第一章 1.1 1.1.1 集合及其表示方法

第一章集合与常用逻辑用语

[数学文化]——了解数学文化的发展与应用

康托尔与集合论

翻开高中数学课本，首先映入眼帘的数学概念是集合.研究集

合的数学理论在现代数学中称为集合论.它不仅是数学的一个基

本分支，在数学中占据着一个极其独特的地位，而且其基本概念

已渗透到数学的所有领域.如果把现代数学比作一座无比辉煌的

大厦，那么集合论正是构成这座大厦的基石.其创始人康托尔也以其集合论的成就被誉为对20世纪数学发展影响最深的学者之一.

康托尔(Georg Cantor，1845～1918)，德国数学家，生于俄罗斯圣彼得堡，自幼对数学有浓厚兴趣.1867年，22岁的康托尔获得博士学位，以后一直在哈雷大学任教，从事数学教学与研究.

[读图探新]——发现现象背后的知识

一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义.于是，他请教数学家：“尊敬的先生，

请你告诉我，集合是什么？”而集合是不加定义的概念，数

学家很难回答那位渔民.

有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，轻轻一拉，

许多鱼在网中跳动.数学家激动地喊：“找到了，找到了，这就是一个集合”.

问题1：数学家说的集合是指什么？集合中的对象是什么？这些对象有完全一样的吗？网中的“大鱼”能构成集合吗？

问题2：渔民网中的鱼组成的集合和湖中的鱼组成的集合有怎样的关系？

问题3：如果有两个渔民都在打渔，他们各自渔网中的鱼的种类组成两个集合，那么求这两个集合中的相同鱼的种类组成的新集合是集合的什么运算？将两个渔网中的鱼组成的集合中的鱼的种类合在一起的过程又是集合的哪种运算？

链接：数学家所说的集合是指渔网中的鱼，很显然渔网中的对象都是确定的、无序的和互异的；渔网中的鱼组成的集合是湖中的鱼组成集合的一部分，是湖中鱼构成集合的一个子集；两个渔网中相同鱼的种类组成的集合是两个集合的交集，两渔网鱼的种类合在一起就构成了两个集合的并集.

1.1集合

1.1.1集合及其表示方法

课标要求素养要求

1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系. 在集合概念的形成中，经历由具体到抽象、由自然语言和图形语言到符号语言的表达过程，发展学生的数学抽象素养和数学运算素养

.

2.针对具体问题，能在自然语言和图形

语言的基础上，用符号语言刻画集合.

教材知识探究

中国共产党第十九次全国代表大会(简称党的十九大)于2017年10月18日至10月24日在北京召开.

问题党的十九大会议胜利闭幕，这幅图里的所有参会的代表能否构成一个集合？

提示参会的代表能构成一个集合.

1.集合深刻理解集合的有关概念是我们正确运用集合知识的基础

(1)元素与集合的概念

①把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)，组成集合的每个对象都是这个集合的元素.

集合通常用英文大写字母A，B，C，…表示，集合的元素通常用英文小写字母a，b，c，…表示.

一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作?.

②集合的元素特点

确定性：集合的元素必须是确定的.

互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的.

无序性：集合中的元素可以任意排列，与次序无关.

③集合相等：给定两个集合A和B，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A＝B.

④集合的分类

根据集合含有的元素个数分为两类：

有限集：含有有限个元素的集合(空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集).

无限集：含有无限个元素的集合.

(2)元素与集合的关系

元素与集合之间的关系只能用“∈”或“?”表示，对一个确定的对象和一个给定的集合，这两种关系有且只有一个成立

2.几种常见的数集及表示符号

3.列举法

列举法对有限集情有独钟，自然数集、整数集也可用列举法来表示，但不能用来表示实数集

(1)定义：把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法.

(2)使用说明

①用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序.

②如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不致于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.

③无限集有时也可用列举法表示.

4.描述法描述法表示集合要关注竖线“| ”左边元素的形式，是数，是点或

有序实数组大不相同

(1)定义：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质.此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}.

这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法.

(2)使用说明

①有些情况下，描述法中竖线“|”及其左边元素的形式均可省略，如{x|x是三角形}，也可表示为{三角形}.

②集合{x|p(x)}中所有在另一集合I中的元素组成的集合，可以表示为{x∈I|p(x)}.

5.区间及其表示

(1)区间

设a，b∈R，且a＜b.

定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]

{x|a＜x＜b}开区间(a，b)

{x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b)

{x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b]

定义{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x＜a}{x|x≤a}R

符号[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a)(－∞，a](－∞，＋∞)

教材拓展补遗

[微判断]

1.漂亮的花可以组成集合.(×)

提示“漂亮的花”具有不确定性，故不能组成集合.

2.由方程x2－4＝0和x－2＝0的根组成的集合中有3个元素.(×)

提示由于集合中的元素具有互异性，故由两方程的根组成的集合中有2个元素.

3.集合{1，2，3}与集合{3，2，1}是同一个集合.(√)

[微训练]

1.用符号“∈”或“?”填空.

(1)若A＝{x|x2＝x}，则－1________A；

(2)若B＝{x|x2＋x－6＝0}，则3________B；

(3)若C＝{x∈N|1≤x≤10}，则8________C，9.1________C.

解析(1)∵A＝{x|x2＝x}＝{0，1}，∴－1?A.

(2)∵B＝{x|x2＋x－6＝0}＝{x|(x＋3)(x－2)＝0}＝{－3，2}，∴3?B.

(3)∵C＝{x∈N|1≤x≤10}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，

∴8∈C，9.1?C.

答案(1)?(2)?(3)∈?

2.试分别用描述法和列举法表示下列集合：

(1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；

(2)大于2且小于7的整数.

解(1)用描述法表示为{x∈R|x(x2－2x－3)＝0}，用列举法表示为{0，－1，3}.

(2)用描述法表示为{x∈Z|2

[微思考]

1.设集合A表示“1～10以内的所有素数”，3，4这两个元素与集合A有什么关系？如何用数学语言表示？

提示3是集合A中的元素，即3属于集合A，记作3∈A；4不是集合A中的元素，即4不属于集合A，记作4?A.

2.某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？

提示某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准.某班身高高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定.元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.

题型一集合概念的理解关键看是否有明确的判断标准，即确定性

【例1】考察下列每组对象能否构成一个集合：

(1)不超过20的非负数；

(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；

(3)某校2019年在校的所有矮个子同学；

(4)3的近似值的全体.

解(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；

(2)能构成集合；

(3)“矮个子”无明确的标准，对于某个人算不算矮个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；

(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合.

规律方法判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合.

