高考解答题专项训练(一) 函数与导数
1.(2019·河南豫北名校联考)已知函数f (x )＝e x ＋1－kx －2k (其中e 是自然对数的底数，k ∈R)．
(1)讨论函数f (x )的单调性；
(2)当函数f (x )有两个零点x 1，x 2时，证明：x 1＋x 2＞－2.
解：(1)易得f ′(x )＝e x ＋1－k ，,当k ＞0时，令f ′(x )＝0，得x ＝ln k －1，
可得当x ∈(－∞，ln k －1)时，f ′(x )＜0，
当x ∈(ln k －1，＋∞)时，f ′(x )＞0，
所以函数f (x )在区间(－∞，ln k －1)上单调递减，在区间(ln k －1，＋∞)上单调递增．
当k ≤0时，f ′(x )＝e x ＋1－k ＞0恒成立，
故此时函数f (x )在R 上单调递增．
(2)证明：当k ≤0时，由(1)知函数f (x )在R 上单调递增，不存在两个零点，所以k ＞0，
由题意知e x 1＋1＝k (x 1＋2)，e x 2＋1＝k (x 2＋2)，
∴x 1＋2＞0，x 2＋2＞0，,可得x 1－x 2＝ln x 1＋2x 2＋2
.
不妨设x 1＞x 2
，令x 1＋2x 2＋2＝t ，则t ＞1，,由????? x 1＋2x 2＋2＝t ，x 1－x 2＝ln x 1
＋2x 2＋2，
解得x 1＋2＝t ln t t －1，x 2＋2＝ln t t －1
， 所以x 1＋x 2＋4＝(t ＋1)ln t t －1
， 欲证x 1＋x 2＞－2，只需证明(t ＋1)ln t t －1
＞2， 即证(t ＋1)ln t －2(t －1)＞0，
设g (t )＝(t ＋1)ln t －2(t －1)(t ＞1)，
则g ′(t )＝ln t ＋1t (t ＋1)－2＝ln t ＋1t －1.
设h (t )＝ln t ＋1t －1(t ＞1)，
则h ′(t )＝1t －1t 2＞0，h (t )单调递增，
所以g ′(t )＞g ′(1)＝0.
所以g (t )在区间(1，＋∞)上单调递增，
所以g (t )＞g (1)＝0，即(t ＋1)ln t －2(t －1)＞0，原不等式得证．
2．(2019·山西三区八校模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx (其中a ，b 为常数且a ≠0)在x ＝1处取得极值．
(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；
(2)若f (x )在(0，e]上的最大值为1，求a 的值．
解：(1)因为f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，
所以f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋2ax ＋b ，
因为函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx 在x ＝1处取得极值，
所以f ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0，
又a ＝1，所以b ＝－3，
则f ′(x )＝2x 2－3x ＋1x
， 令f ′(x )＝0，得x 1＝12，x 2＝1.
f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：
所以f (x )的单调递增区间为?
????0，2，(1，＋∞)；单调递减区间为? ??
??12，1. (2)由(1)知f ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x
(x ＞0)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝12a ，
因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以x 2＝12a ≠x 1＝1，
若12a ＜0时，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，
所以f (x )在区间(0，e]上的最大值为f (1)，
令f (1)＝1，解得a ＝－2，
当a ＞0时，x 2＝12a ＞0，
若12a ＜1时，f (x )在? ????0，12a ，[1，e]上单调递增，在????
??12a ，1上单调递减，
所以最大值可能在x ＝12a 或x ＝e 处取得，
而f ? ????12a ＝ln 12a ＋a ? ??
??12a 2－(2a ＋1)12a ＝ln 12a －14a －1＜0， 所以f (e)＝lne ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1，
解得a ＝1e －2
， 若1＜12a ＜e 时，f (x )在区间(0,1)，??????12a ，e 上单调递增，在????
??1，12a 上单调递减，
所以最大值可能在x ＝1或x ＝e 处取得，
而f (1)＝ln1＋a －(2a ＋1)＜0，
所以f (e)＝lne ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1，
解得a ＝1e －2
，与1＜x 2＝12a ＜e 矛盾， 当x 2＝12a ≥e 时，f (x )在区间(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递
减，
所以最大值可能在x ＝1处取得，
而f (1)＝ln1＋a －(2a ＋1)＜0，矛盾；
综上所述，a ＝1e －2
或a ＝－2. 3．设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R .
