光线AD 与斜坡坡面CD 互相垂直．请你帮小鹏求出旗杆AB 的高度（精确到1米）．
（可供选用数据：取2 1.4=，3 1.7=）
第15题.为测量某塔AB 的高度，在离该塔底部20米处目测其顶，仰角为60
，目高1.5米，试求该塔的高度(3 1.7)≈． Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ａ
A
B
D
C
1.5
60
第16题.如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a 经过三个景点A
B C ，，．景区管委会又开发了风景优美的景点D ．经测量景点D 位于景点A 的北偏东30
方向8千米处，位于景点B 的正北方向，还位于景点C 的
北偏西75
方向上．已知5AB =千米．
（1）景区管委会准备由景点D 向公路a 修建一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1千米）
（2）求景点C 与景点D 之间的距离．（结果精确到1千米）
（参考数据：3 1.73=，5 2.24=，sin53cos370.80==
，sin37cos530.60==
，
tan53 1.33= ，
tan 370.75= ，sin 38cos520.62== ，sin 52cos380.79== ， tan380.78tan52 1.28== ，，sin750.97cos750.26tan 75 3.73=== ，，．）
第17题.小明想测量校园内一棵不可攀的树的高度．由于无法直接度量A B ，两点间的距离，请你用学过的数学知识按以下要求设计一种测量方案． （1）画出测量图案；
（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；
（3）计算A B ，间的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）．
北
东 北
30
A
B C
D
a
第18题.如图，某人在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点C 的仰角为60 ，沿山坡向上走到P 处再测得点C 的仰
角为45 ，已知100OA =米，山坡坡度为12（即1
tan 2PAB ∠=）且O A B ，，在同一条直线上．求电视塔OC
的高度以及此人所在位置点P 的铅直高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）
第19题.如图，山顶建有一座铁塔，塔高80BC =米，测量人员在一个小山坡的P 处测得塔的底部B 点的仰角为45
，塔顶C 点的仰角为60
．已测得小山坡的坡角为30
，坡长40MP =米．求山的高度AB （精确到1米）．（参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈）
A
B 水平地面
60
45 C
O
P
山坡
C
P
B
A
M
参考答案
第1题.如图，在观测点E 测得小山上铁塔顶A 的仰角为60 ，铁塔底部B 的仰角为45
．已知塔高
20m AB =，观测点E 到地面的距离35m EF =，求小山BD 的高（精确到0.1m 3 1.732，≈）．
答案：解：如图，过点E 作EG AD ⊥于点G ． 由已知，得
60AEG = ∠，45BEG = ∠．
在Rt BEG △中，BG EG =． 在Rt AEG △中，由tan AG
AEG EG
=
∠，得 33AG EG BG ==，
又20AG AB BG BG =+=+，
320BG BG ∴=+，即20
10(31)31
BG =
=+-． 35BD BG GD GD EF =+==，， 10(31)35BD ∴=++
27.323562.3262.3(m)+=≈≈．
答：小山BD 的高约为62.3m ．
第2题.如图，身高1.6m 的小丽用一个两锐角分别为30
和60
的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m ，那么这棵树高大约为 ．（结果精确到0.1m ，其中3 1.73≈，小丽眼睛距离地面高度近似为身高） 答案：5.1m
第3题.某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A 测得某岛C 在北偏东60
方向上，航行半小时后到达点B ，测得该岛在北偏东30
方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁
A
B
E
F D
A B
E
D
F
G
（1）试说明点B 是否在暗礁区域外？
（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．
答案：（1）过点B 作BD AE ∥，交AC 于点D
360.518AB =?= （海里）
6030ADB DBC == ∠，∠ 30ACB ∴= ∠
又30CAB BC AB =∴=
∠，
即1816BC AB ==>
∴点B 在暗礁区域外
（2）过点C 作CH AB ⊥，垂足为H
在Rt CBH △中，30BCH =
∠ 令BH x =，则3CH x = 在Rt ACH △中，30CAH = ∠
()
3333tan 30CH
AH CH x x ∴=
===
AH AB BH =+ ，318x x ∴=+
解得9x =
9316CH =<
∴船继续向东航行有触礁的危险
第4题.如图，小岛A 在港口P 的南偏西45 方向，距离港口81海里处．甲船从A 出发，沿AP 方向以9海里／时的速度驶向港口，乙船从港口P 出发，沿南偏东60 方向，以18海里／时的速度驶离港口．现两船同时出发，
（1）出发后几小时两船与港口P 的距离相等？
（2）出发后几小时乙船在甲船的正东方向？（结果精确到0.1小时）（参考数据：2 1.41≈，3 1.73≈） 60 C
E
A
B
东
北 30o
答案：解：（1）设出发后x 小时两船与港口P 的距离相等．
根据题意，得81918x x -=． 解这个方程，得3x =．
∴出发后3小时两船与港口P 的距离相等．
（2）设出发后x 小时乙船在甲船的正东方向．此时甲、
乙两船的位置分别在点C D ，处．连接CD ．过点P 作PE CD ⊥，垂足为E ．则点E 在点P 的正南方向． 在Rt CEP △中，45CPE ∠= ， cos 45PE PC ∴= ·．
在Rt PED △中，60EPD ∠= ， cos60PE PD ∴= ·．
cos45cos60PC PD ∴= ··．
(819)cos4518cos60x x ∴-= ··．
解这个方程，得 3.7x ≈．
∴出发后约3.7小时乙船在甲船的正东方向．
第5题.如图，在一个坡角为15
的斜坡上有一棵树，高为AB ．当太阳光与水平线成50
时，测得该树在斜坡上的树影BC 的长为7m ，求树高．（精确到0.1m ）
答案：解：如图，过点C 作水平线与AB 的延长线交于点D ，则AD CD ⊥．
P
45
60 北
东
A
P
D
E C 45 60
北 东
A
15BCD ∴= ∠，50ACD = ∠．分
在Rt CDB △中，7cos15CD =? ，7sin15BD =?