【训练1】(1)下列给出的对象中能构成集合的是()

A.著名物理家

B.很大的数

C.聪明的人

D.小于3的实数

(2)下列各组对象可以构成集合的是()

A.数学必修第一册课本中所有的难题

B.小于8的所有素数

C.直角坐标平面内第一象限的一些点

D.所有小的正数

解析(1)只有选项D有明确的标准，能构成一个集合.

(2)A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合. 答案(1)D(2)B

题型二元素与集合的关系、集合的元素特点及应用

【例2】(1)给出下列关系：①1

2∈R；②|－3|?N；③|－3|∈Q；④0?N.其中正

确的个数为()

A.1

B.2

C.3

D.4

解析①正确；②③④不正确.

答案 A

(2)已知集合A是由a－2，2a2＋5a，12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a.

分类讨论，同时注意元素的互异性

解由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，

∴a＝－1或a＝－3 2.

当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去.

当a＝－3

2时，a－2＝－

7

2，2a

2＋5a＝－3，符合集合中元素的互异性.∴a＝－

3

2.

规律方法利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点

(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对求得参数值进行检验.

(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用. 【训练2】(1)设集合M是由不小于23的数组成的集合，a＝11，则下列关系中正确的是()

A.a∈M

B.a?M

C.a＝M

D.a≠M

解析判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是.∵11<23，∴a?M.

答案 B

(2)已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3是集合A中的元素，试求实数a的值.

解因为－3是集合A中的元素，

所以－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0，

此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合要求； 若－3＝2a －1，则a ＝－1，

此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合要求. 综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.

题型三 集合的表示方法 集合的表示方法的两种形式，千万别随便写 【例3】 用适当的方法表示下列集合(能用区间表示的用区间表示)： (1)方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解集；

(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合； (3)不等式x －2>6的解的集合；

(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合； (5)方程组???x ＋y ＝3，

x －y ＝5的解集.

解 (1){0，－1}；

(2){x |x ＝2n ＋1，且x <1 000，n ∈N }； (3)(8，＋∞)；(4){1，2，3，4，5，6}； (5)解集用描述法表示为??????

（x ，y ）|??

?x ＋y ＝3x －y ＝5， 解集用列举法表示为{(4，－1)}.

规律方法 (1)一个集合可以用不同的方法表示，需根据题意选择适当的方法，同时注意列举法和描述法的适用范围.

(2)方程(或方程组)的解的个数较少，因此方程(或方程组)的解集一般用列举法表示；不等式(或不等式组)的解集一般用描述法表示.注意，当题目中要求求出“…的解集”或写出“…的集合”时，一定要将最终结果写成集合的形式. 【训练3】 (1)下列集合中，不同于另外三个集合的是( ) A.{x |x ＝1} B.{y |(y －1)2＝0} C.{x ＝1}

D.{1}

(2)有下面六种表示方法

①{x ＝－1，y ＝2}；②{(x ，y )|??

????

x ＝－1，y ＝2；③{－1，2}；④(－1，2)；⑤{(－1，2)}；⑥{x ，y |x ＝－1或y ＝2}.

其中，能正确表示方程组?

??2x ＋y ＝0，

x －y ＋3＝0的解集的是________(填序号).

解析 (1)由集合的含义知{x |x ＝1}＝{y |(y －1)2＝0}＝{1}，而集合{x ＝1}表示由方程x ＝1组成的集合，故选C. (2) 序号 判断 原因分析

① 否 ①中含两个元素，且都是方程，而方程组的解集中只有一个元素，是一个点

② 能 ②代表元素是点的形式，且对应值与方程组的解相同

③ 否 ③中含两个元素，是数集，而方程组的解集是点集，且只有一个元素

④ 否 ④没有用花括号“{ }”括起来，不表示集合 ⑤ 能 ⑤中只含有一个元素，是点集且与方程组的解对应相等 ⑥

否

⑥中代表元素与方程组解的一般形式不符，须加小括号( )，条件中“或”也要改为“且”

一、素养落地

1.通过集合概念及元素与集合关系的学习，重点培养数学抽象素养及提升数学运算素养.

2.研究对象能否构成集合，就是要看是否有一个确定的标准，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合.这是判断能否构成集合的依据.

3.表示集合的要求：

(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则.

(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合. 二、素养训练

1.现有下列各组对象：

①著名的数学家；②某校2019年在校的所有高个子同学；③不超过30的所有非负整数；④方程x 2－4＝0在实数范围内的解；⑤平面直角坐标系中第一象限内的点.

其中能构成集合的是( ) A.①③ B.②③ C.③④

D.③④⑤

解析 ①著名的数学家无明确的标准，对某个数学家是否著名无法客观地判断，因此①不能构成一个集合；类似地，②也不能构成集合；③任给一个整数，可以明确地判断它是不是“不超过30的非负整数”，因此③能构成一个集合；类似地，④也能构成一个集合；对于⑤，“在第一象限内”不仅可以用坐标系进行图示，也可以通过点的横、纵坐标是否都大于0来判断，标准是明确的，因此能构成一个集合. 答案 D

2.已知1，x ，x 2三个实数构成一个集合，则x 满足的条件是( ) A.x ≠0 B.x ≠1

C.x ≠±1

D.x ≠0且x ≠±1

解析

根据集合中元素的互异性，得???1≠x ，

x ≠x 2，x 2≠1，

解得x ≠0且x ≠±1.

答案 D

3.下列所给关系正确的个数是( ) ①2?Q ；②|－1|∈N ；③π∈R ；④－3∈Z . A.1 B.2 C.3

D.4

解析 ∵2是无理数，∴2?Q ，因此①正确.又|－1|＝1∈N ，π是实数，－3是整数，故②③④也正确. 答案 D

4.已知集合A 中的元素x 满足x ≥2，若a ?A ，则实数a 的取值范围是________. 解析 由题意a 不满足不等式x ≥2，即a <2.

答案 a <2

5.已知集合A 是由所有形如3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )的数组成的，判断－6＋22是不是集合A 中的元素.

解 因为－2∈Z 且2∈Z ，所以－6＋22＝3×(－2)＋2×2是形如3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )的数，即－6＋22是集合A 中的元素.

基础达标

一、选择题

1.以下各组对象不能组成集合的是( ) A.中国古代四大发明 B.地球上的小河流 C.方程x 2－1＝0的实数解 D.周长为10 cm 的三角形

解析 选项B 中的对象没有明确的标准，不具备确定性，故不能组成集合. 答案 B

2.方程组???x －y ＝3，2x ＋y ＝6的解集是( )

A.{x ＝3，y ＝0}

B.{3}

C.{(3，0)}

D.{(x ，y )|(3，0)}

解析 方程组解的形式是有序实数对，故可排除A ，B ，而D 不是集合表示的描述法的正确形式，排除D. 答案 C

3.下列集合中恰有2个元素的集合是( ) A.{x 2－x ＝0} B.{y |y 2－y ＝0} C.{x |y ＝x 2－x }

D.{y |y ＝x 2－x }

解析 选项A 中的集合只有一个元素为：x 2－x ＝0；集合{y |y 2－y ＝0}的代表元素是y ，则集合{y |y 2－y ＝0}是方程y 2－y ＝0根的集合，即{y |y 2－y ＝0}＝{0，1}；选项C ，D 中的集合中都有无数多个元素，故选B. 答案 B

4.若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是()

A.矩形

B.平行四边形

C.菱形

D.梯形

解析由集合中的元素具有互异性可知a，b，c，d互不相等，而梯形的四条边可以互不相等，故选D.

