一、 环的定义与基本性质
（一） 环的定义：
1、 定义1：交换群称为加群（Aβελ群），其运
算叫做加法，记为“+”。
2、 定义2：代数系统),;A (?+称为环，若
1）（A ，+）是加群；
2）代数系统);A (?适合结合律；
3）乘法);A (?对加法+的分配律成立。
3、 例子
（1）),;Z (?+、),;Q (?+、),;R (?+、),;C (?+都是环，均称为数环。
（2）Z[ι] ={α+βι | α、β∈Z ，ι2=－1 }，则),];i [Z (?+也是数环，称之为高斯整环。
（3）设Φ是任一数环，则Φ[ξ]关于多项式加法与乘法作成一个多项式环。
（4）Z ν={所有模ν剩余类}，则),;Z (n ?+是模ν剩余类环，这里[α]＋[β] = [α+β]，]b []a [? = [αβ].
（5）设（A ，＋）是加群，规定乘法如下：
,A b ,a ∈?αβ=0，则),;A (?+作成一个环，称之为零环。
（二）环的基本性质：
（1）0x a a x =?=+。
（2）a x x a -=?=+0。
（3）c b c a b a =?+=+。
（4）nb na )b a (n +=+。（ν为整数）
（5）na ma a )n m (+=+。（μ、ν为整数）
（6）)na (m a )mn (=。（μ、ν为整数）
（7）,A a ∈? 000=?=?a a 。
（8）ab )b (a b )a (-=-=-。
（9）ab )b )(a (=--。
（10）ac bc c )a b (,ac ab )c b (a -=--=-。
（11）j m i n j i n j j m i i b a b a ∑∑∑∑=====???? ?????? ??11
11 。 （12）)ab (n )nb (a b )na (==。 (ν为整数)。
（13）若环中元a 、b 满足ba ab =，则
()k n k n k k n n b a C b a -=∑
=+0
（14）mn n m n m n m a )a (,a a a ==?+。（μ、ν为整数）
（三）交换律与单位元：
1、定义3：环R 叫做交换环，若,R b ,a ∈?有
ba ab =
定义4：环R 的元e 称为单位元，若,R a ∈?有 a ea ae ==
约定：环R 若有单位元，则记其单位元为1，并称R 为有1的环。
性质：设R 是有1环，则
（1）若{}001==R ,则；
（2）若P 不仅含一个元，则1≠0.
2、 定义5：R 为有1环，a 、,ba ab ,R b 1==∈则称b 为a 的逆元，记为1-a 。
性质：有1环的所有可逆元关于乘法构成群。
二、 整环、除环、域
（一）整环
1、 定义：设R 为环，a 、R b ∈，若,b ,a 00≠≠ 但0=ab ，则称α为P 的一个左零因子，β为P 的一个右零因子。
定理1：在一个无左零因子的环里，两个消去律都成立；反之，若一个环里有一个消去律成立，则该环无零因子。
推论：环中，若有一消去律成立，则另一消去律也成立。
2、定义：无零因子的有1交换环称为整环。
3、例子
(1)A=??? ??0101、B=??
? ??1100分别是全阵环M 2(P)的左右零因子。
(2)整数环Z 是整环；
(3)实数域P 上的多项式环P[ξ]是整环；
(4)证明左逆元不是零因子。
（二）除环与域
1、定义：一个至少包含一个非零元的有1环R中，若R的任一非零元都有逆元，则称R为除环（或体）。
交换除环称为域。
2、基本性质：
1）除环无零因子。
2）R为除环?R有1，且R
?0都可逆。
≠
a∈
3）R为除环，则{}0\R
R*=关于乘法作成一 个群，反之也然。
4）R为除环，则0
b,a，方程αξ=β,
R
≠
?a,
∈
ψα=β在P中各有唯一解。
5）R为域，α、β0
≠
∈a,R,则方程αξ=β,ψα=β
b。在P中各有唯一解，且解相同，记为商的形式
a
在域中，商有如下性质：
（1）bc ad d
c b a ,
d ,b =?=≠≠则00； （2）)d ,b (bd
bc ad d c b a 00≠≠+=+； （3）)d ,b (bd
ac d c b a 00≠≠=?。
3、 环、整环、除环、域的隶属关系：
三、无零因子环的特征
定理1：无零因子环的非零元对于加群而言阶一致。
定义：无零因子环的非零元在加群中的阶叫做该环的特征。
环P的特征记为Xηαρ(P)
定理2：无零因子环的特征或为无限大，或为素数。
推论：整环、除环、域的特征或无限大，或是素数。
四、子环、环的同态
（一）子环
1、子环的概念与例子
定义1：设∑是环P的一个非空子集，若∑对于P的两个运算也作成环，则称∑为P的子环，而P为∑的扩环。
特别，可相仿得到子体、子域的概念。
2、子环的判别定理
定理1：∑为环P的非空子集，以下四条等价： （1）∑为P的子环；
（2）S
+
-
?
?
