一元二次方程集体备课
初三年级备课组；主备人：张妍；参与人员：彭定红、张富春、杜刚、赵瑜、谢坤、刘晓波
一、教学内容：
⑴了解一元二次方程的有关概念．
⑵能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程．
⑶会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况．
⑷知道一元二次方程根与系数的关系，并会运用它解决有关问题．
⑸能运用一元二次方程解决简单的实际问题．
⑹了解数学解题中的方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想．
二、重点讲解
1. 了解一元二次方程的概念，对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个（强调是三个）特点，即①是整式方程（重点强调）；②化简后只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．
2. 解一元二次方程时，应根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．
（通过教材课后习题的演练，可以很明显的发现利用十字相乘法解方程时二次项系数时常不是一，而有些学生十字相乘法中对于二次项系数不为一的题目会无所适从，不妨多加练习，但厦门近三年的中考中没有出现过类似的题目）
3 .一元二次方程
的根的判别式正反都成立．利用其可以 ⑴不解方程判定方程根的情况（有根，有两个根，有两个不同的根分别代表⊿的取值范围）；
⑵根据参系数的性质确定根的范围（有两正根，两负根，一根正一根负，只有一个根大于某常数）；
4. 一元二次方程根与系数的应用很多：⑴已知方程的一根，不解方程求另一根及参系数；⑵已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；⑶已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
5. 能够列出一元二次方程解应用题．能够发现、提出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程．
6. 本章解题思想总结：
⑴转化思想
转化思想是初中数学最常见的一种思想方法．
运用转化的思想可将未知数的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题．在本章中，将解一元二次方程转化为求平方根问题，将二次方程利用因式分解转化为一次方程等．
⑵从特殊到一般的思想
从特殊到一般是我们认识世界的普遍规律，通过对特殊现象的研究得出一般结论，如从用直接开平方法解特殊的问题到配方法到公式法，再如探索一元二次方程根与系数的关系等．
20(0)ax bx c a ++=≠
（对于理解力好的学生，可以要求其掌握公式法的求根公式的由来，以及怎样用两根推导根与系数的关系）
⑶分类讨论的思想
一元二次方程根的判别式体现了分类讨论的思想（在目前单元测试的压轴性题目中出现的频率较高）．
三. 易错点点拨
易错点1：对一元二次方程的定义的理解．判断一个方程是否一元二次方程，关键是将整式方程化简后只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，特别地，当二次项的系数用字母表示时，二次项系数不为零不能漏掉（虽简单，但极易被学生忽略）．
易错点2：一元二次方程的一般形式．在确定一元二次方程的二次项、一次项及常数项时，一定要将一元二次方程化为一般形式（注意同类项的合并与等号右边不为零的情况）．
易错点3：关于解一元二次方程时的易错点．
⑴是在解形如“”这样的方程时，千万不能在方程左右两边都除以，从而造成方程丢根（告知
学生原因，即当x=0时，两边是不能同时除以0的，无意义）；
⑵用配方法时，当二次项的系数不为1时，应将二次项系数化为1，再将方程左边配成完全平方式；
⑶利用公式法求一元二次方程的解时，要先判断必须非负才能求解；
⑷利用因式分解法求一元二次方程的解时，方程右边一定要变为0．
易错点4：在用一元二次方程解决有关实际问题时，注意运用转化思想，如图形问题中，如何通过平移，旋转等变换把不规则的图形转化为规则的图形．另外，对于增长率问题，要把握基础数与总数的关系．特别地，一元二次方程的两个解，一定要会判断检验其是否符合实际意义（两个解并非必须有一个是增根，二者都合适的情况也是存在的）．
四、课时安排：11课时 2x x =x 24b ac -
一元二次方程专题复习 韦达定理:如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则 12b x x a +=-，12c x x a ?= 适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数； (2)求与方程的根有关的代数式的值； (3)已知两根求作方程； (4)已知两数的和与积，求这两个数； (5)确定根的符号:(12,x x 是方程两根)； （6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根 的平方和或平方差是多少、两根是Rt ?的两直角边求斜边等情况. 注意：（1）222 121212()2x x x x x x +=+-? （2）22121212()()4x x x x x x -=+-?； 12x x -= （3）①方程有两正根，则1212 00x x x x ?≥?? +>???>?； ②方程有两负根，则1212 000x x x x ?≥?? +? ； ③方程有一正一负两根，则12 0x x ?>?? ??? --