答案 D

5.用描述法表示图中所示阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标

的集合是()

A.{－2≤x≤0且－2≤y≤0}

B.{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y≤0}

C.{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y<0}

D.{(x，y)|－2≤x<0或－2≤y≤0}

解析由阴影知，－2≤x≤0且－2≤y≤0，

∴集合{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y≤0}表示阴影部分点的集合.

答案 B

二、填空题

6.给出下列关系①5∈R；②1

3∈Q；③0?N

*；④π?Q；

⑤－4?Z.其中正确的个数为________.

解析①②③④是正确的；⑤是错误的.

答案 4

7.设区间A＝(－2，3)，B＝[2，＋∞)，使得x∈A且x∈B的一个实数为________.

解析如2∈A，2∈B，事实上区间[2，3)内任一个实数都符合要求.

答案2(答案不唯一)

8.若－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________.

解析由题意可知(－5)2－a×(－5)－5＝0，得a＝－4，故方程x2－4x＋4＝0的解为x＝2，即{x|x2－4x－a}＝{2}，则其所有元素之和为2.

答案 2 三、解答题

9.判断下列说法是否正确，并说明理由.

(1)2，32，64，??????－13，1

3这些数组成的集合有5个元素；

(2)方程(x －3)(x ＋1)2＝0的解组成的集合有3个元素. 解 (1)不正确.∵32＝64，??????－13＝1

3，

∴这个集合有3个元素.

(2)不正确.方程(x －3)(x ＋1)2＝0的解是x 1＝3，x 2＝x 3＝－1，因此这个集合只有3，－1两个元素.

10.用适当的方法表示下列集合：

(1)由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)所组成的自然数的集合； (2)方程2x ＋1＋|y －2|＝0的解集.

解 (1)由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的自然数有：12，21，13，31，23，32，用列举法可表示为{12，21，13，31，23，32}. (2)由2x ＋1＋|y －2|＝0， 得???2x ＋1＝0，y －2＝0，所以?????x ＝－12，y ＝2，

所以方程2x ＋1＋|y －2|＝0的解集用描述法可表示为{(x ，y )|??????

???

?x ＝－12y ＝2. 能力提升

11.由三个数a ，b

a ，1组成的集合与由a 2，a ＋

b ，0组成的集合相等，求a 2 019＋b 2 019的值.

解 由a ，b

a ，1组成一个集合，可知

a ≠0，a ≠1，由题意可得?????a 2＝1，

a ＝a ＋

b ，

b a ＝0

或

?????a 2＝a ，

a ＋

b ＝1，b

a

＝0，解得???a ＝－1，b ＝0或???a ＝1，

b ＝0(不满足集合元素的互异性，舍去). 所以a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋0＝－1. 12.下面三个集合： A ＝{x |y ＝x 2＋1}； B ＝{y |y ＝x 2＋1}； C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}.

问：(1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义是什么？

解 (1)在A ，B ，C 三个集合中，虽然特征性质的表达式一致，但代表元素互不相同，所以它们是互不相同的集合. (2)集合A 的代表元素是x ，满足y ＝x 2＋1， 故A ＝{x |y ＝x 2＋1}＝R .

集合B 的代表元素是y ，满足y ＝x 2＋1的y ≥1， 故B ＝{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}.

集合C 的代表元素是(x ，y )，满足条件y ＝x 2＋1，即表示满足y ＝x 2＋1的实数对(x ，y )；也可认为满足条件y ＝x 2＋1的坐标平面上的点.

因此，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|(x ，y )是抛物线y ＝x 2＋1上的点}.

集合的表示方法测试题

第I卷（选择题） 评卷人得分 一、选择题 已知集合A={a﹣2，2a2+5a，12}，﹣3∈A，则a的值为（） A．﹣1 B．C．D． 2. 集合{x∈N*|x﹣3＜2}的另一种表示法是（） A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5} 3. 集合{x∈N|x＜5}的另一种表示法是（） A．{1，2，3，4} B．{0，1，2，3，4} C．{1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4，5} 4. 下列集合中表示空集的是（） A．{x∈R|x+5=5} B．{x∈R|x+5＞5} C．{x∈R|x2=0} D．{x∈R|x2+x+1=0} 5. 下列各组对象中不能形成集合的是（） A．高一数学课本中较难的题 B．高二（2）班学生家长全体 C．高三年级开设的所有课程 D．高一（12）班个子高于的学生 6.设，集合，则（） A ．1B． C．2D．答案： C 7. 方程组的解集是（） A．（2，1）B．{2，1} C．{（2，1）} D．{﹣1，2} 8.集合{x∈N|x﹣3＜2}，用列举法表示是（） A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5} 9.设不等式3﹣2x＜0的解集为M，下列正确的是（） A．0∈M，2∈M B．0?M，2∈M C．0∈M，2?M D．0?M，2?M 10.已知集合A={1，2，3}，则B={x﹣y|x∈A，y∈A}中的元素个数为（）

A．9 B．5 C．3 D．1 11.若1∈{2+x，x2}，则x=（） A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．0 12.已知x∈{1，2，x2}，则有（） A．x=1 B．x=1或x=2 C．x=0或x=2 D．x=0或x=1或x=2 13. 下列四个集合中，是空集的是（） A．{?} B．{0} C．{x|x＞8或x＜4} D．{x∈R|x2+2=0} 14.已知A={x|3﹣3x＞0}，则有（） A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．﹣1?A 15.已知集合A={x|x2﹣1=0}，用列举法表示集合A=（）A．{1} B．{﹣1} C．（﹣1，1） D．{﹣1，1} 16.已知集合A={1，a，a﹣1}，若﹣2∈A，则实数a的值为( ) A．﹣2 B．﹣1 C．﹣1或﹣2 D．﹣2或﹣3 17.下列关系式中，正确的是( ) A．∈Q B．{（a，b）}={（b，a）} C．2∈{1，2} D．?=0 18.已知集合A={x∈N|x＜6}，则下列关系式错误的是( ) A．0∈A B．?A C．﹣1?A D．6∈A 19.设A={x∈Z||x|≤2}，B={y|y=x2+1，x∈A}，则B的元素个数是( ) A．5 B．4 C．3 D．2 20.下面四个命题正确的是（） A．10以内的质数集合是{0，2，3，5，7} B．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2} C．方程x2﹣2x+1=0的解集是{1，1} D．0与{0}表示同一个集合 21.下面给出的四类对象中，构成集合的是（） A．某班个子较高的同学B．长寿的人 C．的近似值D．倒数等于它本身的数 下列命题正确的是（） A．很小的实数可以构成集合 B．集合{y|y=x2﹣1}与集合{（x，y）|y=x2﹣1}是同一个集合 C．自然数集N中最小的数是1 D．空集是任何集合的子集 23.下面各组对象中不能形成集合的是（）

