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集合集合与集合的关系(学生版)

1.2集合与集合的关系

一、教学目标：

1、集合之间包含、相等关系的理解；

2、掌握子集、真子集、空集、补集、全集的概念，并解决相关问题。

二、教学重难点：

教学重点：子集、真子集、空集、补集、全集的概念。

教学难点：写出子集、真子集的个数；子集与真子集的区别及应用。

三、新课引入：

引入：游戏中创造出的集合有多种：如头像是人物的集合；头像是女孩的集合；他们之间应该是什么关系？再观察下面3组集合：（1）}3,1{=A ,}6,5,3,1{=B

（2）}|{是长方形x x C = ，}|{是平行四边形x x D = （3）}|{P 是菱形

x x =，}|{Q 是正方形x x = 提问 A 与B ；C 与D ；P 与Q 的关系。

四、知识呈现

1．子集的定义：

对于两个集合A ，B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。记作： ()A B B A ??或；

数学语言：若对任意的x A ∈有x B ∈，则.A B ?例如{1,2,3}N ?，N R ?，{|x x 是山东人}{|x x ?是中国人}等.

读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A 当集合A 不包含于集合B 时，记作B A ? 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：

如：（1）中A B ? 【辨析】“∈”与“?”的区别：符号“∈”表示元素与集合之间的从属关系，也就是个体与总体的关系，是指单个对象与对象的全体的从属关系；而符号“?”表示集合与集合之间的包含关系，也就是部分与总体的关系，是指由某些对象组成的部分与全部对象组成

的全体之间的包含关系；

a 与{}a 的区别：一般地，a 表示一个元素，而{}a 表示含有一个元素的集合，因此有{}a a ∈

2．集合相等定义：

如果A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，则集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，即若A B B A ??且，则A B =。

3．真子集定义：若集合A B ?，但存在元素,x B x A ∈?且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。记作：A B （或B A ）读作：A 真包含于B （或B 真包含A ） 1．几个重要的性质：

（1）空集是任何集合的子集；

（2）空集是任何非空集合的真子集；（3）任何一个集合是它本身的子集；

（4）对于集合A ，B ，C ，如果A B ?，且B C ?，那么A C ?。

（5）对于集合A 、B 、C ，如果A B ，且B C ，那么A C ；

（6）集合的元素个数为n ，子集个数n 2，真子集个数12-n

注意：集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。

关系文字语言符号语言

图形语言

子集

A 中任意一元素均

为B 中的元素 B A ?

真子集

A 中任意一元素均为

B 中的元素，且

B 中至少有一元素不是A 的元素

A B

5.全集与补集定义

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（universe set ）,记作U ，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。

对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫作集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ），记作：U C A ，读作：“A 在U 中的补集”，即

{},U C A x x U x A =∈?且

用Venn 图表示：（阴影部分即为A 在全集U 中的补集）

()

A B ()

A B A(B)

五、典型例题：

考点一：子集、真子集、补集概念理解例1.有下列结论,正确的个数（）。

（1）空集没有子集；

（2）空集是任何集合的真子集；

（3）任何一个集合必有两个或两个以上的子集；

（4）如果N M ?，则不属于集合M 的元素必不属于集合N 。 A 、 0个 B 、 1个 C 、2个 D 、 3个例2．填空：（1）． 2 N ； {2} N ； ? A;

（2）．已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{1,2}，C ＝{x|x<8,x ∈N}，则

A B ； A C ； {2} C ； 2 C （3）．用适当的符号填空：

? {}0； 0 ?； ? {}?； {}0 {}?

例3．写出集合{,,,}a b c d 的所有子集，并指出哪些是它的真子集。

例4.设集{}

{}{},1233456U x A B ===x 是小于9的正整数，

，，，，，，求U C A ，U C B ．

例5．设(,)|1y x A x y y x ?=??=???=+???，2(,)|21y x B x y y x ?=?

?=???=-+???

