2013年广东省中考数学模拟试卷
一、选择题：请把答案填涂在答题卡上．（本大题8小题，每题4分，共32分） 1．（4分）（2012?佛山）的绝对值是（ ）
A ．
B ． ﹣2
C ．
D
．
．
B ．
C ．
D ．
3．（4分）（2009?宁波）一个不透明的布袋装有4个只有颜色的球，其中2个红色，1个白色，1个黑色，搅匀后从布袋里摸出1个球，摸到红球的概率是（ ） ． B ． C ． D ．
5．（4分）（2009?梧州）在一个仓库里堆放有若干个相同的正方体货箱，仓库管理员将这堆货箱的三视图画出来，如图，则这堆货箱共有（ ）
7．（4分）（2009?铁岭）为了美化环境，某市加大对绿化的投资．2007年用于绿化投资20万元，2009年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投
8．（4分）（2009?潍坊）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm，分别以A，C为圆心，以的长为半径作圆，将Rt△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为（）cm2．
．
24﹣πB．
π
C．
24﹣π
D．
24﹣π
二．填空题：请把答案填在答题卡上．（本大题5小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）（2009?漳州）如图，直线l1∥l2，∠1=120°，则∠2=_________度．
10．（4分）（2009?铁岭）因式分解：a3﹣4a=_________．
11．（4分）2009年以来，粤东地区外贸经济呈现出进口逆势增长、出口逐步回暖的喜人态势．据统计，2009年汕头海关共征收入库税款31.42亿元，用科学记数法表示_________元．
12．（4分）为了参加市中学生篮球运动会，一支校篮球队准备购买10双运动鞋，各种尺码统计如下表所示：
则这10双运动鞋尺码的众数和中位数分别为_________cm，_________cm．
13．（4分）如图，用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并回答下列问题：
在第n个图中，白瓷砖有_________块，黑瓷砖有_________块．（用含n的代数式表示）
三．解答题：（本大题5小题，每题7分，共35分）
14．（7分）（2009?黄石）求值：|﹣2|+20090﹣（﹣）﹣1+3tan30°．
15．（7分）（2009?綦江县）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
16．（7分）某市为治理污水，需要铺设一条全长为600米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？
17．（7分）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
（1）用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）连接BD，求证：BD平分∠CBA．
18．（7分）如图，小强在江南岸选定建筑物A，并在江北岸的B处观察，此时，视线与江岸BE所成的夹角是30°，小强沿江岸BE向东走了500m，到C处，再观察A，此时视线AC与江岸所成的夹角∠ACE=60°．根据小强提供的信息，你能测出江宽吗？若能，写出求解过程（结果可保留根号）；若不能，请说明理由．
四．解答题：（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．（9分）在改革开放30年纪念活动中，某校学生会就同学们对我国改革开放30年所取得的辉煌成就的了解程度进行了随机抽样调查，并将调查结果绘制成如图所示的统计图的一部分．
根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是_________．调查中“了解很少”的学生占
_________%；
（2）补全条形统计图；
（3）若全校共有学生1300人，那么该校约有多少名学生“很了解”我国改革开放30年来取得的辉煌成就？
20．（9分）（2010?黔南州）如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作BC 的平行线交AC于点E，交过点A的直线于点D，且∠D=∠BAC．
（1）求证：AD是半圆O的切线；
（2）若BC=2，CE=，求AD的长．
21．（9分）阅读下列材料：求函数的最大值．
解：将原函数转化成x的一元二次方程，得．
∵x为实数，∴△==﹣y+4≥0，∴y≤4．因此，y的最大值为4．根据材料给你的启示，求函数的最小值．
五．解答题：（本大题3小题，每小题12分，共36分）
23．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在射线DE上，并且EF=AC．
（1）求证：AF=CE；