知识讲解_集合及集合的表示_基础

集合及集合的表示 【学习目标】 1.了解集合的含义，会使用符号“∈”“?”表示元素与集合之间的关系． 2.能选择自然语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合等． 【要点梳理】 集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用. 要点一：集合的有关概念 1．集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体. 2．一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集. 要点诠释： （1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体． （2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合B的元素． 3．关于集合的元素的特征 (1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立. (2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素. (3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合. 要点诠释： 集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据．解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性”． 4．元素与集合的关系： (1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)A，记作a∈A ? (2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)A，记作a A 5．集合的分类 (1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作：?. (2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集. (3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集. 6．常用数集及其表示 非负整数集(或自然数集)，记作N 正整数集，记作N*或N + 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 要点二：集合的表示方法 我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合. 1.自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合.

集合的含义及其表示方法(1)

1.1.1集合的含义及其表示方法（1） （预习案） 【使用说明及学法指导】 课前先预习新知，将预习中不能解决的问题或有疑问的问题用双色笔标识出来并填入表 格中，以便和老师、同学进行讨论。 一、课前预习新知 （一）、预习目标： 初步理解集合的含义，了解属于关系的意义，知道常用数集及其记法 （二）、预习内容： 阅读教材填空： 1 、集合：一般地，把一些能够对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的（或）。构成集合的每个对象叫做这个集合的（或）。 2、集合与元素的表示：集合通常用来表示，它们的元素通常用来表示。 3、元素与集合的关系： 如果a是集合A的元素，就说，记作，读作。 如果a不是集合A的元素，就说，记作，读作。 4.常用的数集及其记号： （1）自然数集：，记作。 （2）正整数集：，记作。 （3）整数集：，记作。 （4）有理数集：，记作。 （5）实数集：，记作。 （三）、提出疑惑：

（课堂探究案） 二、课内探究新知 （一）、学习目标 1. 知识与技能：了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的应用意识. 2、情感、态度、价值观：通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题,提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识. 【学习重、难点】 学习重点:集合的基本概念与表示方法. 学习难点:选择恰当的方法表示一些简单的集合. （二）、学习过程 1、 核对预习学案中的答案 2、 思考下列问题 ①请我们班的全体女生起立！接下来问:“咱班的所有女生能不能构成一个集合啊？” ②下面请班上身高在1.75以上的男生起立！他们能不能构成一个集合啊？ ③其实,生活中有很多东西能构成集合,比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等.那么,大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢?请你给出集合的含义. ④如果用A 表示高一(3)班全体学生组成的集合,用a 表示高一(3)班的一位同学,b 是高一 (4)班的一位同学,那么a 、b 与集合A 分别有什么关系?由此看见元素与集合之间有什么关系？ ⑤世界上最高的山能不能构成一个集合？ ⑥世界上的高山能不能构成一个集合？ ⑦问题⑥说明集合中的元素具有什么性质？ ⑧由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？ ⑨问题⑧说明集合中的元素具有什么性质？ ⑩由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具有什么性质？由此类比实数相等,你发现集合有什么结论？ 3、集合元素的三要素是 、 、 。 4、例题 例题1.下列各组对象不能组成集合的是( ) A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题 C.被3除余2的所有整数 D.函数y=x 1图象上所有的点 变式训练1 1.下列条件能形成集合的是( ) A.充分小的负数全体 B.爱好足球的人 C.中国的富翁 D.某公司的全体员工 例题2．下列结论中，不正确的是( ) A.若a ∈N ，则-a N B.若a ∈Z ，则a 2∈Z

集合的概念和表示方法教学设计

1集合的概念和表示方法教材分析 集合概念的基本理论，称为集合论．它是近、现代数学的一个重要基础．一方面，许多重要的数学分支，如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论及其反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．在小学和初中数学中，学生已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（直线、圆）等，有了一定的感性认识．这节内容是初中有关内容的深化和延伸．首先通过实例引出集合与集合元素的概念，然后通过实例加深对集合与集合元素的理解，最后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法，描述法，还给出了画图表示集合的例子．本节的重点是集合的基本概念与表示方法，难点是运用集合的两种常用表示方法———列举法与描述法正确表示一些简单的集合． 教学目标 1.初步理解集合的概念，了解有限集、无限集、空集的意义，知道常用数集及其记法． 2.初步了解“属于”关系的意义，理解集合中元素的性质． 3.掌握集合的表示法，通过把文字语言转化为符号语言（集合语言），培养学生的理解、化归、表达和处理问题的能力． 任务分析 这节内容学生已在小学、初中有了一定的了解，这里主要根据实例引出概念．介绍集合的概念采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，学生容易接受．在引出概念时，从实例入手，由具体到抽象，由浅入深，便于学生理解，紧接着再通过实例理解概念．集合的表示方法也是通过实例加以说明，化难为易，便于学生掌握． 教学设计 一、问题情境 1.在初中，我们学过哪些集合？ 2.在初中，我们用集合描述过什么？ 学生讨论得出：

在初中代数里学习数的分类时，学过“正数的集合”，“负数的集合”；在学习一元一次不等式时，说它的所有解为不等式的解集． 在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合． 3.“集合”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近？ 学生讨论得出： “全体”、“一类”、“一群”、“所有”、“整体”，…… 4.请写出“小于10”的所有自然数． 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．这些可以构成一个集合． 5.什么是集合？ 二、建立模型 1.集合的概念（先具体举例，然后进行描述性定义） （1）某种指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集． （2）集合中的每个对象叫作这个集合的元素． （3）集合中的元素与集合的关系： a是集合A中的元素，称a属于集合A，记作a∈A； a不是集合A中的元素，称a不属于集合A，记作a A． 例：设B＝｛1，2，3｝，则1∈B，4B． 2.集合中的元素具备的性质 （1）确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何一个对象是否属于这个集合的元素也就确定了．如上例，给出集合B，4不是集合的元素是可以确定的． （2）互异性：集合中的元素是互异的，即集合中的元素是没有重复的． 例：若集合A＝｛a，b｝，则a与b是不同的两个元素． （3）无序性：集合中的元素无顺序．