(1)讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由；
(2)若?x ＞0，f (x )≥0成立，求a 的取值范围．
解：(1)由题意知函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝
1x ＋1
＋a (2x －1)＝2ax 2＋ax －a ＋1x ＋1
. 令g (x )＝2ax 2＋ax －a ＋1，x ∈(－1，＋∞)．
①当a ＝0时，g (x )＝1，
此时f ′(x )＞0，函数f (x )在(－1，＋∞)单调递增，无极值点． ②当a ＞0时，Δ＝a 2－8a (1－a )＝a (9a －8)．
a ．当0＜a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0，
f ′(x )≥0，函数f (x )在(－1，＋∞)单调递增，无极值点．
b ．当a ＞89时，Δ＞0，
设方程2ax 2＋ax －a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1＜x 2)，
因为x 1＋x 2＝－12，
所以x 1＜－14，x 2＞－14.
由g (－1)＝1＞0，可得－1＜x 1＜－14.
所以当x ∈(－1，x 1)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增． 因此函数有两个极值点．
③当a ＜0时，Δ＞0，
由g (－1)＝1＞0，可得x 1＜－1.
当x ∈(－1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减． 所以函数有一个极值点．
综上所述，当a ＜0时，函数f (x )有一个极值点；
当0≤a ≤89时，函数f (x )无极值点；
当a ＞89时，函数f (x )有两个极值点．
(2)由(1)知，
①当0≤a ≤89时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，
因为f (0)＝0，所以x ∈(0，＋∞)时，f (x )＞0，符合题意．
②当89＜a ≤1时，由g (0)≥0，得x 2≤0，
所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．
又f (0)＝0，所以x ∈(0，＋∞)时，f (x )＞0，符合题意．
③当a ＞1时，由g (0)＜0，可得x 2＞0.
所以x ∈(0，x 2)时，函数f (x )单调递减．
因为f (0)＝0，所以x ∈(0，x 2)时，f (x )＜0，不合题意．
④当a ＜0时，设h (x )＝x －ln(x ＋1)．
因为x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )＝1－1x ＋1＝x x ＋1
＞0， 所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增．
因此当x ∈(0，＋∞)时，h (x )＞h (0)＝0，即ln(x ＋1)＜x .
可得f (x )＜x ＋a (x 2－x )＝ax 2＋(1－a )x ，
当x ＞1－1a 时，ax 2＋(1－a )x ＜0，
此时f (x )＜0，不合题意．
综上所述，a 的取值范围是[0,1]．
4．(2019·宝安桂城联考)已知函数f (x )＝ln x ，h (x )＝ax (a ∈R )．
(1)若函数f (x )与h (x )的图象无公共点，试求实数a 的取值范围；
(2)是否存在实数m ，使得对任意的x ∈? ??
??12，＋∞，都有函数y ＝f (x )＋m x 的图象在g (x )＝e x x 的图象的下方？若存在，请求出最大整数m 的值；若不存在，请说明理由．
参考数据：ln2≈0.693 1，ln3≈1.098 6，e ≈1.648 7，3e ≈1.395
6.
解：(1)函数f (x )与h (x )的图象无公共点，
等价于方程ln x x ＝a 在(0，＋∞)上无解．
令t (x )＝ln x x (x ＞0)，则t ′(x )＝1－ln x x 2，
令t ′(x )＝0，得x ＝e.
当x 变化时，t ′(x )，t (x )的变化情况如下表：
故t max ＝t (e)＝1e ，
故要使方程ln x x ＝a 在(0，＋∞)上无解，只需a ＞1e ，
故实数a 的取值范围为? ??
??1e ，＋∞. (2)假设存在实数m 满足题意，
则不等式ln x ＋m x ＜e x
x 对x ∈? ????12，＋∞恒成立， 即m ＜e x
－x ln x 对x ∈? ????12，＋∞恒成立． 令r (x )＝e x －x ln x ，则r ′(x )＝e x －ln x －1，
令φ(x )＝e x －ln x －1，则φ′(x )＝e x －1x ， 因为φ′(x )在? ????12，＋∞上单调递增，φ′? ??
