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高考数学备考之放缩技巧
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1（1）求∑
=-n
k k 12
142的值; （2）求证:3
511
2
<∑=n
k k .
解析:（1）因为121121)12)(12(2142
2+--=+-=-n n n n n ,所以12212111
4212
+=+-=-∑=n n n k n k （2）因为
??? ??+--=-=-
<1211212144
4
111
222
n n n n n ,所以35321121121513121112=+
k 奇巧积累:（1）
??
? ??+--=-<=121121
2144441222n n n n n （2）
)
1(1)1(1)1()1(212
11
+--=-+=+n n n n n n n C C n n
（3）)2(111)1(1!11)!(!!11
≥--=-<
C T
r r r
n r
（4）25)1(123112111)11(<-++?+?++<+n n n n
（5）
n
n n
n
2
1
121)12(21--=- （6）
n n n -+<+22
1
（7）)1(21)1(2--<<-+n n n n n （8）n
n n n n n n 2)32(1
2)12(12
13211
221
?+-?+=
???? ??+-+-
（9）
?
?
? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 （10）!
)1(1!1!)1(+-
=+n n n n （11）
2
1
2121
21222)1212(21-++
=
-++=
--+ （12） )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(211 12≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n （13）1 11)1(1)1(1)1)(1(1112 3 --+????? ??+- -=+-< ?= n n n n n n n n n n n n 1 111211111 1 +--<-++? ??? ??+--=n n n n n n n （14）3 212132122)12(332)13(2221n n n n n n n n n <-? >-?>-?>?-=?=+ （15） ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k （16） )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n （17） 11 1) 11)((1122222 22 2<++ ++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2（1）求证:)2()12(21 67) 12(15 13 112 2 2≥-->-+ +++n n n （2）求证:n n 412 14136 116 14 12 -<++++ （3）求证:1122642)12(5316 425314 2312 1-+ n （4）求证：)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n 解析:（1）因为 ??? ??+--=+->-12112121)12)(12(1) 12(12 n n n n n ,所以 ) 1 2131(211)12131(211) 12(1 1 2 --+>+-+>-∑=n n i n i （2）)111(4 1)12 11(4 14136 116 14 12 22n n n -+<+++=++++ （3）先运用分式放缩法证明出1 212642)12(531+< ????-????n n n ,再结合 n n n -+<+22 1进行裂项,最后就可以得到答 案 （4）首先 n n n n n ++= -+>12)1(21,所以容易经过裂项得到 n n 13 12 11)11(2+ ++ + <-+ 再证 2 1 2121 21222)1212(21-++ = -++= --+ 而由均值不等式知道这是显然成立的，所以 )112(213 12 11-+<+ ++ + n n 例3 求证: 3 5 191411)12)(1(62<++++≤++n n n n 解析:一方面:因为??? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = + n k 另一方面:1 111)1(14313 21119 14 112 += +-=++ +?+?+>++++n n n n n n 当3≥n 时, ) 12)(1(61++> +n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ , 当2=n 时, 21 91411)12)(1(6n n n n ++++<++ ,所以综上有 3 5 191411)12)(1(62<++++≤++n n n n 例4 设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b -≥.证明:1k a b +>. 2 解析:由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列,故存在正整数k m ≤,使b a m ≥,则 b a a k k ≥>+1,否则若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤ 0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=k m m m k k k k a a a a a a a 1 11 ln ln ,因为)ln (ln 11 b a k a a k m m m <∑=, 于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111 例5 已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1) 1()1(1 1 -+<+<++m n m n S m n . 解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1( ∑ =++++++++--=-++---+--=n k m m m m m m m m k k n n n n n 1 11111111])1([01)2()1()1( 所以要证 1) 1()1(1 1 -+<+<++m n m n S m n 只要证: ∑∑∑=+++++++++==++-+=- ++--+-+=-+<+<--n k m m m m m m m m m n k m n k m m k k n n n n n k m k k 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ] ) 1[(2 ) 1() 1(1) 1()1(]) 1([ 故只要证 ∑∑∑=++==++-+<+<--n k m m n k m n k m m k k k m k k 1 111 1 11])1[()1(])1([,即等价于 m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m k k m k k m 而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,n n n a a a T +++= 212,求证:2 3321<++++n T T T T . 解析:)21(2)14(3 42 1)21(24 1)41(4)222(444421321n n n n n n n T -+-=-----=+++-++++= 所以 1 23)2(22 2322342323 23422234342)21(2)14(3 42 2 111111 +?-??=+?-?=-+=-+-= -+-= ++++++n n n n n n n n n n n n n n n n T ?? ? ??---=--??= +12112123)12)(122(2231n n n n n 从而2 312 11217 13 13 11231 321 ?---++-+-=+++++n n n T T T T 例7 已知11=x ,???∈=-∈-==) ,2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n ,求证: *))(11(21 1 1 4 1 224 544 3 2N n n x x x x x x n n ∈-+>+ +?+ ?