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《数值分析》课程教学大纲课程编号：07054111课程名称：数值分析英文名称：Numerical Analysis课程类型：公共基础课程要求：必修学时/学分：32/2（讲课学时：32 实验学时：0 上机学时：0）适用专业：材料成型及控制工程一、课程性质与任务数值分析是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。
随着计算机以及科学技术的快速发展，求解各种数学问题的数值方法也越来越多地应用于科学技术的各个领域，数值分析也因此成为高等学校理工科专业的一门重要课程。
与其他数学课程一样，数值分析也是一门内容丰富，研究方法深刻，有自身理论体系的课程，既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际实验的高度技术性等特点，是一门与计算机密切结合，实用性很强的数学课程。
通过本课程的教学，使学生掌握在计算机上解决常见数学问题的常用的数值算法，熟悉各种算法的基本原理和适用范围，了解误差分析、收敛性及稳定性的基本理论。
培养学生运用计算机解决实际问题的基本技能和基本素质，为学生学习后续专业课程和将来运用数值分析的知识与技能解决本专业实际问题打下坚实的基础。
二、 课程与其他课程的联系学生在学习本课程之前，应学习过高等数学、线性代数等课程，并了解一门编程语言或一种科学计算软件。
高等数学和线性代数课程的学习，为本课程提供必需的数学基础知识；具备编程能力则可以使学生在计算机上编制程序，通过典型算例验证所学算法的有效性并应用到实际问题中。
本课程学习结束后，学生可具备进一步学习相关课程的理论基础，为学习后续课程如计算流体力学、有限元分析等奠定知识基础。
三、课程教学目标1.通过本课程的学习，使学生掌握现代科学计算中所常用的一些数值计算方法，熟悉这些算法的思想与基本原理，了解其适用范围。
（支撑毕业能力要求1.1，1.3，2.1）2.通过本课程的学习，使学生了解误差分析，收敛性及稳定性等基本理论。
第一章绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差是的绝对误差,是的误差，为的绝对误差限(或误差限）为的相对误差，当较小时，令相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：即:绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共有n位，则称近似值有n位有效数字，或说精确到该位。
例:设x==3。
1415926…那么,则有效数字为1位，即个位上的3，或说精确到个位.科学计数法：记有n位有效数字，精确到。
由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数字，则其相对误差限为由相对误差限求有效数字：设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字令1.x+y近似值为和的误差（限）等于误差(限）的和2.x-y近似值为3.xy近似值为4.1．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数3．避免大数吃小数4．尽量减少计算工作量第二章非线性方程求根1。
逐步搜索法设f (a) <0, f (b）〉 0，有根区间为 (a, b）,从x0=a出发，按某个预定步长（例如h=（b-a）/N）一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(x k）=f（a+kh）的符号，若f（x k)〉0(而f（x k-1）<0)，则有根区间缩小为［x k-1，x k] （若f（x k）=0,x k即为所求根)，然后从x k—1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：｜x k—x k-1｜< 为止，此时取x*≈(x k+x k-1）/2作为近似根.2。
二分法设f（x）的有根区间为［a,b]= [a0，b0], f（a）<0，f（b)〉0。
将［a0,b0]对分,中点x0= （(a0+b0)/2），计算f（x0）。
3.比例法一般地,设 [a k，b k］为有根区间，过（a k，f（a k）)、 (b k, f（b k）)作直线，与x轴交于一点x k，则:1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛.2。
数值分析小论文线性方程组的直接解法线性方程组的直接解法是指通过一系列的代数运算直接求解线性方程组的解。
线性方程组是数值分析中非常重要的问题，广泛应用于工程、科学、计算机图形学等领域。
在线性方程组的直接解法中，最常用的方法是高斯消元法，它是一种基于矩阵变换的方法。
高斯消元法将线性方程组表示为增广矩阵，并通过一系列的行变换将增广矩阵转化为行阶梯形矩阵，从而得到方程组的解。
高斯消元法的主要步骤包括消元、回代和得到方程组的解。
消元是高斯消元法的第一步，通过一系列的行变换将增广矩阵的元素转化为上三角形式。
在消元过程中，我们首先找到主元素，即矩阵的对角线元素，然后将其它行的元素通过消元操作转化为0，从而使得矩阵逐步变成上三角形矩阵。
回代是高斯消元法的第二步，通过一系列的回代操作求解线性方程组。
回代操作是从上三角形矩阵的最后一行开始，通过依次求解每个未知数的值，最终得到方程组的解。