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论；（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？
24．（12分）（2008?襄阳）我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费a元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨a元收费，超过10吨的部分，按每吨b元（b＞a）收费．设一户居民月用水x吨，应收水费y元，y 与x之间的函数关系如图所示．
（1）求a的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元；
（2）求b的值，并写出当x＞10时，y与x之间的函数关系式；
（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？
25．（12分）如图1，把两个全等的三角板ABC、EFG叠放在一起，使三角板EFG的直角边FG经过三角板ABC的直角顶点C，垂直AB于G，其中∠B=∠F=30°，斜边AB和EF均为4．现将三角板EFG由图1所示的位置绕G点沿逆时针方向旋转α（0＜α＜90°），如图2，EG交AC于点K，GF交BC于点H．在旋转过程中，请你解决以下问题：
（1）GH：GK的值是否变化？证明你的结论；
（2）连接HK，求证：KH∥EF；
（3）设AK=x，请问是否存在x，使△CKH的面积最大？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．
2013年广东省中考数学模拟试卷（五）
参考答案与试题解析
一、选择题：请把答案填涂在答题卡上．（本大题8小题，每题4分，共32分） 1．（4分）（2012?佛山）的绝对值是（ ）
．
D ．
分析： 根据绝对值的定义直接进行计算． 解答：
解：根据绝对值的概念可知：|
|=，
故选C ． 2．（4分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） ．
B ．
C ．
D ．
3．（4分）（2009?宁波）一个不透明的布袋装有4个只有颜色的球，其中2个红色，1个白色，1个黑色，搅匀后从布袋里摸出1个球，摸到红球的概率是（ ） ． B ． C ． D ．
分析：让红球的个数除以球的总个数即为所求的概率．
解答：解：因为只有四个球，红球有2个，所以从布袋里摸出1个球摸到红球的概率=
．
故选A．
点评：用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
4．（4分）（2009?临沂）下列各式计算正确的是（）
5．（4分）（2009?梧州）在一个仓库里堆放有若干个相同的正方体货箱，仓库管理员将这堆货箱的三视图画出来，如图，则这堆货箱共有（）
7．（4分）（2009?铁岭）为了美化环境，某市加大对绿化的投资．2007年用于绿化投资20万元，2009年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据题意所列方程为（）
8．（4分）（2009?潍坊）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm，分别以A，
C为圆心，以的长为半径作圆，将Rt△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为（）cm2．
．
24﹣πB．
π
C．
24﹣π
D．
24﹣π
阴影部分的面积可以看作是直角三角形ABC的面积减去两个扇形的面积．
解答：解：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，
∴AC==10cm，
∴S阴影部分=×6×8﹣=24﹣cm2．
故选A．
点评：阴影部分的面积可以看作是直角三角形ABC的面积减去两个扇形的面积，求不规则
二．填空题：请把答案填在答题卡上．（本大题5小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）（2009?漳州）如图，直线l1∥l2，∠1=120°，则∠2=120度．
分析：由l1∥l2可以得到∠1=∠3=120°，又由∠3=∠2可以得到∠2的度数．
解答：解：∵l1∥l2，
∴∠1=∠3=120°，
∵∠3=∠2，
∴∠2=120°．
故填空答案：120．
点评：此题较简单，根据两直线平行同位角相等，对顶角相等解答．
10．（4分）（2009?铁岭）因式分解：a3﹣4a=a（a+2）（a﹣2）．
11．（4分）2009年以来，粤东地区外贸经济呈现出进口逆势增长、出口逐步回暖的喜人态势．据统计，2009年汕头海关共征收入库税款31.42亿元，用科学记数法表示 3.142×109元．
12．（4分）为了参加市中学生篮球运动会，一支校篮球队准备购买10双运动鞋，各种尺码统计如下表所示：
双运动鞋尺码的众数和中位数分别为26cm，26cm．