??12＝e 12 －2＜0，φ′(1)＝e －1＞0，且φ′(x )的图象在? ??
??12，1上连续， 所以存在x 0∈? ??
??12，1，使得φ′(x 0)＝0， 即e x 0
－1x 0＝0，则x 0＝－ln x 0. 所以当x ∈? ??
??12，x 0时，φ′(x )＜0，φ(x )单调递减； 当x ∈(x 0，＋∞)时，φ′(x )＞0，φ(x )单调递增．
所以φ(x )的最小值为φ(x 0)，且φ(x 0)＝e x 0－ln x 0－1＝x 0＋1x 0
－1＞2x 0·1x 0－1＝1＞0，
所以r ′(x )＞0，r (x )在区间? ??
??12，＋∞上单调递增．
所以m ≤r ? ????12＝e 12 －12ln 12＝e 12 ＋12
ln2≈1.995 25， 所以存在实数m 满足题意，且最大整数m 的值为1.
5．(2019·广州调研)已知函数f (x )＝a ln x ＋x b (a ≠0)．
(1)当b ＝2时，若函数f (x )恰有一个零点，求实数a 的取值范围；
(2)当a ＋b ＝0，b ＞0时，对任意x 1，x 2∈?
?????1e ，e ，有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －
2成立，求实数b 的取值范围．
解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．
当b ＝2时，f (x )＝a ln x ＋x 2，
所以f ′(x )＝a x ＋2x ＝2x 2＋a x (x ＞0)．
①当a ＞0时，f ′(x )＞0，
所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，
取x 0＝e － 1a ，则f (x 0)＝－1＋(e － 1a
)2＜0，
又f (1)＝1，所以f (x 0)·f (1)＜0，
故此时函数f (x )恰有一个零点．
②当a ＜0时，
令f ′(x )＝0，解得x ＝ －a
2.
当0＜x ＜ －a
2时，f ′(x )＜0，
所以f (x )在? ????
0， －a 2上单调递减；
当x ＞ －a
2时，f ′(x )＞0，
所以f (x )在? ????
－a 2，＋∞上单调递增．
要使函数f (x )恰有一个零点，
需f ? ????
－a 2＝a ln －a 2－a
2＝0，
即a ＝－2e.
综上所述，若函数f (x )恰有一个零点，
则a ＝－2e 或a ＞0.
(2)因为对任意x 1，x 2∈????
??1e ，e ， 有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －2成立，
且|f (x 1)－f (x 2)|≤f (x )max －f (x )min ，
所以f (x )max －f (x )min ≤e －2.
因为a ＋b ＝0，所以a ＝－b ，
所以f (x )＝－b ln x ＋x b (x ＞0)，
所以f ′(x )＝－b x ＋bx b －1＝b (x b －1)x .
当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，
当x ＞1时，f ′(x )＞0，
所以函数f (x )在????
??1e ，1上单调递减，在(1，e]上单调递增，f (x )min ＝f (1)＝1，
因为f ? ??
??1e ＝b ＋e －b 与f (e)＝－b ＋e b ， 所以f (x )max ＝max ????
??f ? ????1e ，f (e ). 设g (b )＝f (e)－f ? ??
??1e ＝e b －e －b －2b ， 则当b ＞0时，g ′(b )＝e b ＋e －b －2＞ 2e b ·e －b －2＝0，
所以g (b )在(0，＋∞)上单调递增，
故g (b )＞g (0)＝0，所以f (e)＞f ? ??
??1e . 从而f (x )max ＝f (e)＝－b ＋e B ．
所以－b ＋e b －1≤e －2，即e b －b －e ＋1≤0，
设φ(t )＝e t －t －e ＋1(t ＞0)，
则φ′(t )＝e t －1.
当t ＞0时，φ′(t )＞0，
所以φ(t )在(0，＋∞)上单调递增．
又φ(1)＝0，所以e b －b －e ＋1≤0，
即φ(b )≤φ(1)，解得b ≤1.
因为b ＞0，所以b 的取值范围为(0,1]．
6．(2019·福建质检)已知函数f (x )＝(ax 2＋2ax ＋1)e x －2.
(1)讨论f (x )的单调区间；
(2)若a ＜－17，求证：当x ≥0时，f (x )＜0.
