化简a ^~a 的结果是().
A .、a
B . ■-. a
C . - ； a
D .--」a
6 .把(a-1) J 中根号外的(a-1)移入根号内得().
7、求值问题
x
1. 当 x=、.. 15+ .7 ,y= 115 - i 7 ,求 x 2-xy+y 2 的值
2. __________________________________________ 已知 a=3+2 近,b=3-2^/2，贝U a 2b-ab 2= ___________________________________ .
4.已知 4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（ 3x9x
+y 2
） -（x 2‘；5x 【y
）的值.
6.
先化简，再求值. （6^/^+ 3
>/xy 3） - （4y R +J36xy ）,其中 x=- , y=27. V x y U y 2
7.
当时，求汁芳于汁扶的值.（结果用最简二次根
式表示）
（注：设分子分母分别为a 、b ，求出a+b 与a-b ）
3.已知a= .3-1,求 5.已知.5 〜2.236 求（-80 -
八（屁+5皿）的值.（结果精确到001）
a 3+2a 2-a 的值
8.已知 x 2 3x 1
1
2 2的值
3 2 、3 2 x3 xy2
（先化简xy, 9、已知X= , y= ，求—4 3 2 2 3的值.
V3 41 43 42X y 2x y x y
再化简分式，求值)
8比较大小的问题
1、设a—3 2 , b=2 ___________________________________ ■.
3 , c= 5 2，则a、b、c 的大小关系是 ____________________________________
2、 3 .5与2 6比较大小。
3、化简：（7_^2 ）2000• -7-5J2）2001 = ________________________ :
4、2 3和3/2的大小关系是（）
A. 2、,3f 3、2
B. 2.3 p 3、、2
C. 2.3 3 2
D. 不能确定
9、二次根式的整数部分、小数部分的问题
1、x, y分别为8—后的整数部分和小数部分，贝U 2xy- y2二_____________ .
2、已知ab分别是6- 13的整数部分和小数部分,那么2a-b的值为多少？
3、9.已知.11 1的整数部分为a,小数部分为b,试求"I a b 1的值。
10、二次根式的化简计算
1、当a v0, b v0 时，一a + 2 ab - b 可变形为( )
(A)( .a ・b)2(B) - ( .a .b)2(C) (、a • b)2(D)( a b)2
x
2、(■- 5 , 3 . 2 ) ( -.5 . 3
-.2 )；
5
1、当x是多少时，2x 3 +丄在实数范围内有意义？
x 1
5
二次根式知识点总结及练习题大全
二次根式知识点总结及练习题大全 1.二次根式：式子（≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（）2= （≥0）；（2） 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． =·（a≥0，b≥0）；（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 （2）、平方法 当时，①如果，则；②如果，则。 例1、比较与的大小。 例2、比较与的大小。 （3）、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 例3、比较与的大小。
（4）、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 例4、比较与的大小。 （5）、倒数法 例5、比较与的大小。 （6）、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。 例6、比较与的大小。 （7）、作差比较法 在对两数比较大小时，经常运用如下性质： ①；② 例7、比较与的大小。 （8）、求商比较法 它运用如下性质：当a>0，b>0时，则： ①；② 例8、比较与的大小。 二次根式的概念和性质1．判断题（对的打“∨”，错的打“×”） （1）（）2=- （）;（2）=- （） （3）（-）2=- （）;（4）（2）2=2×=1 （） 2．下面的计算中，错误 ．．的是（） A．=±0.03 B．±=±0.07 C．=0.15 D．-=-0.13 3．下列各式中一定成立的是（） A．=+=3+4=7 B．=- C．（-）2= D．=1-= 4．（）2-=________； 5．+（-）2=________．6．[-]·-6；
二次根式知识点及典型例题(含答案)
4、不会比较根式的大小 5、不会利用二次根式的非负性 6、对最简二次根式的条件掌握不牢 八、经典例题 例1、求下列各数的平方根与算术平方根（ ） A.36 B.81 121 C.2 -（5） D.41 【答案】A.2 =36 ±（6） ∴36的平方根为6± ，即6± ∴36的算术平方根为6，即 B. 2981=11121± （） ∴81121的平方根为9 11± ，即911± ∴81121的算术平方根为9 11，即 911 C.2 5=25±（） ∴2 -（5）的平方根为5±，即5 ± ∴2-（5）的算术平方根为5，即 D. ( )2 41=41± ∴41 的平方根为 ∴41 【解析】一个正数的平方根有两个， 它们互为相反数，解答本题注意解题步骤的规范书写，不是完全平方数的正数，它的平方根只能用含有根号的形式表示． 练习 1、计算：（ 1 （2）