+ 证明: n n n n n n x x n n 222141 141 ) 12)(12(1 1 4 2 4 2 4 4 1 22= ?=> -= +-= +,因为 12++ ) 1(21 2 221 4 1 22n n n n n x x n n -+=++> > + 所以 *) )(11(21 1 14 1 224 5 44 3 2N n n x x x x x x n n ∈-+>+ +?+ ?+ 二、函数放缩 例8 求证：)(6 6533 3ln 4 4ln 3 3ln 2 2ln *N n n n n n ∈+-<++++ . 解析:先构造函数有x x x x x 11ln 1ln -≤?-≤,从而)3 13121(133 3ln 44ln 33ln 22ln n n n n +++--<++++ 因为??? ??++++++??? ??++++++??? ??+=+ ++n n n n 311212 1 9181716151413121313 121 6 53332327918993636511 1n n n n n =???? ??+?++??? ??++??? ??++>--- 所以6 6536 5133 3ln 4 4ln 3 3ln 2 2ln +-=--<++++n n n n n n 例9 求证:(1)12ln 3ln 2ln 2 --n n n α ααααα 解析:构造函数后即可证明 3 例12 求证:32)]1(1[)321()211(->++???+??+n e n n 解析: 1 )1(3 2]1)1(ln[++- >++n n n n ,叠加之后就可以得到答案 例13 证明:)1*,(4 ) 1(1ln 54ln 4 3ln 3 2ln >∈-<++ +++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到: 1 2111)('--= --= x x x x f ,令0)('>x f 有21< 所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以2 1 1 ln -≤+n n n ,所以)1*,(4 )1(1ln 54ln 4 3ln 3 2ln >∈-<++ +++n N n n n n n 例14 已知112 111,(1).2 n n n a a a n n +==+++证明2n a e <. 解析: n n n n n a n n a n n a )21 )1(11(2 1))1(11(1+++<+++ =+, 然后两边取自然对数,可以得到n n n a n n a ln )2 1 )1(11ln(ln 1 ++++ <+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：? + ++ ≤+n n n a n n a )2 1 11(2 1? ++ ++ ≤+n n n a n n a ln )2 111ln(ln 2 1 n n n n a 2 1 1ln 2 +++ ≤。于是 n n n n n a a 2 1 1ln ln 2 1++≤ -+， . 221122 11)21(111ln ln )2 11()ln (ln 1 1211 11 1 <--=--+-≤-?++≤---=+-=∑ ∑ n n n i n i i i n i n n a a i i a a 即.2ln ln 21e a a a n n 注：题目所给条件ln(1)x x +<（0x >）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然， 本题还可用结论)2)(1(2≥->n n n n 来放缩： ? -+-+≤+) 1(1)) 1(11(1 n n a n n a n n ? +-+ ≤++)1)() 1(11(11n n a n n a .)1(1 ))1(11ln()1ln()1ln(1-<-+ ≤+-++n n n n a a n n 111)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([21 2 112<-<+-+?-<+-+?∑∑-=+-=n a a i i a a n n i i i n i ， 即.133ln 1)1ln(2e e a a n n <- 例15 已知函数)(x f 是在),0(+∞上处处可导的函数,若)()('x f x f x >?在0>x 上恒成立. （1）求证：函数 ),0() ()(+∞= 在x x f x g 上是增函数； （2）当)()()(:,0,0212121x x f x f x f x x +<+>>证明时； （3）已知不等式01)1ln(≠-><+x x x x 且在时恒成立， 求证： ). ()2)(1(2)1ln() 1(14ln 413ln 312ln 21*22 222222N n n n n n n ∈++>++++++ 解析:（1）0)()(')('2 >-= x x f x x f x g ,所以函数),0()()(+∞=在x x f x g 上是增函数 (II)因为),0() ()(+∞= 在x x f x g 上是增函数,所以 ) ()()()(212 111212111x x f x x x x f x x x x f x x f +?+ 122212122x x f x x x x f x x x x f x x f +?+ )()()()(21211 1212111n n n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++ ()()()(212122212122n n n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++ ()()()(21212121n n n n n n n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++ 相加后可以得到: )()()()(2121n n x x x f x f x f x f +++<+++ 所以)l n ()(ln ln ln ln 2121332211n n n n x x x x x x x x x x x x x x ++++++<++++ 令 2 )1(1 n x n += ,有 ???? ??++++????? ??+++++22 22222)1(13121ln )1(1413121n n ???? ??+++?+?????? ??++++ 31121ln )1(1312122 2 ) 2)(1(2212 111++- =?? ? ??+-??? ??+- 所以 ). ()2)(1(2)1ln() 1(14ln 413ln 312ln 21*22 222222N n n n n n n ∈++>++++++ (方法二)? ? ? ??+-+=++≥+++> ++2111 4ln )2)(1(4ln )2)(1()1ln()1()1ln(22 2 n n n n n n n n n 所以 ) 2(24ln 2121 4ln )1ln()1(14ln 413ln 312ln 2122222222+=??? ??+->++++++n n n n n 又1114ln +> >n ,所以).()2)(1(2)1ln() 1(14ln 413ln 312ln 21*22222222N n n n n n n ∈++>++++++ 例16 已知函数.ln )(x x x f =若).()(2ln )()(:,0,0b f b a f b a a f b a -+≥++>>证明 解析:设函数()()(),(0)g x f x f k x k =+-> . 2 021,0)(,ln 1)ln(1ln )(. 0), ln()(ln )(,ln )(k x k x k k x x k x x g x k x x k x x g k x x k x k x x x g x x x f <--?>->'-=---+='<<∴--+=∴=则有令 ∴函数 k k x g ,2 [)(在）上单调递增，在]2 ,0(k 上单调递减. 4 ∴)(x g 的最小值为)2 (k g ，即总有).2 ()(k g x g ≥ 而, 2ln )()2ln (ln 2 ln )2()2()2 (k k f k k k k k k f k f k g -=-==-+= ,2ln )()(k k f x g -≥∴ 即.2ln )()()(k k f x k f x f -≥-+ 令,,b x k a x =-=则.b a k += .2ln )()()()(b a b a f b f a f +-+≥+∴ ).()(2ln )()(b f b a f b a a f -+≥++∴ 三、分式放缩 姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++ 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之. 