东官庄镇刘坡小学集体备课记录表 后附：精备课教案
《方程解决问题（一）》教学设计 ——宋屯小学王付丽 教学内容：课本106页例1. 教学目标： 1、能在具体的情境中找出等量关系，初步掌握列方程解决问题的基本方法。 2、会根据等量关系列出方程解决比较简单的实际问题。 教学重难点：找出等量关系，掌握列方程解决问题的基本方法。 教具准备：多媒体、小黑板。 教学过程： 揭题示标： 导入新课： 课件出示教科书第104页的主题图。 师：刘叔叔去加油站加汽油，工作人员给他加了一些后，可刘叔叔说还不够，你能根据他们的对话求出工作人员第二次加了多少升汽油吗？ 生：能！ 师：请在本子上试一试。 指名回答，师板书：50-28=22（升） 师：有和他不一样的方法吗？ 今天我们就来研究这类问题的另一种解决方法：列方程解决问题。
板书课题：解决问题（一） 出示学习目标：（生齐读） ①能在具体的情境中找出等量关系，初步掌握列方程解决问题的基本方法。 ②会根据等量关系列出方程解决比较简单的实际问题。 学习指导： 认真看课本106页的例1，仔细读题，分析题目。重点看分析题目的过程，思考： 1、认真读题，你能了解哪些数学信息？ 2、除了题中所给的等量关系，你能写出哪些等量关系？ 3、根据你写出的等量关系，列出方程并解答。 4、总结出列方程解决简单问题的方法。 （自研时间6分钟，自研后先组内交流，然后汇报展示，比一比哪组展示的最精彩） 要求：坐姿端正，看书认真。 自研共探 自主学习 学生看书自学，教师巡视。 交流合作，共同探究 自研完成后，同桌交流，组内交流，组长负责收集统一答案，没有解决的问题记录下来，以备下一步展示。 汇报展示
备课时间：8月15日 上课时间：8月24日 §3.1.1倾斜角与斜率 一、 教学目标： （1）知识与技能：理解直线倾斜角和斜率的概，掌握过两点的直线的斜率公式及其应用. （2）过程与方法：培养学生对数学知识的理解应用能力及转化能力；使学生初步了解数形结合分类讨论思想. （3）情感态度与价值观：从学习中体会到用代数方法解决几何问题的优点，能够从不同角度去分析问题，体会代数与几何结合的数学魅力。 二、教学重难点： （1）教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式； （2）教学难点：斜率概念的学习，过两点的直线的斜率公式。 三：课时计划：1课时 四、教学过程： 学习目标： 1、 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握它们之间的关系； 2、 掌握过两点的直线的斜率计算公式及其简单的应用。 （一）课题导入 前面，我们学习了两点确定一条直线。 问题1：一点能够确定一条直线？ 问题2：了加多一个点外，在已知一个点的基础上能不能加上另外一个条件使到它能确定一条直线？ 【老师板书】画坐标平面以及一条直线，点出直线上一点，过此点画多条直线。 问题3：这些直线有什么共同点（过同一点，倾斜程度不一样） 如何刻画直线的倾斜程度呢？这就是本节课我们要学习的内容…… （二）讲授新课 1、 直线倾斜角的定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫 做直线l 的倾斜角。 例题：最后在黑板上用尺子依照定义说法比画出倾斜角将直线倾斜角的可能情况显示出来（共四种情况：平行于x 轴，经过一、三象限，垂直于x 轴，经过二、四象限） 注意：（1）直线的向上方向；（2）x 轴的正方向；（3）倾斜角范围是)180,0[??。 练习：下列三个图中所指的角是不是直线的倾斜角？ 命制：王露 校对：高一数学组 审核：刘金琼 第三章 第1节 直线的倾斜角与斜率(第1课时)
第二十二章《一元二次方程》教材分析 北京八中刘颖 一. 本章的主要内容: 1. 主要内容: 一元二次方程及其有关概念, 一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法）, 运用一元二次方程分析和实际问题. 2. 本章重点：一元二次方程的解法, 难点：一元二次方程的应用. 二. 中考考试要求: （2012年） 三. 课程学习目标 1. 以分析实际问题中的等量关系并求解其中的未知数为背景, 认识一元二次方程及其有关概念. 2. 根据化归的思想, 抓住―降次‖这一基本策略, 掌握配方法、公式法和因式分
解法等一元二次方程的基本解法．有条件时可选学―一元二次方程的根与系数的关系‖, 拓展对一元二次方程的认识. 3. 经历分析和解决实际问题的过程, 体会一元二次方程的数学模型作用, 进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力. 四. 本章知识结构框图 五. 课时安排 本章教学时间约需13课时, 具体分配如下（仅供参考）: 22.1一元二次方程………………（2课时） 22.2降次——解一元二次方程…（7课时） 22.3实际问题与一元二次方程…（2课时） 数学活动与小结…………………（2课时）