解：(1)因为f (x )＝(ax 2＋2ax ＋1)e x －2，
所以f ′(x )＝(ax 2＋4ax ＋2a ＋1)e x ，
令u (x )＝ax 2＋4ax ＋2a ＋1，
①当a ＝0时，u (x )＞0，f ′(x )＞0，
所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
②当a ＞0时，Δ＝(4a )2－4a (2a ＋1)＝4a (2a －1)，
(ⅰ)当a ＞12时，Δ＞0，令u (x )＝0，
得x 1＝－2a －2a 2－a a
， x 2＝－2a ＋2a 2－a a
，且x 1＜x 2， 所以当x ∈(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)时，u (x )＞0，f ′(x )＞0， 当x ∈(x 1，x 2)时，u (x )＜0，f ′(x )＜0，
所以f (x )的单调递增区间为
? ????－∞，－2a －2a 2－a a ，? ??
??－2a ＋2a 2－a a ，＋∞，单调递减区间为? ????－2a －2a 2－a a ，－2a ＋2a 2－a a . (ⅱ)当0＜a ≤12时，Δ≤0，
所以u (x )≥0，f ′(x )≥0，
所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
③当a ＜0时，Δ＞0，令u (x )＝0，
得x 1＝－2a －2a 2－a a
， x 2＝－2a ＋2a 2－a a
，且x 2＜x 1， 所以当x ∈(x 2，x 1)时，u (x )＞0，f ′(x )＞0，
当x ∈(－∞，x 2)∪(x 1，＋∞)时，u (x )＜0，f ′(x )＜0，
所以f (x )的单调递增区间为
? ????－2a ＋2a 2－a a ，－2a －2a 2－a a ，单调递减区间为? ????－∞，－2a ＋2a 2－a a ，? ??
??－2a －2a 2－a a ，＋∞. 综上，当a ＞12时，f (x )的单调递增区间为? ??
??－∞，－2a －2a 2－a a ，? ????－2a ＋2a 2－a a ，＋∞，单调递减区间为? ????－2a －2a 2－a a ，－2a ＋2a 2－a a ； 当0≤a ≤12时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)；
当a ＜0时，f (x )的单调递增区间为
? ????－2a ＋2a 2－a a ，－2a －2a 2－a a ，单调递减区间为? ????－∞，－2a ＋2a 2－a a ，? ??
??－2a －2a 2－a a ，＋∞. (2)证明：证法一 由(1)得，
x 1＝－2a －2a 2－a a ，x 2＝－2a ＋2a 2－a a
. ①当a ≤－12时，由(1)知f (x )在(x 1，＋∞)上单调递减，
因为x 1＝－2a －2a 2－a a
＝－2＋2－1a ≤0，所以f (x )在(0，＋∞)
上单调递减， 所以当x ≥0时，f (x )≤f (0)＝－1＜0.
②当－12＜a ＜－17时，由(1)知f (x )在(x 2，x 1)上单调递增，在(x 1，
＋∞)上单调递减，
因为x 1＝－2a －2a 2－a a
＝－2＋2－1a ∈(0,1)，x 2＝－2a ＋2a 2－a a ＝－2－2－1a ＜0，
所以f (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，＋∞)上单调递减， 所以当x ≥0时，f (x )max ＝f (x 1)＝(ax 21＋2ax 1＋1)e x 1－2，
因为ax 21＋4ax 1＋2a ＋1＝0，
所以ax 21＝－4ax 1－2a －1， 且a ＝－1x 21＋4x 1＋2
， 所以f (x 1)＝(ax 21＋2ax 1＋1)e x 1－2＝－2a (x 1＋1)e x 1
－2＝2(x 1＋1)x 21＋4x 1
＋2·e x 1－2. 所以要证f (x )＜0，只需证2(x 1＋1)x 21＋4x 1＋2
e x 1－2＜0， 即证(x 1＋1)e x 1－x 21－4x 1－2＜0.