高斯消元法的优点是算法简单易于实现，可以在有限的步骤内求解线性方程组，适用于一般的线性方程组问题。
但是高斯消元法也存在一些问题，例如当矩阵的主元素为0时，无法进行消元操作，此时需要通过行交换操作来避免这种情况。
另外，高斯消元法对病态矩阵的求解效果较差，容易引起舍入误差累积，导致解的精度下降。
在实际应用中，为了提高求解线性方程组的效率和精度，人们常常使用一些改进的直接解法，例如列主元高斯消元法和LU分解法。
列主元高斯消元法通过选择最大主元来避免主元为0的情况，进一步提高了求解线性方程组的精度。
LU分解法将矩阵表示为两个矩阵的乘积，从而将线性方程组的求解问题转化为两个三角形矩阵的求解问题，提高了求解效率。
综上所述，线性方程组的直接解法是一种基于矩阵变换的方法，通过一系列的代数运算求解线性方程组的解。
高斯消元法是最常用的直接解法之一，它简单易于实现，适用于一般的线性方程组问题。
在实际应用中，可以通过改进的直接解法来进一步提高求解效率和精度。
《数值分析》教学大纲课程性质：必修课课程类型：专业基础课总学时：48 学分：3课程编号：开课教研室：软件教研室适用专业：计算机科学与技术专业（本科）教学大纲说明一、本课程的地位、作用和任务《数值分析》是一门应用性很强的基础课，它以数学问题为对象，研究适用于科学计算与工程计算的数值计算方法及相关理论，它是程序设计和对数值结果进行分析的依据和基础，是用计算机进行科学计算全过程的一个重要环节。
通过本门课的学习及上机实习，使学生正确理解有关的基本概念，掌握常用的基本数值方法，培养和提高应用计算机进行科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下应好的基础。
二、本课程的教学基本要求先修课：高等数学、线性代数、C语言。
要求学生：（1）理解各种数值方法导出的背景及概念。
（2）掌握各种数值方法。
（3）了解误差分析概念及方法。
（4）能利用各种方法编程上机计算求解教学内容一、本课程的理论教学内容1.绪论及误差(1)数值计算方法的研究对象和任务及算法的概念。
(2)误差知识2.方程的近似解(1)对分法(2)迭代法(3)牛顿法与割线法3.线性代数计算法(1)精确法高斯消元法，主元素消元法，无回代过程的主元素，消元法，主元素消元法的应用。
(2)矩阵三角分解法直接三角分解法，平方根法，追赶法(3)迭代法简单迭代法及其收敛条件，赛德尔迭代法及其收敛条件，代方程组Ax二b为便于使用迭代法的形式，超松驰法。
(4)方程组的性态及条件数。
4.插值(1)线性插值与二次插值。
(2)均差、均差插值多项式。
(3)等距结点插值公式，差分。
(4)拉格朗日插值多项式。
(5)分段插值与三次样条插值(1)最小二乘法与多项式拟合；(2)正交多项式曲线拟合(3)利用正交多项式作曲线拟合6.数值微积分（1）数值微分（2）数值积分牛顿一柯特斯公式，复化求积公式，求积公式的误差，步长的自动选择，线性加速法一龙贝格公式，高斯型求积公式。
7.常微分方程初值问题数值解法（1）欧拉折线法与改进的欧拉法及方法的收敛法，误差估计和稳定性。
数值分析矩阵的正交分解矩阵的正交分解是数值线性代数中的一个重要概念。
它的主要目标是将一个矩阵表示为两个正交矩阵的乘积，这样可以简化矩阵的计算过程。
矩阵的正交分解有多种形式，其中最常见的有QR分解和SVD分解。
首先，我们来介绍QR分解。
给定一个m×n的矩阵A，它可以表示为两个矩阵Q和R的乘积，其中Q是一个正交矩阵，即QTQ=I，R是一个上三角矩阵。
可以用以下方式计算QR分解：1.初始化矩阵A为Q.2. 对于每一列j = 1,2,...,n，计算矩阵A的第j列的尺度因子rjj。
3. 更新R的第j行为A的第j列除以尺度因子rjj。
4. 对于每一列k = j + 1,j + 2,...,n，更新矩阵A的第k列为原矩阵A的第k列减去R的第j行乘以A的第k列与R的第j行的内积，即ak = ak - (rjTak)rj.5.重复步骤2-4直到所有的列都被处理完。
6.将矩阵A的前n行作为正交矩阵Q。
QR分解的一个重要应用是解决最小二乘问题，即通过最小化误差的平方和来求解一个线性方程组。
在该问题中，可以将矩阵A进行QR分解，然后通过求解三角矩阵R的上三角线性方程组来得到解。
其次，我们来介绍SVD分解。
给定一个m×n的矩阵A，它可以表示为三个矩阵U、Σ和VT的乘积，其中U是一个m×m的正交矩阵，Σ是一个m×n的对角矩阵，VT是一个n×n的正交矩阵。
可以用以下方式计算SVD分解：1.将矩阵A的转置矩阵AT与A进行乘积，得到一个对称正定矩阵ATA.2. 对ATA进行特征值分解，得到特征值λ1,λ2,...,λn和相应的特征向量v1,v2,...,vn.3. 计算A的奇异值σi=√ λi和左奇异向量ui=Avi/σi.4.构造U和V矩阵，其中U的列向量是左奇异向量，V的列向量是右奇异向量。
5.构造Σ矩阵为对角矩阵，对角线上的元素是A的奇异值。
SVD分解的一个重要应用是矩阵的伪逆的计算。
问题的提出3.3 用SOR 方法解下列方程组（去松弛因子w=1.2），要求14||||10k k X X +-∞-<。
12142145x x x x +=⎧⎨-=⎩ 3.4 设 411011A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，计算()cond A ∞。