六. 内容安排 22.1 节以实际问题为背景, 引出一元二次方程的概念, 归纳出一元二次方程的一般形式, 给出一元二次方程的根的概念, 并提出一元二次方程的根会出现不唯一的情况. 这些概念是全章后续内容的基础. 22.2节讨论一元二次方程的基本解法, 其中包括直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法等, 这一节是全章的重点内容之一. 在本章之前的方程都是一次方程或可化为一次方程的分式方程, 一元二次方程是首次出现的高于一次的方程.解二次方程的基本策略是将其转化为一次方程, 这就是―降次‖. 本节首先通过解比较简单的一元二次方程, 引导学生认识直接开平方法解方程; 然后讨论比较复杂的一元二次方程, 通过对比一边为完全平方形式的方程, 使学生认识配方法的基本原理并掌握其具体方法; 有了配方法作基础, 再讨论如何用配方法解一元二次方程的一般形式20 a≠), 就得到一元二次方程 ++=(0 ax bx c 的求根公式, 于是有了直接利用公式的公式法, 并引出用判别式确定一元二次方程的根的情况. 本节在公式法后讨论因式分解法解一元二次方程, 这种解法要使方程的一边为两个一次因式相乘, 另一边为0, 再分别令每个一次因式为0. 这几种解法都是依降次的思想, 将二次方程转化为一次方程, 只是具体的降次手段有所不同. 本节最后增加了选学内容―一元二次方程的根与系数的关系‖. 学习这一内容可以进一步加深对一元二次方程及其根的认识, 为以后的学习做准备. 22.3节安排了3个探究内容, 结合实际问题, 分别讨论传播问题、增长率问题和几何图形面积问题. 一元二次方程与许多实际问题都有联系, 本节不是按照实际问题的类型分类和选材的, 而是选取几个具有一定代表性的实际问题来进一步讨论如何建立和利用方程模型, 重点在分析实际问题中的数量关系并以方程形式进行表示, 这种数学建模思想的体现与前面有关方程的各章是一致的, 只是在问题中数量关系的复杂程度上又有新的发展, 数学模型由一次方程或可
知识点总结：一元二次方程 知识框架 知识点、概念总结 1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程； (4)将方程化为一般形式：ax 2 +bx+c=0时，应满足（a ≠0）； 3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，?都能化成如下形式ax 2 +bx+c=0（a ≠0）。一个一元二次方程经过整理化成ax 2 +bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是 b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 （2）配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配 方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有 222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2 =q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根． （3）公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x （4）因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。5.一元二次方程根的判别式 根的判别式：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根的 判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=? 6.一元二次方程根与系数的关系 如果方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x - =+21，a c x x =21。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 7.分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 8.分式方程的一般解法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程 （3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。 知识点1.只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。 例题： 1、判别下列方程是不是一元二次方程，是的打“√”，不是的打“×”，并说明理由. (1)2x 2-x-3=0. (2) 4 y -y 2 =0. (3) t 2=0. (4) x 3-x 2=1. (5) x 2-2y-1=0. (6) 21 x -3=0.