设g (x )＝(x ＋1)e x －x 2－4x －2，
则g ′(x )＝(x ＋2)e x －2x －4＝(x ＋2)(e x －2)，
所以当x ∈(0，ln2)时，g ′(x )＜0，g (x )在(0，ln2)上单调递减， 当x ∈(ln2,1)时，g ′(x )＞0，g (x )在(ln2,1)上单调递增，
因为g (0)＝－1＜0，g (1)＝2e －7＜0，
所以当x ∈(0,1)时，恒有g (x )＜0.
又x 1∈(0,1)，所以g (x 1)＜0，即f (x 1)＜0，
从而当x ≥0时，f (x )≤f (x 1)＜0.
综上，若a ＜－17，则当x ≥0时，f (x )＜0.
证法二 f (x )＝(ax 2＋2ax ＋1)e x －2＝a e x (x 2＋2x )＋e x －2. 令φ(a )＝a e x (x 2＋2x )＋e x －2，
显然当x ≥0时，e x (x 2＋2x )≥0，
所以当a ＜－17时，φ(a )＜φ? ??
??－17＝ －e x (x 2＋2x )7
＋e x －2. 所以要证当x ≥0时，f (x )＜0，
只需证当x ≥0时，－e x (x 2＋2x )7
＋e x －2≤0， 即证当x ≥0时，e x (x 2＋2x －7)＋14≥0.
令g (x )＝e x (x 2＋2x －7)＋14，
则g ′(x )＝e x (x 2＋4x －5)＝(x －1)(x ＋5)e x ，
所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )＜0，g (x )在(0,1)上单调递减，
当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )在(1，＋∞)上单调递增， 所以当x ≥0时，g (x )≥g (1)＝14－4e ＞0，
从而当x ≥0时，f (x )＜0.
证法三 由(1)得，
x 1＝－2a －2a 2－a a ，x 2＝－2a ＋2a 2－a a
. ①当a ≤－12时，由(1)知f (x )在(x 1，＋∞)上单调递减，
因为x 1＝－2a －2a 2－a a
＝－2＋2－1a ≤0，
所以f (x )在[0，＋∞)上单调递减，
所以当x ≥0时，f (x )≤f (0)＝－1＜0.
②当－12＜a ＜－17时，由(1)知f (x )在(x 2，x 1)上单调递增，在(x 1，
＋∞)上单调递减，
因为x 1＝－2a －2a 2－a a
＝－2＋2－1a ∈(0,1)，x 2＝－2a ＋2a 2－a a ＝－2－2－1a ＜0， 所以f (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，＋∞)上单调递减， 所以当x ≥0时，f (x )max ＝f (x 1)＝(ax 21＋2ax 1＋1)e x 1－2， 因为ax 21＋4ax 1＋2a ＋1＝0，
所以ax 21＝－4ax 1－2a －1，
且a ＝－1x 21＋4x 1＋2
， 所以f (x 1)＝(ax 21＋2ax 1＋1)e
x 1－2＝ －2a (x 1＋1)e x 1－2＝2(x 1＋1)x 21＋4x 1＋2
e x 1－2. 所以要证
f (x )＜0，只需证2(x 1＋1)x 21＋4x 1＋2
e x 1－2＜0， 即证x 21＋4x 1＋2(x 1＋1)e
x 1＞1. 设g (x )＝x 2＋4x ＋2(x ＋1)e x
， 则g ′(x )＝－x (x ＋2)2
(x ＋1)2e x
， 所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )＜0，g (x )在(0,1)上单调递减，
又x 1∈(0,1)，所以g (x 1)＞g (1)＝72e ＞1，
从而当x ≥0时，f (x )＜0.
综上，若a ＜－17，则当x ≥0时，f (x )＜0.
证法四 由(1)得，
x 1＝－2a －2a 2－a a ，x 2＝－2a ＋2a 2－a a
.
①当a ≤－12时，由(1)知f (x )在(x 1，＋∞)上单调递减， 因为x 1＝－2a －2a 2－a a
＝－2＋2－1a ≤0， 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减， 所以当x ≥0时，f (x )≤f (0)＝－1＜0.