【答案】（1）2 11=121 （2）2 0.9=0.81 0.9 ± 表示121 的算术平方根，表示0.81的平方根， 、的意义是解答本题的关键 例2、如果一个正数的平方根为3a-5和2a-10，求这个正数 【答案】由题意得，3a-5+2a-10=0得a=3 ∴3a-5=4 ∴这个数为24=16 【解析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，而互为相反数的两个数相加为0，故(3a-5)+(2a-10)=0.求出a后，可知3a-5与2a-10的值，在考虑哪个正数的平方根是3a-5,2a-10的值即可。 练习 1、x为何值时，下列各式有意义。 【答案】解：A.10 x-≥，即1 x≥ 有意义 B.10 x -≥且0 x≥，即01 x ≤≤ 有意义 C.10 x+>，即1 x>- D.230 x+≥，即x 都有意义 【解析】 a≥
二次根式知识点-典型例题-练习题
二次根式 1、二次根式的概念： 1、定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式。 概念：式子（a≥0）叫二次根式。当a≥0时表示a 的算术平方根，当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）。 2、（a≥0）是一个非负数。 题型一：判断二次根式 （1）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、、 、、、、、、 （2 ）在式子 、、、 、、中，二次根式有（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个（3）下列各式一定是二次根式的是（） A、 B. C. D. 2、二次根式有意义的条件 题型二：判断二次根式有没有意义1、写出下列各式有意义的条件: （1 ）（2）（3） （4） 2、有意义，则x满足； 3、若成立，则x满足_ ______________。3、典型练习题： 1、当x 是多少时，在实数范围内有意义？ 2、当x 是多少时，在实数范围内有意义？ 3、当时，有意义。 4、使式子有意义的未知数x有（）个． A．0 B．1 C．2 D．无数个 5、已知，求的值． 6 、若有意义，则=_______． 7、已知，则的取值范围是（） 4、最简二次根式的化简 最简二次根式是特殊的二次根式，他需要满足：（1）被开方数的因数是整数，字母因式是 整式；（2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式.那么如何将一个二次根式化为最简二次 根式呢？ 题型一：判断下列是不是最简二次根式： 1．、、、 题型二：不同类型二次根式的化简成最简二次根式 一、被开方数是整数或整数的积 例1 化简：（1）；（2）. 解：（1）原式= （2）原式= 温馨提示：当被开方数是整数或整数的积时，一般是先分解因数，再运用积的 算术平方根的性质进行化简. 二、被开方数是数的和差 例2 化简：. 解：原式=. 温馨提示：当被开方数是数的和差时，应先求出这个和差的结果再化简. 三、被开方数是含字母的整式 例3 化简：（1）；（2）. 解：（1）原式= （2）原式= 温馨提示：当被开方数是单项式时，应先把指数大于2的因式化为或的形式再 化简；当被开方数是多项式时，应先把多项式分解因式再化简，但需注意，被移出根号的因式 是多项式的需加括号. 四、被开方数是分式或分式的和差 例4 化简：（1）（2） 解：（1）原式= （2）原式= 温馨提示：当被开方数是分式时，应先把分母化为平方的形式，再运用商的算 术平方根的性质化简；当被开方数是分式的和差时，要先通分，再化简. 典型练习题： 1、把二次根式（y>0）化为最简二次根式结果是（）． A ．（y>0） B ．（y>0） C ．（y>0）D．以上都不对 2、化简=_________．（x≥0） 3、a化简二次根式号后的结果是_________． 4、已知，化简二次根式的正确结果为_________．
二次根式及经典习题与答案
二次根式及经典习题与答案 二次根式的知识点汇总 二次根式的概念是指形如√a的式子，其中被开方数可以是数、单项式、多项式、分式等代数式。需要注意的是，因为负数没有平方根，所以当a<0时，二次根式无意义。 为了使二次根式有意义，只需要满足被开方数大于或等于零，即a≥0.此外，二次根式的非负性也是一个重要的知识点，即√a表示a的算术平方根，且当a≥0时，√a是一个非负数。 二次根式的性质包括：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数；一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。需要注意的是，当被开方数是负数时，需要先将其化为绝对值形式，再根据绝对值的意义进行化简。 综上所述，二次根式的知识点包括概念、取值范围、非负性、性质等。在解题时，需要注意化简时的符号变化和取值范围的限制。
4.当x满足什么条件时，(1-x)²是一个二次根式。 5.在实数范围内分解因式：x⁴-9=(x²+3)(x²-3)，x²- 22x+2=(x-11-√119)(x-11+√119)。 6.若4x²=2x，则x的取值范围是x=0或1/2. 7.已知(x-2)²=2-x，则x的取值范围是x=1-√2或1+√2. 8.化简：x²-2x+1÷(x-1)，结果是x-1. 9.当1≤x≤5时。 10.把a-√a的根号外的因式移到根号内，等于√a(a-1)。 11.使等式(x-1)²+x-5=。成立的根号外的因式是x-1. 12.若a-b+1和a+2b+4互为相反数，则(a-b)²=4.
