三年高考（2014-2016）数学（文）试题分项版解析
第五章 平面向量
一、选择题
1. 【2014高考北京文第3题】已知向量()2,4a =r ，()1,1b =-r
，则2a b -=r r （ ）
A.()5,7
B.()5,9
C.()3,7
D.()3,9
2. 【2015高考北京，文6】设a r ，b r
是非零向量，“a b a b ?=r r r r ”是“//a b r r ”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3. 【2014高考广东卷.文.3】已知向量()1,2a =r ,()3,1b =r
,则b a -=r r ( )
A .()2,1-
B .()2,1-
C .()2,0
D .()4,3
4. 【2015高考广东，文9】在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-u u u r
，
()D 2,1A =u u u r
，则D C A ?A =u u u r u u u r （ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
5. 【2014山东.文7】已知向量(3a =r ，()3,b m =r .若向量,a b r
r 的夹角为π6
，则实数m =（ ）
（A ）23（B 3 （C ）0 （D ）36. 【2015高考陕西，文8】对任意向量,a b r r
，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A ．||||||a b a b ?≤r r r r
B ．||||||||a b a b -≤-r r r r
C ．22()||a b a b +=+r r r r
D ．22
()()a b a b a b +-=-r r r r r r
7. 【2014全国2，文4】设向量b a ρρ,满足10||=+b a ρρ，6||=-b a ρ
ρ，则=?b a ρρ（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
8.【2015高考新课标1，文2】已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--u u u r
，则向量BC =u u u r ( )
（A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4)
9. 【2014全国1，文6】设F E D ,,分别为ABC ?的三边AB CA BC ,,的中点，则=+
A.AD
B.
AD 21 C. BC 2
1
D. BC
10. 【2014年.浙江卷.文9】设θ为两个非零向量a 、b 的夹角，已知对任意实数t ，||t +b a 的最小值为
1（ ）
A.若θ确定，则|a |唯一确定
B.若θ确定，则|b |唯一确定
C.若|a |确定，则 θ唯一确定
D.若|b |确定，则 θ唯一确定
11. 【2015高考重庆，文7】已知非零向量,a b r r 满足||=4||(+)b a a a b ⊥r r
r r r ，且2则a b r r 与的夹角为（ ）
(A)
3π (B) 2
π
(C) 32π (D) 65π
12. 【2014，安徽文10】设,a b r r
为非零向量，2b a =r r ，两组向量1234,,,x x x x u r u u r u u r u u r 和1234,,,y y y y u u r u u r u u r u u r 均由2个a
r 和2个b r 排列而成，若11223344x y x y x y x y ?+?+?+?u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r 所有可能取值中的最小值为2
4a r ，则a r 与b r 的夹角
为
（ ）
A ．23π
B ．
3π C ．6
π
D ．0 13. 【2014上海,文17】如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB 是在正方形的一条边，
(1,2,,7)i P i =L 是小正方形的其余各个顶点，则(1
,2,,7)i AB AP i ?=u u u r u u u r
L 的不同值的个数为（ ） （A ）7 （B ）5 （C ）3 （D ）1
14.【2014福建,文10】设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任
意一点，则OA OB OC OD +++u u u r u u u r u u u r u u u r
等于 （ ）
..2.3.4A OM B OM C OM D OM u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r
15.【2015高考福建，文7】设(1,2)a =r ，(1,1)b =r
，c a kb =+r r r ．若b c ⊥r r ，则实数k 的值等于（ ）
A ．32-
B ．53-
C ．53
D ．3
2
16.【2014湖南文10】在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -，()
03B ，,()30C ，，
动点D 满足1CD =u u u r
, 则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r
的取值范围是（ ）
A.[]46，
B.19-119+1???
?
，
C.2327???
?
， D.7-17+1????
， 17. 【2015四川文2】设向量a ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x ＝( )
(A )2 (B )3 (C )4 (D )6
18. (2014课标全国Ⅰ，文6)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB FC +=u u u r u u u r
( )．
A ．AD u u u r
B ．12AD u u u r
C ．BC uuu r
D ．12
BC uuu
r
19. 【2015新课标2文4】已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+?=a b a （ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
20. 【2014辽宁文5】设,,a b c r r r 是非零向量，已知命题P ：若0a b ?=r r ，0b c ?=r r ，则0a c ?=r r
；命题q ：
若//,//a b b c r r r r
，则//a c r r ，则下列命题中真命题是（ ）
A ．p q ∨
B ．p q ∧
C ．()()p q ?∧?
D ．()p q ∨?
二、填空题 1.【2015
高考山东，文13】 过点13P （，）作圆22
1x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，则
PA PB ?
= .
2. 【2014高考陕西版文第13题】设2
0π
θ<
<，向量)cos ,1(),cos ,2(sin θθθ-==，若0=?b a ，
则=θ
tan ______.
3. 【2014四川，文14】平面向量(1,2)a =r ，(4,2)b =r
，c ma b =+r r r （m R ∈），且c r 与a r 的夹角等于c r 与b r
的夹角，则m = .
4. 【2015高考浙江，文13】已知1e r ，2e r 是平面单位向量，且121
2
e e ?=r r ．若平面向量b r 满足121b e b e ?=?=r r r r ，
则b =r
．
5. 【2014高考重庆文第12题】
已知向量
=?=--=b a b a b a ρρρρρρο
则，且的夹角为与,10||),6,2(60_________. 6. 【2015高考安徽，文15】ABC ?是边长为2的等边三角形，
已知向量b a ρρ、满足a AB ρ2=→，b a AC ρ
ρ+=→2，则下列结论中正确的是 .（写出所有正确结论得序号）
①a ρ
为单位向量；②b ρ为单位向量；③b a ρρ⊥；④→BC b //ρ；⑤→⊥+BC b a )4(ρρ。
7. 【2014天津，文13】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=?，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，
3BC BE =，DC DF λ=.若
1,AE AF ?=u u u r u u u r ，则λ的值为________. 8. 【2015高考天津，文13】在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o 点E 和
点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36
BE BC DF DC ==u u u r u u u r u u u r u u u r
则AE AF ?u u u r u u u r 的值为 ．
9. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷12】若向量)3,1(-=OA ，||||OB OA =，
0=?OB OA ，则=||AB ________.