例19 姐妹不等式:12)1 211()5 11)(3 11)(11(+>-++++n n 和 1 21)211()611)(411)(211(+< +---n n 也可以表示成为 1 2) 12(5312642+>-???????n n n 和1 212642)12(531+ 解析: 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 可得 > -??1 225 63412n n =+??n n 212674523 )12(212654321+?-??n n n ?12)1 225 63412(2+>-??n n n 即.12)1 21 1()5 11)(311)(11(+>-+ +++n n 例20 证明:.13)2 31 1()711)(411)(11(3+>-++++n n 解析: 运用两次次分式放缩: 1 338956.232313784512-????>--????n n n n (加1) n n n n 31391067.342313784512+????>--???? (加2) 相乘,可以得到: )13(1323875421131381057.2423137 845122 +?--????=-+? ???>??? ??--????n n n n n n n 所以有.13)2 311()7 11)(4 11)(11(3+>-++++n n 四、分类放缩 例21 求证:2 1213 12 11n n >-+ +++ 解析: +++++++++>-+ +++ )2 1 212121()4141(211121312 113333n 2)2 11(221)212121( n n n n n n n >-+=-+++ 例22 在平面直角坐标系xoy 中, y 轴正半轴上的点列{}n A 与曲线x y 2= （x ≥0）上的点列{}n B 满足 n OB OA n n 1= =，直线n n B A 在x 轴上的截距为n a .点n B 的横坐标为n b ,*∈N n . （1）证明n a >1+n a >4，*∈N n ;（2）证明有*∈N n 0，使得对0n n >?都有n n n n b b b b b b b b 11 2 31 2+-++++ <2008-n . 解析:（1 ）依题设有：(()10,,,0n n n n A B b b n ??> ??? ，由1n OB n =得： 2*212,1,n n n b b b n N n += ∴∈,又直线n n A B 在x 轴上的截距为n a 满足 ( )() 11000n n a b n n ??? -=--? ???? n a 2222 1 210,2n n n n n b n b b n b =->+= 212n n n n a b n b ∴= ==+ 1n a 显然，对于110 1 n n > >+，有*14,n n a a n N +>>∈ （2）证明：设 *1 1,n n n b c n N b +=- ∈，则 ( ) ()() 22222 11121121 2121n c n n n n n n n ?- +??? ?++ > ++ ?()()() 2 *1 212210,,2 n n n n n c n N n ++-+=>∴> ∈+ 设*12,n n S c c c n N =++ +∈，则当() *221k n k N =->∈时， 23111 11111 11 1342123421 221 2n k k k k S -??????>++ + +=++++ +++ ? ? ?-++?????? 2123111122222 22 k k k -->? +?++? =。 所以，取4009022n =-，对0n n ?>都有： 200821 4017111012312=->>=???? ? ?-++???? ??-+???? ??-+n n n n S S b b b b b b 5 故有n n n n b b b b b b b b 11 2 31 2+-++++ <2008-n 成立。 例23 已知函数),1()(2R c b c bx x x f ∈≥++=，若)(x f 的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列}{n b 满足)() (*3N n n n f b n ∈=，记数列}{n b 的前n 项和为n T ，问是否存在正常数A ，使得对于任意正整数n 都有A T n <？ 并证明你的结论。 解析:首先求出x x x f 2)(2+=,∵n n n n n n f b n 1 2)(323>+== ∴n b b b b T n n 131211321++++>++++= ,∵214124131=?>+,218148 1716151=?>+++,… 2121221221121 1 11=?>+++++---k k k k k ,故当k n 2>时,12 +>k T n , 因此，对任何常数A ，设m 是不小于A 的最小正整数， 则当2 22 ->m n 时,必有A m m T n >=+->12 22. 故不存在常数A 使A T n <对所有2≥n 的正整数恒成立. 例24 设不等式组?? ? ??+-≤>>n nx y y x 3, 0,0表示的平面区域为n D ,设n D 内整数坐标点的个数为n a .设 n n n n a a a S 22 1 111+ ++= ++ , 当2≥n 时,求证:36 117111123 2 1 +≥++++n a a a a n . 解析:容易得到n a n 3=,所以,要证36 11711112321+≥++++n a a a a n 只要证1211721312112 +≥++++=n S n n ,因为n n n n S 2 1221121()81716151()4131(211112++++++++++++++=-- 12 117)1(12723211121222+= -+≥+++++=-n n T T T n ,所以原命题得证. 五、迭代放缩 例25 已知1,1411 =++= +x x x x n n n ,求证:当2≥n 时,n n i i x -=-≤-∑11 22|2| 解析:通过迭代的方法得到1 2 12-≤-n n x ,然后相加就可以得到结论 例26. 设n n n S 2 ! sin 2!2sin 2!1sin 21+++= ,求证:对任意的正整数k ,若k ≥n 恒有:|S n+k －S n |<1 n 解析: |2)sin(2)!2sin(2)!1sin(| ||2 1k n n n n k n k n n n S S ++++++++++=- k n n n k n n n k n n n +++++++++≤++++++≤2 1 2121|2)s i n (||2)!2sin(||2)!1sin(|2121 n k n k n 2 1)211(21)212121(212<-?=+++= 又n C C C n n n n n n >+++=+= 10)11(2 所以n S S n n k n 121||< < -+ 六、借助数列递推关系 例27 求证:1 222642)12(5316 425314 2312 1-+< ????-????++????+??+n n n 解析: 设n n a n 2642)12(531????-????= 则 n n n n n a na a n a n n a +=+?++= ++2)1(2) 1(21 211,从而 n n n na a n a 2)1(21-+=+,相加后就可以得到 1 2 21)22(13 21)1(22)1(21121-+? +<-+? +<-+=++++n n n n a a n a a a n n 所以1222642)12(5316 425314 2312 1-+< ????-????++????+??+n n n 例28 求证:1122642)12(5316 425314 2312 1-+< ????-????++????+??+n n n 解析: 设n n a n 2642)12(531????-????= 则 111)12(]1)1(2[) 1(212+++++=++?++= n n n n n a a n a n a n n a ,从而 n n n a n a n a )12(]1)1(2[11+-++=++,相加后就可以得到 1122 3 1 21)12(3)12(1121-+<- +? +<-+=++++n n n a a n a a a n n 例29 若1,111+=?=+n a a a n n ,求证:)11(2111 21 -+≥+++ n a a a n 解析: n n n n n n n a a a a a n a a -=? +?=+=?