13.在式子x²,2,y+1(y=-2),-2x(x²+1),x+y中，二次根式有3个。 14.下列各式一定是二次根式的是a²+1. 15.若2/a-7/a³=2/a²-a，则(2-a)²-(a-3)等于1-2a。 16.若A=√(a²+4)/2，则A=(a+2)/2. 17.若a≤1，则(1-a)³化简后为1-a³。 18.能使等式x/(x-2)=(x-2)/(x-2)成立的x的取值范围是x≠2. 19.计算：(2a-1)²+(1-2a)²的值是4a²-4a+2. 20.下面的推导中开始出错的步骤是(4)。 21.若x-y+y²-4y+4=0，则xy=2. 22.当a=-1/2时，代数式2a+1+1取值最小，最小值为0.
二次根式知识点及典型例题练习
第十六章 二次根式 知识点： 1、二次根式的概念：形如 （a ≥0）的式子叫做二次根式。“ ”＝ “ ”，叫做二次根号，简称根号。根号下面的整体“a ”叫做被开方数。 2、二次根式有意义的条件：a ≥0； 二次根式没有意义的条件：a 小于0； 例1、 表示二次根式的条件是______。 例2 、已知 +5，求的值。 例 3 ，求a 2004+b 2004的值。 例4、 当x ______时，有意义，当x ______时，有意义。 例5、若无意义，则 x 的取值范围是______。 例6、（1）当x 在实数范围内有意义？ （2）当x 是多少时， 2x 在实数范围内有意义？3x 呢？ 3、二次根式的双重非负性： ≥0；a ≥0 。 例1、 已知 ＋＝０，求ｘ，ｙ的值． a +1x y 12-- x 31+x 2+x
例2、若实数ａ、ｂ满足＋＝０，则２ｂ－ａ＋１＝＿＿＿． 例3、已知实ａ满足，求ａ-2010的值． 例４、在实数范围内，求代数式的值． 例5、设等式＝在实数范围内成立，其中ａ、ｘ、ｙ是两两不同的实数，求的值． 例6、 ，且x为偶数，求（1+x 的值．=
4、二次根式的性质： (3) 例1、(1) ()25.1=________ (2) ()252 =________ (3) ()2 2.0-=________ (4) 272⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=________ 例2、化简 （1 （2 =_____ （3 =_____ (4)2 52⎪⎭⎫ ⎝⎛--=_____ （4 =_____ 例 3.（1，则a 可以是什么数？ （2，则a 是什么数？ （3，则a 是什么数？
二次根式知识点总结及习题带答案
【根底知识稳固】 一、二次根式的概念 形如〔〕的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 二、取值围 1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要 使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。 三、二次根式〔〕的非负性 〔〕表示a的算术平方根，也就是说，〔〕是一个非负数，即0〔〕。注：因为二次根式〔〕表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数〔〕的算术平方根是非负数，即0〔〕，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如假设，那么a=0,b=0；假设，那么a=0,b=0；假设，那么a=0,b=0。 四、二次根式〔〕的性质：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 〔〕 注：二次根式的性质公式〔〕是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：假设，那么，如：，. 五、二次根式的性质：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，假设是正数或0，那么等于a本身， 即；假设a是负数，那么等于a的相反数-a,即； 2、中的a的取值围可以是任意实数，即不管a取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进展化简。 六、与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表 示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但 与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差异的，，而 2、一样点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 七、二次根式的运算 1、最简二次根式必须满足以下两个条件 〔1〕被开方数不含分母，即被开方的因式必须是整式； 〔2〕被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数中每一个因数或因式的指数都是1. 2ab a b；积的算术平方根的性质即乘法法那么的逆用. 3b b a>0〕；商的算术平方根的性质即除法法那么的逆用. a a 4、合并同类项的法那么：系数相加减，字母的指数不变. 5、二次根式的加减 〔1〕二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数一样的二次根式进展合并。〔2〕步骤：如果有括号，根据去括号的法那么去掉括号；把不是最简二次根式的二次根式化简；合并被开方数一样的二次根式。
二次根式知识及典型例题