． 在Rt CDA △中，tan507cos15tan50AD CD =?=??
．
AB AD BD ∴=-
()
7cos15tan 507sin15=??-?
(
)7cos15tan 50sin15=?-
6.2(m)≈． 答：树高约为6.2m ．
第6题.如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a 经过三个景点A
B C ，，．景区管委会又开发了风景优美的景点D ．经测量景点D 位于景点A 的北偏东30
方向8km 处，位于景点B 的正北方向，还位于景点C 的北偏西75
方向上．已知5km AB =．
（1）景区管委会准备由景点D 向公路a 修建一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长．（结果精确到0.1km ）
（2）求景点C 与景点D 之间的距离．（结果精确到1km ）
（参考数据：3 1.73=，5 2.24=，sin53cos370.80== ，sin37cos530.60==
，
tan53 1.33= ，
tan 370.75= ，sin 38cos520.62== ，sin 52cos380.79== ， tan380.78tan52 1.28== ，，sin750.97cos750.26tan 75 3.73=== ，，．）
答案：解：（1）如图，过点D 作DE AC ⊥于点E ， 过点A 作AF DB ⊥，交DB 的延长线于点F ．
在Rt DAF △中，30ADF =
∠，11
8422
AF AD ∴=
=?=． 22228443DF AD AF ∴=-=-=．
在Rt ABF △中，
15
C D
B 7m
50
A 北
东 北
30
A
B
C
D
a D
a
2222543BF AB AF =-=-=． 433BD DF BF ∴=-=-．
4
sin 5
AF ABF AB =
=∠． 在Rt DBE △中，sin DE
DBE BD
=
∠， ABF DBE = ∠∠，
4sin 5
DBE ∴=
∠． 416312
sin (433) 3.1(km)55
DE BD DBE -∴==?-= ∠≈．
∴景点D 向公路a 修建的这条公路的长约是3.1km ．
（2）由题意可知75CDB =
∠， 由（1）可知4
sin 0.85
DBE =
=∠，所以53DBE = ∠， 180755352DCB ∴=--= ∠，
在Rt DCE △中，sin DE
DCE DC
=
∠， 3.1
4(km)sin 520.79
DE DC ∴=
≈≈． ∴景点C 与景点D 之间的距离约为4km ．
第7题. 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=
，45C ∠=
，BE CD ⊥于点E ，1AD =，22CD =． 求：BE 的长．
解：答案：解：如图，过点D 作DF AB ∥交BC 于点F ． 因为AD BC ∥，
所以四边形ABFD 是平行四边形． 所以1BF AD ==． 由DF AB ∥，
得90DFC ABC ∠=∠=
．
在Rt DFC △中，45C ∠= ，22CD =， 由cos CF
C =
， Ａ
Ｄ Ｅ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ Ｅ
Ｃ
Ｂ Ｆ
求得2CF =．
所以3BC BF FC =+=． 在BEC △中，90BEC ∠=
， sin BE
C BC
=． 求得3
22
BE =
． 第8题.如图所示，在一笔直的公路MN 的同一旁有两个新开发区A B ，，已知10AB =千米，直线AB 与公
路MN 的夹角30AON =
∠，新开发区B 到公路MN 的距离3BC =千米．
（1）求新开发区A 到公路MN 的距离；
（2）现要在MN 上某点P 处向新开发区A B ，修两条公路PA
PB ，，使点P 到新开发区A B ，的距离之和最短．请你用尺规作图在图中找出点P 的位置（不用证明，不写作法，保留作图痕迹），并求出此时PA PB
+的值．
答案：解：（1）330BC AOC ==
，∠， 6OB ∴=
过点A 作AE MN ⊥于点E ，16AO AB OB =+=， 8AE ∴=．
即新开发区A 到公路的距离为8千米． （2）画图正确．
过D 作DF AE ⊥的延长线（点D 是点B 关于MN 的对称点），垂足为F ，则3EF CD BC ===
11AF AE EF AE BC =+=+=
过B 作BG AE ⊥于G B G D F
∴=
c o s 30
53
B G A B == (
)2
22
2
11
5
3
19614A D A F D F ∴=
+
=+==，
连结PB ，则PB PD =，
14P A P B
P A P D A D ∴+=+==（千米）．
A
B
C
N
M
O 30
第9题.如图，在某建筑物AC 上，挂着“多彩贵州”的宣传条幅BC ，小明站在点F 处，看条幅顶端B ，测得仰角为30
；再往条幅方向前行20米到达点E 处，看条幅顶端B ，测得仰角为60
．求宣传条幅BC 的长．（小明的身高忽略不计，结果精确到0.1米）
答案：解：30BFC =
∠，60BEC =
∠，90BCF =
∠，
30EBF EBC ∴== ∠∠， 20BE EF ∴==．
在Rt BCE △中，3
sin 602017.32
BC BE ==?≈
（m ） 答：宣传条幅BC 的长约为17.3米．
第10题.菏泽市在城市建设中，要折除旧烟囱AB （如图所示），在烟囱正西方向的楼CD 的顶端C ，测得
烟囱的顶端A 的仰角为45 ，底端B 的俯角为30
，已量得21m DB =．
（1）在原图上画出点C 望点A 的仰角和点C 望点B 的俯角，并分别标出仰角和俯角的大小．
（2）拆除时若让烟囱向正东倒下，试问：距离烟囱东方35m 远的一棵大树是否被歪倒的烟囱砸着？请说明理由．
答案：解：（1）
（2）在Rt AGC △中，45ACG =
∠．
()21m AG CG DB ∴===，
30
60 F
E
C
A
B
30
60
F
E
C
A
B
B
D C
A
A
B
C
G 30
45 D
在Rt BCG △中，()3
tan 30tan 302173m 3
BG CG DB ===?
