最新北师大版高一数学必修一测试题全套及答案
第一章测试题
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A={x|-1≤x<3},B={x|2 A.{x|2 C.{x|-1 解析:结合数轴分析可知,A∪B={x|-1≤x≤5}. 答案: B 2.符合条件{a}P?{a,b,c}的集合P的个数是() A.2 B.3 C.4 D.5 解析:集合P内除了含有元素a外,还必须含b,c中至少一个,故P={a,b},{a,c},{a,b,c}共3个. 答案: B 3.已知集合A,B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集,若A∩B={1,3},(?U A)∩B={5},则集合B等于() A.{1,3} B.{3,5} C.{1,5} D.{1,3,5} 解析:画出满足题意的Venn图,由图可知B={1,3,5}. 答案: D 4.设M={x|x=a2+1,a∈N*},P={y|y=b2-4b+5,b∈N*},则下列关系正确的是() A.M=P B.M P C.P M D.M与P没有公共元素 解析:∵a∈N*,∴x=a2+1=2,5,10,…. ∵b∈N*,∴y=b2-4b+5=(b-2)2+1=1,2,5,10,…. ∴M P. 答案: B 5.若全集U={1,2,3,4,5,6},M={2,3},N={1,4},则集合{5,6}等于() A.M∪N B.M∩N C.(?U M)∪(?U N) D.(?U M)∩(?U N) 解析:∵?U M={1,4,5,6},?U N={2,3,5,6}, ∴(?U M)∩(?U N)={5,6}. 答案: D 6.如图,I为全集,M,P,S是I的三个子集,则阴影部分所表示的集合是() A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪S C.(M∩P)∩(?I S) D.(M∩P)∪(?I S) 解析:阴影部分在M中,也在P中但不在S中,故表示的集合为(M∩P)∩(?I S).答案: C 7.已知集合A={x|x<3,或x≥7},B={x|x3 B.a≥3 C.a≥7 D.a>7 解析:因为A={x|x<3,或x≥7},所以?U A={x|3≤x<7},又(?U A)∩B≠?,则a>3. 答案: A 8.已知集合A={x|x>a},B={x|1 C.{a|a≥2} D.{a|a>2} 解析:?R B={x|x≤1或x≥2},∵A∪(?R B)=R,∴a≤1. 答案: A 9.若集合A={x||x|=1},B={x|ax=1},若A∪B=A,则实数a的值为() A.1 B.-1 C.1或-1 D.1或0或-1 解析:∵A={-1,1}且A∪B=A, ∴B?A,∴B={-1}或{1}或?. 当B={1}时a=1; 当B={-1}时a=-1; 当B=?时a=0. ∴a的值为0或1或-1. 答案: D 10.定义集合M与N的新运算:M⊕N={x|x∈M或x∈N且x?M∩N},则(M⊕N)⊕N =() A.M∩N B.M∪N C.M D.N 解析:按定义,M⊕N表示右上图的阴影部分,两圆内部的公共部分表示M∩N.(M⊕N)⊕N应表示x∈M⊕N或x∈N且x?(M⊕N)∩N的所有x的集合, (M⊕N)∩N表示右下图右边的阴影部分,因此(M⊕N)⊕N=M. 答案: C 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上) 11.已知集合A={x|x≤2},B={x|x>a},如果A∪B=R,那么a的取值范围是________.解析:如图中数轴所示,要使A∪B=R,需满足a≤2. 答案:a≤2 12.集合A={1,2,3,5},当x∈A时,若x-1?A,x+1?A,则称x为A的一个“孤立元素”,则A中孤立元素的个数为________. 解析:当x=1时,x-1=0?A,x+1=2∈A; 当x=2时,x-1=1∈A,x+1=3∈A; 当x=3时,x-1=2∈A,x+1=4?A; 当x=5时,x-1=4?A,x+1=6?A; 综上可知,A中只有一个孤立元素5. 答案: 5 13.设U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则A∩(?U B)= ________________________________________________________________________. 解析:∵?U B={x|x≤1},借助数轴可以求出?U B与A的交集为图中阴影部分,即{x|0 答案:{x|0 14.已知集合A{2,3,7},且A中至多有1个奇数,则这样的集合共有________个.