13．（4分）如图，用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并回答下列问题：
在第n个图中，白瓷砖有n2+n块，黑瓷砖有4n+6块．（用含n的代数式表示）
三．解答题：（本大题5小题，每题7分，共35分）
14．（7分）（2009?黄石）求值：|﹣2|+20090﹣（﹣）﹣1+3tan30°．
：计算题．
分析：负数的绝对值是它的相反数；任何不等于0的数的0次幂都等于1；一个数的负指数即这个数的正指数次幂的倒数；熟悉特殊角的锐角三角函数值：tan30°=．
解答：
解：原式=2﹣+1+3+3?=6．
点评：注意能够判断﹣2＜0，熟练把负指数转换为正指数．
15．（7分）（2009?綦江县）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
式组的解集．
解答：解：2x≥x+1，解得x≥1．
x+8≥4x﹣1，解得x≤3．（4分）
∴原不等式组的解集为1≤x≤3．（5分）
不等式组的解集在数轴上表示如图：
（6分）．
16．（7分）某市为治理污水，需要铺设一条全长为600米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？
果，最后检验并作答．
解答：解：设原计划每天铺设x米管道，由题意得：
﹣=5，
解得：x=20，
经检验：x=20是原方程的解．
答：原计划每天铺设20米管道．
点评：本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步
17．（7分）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
（1）用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）连接BD，求证：BD平分∠CBA．
：作图题；证明题．
分析：
（1）分别以A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，过两弧的交点作直线，交AC于点D，AB于点E，直线DE就是所要作的AB边上的中垂线；
（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，再根据等边对等角的性质求出∠ABD=∠A=30°，然后求出∠CBD=30°，从而得到BD平分∠CBA．解答：（1）解：如图所示，DE就是要求作的AB边上的中垂线；
（2）证明：∵DE是AB边上的中垂线，∠A=30°，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=30°，
∵∠C=90°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，
∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=60°﹣30°=30°，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠CBA．
点评：本题考查了线段垂直平分线的作法以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离
18．（7分）如图，小强在江南岸选定建筑物A，并在江北岸的B处观察，此时，视线与江岸BE所成的夹角是30°，小强沿江岸BE向东走了500m，到C处，再观察A，此时视线AC与江岸所成的夹角∠ACE=60°．根据小强提供的信息，你能测出江宽吗？若能，写出求解过程（结果可保留根号）；若不能，请说明理由．
∴∠CAB=30°，
∴CB=CA=500，
在Rt△ACD中，∠ECA=60°，
∴∠CAD=30°，
∴CD=CA=250m．
由勾股定理得：AD2+2502=5002，
解得AD=250m．
点评：本题主要考查：30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理．
四．解答题：（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．（9分）在改革开放30年纪念活动中，某校学生会就同学们对我国改革开放30年所取得的辉煌成就的了解程度进行了随机抽样调查，并将调查结果绘制成如图所示的统计图的一部分．
根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是50．调查中“了解很少”的学生占50%；
（2）补全条形统计图；
（3）若全校共有学生1300人，那么该校约有多少名学生“很了解”我国改革开放30年来取得的辉煌成就？
（3）1300×10%=130人．
答：该校约有130名学生很了解我国改革开放30年来所取得的辉煌成就．
点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中
20．（9分）（2010?黔南州）如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作BC 的平行线交AC于点E，交过点A的直线于点D，且∠D=∠BAC．