，判断集合A 是否是集合B

的子集，B A ?成立吗？

考点二、子集与真子集的个数求解

例 6.已知2{|340}A x x x =-+=，2{|(1)(34)0}B x R x x x =∈++-=，求满足条件A

P B ?

的集合p 。

变式练习：求满足{2,3}A ?{2,3,4,5,6,7}的集合A 的个数

考点二：空集的作用

例7．若集合{

}

{}

60,10,A x x x B x mx =+-==+= B A ，求m 的值。

例8．已知集合2{|54A x x x =-+≤0},2

{|22B x x ax a =-++≤0},且B A ?，求实数a 的取值范围.

变式练习：已知集合A={x|x 2

－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p－1}．若B A ，则实

数p 的取值范围是________．

考点三：集合相等

(完整word版)《集合的概念》教学设计.docx

附件 2：教学设计模板教学设计课题名称：姓名1.1 集合－集合的概念工作单位学科年级高一教材版本人教版一、课程标准要求（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法（2）使学生初步了解“属于”关系的意义（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义二、教材地位作用集合是中学数学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代数中用到的有数集、解集等；在几何中用到的有点集至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是本章学习的基础。把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑。本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念三、学情调查分析 1．学生心理特征分析：集合为高一上学期开学后的第一次授课知识，是学生从初中到高中的过渡知识，存在部分同学还沉浸在暑假的懒散中，从而增加了授课的难度。再者，与初中直观、具体、易懂的数学知识相比，集合尤其是无限集合就显得抽象、不易理解，这会给学生产生一定的心理负担，对高中数学知识的学习产生排斥心理。因此本节授课方法就显得十分重要。 2．学生知识结构分析：对于高一的新生来说，能够顺利进入高中知识的学习，基本功还是较扎实的，有良好的学习态度，也有一定的自主学习能力和探究能力。对集合概念的知识接纳和理解打下了良好的基础，在教学过程中，充分调动学生已掌握的知识，增强学生的学习兴趣。四、教学目标确定（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法（2）使学生初步了解“属于”关系的意义（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义五、重点、难点

一(1)集合及其运算(教师)

1 / 6 模块：一、集合、命题、不等式课题： 1、集合及其运算教学目标：理解集合、空集的意义，会用列举法和描述法表示集合；理解子集、真子集、集合相等等概念，能判断两个简单集合之间的包含关系或相等关系；理解交集、并集，掌握集合的交、并运算，知道有关的基本运算性质，理解全集的意义，能求出已知集合的补集．重难点：集合的概念及其运算；对集合有关概念的理解．一、知识要点 1、集合的有关概念（1）集合、元素、有限集、无限集、空集；（2）子集、真子集、集合相等；（3）集合元素的特征：确定性、互异性、无序性． 2、表示集合的方法：列举法、描述法． 3、集合运算：交集、并集、补集（全集）． 4、有限集的子集个数公式：对于有限集A ，若其中有n 个元素，则有2n 个子集，21n -个非空子集，21n -个真子集． 5、两个有限集的并集的元素个数公式： ()()()()card A B card A card B card A B =+-．二、例题精讲例1、已知{}221,251,1,2A a a a a A =-+++-∈且,则a = ．答案：3 2- 例2、给出下列四种说法 ①任意一个集合的表示方法都是唯一的； ②集合{}1,0,1,2-与集合{}2,1,0,1-是同一个集合 ③集合{}|21,x x k k Z =-∈与集合{}|21,y y s s Z =+∈表示的是同一个集合； ④集合{}|01x x <<是一个无限集. 其中正确说法的序号是 .（填上所有正确说法的序号）答案：②③④ 例3、下列五个关系式：（1）{}?=0；（2）0=?；（3）?∈0；（4）{}??0；（5）{}0≠?；其中正确的个数是（） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 答案：A 例4、设P 是一个数集，且至少含两个数，若对任意,a b P ∈，都有