+++++21 112112 所以就有21221 111 211211 21 -+=-≥--++=+++ ++n a a a a a a a a a a a n n n n n 七、分类讨论 例30 已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足.1,)1(2≥-+=n a S n n n 证明：对任意的整数 4>m ，有 8 711154<+++m a a a 解析:容易得到[] .)1(23 212---+= n n n a , 由于通项中含有n )1(-，很难直接放缩，考虑分项讨论： 当3≥n 且n 为奇数时1 2222223)121121(23112 13 21 2121--++?=-++=+-------+n n n n n n n n n a a )2 121(2322223123 212-----+?=+? 6 ①当4>m 且m 为偶数时=+++m a a a 11154 )11()11(11 654m m a a a a a +++++- .878321)2 11(412321)212121(23214243=+<-??+=++++<--m m ②当4>m 且m 为奇数时<+++m a a a 1 1154 1 541111+++++m m a a a a （添项放缩）由①知 . 8 71111154<+++++m m a a a a 由①②得证。 八、线性规划型放缩 例31 设函数221()2 x f x x +=+.若对一切x R ∈，3()3af x b -≤+≤，求a b -的最大值。 解析:由 22 22 1(2)(1)(())((1)1)22(2)x x f x f x -+-+-= +知1(())((1)1)02f x f +-≤ 即 1 ()12 f x -≤≤ 由此再由()f x 的单调性可以知道()f x 的最小值为12 -，最大值为1 因此对一切x R ∈，3()3af x b -≤+≤的充要条件是，133 233a b a b ?-≤-+≤?? ?-≤+≤? 即a ，b 满足约束条件331 321 32 a b a b a b a b +≥-??+≤???-+≥-??-+≤??， 由线性规划得，a b -的最大值为5． 九、均值不等式放缩 例32 设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证.2 )1(2 ) 1(2 +< <+n S n n n 解析: 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k =+= 2121)1(+=++< + 21(1 1∑∑==+<<∴n k n n k k S k ， 即.2 )1(22)1(2 )1(2+<++< <+n n n n S n n n 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2 b a a b +≤ ，若放成 1)1(+<+k k k 则 得2 ) 1(2)3)(1()1(2 1 +>++= +<∑=n n n k S n k n ，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 n a a n a a a a a a n n n n n n 2 211111 1++≤++≤ ≤++ 其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。 例33 已知函数bx a x f 211)(?+=，若5 4)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f 解析: )2211()()1()0(2 2114111414)(?->++?≠?->+-=+=n f f x x f x x x x .21 2 1)21211(41)2211()2211(112-+=+++-=?-++?- ++-n n n n n 例34 已知b a ,为正数，且111=+b a ，试证：对每一个*∈N n ，1222)(+-≥--+n n n n n b a b a . 解析: 由111=+b a 得b a ab +=，又42)11)((≥++=++a b b a b a b a ，故4≥+=b a ab ，而 n n n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 1 10 )(， 令n n n b a b a n f --+=)()(，则)(n f =1111----++++n n n r r n r n n n ab C b a C b a C ，因为i n n i n C C -=，倒序相加得)(2n f =)()()(111 111b a ab C b a b a C ab b a C n n n n r n r r r n r n n n n -------+++++++ ， 而12 1 1 1 1 2422+------=?≥≥+==+==+n n n n n n r n r r r n n n b a b a ab b a b a ab b a ， 则)(2n f =))(22())((1 1r r n r n r n r r n r n r n n r n n b a b a b a b a C C C -----+-=+++++ ?-≥)22(n 12+n ，所以)(n f ?-≥)22(n n 2， 即对每一个*∈N n ，1222)(+-≥--+n n n n n b a b a . 例35 求证),1(2 2 1321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++- 解析: 不等式左=++++n n n n n C C C C 3211 2 222112-++++=-n n n n n 1 22 221-?????> =2 12 -?n n ， 原结论成立. 例36 已知x x e e x f -+=)(,求证:2 1 )1()()3()2()1(n n e n f f f f +>????+ 解析:11)1()1()()(212112212122112 1 +>?+++=+?+ =?++x x x x x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e e e x f x f 经过倒序相乘,就可以得到2 1 )1()()3()2()1(n n e n f f f f +>????+ 例37.已知x x x f 1)(+=,求证:n n n n f f f f )1(2)2()3()2()1(+>???? 解析:2)12(2) 12(11212)12()12112)(1(+-+>-++-++-++-+=-++ -++k n k n k k k n k n k k n k k n k n k k 其中:n k 2,,3,2,1 =,因为n k n k k n k n k k n k 2)12(0)2)(1(2)1(2≥-+?≥--=--+? 所以22)121 12)(1(+≥-++ -++n k n k n k k 从而n n n f f f f 22)22()]2()3()2()1([+>???? ,所以n n n n f f f f )1(2)2()3()2()1(+>???? . 例38 若7>k ,求证:2 3 112 1111>-+ +++++=nk n n n S n . 解析:)1 11()3121()2111()111(2n nk nk n nk n nk n S n +-++-+++-+++-+ = 因为当0,0>>y x 时,xy y x xy y x 211,2≥+≥+,所以4)11)((≥++y x y x ,所以y x y x +≥ +411,当且仅当y x =时取到 等号. 所以1 )1(414324214142-+-= -+++-+++-+++-+> nk n k n nk n nk n nk n nk n S n 高中数列放缩法技巧大全 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:2 1153n k k =<∑ . 解析:(1)因为 1 21 121)12)(12(21422+- -=+-= -n n n n n ,所以1 2212111 42 1 2 += +- =-∑=n n n k n k (2)因为22211411214121214 n n n n n ??<==- ?--+??- , 所以35321121121513121112 =+ 小学数学教学中学生的学习兴趣的培养策略课题实施方案 一、课题提出的背景和意义 1.课题提出的背景 教育心理学的研究表明“兴趣”是一种带有情感色彩的认识倾向它以认识和探索某种事物的需要为基础,是推动人们去认识事物,探求真理的一种重要动机,是孩子各种创造力,求知欲的原动力,只要孩子对某种事物发生兴趣,就会无止境的去追求、去实践、去发展。数学课堂在多数人看来就是一个1+1必须等于2的枯燥无味的教师说、学生听的课堂。