最新整理初一数学教案七年级数学集体备课集体备课记录表 时间 20xx-11-28 地点 七年级办公室 学科 数学 年级 七年级 中心发言人 XXX 备课内容 实际问题与一元一次方程 应出席人员 XXX,XXX,XXX,XXX 缺席人员 无 集 体 发 言 记
录 XXX：一元一次方程是初中数学中的主要内容之一，它不仅是学习其它方程的基础，而且是一种重要的数学思想——方程思想，利用方程思想可以使许多实际问题变得直接易懂，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。更深刻地体会数学的应用价值。这里面涉及到数学建模思想，它是在对问题深入地思考、分析、抽象的基础上，用数学方法去解决实际问题，建立数学模型。方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。本章中的列方程解应用题就是培养学生的数学建模思想。还有数形结合思想，这主要体现在列方程解应用题时，尤其是对行程问题的分析解决中。 集 体 发 言 记 录 XXX：注重几种基本题型的应用题：商品利润问题，储蓄问题，行程问题，行船问题，工程问题，调配问题，比例分配问题，个人所得税问题，数字问题，等积变形问题。这是一些经典题型。同时注意一些图表型应用题，阅读理解型等新颖的应用题。 XXX：教材为了更好地体现数学与生活的联系，在讲一元一次方程的解法时，都是先通过一道生活实际问题引入的，然后探讨方程的解法，我的建议是，对于引例的讲解，可以先用算术法，大部分学生习惯这种解法，再引导学生用方程的方法，从而使学生逐步认识到代数方法的优越性。在列出方程后，引导学生探讨
完方程的每一步骤后，熟练了应用这一步骤解方程后，在开始下一步骤的学习。 XXX：教师可以把重点放在教学情境的设计上，通过学生自己探索，获取知识，学生通过特殊问题归纳出一般性的结论，既训练学生归纳总结的能力和口头表达的能力，又能使学生对法则记得牢、领会得深刻。 记录人：XXX
一元二次方程教材分析 一.本章内容分析 本章主要介绍了一元二次方程及有关概念,一元二次方程的解法,运用一元二次方程分析和解决实际问题。其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容。 方程是科学研究中重要的数学思想方法,也是后续内容学习的基础和工具,本章是对一元一次方程知识的延续和深化,同时为二次函数的学习作好准备. 数学建模思想的教学在本章得到进一步渗透和巩固. 二.课时安排： 17.1 一元二次方程 2课时 17.2 降次 9课时 17.3 实际问题与一元二次方程 4课时 小结 2课时
四、单元内容分析 17.1 一元二次方程 本单元分两课时,以实际问题为背景,引出一元二次方程的概念,归纳出一元二次方程的一般形式,给出一元二次方程根的概念,并提出一元二次方程的根是两个,通常几次方程就有几个根. ⒈德育目标：引导学生在一次方程、方程组学习的基础上，联系函数的基本知识，进一步观察和探索现实世界中的数量关系及其变化规律。 教学目标:通过实际问题了解一元二次方程的定义及一般形式； 会将一个整式方程化为一元二次方程的一般形式，并能指出二次项及二次项系数、一次项及一次项系数和常数项。 教学重点:一元二次方程及有关概念的理解. 教学难点:准确的化为一元二次方程的一般式. ⒉学法点拨： ◆一元二次方程的定义,书中以未知数的个数和次数为标准, 用文字叙述形式给出的. ◆理解一元二次方程的定义关键注意三点：整式、一个未知数、 最高次数为2。 ◆对一元二次方程理解时，一定注意“a≠0”这一条件。 ◆把一个方程化为一般形式时应用了解一元一次方程的变形 方法：去分母---去括号---移项---合并同类项。 ◆注意:①当a是负值时，一般转化为正数； ②多给出b=0或c=0或b、c同时为0的例子。如：
解一元二次方程: 例1 x 2 -4-(2x+4)=0 （因式分解法）解：（x+2)(x-2)-2(x+2)=0 (x+2)[(x-2)-2]=0 (x+2)(x-4)=0 所以 x 1=-2 ， x 2=4. （配方法）解：x 2 -2x-8=0 X 2-2x=8 X 2 -2x+(-1)2 =8+(-1)2 即(x-1)2=9 X-1=±3 所以 x 1=4 , x 2=-2. （公式法）解：x 2 -2x-8=0 →Δ=(-2)2 -4×1×(-8) =36>0 所以 x 1,2=1 236)2--?±（ 即x 1=4 , x 2=-2. （“x 2 +(a+b)x+ab=0→(x+a)(x+b)=0”法） 解：x 2-2x+(-4)2?=0 (X-4)(x+2)=0 所以 x 1=4 , x 2=-2. 1
例2 用配方法解下列一元二次方程： (1) x 2 -6x+5=0; (2) 2x 2 +4x-3=0; (3) 9x 2 +6x-1=0; (4) 4x 2-12x+m=0 (m 为任意实数）. 解：(1) x 2-6x=-5 X 2 -6x+(-3)2 =-5+(-3)2 即(x-3)2 =4 X-3=±2 所以 x 1=5 , x 2=1. (2) x 2 +2x=2 3 X 2 +2x+12 =2 3+12 (X+1)2 =2 5 X+1=± 210 所以 x 1=-1+ 2 10 , x 2=-1- 2 10 (3) (3x)2 +2×3x=1 (3x)2 +2×3x ×1+12 =1+12 (3x+1)2=2 3x+1=2± 所以x 1=32 1-+ ,x 2=-3 2 1+ . 2