二次根式知识点复习 【知识点1】二次根式的概念：一般地，我们把形如)0(0≥≥a a 的式子叫做二次根 式。二次根式的实质是一个非负数数a 的算数平方根。 【注】二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。 例1 下列各式（22211 (1) (2)5(3)2(4)4(5)()(6)1(7)2153 x a a a --+---+ 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2 使x ＋ 1 x-2 有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≥0 B ．x ≠2 C ．x>2 D ．x ≥0且x ≠2． 例3 若y=5-x +x -5+2009，则x+y= 练习1使代数式有意义的x 的取值范围是 练习2若11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为 例4 若230a b -+-=，则 2 a b -= 。 例5 在实数的范围内分解因式：X 4 - 4X 2 + 4= ________ 例6 若a 、b 为正实数，下列等式中一定成立的是（ ）： A 、a 2 +b 2 =a 2 +b 2 ； B 、（a 2 +b 2 ）2 =a 2 +b 2 ； C 、（ a + b ）2= a 2+b 2； D 、（a —b ）2 =a —b ； 【知识点2】二次根式的性质： （1）二次根式的非负性，)0(0≥≥a a 的最小值是0；也就是说a （ ）是一个非 负数，即)0(0≥≥a a 。 注：因为二次根式)0(0≥≥a a 表示a 的算术平方根，这个性质在解答题目时应用较多，如 若0a b +=，则a=0,b=0；若0a b +=，则a=0,b=0；若2 0a b +=，则a=0,b=0。 （2）2()a a =（ ） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非 负数。注：二次根式的性质公式2()a a =（）是逆用平方根的定义得出的结论。上 面的公式也可以反过来应用：若，则2()a a =，如： 22(2)= （3） 例7 a 、b 、c 为三角形的三条边，则=--+-+c a b c b a 2 )(____________. 例8 把(2-x)的根号外的（2-x ）适当变形后移入根号内，得 例 9 若二次根式 26x -+有意义，化简│x-4│-│7-x │
二次根式知识点及习题
二次根式 知识点一：二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意：因为负 数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件,如，,等是二次根式， 而，等都不是二次根式. 知识点二：取值范围 1。二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时,有意义,是二次根式，所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。 2。二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义. 知识点三:二次根式()的非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（)是一个非负数，即0（）. 注：因为二次根式（)表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0，所以非负数(）的算术平方根是非负数，即0(），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0，b=0；若，则a=0,b=0；若,则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数. 注:二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论.上面的公式也可以反过来 应用：若，则，如:，. 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注: 1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0,则等于a本身,即 ；若a是负数,则等于a的相反数—a，即; 2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根;在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数,即，.因而它的运算的结果是有差别的,，而
《二次根式》的知识要点和习题
《二次根式》的知识要点和习题 知识要点 1、二次根式的概念：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式。二次根式a 的实质是一个非负数a 的算术平方根。 注意：在二次根式中，被开放数能够是数，也能够是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a ≥0是a 为二次根式的前提条件，如5，21x +，等是二次根式，而5-、2x -、12--x 等都不是二次根式； a 的根指数是 2, 即2a ，可省略不写；b a 也是二次根式。当b 为带分数 时，要把b 改写成假分数。 538是二次根式，不能写成253 2。 2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如 不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如 ， ， .......... 都不是最简二次根式，而 ， ，5 ， 都是最简二次根式。 3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。如 , , 就是同类二次根式，因 为 =2 ， =3 ，它们与 的被开方数均为2。 4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。① 的有理化因式为 ，② 的有理化因式为 ，③ 的有理化因式为 ，④ 的有理化因式为 ，⑤ 的有理化因式为 5．二次根式的性质：