知识讲解_集合及集合的表示_基础

集合及集合的表示【学习目标】 1.了解集合的含义，会使用符号“∈”“?”表示元素与集合之间的关系． 2.能选择自然语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合等．【要点梳理】集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用. 要点一：集合的有关概念 1．集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体. 2．一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集. 要点诠释：（1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体．（2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合B的元素． 3．关于集合的元素的特征 (1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立. (2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素. (3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合. 要点诠释：集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据．解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性”． 4．元素与集合的关系： (1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)A，记作a∈A ? (2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)A，记作a A 5．集合的分类 (1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作：?. (2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集. (3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集. 6．常用数集及其表示非负整数集(或自然数集)，记作N 正整数集，记作N*或N + 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 要点二：集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合. 1.自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合.

1.2.2集合的运算1教案教师版

1.2.2 集合的运算第1课时交集与并集【学习要求】 1.理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集． 2.能使用Venn图表示集合的交集和并集运算结果，体会直观图对理解抽象概念的作用． 3.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的交集与并集运算．【学法指导】通过观察和类比，借助Venn图理解集合的交集及并集运算，培养数形结合的思想；体会类比的作用；感受集合作为一种语言在表示数学内容时的简洁性和准确性. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.交集的定义：一般地，对于两个给定的集合A，B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”．即A∩B＝ {x|x∈A且x∈B} . 2.交集的性质：(1)A∩B＝ B∩A ；(2)A∩A＝A ； (3)A∩?＝?∩A＝?；(4)如果A?B，则A∩B＝A . 3.并集的定义：一般地，对于两个给定的集合A，B，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做A 与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”．即A∪B＝ {x|x∈A或x∈B} . 4.并集的性质：(1)A∪B＝ B∪A ；(2)A∪A＝A ；(3)A∪?＝?∪A＝A ；(4)如果A?B，则A∪B ＝B . 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加减法运算，如果把集合与实数相类比，我们会想两个集合是否也可以进行“加减”运算呢？本节就来研究这个问题．探究点一交集问题1你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？ (1)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{3,4,5,6,8}，C＝{3,4,5}； (2)A＝{x|x≤3}，B＝{x|x>0}，C＝{x|0

集合与符号

第一章准备知识 §1.1 集合与符号一、集合 1．定义：由确定的一些对象汇集的总体称为集合；组成集合的这些对象被称为集合的元素． 2．表示：用大写字母A 、B 、C …表示集合；用小写字母a 、b 、c …表示集合的元素． x 是集合E 的元素，记为E x ∈(读作：x 属于E ); y 不是集合E 的元素，记为E y ?(读作：y 不属于E )．不含任何元素的集合称为空集合，记作Φ 3．集合间的关系（1）子集合：如果集合E 的任何元素都是集合F 的元素，那末我们就说E 是F 的子集合，简称为子集，记为 (F E ?读作E 包含于F ）, 或者 E F ?（读作F 包含E ）．（2）相等：如果集合E 的任何元素都是集合F 的元素，并且集合F 的任何元素也都是集合E 的元素（即F E ?并且E F ?），那末我们说集合E 与集合F 相等，记为 F E =．我们约定：空集合Φ是任何集合E 的子集，即 Φ?E ．二、数集 1． N 自然数集; Z 整数集; Q ——有理数集; R ——实数集; C 把非负整数、非负有理数和非负实数的集合分别记为Z +，Q +和R +,显然有 N ?Z ?Q ?R ?C ．和 N ?Z +?Q +?R +． 2．区间 ——数轴上的一段所有点组成的集合

3．邻域设∈a R ，.0>δ 数集 {} δ<-a x x 称为a 的δ邻域，记为 ),(δa U ={} δ<-a x x =()δδ+-a a ,, a 称为邻域的中心；δ称为邻域的半径。当不需要注明邻域的半径δ时，常把它表为)(a U ，简称a 的邻域．数集 {} δ<-