第五单元：认识人民币 主备人：刘小艳 其他备课人：范可刘欢曾金霞尹娟娟 教学内容：认识人民币（一） 教学目标: 1、认识人民币，知道人民币的单位是元、角、分。 2、知道元、角、分之间的十进制关系，懂得1元=10角、1 角=10分，学会兑换人民币，知道人民币的功用。 3、培养观察能力、实践能力和推理能力及合作精神。 4、对学生进行爱护人民币和节约用钱教育。 。 教学重点：认识各种面额的人民币。 教学难点：元、角、分之间的关系。 教学准备：CAI课件一套常用的面额的人民币(不同版本的) 教学过程：
教学反思： 第一单元：认识人民币主备人：刘小艳
其他备课人：范可刘欢曾金霞尹娟娟 教学内容：认识人民币（二） 教学目标: 1、认识人民币，知道人民币的单位是元、角、分．掌握l元=10角，1角=10分，初步学会简单的化聚。 2、对学生进行爱护人民币和不乱花钱的教育。 3、培养学生思维的灵活性和有序性。 教具准备 1、小朋友到超市购物的课件及人民币有关挂图。 2．1角的硬币10个，用胶布粘连在一起；1分的硬币l个，用胶布粘在一起。 3．学生每人一份配套的学具。 教学重、难点：掌握l元=10角，1角=10分，初步学会简单的化聚。。 教学过程：
教学反思： 第二单元：认识人民币主备人：刘小艳
其他备课人：范可刘欢曾金霞尹娟娟 教学内容：认识人民币（三） 教学目标: 1、进一步巩固认识人民币的单位元、角、分知道1角=10分 2、认识单位是元的人民币之间的关系。 3、体会人民币在社会生活、商品交换中的功能和作用。 教学重点：1元=10角 1角=10分 教学难点：认识单位是元的人民币之间的关系。 教学过程：
《一元二次方程》单元教材分析 一. 教学内容： 复习目标：（辅导时各位老师要学生掌握的点，每节课可以视情况巩固两点） ⑴了解一元二次方程的有关概念． ⑵能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、?因式分解法解一元二次方程． ⑶会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况． ⑷知道一元二次方程根与系数的关系，并会运用它解决有关问题． ⑸能运用一元二次方程解决简单的实际问题． ⑹了解数学解题中的方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想． 二. 基础知识回顾 1. 方程中只含有_______?个未知数，?并且未知数的最高次数是_______，?这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：_____ __（）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________． 例如：一元二次方程7x－3＝2x2化成一般形式是________?其中二次项系数是_____、一次项系数是_______、常数项是________． 2. 解一元二次方程的一般解法有 ⑴_________；⑵________；⑶?_________；?⑷?求根公式法，?求根公式是______________． 3. 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，?它没有实数根．例如：不解方程，判断下列方程根的情况： ⑴x（5x＋21）＝20 ⑵x2＋9＝6x ⑶x2－3x＝－5 4. 设一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝_______，x1·x2＝______． 例如：方程x2＋3x－11＝0的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝________；x1·x2＝_______． 5. 设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝?_______，?x1·x2＝________． 三. 重点讲解 1. 了解一元二次方程的概念，对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个（强调是三个）特点，即①是整式方程（重点强调）；②化简后只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2． 2. 解一元二次方程时，应根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法． （通过教材课后习题的演练，可以很明显的发现利用十字相乘法解方程时二次项系数时常不是一，而有些学生十字相乘法中对于二次项系数不为一的题目会无所适从，不妨多加练习，但厦门近三年的中考中没有出现过类似的题目） 3 .一元二次方程 20(0) ax bx c a ++=≠的根的判别式正反都成立．利用其可以 ⑴不解方程判定方程根的情况（有根，有两个根，有两个不同的根分别代表⊿的取值范围）； ⑵根据参系数的性质确定根的范围（有两正根，两负根，一根正一根负，只有一个根大于某常数）； 针对只有一个根大于某一常数的题型举例如下： ⑶解与根有关的证明题（判断三角形的形状，某一恒等式证明）． 举例如下： 4. 一元二次方程根与系数的应用很多：⑴已知方程的一根，不解方程求另一根及参系数；⑵已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；⑶已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 5. 能够列出一元二次方程解应用题．能够发现、提出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程．