（1）求证：AD是半圆O的切线；
（2）若BC=2，CE=，求AD的长．
∴==，又CE=，
∴AC=2CE=．
在Rt△ABC中，
AB==，
∵∠D=∠BAC，∠ACB=∠DAO=90°，
∴△DOA∽△ABC．
∴即．
∴．
21．（9分）阅读下列材料：求函数的最大值．
解：将原函数转化成x的一元二次方程，得．
∵x为实数，∴△==﹣y+4≥0，∴y≤4．因此，y的最大值为4．根据材料给你的启示，求函数的最小值．
可得出y的最小值．
解答：解：将原函数转化成x的一元二次方程，得（y﹣3）x2+（2y﹣1）x+y﹣2=0，∵x为实数，
∴△=（2y﹣1）2﹣4（y﹣3）（y﹣2）=16y﹣23≥0，
∴y≥，
因此y的最小值为．
五．解答题：（本大题3小题，每小题12分，共36分）
23．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在射线DE上，并且EF=AC．
（1）求证：AF=CE；
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论；（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？
：探究型．
分析：（1）先根据FD⊥BC，∠ACB=90°得出DF∥AC，再由EF=AC可知四边形EFAC是平行四边形，故可得出结论；
（2）由点E在BC的垂直平分线上可知DB=DC=BC，BE=EC，由直角三角形的性
质可求出∠B=∠ECD=30°，再由相似三角形的判定定理可知BDE∽△BCA，进而可得出AE=CE，再求出∠ECA的度数即可得出△AEC是等边三角形，进而可知CE=AC，故可得出结论；
（3）若四边形EFAC是正方形，则E与D重合，A与C重合，故四边形ACEF不可能是正方形．
解答：解：（1）∵∠ACB=90°，FD⊥BC，
∴∠ACB=∠FDB=90°，
∴DF∥AC，
又∵EF=AC，
∴四边形EFAC是平行四边形，
∴AF=CE；
（2）当∠B=30°时四边形EFAC是菱形，
∵点E在BC的垂直平分线上，
∴DB=DC=BC，BE=EC，
∴∠B=∠ECD=30°，
∵DF∥AC，
∴△BDE∽△BCA，
∴==，即BE=AB，
∴AE=CE
又∵∠ECA=90°﹣30°=60°，
∴△AEC是等边三角形
∴CE=AC，
∴四边形EFAC是菱形；
（3）不可能．
若四边形EFAC是正方形，则E与D重合，A与C重合，不可能有∠B=30°．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、线段垂直平分线及直角
24．（12分）（2008?襄阳）我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费a元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨a元收费，超过10吨的部分，按每吨b元（b＞a）收费．设一户居民月用水x吨，应收水费y元，y 与x之间的函数关系如图所示．
（1）求a的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元；
（2）求b的值，并写出当x＞10时，y与x之间的函数关系式；
（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？
（3）应先判断出两家水费量的范围．
解答：解：（1）a=15÷10=1.5．（1分）
用8吨水应收水费8×1.5=12（元）．（2分）
（2）当x＞10时，有y=b（x﹣10）+15．（3分）
将x=20，y=35代入，得35=10b+15．b=2．（4分）
故当x＞10时，y=2x﹣5．（5分）
（3）∵假设乙用水10吨，则甲用水14吨，
∴水费是：1.5×10+1.5×10+2×4＜46，
∴甲、乙两家上月用水均超过10吨．（6分）
设甲、乙两家上月用水分别为x吨，y吨，则甲用水的水费是（2x﹣5）元，乙用水的水费是（2y﹣5）元，
则（8分）
解得：（9分）
故居民甲上月用水16吨，居民乙上月用水12吨．（10分）
25．（12分）如图1，把两个全等的三角板ABC、EFG叠放在一起，使三角板EFG的直角边FG经过三角板ABC的直角顶点C，垂直AB于G，其中∠B=∠F=30°，斜边AB和EF均为4．现将三角板EFG由图1所示的位置绕G点沿逆时针方向旋转α（0＜α＜90°），如图2，EG交AC于点K，GF交BC于点H．在旋转过程中，请你解决以下问题：
（1）GH：GK的值是否变化？证明你的结论；
（2）连接HK，求证：KH∥EF；
（3）设AK=x，请问是否存在x，使△CKH的面积最大？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．
：相似形综合题．
分析：（1）GH：GK的值没发生变化，根据已知条件证明△AGK∽△CGH，由相似三角形的性质可得：，又因为在Rt△ACG中，tan∠A=，所以GH：GK的比值