因此，数学课堂要达到和其他孩子感兴趣的课堂一样，就需要我们教师结合实际生活激发学生的学习兴趣。 陶行知先生一向倡导"生活即教育"，在其生活教学理论中，"在生活里找教育，为生活而教育"的观念相当明确。张雪门先生提出的"行为课程"也以生活教育理论为指导，他认为"生活就是教育"，因此要重视学生生活本身的教育，实行教育生活化。数学是理性的、抽象的。生活却是感性的、具体的，生活中的具体事物只有在被抽象成数学符号时，才可能被称之为数学。数学问题源于生活，同时又服务于生活。华罗庚说过："宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变日用之繁，无处不用数学。"这是对数学与生活的精彩描述。 2.研究意义 《新课标》十分强调数学与现实生活的联系："数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据，进行计算、推理和证明。"通过教学使学生"认识到现实生活中蕴涵着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从教学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时能主动地寻求其实际背景，并探索其应用价值。"因此，我们要在学校的数学活动中, 要打破数学与生活的隔阂，密切联系学生生活实际，从观察、寻找身边的数学入手，从熟悉的生活情景和感兴趣的事物出发，为他们提供观察、操作、实践探索的机会，使他们有更多的机会从周围熟悉的事物中学习数学，理解数学，激发学生认识和探索数学的兴趣，学会用数学知识、经验来解决生活中的问题，体会到数学就在身边，感受到数学的趣味和作用，体验到数学的魅力我们要确立"生活即课堂"的观念，让学生走出教室，在社会、生活这一大课堂中去体验具体的、可感的、鲜活的数学知识，从而达到主动地建构知识，形成概念。让学生在愉悦的数学情境中乐学，在兴趣中实践，并力致于学生实践与创新能力的培养。 二、课题的界定 1.小学数学教学主要指课堂教学、知识巩固以及课外的思维训练等。 2.培养学生学习数学的兴趣,是指在课堂上教师利用各种教学手段,使学生爱上数学课，以促进学生的发展，即新课标提出的“知识与能力、过程与方法、情感态度价值观 2010高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412 -<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+< ????-????++????+??+n n n (4) 求证：)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n 高中数学教师培训心得体会 数学是一们基础学科,也是是高考科目之一.高中数学知识的难度相对初 中数学来说比较大,内容比较多,有一部分同学由于不适应这种变化,数学成绩总是不如人意,甚至影响到学习的积极性,产生厌学心理.出现这样的情况,下面是本人整理的关于高中数学教师培训心得体会，欢迎阅读! 高中数学教师培训心得体会一 我很荣幸地参加了河北省20XX年中小学教师省级培训项目学习。培训的内容丰富多彩，培训的方式多种多样，既有专家的报告，又有特级教师的核心理念，还有视频观摩研讨。为期十天的培训，我感觉每天都是充实的，因为每天都要面对不同风格的讲师，每天都能听到不同类型的讲座，每天都能感受到思想火花的冲击。在培训中，我进一步认识了新课程的发展方向和目标，反思了自己以往在工作中的不足。作为一名中青年教师，我深知自己在教学上是幼稚而不成熟的，在教学过程中还存在太多的问题，但是，经过一段时间的学习，我相信我还是有收获的。一些对教育教学工作很有见解的专家以鲜活的案例和丰富的知识内涵，给了我具体的操作指导，使我的教育观念进一步得到了更新，真是受益匪浅。在千万教师中,能参加这样的培训，我想我是幸运的、是幸福的。 现将学习培训情况总结于后，呈请上级领导审阅，不当之处恳请批评指正。 一、学习收获： 此次培训学习河北师范大学领导非常重视，从授课人员安排来看：安排的大学教师全是教授级别的老师，中学全是全省以及全国知名的特级和优秀教师。从授课时间任务来看：时间紧任务重，但是河北师范大学的领导、老师(特别是班主任闫老师和张老师)特别尽职，安排具体，服务到位，一些细节工作落实得好，如我们的住宿安排，组织班级学员的交流活动等，大家比较满意，评价很高， 高中数学教师个人教学工作计划 高中数学教师个人教学工作计划【一】一、指导思想： 准确把握《教学大纲》和《考试大纲》的各项基本要求，立足于基础知识和基本技能的教学，注重渗透数学思想和方法。立足学生的实际，不断研究数学教学，改进教法，指导学法，奠定立足社会所需要的必备的基础知识、基本技能和基本能力，着力于培养学生的创新精神，运用数学的意识和能力，奠定他们终身学习的基础。 二、学生基本情况分析： 1、基本情况：高二（1）班和高二（4）班。这两个班的学生对数学学习各不相同。其中，高二（1）班为理科班数学学习兴趣较为浓厚。我觉得对于象我们地方性学校来说，这个班的数学成绩以及整体水平情况还算可以。分析原因：这个班的学生学习气氛浓厚，有良好的班风学风，有你追我干的竞争精神，同时有一批思维相当灵活的学生。 而高二（4）班是艺术班数学学习较为一般，有些学生自觉性差，自我控制能力弱，因此在教学中需时时提醒学生，培养其自觉性；有些学生对自己学习数学的信心不足，学习积极性和主动性不够，学习上只满足完成老师，同时，所学的数学基础知识薄弱，基本概念模糊不清，基本方法掌握得不够扎实，灵活运用知识分析问题、解决问题的能力差，只会模仿解决一些简单问题，不能举一反三，题目稍微有 点变化就束手无策。 三、教学目标 针对以上问题的出现，在本学期拟订以下目标和措施。其具体目标如下： 1、获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。 2、提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。 3、提高数学的提出、分析和解决问题的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。 4、提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。 四、教法分析： 1、选取与内容密切相关的，典型的，丰富的和学生熟悉的素材，用生动活泼的语言，创设能够体现数学的概念和结论，数学的思想和方法，以及数学应用的学习情境，使学生产生对数学的亲切感，以达到培养其兴趣的目的。 2、通过“观察”，“思考”，“探究”等栏目，引发学生的思考和探索活动，切实改进学生的学习方式。 3、在教学中强调类比，推广，特殊化，化归等数学思想方法， 函数的概念 1、面试备课纸 1.题目：函数的概念 2.内容： 3.基本要求： (1)要有板书; (2)试讲十分钟左右; (3)条理清晰，重点突出; (4)学生掌握函数的概念。 2、高中数学《函数的概念》教学设计 四、板书设计 3、高中数学《函数的概念》答辩题目及解析 问题：函数与映射的异同点? 【参考答案】 相同点：(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系;(2)函数与映射的对应都具有方向性;(3)A中元素具有任意性，B中元素具有唯一性。 区别：函数是一种特殊的映射，它必须是满射。它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。 高中数学《奇函数》 高中数学《终边相同的角》 一、考题回顾 二、考题解析 高中数学《终边相同的角》主要教学过程及板书设计 教学过程 (一)导入新课 出示例题：在直角坐标系中，以原点为定点，X正半轴为始边，画出210°，-45°以及-150°，三个角。并判断是第几象限角? 提出问题：这三个角的终边有什么特点? 追问：按照之前学的方法，给定一个角，就有唯一一条终边与之对应，反之，对于直角坐标系中的任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一? (二)生成新知 提出问题：在直角坐标系中标出210°，-150°，328°，-32°，-392°表示的角，观察他们的终边，你有什么发现? 预设：210°和-150°的终边相同。328°，-32°，-392°的终边相同。 追问并进行小组讨论：这两组终边相同的角，它们的之间有什么数量关系?终边相同的角又有什么关系? 经过讨论，学生得到这样的关系：210°-(-150°)=360°，328°-(-32°)=360°，-32°-(-392°)=360°等。由这两组角可以看出终边相同的角之间相差360°的整数倍。 追问：那么这些角，如何用我们学过的数学语言来表示出来? 预设：描述法，集合。用集合的方式更方便也更加容易理解。 设S={β|β=-32°+k·360°，k∈Z}，则328°，-392°角都是S的元素，-32°角也是S的元素(此时k=0)。