主备教师李学雄课题循环小数 设计意图综述通过生活中的例子，引出循环的概念，通过实际计算，理解循环小数的意义，掌握循环小数的计算方法，并能熟练地进行计算；让学生观察它们的商有什么特点，在自主探究、协作小组集体探究活动中，体现新课标的理念。 活动目标1、在自主计算、借助计算器计算的活动中，经历初步认识循环小数的过程。2、知道什么是循环小数，能指出哪些商是循环小数。3、体会计算器的作用，在借助计算器进行教学的活动中获得成功的体验。 教学准备多媒体课件 （一）从生活现象中，感知“循环” 1、首先采用聊天的形式引入，问学生最喜欢星期几？ 为什么？ 学生自由发言后师提问：这个愿望可能实现吗？为什 么？ 引导学生说出星期一、星期二、一直到星期日，一个挨 一个按一定的顺序出现，我们把它叫做“依次”，（板 书：依次不断重复出现） 2、然后让学生说说生活中还在哪些地方见过这 种“依次不断的重复出现的”的现象。 师小结：生活中象这种“ 依次不断重复出现”的现象很多，我们把这种现象还可以叫做——（循环现象，板 书：循环） （二）从数学现象中，认识“循环” 1、从王鹏的速度中发现“循环”现象 （1）出示王鹏赛跑图，问学生：男生400米谁跑得最快？成绩如何？王鹏平均每秒跑了多少米？ （2）信息：王鹏75秒跑400米。 （3）独立计算，然后在小组内讨论，同时请两名学生板演。 （4）小组讨论后指名汇报：在计算中遇到了什么情况？出现了什么现象或规律？ （5）利用课件突破教学重点和难点 课件一（先让学生观察400÷75的竖式。）
教学过程与方法 ①余数不断重复出现 ,商不断重复出现。②商不断重复出现几个数字？（板书：一个数字）③“3”是从哪里开始重复出现的？（板书：小数部分，从第一位起）④商怎么写？（引导板书：5.3333…，让学生说 出“…”表示的含义。） 课件二：（在让学生观察78.6÷11的竖式。） ①余数依次不断重复出现5和6,商依次不断重复出现4和5②商依次不断重复出现几个数字？（板书：两个数字）③“4”和“5”是从哪里开始依次不断重复出现的？（板书：小数部分，从第二位起）④商怎么写？（引导板书：7.14545…） 2、小结并揭示课题：象5.3333…、7.14545…这样的小数我们也给它取个名字？叫——（循环小数，板书课题） 3、补充完整“循环小数”的概念 (1) 引导学生先将“从第一位起”和“从第二位起”这两句话融合成一句话：从某一位起。(2) 再将“一个数字”和“两个数字”融合成为一个数字或几个数字。 (3) 接着请学生根据板书把循环小数的概念说得更完整些，教师完整板书概念。 4、在学生用自己的话归纳出了什么是循环小数之后，让他们看书学习第28页，解决以下问题： (1)什么是循环小数？你觉得重点词语有哪些？(2)什么是循环节？(3)怎样简便写出循环小数？(4)怎样读循环小数？ 反馈交流，根据学生回答，教师划出重点词并板书简写。 （三）从数字乐园中，理解“循环” 1、下面哪些小数是循环小数？为什么？如果是，说出它的循环节，0.43561… 2.3535 4.1212… 7.432432… 1.02525… 0.153434… 2、用竖式计算下面各题，哪些是循环小数？将循环小数表示出来。 5.7÷9 5÷8 6.64÷3.3 （四）第四个环节是：区分有限小数和无限小数。 出示：15÷16 1.5÷7 4.5÷1.8 3.7÷2.2 要求四人小组分工合作每人计算一题，计算后讨论：
中考数学一元二次方程知识点总结 知识框架 知识点、概念总结 1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行 整理。如果能整理为 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。 （4）将方程化为一般形式：ax 2 +bx+c=0时，应满足（a≠0） 3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，?都能化成如下形式ax 2 +bx+c=0（a ≠0）。 一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如 b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±?=，当b<0时，方程没有实数根。 （2）配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式2 2 2 )(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有2 2 2 )(2b x b bx x ±=+±。 配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方 程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2 =q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根． （3）公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式：