②当－12＜a ＜－17时，由(1)知f (x )在(x 2，x 1)上单调递增，在(x 1，
＋∞)上单调递减，
因为x 1＝－2a －2a 2－a a
＝－2＋2－1a ∈(0,1)，x 2＝－2a ＋2a 2－a a ＝－2－2－1a ＜0，
所以f (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，＋∞)上单调递减， 所以当x ≥0时，f (x )max ＝f (x 1)＝(ax 21＋2ax 1＋1)e x 1－2，
因为ax 21＋4ax 1＋2a ＋1＝0，
所以ax 21＝－4ax 1－2a －1， 且a ＝－1x 21＋4x 1＋2
， 所以f (x 1)＝(ax 21＋2ax 1＋1)e
x 1－2＝ －2a (x 1＋1)e x 1－2＝2(x 1＋1)x 21＋4x 1＋2
·e x 1－2. 所以要证f (x )＜0，只需证2(x 1＋1)x 21＋4x 1＋2
e x 1－2＜0， 即证e x 1
＜x 21＋4x 1＋2x 1＋1. 设g (x )＝e x －x 2＋4x ＋2x ＋1
， 则g ′(x )＝e x －1(x ＋1)2
－1， 设φ(x )＝e x
－1(x ＋1)2－1，
则φ′(x )＝e x
＋2(x ＋1)3＞0， 所以φ(x )在(0,1)上单调递增，
又φ(0)＝－1＜0，φ(1)＝e －54＞0，
所以φ(0)φ(1)＜0，
所以φ(x )在(0,1)恰有一个零点x 0， 且当x ∈(0，x 0)时，φ(x )＜0，即g ′(x )＜0， 所以g (x )在(0，x 0)上单调递减， 当x ∈(x 0,1)时，φ(x )＞0，即g ′(x )＞0， 所以g (x )在(x 0,1)上单调递增．
因为g (0)＝－1＜0，g (1)＝e －72＜0，
所以当x ∈(0,1)时，恒有g (x )＜0， 又x 1∈(0,1)，所以g (x 1)＜0，
即e x 1
＜x 21＋4x 1＋2x 1＋1， 从而当x ≥0时，f (x )＜0.
综上，若a ＜－17，则当x ≥0时，f (x )＜0.
集合 1.(2019?全国1?理T1)已知集合M={x|-4
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题5 平面向量 39 与 平面向量有关的创新题 文 成立，设a ，b 的夹角为θ，则sin θ＝________. 2．在△ABC 中，已知AB →AC →＝tan A ，当A ＝π6 时，△ABC 的面积为________． 3．设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定m ，n 之间的一种运算“?”为m ?n ＝(ac －bd ，ad ＋bc )．若a ＝(－1，－2)，a ?b ＝(4,5)，则b ＝________. 4．(2015·宜昌一模)已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，则 △AOC 的面积为________． 5．对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝α·ββ·β .若平面向量a ，b 满足|a |≥|b |>0，a 与b 的夹角θ∈? ????0，π4，且a b 和b a 都在集合?????????? ???n 2n∈Z 中，则a b ＝________. 6．已知O 是△ABC 所在平面内一点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C )，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的________心． 7．设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成．若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为________． 8．若函数f (x )＝2sin(π6x ＋π3 )(－2 第 1 页 共 10 页 图 1 图2 圆梦2015·高三数学（理）仿真模拟三 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数lg y x =的定义域为A ,{} 01B x x =≤≤,则A B =（ ） A ．()0,+∞ B ．[]0,1 C ．(]0,1 D ．[)0,1 2．设i 为虚数单位,若复数() ()2231i z m m m =+-+-是纯虚数,则实数m =（ ） A ．3- B ．3-或1 C ．3或1- D ．1 3 ．设函数sin 2y x x =的最小正周期为T ,最大值为A ，则（ ） A ．T π= ,A = B . T π=,2A = C ．2T π= ,A = D ．2T π=,2A = 4．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图1所示,其中俯视图是 中心角为60?的扇形,则该几何体的体积为（ ） A ． 3 π B ．23π C ．π D ．2π 5．给定命题p ：若20x ≥，则0x ≥； 命题q :：已知非零向量,,a b 则 “⊥a b ”是“-+=a b a b ”的充要条件. 