=
， ∴烟囱高()()2173m 33.124m AB =+≈，
33.12435m m < ，∴这棵大树不会被歪倒的烟囱砸着．
第11题.如图，某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，与地面的夹角BPC ∠为30
，窗户的一部分在教室地面所形成的影长PE 为3.5米，窗户的高度AF 为2.5米．求窗外遮阳蓬外端一点D 到窗户上椽的距离
AD ．（结果精确0.1米）
答案：方法一：
过点E 作EG AC ∥交BP 于点G ，
EF DP ∥ ∴四边形BFEG 是
，
在Rt PEG △中， 3.530PE P ==
，∠，tan EG
EPG EP
=
∠ tan 3.5tan30 2.02EG EP ADB ∴==? ∠≈（或73
6
EG =
） 又 四边形BFEG 是
， 2.02BF EG ∴==
2.5 2.020.48AB AF BF ∴=-=-=（或1573
6
AB -=
） 又30AD PE BDA P ==
∥，∠∠，
在Rt BAD △中，tan 30AB
AD
=
，
0.483tan 30AB AD ∴==? （或537
2
AD -=）0.8≈，
∴所求的距离AD 约为0.8米．
方法二：
在Rt BAD △中，设3
tan 303AD x AB AD x ===
，， 3
A
D B F
C
E
P 30
A
D B
F
C
E
P
30
G
在Rt PCB △中，332.5 3.533
BC y x PC y =+
-=+， AD PE ∥ R t R t
D A B
P C B ∴△∽△ A B
C B A
D P C
∴
= 3332.53333.5x y x
x y +-∴=+化简得：332.5 3.533
x =-?
解答：0.8x ≈（米） 方法三：
过点F 作PC 的平行线，
第12题.小红同学想测量河对岸一通信塔的高度，她先在点A 处测得塔顶D 的仰角为30
，这时她再往正前方前进20米到点B ，又测得塔顶D 的仰角为45
，请你帮她算一算塔CD 的高（答案保留根号）．
答案：解：设塔高CD x =米，则BC CD x ==米
3tan 320CD x
A AC x
=∴=
+，． 10310x ∴=+．
答：塔CD 的高为(10310)+米．
第13题.某科技馆座落在山坡M 处，从山脚A 处到科技馆的路线如图所示．已知A 处海拔高度为103.4m ，
斜坡AB 的坡角为30 ，40m AB =，斜坡BM 的坡角为18
，60m BM =，那么科技馆M 处的海拔高度
是多少？（精确到0.1m ）
（参考数据：sin180.309=
cos180.951=
tan180.324=
cot18 3.08=
）
答案：解：过B 向水平线AC 作垂线BC ，垂足为C ，过M 向水平线BD 作垂线MD ，垂足为D （如右图），则
11
402022
BC AB =
=?=． sin18MD BM =
A B C
D
30 45
30
18
Ａ
Ｂ
Ｍ
30
18
Ｂ
Ｍ
D
600.309=? 18.54=．
∴科技馆M 处的海拔高度是：103.42018.54141.94141.9(m)++=≈．
第14题.如图，小鹏准备测量学校旗杆的高度．他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB 的影子恰好落在水平地面BC 和斜坡坡面CD 上，测得旗杆在水平地面上的影长20BC =米，在斜坡坡面上的影长8CD =米，太阳光线AD 与水平地面成30
角，且太阳光线AD 与斜坡坡面CD 互相垂直．请你帮小鹏求出旗杆AB 的高度（精确到1米）．
（可供选用数据：取2 1.4=，3 1.7=）
答案：解：延长AD ，BC 相交于点E ，则30E ∠=
，，16CE =∴． 在ABE △Ａ中，36BE BC CE =+=
，由tan AB
AEB BE
∠=
， 得3
3612312 1.7203
AB =?==?≈ 答：
第15题.为测量某塔AB 的高度，在离该塔底部20米处目测其顶，仰角为60
，目高1.5米，试求该塔的高度(3 1.7)≈．
答案：解：如图所示，过点C 作CD AB ⊥，交AB 于点D ． 在Rt ADC △中，902060ADC CD ACD ===
，，∠∠， 所以，tan 603420
AD
AD =
，≈． 所以，34 1.535.5AB AD DB =+=+=（米）． Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ａ
A
B
D C
1.5
60
第16题.如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a 经过三个景点A
B C ，，．景区管委会又开发了风景优美的景点D ．经测量景点D 位于景点A 的北偏东30
方向8千米处，位于景点B 的正北方向，还位于景点C 的
北偏西75
方向上．已知5AB =千米．
（1）景区管委会准备由景点D 向公路a 修建一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1千米）
（2）求景点C 与景点D 之间的距离．（结果精确到1千米）
（参考数据：3 1.73=，5 2.24=，sin53cos370.80==
，sin37cos530.60==
，
tan53 1.33= ，
tan 370.75= ，sin 38cos520.62== ，sin 52cos380.79== ， tan380.78tan52 1.28== ，，sin750.97cos750.26tan 75 3.73=== ，，．）
答案：解：（1）如图1，过点D 作DE AC ⊥于点E 过点A 作AF DB ⊥，交DB 的延长线于点F
在Rt DAF △中，30ADF =
∠，11
8422
AF AD ∴=
=?= 22228443DF AD AF ∴=-=-=
在Rt ABF △中222
2
543BF AB AF =
-=-=
433BD DF BF ∴=-=-
4
sin 5
AF ABF AB =
=∠ 在Rt DBE △中，sin DE
DBE BD
=
∠ ABF DBE = ∠∠4
sin 5
DBE ∴=∠
()
416312
sin 433 3.155
DE BD DBE -∴==?-=≈ ∠（千米）
答：景点D 向公路a 修建的这条公路的长约是3.1千米 （2）由题意可知75CDB =
∠
北
东 北
30 A
B C
D
a
北
30
A
B
C D
a
图1
F E
《解直角三角形》复习及中考题型练习 一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示：∵∠C=90°∴∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 几何表示：∵∠C=90°∠A=30°∴BC=2 1 AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何表示：∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=2 1AB=BD=AD 4、勾股定理：222c b a =+ 5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。 即：∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD ?=2 AB AD AC ?=2 AB BD BC ?=2 6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。（a b c h ?=?） 由上图可得：AB ?CD=AC ?BC 二、锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中，∠C=90° c a sin =∠= 斜边的对边A A c b cos =∠= 斜边的邻边A A b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0， 三、特殊角的三角函数值（熟记） 四、 解直角三角形 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 三种基本关系：1:、边边关系：2 2 2 a b c += 2、角角关系：∠A+∠B=90° 3、边角关系：即四种锐角三角函数 类型 已知条件 解法 两边 两直角边a 、b 2 2 c a b =+，tan a A b = ，90B A ∠=?-∠ 直角边a ，斜边c 22 b c a =-，sin a A c =，90B A ∠=?-∠ 一边 一锐角 直角边a ，锐角A 90B A ∠=?-∠，cot b a A =，sin a c A = 斜边c ，锐角A 90B A ∠=?-∠，sin a c A =g ，cos b c A =g 五、对实际问题的处理 （1）俯、仰角. （2）方位角、象限角. （3）坡角（是斜面与水平面的夹角）、坡度（是坡角的正切值）. 仰角 俯角 北 东 南 α h L i i=h/L=tg α A C B D