0；
S∈
∈
∈且
,
c,b,a
ab
c
S
a
,b
（3） S
-
?
?；
b,a∈
∈
+
S
,a
ab
,b
a
（4） S
?
?。
-
∈
a
ab
b,a∈
,b
S
定理2：设{0}?K是体（域）Φ的非空子集，以下四款等价：
（1）K是Φ有子体（域）；
（2）K
0且
∈1
K∈
,
?
+
∈
-
0；
?-1
≠
,c,b,a∈
ab
,
K
,b
d,c
d
K
a
（3） K
?
∈
≠
0；
-
?-1
,b
ab
c,
a
K
c
,b,a∈
（4） K
?
-
≠
∈
?-1
∈
0。
b
,
ab
K
a
K
b,
b,a∈
3、环与子环关于交换律、零因子、单位元的情形： 1） 关于交换律：
① 交换环的子环必是交换环；
② 非交换环的子环可能是交换环，也可能是非交换环。 2） 关于零因子：
① 无零因子环的子环无零因子；
② 有零因子环的子环可能有零因子，也可能无。 3） 关于单位元的例：
① Θ、Z 的单位元都为1，这里Z ?Θ.
② ??? ??1 00 1 为M 2（P ）的单位元，而 R a 0 00 a ?
?????∈??? ??=S 的单位元为)R (M S ,20 00 1???
? ??. ③Z 的单位元为1，但Z 的子环偶数环却无单位元.
④?
?????∈??? ??=z b a, b 00 a R 对运算
??
? ??++=??? ??+??? ??d b 0 0 c a d 00 c b 00 a ， ??? ??=??? ????? ??0 00 ac d 00 c b 00 a 作成环，但P 无单位元，而 z a 0 00 a ?
?????∈???
??=S 为P 的子环，∑有单位元??
? ??0 00 1.
⑤P 为偶数环，{}z n 4∈=n S 为P 的子环，P 与∑都无单
（二）环的同态
以下总设);;R (?+、);;(是代数系统。
1、环的同态基本性质：
定理1：设 P 是环，P R ，则R 也是环，而且 （1）00=)(?；
（2）R a ),a ()a (∈?-=-??；
（3）若P 为交换环，则R 也是交换环；
（4）若P 有1，则)(1?为R 的单位元。
定理2：设P 、R 都是环，P R ，则P 是整环（体、域）?R 是整环（体、域）。
1、 关于零因子与特征的例：
（1）ν为合数，[]z a ,a a :∈?→?，则
()?+,;z ()?+,;z n ,
而ζ无零因子，n z 有零因子；
（2）规定),d b ,c a ()d ,c ()b ,a (++=+
),bd ,ac ()d ,c )(b ,a (= 则()
{}z b ,a b ,a R ∈=是环，且有零因子.令a )b ,a (:→?，则P
Z ，但Z 无零因子。 （3） π为素数，?同 （1） ，则Z
Z ∏， 且Xηαρ（Z ）+∞=，但Xηαρ（Z ∏）=∏。
3、挖补定理：
引理：若存在代数系统),;A (?+到集A 的一个双射?，则可在A 上规定代数运算，使
A A 。
定理3（挖补定理）设∑是环P 的子环，∑＇是∑在P 中的补集，S 是另一环。若φ=S 'S ，且∑～S ,则存在S 的扩环R 使R R ?。
五、理想
定义：环P 的一个非空子集Θ叫做P 的一个理想子环，简称理想，如果
(ι) α、βQ b a Q ∈-?∈;
(ιι) αQ ar ,ra R r ,Q ∈?∈∈。
任何一个环都至少有两个理想：环本身，称为环的单位理想；以及{}0，称为该环的零理想。
定理1：除环只有零理想与单位理想。
定理2：P 是一个环，R a ∈，则 Y=??????∈∈∈+++∑=m i i i i i Z n ,N m ,R t ,s ,y ,x na at sa ay x 1是P
定义：定理2中的Y 称为由α生成的P 的一个主理想，记为（α）。
定理3：设α为环P 的元，那么
（1） 若P 为交换环，则
（2） （α）=｛ρα+Z n ,R r na ∈∈｝;
（3） 若P 为有1环，则（α）={};R y ,x ay x i i i i ∑∈ （4） 若P 为有1交换环，则（α）={}R a ra ∈。
定理4：m 21a ,a ,a 为环P 的元，则
()??????∈=∑=i m i i i a s s M 1
是P 的理想。
定义：定理4中的M 称为由m a ,a ,a 21生成的理想，记为（m a ,a ,a 21）。
六、剩余类环、同态与理想
若Θ为环P 的理想，则（Θ；+）是（P ；+）的不变子群，那么商群[]{}R a a Q /R ∈= ，其中 []{}Q x x a a ∈+=为R a ∈所在的陪集，并称[]a 为P 的一个模Θ剩余类。
显然，()R b ,a ,Q b a Q b a ∈?∈-?≡
定理1：P/Θ对于运算
[α]+[β]=[α+β] , [α][β]=[αβ],R b ,a ∈?