10. 【2015高考湖北，文11】.已知向量OA AB ⊥u u u r u u u r ，||3OA =u u u r ，则OA OB ?=u u u r u u u r
_________．
11. 【2014上海,文14】已知曲线C ：24x y =--，直线l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P
和l 上的点Q 使得0AP AQ +=u u u r u u u r r
，则m 的取值范围为 .
三、解答题
1. 【2014高考陕西版文第18题】在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，点(,)P x y 在
ABC ?三边围成的区域（含边界）上，且(,)OP mAB nAC m n R =+∈u u u r u u u r u u u r
. （1）若2
3
m n ==，求||OP u u u r ；
（2）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值.
参考答案
一、选择题
1.【解析】因为2(4,8)a =r ，所以2(4,8)(1,1)a b -=--r r
=（5，7），故选A.
考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.
2. 【答案】A
【考点定位】充分必要条件、向量共线.
【名师点晴】本题主要考查的是充分必要条件和向量共线，属于容易题．解题时一定要注意p q ?时，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化．
3.【答案】B
【解析】由题意得()()()3,11,22,1b a -=-=-r r
,故选B .
【考点定位】本题考查平面向量的坐标运算,属于容易题.
【名师点晴】本题主要考查的是平面向量减法的坐标运算，属于容易题．解题时要注意对应坐标分别相减，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是平面向量减法的坐标运算，即若()11,a x y =r
，
()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y -=--r
r ．
4.【答案】D
【考点定位】1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算．
【名师点晴】本题主要考查的是平面向量的加法运算和数量积的坐标运算，属于较难题．解题时要注意运行平行四边形法则的特点，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是平面向量加法的坐标运算和
数量积的坐标运算，即若()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y +=++r r ，1212a b x x y y ?=+r
r ．
5.【答案】B
【解析】因为cos ,,||||a b a b a b ?<>=?r r
r r u u r r 所以223cos 623m
m
π=+解得3m =B .
考点：平面向量的数量积、模与夹角.
【名师点睛】本题考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.利用夹角公式，建立m 的方程即得. 本题属于基础题，注意牢记夹角公式并细心计算.
6. 【答案】B
【解析】因为|||||||cos ,|||||a b a b a b a b ?=≤r r r r r r r r
，所以A 选项正确；当a r 与b r 方向相反时，B 选项不成立，
所以B 选项错误；向量平方等于向量模的平方，所以C 选项正确；22
()()a b a b a b +-=-r r r r r r ，所以D 选
项正确，故答案选B .
【考点定位】1.向量的模；2.数量积.
【名师点睛】1.本题考查向量模的运算，采用向量数量积公式.2.向量的平方就是模的平方进行化解求解.
本题属于基础题，注意运算的准确性.
7. 【答案】A
【解析】由已知得，22210a a b b +?+=r r r r ，2226a a b b -?+=r r r r ，两式相减得，44a b ?=r r ，故1a b ?=r r
．
【考点定位】向量的数量积.
【名师点睛】本题主要考查了向量数量积运算，本题属于基础题，解决本题的关健在于掌握向量的模与向量数量积之间的关系，还有就是熟练掌握数量积的运算性质与运算律.
8.【答案】A
【解析】∵AB OB OA =-u u u r u u u r u u u r =（3,1），∴BC =u u u r AC AB -u u u r u u u r
=(-7,-4)，故选A.
【考点定位】向量运算
【名师点睛】对向量的坐标运算问题，先将未知向量用已知向量表示出来，再代入已知向量的坐标，即可求出未知向量的坐标，是基础题.
9. 【答案】
A
考点：向量的运算
【名师点睛】熟练掌握平面向量的共线（平行）、垂直、平面向量的加法等基本概念和基本性质是解决本题的关键之所在，同时本题考查了考生的综合分析问题的能力以及数形结合的能力.
10.【答案】B
考点：平面向量的夹角、模，二次函数的最值，难度中等.
【名师点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算及二次函数的最值的有关性质问题，属于中档题目；
11.【答案】C
【解析】由已知可得020)2(2
=?+?=+?b a a b a a ，设a b r
r 与的夹角为θ，则有
2142cos 022
-==?=?+a
a b a a θθ，又因为],0[πθ∈，所以3
2πθ=，故选C.
【考点定位】向量的数量积运算及向量的夹角.
【名师点睛】本题考查向量的数量积运算与向量夹角之间的关系，采用两向量垂直时其数量积为零来进行转化.本题属于基础题，注意运算的准确性.
12.【答案】B ．
考点：1．向量的数量积运算；2．分类讨论思想的应用．
【名师点睛】本题先要了解相关的排列知识，2个a 和3个b 排列所得的S 结果有几种，需要进行讨论，要注意重复的情况删除.比较两数的大小常用作差法，根据平面向量的平行、垂直的坐标运算性质，表示出需要研究的量的关系.
13.【答案】C
【解析】由数量积的定义知cos i i i
AB AP AB AP PAB ?=??∠u u u r u u u r u u u r u u u r
，记为m ，从图中可看出，对25,P P ，0m =，对136,,P P P ，2m =，对47,P P ，4m =，故不同值的个数为3，选C. 【考点】向量的数量积及其几何意义． 【名师点睛】向量数量积的两种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos ．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解．
14.【答案】D
考点：平面向量的线性运算，相反向量.