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．解方程： 2212x x 6x 9-=-+（） 【答案】124x x 23 ==-， 【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可. 试题解析：因式分解，得 2212x x 3-=-（）（） 开平方，得 12x x 3-=-，或12x x 3-=--（） 解得124x x 23 ==-， 2．已知关于x 的一元二次方程()2204 m mx m x -++ =. （1）当m 取什么值时，方程有两个不相等的实数根； （2）当4m =时，求方程的解. 【答案】（1）当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）134 x +=， 234 x = . 【解析】 【分析】 （1）方程有两个不相等的实数根，>0?，代入求m 取值范围即可，注意二次项系数≠0； （2）将4m =代入原方程，求解即可. 【详解】 （1）由题意得：24b ac ?=- =()2 2404m m m +->，解得1m >-. 因为0m ≠，即当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根. （2）把4m =带入得24610x x -+=，解得1x = ，2x =. 【点睛】 本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键. 3．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴
影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ? 【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m 【解析】 【分析】 根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答. 【详解】 解:设绿化区宽为y ，则由题意得 502302x y -=-. 即10y x =- 列方程: 50304(10)1344x x ?--= 解得13x =- (舍)，213x =. ∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m 【点睛】 本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心． 4．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x 元（40≤x ≤60），每星期的销售量为y 箱． （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？ （3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元? 【答案】(1)y =-10x +780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元 【解析】 【分析】 （1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x 元,则多销售的数量为60-x, （2）解一元二次方程即可求解, （3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解. 【详解】 解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱, 设该苹果每箱售价x 元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x ）=-10x+780,(40≤x≤60), (2)依题意得：
一年级数学上册集体备课第一次（整册教材梳理）教学设计 Teaching design for the first time of collective lesson preparation (sorting out the whole tex tbook) of mathematics volume 1 of grade 1
一年级数学上册集体备课第一次（整册教材 梳理）教学设计 前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科， 从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代 的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要 求和针对教学对象是小学生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的 设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文下载后内容可随 意修改调整及打印。 年级：一年级数学 时间：9月2日 备课组长： 主备人： 参加人员：一、二年级全体数学老师 教研主题：整册教材梳理 一、教学内容和教学目标 这一册教材包括下面一些内容：数一数，比一比，10以内数 的认识和加减法，认识图形，分类，11～20各数的认识，认识钟表，20以内的进位加法，用数学，数学实践活动。重点教学内容 是10以内的加减法和20以内的进位加法。除了认数和计算以外，教材安排了常见几何图形的直观认识，比较多少、长短和高矮， 简单的分类，以及初步认识钟面等。虽然每一单元的内容都不多，但是都很重要，有利于学生了解数学的实际应用，培养学生学习
数学的兴趣。 这一册教材的教学目标是，使学生能够： 1．熟练地数出数量在20以内的物体的个数，会区分几个和第几个，掌握数的顺序和大小，掌握10以内各数的组成，会读、写0～20各数。 2．初步知道加、减法的含义和加、减法算式中各部分名称，初步知道加法和减法的关系，比较熟练地计算一位数的加法和10以内的减法。 3．初步学会根据加、减法的含义和算法解决一些简单的实际问题。 4．认识符号“＝”、“＞”、“＜”，会使用这些符号表示数的大小。 5．直观认识长方体、正方体、圆柱、球、长方形、正方形、三角形和圆。 6．初步了解分类的方法，会进行简单的分类。 7．初步认识钟表，会认识整时和半时。 8．体会学习数学的乐趣，提高学习数学的兴趣，建立学好数学的信心。 9．认真作业、书写整洁的良好习惯。 10．通过实践活动体验数学与日常生活的密切联系。 二、教材的编写特点 如前所述，这册实验教材是以《标准》的基本理念和所规定