作成一个环，且P ～P/Θ，这里Θ为环P 的一个理想。
定义：称P/Θ为环P 的模Θ的剩余类环。
定理2：P 、R 都为环，且P R ，则κερ?为P 的一个理想，且P/κερ?R ?.
定理3：环P ～R ，则
（ι） P 的一个子环（理想）∑的象S 是R 的子
环（理想）；
（ιι） R 的一个子环（理想）S 的逆象∑是P 的
子环（理想）。
七、最大理想
定义：一个环P的一个不等于P的理想Θ，若P没有其它包含Θ的理想存在，则称Θ为P的一个最大理想。
即，若N为P之一理想，且Q
N?，那么必N=P,则称理想Θ为P的最大理想。
Λεμμα1：Θ为环P的一个理想，P/Θ除零理想与单位理想外不再有理想，当且仅当Θ为最大理想。
Λεμμα2：若有1交换环P除了单位理想与零理想外没有其它理想，则P是域。
定理：设Θ为有1交换环P的一个理想，则P/Θ是域?Θ为最大理想。
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。
行列式的性质 基本性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行(列)，行列式变号。 推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零。 性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式。 推论 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。 性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。 性质5 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，例如第j 列的元素都是两数之和 性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。 一般利用行列式的定义计算高阶行列式比较繁琐，下面我们将推导出行列式的一些性质，为行列式的计算做准备. 设 111212122212 n n n n nn a a a a a a D a a a = ， 112111222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = 称行列式T D 为D 的转置行列式．T D 可以看成是D 的元素沿着主对角线旋转180所得，亦可看成是将D 的所有行（列）按序写成所有列（行）所得（即所谓行列互换）． 性质1. 1 行列式的值与其转置行列式的值相等，即 111212122212 n n n n nn a a a a a a a a a 112111222212n n n n nn a a a a a a a a a = . 证明 将等式两端的行列式分别记作D 和T D ，对行列式的阶数用数学归纳法. 当2n =时，可以直接计算出T D D =成立，假设结论对小于n 阶的行列式都成立，下面考虑n 阶的情况. 根据定义 1111121211n n D a A a A a A =++ +，
线性代数行列式的计算与性质 行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。行列式可以看做是有向面积或体积的概 念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。 行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。 矩阵 A 的行列式有时也记作 |A|。绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如： ），且可以使用下标。此外，矩阵的绝对值是没有定义的。因此，行 列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。例如，一个矩阵： A= ? ? ? ? ? ? ? i h g f e d c b a ， 行列式也写作，或明确的写作： A= i h g f e d c b a ， 即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代 行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。
第一章 基本概念 1.5 数环和数域 定义1 设S 是复数集C 的一个非空子集,如果对于S 中任意两个数a 、b 来说，a+b,a-b,ab 都在S 内，那么称S 是一个数环。 定义2 设F 是一个数环。如果 （i ）F 是一个不等于零的数； （ii ）如果a 、b ∈F,，并且b 0≠， a F b ∈，那么就称F 是一个数域。 定理 任何数域都包含有理数域，有理数域是最小的数域。 第二章 多项式 2.1 一元多项式的定义和运算 定义1 数环R 上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式 ()1 2012n n a a x a x a x ++++L ， 是非负整数而012,,,n a a a a L 都是R 中的数。 项式()1中，0a 叫作零次项或常数项，i i a x 叫作一次项，一般，i a 叫作i 次项的系数。 定义2 若是数环R 上两个一元多项式()f x 和()g x 有完全相同的项，或者只差一些系数 为零的项，那么就说()f x 和()g x 就说是相等 ()()f x g x = 定义3 n n a x 叫作多项式2012n n a a x a x a x ++++L ，0n a ≠的最高次项，非负整数n 叫作 多项式2012n n a a x a x a x ++++L ，0n a ≠的次数。 定理2.1.1 设()f x 和()g x 是数环R 上两个多项式，并且()0f x ≠，()0g x ≠，那么 ()i 当()()0f x g x +≠时， ()()()()()()()()0 max ,;f x g x f x g x ? +≤?? ()ii ()()()()()()()0 f x g x f x g x ? =?+?。 多项式的加法和乘法满足以下运算规则： 1） 加法交换律： ()()()()f x g x g x f x +=+；