课 题 解直角三角形 授课时间： 备课时间： 教学目标 1. 了解勾股定理 2. 了解三角函数的概念 3. 学会解直角三角形 重点、难点 三角函数的应用及解直角三角形 考点及考试要求 各考点 教学方法：讲授法 教学内容 （一）知识点（概念）梳理 考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ?BC= 2 1AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ?CD=2 1 AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC 7.图中角α可以看作是点A 的 角 也可看作是点B 的 角； （1）
9、（1）坡度（或坡比）是坡面的 铅直 高度（h ）和水平长度（l ）的比。 记作i,即i = l h ； （2）坡角——坡面与水平面的夹角。记作α，有i ＝l h =tan α （3）坡度与坡角的关系：坡度越大，坡角α就越 大 ，坡面就越 陡 考点二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即 c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即 c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即 b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即a b cot =∠∠=的对边的邻边A A A 2、锐角三角函数的概念 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sinα 21 22 23 1 cos α 1 23 2 2 21 0 tan α 0 33 1 3 不存在 cot α 不存在 3 1 3 3 0 4、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系 1cos sin 22=+A A （3）倒数关系 tanA ?tan(90°—A)=1
人教版九年级数学下册解直角三角形同步 练习1 1．=?-2)30tan 31( _________ [ ] A ．31-- B ．3+1 C ． 3－1 D ．1－3 2． 直角三角形两锐角的正切函数的积为 __________． [ ] A ．2 B ．1 C ．42 D ． 3 5 3． 在△A BC 中,∠C =90°,AC =2,BC =1,那么c os B = __________．[ ] A ．52 B ． 53 C ．54 D ． 5 5 4．在△ABC 中,CD ⊥AB 于 D ．则sin ∠ACD =________; cot ∠BCD =_________ 5． 在△ABC 中,∠C =90°,设AC =b ．若b 等于斜边中线的 3 4,则△ABC 的最小角的正弦=________,较大锐角的余切=______． 6． 在Rt △ABC 中,∠C =90°,若sin A 是方程52x -14x +8=0的一个根,求sin A ,t anA ． 7﹨ 等腰三角形一腰上的高为1，且这条高与底边的夹角的正弦值为 2 3，求该直角三角形的面积。 8﹨（1）求边长为8，一内角为120°的菱形的面积。
（2）在△ABC 中，∠A=75°，∠B=60°，AB=22，求AC 的长。 答案：1．C 2．B 3．C 4．DB CD AC AD 5．552,32 6． 解：∵sin A 是方程52x -14x +8=0的一个根 则5A 2sin -14sin A +8=0 ∴sin A =5 4，sin A =2（舍去） tan A =3 4 7﹨3 3 8﹨ （1）323 （2）23
《解直角三角形》 一、选择题：（满分24分） 1．在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，则tan A 的值是（ ） A ．45 B ．35 C ．43 D ．34 2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝ ，则sin B 的值为（ ） A ． B ．513 C ． D ． 3. 已知0°＜α＜90°，则m ＝sin α＋cos α的值（ ） A ．m ＞1 B ．m ＝1 C ．m ＜1 D ．m ≥1 4.在ABC △中，若23sin (1tan )02 A B -+-=，则C ∠的度数是（ ） A ．45? B ． 60? C ．75? D ．105? 5. 如果直线2y x =与x 轴正半轴的夹角为α，那么下列结论正确的是（ ） A. sin 2α= B. cos 2α= C. tan 2α= D. 1tan 2 α= 6.如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为（ ） A ．13 B ．12 C ．22 D ．3 7. 如图，坡角为30的斜坡上两树间的水平距离AC 为2m ，则坡面距离AB 为（ ） Ａ．4m 3 43 Ｄ．43 8. 如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度1:1.5i =，则坝底AD 的长度为( )
A ．26米 B ．28米 C ．30米 D ．46米 第6题图 第7题图 第8题图 二、填空题：（每小题3分，共24分） 9. 在Rt △ABC 中,∠C ＝90o，BC ＝5，AB ＝13，sin A ＝_________. 10.计算：=?+0030cos 60tan 45sin 2 ＝ ． 11.如图，在地面上的点A 处测得树顶B 的仰角为α度，AC ＝7米，则树高BC 为 米（用含α的代数式表示）． 12．如图，小明爬一土坡，他从A 处爬到B 处所走的直线距离AB ＝4米，此时，他离地面高度为h ＝2米，则这个土坡的坡角∠A ＝ ． 13．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A 出发，要到A 地的北偏东60°方向的C 处，他先沿正东方向走了200米到达B 地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C (如图)，那么，由此可知，B C 、两地相距 米. 第11题图 第12题图 第13题图 14．一架梯子AB 斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离是AC ＝3米，且3cos 4BAC ∠=，则梯子AB 的长度为 米. 15.如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝ ，则AB 的长为 ． 16.如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB ＝6，点C 是优弧 上一点（不与A ，B 重合），那么cos C ∠的值是 . 第15题图 第16题图 三、解答题（本大题共8个小题，满分52分）： 17. （本题4分）计算：00(32)4sin 60223-+-- 18.（本题4分） 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8．若∠BPC ＝12 ∠BAC ，试求tan ∠BPC 的值． 19.（本题6分）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD 方向前行10m ，到达B 点，在B 处测得树顶C 的仰角高度为60° （A 、B 、D 三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD 的高度（结果精确到0.1m ）．（参考数据：≈1.414，≈1.732） 20.（本题6分）如图，在Rt ?ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，过D 点作AB 的垂线交AC 于点E ，BC ＝6，5 3sin =A ，求DE. ＡＢ