集合的表示方法教案

1.1.2 集合的表示方法 【学习要求】 1.掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法)． 2.通过实例能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 【学法指导】 通过由用自然语言描述数学概念到用集合语言描述数学概念的抽象过程，感知用集合语言思考问题的方法；体会将实际问题数学化的过程. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在花括号“{ }”内表示集合的方法．当集合中的元素 较少 时，用列举法表示方便． 2.描述法：一般地，如果在集合I 中，属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质p(x)，而不属于集合A 的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A 的一个特征性质，于是集合A 可以用它的特征性质p(x)描述 {x ∈I|p(x)} . 3.列举法常用于集合中的元素较少时的集合表示，描述法多用于集合中的元素有无限多个的无限集或元素个数较多的有限集. 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 上节课我们学习了用大写字母表示常用的几个数集，但是这不能体现出集合中的具体元素是什么，并且还有大量的非常用集合不能用大写字母表示，事实上表示一个集合关键是确定它包含哪些元素，为此我们有必要学习集合的表示方法还有哪些？分别适用于什么情况？ 探究点一 列举法表示集合 问题1：在初中学正数和负数时，是如何表示正数集合和负数集合的？如表示下列数中的正数 4.8，－3，2，－0.5，1 3 ，73，3.1. 答 ：方法一 图示法： 方法二 列举法：???? ??4.8，2，13，73，3.1 问题2： 列举法是如何定义的？怎样的集合适用列举法表示？ 答 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法．当集合中的元素较少时，用列举法表 示方便．例：x 2－3x ＋2＝0的解集可表示为{1,2}． 问题3： 由book 中的字母组成的集合能否表示为：{b ，o ，o ，k}? 答 不能，由集合元素的互异性知，可表示为{b ，o ，k}． 问题4： 有些集合元素的个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可用列举法表示，如何用列举法表示从1到100的所有整数组成的集合及自然数集N. 答 分别表示为{1,2,3，…，100}，{1,2,3,4，…，n ，…}． 问题5： 怎样区分?，{?}，{0}等符号的含义？ 答 ?表示空集；{?}表示只含有一个元素为?的集合；{0}表示只含有0这个元素的一个集合． 例1 用列举法表示下列集合： (1)A ＝{x∈N|0

集合及其表示方法

集合及其表示方法 知识精要 1.集合：我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集。集合中的各个对象叫做集合的元素。 集合、元素以及关系的表示符号： 集合常用大写英文字母A 、B 、C ……来表示，集合中的元素常用小写英文字母a 、b 、c ……来表示。 如果a 是集合A 的元素，记作A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，记作A a ?，读作“a 不属于A ”。 2.集合元素的特性 （1）确定性：元素与集合的从属关系是明确的（即A a ∈与A a ? ，二者必居其一）。 元素的属性是明确的（模棱两可是不可以的）。 （2）互异性：集合中的元素是互不相同的（即一个给定的集合中的任何两个元素都是不同的对象）。 （3）无序性：不考虑集合中元素之间的顺序。 3.集合的分类 （1）有限集：含有有限个元素的集合； （2）无限集：含有无限个元素的集合； 另外，根据集合元素的类型可以把集合分成数集、点集等。 4.空集：空集不含元素。记作? 5.集合的表示方法 （1）列举法：将集合中的元素一一列出（不考虑元素的顺序），注意元素之间用逗号隔开，并且写在大括号内。 例如：不等式0112<-x 的正整数解的集合，可以表示成{1，2，3，4，5}。 又如：方程组???-=-=+1 5y x y x 的解组成的集合可表示为)}3,2{(。 ① a 与{a }不同：a 表示一个元素，{a }表示一个集合，该集合只有一个元素 ② 元素与元素之间用逗号隔开，单元素集合不用逗号。 （2）描述法：在大括号内先写出这个集合的元素一般形式，再画出一条竖线，在竖线后面写出集合中元素所共同具有的特性。其形式是{x|x 满足性质p}。 例如：方程062=--x x 的解的集合，可表示为}06|{2 =--x x x ； 又如：直线x +y =1上的点组成的集合，可以表示为：{1),(=+y x y x } 注：同一个集合，有时既可以用列举法又可以用描述法，那么何时用列举法？何时用描述法？ （1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不适合用描述法表示，只能用列举法。如集合},5,23,{2232y x x y x x +-+。 （2）当集合中元素个数较少时，多用列举法。 （3）当集合中元素个数较多时，都写出来太烦了，可写其中一部分元素，由此提供一定规律可用省略号代表余下的元素。如：从51到100的所有整数组成的集合：

集合的概念和表示方法2教案

第二课时 续5 集合的表示方法 引入课题 课本4P 思考 （2）描述法 由不等式73x -<的解集 引入描述法概念 描述法．．． ：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式为{|}x I P ∈，其中x 代表元素，I 是x 的取值范围，P 是x 的共同特征. （说明：有的书上用冒号或分号代替竖线，如{73}x x -<：或{73}x x -<；） 如：{}|10A x R x =∈<；{}|2,B x Z x k k Z =∈=∈；{}|5,C x x x Q =>-∈ 例题 注意：①“代表元素”，是表示这个集合元素的一般符号，ⅰ如表示数集时，我们可选用,,,x y a 作为代表元素；表示点集时，可选用数对(),x y 作为代表元素；ⅱ集合与它的代表元素所采用的字母无关，只与代表元素的形式有关.如{}|10x R x ∈<，也可表示为{}|10y R y ∈<，{}|10a R a ∈<. ②“取值范围”，对于代表元素的取值范围，如果从上下文的关系来看是明确的，则可以省略.如 {}|10x R x ∈<可表示为{}|10x x <； ③“共同特征”，即代表元素满足的条件、具备的属性，如不等式73x -<的解都具备的条件是 10x <，则其解集表示为{}|10x x <. 强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素，如 (){}2 ,|32x y y x x =++、{} 2|32y y x x =++与{ } 2 |32x y x x =++有什么不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{}整数 (即 {}|x x 是整数)，即代表整数集Z . 辨析：这里的{}已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}，这种写法{实数集}，{}R 也是 错误的.