解析:(1)若A中有且只有1个奇数,则A={2,3}或{2,7}或{3}或{7}; (2)若A中没有奇数,则A={2}或?. 答案: 6 三、解答题(本大题共4个小题,满分50分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(12分)已知M ={1,t },N ={t 2-t +1},若M ∪N =M ,求t 的取值集合. 解析: ∵M ∪N =M , ∴N ?M ,即t 2 -t +1∈M , (1)若t 2-t +1=1,即t 2-t =0,解得t =0或t =1, 当t =1时,M 中的两元素相同,不符合集合中元素的互异性,舍去.∴t =0. (2)若t 2-t +1=t ,即t 2-2t +1=0,解得t =1, 由(1)知不符合题意,舍去. 综上所述,t 的取值集合为{0}. 16.(12分)已知集合A ={x |-1≤x <3},B ={x |2x -4≥x -2}. (1)求A ∩B ; (2)若集合C ={x |2x +a >0},满足B ∪C =C ,求实数a 的取值范围. 解析: (1)∵B ={x |x ≥2}, ∴A ∩B ={x |2≤x <3} (2)∵C =????? ?x ?? x >-a 2,B ∪C =C ?B ?C , ∴-a 2<2, ∴a >-4. ∴a 的取值范围是{a |a >-4}. 17.(13分)若集合A ={x |-3≤x ≤4}和B ={x |2m -1≤x ≤m +1}. (1)当m =-3时,求集合A ∩B . (2)当B ?A 时,求实数m 的取值范围. 解析: (1)当m =-3时,B ={x |-7≤x ≤-2}, A ∩B ={x |-3≤x ≤-2}. (2)∵B ?A ,∴B =?或B ≠?. 当B =?时,2m -1>m +1,即m >2. 当B ≠?时,有 ???? ? 2m -1≤m +12m -1≥-3m +1≤4, 即-1≤m ≤2. 综上所述,所求m 的范围是m ≥-1. 18.(13分)已知全集U =R ,集合A ={a |a ≥2或a ≤-2},B ={a |关于x 的方程ax 2-x +1=0有实根}.求A ∪B ,A ∩B ,A ∩(?U B ). 解析: A ={a |a ≥2或a ≤-2}, 对于方程ax 2 -x +1=0有实根, 当a =0时,x =1; 当a ≠0时,Δ=1-4a ≥0,a ≤1 4. 所以B =??? ?? ?a | a ≤14 . 所以A ∪B =????? ? a | a ≤14或a ≥2,A ∩B ={a |a ≤-2}, A ∩(?U B )={a |a ≥2}. 第二章 测试题 一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.函数y =x 2-2x 的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为( ) A .{-1,0,3} B .{0,1,2,3} C .{y |-1≤y ≤3} D .{y |0≤y ≤3} 解析: 当x =0时y =0,当x =1时y =-1, 当x =2时y =0,当x =3时y =3,值域为{-1,0,3}. 答案: A 2.幂函数y =xm 2-2m -3(m ∈Z )的图像如图所示,则m 的值为( ) A .-1 B .0 C .1 D .2 解析: 从图像上看,由于图像不过原点,且在第一象限下降,故m 2 -2m -3<0,即-1 -2m -3为负偶数, 将m =0,1,2分别代入,可知当m =1时,m 2 -2m -3=-4,满足要求. 答案: C 3.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数,其图像可能是( ) 解析: 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶直至停车,在行进过程中s 随时间t 的增大而增大,故排除D.另外汽车在行进过程中有匀速行驶的状态,故排除C.又因为在开始时汽车启动后加速行驶的过程中行驶路程s 随时间t 的变化越来越快,在减速行驶直至停车的过程中行驶路程s 随时间t 的变化越来越慢,排除B. 答案: A 4.函数y =f (x )的图像与直线x =a (a ∈R )的交点有( ) A .至多有一个 B .至少有一个 C .有且仅有一个 D .有一个或两个以上 解析: 由函数的定义对于定义域内的任意一个x 值,都有唯一一个y 值与它对应,所以函数y =f (x )的图像与直线x =a (a ∈R )至多有一个交点(当a 的值不在定义域时,也可能没有交点). 答案: A 5.