因此，所有与-32°角的终边相同的角，连同-32°在内，都是集合S的元素;反过来，集合S的任何一个元素显然与-32°角终边相同。 所有与α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合S={β|β=k·360°+α，k∈Z}。 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成α与整数个周角的和。 适时引导学生认识：①k∈Z;②α是任意角;③终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。 (三)应用新知 例1.在0°—360°范围内，找出与-950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角。 例2.写出终边在y轴上的角的集合。 ①写出终边在x轴上的角的集合。 ②写出终边在坐标轴上的角的集合。 (四)小结作业 小结：通过这节课的学习，你有什么收获?你对今天的学习还有什么疑问吗? 作业：预习下节课新课。 板书设计 答辩题目解析 1.简述本节内容在教材中的作用与地位? 【参考答案】 本课是数学必修四三角函数中第一节的内容。三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型.角的概念的推广正是这一思想的体现之一，是初中相关知识的自然延续。为进一步研究角的和、差、倍、半关系提供了条件，也为今后学习解析几何、复数等相关知识提供有利的工具，所以学生正确的理解和掌握角的概念的推广尤为重要。 2.在本节课的教学过程中，你是如何突破难点的? 【参考答案】 学生的活动过程决定着课堂教学的成败，教学中应反复挖掘“探究”栏目及“探究”示图的过程功能，在这个过程上要不惜多花些时间，让学生进行操作与思考，自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式。也就自然地理解了集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}的含义。如能借助信息技术，则可以动态表现角的终边旋转的过程，更有利于学生观察角的变化与终边位置的关系，让学生在动态的过程中体会，既要知道旋转量，又要知道旋转方向，才能准确刻画角的形成过程的道理，更好地了解任意角的深刻涵义。 编号：TQC/K460 高中数学教师研修工作计 划完整版 According to the characteristics of different time periods, the specific implementation plan is put forward. At the same time, considering the cost, according to their own choice of appropriate way, in order to achieve low cost and achieve good results. 【适用制定规则/统一目标/规范行为/增强沟通等场景】 编写：________________________ 审核：________________________ 时间：________________________ 部门：________________________ 高中数学教师研修工作计划完整版 下载说明：本计划资料适合用于根据不同时间段的特点，推出各项具体执行方案。主要特点是细致、周密，操作性强和不乏灵活性，同时考虑费用支出事项，根据自身力量选择合适的方式，以实现较低费用取得良好效果。可直接应用日常文档制作，也可以根据实际需要对其进行修改。 根据《20xx年广东省中小学骨干教师 “三位一体”省级培训实施方案》的指示 精神，20xx年11月4日至20xx年11 月23日，我非常荣幸地参加了东莞一中特 级教师孟胜奇老师工作室的省级骨干教师 跟岗学习培训。在这的20天里。我将和来 自高要、东莞、深圳市的骨干老师一同交 流学习，在孟老师的指导下，通过课题研 究、课型研究、教学实践、专题研究、双 向听评课、案例分析、课例开发、专题研 讨、问题解决、论文写作等等形式，促进 教师资格证面试试题：高中数学试讲——概率与统计 高中数学概率与统计 一、创设情境 师：上课，同学们好。 师：在上课之前，老师想问大家几个问题?请大家回顾一下我们之前所学的知识，然后 ____________________________________________________________________ ________。 师：大家来看大屏幕 __________________________________________________________。 师：大家讨论的很积极，这就是我们今天所要学习的新的内容。(板书标题) 二、合作探究 师：大家先来思考一下___________________________?同桌两人可以讨论一下。 师：好，我们先讨论到此，大家讨论的非常积极，谁能来说说?请第三排靠窗户的男同学来回答一下。 师：那大家仔细观察一下，我们所考察的对象有什么特点? 师：对，同学们观察的很仔细， _________________________________________________。 师：那我们继续来看 ____________________________________________________________。 师：很好。题目中告诉我们，_________________________，那现在大家四人为一组，讨论一下， ____________________________________________________。第二小组的代表来说。 师：大家同意吗?很棒，大家的思维很活跃。 师：刚才大家解答的这个过程就是我们今天的新课内容， ___________________________，我们现在一起来总结一下 ________________________________的概念，_______________。 师：很好，现在大家都能够用自己的语言概括了，现在老师想请大家根据_____的概念来总结一下我们在碰到这类问题时的解题步骤是什么?好，数学课代表来说。 师：很好。总结的很全面，条理也很清晰。 师：现在老师想要考考大家对概念的理解程度，思考一个问题：_____________________?为什么?第三排穿粉色裙子的女同学你来说。 师：大家思考的很深入，能够将前面所学的知识灵活运用，老师感到很自豪。 三、巩固练习 师：现在老师在PPT上展示几道练习题，大家试着用我们刚才所学的知识来解决。 师：大家回答的都非常正确，看来大家对这节课所学的新知识理解的很清晰。 四、课堂小结 ( 校园活动总结) 姓名：____________________ 单位：____________________ 日期：____________________ 编号：YB-BH-072309 高中数学骨干教师培训总结A summary of the training of high school mathematics backbone 高中数学骨干教师培训总结 XX年6月24日——7月4日，我有幸参加了广东省教育局厅主办，xx师范大学承办的高中数学骨干教师培训。来自全省各地市的高中数学骨干教师进行了为期10天的培训，主要采用专题报告、讲座等形式进行理论学习。让我们得以与众多教授、名师面对面地座谈、交流，倾听他们对数学教学的理解，感悟他们的教育教学思想方法。这次培训内容丰富，安排合理，使我们受益匪浅。 （一）一流专家讲座，提升思想理念！ 我们这次培训班听了xx与二师的知名教授及部分学校的名校长、名师的讲座，从师德、当前教育教学改革动向、教科研、课堂教学专题、教材解读、现代教育技术应用等多方面进行，各位知名专家、学者、特级教师从自己切身的经验体会出发，畅谈了他们对师德以及教学等教育教学各个领域的独特见解。让我们更清晰地意识到作为一个线的中学教师该如何看待自己所处的位置，该如何去提升自己的专业水平。在知识方面，我们深感知识学问浩如烟海，也深深地体会到教学相长的深刻内涵。教师要有精深的学科专业知识，广博的科学文化知识，丰富的教育和心理科学知识。知识结构要合理，当今的自然科学，社会科学和人文科学互相渗透，相互融合，只懂自己专业的知识是远远不够的，这一点我们在学习中体会很深。精深的专业知识是教师担任教学工作的基础。这就要求教师要扎 高中数学教师资格面试函数的单调性教案 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08] 高中数学教师资格面试《函数的单调性》教案： 函数的单调性 课题：函数的单调性 课时：一课时 课型：新授课 一、教学目标 1.知识与技能： （1）从形与数两方面理解单调性的概念。 （2）绝大多数学生初步学会利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法。 