集合及集合的表示方法

教案背景：在小学和初中，数学课中使用的语言主要是自然语言，教学中经常要 把数学中的符号语言翻译为自然语言让学生理解，但自然语言有一定的歧义性，有 时也不够确切。高中数学中使用集合语言，就能简洁准确地表达数学内容，发展学 生运用数学语言进行交流的能力。 教材分析：集合的初步知识是学生学习，掌握和使用数学语言的基础，是高中数 学学习的出发点。集合语言也是现代数学的基本语言，通过学习，使用集合语言，有 利于学生简洁，准确的表达数学内容。 本章的主要内容是集合的概念，表示方法和集合之间的关系与运算。本节首先通过实例，引入集合与集合元素的概念，然后学习集合的表示方法。 教学方法：学生通过阅读教材，自主学习，在教师的指导下思考，交流，讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标。 教学课题：集合及集合的表示方法。 集合及集合的表示方法 一． 学习目标 1．通过实例，了解集合的概念，会判断元素与集合的关系。 2．了解并记住集合中元素的性质，熟记常用的数集符号。 3．掌握集合的两种表示方法，能够运用集合的两种表示方法表示一些集合。 二． 重点难点： 重点：集合概念的形成，集合的表示方法。 难点：理解集合元素的确定性与互异性，运用集合的特征性质法正确的描述集合。 三．预习检测： 1. 集合的概念是什么？ 2.元素与集合之间的关系有几种？如何判断？ 3.集合中元素的性质有哪些？ 4.常用的数集有哪些？写出各自的记号。 5.集合的两种表示方法是什么？表示集合时需要注意什么问题？ 6.下列各项中，不能组成集合的是（ ） A.所有正三角形 B.《数学必修1》中所有的习题 C.所有数学难题 D.所有无理数 7. 集合A 中只含有元素a ，则下列各式正确的是（ ） A.0A ∈ B.a A ? C.a A ∈ D.a=A 8. 已知集合}31|{≤≤-∈=x N x A ，则集合A 还可以表示为（ ）

集合与集合的表示方法

第1章 集合 1.1 集合与集合的表示方法 1.1.1 集合的概念 一、概念与能力聚焦 1、集合的概念 集合是数学中最原始的不定义的概念，只能给出，描述性说明：某些指定的且不同的对象集在一起就成为一个集合。组成集合的对象叫元素，集合通常用大写字母A 、B 、C 、…来表示。元素常用小写字母a 、b 、c 、…来表示。 集合是一个确定的整体，因此对集合也可以这样描述：具有某种属性的对象的全体组成的一个集合。 例题1：考察下列每组对象能否组成一个集合？ （1）2010年上海世博会上展出的所有展馆； （2）2010年辽宁高考数学试卷中所有的难题； （3）清华大学2010级的新生； （4）平面直角坐标系中，第一象限内的一些点； （5）2的近似值的全体. 2、元素与集合的关系 元素与集合的关系有属于和不属于两种：元素a 属于集合A ，记作A a ∈；元素a 不属于集合A ，记作A a ?。 例题 2：已知321-= a ，}{Z n m n m x x A ∈+==,,3，则a 与A 之间是什么关系？ 3、集合中元素的特性 （1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一具体对象，则x 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。例如}{4,3,1,0=A ,可知A A ?∈6,0。 （2）互异性：“集合中的元素必须是互异的”，就是说“对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的”。如方程0)4(2 =-x 的解集记为}{4，而不能记为}{4,4。 （3）无序性：集合与其中元素的排列次序无关，如集合}{c b a ,,与集合}{a b c ,,是同一个集合。

高一数学教案：集合的表示方法

1.1.2集合的表示方法 教学目标：掌握集合的表示方法，能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的问题. 教学重点、难点：用列举法、描述法表示一个集合. 教学过程： 一、复习引入： 1．回忆集合的概念 2．集合中元素有那些性质？ 3．空集、有限集和无限集的概念 二、讲述新课： 集合的表示方法 1、大写的字母表示集合 2、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法. 例如，24所有正约数构成的集合可以表示为{1，2，3，4，6，8，12，24} 注：（1）大括号不能缺失. (2)有些集合种元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可如下表示：从1到100的所有整数组成的集合：{1，2，3， (100) 自然数集N ：{1，2，3，4，…,n ,…} （3）区分a 与{a }：{a }表示一个集合，该集合只有一个元素.a 表示这个集合的一个元素. （4）用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序.相同的元素不能出现两次. 3、特征性质描述法： 在集合I 中，属于集合A 的任意元素x 都具有性质p(x)，而不属于集合A 的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A 的一个特征性质，于是集合A 可以表示如下： {x ∈I | p (x ) } 例如，不等式232>-x x 的解集可以表示为：}23|{2>-∈x x R x 或}23|{2 >-x x x ， 所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x 注：（1）在不致混淆的情况下，也可以写成：{直角三角形}；{大于104的实数} （2）注意区别：实数集，{实数集}. 4、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合. 例1：集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？ 答：不是. 集合}1|),{(2+=x y y x 是点集，集合}1|{2+=x y y =}1|{≥y y 是数集。

集合的含义与表示练习题(附答案)

第一章 集 合 1．1 集合与集合的表示方法 一、选择题 1．下列各组对象 ①接近于0的数的全体； ②比较小的正整数全体； ③平面上到点O 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体； ⑤2的近似值的全体． 其中能构成集合的组数有( ) A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．5组 2．设集合M ＝{大于0小于1的有理数}， N ＝{小于1050的正整数}， P ＝{定圆C 的内接三角形}， Q ＝{所有能被7整除的数}， 其中无限集是( ) A ．M 、N 、P B ．M 、P 、Q C ．N 、P 、Q D ．M 、N 、Q 3．下列命题中正确的是( ) A ．{x ｜x 2＋2＝0}在实数范围内无意义 B ．{(1，2)}与{(2，1)}表示同一个集合 C ．{4，5}与{5，4}表示相同的集合 D ．{4，5}与{5，4}表示不同的集合 4．直角坐标平面内，集合M ＝{(x ，y )｜xy ≥0，x ∈R ，y ∈R }的元素所对应的点是( ) A ．第一象限内的点 B ．第三象限内的点 C ．第一或第三象限内的点 D ．非第二、第四象限内的点 5．已知M ＝{m ｜m ＝2k ，k ∈Z }，X ＝{x ｜x ＝2k ＋1，k ∈Z }，Y ＝{y ｜y ＝4k ＋1，k ∈Z }，则( ) A ．x ＋y ∈M B ．x ＋y ∈X C ．x ＋y ∈Y D ．x ＋y ?M 6．下列各选项中的M 与P 表示同一个集合的是( ) A ．M ＝{x ∈R ｜x 2＋0.01＝0}，P ＝{x ｜x 2＝0} B ．M ＝{(x ，y )｜y ＝x 2＋1，x ∈R }，P ＝{(x ，y )｜x ＝y 2＋1，x ∈R } C ．M ＝{y ｜y ＝t 2＋1，t ∈R }，P ＝{t ｜t ＝(y －1)2＋1，y ∈R } D ．M ＝{x ｜x ＝2k ，k ∈Z }，P ＝{x ｜x ＝4k ＋2，k ∈Z } 二、填空题 7．由实数x ，－x ，｜x ｜所组成的集合，其元素最多有______个． 8．集合{3，x ，x 2－2x }中，x 应满足的条件是______． 9．对于集合A ＝{2，4，6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是______． 10．用符号∈或?填空： ①1______N ，0______N ．－3______Q ，0.5______Z ，2______R ． ②2 1______R ，5______Q ，｜－3|______N ＋，｜－3｜______Z ． 11．若方程x 2＋mx ＋n ＝0(m ，n ∈R )的解集为{－2，－1}，则m ＝______，n ＝______．