对于定义域为R 的奇函数f (x ),下列结论成立的是( ) A .f (x )-f (-x )>0 B .f (x )-f (-x )≤0 C .f (x )·f (-x )≤0 D .f (x )·f (-x )>0 解析: f (-x )=-f (x ),则f (x )·f (-x )=-f 2(x )≤0. 答案: C 6.函数y =x 2+bx +c (x ∈[0,+∞))是单调函数,则有( ) A .b ≥0 B .b ≤0 C .c ≥0 D .c ≤0 解析: 作出函数y =x 2 +bx +c 的简图,对称轴为x =-b 2. 因该函数在[0,+∞)上是单调函数,故对称轴只要在y 轴及y 轴左侧即可,故-b 2≤0,所以b ≥0. 答案: A 7.幂函数y =f (x )图像如图,那么此函数为( ) A .y =x -2 B .y =x 3 2 C .y =x 1 2 D .y =x 2 3 解析: 可设函数为y =x α ,将(2,2)代入得α=1 2. 答案: C 8.某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度为8 m ,两侧距离地面3 m 高处各有一个壁灯,两壁灯之间的水平距离为6 m ,如图所示.则厂门的高约为(水泥建筑物厚度忽略不计,精确到0.1 m)( ) A .6.9 m B .7.0 m C .7.1 m D .6.6 m 解析: 建立如图所示的坐标系,于是由题设条件知抛物线的方程为y =ax 2 (a <0),设 点A 的坐标为(4,-h ),则C (3,3-h ),将这两点的坐标代入y =ax 2 ,可得????? -h =a · 42 ,3-h =a · 32, 解得??? a =-37, h =48 7≈6.9, 所以厂门的高约为6.9 m. 答案: A 9.设f (x )=????? x +3,(x >10), f (f (x +5)),(x ≤10), 则f (5)的值是( ) A .24 B .21 C .18 D .16 解析: f (5)=f (f (10)),f (10)=f (f (15))=f (18)=21,f (5)=f (21)=24. 答案: A 10.下列函数中,满足“对任意x 1,x 2∈(0,+∞),都有f (x 1)-f (x 2) x 1-x 2>0”的是( ) A .f (x )=2 x B .f (x )=-3x +1 C .f (x )=x 2 +4x +3 D .f (x )=x +1 x 解析: f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0?f (x )在(0,+∞)上为增函数,而f (x )=2 x 及f (x )=-3x +1在(0,+∞)上均为减函数,故排除A ,B.f (x )=x +1 x 在(0,1)上递减,在[1,+∞)上递增,故排除D. 答案: C 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上) 11.若函数f (x )=????? x -1 2,x >0, -2,x =0, (x +3)12,x <0, 则f (f (f (0)))=________. 解析: f (0)=-2,f (f (0))=f (-2)=(-2+3)1 2=1, f (f (f (0)))=f (1)=1-1 2=1. 答案: 1 12.设函数f (x )是R 上的减函数,若f (m -1)>f (2m -1),则实数m 的取值范围是________. 解析: 由题意得m -1<2m -1,故m >0. 答案: (0,+∞) 13.设函数f (x )=(x +1)(x +a )x 为奇函数,则a =________. 解析: f (-x )=(1-x )(a -x )-x ,又f (x )为奇函数,故f (x )=-f (-x ), 即(x +1)(x +a )x =(1-x )(a -x )x ,所以x 2+(a +1)x +a x =x 2-(a +1)x +a x , 从而有a +1=-(a +1),即a =-1. 答案: -1 14.已知函数f (x ),g (x )分别由下表给出: 当g [f (x )]=2时,x =解析: ∵g [f (x )]=2, ∴f (x )=2,∴x =1. 答案: 1 三、解答题(本大题共4小题,共50分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(12分)已知二次函数y =f (x )的最大值为13,且f (3)=f (-1)=5,求f (x )的解析式,并求其单调区间. 