（1）. (a≥0)是一个非负数, 即≥0; （2）.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：( )2=a(a≥0)； （3）.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|= （4）.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即= ·（a≥0,b≥0）。 （5）.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方 根，即= （a≥0,b>0）。 6．二次根式的乘除 （1）. 二次根式的乘法 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。 说明：（1）法则中、能够是单项式，也能够是多项式，要注意它们的取值范围，、都是非负数； （2）（≥0，≥0）能够推广为（≥0，≥0）； （≥0，≥0，≥0，≥0）。 （3）等式（≥0，≥0）也能够倒过来使用，即（≥0，≥0）。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合，能够对一些二次根式实行化简。 （2）. 二次根式的除法 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即（≥0，＞0）。 说明：（1）法则中、能够是单项式，也能够是多项式，要注意它们的取值范围，≥0，在分母中，所以＞0； （2）（≥0，＞0）能够推广为（≥0，＞0，≠0）； （3）等式（≥0，＞0）也能够倒过来使用，即（≥0，＞0）。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合，能够对一些二次根式实行化简。
二次根式知识点梳理及经典练习(超详细)
二次根式知识点梳理及经典练习 知识点1：二次根式的概念 1.二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一 个非负数时，才有意义． 题型一：二次根式的判定 【例1】下列各式1）22211 ,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)21 53x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． [练一练]： 1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、 )0(≥a a 2、在a 、2a b 、1x +、2 1x +、3中是二次根式的个数有______ 题型二：二次根式有意义 【例2】若式子1 3x -有意义，则x 的取值范围是 ． [练一练]： 1、使代数式43 --x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4 2、使代数式 2 21 x x -+-有意义的x 的取值范围是 3、如果代数式 mn m 1 + -有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限
题型三：二次根式定义的运用 [练一练]： A ．－1 B．1 C．2 D．3 题型四：二次根式的整数部分与小数 知识点2：二次根式的性质 常用到．
注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替． （3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外． 题型一：二次根式的双重非负性 【例4】若()2 240a c -+-=，则= +-c b a ． [练一练]： 1、若 0)1(32 =++-n m ，则m n +的值为 。 2、已知y x ,为实数，且 ()02312 =-+-y x ，则y x -的值为（ ） A ．3 B ．– 3 C ．1 D ．– 1 3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋ 652+-y y ＝0，则第三边长为＿＿ ＿＿＿＿. 4、若1 a b -+互为相反数，则() 2005 _____________ a b -=。 【例5】化简： 2 1a -+的结果为（ ） A 、4—2a B 、0 C 、2a —4 D 、4 [练一练]： 1在实数范围内分解因式: 2 3 x -= ；4 2 44 m m -+= 429__________,2__________x x -=-+=
初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)
初二二次根式所有知识点总结和常考题 知识点： 1、二次根式： 形如)0(≥a a 的式子。①二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。②非负性 2、最简二次根式：满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。 3、化最简二次根式的方法和步骤： （1）如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。 （2）如果被开方数含能开得尽方的因数或因式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 3、二次根式有关公式 （1）)0()(2 ≥=a a a （2）a a =2 （3）乘法公式)0,0(≥≥∙=b a b a ab （4）除法公式)0,0( b a b a b a ≥= 4、二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 5、二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的。 常考题： 一．选择题（共14小题） 1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．式子有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≥﹣且x ≠1 B ．x ≠1 C ． D ． 3．下列计算错误的是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．估计 的运算结果应在（ ） A ．6到7之间 B ．7到8之间 C ．8到9之间 D ．9到10之间