3.5 用选列主元Gauss 消元法求解方程组12312312334721320x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+-=-⎨⎪-+=⎩3.6 用追赶法解三对角方程组12345210001121000012100001210000120x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 3.7 用三角分解法解方程组123248541816862207x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭3.8 用选主元消元法计算下列行列式126324951。
一、问题分析1. 超松弛法是迭代方法的一种加速方法，其计算公式简单，但需要选择合适的松弛因子，以保证迭代过程有较快的收敛速度。
2. A 的条件数计算首先要获得A 的逆，而求A 的逆可以转化为求n 个方程组。
3. 完全主元消元法在计算过程中花费了大量的时间用于寻找主元。
同时，各变量的位置在消元过程中也可能会发生变化。
而列选主元法则可消除这个弊病。
4. 追赶法主要是解三对角方程组。
所谓追指消元过程，赶指回代过程。
5. Gauss 消元法是通过逐步消元过程，将方程组的系数矩阵A 转变为一个上三角矩阵。
三角分解法，就是把系数矩阵分解为两个三角阵。
6.将某一向量坐标同乘以某非零实数，加到另一向量上，行列式的值不变。
用选主元法将行列式矩阵变为三角阵，对角线上的数值相乘即为行列式的值。
二、编程解决3.3Sor法c语言编程：#include<stdio.h>#include<math.h>#include<stdlib.h>#define omega 1.2 //取值不合适结果可能发散void main(){double a[5][5];double b[5],x[5],f,t,y[5]={0,0,0,0,0};int i,j,n,cnt=0;printf("阶数:");scanf("%d",&n);printf("请输入%d阶的A矩阵\n",n);for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)scanf("%lf",&a[i][j]);printf("请输入B矩阵\n");for(i=0;i<n;i++)scanf("%lf",&b[i]);printf("count\t");for(i=0;i<n;i++)printf("x[%d]\t\t",i);printf("收敛程度\n");do{for(i=0;i<n;i++)x[i]=y[i];for(i=0;i<n;i++){t=0;for(j=0;j<n;j++)t=t+a[i][j]*(j<i?y[j]:x[j]);y[i]=x[i]+omega*(b[i]-t)/a[i][i];printf("%d",cnt++);for(i=0;i<n;i++)printf("\t%lf",x[i]);f=0;for(i=0;i<n;i++)f+=fabs(y[i]-x[i]);printf("\t%g\n",f);}while(f>1e-4 && cnt<100);}所得结果：3.4 求逆、算条件数编程：#include <stdio.h>#include <math.h>#include <stdlib.h>#define N 5 //可修改，以改变可解决的最大维数。
数值分析简述及求解应用摘要：数值分析是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，本文主要介绍了数值分析的一些求解方法的原理和过程，并应用在电流回路和单晶硅提拉过程中的，进一步体现数值分析的实际应用。
关键字：解方程组插值法牛顿法一、引言随着科学技术的发展，提出了大量复杂的数值计算问题，在建立电子计算机成为数值计算的主要工具以后，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。
有可靠的理论分析，要有数值实验，并对计算的结果进行误差分析。
数值分析的主要内容包括插值法，函数逼近，曲线拟和，数值积分，数值微分，解线性方程组的直接方法，解线性方程组的迭代法，非线性方程求根，常微分方程的数值解法。
运用数值分析解决问题的过程包括：实际问题→数学建模→数值计算方法→程序设计→上机计算求出结果。
在自然科学研究和工程技术中有许多问题可归结为求解方程组的问题,方程组求解是科学计算中最常遇到的问题。
如在应力分析、电路分析、分子结构、测量学中都会遇到解方程组问题。
在很多广泛应用的数学问题的数值方法中，如三次样条、最小二乘法、微分方程边值问题的差分法与有限元法也都涉及到求解方程组。
在工程中常会遇到求解线性方程组的问题，解线性方程组的方法有直接法和迭代法，直接法就是经过有限步算术运算，可求的线性方程组精确解的方法（若计算过程没有舍入误差），但实际犹如舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得近似解，这类方法是解低阶稠密矩阵方程组级某些大型稀疏矩阵方程组的有效方法。
直接法包括高斯消元法，矩阵三角分解法、追赶法、平方根法。
迭代法就是利用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。
将方程组的解看作是某极限过程的极限值，且计算这一极限值的每一步是利用前一步所得结果施行相同的演算步骤而进行。
迭代法具有需要计算机的存储单元少，程序设计简单，原始系数矩阵在计算过程始终不变等优点，但存在收敛性级收敛速度问题。
迭代法是解大型稀疏矩阵方程组（尤其是微分方程离散后得到的大型方程组）的重要方法。