2.过程与方法： （1）通过对函数单调性定义的探究，提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力。 （2）通过对函数单调性定义的探究，体验数形结合思想方法。 （3）经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。 3.情感态度价值观： 通过知识的探究过程养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；感受用辩证的观点思考问题。 二、教学重点 函数单调性的概念形成和初步运用。 三、教学难点 函数单调性的概念形成。 四、教学关键 通过定义及数形结合的思想，理解函数的单调性。 五、教学过程 （一）创设情境，导入新课 教师活动：分别作出函数y=2x，y=-2x和y=x2+1的图象，并且观察函数变化规律，描述前两个图象后，明确这两种变化规律分别称为增函数和减函数。然后提出两个问题：问题一：二次函数是增函数还是减函数问题二：能否用自己的理解说说什么是增函数，什么是减函数 学生活动：观察图象，利用初中的函数增减性质进行描述，y=2x的图象自变量x 在实数集变化时，y随x增大而增大，y=-2x的图象自变量x在实数集变化时，y随x增 高中数学教师培训总结 高中数学教师培训总结7月21-22日，XX县全体高中物理教师在XX县教师教育中心进行了暑期培训。培 训工作在候校长、李主任和刘主任的正确领导和精心指导下，在高中物理教学指导委员会全体成员的不懈努力下取得了 圆满成功。 本次教师培训的目的是构建适合XX研训一体的教师专 业成长的校本模式，让老师们重视教研、学会教研、应用教研。提高教师开展校本教研的主动性、创新性和执行力，有效提升XX教育发展水平和教师专业成长水平。 培训工作由教研员主持，首先进行的是教研员领导老师们认真学习了《高中物理课程标准》，物理学是一门基础自 然科学，它所研究的是物质的基本结构、最普遍的相互作用、最一般的运动规律以及所使用的实验手段和思维方法。与九年义务教育物理或科学课程相衔接，旨在进一步提高学生的科学素养。高中物理在课程目标上注重提高全体学生的科学素养。在课程结构上重视基础，体现课程的选择性;在课程 内容上体现时代性、基础性、选择性;在课程实施上注重自 主学习，提倡教学方式多样化;在课程评价上强调更新观念，促进学生发展。课程标准还详细提出了教学建议和评价建议，并着重指出教学评价的内容要多元化，要为学生有个性、有特色的发展提供空间;评价形式倡导评价方式的多样化;提 倡建立学生学习记录档案;提倡多主体评价;提倡评价方式 的多元化。 培训内容接下来进行的是由孙西革老师做了题为《高中基础年级课堂教学中存在的问题》的精彩报告，指出目前我县高中物理教学缺乏和探究;教师的教学设计直白，不能有 效的创设情境;解题示范性不强，有的教师没有读题、审题 等环节，不能及时拓展升华。教师要从重结果向重过程转变，要用教材教而不是教教材，要尝试现代化教学模式。教师角色要由知识的传授者向学生学习的合作者转换。 然后由陈辉老师进行了题为《XX届高三一轮复习备考意 高级中学数学教师工作计划 (最新版) The work plan is the idea and arrangement of the work to be carried out, such as proposing tasks, indicators, completion time and steps and methods. ( 工作计划) 部门：_______________________ 姓名：_______________________ 日期：_______________________ 本文档文字可以自由修改 高级中学数学教师工作计划(最新版)说明：本文适用于工作计划，工作计划就是对即将开展的工作的设想和安排，如提出任务、指标、完成时间和步骤方法，提前预防同类错误问题再次出现，工作计划对提升工作效率有很大提升。下载后可直接打印使用。 高级中学数学教师工作计划 一、指导思想 准确把握《xx大纲》和《xx大纲》的各项基本要求，立足于基础知识和基本技能的教学，注重渗透数学思想和方法。立足学生的实际，不断研究数学教学，改进教法，指导学法，奠定立足社会所需要的必备的基础知识、基本技能和基本能力，着力于培养学生的创新精神，运用数学的意识和能力，奠定他们终身学习的基础。 二、学生基本情况分析 1、基本情况：高二xx班和高二xx班。这两个班的学生对数学学习各不相同。其中，高二xx班为理科班数学学习兴趣较为浓厚。我觉得对于象我们地方性学校来说，这个班的数学成绩 以及整体水平情况还算可以。分析原因：这个班的学生学习气氛浓厚，有良好的班风学风，有你追我干的竞争精神，同时有一批思维相当灵活的学生。 而高二xx班是艺术班数学学习较为一般，有些学生自觉性差，自我控制能力弱，因此在教学中需时时提醒学生，培养其自觉性；有些学生对自己学习数学的信心不足，学习积极性和主动性不够，学习上只满足完成老师，同时，所学的数学基础知识薄弱，基本概念模糊不清，基本方法掌握得不够扎实，灵活运用知识分析问题、解决问题的能力差，只会模仿解决一些简单问题，不能举一反三，题目稍微有点变化就束手无策。 三、教学目标 针对以上问题的出现，在本学期拟订以下目标和措施。其具体目标如下： 1、获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作 高中数学方法讲解之放 缩法 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 放缩法 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法。 放缩法的方法有： ⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如： 4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg ( 5lg 3log 2 =<=+k k k k k （程度大） Ⅲ、 )1111(21)1)(1(11 112 2+--=+-=- 2=+++++++< c d d d c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立 例2.当 n > 2 时，求证：1)1(log )1(log <+-n n n n 【巧证】：∵n > 2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n ∴ 2 22 2)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ?? ????-=??? ???++-<+-n n n n n n n n n n 12log 22=?? ? ??? 2010年高中新课程培训心得体会 地调中学程浩宇 我已经作为学校高三老师接手高三教学工作。由于今年是高中新课程高考第一年，所以有关新课程的高考理念可以说是一无所知，带着这么一份期待，自始至终我都很认真的学习新课程培训的内容。只有从这一次学习当中我才真正感受到了一些新课程的教学理念和新课程大纲下高考内容应该怎么样来考察知识点。新课程教学理念中，新课程标准是一条教学准绳。 洛阳二中教师程文给我们分析了07~10年高考趋势与数学复习对策，首先给我们展示了对以前的高考的回顾，并提出了2011年高考的新特点。更是给我们在一线的高三老师提供了很多宝贵的复习策略。作为每年的数学评卷组长给我们分析了高考解题当中应该注意的问题，并提出了2011年高考数学命题的趋势更是分析的非常精辟。其中给我们提到的选考内容更是进一步明确了有关选考内容究竟该怎么样来选考，为今后的高考提供了一个方向标的作用。选考内容文理有异，第一次明确提出了文科是二选一，理科是三选二的选修内容进行考察。并对所有数学老师提出了要求：提高推理运算求解能力和数据处理能力。希望老师在教学过程中围绕着新课程标准，抓住主干，推陈出新，集中精力，突出重点，研究新理念，抓住新内容。提到新内容的教学，程文说了“新内容肯定考察，但是难度不会太大，并以近三年高考题对新内容的考察比例进行说明，新内容的考察分值和难度有一个逐年提升的迹象。最后程教师对高考题的探索性问题（压轴题）的提出了自己独到的看法。要求高三老师指导考生克服紧张的情绪，以平和的心态参加考试，并合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解决试题。 短短的几天紧张而又充实的新课程培训，让我结识了不少异地的有经验的数学老师，与他们相互学习和交流让我觉得自己学到了很多以前还做得不够的地方。新课程理念下的数学教学将由“关注学生学习结果”，转向“关注学生活动”，重塑知识的形成过程课程设计将由“给出知识”转向“引导活动”数学新教材倡导学生主动探索，自主学习，合作讨论，体现数学再发现的过程，数学教学不再是教师向学生传授知识的过程，而是鼓励学生“观察”“操作”“发现”，并通过合作交流，让学生发展自主学习的能力，个性品质的发展，从而激发学生的学习兴趣，提高学生学习数学的能力，那么新课程理念下要做好数学教育教学工作，我认为应该侧重以下几方面： 一、学习兴趣的培养 兴趣是最好的老师。