行列式的定义及其性质证明 摘要:本文给出了与原有行列式定义不同的定义，利用此定义和引理导出定理，进一步导出行列式的性质，给出了行列式性质与以往教材不同的完整证明，形成了有关行列式的新的知识体系，通过定理性质的证明过程，重点在培养同学们的逻辑思维能力、推理能力和创新能力。 关键词:行列式；定义；性质；代数余子式；逆序数 1 基本定理与性质的证明 引理设t为行标排列q1q2…qn与列标排列p1p2…p n的逆序数之和，若行标排列与列标排列同时作相应的对换，则t的奇偶性不变。 证明根据对换定理:一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。若行标排列与列标排列同时作相应的对换，则行标排列的逆序数与列标排列的逆序数的奇偶性同时改变，因而它们的逆序数之和的奇偶性不变。 定理1 n阶行列式也可定义为 证明由定义1和引理即可证得。 性质1 行列式与它的转置行列式相等(由定理1即可证得)。 (根据性质1知对行成立的性质对列也成立) 性质2 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。 证明利用定理1和代数余子式的定义即可证得。 性质3 如果行列式中有两行(两列)元素对应相等，则此行列式等于零。 证明(利用递推方法来证)设行列式中第k行和第j行的元素对应相等，由性质2可知 又A is=(-1)i+s(s=1，2，…，n)，根据性质2，M i+s又可以展开成n-1项的和，每一项都是一实数与n-1阶行列式的乘积，以此类推，M i+s 总可以展开成一个实数与一个二阶行列式的乘积之和，即 (mi为实数，Di为含有原行列式中k行和j行的二阶行列式)，这个二阶行列式的两行就是原n阶行列式中的k行j行对应的元素，由于这
初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线型方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。发展到这个阶段，就叫做高等代数。 高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。 高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。 集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也由很大的不同了。 高等代数发展简史 代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。 人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的《数书九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。 在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。 在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576)骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式。 三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560)解出。这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪，都没有解决。 到了十九世纪初，挪威的一位青年数学家阿贝尔(1802～1829)证明了五次或五次以上的方程不可能有代数解。既这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数
行列式的定义及性质 （张俊敏） ● 教学目标与要求 通过学习，使学生理解n 阶行列式的定义，熟练掌握二、三阶行列式性质，能运用性质求行列式的值。 ● 教学重点与难点 教学重点：n 阶行列式的定义及性质。 教学难点：n 阶行列式定义的理解。 ● 教学方法与建议 通过复习高中时所学过的二阶与三阶行列式，了解行列式及其应用，在此基础上引出一般意义上的n 阶行列式定义。要特别指出：行列式是一种运算，其结果是一个数；其意义在于在由数组成的形式（方阵）与数域之间建立了一种联系，使得我们可以通过数来研究形式的东西，同时可以通过形式的东西来研究与数有关的问题。 ● 教学过程设计 1.问题的提出 求解二、三元线性方程组 （二元线性方程组???=+=+22221 211 212111b x a x a b x a x a ，当021122211≠-a a a a 时，可用消元法求得解为： 22 21 1211 222121********* 122211a a a a a b a b a a a a b a a b x = --= 二阶、三阶行列式
22 212 1122 211112112221121 12112a b a a a a b a a a a a a b b a x = --= ）二阶与三阶行列式 1. 二阶行列式：（回顾高中时的二阶与三阶行列式） 1112 112212212122 det()a a A a a a a a a = =-，其中A 为方程组的系数矩阵。 2. 三阶行列式： 32 3122 21133331232112333223221133 32 31 23222113 1211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +-= 注：（1）这是把三阶行列式转化为比它低一阶的二阶行列式进行的计算。三阶行列式算出来也是一个数。 (2)三阶行列式 也是方形矩阵上定义的一种运算。 2. n 阶行列式的定义： 1112122 23 221 23 22122211 12 23 1 3 1 2 21 22 2,1 111 2 ,1 (1)n n n n n n nn n n nn n n nn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-= =-+ +- n 阶行列式中去掉元素ij a 所在行所在列的元素后，得到的 1n -阶行列式叫做ij a 的余子式，记作ij M ，即11 1,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1 ,1 ,1 j j n i i j i j n n ij i i j i j i n n n j n j nn a a a a a a a a M a a a a a a a a -+----+-++-+++-+= 并称(1)i j ij ij D M +=-为ij a 的代数余子式。引入这两个记号则可将(2.4)式简记为 111111********* det (1)(1)k n n n n k k k A a M a M a M a M ++==-+ +-=-∑ （2.5）