【名师点睛】本题主要考查向量的加法法则与减法法则及几何意义.解决此类问题时经常出现的错误有：忽视向量的起点与终点，导致加法与减法混淆，对此，要注意三角形法则与平行四边形法则适用的条件.
15.【答案】A
【解析】由已知得(1,2)(1,1)c k =+r
(1,2)k k =++，因为b c ⊥r r ，则0b c ?=r r ，因此120k k +++=，解
得k =3
2
-
，故选A ． 【考点定位】平面向量数量积．
【名师点睛】本题考查平面向量的线性运算和数量积运算以及平面向量基本定理，由已知,a b r r
的坐标计
算c r 的坐标，再利用已知条件列方程求参数的值；本题还可以先利用向量运算，即0b c ?=r r
， 2
0a b kb ?+=r r r ，再引入坐标运算，属于中档题．
16【答案】D
【考点定位】参数方程；圆；三角函数
【名师点睛】本题主要考查了圆的参数方程，解决问题的关键是根据所给条件CD u u u r
得到对应点C 的轨迹，
然后得到其参数方程，根据向量的和的坐标运算得到其和的模满足的三角函数式，运用三角函数知识不难得到其最大值.主要运用了转化的思想方法.
17. 【答案】B
【解析】由向量平行的性质，有2∶4＝x ∶6，解得x ＝3，选B
【考点定位】本题考查平面向量的坐标表示，向量共线的性质，考查基本的运算能力.
【名师点睛】平面向量的共线、垂直以及夹角问题，我们通常有两条解决通道：一是几何法，可以结合正余弦定理来处理.二是代数法，特别是非零向量的平行与垂直，一般都直接根据坐标之间的关系，两个非零向量平行时，对应坐标成比例(坐标中有0时单独讨论)；两个向量垂直时，对应坐标乘积之和等于0，即通常所采用的“数量积”等于0.属于简单题.
18. 答案：A
解析：由于D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中点，所以
()()1122EB FC BA BC CA CB +=-+-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()
1112222
BA CA AB AC AD AD =-+=+=?=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r ，故选A.
名师点睛：本题考查平面向量的加法、减法法则，线段中点的性质，考查转化能力，容易题.
19.【答案】C
【解析】
试题分析：由题意可得2112=+=a ,123,?=--=-a b 所以()2
22431+?=+?=-=a b a a a b .故选C.
【考点定位】本题主要考查向量数量积的坐标运算.
【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若
()()
1122,,,x y x y ==a b ,则
22211,x y =+a
1122
x y x y ?=+a b .
20.【答案】A
【考点定位】1、平面向量的数量积运算；2、向量共线．
【名师点睛】本题考查平面向量的数量积、共线向量及复合命题的真假. 本题将平面向量、简易逻辑联结词结合在一起综合考查考生的基本数学素养，体现了高考命题“小题综合化”的原则.本题属于基础题，难度不大，关键是要熟练掌握平面向量的基础知识，熟记“真值表”.
二、填空题 1.【答案】
32
【解析】
如图，连接PO ，在直角三角形PAO 中，1,3,OA PA ==
所以，3tan 3
APO ∠=
，22
22
31)1tan 13cos 1tan 23
1()APO APB APO --∠∠===+∠+，故
13||||cos 3322PA PB PA PB APB ?=?∠== .
【考点定位】1.直线与圆的位置关系；2.平面向量的数量积.
【名师点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、平面向量的数量积及数形结合思想，解答本题的关键，是结合图形特征，灵活地运用“几何方法”得到计算平面向量数量积的“要件”.
本题属于小综合题，以突出考查圆、直线与圆的位置关系为主，考查平面向量的数量积的定义、计算方法，同时也考查了数形结合思想，本题的“几何味”较浓.
2. 【答案】
12
【解析】
试题分析：因为0a b ?=r r ，所以2sin 21cos 0θθ?-=，即2sin 2cos θθ=，所以2
2sin cos cos θθθ=；
因为2
0π
θ<
<，所以cos 0θ≠，故2sin cos θθ=，所以sin 1tan cos 2θθθ=
=，故答案为1
2
. 考点：共线定理；三角恒等变换.
【名师点晴】本题主要考查的是平行向量的坐标运算、向量共线定理，三角恒等变换，属于容易题．解题时一定要注意角的范围，否则很容易失分．解决此题的关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式．
3.【答案】 2.
【考点定位】向量的夹角及向量的坐标运算.
【名师点睛】本题考查两向量的夹角，涉及到向量的模，向量的数量积等知识，体现了数学问题的综合性，考查学生运算求解能力，综合运用能力.
4.【答案】2
33
【解析】由题可知，不妨1(1,0)e =u r ，213(,)2e =u u r ，设(,)b x y =r ，则11b e x ?==r r ，21312b e x y ?=+=r r ，所以3(1,)b =r ，所以123
13b =+=r .
【考点定位】1.平面向量数量积运算；2.向量的模.
【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及向量的模的计算.根据条件，设定12,e e u r u u r
的坐标形式，
利用向量的数量积的坐标表示得到b r
的坐标，进而确定其模.本题属于容易题，主要考查学生基本的运算能
力.
5.【答案】10
【解析】
试题分析：()()()
22
2,6,26210a a =--∴=
-+-=r r
1
cos6021010102
a b a b ∴?=??=??=o r r r r ,所以答案应填：10.
考点：1、平面向量的坐标运算；2、向量的模；3、向量的数量积.
【名师点睛】本题考查了平面向量的坐标运算，向量的模，向量的数量积，本题属于基础题，注意计算的准确性.
6.【答案】①④⑤
【考点定位】本题主要考查平面向量的基本概念和基本性质的应用.
【名师点睛】熟练掌握平面向量的单位向量、共线（平行）、垂直、平面向量的加法等基本概念和基本性质是解决本题的关键之所在，同时本题考查了考生的综合分析问题的能力以及数形结合的能力.