5．如果=1﹣2a，则（） A．a＜B．a≤C．a＞D．a≥ 6．若=（x+y）2，则x﹣y的值为（） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 7．是整数，则正整数n的最小值是（） A．4 B．5 C．6 D．7 8．化简的结果是（） A．B．C．D． 9．k、m、n为三整数，若=k，=15，=6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（） A．k＜m=n B．m=n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n 10．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（） A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定 11．把根号外的因式移入根号内得（） A．B．C．D． 12．已知是正整数，则实数n的最大值为（） A．12 B．11 C．8 D．3 13．若式子有意义，则点P（a，b）在（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 14．已知m=1+，n=1﹣，则代数式的值为（） A．9 B．±3 C．3 D．5 二．填空题（共13小题） 15．实数a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣1|+= ． 16．计算：的结果是． 17．化简：（﹣）﹣﹣|﹣3|= ． 18．如果最简二次根式与是同类二次根式，则a= ．19．定义运算“@”的运算法则为：x@y=，则（2@6）@8= ． 20．化简×﹣4××（1﹣）0的结果是． 21．计算：﹣﹣= ．
二次根式知识点及例题
第十六章 二次根式 知识点一、二次根式 1.定义0)a ≥二次根号下的a 叫做被开方数． 注意：(1)二次根号的定义是从形式上界定的，即必须含有二次根号． (2)二次根式的被开方数可以是一个数字，也可以是一个代数式，但必须满足被开方数大于等于0． (3)根指数是2，这里的2可以省略不写． (4)形如0)a ≥的式子也是二次根式，它表示b 例题： ! 1.下列各式中，一定是二次根式的是 ． 12x ⎫<⎪⎭ 练习： 1.下列各式中，一定是二次根式的是 ． 0,0)x y ≥≥ 知识点二、二次根式有意义的条件 1.0a ≥0a < 2.从具体的情况总结，如下： (1)0A ≥；
(2) ⋅⋅⋅有意义的条件：000 A B N ≥⎧⎪≥⎪ ⎨⋅⋅⋅⎪⎪≥⎩； ? (3) 0A >； (4)二次根式作为分式的分子如B A 有意义的条件：00A B ≥⎧⎨≠⎩ ． 例题： 1.当x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义． 1 1 x + 练习： 知识点三、二次根式的性质（重点，难点）
性质10)a ≥具有双重非负性，它即表示二次根式，又表示非负数a 的算式平方根， 具体描述为：0；a 是非负数． 注意：几个非负数的和为0时，这几个非负数必须同时为0． 、 例题： @ 练习： 则2015 )(y x 的值为________． 3.已知a ,b 4b +，求a ，b 的值． · 2210b b -+=，求22 1 a b a +-的值．
性质2 ：2(0) a a =≥，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身． 注意：不能忽略0 a≥ 这一限制条件，导致类似24 =-的错误． 性质3 (0) (0) a a a a a ≥ ⎧ ==⎨ -< ⎩ ，即当一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于它本身， (0) a a =≥； (0) a a -<． & 注意：不要认为a 2-的错误． 2的区别与联系： 例题： 1.计算： (1) 2(2)2(3) 2 (-(4)2 2.计算： '
二次根式知识点及练习题附解析
一、选择题 1．下列计算正确的是（ ） A 1 B C D ±2．下列各式计算正确的是（ ） A = B = C ．23= D 2=- 3．已知5x =-，则2101x x -+的值为（ ） A ．- B ． C ．2- D ．0 4．估计( （ ） A ．4和5之间 B ．5和6之间 C ．6和7之间 D ．7和8之间 5．对于已知三角形的三条边长分别为a ,b ,c ，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式： S =，其中2 a b c p ++= ,若一个三角形的三边长分别为2,3,4，则其面积（ ） A B C D 6． ） A ． 30 B ．C D ． 7．有意义，则字母x 的取值范围是( ) A ．x≥1 B ．x≠2 C ．x≥1且x ＝2 D ．.x≥-1且x ≠2 8．的下列说法中错误的是（ ） A 12的算术平方根 B ．34<< C 不能化简 D 是无理数 9．下列计算正确的是（ ） A ． B C ．D ．3+10．下列根式中是最简二次根式的是（ ） A B C D