2.3二次函数与一元二次方程、不等式第1课时一元二次不等式及其解法 学 习目标核心素养 1.掌握一元二次不等式的解法(重点). 2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题(难点). 通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养. 1．一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)． (3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 思考1：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？ 提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式． 3．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集． 思考2：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使
等式成立”．不等式x 2>1的解集及其含义是什么？ 提示：不等式x 2>1的解集为{x |x <－1或x >1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立． 4．三个“二次”的关系 设 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 解不等式y ＞0或y ＜0的步骤 求方程y ＝0的解 有两个不相等的实 数根x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两个相等的实 数根x 1＝x 2＝－ b 2a 没有 实数根 画函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象 得等的集不式解 y ＞0 {x |x ＜x 1_或x ＞x 2} ??? x ? ???? ?x ≠－b 2a R y ＜0 {x |x 1＜x ＜x 2} ? ? 思考3：若一元二次不等式ax 2条件？ 提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax 2＋x －1>0的解集为R ，则? ???? a >0，1＋4a <0，解得a ∈?，所以不存在a 使不等式ax 2＋x －1>0的解集为R . 1．不等式3＋5x －2x 2≤0的解集为( ) A.?????? ??? ?x ??? x ＞3或x ＜－12 B.? ????? ????x ??? －1 2≤x ≤3 C.?????? ??? ?x ? ?? x ≥3或x ≤－1 2 D ．R
中考数学一元二次方程试题 一、选择题 1、一元二次方程2 210x x --=的根的情况为（ ） Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根 2、若关于z 的一元二次方程02. 2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m
一元二次方程单元测试题 一、选择题（共30分） 1、若关于x 的方程（a －1）x 21a +＝1是一元二次方程，则a 的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、 ±1 D 、1 2、下列方程: ①x 2=0, ② 21 x -2=0, ③22x +3x=(1+2x)(2+x), ④32x =0,⑤3 2x x -8x+ 1=0中,一元二次方程的个数是( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、把方程（））+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是( ) A 、5x 2-4x-4=0 B 、x 2-5=0 C 、5x 2-2x+1=0 D 、5x 2-4x+6=0 4、方程x 2=6x 的根是( ) A 、x 1=0,x 2=-6 B 、x 1=0,x 2=6 C 、x=6 D 、x=0 5、不解方程判断下列方程中无实数根的是( ) A 、-x 2=2x-1 B 、4x 2+4x+54 =0 C 20x -= D 、(x+2)(x-3)==-5 6、某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( ) A 、200(1+x)2=1000 B 、200+200×2x=1000 C 、200+200×3x=1000 D、200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000 7、关于x 的二次方程01)1(22=-++-a x x a 的一个根是0，则a 的值为（ ） A 、1 B 、1- C 、1或1- D 、0.5 8、关于x 的方程x 2+2(k+2)x+k 2=0的两实根之和大于-4,则k 的取值范围是( ) A 、k>-1 B 、k<0 C 、-1
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