7. 【2014天津，文13】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=?，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，
3BC BE =，DC DF λ=.若
1,AE AF ?=u u u r u u u r
，则λ的值为________. 【答案】2
【解析】试题分析：
建立如图所示直角坐标系，则
12313 (1,0),(0,3),(1,0),(0,3),(
,),(,3)
33
A B C D E F
λλ
----，由1
AE AF
?=
u u u r u u u r 得：
42313
(,)(1,3)1, 2.
33
λ
λλ
-?+-==
考点：向量坐标表示
【名师点睛】本题考查平面向量的有关知识及及向量运算，利用向量坐标运算解题，本题属于基础题.利用坐标运算要建立适当的之间坐标系，准确写出相关点的坐标、向量的坐标，利用向量相等关系，列方程组，解出未知数的值.向量问题考查有两种，一是借助向量的加法、减法、数乘、数量积运算，多考查向量的夹角、向量的模、数量积，另一种是考查向量的坐标运算.
8.【2015高考天津，文13】在等腰梯形ABCD中,已知AB DC
P,2,1,60,
AB BC ABC
==∠=o点E和点F分别在线段BC和CD上,且
21
,,
36
BE BC DF DC
==
u u u r u u u r u u u r u u u r
则AE AF
?
u u u r u u u r
的值为．
【答案】
29
18
【考点定位】平面向量的数量积.
【名师点睛】高考对平面向量数量积的考查主要是向量的模,夹角的运算及平行与垂直的判断与应用,在利用数量积的定义进行计算时,要善于将相关向量分解为图形中模与夹角已知的向量进行运算,运算时一定要注意向量的方向,搞清两向量的夹角.
9.【答案】5
2
x
o
考点：平面向量的数量积，向量的模的求法，容易题.
【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算和两点距离公式，扎根基础知识，强调教材的重要性，充分体现了教材在高考中的地位和重要性，考查了基本概念、基本规律和基本操作的识记能力.其解题的关键是正确的计算平面向量的数量积和向量的模.
10. 【答案】9.
【解析】因为向量OA AB ⊥u u u r u u u r
，所以0OA AB ?=uu r uu u r ，即()0OA OB OA ?-=uu r uu u r uu r ，所以20OA OB OA ?-=uu r uu u r uu r ，即2
9OA OB OA ?==uu r uu u r uu r ，故应填9.
【考点定位】本题考查向量的数量积的基本运算，属基础题.
【名师点睛】将向量的加法运算法则（平行四边形法则和三角形法则）和向量的数量积的定义运算联系在一起，体现数学学科知识间的内在联系，渗透方程思想在解题中的应用，能较好的考查学生基础知识的识记能力和灵活运用能力.
11.【答案】[2,3]
【解析】由0AP AQ +=u u u r u u u r r
知A 是PQ 的中点，设(,)P x y ，则(2,)Q m x y --，由题意20x -≤≤，
26m x -=，解得23m ≤≤．
【考点】向量的坐标运算．
【名师点睛】向量数量积的两种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos ．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解
三、解答题 1. 【答案】（1）2
2；（2）m n y x -=-，1.
试题解析：（1）(1,1),(2,3),(3,2)A B C Q
(1,2)AB ∴=u u u r ，(2,1)AC =u u u r
Q OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r
又23
m n
==
22(2,2)33
OP AB AC ∴=+=u u u r u u u r u u u r
||=22OP ∴u u u r
（2）OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r
Q
(,)(2,2)x y m n m n ∴=++
即22x m n
y m n
=+??
=+?
两式相减得：m n y x -=-
令y x t -=，由图可知，当直线y x t =+过点(2,3)B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.
y
Ｃ
Ｂ
Ａ1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
–5
1
23–1–2–3
O
考点：平面向量的线性运算；线性规划.
【名师点晴】本题主要考查的是平面向量的线性运算；线性规划.简单的应用，属于中档题；向量问题与线
性规划问题的结合不是太常见，特别是在大题中，解题是要充分理解题意，将向量问题转化为线性规划问题是解题的关键
高中文科数学平面向量知识点整理 1、概念 向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 相反向量：a =-b ?b =-a ?a+b =0 向量表示：几何表示法AB ；字母a 表示；坐标表示：a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. 向量的模：设OA a =u u u r r ，则有向线段OA uu u r 的长度叫做向量a r 的长度或模，记作：||a r . （ 222 22 2||,||a x y a a x y =+==+r r r 。） 零向量：长度为0的向量。a ＝O ?｜a ｜＝O . 【例题】1.下列命题：（1）若a b =r r ，则a b =r r 。（2）两个向量相等的充要条 件是它们的起点相同，终点相同。（3）若AB DC =u u u r u u u r ，则ABCD 是平行四边形。（4） 若ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u r 。（5）若,a b b c ==r r r r ，则a c =r r 。（6）若//,//a b b c r r r r ，则//a c r r 。其中正确的是_______ （答：（4）（5）） 2.已知,a b r r 均为单位向量，它们的夹角为60o ，那么|3|a b +u u r r ＝_____ （答：13）； 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+r r r r r r ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+r r r r ；②结合律：()() a b c a b c ++=++r r r r r r ； ③00a a a +=+=r r r r r ． ⑸坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y +=++r r ． b r a r C B A a b C C -=A -AB =B u u u r u u u r u u u r r r
2017年普通高等学校招生全国统一模拟考试 文科数学 考场：___________座位号：___________ 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分 钟. 第I 卷（选择题共60分） 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U A B =U ，则集合()U A B I e中的元素共有( ) (A) 3个 （B ） 4个 （C ）5个 （D ）6个 （2）（2） 复数 3223i i +=-( ) （A ）1 （B ）1- （C ）i (D)i - （3）已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为（ ） （A ）17- （B ）17 （C ）1 6 - （D ）16 （4）已知tan a =4,cot β=1 3 ,则tan(a+β)=( ) (A)711 (B)711- (C) 713 (D) 713 - （5）已知双曲线)0(13 2 22>=- a y a x 的离心率为2，则=a （ ） A. 2 B. 26 C. 2 5 D. 1 （6）已知函数()f x 的反函数为()()10g x x ＝＋2lgx ＞，则=+)1()1(g f ( ) （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 …