解析: ∵f (3)=f (-1)=5, ∴对称轴为x =1, 又∵最大值为13,∴开口向下, 设为f (x )=a (x -1)2 +13(a <0),代入x =-1, ∴4a +13=5,∴a =-2, ∴f (x )=-2(x -1)2 +13. 函数在(-∞,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减. 16.(12分)已知函数f (x )=x 2+a x ,且f (1)=2, (1)证明函数f (x )是奇函数; (2)证明f (x )在(1,+∞)上是增函数; (3)求函数f (x )在[2,5]上的最大值与最小值. 解析: (1)证明:f (x )的定义域为{x |x ≠0},关于原点对称,因为f (1)=2所以1+a =2,即a =1 f (x )=x 2+1x =x +1x f (-x )=-x -1 x =-f (x ) 所以f (x )是奇函数. (2)证明:任取x 1,x 2∈(1,+∞)且x 1 x 2) =(x 1-x 2)·x 1x 2-1 x 1x 2 ∵x 1 (3)由(2)知,f (x )在[2,5]上的最大值为f (5)=26 5, 最小值为f (2)=5 2. 17.(13分)已知函数f (x )=1x 2 +1,令g (x )=f ???? 1x . (1)如图,已知f (x )在区间[0,+∞)的图像,请据此在该坐标系中补全函数f (x )在定义域内的图像,并说明你的作图依据; (2)求证:f (x )+g (x )=1(x ≠0). 解析: (1)∵f (x )=1 x 2 +1,所以f (x )的定义域为R . 又任意x ∈R ,都有f (-x )=1(-x )2+1=1x 2+1=f (x ), 所以f (x )为偶函数, 故f (x )的图像关于y 轴对称,补全图像如图所示. (2)证明:∵g (x )=f ????1x =1????1 x 2+1=x 2 1+x 2(x ≠0), ∴f (x )+g (x )=11+x 2+x 2 1+x 2=1+x 21+x 2=1, 即f (x )+g (x )=1(x ≠0). 18.(13分)已知函数f (x )=ax 2 +(2a -1)x -3在区间???? -32,2上的最大值为1,求实数a 的值. 解析: 当a =0时,f (x )=-x -3, f (x )在???? -32,2上不能取得1,故a ≠0. ∴f (x )=ax 2 +(2a -1)x -3(a ≠0)的对称轴方程为 x 0=1-2a 2a . (1)令f ???? -32=1,解得a =-103, 此时x 0=-2320∈???? -32,2, 因为a <0,f (x 0)最大, 所以f ???? -32=1不合适; (2)令f (2)=1,解得a =3 4, 此时x 0=-13∈???? -32,2, 因为a =34>0,x 0=-13∈???? -32,2,且距右端点2较远, 所以f (2)最大,合适; (3)令f (x 0)=1,得a =1 2(-3±22), 验证后知只有a =1 2(-3-22)才合适. 综上所述,a =34或a =-1 2(3+22). 第三章 测试题 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.化简[3 (-5)2]3 4 的结果为( ) A .5 B . 5 C .- 5 D .-5 解析: [3 (-5)2]3 4 =(3 52)3 4 =523×34=51 2= 5. 答案: B 2.若log 51 3·log 36·log 6x =2,则x =( ) A .9 B .19 C .25 D .125 解析: 由换底公式,得 lg 1 3 lg 5·lg 6 lg 3· lg x lg 6=2,∴- lg x lg 5=2. ∴lg x=-2lg 5=lg 1 25.∴x= 1 25. 答案: D 3.已知函数f(x)=4+a x+1的图像恒过定点P,则点P的坐标是() A.(-1,5) B.(-1,4) C.(0,4) D.(4,0) 解析:∵y=a x恒过定点(0,1), ∴y=4+a x+1恒过定点(-1,5). 答案: A 4.函数y=(a2-1)x在(-∞,+∞)上是减函数,则a的取值范围是() A.|a|>1 B.|a|>2 C.a> 2 D.1<|a|< 2 解析:由0 答案: D 5.函数y=a x-1的定义域是(-∞,0],则a的取值范围是() A.a>0 B.a>1 C.0 解析:由a x-1≥0得a x≥1,又知此函数的定义域为(-∞,0],即当x≤0时,a x≥1恒成立,∴0 答案: C 6.函数y=f(x)=a x-b的图像如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是() A.a>1,b<0 B.a>1,b>0