解直角三角形练习题 一、 真空题： 1、 在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，则sinA= 2、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝,35cm BC cm = 则SinA= cosA= 3、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，SinA=5 4 ,AB=10,则BC ＝ 4、α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 若sin53018\=0.8018，则cos36042\= 5、 ∠B 为锐角，且2cosB －1＝0则∠B ＝ 6、在△ABC 中，∠C ＝900，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝9，b ＝12，则sinA= sinB= 7、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，tanA=0.5,则cotA= 8、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若b a 32=则tanA= 9．等腰三角形中，腰长为5cm ，底边长8cm ，则它的底角的正切值是 10、若∠A 为锐角，且tan 2A+2tanA －3＝0则∠A ＝ 11、Rt △ABC 中，∠A ＝600，c=8，则a ＝ ，b ＝ 12、在△ABC 中，若32=c ,b ＝3，则tanB= ,面积S ＝ 13、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝ 14、在△ABC 中，∠B ＝900，AC 边上的中线BD ＝5，AB ＝8，则tanACB=
二、选择题 1、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦值 （ ） A 、都扩大2倍 B 、都扩大4倍 C 、没有变化 D 、都缩小一半 2、若∠A 为锐角，且cotA ＜3，则∠A （ ） A 、小于300 B 、大于300 C 、大于450且小于600 D 、大于600 3、在Rt △ABC 中，已知a 边及∠A ，则斜边应为 （ ） A 、asinA B 、 A a sin C 、acosA D 、A a cos 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2：3，则顶角为（ ） A 、600 B 、900 C 、1200 D 、1500 5、在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有sinA ＝cosB ，则这个三角形是（ ） A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形 6、有一个角是300的直角三角形，斜边为1cm ，则斜边上的高为（ ） A 、41cm B 、21cm C 、43cm D 、2 3 cm
解直角三角形 练习1、（2013?十堰）如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为米． 2、（2013?钦州）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1： 是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比） （1）求点B距水平面AE的高度BH； （2）求广告牌CD的高度． （测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据： 1.414， 1.732） 3、兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一条小船垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角为∠FDC=30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG=1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i=4:3，坡长AB=8米，求此时小船C到岸边的距离AC的长
4、在1998年的特大洪水期间，为了加固一段大堤，需运来沙石和土将大堤堤面加宽1米，使背水坡的坡度由原来的1：2变为1：3,已知原来背水坡的坡长为BC=15米，堤长100米，那么需要的沙石和土多少方？ 5、如图，某县为了加固长90米，宽5米，坝顶宽4米的迎水坡和背水坡的坡度都是1:1的横断面是梯形的防洪大坝，要将大坝加高1米，背水坡的坡度改为1:1.5，已知坝顶宽不变，要求大坝横截面的面积增加了多少平方米？共要填充多少立方米的土？ 6、（2013?眉山）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：． （1）求加固后坝底增加的宽度AF； （2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）
解直角三角形单元测试题 班级__________姓名__________ 分数__________ 一、填空题(每题3分，共30分) 1．若直角三角形两条直角边长分别为5和12，则斜边上的中线长为________. 2．若等腰直角三角形的一边长是2，则它的面积为___________. 3．△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝6，b ＝8，则sinA ＝_____________. 4．在△ABC 中，∠C ＝90°，13 5 sin =B ，则cosB ＝___________. 5．若2 3 sin = a ，则锐角a ＝__________度. 6．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，220,20==c a ，则∠B ＝_________度． 7．△ABC 中，∠C ＝90°，10,5 4 sin == AB A ，则AC ＝_________. 8．在离大楼15m 的地面上看大楼顶部仰角为65°，则大楼高约__________m(精确到lm)． 9．在电线杆离地面8m 的地方向地面拉一条缆绳以固定电线杆，如果缆绳与地面成60°角，那么需要缆绳__________m(忽略打结部分)． 10．一个斜坡的坡度是1：3，高度是4m ，则他从坡底到坡顶部所走的路程大约是___________m(精确到0.1m)． 二、选择题(每题3分，共15分) 11．直角三角形的两条边长分别为3、4，则第三条边长为 ( ) A ．5 B ．7 C ．7 D ．5或7 12．如图，菱形ABCD 的对角线AC ＝6，BD ＝8，∠ABD ＝a ，则下列结论正确的是 ( ) (12题) （13题） A ．54sin =a B ．53cos =a C ．34tan =a D ．3 4 cot =a 13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AC ＝3，CD ⊥AB 于D ，设∠ACD ＝a ，则cos a 的值为 ( ) A ．54 B ．43 C ．34 D ．5 3 14．△ABC 中，∠C ＝90°，且a ≠b ，则下列式子中，不能表示△ABC 面积的是 ( ) A ．ab 21 B ．B ac sin 21 C ．A b tan 212 D ．B A c cos sin 2 1 2? 15．如图，钓鱼竿AC 长6m ，露在水面上的鱼线BC 长23m ，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 转动到C A '的位置，此时露在水面上的鱼线C B ''为33，则鱼竿转过的角度是 ( ) A ．60° B ．45° C ．15° D ．90° 三、解答题(共75分) 16．计算（每题5分，共10分） (1)2cos30°+cot60°-2tan45°·tan60°