（7）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③) 62cos(π + =x y ,④)4 2tan(π -=x y 中，最小正周期为π的所有函数为（ ) A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ （8）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几 何体是（ ） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 （9）若0tan >α，则( ) A. 0sin >α B. 0cos >α C. 02sin >α D. 02cos >α (10) 如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为( ) (A) 6π (B) 4π (C) 3π (D) 2 π （11）设,x y 满足24, 1,22,x y x y x y +≥?? -≥??-≤? 则z x y =+ ( ) （A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值 （C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值 （12）已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F,右准线l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B 。若3FA FB =u u u r u u u r ,则AF u u u r =( ) (A) 2 (B) 2 (C) 3 (D) 3
【解析】设AC BD O =I ，则2()AC AB BO =+u u u v u u u v u u u v ，AP AC u u u v u u u v g = 2()AP AB BO +=u u u v u u u v u u u v g 22AP AB AP BO +u u u v u u u v u u u v u u u v g g 222()2AP AB AP AP PB AP ==+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v g 18=. 23.（2012江苏）如图，在矩形ABCD 中，AB= ，BC=2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若=， 则的值是 ． 24.（2014江苏）如图，在□ABCD 中，已知，85AB AD ==，，32CP PD AP BP =?=u u u r u u u r u u u r u u u r ， ，则AB AD ?u u u r u u u r 的值是 ． 【简解】AP AC -u u u r u u u r =3(AD AP -u u u r u u u r ),14AP AD AB =+u u u r u u u r u u u r ;34 BP AD AB =-u u u r u u u r u u u r ;列式解得结果22 25.（2015北京文）设a r ，b r 是非零向量，“a b a b ?=r r r r ”是“//a b r r ”的（ A ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 26.（2015年广东文）在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-u u u r ， ()D 2,1A =u u u r ，则D C A ?A =u u u r u u u r （ D ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 27.（2015年安徽文）ABC ?是边长为2的等边三角形，已知向量b a ρρ、满足a AB ρ2=→，b a AC ρρ+=→2， 则下列结论中正确的是 ①④⑤ 。（写出所有正确结论得序号） ①a ρ为单位向量；②b ρ为单位向量；③b a ρρ⊥；④→BC b //ρ；⑤→⊥+BC b a )4(ρρ。 28.（2013天津）在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长 为________． 【简解】如图建系: 由题意AD=1，ο60=∠DAB ,得)0,21(-A ,),23,0(D 设DE=x,)23,(x E ，)0,2 12(-x B ， 13(2,)22AC x =+u u u r ,13(,)22BE x =-u u u r 由题意 .1AD BE =u u u r u u u r 得：14 3)21)(212(=+-+x x ，得41=x ，∴AB 的长为2 1。 29．（2012福建文）已知向量)2,1(-=→ x a ，)1,2(=→b ，则→→⊥b a 的充要条件是（ D ） A ．2 1-=x B ．1-=x C ．5=x D ．0=x 30．（2012陕西文）设向量a r =（1.cos θ）与b r =（-1， 2cos θ）垂直，则cos2θ等于 （ C ）
第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.
(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ， 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时
知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行 ③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 2、向量加法：设,AB a BC b == ，则a +b =AB BC + =AC （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； AB BC CD PQ QR AR +++++= ，但这时必须“首尾相连” ． 3、向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点） 4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a ?=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a 的 方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的 5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线?有且只有一个实数λ，使得b =a λ 6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 二.平面向量的坐标表示 1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+ ，记作a =(x,y)。 2平面向量的坐标运算： (1) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则()1212,a b x x y y ±=±± (2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- (3) 若a =(x,y)，则λa =(λx, λy) (4) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则1221//0a b x y x y ?-= (5) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则1212a b x x y y ?=?+? 若a b ⊥ ，则02121=?+?y y x x