二、填空题 11．已知x =()21142221x x x x -⎛⎫+⋅= ⎪-+-⎝⎭_________ 12．已知 112a b +=，求535a ab b a a b b ++=-+_____． 13．能力拓展： 1A = 2A =；3:A =； 4A =________． …n A ：________． ()1请观察1A ，2A ，3A 的规律，按照规律完成填空． ()2比较大小1A 和2A ()3 - 14．==________． 15．已知，-1，则x 2+xy +y 2=_____． 16．计算（π-3）0-2 1-2 （） 的结果为_____． 17．+的形式(,,a b c 为正整数)，则abc =______. 18．若2x ﹣x 2﹣x=_____． 19．化简： 20．1 =-= = ++……=___________． 三、解答题
二次根式知识点+典型例题+习题
21.1 二次根式 知识点 1.二次根式的相关概念：像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二 次根式。因此，一般地，我们把形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ” 称为二次根号。 二次根式a 的特点： （1）在形式上含有二次根号 ，表示 a 的算术平方根。 （2）被开方数 a ≥0，即必须是非负数。 （3）a 可以是数，也可以是式。 （4）既可表示开方运算，也可表示运算的结果。 2.二次根式中字母的取值*围的基本依据：(1)被开方数不小于零。 (2)分母中有字母时，要保证分母不为零。 3.二次根式的相关等式：a a =2(a ≥0) ⎩⎨ ⎧<-≥==) 0() 0(2a a a a a a 相关例题 1.二次根式的概念 例题一： 下列各式中144,20,,1,3,152222-++-m b a b a ， 二次根式的个数是（）
考点：二次根式的概念． 分析：二次根式的被开方数应为非负数，找到根号内为非负数的根式即可． 解答：解：3a ，12-b 有可能是负数，-144是负数不能作为二次根式的被开方数，所以二次根式的个数是3个。 点评：本题考查二次根式的概念，注意利用一个数的平方一定是非负数这个知识点． 变式一:下列各式中①，a ②，z y +③，6a ④，32+a ⑤，962++x x ⑥， 12-x 一定是二次根式的有()个。 解：①被开方数a 有可能是负数，不一定是二次根式； ②被开方数y+z 有可能是负数，不一定是二次根式； ③被开方数6a 一定是非负数，所以③一定是二次根式； ④被开方数32+a 一定是正数，所以④一定是二次根式； ⑤被开方数22)3(96+=++x x x 一定是非负数，所以⑤一定是二次根式； ⑥被开方数12-x 有可能是负数，不一定是二次根式；一定是二次根式的有3个，故选C ． 点评：用到的知识点为：二次根式的被开方数为非负数；一个数的偶次幂一定是非负数，加上一个正数后一定是 正数．
二次根式知识点及典型例题
第17章:二次根式 第一课时:二次根式的概念与性质 知识点1:二次根式的定义: （1） (a ≥0)的式子叫做二次根式。 （2） (a ≥0)表示非负数a 的算术平方根 （3） 二次根式的要求 ① 根指数为2 ② 被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等，但必须是非负数 类型一：二次根式的识别 例1 ：已知式子 其中一定是二次根式的是 ①②④ 。 知识点2:二次根式中字母的取值范围： （1） 二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0。 （2） 二次根式无意义的条件：被开方数小于0 （3） 二次根式做分母时: 被开方数大于0. 类型一：求字母的取值范围 例1：x 取何值时，下列各式有意义？ 11 (6 250 1 6.60166 301 2210 2 201 1 22x x x x x x x x x x x x x - ---⎧⎨ -⎩+-⎧-⎪ -⎨⎪-⎩--≥解：（）由题意知解得≥5且≠≠ 所以当≥5且≠有意义 ≥ （）由题意知＞解得 ＜x ≤3且x ≠2≠ 所以当 ＜x ≤3且x ≠2有意义 类型二：根据字母隐含的的取值范围，求代数式的值（较难） 例2 ：x y y = 若、为实数，且 222224040, 14,20,2,4 x x x x x x x y --=+== ≥，即≥4, ≥即≤4, 所以又因为≠所以
222 40404, 1 20,2 4 3 2 x x x x x y --∴= +∴=∴= === 解:由题意知:≥且≥ 又≠ 知识点3：二次根式的性质： （1）双重非负性：①被开方数为非负数，即a≥0；②二次根式的值为非负数，即a≥0（2）两个性质：性质1：（a）2= a（a≥0） 语言叙述：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。 或叙述为：一个非负数先开平方再平方等于这个数本身。 性质2 (0) (0) a a a a a ⎧ ==⎨ - ⎩ ≥ ＜ 语言叙述：一个数先平方再开平方等于这个数的绝对值。 2 2 2 22 22 1 = = 2(0), (0) 1a(0) (0) (0) (0) x a x x x a x a x x x a a x x x a a a a a a a a === = = == ⎧ ===⎨ - ⎩ ⎧ ==⎨ - ⎩ 证明：性质：设①则 把 把 性质≥两边平方得： ≥由性质得：≥所以 ＜ ≥ ＜ 类型一：简单的计算与化简 例1：计算与化简 2 222 ;4 =243=12. 888 111 3(0) 43 3(0) x x x x x ⨯=⨯ =-=== =-=== - ⎧ -=⎨ - ⎩ （ 解:(1) （ ≥ （ ＜ 类型二：在实数范围内因式分解 例2：在实数范围内因式分解。 22 222 222 (1)3(2)1611 (1)3=( (2)1611(4)(4 a b a a a a b b b b -- --=+ -=-=- 解： 注：性质1 的逆用：2(0) a a =≥