浓厚的学习兴趣可以使人的大脑处于最活跃的状态，能够最佳地接受教学信息。浓厚的学习兴趣，能有效地诱发学习动机，促使学生自觉地集中注意力，全身心的投入学习活动中。在教学中可以通过介绍我国数学领域的卓越成绩，介绍数学在生活、生产和其他科学中的广泛应用，激发出学生学习数学的动机。通过设计情景，提出问题引导学生去探索，去发现，让学生从中体验成功的喜悦和快乐。运用适当的教学方法和手段引导他们的求知和好奇心，从而培养他们浓厚的学习兴趣。 二、注重数学思想方法教学 数学思想方法是数学思想和教学方法的总称。数学思想是对数学知识与方法形成的规律性的理论知识，是解决数学问题的根本策略。数学方法是解决数学问题的手段和工具，数学思想方法是数学的精髓，只有掌握了数学思想方法，才能 真正掌握数学，因而数学思想方法也是学生必须具备的基本素质之一，现行的教材当中蕴涵了多种数学思想方法，在教学中应当挖掘由数学基础知识所反映出来的教学思想和方法，设计教学思想方法的目标，结合教学内容适时渗透，反复强化，及时总结，用数学思想方法武装学生，使学生真正成为数学的主人。 三、思维能力的培养 高中数学校本研修方案 收集整理关于高中数学校本研修计划的资料，希望大家喜欢。 高中数学校本研修计划篇一 为了提高自己的业务水平和业务能力，更快更好地为教育教学服务。根据上级教育主管部门和学校的工作要求，结合自己的实际和自身发展要求，特制订本学期个人校本研修计划如下： 一、多读对自己有用的书，进行读书研习。 广泛阅读各类书目，不断充实、更新自己的专业知识，领悟生活化、情境化课堂教学的真谛，提高自己的教学水平。同时，注意多钻研、勤思考，将自己的教育教学实践与理论结合起来，在总结和反思中来形成自己的教学风格。在近期内，我计划精读《课程改革与问题解决教学》、《新课程背景下的有效课堂教学策略》等有关教育教学方面的书刊，及时更新教育理念。工作之余，我计划欣赏一些文学书籍，写好读书感想，从而不断充实自己。 二、在实践中进行教学研讨升。 目前进行的新课改对我来说是一种挑战，同时也是一次难得的锻炼机会。作为一名老教师，我将继续积积极参加校内校外的教研活动，平时就当天发生的教学突发事件，教学 感悟反思，学生的思想问题及解决方法等与同组教师交流学习。同时，积极主动地定期进行示范或研究教学，在实践中提高自己的教学能力。 三、加强教育教学研究，做创新型的教师。 在今后的教学中我将尝试运用多种灵活的教学方法，来激发学生的学习兴趣。及时对每节课进行反思，争取每学期都能有一篇质量较高的反思和教学设计。同时，还要坚持每天都有点滴收获，及时归纳、及时总结，写出教育教学研讨论文。并一如既往地准时参加校内外教科研培训活动，提升教学研究能力。 四、具体实施方案 1、勤于学习，树立终身学习的观念。他山之石，可以攻玉;他山之玉，可以剖金。学习，可以使自己了解前人和他人，了解过去和未来，关照反思自我，从而获得新的生成。所以，我觉得要做到“三学”。 (1)坚持不懈地学。活到老，学到老，树立终身学习的观念。 (2)多渠道地学。做学习的有心人，在书本中学习，学习政治思想理论、教育教学理论和各种专业知识，增强自己的理论积淀;也要在“无字处”学习，丰富的教学经验，以达到取长补短的目的。 (3)广泛地学。广泛地阅读各类有益的书籍，学习各种 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 放缩法 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法。 放缩法的方法有： ⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶ 利用基本不等式，如： 4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg ( 5lg 3log 2 =<=+k k k k k （程度大） Ⅲ、)1 1 11(21)1)(1(11112 2+--=+-=-< k k k k k k ； （程度小） 例1.若a , b , c , d ∈R +，求证： 21<+++++++++++< c a d d b d c c a c b b d b a a 【巧证】：记m =c a d d b d c c a c b b d b a a +++ ++++++++ ∵a , b , c , d ∈R + ∴ 1=+++++++++++++++> c b a d d b a d c c a c b a b d c b a a m 2=+++++++ 教师资格证面试教案模板：高中数学《圆的 一般方程》 （2021最新版） 作者：______ 编写日期：2021年__月__日 一、教学目标 【知识与技能】在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径。掌握方程表示圆的条件。 【过程与方法】通过对方程表示圆的条件的探究，学生探索发现 及分析解决问题的实际能力得到提高 【情感态度与价值观】渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。 二、教学重难点 【重点】掌握圆的一般方程，以及用待定系数法求圆的一般方程。 【难点】二元二次方程与圆的一般方程及标准圆方程的关系。 三、教学过程 (一)复习旧知，引出课题 1.复习圆的标准方程，圆心、半径。 2.提问1：已知圆心为(1,-2)、半径为2的圆的方程是什么? (二)交流讨论，探究新知 1.提问2：方程是什么图形?方程表示什么图形?任何圆的方程都 是这样的二元二次方程吗?(通过此例分析引导学生使用配方法) 2.方程什么条件下表示圆?(配方和展开由学生相互讨论交流完成，教师最后展示结果) 将配方得： 3.学生在教师的引导下对方程分类讨论，最后师生共同总结出3种情况，即圆的一般方程表示圆的条件。从而得出圆的一般方程式： 4.由学生归纳圆的一般方程的特点，师生共同总结。 (三)例题讲解，深化新知 例1.判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是，请求出圆的圆心及半径。 (1)(2) 例2.求过三点A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。 数学教师培训方案 上海浦东教育发展研究院韩建宏 根据新疆建设兵团南疆地区教育局的要求，我将于7月26、27日对该区高中数学教师进行培训，为做好此项培训工作，特制定本实施方案。 一、培训目标 配合新的课程改革与实施，帮助教师准确理解和把握高中数学新课程的理念、目标、结构、内容定位和教学基本要求，了解高中新课程实施的情况，学习借鉴成功经验，促进教学观念和教学行为的转变，提高教师实施新课程的能力和水平。 二、培训对象 新疆建设兵团南疆地区高中数学教师 三、培训主题 高中数学教学的基本要求 四、培训内容 教学基本要求是教学必须遵循的基本原则，只有真正了解和掌握了这一基本要求，在教学中才可以有效避免“过度拔高”或“低层次重复”的现象，才能准确把握教学的重点和难点，才能有效地掌控教学内容的难度和深广度，才能真正落实新课程理念。为此，通过培训完成以下内容： 1、结合某一主体单元内容，研讨教学内容和课标，搞清楚它们的基本要求，切实把握教学的难度与深广度，根据这一要求，设计出适合的讨论问题，编制出匹配的例题、习题，设计出巩固练习题等。 2、结合新授课、习题课、复习课等常见课型，设计高质量的“主题单元教学”方案，落实高中数学教学基本要求。 3、针对同一内容，设计适合不同层次需要的教学方案。如以“集合”为例，分别设计出适合高一新生初学、高一单元复习、高三高考复习的教学方案。 各“主题单元教学”方案包括内容如下： 五、培训方式 采取集中的理论学习与分组合作指导相结合的方式。具体有： 1、头脑风暴----交流困惑与想法 2、合作研讨----探讨问题与方法 3、演练习得----展示收获与做法 六、培训管理 1、考勤：由专人负责考勤登记，教师全程参与培训，不得缺勤 2、准备：（1）培训教室有网络、多媒体投影条件（还可以同时使用实物投影仪），配备话筒和音响。A4纸2张/人·半天，黑色水笔粗、细各8支。 （2）教师带教材、课程标准、电脑（可无线上网）、移动硬盘 3、分组：事先管理者把参加培训的教师分好组，每组人数不超过7人，名单张贴在醒目位置，要求各组教师尽可能来自不同年级、不同学校。先不指定小组长。 4、座位：教室桌椅摆放最好是一个小组围成一个“圆桌”，几个“圆桌”均匀分布在教室里面，“圆桌”间要留有空间，便于走动。教师名单贴在座位上，教师对号入座，培训过程一般不予调换。 七、培训实施高中数列放缩法技巧大全
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