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编4：平面向量 一、选择题 1 ．（2013年高考辽宁卷（文））已知点()()1,3,4,1,A B AB - 则与向量同方向的单位向量为 （ ） A ．3 455?? ??? ，- B ．4355?? ??? ，- C ．3455??- ??? ， D ．4355??- ??? ， 2 ．（2013年高考湖北卷（文））已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ,则向量AB 在CD 方向上的投 影为 （ ） A B C ．D ． 3 ．（2013年高考大纲卷（文））已知向量 ()()()()1,1,2,2,,= m n m n m n λλλ =+=++⊥-若则 （ ） A ．4- B ．3- C ．-2 D ．-1 4 ．（2013年高考湖南（文））已知a,b 是单位向量,a·b=0.若向量c 满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为____ C ．____ （ ） A 1- B C 1 D 2 5 ．（2013年高考广东卷（文））设 a 是已知的平面向量且≠0 a ,关于向量 a 的分解,有如下四个命题: ①给定向量 b ,总存在向量 c ,使=+ a b c ; ②给定向量 b 和 c ,总存在实数λ和μ,使λμ=+ a b c ; ③给定单位向量 b 和正数μ,总存在单位向量 c 和实数λ,使λμ=+ a b c ; ④给定正数λ和μ,总存在单位向量 b 和单位向量 c ,使λμ=+ a b c ; 上述命题中的向量 b , c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6 ．（2013年高考陕西卷（文））已知向量 (1,),(,2)a m b m ==, 若a //b , 则实数m 等于 （ ） A ． B C ． D ．0 7 ．（2013年高考福建卷（文））在四边形 ABCD 中,)2,4(),2,1(-==BD AC ,则该四边形的面积为 （ ） A ．5 B ．52 C ．5 D ．10
模块 知识点考查内容了解理解集合的含义、元素与集合的属于关系√列举法、描述法√包含于相等的含义√识别给定集合子集√全集于空集√并集于交集的含义与运算√补集的含义与运算√韦恩图表达集合的关系与运算√简单函数定义域和值域，了解映射√图像法、列表法、解析法表示函数√分段函数√函数单调性、最值及几何意义√函数奇偶性√函数图像研究函数性质指数函数模型背景√有理、实数指数幂、幂的运算指数函数概念、单调性√指数函数图像√对数的概念与运算√换底公式、自然对数、常用对数√对数函数的概念、单调性√对数函数的图像指数函数与对数函数互为反函数√幂函数的概念√幂函数的图像√二次函数、零点与方程的根√一元二次方程根的存在性及跟的个数√集合图像，用二分法求近似解指、对、幂函数的增长特征√函数模型的应用√柱、锥、台的结构特征√三视图√斜二测画法和直观图√平行、中心投影√三视图和直观图√球、柱、锥、台的表面积和体积公式√线面的位置关系定义√线面平行的判定 √面面平行的判定 √线面垂直的判定 √面面垂直的判定 √线面平行的性质 √面面平行的性质 √线面垂直的性质 √面面垂直的性质 √ 用已获结论证明空间几何体中的位置关系点、线、面位置关系集合的含义与表示集合间的基本关系集合的基本运算函数指数函数对数函数知识要求集合 函数概念 与基本初 等函数1 立体几何初步幂函数函数与方程函数模型及应用空间几何体
结合图形，确定直线位置关系的几何要素√直线倾斜角和斜率的概念√过两点的直线斜率计算公式√判定直线平行或垂直√点斜式、两点式、一般式√斜截式与一次函数的关系√两条相交直线的交点坐标√两点间的距离公式√ 点到直线的距离公式两条平行线间的距离公式√圆的几何要素，标准方程和一般方程判断直线与圆的位置关系应用直线与圆的方程√代数方法处理几何问题的思想√空间直角坐标表示点的位置√空间两点间的距离公式√算法的含义与思想√顺序、条件分支、循环逻辑结构√基本算法语句输入、输出、赋值、条件、循环语句√简单随机抽样√分层抽样和系统抽样√样本频率分布表、频率分布直方图、折线图√茎叶图√标准差的意义和作用√平均数和标准差√用样本估计总体的思想√会画散点图，认识变量间的相关关系√最小二乘法，线性回归方程√频率和概率的意义√互斥事件的概率加法公式√古典概型古典概型及其计算公式√随机事件所含的基本事件数及发生的概率√随机数的意义，运用模拟方法估计概率√几何概型的意义√任意角的概念√弧度制的概念、弧度与角度的互化√正弦、余弦、正切的定义√单位圆的三角函数线√诱导公式√三角函数的图像√ 三角函数的周期性√ 正余弦函数的单调性、最值、对称 中心 √正切函数性质 √同角三角函数的基本关系式 √正弦型函数的参数对图像变化的影响√向量的实际背景√ 平面向量的概念√ 向量的实际背景用样本估计总体变量的相关性事件与概率几何概型任意角的概念、弧度制三角函数直线与方程 圆的方程空间直角坐标系算法的含义、程序框图随机抽样统计 基本初等函数2平面解析几何初步算法初步
三年高考（2014-2016）数学（文）试题分项版解析 第五章 平面向量 一、选择题 1. 【2014高考北京文第3题】已知向量()2,4a =r ，()1,1b =-r ，则2a b -=r r （ ） A.()5,7 B.()5,9 C.()3,7 D.()3,9 2. 【2015高考北京，文6】设a r ，b r 是非零向量，“a b a b ?=r r r r ”是“//a b r r ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3. 【2014高考广东卷.文.3】已知向量()1,2a =r ,()3,1b =r ,则b a -=r r ( ) A .()2,1- B .()2,1- C .()2,0 D .()4,3 4. 【2015高考广东，文9】在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-u u u r ， ()D 2,1A =u u u r ，则D C A ?A =u u u r u u u r （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5. 【2014山东.文7】已知向量(3a =r ，()3,b m =r .若向量,a b r r 的夹角为π6 ，则实数m =（ ） （A ）23（B 3 （C ）0 （D ）36. 【2015高考陕西，文8】对任意向量,a b r r ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．||||||a b a b ?≤r r r r B ．||||||||a b a b -≤-r r r r C ．22()||a b a b +=+r r r r D ．22 ()()a b a b a b +-=-r r r r r r 7. 【2014全国2，文4】设向量b a ρρ,满足10||=+b a ρρ，6||=-b a ρρ，则=?b a ρ ρ（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 8.【2015高考新课标1，文2】已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--u u u r ，则向量BC =u u u r ( ) （A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4) 9. 【2014全国1，文6】设F E D ,,分别为ABC ?的三边AB CA BC ,,的中点，则=+ A.AD B. AD 21 C. BC 2 1 D. BC
数学讲义之平面向量 【主干内容】 1．⑴ 平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使得 ． ⑵ 设1e 、2e 是一组基底，＝2111e y e x +，b ＝2212e y e x +，则与b 共线的充要条件是 ． 2．平面向量的坐标表示：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使得a ＝x i ＋y j ．我们把(x 、y)叫做向量的直角坐标，记作 ．并且||＝ ． 3．平面向量的坐标运算： 若＝(x 1、y 1)，＝(x 2、y 2)，λ∈R，则： ＋＝ －＝ λ＝ 4. 向量的数量积的几何意义： |b |cos θ叫做向量b 在方向上的投影 (θ是向量与b 的夹角)． ·b 的几何意义是，数量·b 等于 ． 5．向量数量积的运算律： ·b ＝ ； (λ)·b ＝ ＝·(λb )；(＋)·c ＝ 总结： 在近几年的高考中，每年都有涉及向量的题目。其中小题以填空题或选择题形式出现，考查了向量的性质和运算法则，数乘、数量积、共线问题与轨迹问题。大题则以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题。 【题型分类】 题型一：向量的概念与几何运算 〖例1==； ②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则=是四边形为平行四边形的充要条件； ③若 ==,，则=； ④==∥； ⑤若∥，∥，则∥。 其中，正确命题的序号是____________ 答案：②③。