基本概念 第一章数和数的运算一概念（一）整数 1整数的意义：自然数和0都是整数。2自然数： 我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。3计数单位 一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。4数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。5数的整除 整数a除以整数b(b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a 能被b整除，或者说b能整除a。如果数a能被数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。 因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。 一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3，没有最大的倍数。 个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。。个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。
一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。 能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。 一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。 一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。能被2整除的数叫做偶数。不能被2整除的数叫做奇数。 0也是偶数。自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。 一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如4、6、8、9、12都是合数。 1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。
高等代数习题 第一章基本概念 §1.1 集合 1、设Z是一切整数的集合，X是一切不等于零的有理数的集合．Z是不是X的子集？ 2、设a是集A的一个元素。记号{a}表示什么？ {a} A是否正确？ 3、设 写出和 . 4、写出含有四个元素的集合{ }的一切子集． 5、设A是含有n个元素的集合．A中含有k个元素的子集共有多少个？ 6、下列论断那些是对的，那些是错的？错的举出反例，并且进行改正． (i) (ii) (iii) (iv) 7．证明下列等式： (i)
(ii) (iii) §1.2映射 1、设A是前100个正整数所成的集合．找一个A到自身的映射，但不是满射． 2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射． 3、是不是全体实数集到自身的映射？ 4．设f定义如下： f是不是R到R的映射？是不是单射？是不是满射？ 5、令A={1,2,3}.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射？ 6、设a ,b是任意两个实数且a 9、设是映射，又令，证明 (i)如果是单射，那么也是单射； (ii)如果是满射，那么也是满射； (iii)如果都是双射，那么也是双射，并且 10．判断下列规则是不是所给的集合A的代数运算: 集合 A 规则 1 2 3 4 全体整数 全体整数 全体有理数 全体实数 b a b a+ → |) , ( §1.3数学归纳法 1、证明: 2、设是一个正整数.证明 ,是任意自然数. 3、证明二项式定理: 这里 ， 是个元素中取个的组合数. 第一章 基本概念 数环和数域 定义1 设S 是复数集C 的一个非空子集,如果对于S 中任意两个数a 、b 来说，a+b,a-b,ab 都在S 内，那么称S 是一个数环。 定义2 设F 是一个数环。如果 （i ）F 是一个不等于零的数； （ii ）如果a 、b ∈F,，并且b 0≠， a F b ∈，那么就称F 是一个数域。 定理 任何数域都包含有理数域，有理数域是最小的数域。 第二章 多项式 一元多项式的定义和运算 定义1 数环R 上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式 ()1 2 012n n a a x a x a x +++ +， 是非负整数而012,,,n a a a a 都是R 中的数。 项式()1中，0a 叫作零次项或常数项，i i a x 叫作一次项，一般，i a 叫作i 次项的系数。 定义2 若是数环R 上两个一元多项式()f x 和()g x 有完全相同的项，或者只差一些系数 为零的项，那么就说()f x 和()g x 就说是相等 ()()f x g x = 定义3 n n a x 叫作多项式2 012n n a a x a x a x +++ +，0n a ≠的最高次项，非负整数n 叫作 多项式2 012n n a a x a x a x +++ +，0n a ≠的次数。 定理2.1.1 设()f x 和()g x 是数环R 上两个多项式，并且()0f x ≠，()0g x ≠，那么 ()i 当()()0f x g x +≠时， ()()()()()()()()0 max ,;f x g x f x g x ? +≤?? ()ii ()()()()()()()0 f x g x f x g x ? =?+?。 高等数学 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。 第一讲函数，极限，连续性 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给 定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集，记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就 说A、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ?B。 ⑵、相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中 的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A，我们称集合A 是集合 B 的真子集，记作A 。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。 ②、对于集合A、B、C，如果A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。 通常记作U。 1122,, 0,.i j i j in jn A i j a A a A a A i j ?=?++=?≠?? L = =()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O * = =* *=-1 (1)2 1121 21 1211 1 ()n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1 范德蒙德行列式： ()12222 1211 1112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 分块对角阵相乘：11 112222,A B A B A B ???? == ? ???? ??11112222A B AB A B ??= ???,1122n n n A A A ?? = ??? 分块矩阵的转置矩阵：T T T T T A B A C C D B D ?? ??= ? ????? () 1121112 222* 12n T n ij n n nn A A A A A A A A A A A ?? ? ? == ? ??? L L M M M L ，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. **AA A A A E ==,1*n A A -=, 1 1A A --=. 分块对角阵的伴随矩阵：* * *A BA B AB ?? ??= ? ???? ? 《高等代数》考研大纲 一、基本要求 要求考生全面系统地理解高等代数的基本概念和基本理论，熟练掌握高等代数的基本思想和基本方法。要求考生具有较强的抽象思维能力、逻辑推理能力、数学运算能力以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。 二、考试范围 （一）多项式 ．多项式的带余除法及整除性、最大公因式、互素多项式； ．不可约多项式、因式分解唯一性定理、重因式、复系数与实系数多项式的因式分解、有理系数多项式不可约的判定； ．多项式函数与多项式的根、代数基本定理、有理系数多项式的有理根的求法、根与系数的关系。 （二）行列式 ．行列式的定义及性质，行列式的子式、余子式及代数余子式； ．行列式按一行、列的展开定理、法则、定理和行列式乘法定理、行列式； ．运用行列式的性质及展开定理等计算行列式。 （三）线性方程组 ．消元法与初等变换； ．向量组的线性相关性、向量组的秩与极大线性无关组、矩阵的秩； ．线性方程组有解的判别定理与解的结构。 （四）矩阵 ．矩阵的基本运算、矩阵的分块及常用分块方法； ．矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的等价、矩阵的迹、方阵的多项式；； ．逆矩阵、矩阵可逆的条件及与矩阵的秩和初等矩阵之间的关系，伴随矩阵及其性质；．运用初等变换法求矩阵的秩及逆矩阵。 （五）二次型理论 ．二次型及其矩阵表示、矩阵的合同、二次型的标准形与规范形、惯性定理； ．实二次型在合同变换下的规范形以及在正交变换下的特征值标准型的求法； ．实二次型或实对称矩阵的正定、半正定、负定、半负定的定义、判别法及其应用。 （六）线性空间 ．线性空间、子空间的定义与性质，向量组的线性相关性，线性（子）空间的基、维数、向量关于基的坐标，基变换与坐标变换，线性空间的同构； ．子空间的基扩张定理，生成子空间，子空间的和与直和、维数公式； ．一些常见的子空间，如线性方程组的解空间、矩阵空间、多项式空间、函数空间。（七）线性变换 ．线性变换的定义、性质与运算，线性变换的矩阵表示，矩阵的相似、同一个线性变换关于不同基的矩阵之间的关系； ．矩阵的特征多项式与最小多项式及其性质、线性变换及其矩阵的特征值和特征向量的概念和计算、特征子空间、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质； ．线性变换的不变子空间、核、值域的概念、关系及计算； ．定理、矩阵可相似对角化的条件与方法、线性变换矩阵的化简、标准形。 命题人或命题小组负责人签名： 系（部）主任签名： 分院领导签名： ………………………………………………………………密封线…………………………………………………………… §1.1 函数 一、有关四种性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性) 1. 0 () (0)()2() ()a a a f x a f x dx f x dx f x ->?? =???? ?当为奇函数当为偶函数 口诀(1)：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。 2. 在(a,b )内，若()0f x '>，则()f x 单调增加 若()0f x '<，则()f x 单调减少 口诀(2)：单调增加与减少；先算导数正与负 例1 求1 521[()ln(1)].x x I x x e e x x dx --= +-++? 解 1()x x f x e e -=-是奇函数，∵2 112()(),()ln(1)x x f x e e f x f x x x --=-=-=++是奇函数， ∵ 222 22 (1)()ln(1)ln 1 x x f x x x x x +--=-+ -=++ 22ln1ln(1)()x x f x =-++=- 因此2 ()ln(1)x x x e e x x --++是奇函数。 于是1 1 6 61 2027 I x dx x dx -= +== ? ?。 例2 设()()F x f x '=，则下列结论正确的是 (A)若()f x 为奇函数，则()F x 为偶函数。 (B)若()f x 为偶函数，则()F x 为奇函数。 (C)若()f x 为周期函数，则()F x 为周期函数。 (D)若()f x 为单调函数，则()F x 为单调函数。 解 (B)不成立，反例32 (),()13 x f x x F x ==+ (C)不成立，反例()cos 1,()sin f x x F x x x =+=+ (D)不成立，反例2 ()2,()(,)f x x F x x ==-∞+∞在内 (A)成立。 证明 0 ()(0)(),x F x F f t d t f =+ ? 为奇函数， 00 ()(0)()(0)()() (0)()() x x x F x F f t dt F f u d u F f u du F x --=+=+--=+=? ?? 所以，()F x 为偶函数。 