集合的表示方法

1.1.2 集合的表示方法 自主学习 学习目标 1．掌握集合的表示方法，能在具体问题中选择适当的方法表示集合． 2．通过实例和阅读自学 体会用列举法和描述法表示集合的方法和特点，培养自主探究 意识和自学能力． 自学导引 1．列举法 把集合的元素 _________________ 出来，并用 ____________ 括起来表示集合的方法． 2．描述法 I 中，属于集合 A 的任意一个元素 x 都具有性质 p(x) ，而不属于集 p(x)的所有元素构成的. 般地，如果在集合 合 A 的元素都不具有性质 p(x),则性质p(x)叫做集合A 的一个 于是， 合A 可以用它的特征性质 p(x)描述为 ____________ ，它表示集合 A 是由集合 I 中具有性质

对点讲练 知识点一■用列举法表示集合 例1用列举法表示下列集合： 6 ⑴已知集合M= x€ N|齐X Z，求M ; x+y=2, (2)方程组的解集； x—y= 0 ⑶由^+訥，b€ R)所确定的实数集合. 规律方法(1)列举法表示集合，元素不重复、不计次序、不遗漏，且元素与元素之间用“，”隔开.⑵列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示集合较为方便，而且一目了然. 变式迁移1用列举法表示下列集合： (1)A = {x|XS2, x€ Z}； (2)B = {x|(x—1)2(x—2) = 0}； * 十* (3)M = {(x, y)|x+ y = 4, x€ N , y€ N }； 6 ⑷已知集合C =祐€Z|x€ N，求C. 知识点—二用描述法表示集合 例2用描述法表示下列集合： (1)所有正偶数组成的集合；⑵方程x2+ 2= 0的解的集合； ⑶不等式4x —6<5的解集； ⑷函数y= 2x+ 3的图象上的点集 规律方法用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么同时要注意代表元素所具有的 性质. 变式迁移2用描述法表示下列集合： (1)函数y= ax2+ bx+ c (a丰0)的图象上所有点的集合； ⑵一次函数y= x+ 3与y =—2x+ 6的图象的交点组成的集合;

集合与集合的表示方法导学案

高中数学新授课导学案 时间周次 1.1集合与集合的表示方法 学习目标 重点：集合概念的形成及集合的表示方法 难点：理解集合的元素的确定性和互异性，理解集合的特征性质描述法 学习过程 一、课前准备 预习本节内容 二、新课导学： 探究1：（1）小于10的自然数0,1,2,……,9 （2）满足3 -x > x的全体实数 3+ 2 （3）我们这里的全体同学 思考：（1）以上各例有何特点？ （2）能否给出集合的一个大体描述？ （3）各例中集合的对象各是什么？ （一）集合的概念 1、集合与元素的定义： 集合： 元素： 2.集合与元素的字母表示 集合：元素： 探究2：上例（2）中数4和-2是这个集合的元素吗？ 3.集合与元素的关系： （二）集合中元素的基本特性 （1）（2）（3） 思考：（1）你能否确定，你所在班级中，高个子同学构成的集合？并说明理由. （2）你能否确定，你所在班级中，最高的3位同学构成的集合？ 练习：下列语句是否能确定一个集合？ (1)你所在的班级中，体重超过75kg的学生的全体； (2)某校高一（1）班性格开朗的女生全体； (3)质数的全体；(4)平方后值等于-1的实数的全体； (5)与1接近的实数的全体 空集：. （三）集合的分类 ? 集合 ? ? （四）常用数集及其记号 实数集；有理数集；自然数集；正整数集；整数集；

空集 . 练习：用符号∈或?填空： （1）-3 N ； （2）3.14 Q ； （3）31 Z ； （4）0 φ；（5； （6）21 - R ； （7）1 +N ；（8）π R （五）集合的表示方法：列举法，特征性质描述法，维恩图法（图示法）. 1.列举法：把集合中的元素 出来，写在 内的表示方法，叫列举法。集合中各元素间用 隔开. 例如：（1）}{100,......,3,2,1； （2）}{6,4,2；（3）自然数集N=}{,......,......,3,2,1n 2.特征性质描述法：用集合中元素的 来表示集合的方法，叫特征性质描述法.一般形式： ；表示集合是由集合 中具有性质 的所有元素构成的，其中竖线左边的x 表示这个集合中的 ，称为集合的 ；竖线右边的p （x ）表示这个集合中元素的 ，称为 . 例如：（1）“能被2整除，且大于0”写成集合的形式：}{02整除，且大于能被x R x ∈ 或{}+∈=∈N n n x R x ,2 (2)“大于0小于5的整数的全体”写成集合的形式：}{5 0<<∈x Z x 注意：（1）I=R 时，“R ∈”可省略不写；例如：}{0 12=-x x (2)看清集合中的代表元素 例如：A=}{2x y x =； B=}{2x y y =； C={()}2,x y y x = （3）弄清特征性质所表达的含义. 3.维恩图法（图示法）：用平面内一个 的内部表示一个集合的方法叫维恩图法；一般用 于元素不多的有限集. 练习：用维恩图表示R Q Z N N ,,,,+之间的关系 典型例题 例1. 用列举法表示下列集合 （1）}{50≤<∈=x N x A （2）}{ 0652=+-=x x x B 变式：用列举法表示下列集合 （1）平方等于16的实数的全体； （2）比2大3的实数的全体；

(完整版)《集合的含义及其表示》知识梳理

集合的含义及其表示 一、集合 1．集合 某些指定的对象集在一起成为集合。 （1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A a∈；若b不是集合A的元素，记作A b?； （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的 元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列 顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法 非负整数集（或自然数集），记作N； ； 正整数集，记作N*或N + 整数集，记作Z； 有理数集，记作Q；

实数集，记作R 。 2．集合的包含关系 （1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ?B （或B A ?）； 集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A ?B 且B ?A ，则称A 等于B ， 记作A =B ；若A ?B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B ； （2）简单性质：1）A ?A ；2）Φ?A ； （3）若A ?B ，B ?C ，则A ?C ； （4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n 个子集（其中2n －1个真子集）； 3．全集与补集 （1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ； （2）若S 是一个集合，A ?S ，则，S C =}|{A x S x x ?∈且称S 中子集A 的补集； （3）简单性质：1）S C (S C )=A ；2）S C S =Φ，ΦS C =S 。 4．交集与并集 （1）一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集。交集}|{B x A x x B A ∈∈=?且。 （2）一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集。}|{B x A x x B A ∈∈=?或并集。 注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