解直角三角形 一、选择题 1、如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ） (A)．1 (B)．2 (C)．22 (D)．22 2、如果α是锐角，且54 cos =α，那么αsin 的值是（ ）． （A ）259 （B ） 54 （C ）53 （D ）2516 3、等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）． （A ）513 （B ）12 13 （C ）1013 （D ）5 12 4、. 以下不能构成三角形三边长的数组是 ( ) （A ）（1，3，2） （B ）（3，4，5） （C ）（3，4，5） （D ）（32，42，52） 5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列式子中正确的是（ ）． （A ）B A sin sin = （B ）B A cos sin = （C ）B A tan tan = （D ）B A cot cot = 6、在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且53 cos =α, AB = 4, 则AD 的长为（ ）． （A ）3 （B ）316 （C ）320 （D ）516 7、某市在“旧城改造”中计划在一 块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美 化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元 8、已知α为锐角，tan （90°－α）=3，则α的度数为（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75° 9、在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AB =13，则sin A 的值是( ) （A ）135 （B ）1312 （C ）125 （D ）512 10、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ）．
解直角三角形 一.选择题 1．（2018·重庆市B卷）（4.00分）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75.坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（） A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米 【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°=，构建方程即可解决问题； 【解答】解：作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N． 在Rt△CDN中，∵==，设CN=4k，DN=3k， ∴CD=10， ∴（3k）2+（4k）2=100， ∴k=2， ∴CN=8，DN=6， ∵四边形BMNC是矩形， ∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66， 在Rt△AEM中，tan24°=， ∴0.45=， ∴AB=21.7（米）， 故选：A． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出
直角三角形是解答此题的关键． 2．（2018·吉林长春·3分）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A.B在同一水平面上）．为了测量A.B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A.B两地之间的距离为（） A．800sinα米B．800tanα米C．米D．米 【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=，即可解决问题；【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米， ∴tanα=，∴AB==．故选：D． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．（2018·江苏常州·2分）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是（） A．B．C．D． 【分析】如图，连接AD．只要证明∠AOB=∠ADO，可得sin∠AOB=sin∠ADO==； 【解答】解：如图，连接AD． ∵OD是直径， ∴∠OAD=90°，
九年级下册数学解直角三角形同步 练习3 一·选择题 1. 一个人从山下沿30°角的坡路登上山顶,共走了500m,那么这山的高度是 [ ]m. A.230 B.240 C.250 D.260 2. 一个人从A点出发向北偏东60°方向走了一段距离到达B点,再从B点出发向南偏东15°方向走了一段距离到C点,则∠ABC的度数为 [ ] A.15° B.75° C.105° D.45° 3. 为了求河对岸建筑物AB的高,在地平面上测得基线CD=180米,在C点测得A点的仰角为30°,在地平面上测得∠BCD=∠BDC=45°,那么AB的高是[ ]米 . 4. 如图,一船向正北航行,看见正东有两个相距10海里的灯塔,船航行半小时后,一个灯塔在船的东南,另一个灯塔在船的东22°30′南,则船的速度(精确到0.1米)是[ ]米/ 时(tg22°30′=0.4142) A.12.1 B.13.1 C.14.1 D.15.1
5. 一只船向正东航行,上午7时在灯塔A的正北C处,上午9时到达塔的北偏东60°B 处,已知船的速度为每小时20千米,那么AB的距离是[ ]千米. 6. 如图：B处有一船,向东航行,上午9时在灯塔A的西南58.4千米的B 上午11时到达灯塔的南C处,那么这船航行的速度是[ ]千米/时. A.19.65 B.20.65 C.21.65 D.22.65 7. 如图：一只船以每小时20千米的速度向正东航行,起初船在A处看见一灯塔B在船的北偏东60°,2小时后,船在C处看见这个灯塔在船的北偏东45°,则灯塔B到船的航海线AC的距离是 [ ]千米. 二·填空题 一只船向东航行,上午9点到一座灯塔的西南68海里处,上午11点到达这座灯塔的正南,这只船航行的速度是_____________.(答案可带根号)
解直角三角形 本章知识结构梳理 一、锐角三角函数 1、梯子越陡——倾斜角＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——铅直高度与梯子的比＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——水平宽度与梯子的比＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——铅直高度与水平宽度的比＿＿＿＿ 2、直角三角形AB 1C 1 和直角三角形ABC 有什么关系? 边之间的关系呢？ 3、三角函数定义： 注意：sinA ，cosA ，tanA 都是一个完整的符号，单独的sin ，cos ，tan 是没有意义的，其中A 前面的“∠”一般省略不写 例1、把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A ，A ′的余弦值的关系为（ ） A ．cosA=cosA ′ B ．cosA=3cosA ′ C ．3cosA=cosA ′ D ．不能确定 例2、在△ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，则下列各项中正确的是（ ） A ．a=c ·sin B B ．a=c ·cosB C ．a=c ·tanB D ．以上均不正确 例3、在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA= 23 ，则tanB 等于（ ） 锐角三角函数 1锐角三角函数的定义 ⑴、正弦； ⑵、余弦； ⑶、正切。 2、30°、45°、60°特殊角的三角函数值。 3、各锐角三角函数间关系 ⑴、定义； ⑵、直角三角形的依据 ⑶、解直角三角形的应用。 ①、三边间关系； ②、锐角间关系； ③、边角间关系。