例3 设()f x ，()g x 是恒大于零的可导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''-<，则当a x b <<时，下列结论成立的是 (A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x > (C)()()()()f x g x f b g b > (D)()()()()f x g x f a g a > 解 ∵2()1[()()()()]0()()f x f x g x f x g x g x g x '??''=-，故(A)成立。 二、有关复合函数 1. 已知()f x ，()g x 求[()]f g x 2. 已知[()]f g x 和()g x ，求()f x 例1、已知12() ()() f x x a f x f x x a ≤?=?>?和12 () ()() g x x b g x g x x b ≤?=?>? 求[()]f g x 解：11112221122 2[()] ()[()] ()[()][()] ()[()] () f g x x b g x a f g x x b g x a f g x f g x x b g x a f g x x b g x a ≤≤?? >≤?=? ≤>??>>?当，当，当，当， 第一章 定义1 数域 定义2 数域P上的一元多项式 定义3 多项式相等 定义4 一元多项式环 带余除法 定义5 整除 定理1 r（x）=0 定义 6 最大公因式 定理 2 d（x）=u（x）f（x）+v（x）g(x); (f(x),g(x))= u（x）f（x）+v（x）g(x) 定义7 互素(f(x),g(x))=1 定理 3 u（x）f（x）+v（x）g(x)=1 定理4 f ，g互素且f|gh，则f|h 推论f1|g，f2|g，且f1，f2互素，则f1f2|g， 定义8 不可约多项式 定理5 一个不可约多项式p，能够表达成P|fg， 则p|f或者p|g 因式分解及其唯一性定理数域P上的一个多项式f，都可以唯一的分解成数域P上的一些不可约多项式的乘积。 第四章 1 转轴----坐标系（x1，y1，z1）到（x2，y2，z2）的坐标变换矩阵是A，如果令X1=（x1，y1，z1）的转置，X2=（x2，y2，z2）的转置，则X1=AX2。 2单位矩阵E=数量矩阵为kE= 如：AE=A，EA=A 3矩阵的加法，乘法，减法，结合律，交换律，零矩阵 4 秩（A+B）秩A+秩B 5 如：A=则矩阵的数量乘积 kA= 6 矩阵的转置记作A的转置为A’。例如A= 则A’= 注意：转置的性质(A’)’=A (A+B)’=A’+B’( AB)’=B’A’ (kA)’=kA’ 定理1 假设A B是数域P上的两个n n矩阵，那么|AB|=|A||B| 即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积 推论1 |A1A2An|=|A 1||A 2||An| 定义6数域P上的一个n n矩阵A，如果|A|0，称为非退化的，否则称为退化的 推论2 假设A B是数域P上的两个n n矩阵，矩阵AB为退化的充要条件是A，B中至少有一个是退化的 定理2 假设A是数域P上的n m矩阵，B是数域P上的m s 矩阵，于是秩（AB）min[秩A，秩B]。即乘积的秩不 超过个因子的秩 推论3 如果A=A1A2An，那么秩A min（秩Ai） 定义7 如果有n级方阵B，使得AB=BA=E，则n级方阵A称为是可逆的 定义8 如果有n级方阵B，使得AB=BA=E，那么B就称为A的逆矩阵，记作A-1 定义9 假设A ij是矩阵A=中a ij的代数余子式，矩阵A*=称为A的伴随矩阵。 A*A=AA*=dE 其中d=|A| 定理3 矩阵A 可逆的充分必要条件是A是非退化的， 而A-1=A* 推论如果A，B可逆，那么AB与Ａ＇也可逆， 且(A’)-1=(A-1)’,(AB)-1=B-1A-1 第一章 基本概念 一 综述 1．本章是本门课程所需要的最基本概念（集合、映射、整数的一些性质、数环和数域）和方法（数学归纳法、反证法）.所需位置不同,可根据课时安排及进度分散处理.如集合、整数的一些整除性质、数学归纳法、数环和数域可先讲,映射可放在线性空间前讲. 2．从内容上讲,除集合中的卡氏积的概念及数环、数域的概念外,其它内容是学生在中学数学当中熟知的,只不过是将有关内容的系统化、理论化（如整数的整除性、映射、数学归纳法,其在中学中熟知其一些事实,今在理论上加以严密论证）. 3．新的知识点是集合的卡氏积、数环、数域的概念,数学归纳法作为定理的论证. 4．学习本部分的难点是：从概念出发进行推理论证,这需要从具体例子引导训练,逐步培养. 二 重点、难点 1. 重点在于所有基本概念,特别是引入的新概念. 2. 难点是可逆映射、整数的整除性、数学归纳法本身的证明. 1．1 集 合 一 教学思考 1．集合可以作为不定义的概念来处理,有些教材上给出了一个简单刻化. 2．确定一个集合A,就是要确定哪些是集合的元素,哪些不是集合的元素.说明一个集合包含哪些元素时,常用“列举法”、“示性法”（描述法）. 3．中学代数大部分的内容是计算,因此一开始遇到证明题时,往往不知从何入手,此需注意培养学生的推理能力,这里应通过证明“集合相等”来加强这方面的训练. 4．为稍拓宽知识,可讲解一下补集、幂集等概念. 二 重点、要求 1．重点、难点：卡氏积的概念及从概念出发（集合相等、子集等）进行推理. 2．要求：使学生了解有关集合的刻化及运算,培养推理能力. 三 教学过程 1．集合：简称集,在此是一个不定义的原始概念,通常可给出如下描述性的解释：即所谓集合,是指由某些确定的事物（或具有某种性质的事物）组成的集体.其中每个事物称为这个集合的元素. 常用大写字母A 、B 、C K 表示集合,用小写字母a 、b 、c K 表示集合的元素. 若a 是集合A 的元素,就说a 属于A,记作A a ∈,或者说A 包含a. 若a 不是集合A 的元素,就说a 不属于A,记作a ?A,或者说A 不包含a. 常采用两种方法： （1）列举法：列出集合的所有元素（包括利用一定的规律列出无限集）的方法.如{ }K ,3,2,1=A . （2）示性法（描述法）：给出集合所具有的特征性质.如{} 043|2=-+=x x x B 表示方程0432=-+x x 的解集. 2．集合的分类（按所含元素的个数分）： 有限集：只含有有限多个元素的集合. 无限集：由无限多个元素组成的集合. 空集：不含任何元素的集合.用Φ表示. 约定：Φ是任何集合的子集. 3．集合间的关系： （1） 设A 、B 是两个集合. 子集：若A 的每个元素都是B 的元素,则称A 是B 的子集.（即若""B x A x ∈?∈?） .记作B A ?（读作A 属于B ）；或者A B ?（读作B 包含A ）. 