〖例2〗（2011四川）如图1－2，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( ) 图1－2 A ．0 B ． BE → C ．.A D → D ．CF → 【解析】 BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →－BC →＝BF →－BC →＝CF →，所以选D. 〖例3〗（2011届杭二模）已知非零向量a ，b 满足|a + b | =|a –b |a |，则a + b 与a –b 的夹角为（ ） A ．30? B ．60? C ．120? D ．150? 答案：B 〖例4〗已知,,,,OA a OB b OC c OD d OE e ===== ，设t R ∈，如果3,2,a c b d == ()e t a b =+ ，那么t 为何值时，,,C D E 三点在一条直线上？ 解：由题设知，23,(3)CD d c b a CE e c t a tb =-=-=-=-+ ，,,C D E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE kCD = ，即(3)32t a tb ka kb -+=-+ ， 整理得(33)(2)t k a k t b -+=- . ①若,a b 共线，则t 可为任意实数； ②若,a b 不共线，则有33020 t k t k -+=??-=?，解之得，65t =. 综上，,a b 共线时，则t 可为任意实数；,a b 不共线时，65 t =. 【小结】： 1．认识向量的几何特性．对于向量问题一定要结合图形进行研究．向量方法可以解决几何中的证明． 2．注意与O 的区别．零向量与任一向量平行． 3．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明AB∥CD，需证∥，且AB 与CD 不共线．要证A 、B 、C 三点共线，则证∥即可． 4．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点． 题型二：平面向量的坐标运算 〖例1〗设＝(ksin θ, 1)，b ＝(2－cos θ, 1) (0 <θ<π)，∥，求证：k≥3．
2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国 卷Ⅱ) 文科数学（必修+选修Ⅰ） 注意事项： 1． 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分， 考试时间120分钟． 2． 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的 位置上． 3． 选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上． 4． 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹 清楚 5． 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或 在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效． 6． 考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 2 4πS R = 如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 3 4π3 V R = n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(012)k k n k n n P k C p p k n -=-=，，，…， 一、选择题 1．cos330=（ ） A ． 12 B ．12 - C D ．2．设集合{1 234}{12}{24}U A B ===，，，，，，，，则()U A B =e（ ） A ．{2} B ．{3} C ．{124}，， D ．{1 4}，
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编8：平面向量 一、选择题 1 ．（2013年高考辽宁卷（文））已知点 ()()1,3,4,1,A B AB - 则与向量同方向的单位向量为（ ） A ．3455?? ??? ，- B ．4355?? ??? ，- C ．3455??- ??? ， D ．4355??- ??? ， 【答案】A 2 ．（2013年高考湖北卷（文））已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ,则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ） A B C ．D ． 【答案】A 3 ．（2013年高考大纲卷（文））已知向量 ()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则（ ） A ．4- B ．3- C ．-2 D ．-1 【答案】B 4 ．（2013年高考湖南（文））已知a,b 是单位向量,a·b=0.若向量c 满足|c-a-b|=1,则|c| 的最大值为（ ） A 1 B C 1+ D 2+ 【答案】C 5 ．（2013年高考广东卷（文））设 a 是已知的平面向量且≠0 a ,关于向量 a 的分解,有如 下四个命题: ①给定向量 b ,总存在向量 c ,使=+ a b c ; ②给定向量 b 和 c ,总存在实数λ和μ,使λμ=+ a b c ; ③给定单位向量 b 和正数μ,总存在单位向量 c 和实数λ,使λμ=+ a b c ; ④给定正数λ和μ,总存在单位向量 b 和单位向量 c ,使λμ=+ a b c ; 上述命题中的向量 b , c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是 （ ）
数 学 F 单元 平面向量 F1 平面向量的概念及其线性运算 10．[2014·福建卷] 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所 在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( ) A.OM → B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM → 10．D [解析] 如图所示，因为M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以M 是AC 与BD 的中点，即MA →＝－MC →，MB →＝－MD →. 在△OAC 中，OA →＋OC →＝(OM →＋MA →)＋(OM →＋MC →)＝2OM →. 在△OBD 中，OB →＋OD →＝(OM →＋MB →)＋(OM →＋MD →)＝2OM →， 所以OA →＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM →，故选D. 12．[2014·江西卷] 已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13 .若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________． 12．3 [解析] 因为|a |2＝9|e 1|2－12e 1·e 2＋4|e 2|2＝9×1－12×1×1×13 ＋4×1＝9，所以|a |＝3. 5．、[2014·辽宁卷] 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则＝0； 命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．(綈p )∧(綈q ) D ．p ∨(綈q ) 5．A [解析] 由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时， a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故p ∨q 为真命题． 6．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则 EB →＋FC →＝( ) A.AD → B.12 AD → C.12 BC → D.BC → 6．A [解析] EB ＋FC ＝EC ＋CB ＋FB ＋BC ＝12AC ＋12 AB ＝AD .