A ． 35 B ．3 C ．2 5 D ． 2 例4、已知：α是锐角，tan α= 7 24 ，则sin α=_____，cos α=_______． 4、取值范围：0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1，tanA ＞0 解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如在测量高度、距离、角度，确定方案时常用到解直角三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，常通过作辅助线构造直角三角形来解决。 坡度（坡比） 方向角度 俯角仰角 例6、如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB ?的值． 例7、如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB=BD ，根据此图求tan15°的值．
2019中考试题分类——解直角三角形 注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！ 1.〔2018江苏苏州，26，8分〕如图，斜坡AB 长60米，坡角〔即∠BAC 〕为30°，BC ⊥AC ， 现计划在斜坡中点D 处挖去部分坡体〔用阴影表示〕修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条新的斜坡BE .〔请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据〕. ⑴假设修建的斜坡BE 的坡角(即∠BAC )不大于45°,那么平台DE 的长最多为▲米； ⑵一座建筑物GH 距离坡脚A 点27米远〔即AG=27米〕，小明在D 点测得建筑物顶部H 的仰角(即 ∠HDM )为30°.点B 、C 、A 、G 、H 在同一个平面上，点C 、A 、G 在同一条直线上，且HG ⊥CG ，问建筑物GH 高为多少米？ 30°30°H M G D E F C B A 【答案】解：⑴11.0〔10.9也对〕. ⑵过点D 作DP ⊥AC ，垂足为P . 在Rt △DPA 中，，. 在矩形DPGM 中，，. 在Rt △DMH 中，. ∴. 答：建筑物GH 高为45.6米. 2、如图5，一天，我国一渔政船航行到A 处时，发现正东方 向的我领海区域B 处有一可疑渔船，正在以12海里∕小时的 速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60o方向航行， 1.5小时后，在我领海区域的C 处截获可疑渔船。问我渔政船 的航行路程是多少海里？(结果保留根号) 知识点考察：①解直角三角形，②点到直线的距离，③两角 互 余的关系④方向角，⑤特殊角的三角函数值。 能力考察：①作垂线，②逻辑思维能力，③运算能力。 分析：自C 点作AB 的垂线，垂足为D ，构建Rt △ACD ，
1.3 解直角三角形同步练习 ◆基础训练 1．如图1，在地面上用测角仪DF测得旗杆顶端A的仰角a=40°42′，已知F点到旗杆底端C的距离FC=17.71米，测角仪高DF=1.35米，则旗杆高AC约为（精确到0.01米）（） A．16.58米B．15.23米C．12.90米D．21.94米 图1 图2 图3 2．如图2，在山坡上种树，已知∠A=30°，AC=3?米，?则相邻两树的坡面距离AB为（） A．6米B C．D． 3．如图3，在一块三角形空地上种草皮绿化环境．已知AB=20米，AC=30米，??∠A=150°，草皮的售价为a元/米2，则购买草皮至少需要（） A．450a元B．225a元C．150a元D．300a元 4．如图4，沿AC方向开山修隧道，为了加快施工进度，?要在小山的另一边同时施工，从AC上取一点B 使∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55°，要使A，B，C，E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是（） A．500sin55°米B．500cos55°米C．500tan55°米D． 500 cos55 米 图4 图5 图6 图7 5．如图5，从某海岛上的观察所A测得海上某船B的俯角α=8°18′，?若观察所A距离海平面的垂直高度AC=50m，则船B到观察所A的水平距离BC等于________（?精确到1m）． 6．如图6，当太阳光与地面上的树影成45?°角时，?树影投射在墙上的影高CD等于2米，若树根到墙的距离BC等于8米，则树高AB等于______米． 7．如图7，一根竹竿垂直插在水中，露出水面部分长0.5米，若竹竿顶部偏离原地2米，此时竹竿顶恰好与水面齐平，那么水深______米，竹竿偏离角α≈______（精确到1度）． 8．在△ABO中，OA=OB=5，OA边上的高为4，将△ABO放在平面直角坐标系中，?使点O与原点重合，
解直角三角形练习题1 一. 选择题：（每小题2分，共20分） 1. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则cotE=（ ） A.43 B. 34 C. 53 D. 3 5 2. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ ） A. 21 B. 3 3 C. 1 D. 3 3. 在△ABC 中，若2 2cos =A ，3tan = B ，则这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 4. 如图18，在△EFG 中，∠EFG=90°，FH ⊥EG ，下面等式 中，错误的是（ ） A.EG EF G =sin B. EF EH G =sin C. FG GH G =sin D. FG FH G =sin 5. sin65°与cos26°之间的关系为（ ） A. sin65°
D A B C E F 解直角三角形在实际问题中的运用 要点一：锐角三角函数的基本概念 1.(·河北中考) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得sin ∠DOE = 12 13 ． （1）求半径OD ； （2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降， 则经过多长时间才能将水排干？ 2.（綦江中考）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE ． （1）求证：ABE △DFA ≌△； （2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值． 3、（宁夏中考）如图，在△ABC 中，∠C =90°，sin A = 5 4 ，AB =15，求△ABC 的周长和tan A 的值． O E C D
4、（肇庆中考）在Rt △ABC 中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值. 5、（·芜湖中考）如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan cos B DAC =∠， (1) 求证：AC=BD ； (2)若12 sin 13 C = ，BC =12，求AD 的长． 要点二、特殊角的三角函数值 一、选择题 1.（·钦州中考）sin30°的值为（ ） A 3 B 2 C ． 12 D 3 2.（长春中考）．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示， 452AOC OC ∠==°，B 的坐标为（ ） A ．(21)， B ．2)， C ．211)， D ．(121)， 3.(定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ） A ．8米 B ．3 C 83米 D ．43 3 米 4.宿迁中考）已知α为锐角，且2 3 )10sin(= ?-α，则α等于（ ） Ａ．?50 Ｂ．?60 Ｃ．?70 Ｄ．?80 5.（毕节中考） A （cos60°，－tan30°）关于原点对称的点A 1的坐标是（ ）