1 行列式的定义及性质 1.1 定义[3] n 级行列式 1112121 22 212 n n n n nn a a a a a a a a a 等于所有取自不同行不同列的个n 元素的乘积12 12n j j nj a a a (1)的代数和,这里12 n j j j 是 1,2, ,n 的一个排列,每一项(1)都按下列规则带有符号:当12n j j j 是偶排列时,(1)带正号，当 12n j j j 是奇排列时,(1)带有负号.这一定义可写成 () () 121212 1112121 22 21212 1n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a τ= -∑ 这里 12 n j j j ∑ 表示对所有n 级排列求和. 1.2 性质[4] 性质1.2.1 行列互换,行列式的值不变. 性质1.2.2 某行(列)的公因子可以提到行列式的符号外. 性质1.2.3 如果某行(列)的所有元素都可以写成两项的和,则该行列式可以写成两行列式的和;这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一,其余各行(列)与原行列式相同. 性质1.2.4 两行(列)对应元素相同,行列式的值为零. 性质1.2.5 两行(列)对应元素成比例,行列式的值为零. 性质1.2.6 某行(列)的倍数加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变. 性质1.2.7 交换两行(列)的位置,行列式的值变号. 2 行列式的分类及其计算方法 2.1 箭形（爪形）行列式 这类行列式的特征是除了第1行(列)或第n 行(列)及主(次)对角线上元素外的其他元素均为零，对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上(下)三角形行列式来计算.即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零. 例1 计算n 阶行列式 ()123231111001 0001 n n n a a D a a a a a =≠. 解 将第一列减去第二列的 21a 倍，第三列的3 1a 倍第n 列的 1 n a 倍，得 1 223 111110 000000 n n n a a a a D a a ?? --- ?? ? = 1221n n i i i i a a a ==?? =- ?? ? ∑ ∏. 2.2 两三角型行列式 这类行列式的特征是对角线上方的元素都是c ,对角线下方的元素都是b 的行列式，初看，这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来，对这类行列式，当 b c =时可以化为上面列举的爪形来计算，当b c ≠时则用拆行(列)法[9]来计算. 例2 计算行列式 高等代数最重要的基本 概念汇总 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208] 第一章 基本概 念 数环和数域 定义1 设S 是复数集C 的一个非空子集,如果对于S 中任意两个数a 、b 来说， a+b,a-b,ab 都在S 内，那么称S 是一个数环。 定义2 设F 是一个数环。如果 （i ）F 是一个不等于零的数； （ii ）如果a 、b ∈F,，并且b 0≠，a F b ∈，那么就称F 是一个数域。 定理 任何数域都包含有理数域，有理数域是最小的数域。 第二章 多项式 一元多项式的定义和运算 定义1 数环R 上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式 ()1 2012n n a a x a x a x ++++， 是非负整数而012,,, n a a a a 都是R 中的数。 项式()1中，0a 叫作零次项或常数项，i i a x 叫作一次项，一般，i a 叫作i 次项的系数。 定义2 若是数环R 上两个一元多项式()f x 和()g x 有完全相同的项，或者只差一 些系数为零的项，那么就说()f x 和()g x 就说是相等 定义3 n n a x 叫作多项式2012n n a a x a x a x +++ +，0n a ≠的最高次项，非负整数n 叫 作多项式2012n n a a x a x a x +++ +，0n a ≠的次数。 定理2.1.1 设()f x 和()g x 是数环R 上两个多项式，并且()0f x ≠，()0g x ≠，那么 ()i 当()()0f x g x +≠时， ()ii ()()()()()()()000f x g x f x g x ?=?+?。 多项式的加法和乘法满足以下运算规则： 1） 加法交换律： ()()()()f x g x g x f x +=+； 2） 加法结合律： ()()()()()()()()f x g x h x f x g x h x ++=++； 3）乘法交换律： ()()()()f x g x g x f x =； 4） 乘法结合律： ()()()()()()()()f x g x h x f x g x h x =； 5） 乘法对加法的分配律： ()()()()()()()()f x g x h x f x g x f x h x +=+。 推论2.1.1 ()()0f x g x = 当且仅当()f x 和()g x 中至少有一个是零多项式 推论2.1.2 若()()()()f x g x f x h x =，且()0f x ≠，那么()()g x h x = 多项式的整除性 设F 是一个数域。[]f x 是F 上一元多项式环 定义 令()f x 和()g x 是数域F 上多项式环[]f x 的两个多项式。如果存在[]f x 的多 项式()h x ，使()()()g x f x h x =，我们说，()f x 整除（能除尽）()g x 。 多项式整除的一些基本性质： 1） 如果()()f x g x |，()()g x h x |，那么()()f x h x | 2） 如果()()h x f x |，()()h x g x |，那么()()()()h x f x g x |± 3） 如果()()h x f x |，那么对于[]f x 中的任意多项式()g x 来说，()()()h x f x g x | 4） 果()(),1,2,3,,,i h x f x i t |=那么对于[]f x 中任意()1,2,3,,,i g x i t ,=高等代数最重要的基本概念汇总
高等数学基本知识大全
高等数学基础知识点归纳
(完整版)高等代数知识点归纳,推荐文档
814《高等代数》考研大纲
高等数学基本概念整理
高等代数 知识点
高等代数教(学)案第一章基本概念
几种特殊类型行列式及其计算
高等代数最重要的基本概念汇总
相关主题
文本预览