2014届高三数学四步复习法—平面向量专题（311B ） 第一步：知识梳理——固本源，基础知识要牢记 1.基本概念：（1）向量：既有大小又有方向的量. （2）向量的模：有向线段的长度，a r . （3）单位向量：长度为1 的向量 .（4）零向量0r ，00=r ，方向任意. （5）相等向量：长度相等，方向相同.（6）共线向量（平行向量）：方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 （7）向量的加减法 ①共起点的向量的加法：平行四边形法则 ②首尾相连的向量的加法：口诀：首尾连，起点到终点. 如:AB BC CD AD ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ③共起点的向量的减法：共起点，连终点，指向被减向量 ④化减为加：AB AC AB CA CA AB CB -=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （8）平面向量基本定理（向量的分解定理）1e u r ，2e u u r 是平面内两个不共线的 向量，a r 为该平面内任一向量，则存在唯一的实数对12,λλ，使得 1122a e e λλ=+u r u u r r ，12,e e u r u u r 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2. 平面向量的坐标运算?? ①设()()1122,,,a x y b x y ==r r ，则()()()11221212,,,a b x y x y x x y y ±=±=±±r r ； ()()1111,,a x y x y λλλλ==r ， ②(),B A B A AB x x y y =--u u u r ，AB = u u u r ③(),a x y =r ，则a =r 3. 平面向量的数量积 ①向量a r 与b r 的数量积：cos a b a b θ?=r r r r （θ为向量a r 与b r 的夹角，[]0,θπ∈） ； ②若()()1122,,,a x y b x y ==r r ，则1212a b x x y y ?=+r r ； ③22a a a a =?=r r r r ；④a r 在b r 方向上的投影：cos a θr （θ为向量a r 与b r 的夹角）； ⑤θ为锐角?0a b ?r r f ，且a r 与b r 不同向；θ为钝角?0a b ?r r p ，且a r 与b r 不 反向； θ为直角?0a b ?=r r （θ为向量a r 与b r 的夹角）. 4.向量的平行： ① a r ∥b r a b λ?=r r （0b ≠r r ，λ唯一确定）； ②a r ∥b r 1221x y x y ?= 5.向量的垂直: 121200a b a b x x y y ⊥??=?+=r r r r 第二步：典例精析——讲方法，究技巧，悟解题规律.
2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标1卷 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2}，则A ∩B= A ．{0,2} B ．{1,2} C ．{0} D ．{-2,-1,0,1,2} 解析：选A 2．设z= 1-i 1+i +2i ，则|z|= A ．0 B ．1 2 C ．1 D ． 2 解析：选C z=1-i 1+i +2i=-i+2i=i 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 解析：选A 4．已知椭圆C ：x 2 a 2＋y 2 4＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为 A ．13 B ．12 C ． 22 D ． 22 3 解析：选C ∵ c=2，4=a 2 -4 ∴a=2 2 ∴e= 22 5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π B ．12π C ．82π D ．10π 解析：选B 设底面半径为R,则(2R)2=8 ∴R=2,圆柱表面积=2πR ×2R+2πR 2 =12π
向 量 1. 向量的概念 (1)向量的基本要素：大小和方向. (2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ； 坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ） . (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜ . (4)特殊的向量：零向量a ＝O ?｜a ｜＝O . 单位向量a O 为单位向量?｜a O ｜＝ 1. (5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）?? ?==?2 12 1y y x x (6) 相反向量：a =-b ?b =-a ?a +b =0 (7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量 . 2.. 向量的运算 运算类 型 几何方法 坐标方法 运算性质 向量的 加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则 向量的 减法 三角形法则 AB BA =-,AB OA OB =- 数 乘 向 量 1.a λ是一个向量,满足:||||||a a λλ= 2.λ>0时, a a λ与同向; λ<0时, a a λ与异向; λ=0时, 0a λ=.
向 量 的 数 量 积 a b ?是一个数 1.00a b ==或时， 0a b ?=. 2. 00||||cos(,) a b a b a b a b ≠≠=且时， 3.向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+； ②结合律：()() a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 4.向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1 212 ,x x y y A B= --． 5.向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ① a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③() a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． 6.向量共线定理：向量() 0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、() 0b b ≠共线． 7.平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且
平面向量复习试题（必修4） 一、填空题 1．若有以下命题： ① 两个相等向量的模相等； ② 若和都是单位向量，则=； ③ 相等的两个向量一定是共线向量； ④ //，b c //，则c a //； ⑤ 零向量是唯一没有方向的向量； ⑥ 两个非零向量的和可以是零。 其中正确的命题序号是 。 2. 在水流速度为4h km /的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8h km /的速度航行，则船自身航行速度大小为____________h km /。 3. 任给两个向量和，则下列式子恒成立的有________________。 ① ||||||+≥+ ② ||||||-≥- ③||||||b a b a +≤- ④ ||||||b a b a -≤- 4. 若3=，5-=且||||=，则四边形ABCD 的形状为________。 5．梯形ABCD 的顶点坐标为)2,1(-A ，)4,3(B ，)1,2(D 且DC AB //，CD AB 2=，则点C 的坐标为___________。 6. ABC ?的三个顶点坐标分别为),(11y x A ，)(22y x B ，)(33y x C ，若G 是ABC ?的重心，则G 点的坐标为__________，=++__________________。 7. 若向量)1,1(=，)1,1(-=，)2,1(-=，则=c ___________(用a 和b 表示)。 8. 与向量)4,3(=平行的单位向量的坐标为 ________________。 9. 在ABC ?中，已知7=AB ，5=BC ，6=AC ，则=?BC AB ________________。 10.设)3,(x =，)1,2(-=，若与的夹角为钝角，则x 的取值范围是 __ ____。 11. 直线l 平行于向量)3,2(-=，则直线l 的斜率为____________。 12. 已知)4,3(-=，)sin ,(cos θθ=)(R ∈θ，则|2|-的取值范围是 _________。 13.已知向量a 、b 不共线，且||||=，则b a +与b a -的夹角为 __________。 14.在ABC ?中c AB =，a BC = ，b CA =，则下列推导正确的是__ _ 。 ① 若0