解直角三角形 1.(2019苏州)如图,小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度,将测角仪CD 竖直放置在与教学楼水平距离为183 m 的地面上,若测角仪的高度是1.5 m,测得教学楼的顶部A 处的仰角为30°,则教学楼的高度是( ) A.55.5 m B.54 m C.19.5 m D.18 m 2.(2019长沙)如图,一艘轮船从位于灯塔C 的北偏东60°方向,距离灯塔60 nmile 的小岛A 出发,沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔C 的南偏东45°方向上的B 处,这时轮船B 与小岛A 的距离是 ( ) A.303nmile B.60 nmile C.120 nmile D.(30+303)nmile 3.(2019赤峰)如图,一根竖直的木杆在离地面3.1 m 处折断,木杆顶端落在地面上,且与地面成38°角,则木杆折断之前的高度约为 m .(参考数据:sin 38°≈0.62,cos 38°≈0.79,tan 38°≈0.78) 4.(2019长春一模)在Rt △ABC 中,∠C=90°,如果AB=6,cos A= 31,那么AC= . 5.(2019成都模拟)在Rt △ABC 中,∠C=90°,tan A=3 1,则sin B= . 6.(2019孝感)如图,在P 处利用测角仪测得某建筑物AB 的顶端B 点的仰角为60°,点C 的仰角为45°,点P 到建筑物的距离为PD=20米,则BC= 米.
7.(2019广州模拟改编)如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,点D 在边BC 上,AD=BD=5,sin ∠ADC=54,求BC 的长. 8.(2019宁波)如图,某海防哨所O 发现在它的西北方向,距离哨所400米的A 处有一艘船向正东方向航 行,航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B 处,则此时这艘船与哨所的距离OB 约为 米.(精确到1米;参考数据:2≈1.414,3≈1.732) 9.(2019益阳模拟)如图,河的两岸l 1与l 2相互平行,A ,B 是l 1上的两点，C ，D 是l 2上的两点,某人在点A 处测得∠CAB=90°,∠DAB=30°,再沿AB 方向前进60米到达点E (点E 在线段AB 上,∠DBA=90°),测得∠DEB=60°,求河的宽度. 10.(2019宜宾)如图,为了测得某建筑物的高度AB ,在C 处用高为1米的测角仪CF ,测得该建筑物顶端A 的仰角为45°,再向建筑物方向前进40米,又测得该建筑物顶端A 的仰角为60°,求该建筑物的高度AB (结果保留根号).
解直角三角形 参考答案与试题解析 一．选择题（共9小题） 1．（2018?孝感）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则sinA等于（） A．B．C．D． 【分析】先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得． 【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8， ∴BC===6， ∴sinA===， 故选：A． 2．（2018?绵阳）一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（）（结果保留小数点后两位）（参考数据：≈1.732，≈1.414）A．4.64海里B．5.49海里C．6.12海里D．6.21海里 【分析】根据题意画出图形，结合图形知∠BAC=30°、∠ACB=15°，作BD⊥AC于点D，以点B 为顶点、BC为边，在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°，设BD=x，则AB=BE=CE=2x、AD=DE=x，据此得出AC=2x+2x，根据题意列出方程，求解可得． 【解答】解：如图所示， 由题意知，∠BAC=30°、∠ACB=15°， 作BD⊥AC于点D，以点B为顶点、BC为边，在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°， 则∠BED=30°，BE=CE， 设BD=x， 则AB=BE=CE=2x，AD=DE=x，
∴AC=AD+DE+CE=2x+2x， ∵AC=30， ∴2x+2x=30， 解得：x=≈5.49， 故选：B． 3．（2018?重庆）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米，升旗台坡面CD的坡度i=1：0.75，坡长CD=2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6） A．12.6米B．13.1米C．14.7米D．16.3米 【分析】如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形．在Rt△CDJ中求出CJ、DJ，再根据，tan∠AEM=构建方程即可解决问题； 【解答】解：如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形． 在Rt△CJD中，==，设CJ=4k，DJ=3k， 则有9k2+16k2=4， ∴k=， ∴BM=CJ=，BC=MJ=1，DJ=，EM=MJ+DJ+DE=， 在Rt△AEM中，tan∠AEM=，
《解直角三角形》典型例题 例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形． 分析 本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决． 解 （1） ； （2）由a b B = tan ，知 ； （3）由c a B = cos ，知860cos 4 cos =? == B a c ． 说明 此题还可用其他方法求b 和c ． 例 2在Rt △ABC 中, ∠C=90°，∠A=30°，3=b ,解这个三角形． 解法一 ∵ ∴ 设 ,则 由勾股定理,得 ∴ ． ∴ ． 解法二 13 3 330tan =? =?=b a 说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题． 例 3 设 中， 于D ，若 ，解三 角形ABC ．
分析“解三角形ABC”就是求出的全部未知元素．本题CD不是 的边，所以应先从Rt入手． 解在Rt中，有： 在Rt中，有 说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如： （2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中 “”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，还可以用面积公式求出AB的值： 所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具． 例4在中，，求． 分析（1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差； （2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解．
解如图所示，作交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有 ，且有 ； 在中，，且 ， ∴； 于是，有 ， 则有 说明还可以这样求：