集合的概念与集合的表示方法习题

集合的概念与集合的表示方法习题 1.下列集合中，不同于另外三个的是（ ） .A }1|{=x x .B }0)1(|{2=-y y .C }1{=x .D }1{ 5. 下面命题： ① {2，3，4，2}是由四个元素组成的；②集合{0}表示仅一个数“零”组成的集合； ③集合{1，2，4}与{4，1，2}是同一集合；④集合{小于1的正有理数}是一个有限集。 其中正确的是（ ） .A ③④ .B ②③ .C ①② .D ② 6.集合{=A 面积为1的矩形}，{=B 面积为1的正三角形}，则正确的是（ ） A.B A ,都是无限集 B.B A ,都是有限集 C.A 是有限集B 是无限集 D.B 是有限集A 是无限集 7.用列举法表示集合：(){}=∈∈=-+N y N x y x y x ,,052|, ； 8.用描述法写出直角坐标系中，不在坐标轴上的点的坐标组成的集合 ； 9.设y x ,都是非零的实数， 则xy xy y y x x ++的值组成的集合的元素个数为 ； 10. 集合{} x x x -2,,1中的元素x 所应满足的条件是 ； 11.若集合}01|{2=++x ax x 有且只有一个元素，则实数a 的取值集合是 ； 12.设直线32+=x y 上的点集为P ，则 ，点（2，7）与P 的关系为（2，7） P 。 13. 已知},2|{N x k x x P ∈<<=，若集合P 中恰有3个元素，求 14. 已知 ， ， ，求

15. 已知集合A={x|x=a+b 2，a ，b ∈R}，判断下列元素x 与集合A 之间的关系： （1）x=0；（2）x=121 -；（3）x=231 +。 -----------------------------------------------综合提高------------------------------------------------------- 16. 设下面8个关系式{}00,,2.0,3∈∈?∈+N Q Q R ，{}φφφφ==?∈0,0,0,0其中正确的个数是（ ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 17. 集合M={(x ，y)|xy ≥0，x ∈R ，y ∈R}的意义是（ ） A ． 第一象限的点 B 第三象限的点 C ． 第一和第三象限的点 D ． 不在第二象限也不在第四象限的点 18.下列各式中错误．． 的是（ ） A ．.-3{}Z k k x R x ∈-=∈∈,12| B ．{}{}4,3,2,1,05|=<∈x N x C ．(){}(){}2,1,,2,1|,-=∈-==+R y x xy y x y x D ．Q ∈-23 19.}.,2|{Q b a b a x x M ∈+==,下列不属于M 的是（ ） A .π21+ B .2611+ C .1 D .221 + 20.方程组???=-+=+-04201y x y x 的解集可表示为①)2,1(②(){}2,1 ③ {}2,1|,==y x y x ④ ???==2 1y x ⑤ (){}2,1|,==y x y x 以上正确的个数是（ ） .A 5 个 .B 4个 .C 3个 .D 2个 21.已知下列四个条件： ①数轴上到原点距离大于3的点的全体 ②大于10且小于100的全体素数 ③与3非常接近的实数的全体 ④实数中不是无理数的所有数的全体 其中能够组成集合的是 ；

集合概念和表示方法讲义

集合 一．集合的概念： 集合没有确切定义，是一个基本概念。对其描述：某些具有共同属性的对象集在一起就成为一个集合。符号表示为{}，表示的意思为全体。这些对象我们称之为元素。 集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示， 集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。如a、b、c、p、q…… 例如A={1,3,a,c,a+b} 注意：（1）集合是数学中原始的、不定义的概念，只作描述. （2）集合是一个“整体. （3）构成集合的对象必须是“确定的”且“不同”的 例如：指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。 （1）我国的直辖市；（2）五中高一（1）班全体学生；（3）较大的数 （4）young 中的字母；（5）大于100的数；（6）小于0的正数。 【典例分析】： 1.下列各组对象中，不能组成集合的是（） A 所有的正六边形B《数学》必修1中的所有习题 C 所有的数学容易题 D 所有的有理数 2.由下列对象组成的集体属于集合的是（） （1）不超过π的正整数； （2）高一数学课本中所有的难题； （3）中国的大城市 （4）平方后等于自身的数； （5）某校高一（2）班中考成绩在500分以上的学生. A.（1）（2）（3） B.（3）（4）（5） C.（1）（4）（5） D. （1）（2）（4） 二．元素的特性 a、确定性（有一个确定的衡量标准） b、互异性（集合里的元素都不一样） c、无序性（没有顺序） （确定性） 例题1：下列各组对象能否构成一个集合 （1）著名的数学家 （2）某校2006年在校的所有高个子同学 （3）不超过10的非负数 （4）方程240 x-=在实数范围内的解 （5）2的近似值的全体 例题2：下列各对象不能够成集合的是（） A 某校大于50岁的教师 B 某校30岁的教师

集合的表示方法

1、1、2集合的表示法 第一部分 走进预习 【预习】教材第5-7页 回答下列问题： 1、什么是列举法？举例说明如何用列举法表示集合？ 2、什么是描述法？举例说明如何用描述法表示集合？ 第二部分 走进课堂 【复习检测】 一、集合、元素的概念；集合如何按元素个数分类？ 二、集合、元素的记法 三、元素与集合的关系 四、集合的性质。 问题：1、在初中我们曾用 表示*N , 但是象抛物线2x y =上的点的集合、 实数集等又怎样表示呢？ 2、在初中人们常说不等式013<+-x 的解集为3 1> x ，但在高中这样的说法就是不恰当的，究竟应该这样表示这些集合呢？ 【探索新知】集合的表示法 列举法 1、从字面上看“列举法”的含义。 2、从教材中获取列举法的定义。 例1、用列举法表示下列集合 （1）方程0232=+-x x 解的集合。 （2）24与18的公约数的集合。

（3）大于5且小于30的质数的集合。 （4）二元一次方程102=+y x 的正整数解的集合。 又如：下列集合也可以用列举法表示 （1）自然数集 （2）正整数的倒数集合 （3）小于50的且被3除余1的正整数的集合。 问题1、下列集合可以用列举法表示吗？ （1）直角三角形的集合。 （2）不等式23 21->-+x x 的解集。 （3）某农场的拖拉机的集合。 描述法 1、从字面上看“描述法”的含义。 2、从教材中获取描述法的定义。 3、用描述法表示集合的具体操作方法。 例2、用描述法表示下列集合 （1）直角三角形的集合。 （2）不等式 23 21->-+x x 的解集。