则下列各命题中,假命题的是（ ） A ．p q ∨ B ． ()p q ?∨ C ．()p q ?∧ D ．()()p q ?∧? 6．已知函数()222,02,0 x x x f x x x x ?+≥=?-）的比值a b ,称这些比值中的最小值为这个 数表的“特征值”.当2n =时, 数表的所有可能的“特征值”最 大值为（ ） A ．3 B ． 43 C ．2 D ．32 天一原创试题（理科） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合{}2log 2A x x =≤，{}1B x x =>-则A B =（ ） A ．{14}x x -<≤ B ．{14}x x -<< C ．{04}x x <≤ D ．{4}x x ≤ 【答案】D 【解析】根据题意可得{}{}2log 204x A x x x ≤<=≤=，因为A B ={04}x x <≤，故选 C ． 2．以下四个命题中，真命题的个数是 ① 存在正实数,M N ,使得log log log M N MN a a a +=; ② 若函数满足(2018)(2019)0f f ?<，则()f x 在（2018,2019）上有零点的逆命题； ③ 函数(21)()log x a f x -=(0a >≠且a 1)的图像过定点（1,0） ④ “x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】根据对数运算法则知①正确；函数()f x 在（2018,2019）上有零点时，函数()f x 在x =2018和x =2019处的函数值不一定异号，故逆命题错误，故②错误；因为无论a 取何值(1)0f =,所以函数()f x 的图像过定点（1,0），故③正确；当x ＝－1时，x 2－5x －6＝0；x 2－5x －6＝0时，x ＝－1或x ＝6，所以是充分不必要条件，故④错误；故选B 3．若,,,a b c R a b ∈>，则下列不等式成立的是 A ．22ac bc > B ．a c b c > C.1 1()()22a b > D.2211 a b c c >++ 【答案】D 【解析】对于A ，当c=0，显然不成立；对于B ，令a ＝1，b ＝－2，c ＝0，错误；对于C ，根据指数函数的单调性应为11()()22a b <；对于D ，∵a>b ，c 2＋1>0，∴2211 a b c c >++，故选D. 4．已知函数,0()(),0 x e x f x g x x ?≥=??? 2020新课改高考数学小题专项训练1 1．设p 、q 是两个命题，则“复合命题p 或q 为真，p 且q 为假”的充要条件是 （ ） A ．p 、q 中至少有一个为真 B ．p 、q 中至少有一个为假 C ．p 、q 中中有且只有一个为真 D ．p 为真，q 为假 2．已知复数 （ ） A ． B ．2 C ．2 D ．8 3．已知a 、b 、c 是三条互不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，给出四个命题： ① ②a 、 ③ ④.其中正确命题的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．已知等差数列 （ ） A ． B ． C ． D ． 5．定义在R 上的偶函数的x 的 集合为 （ ） A ． B ． C ． D ． 6．在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且 包括周界），若使目标函数z =ax +y (a >0)取最大值的最优解有无穷多个，则a 的值等于（ ） A ． B ．1 C ．6 D ．3 7．已知函数的值等于 （ ） A ． B ． C ．4 D ．－4 =-=||,13 z i z 则22; //,//,//ααa b b a 则; //,//,//,βαββα则b a b ?;,//,βαβα⊥⊥则a a b a b a ⊥⊥则,//,αα==16 884,31 ,}{S S S S S n a n n 那么且 项和为的前8 1 319 110 30)(log ,0)2 1(,),0[)(4 1<=+∞=x f f x f y 则满足且上递减在),2()21 ,(+∞?-∞)2,1()1,2 1(?),2()1,2 1(+∞?),2()2 1,0(+∞?3 1 )41(,2),3(log ,2,43 )(116 2 -?????≥+-<-=-f x x x x x f 则21 16 2 5- 2019年高考数学新题型分类 新课标以来，高考数学中出现了创新题型，以第8、14、20题为主，创新题型是建立在高中数学思维体系之上的一中新数学题型。2019年高考数学新题型分类为以下几点： (一)解析几何中的运动问题 解析几何中的创新小题是新课标高考中出现频率最高的题型，09、10、11年高考数学选择填空压轴题都出现了运动问题。即新课标高考数学思维从传统分析静态模型转变为分析动态模型。因此考生需要掌握在运动过程中对于变量与不变量的把握、善于建立运动过程中直接变量与间接变量的关系、以及特殊值情境分析、存在问题与任意问题解题方法的总结。 在解此类创新题型时，往往需要融入生活中的很多思想，加上题目中所给信息相融合。在数学层面上，需要考生善于从各个角度与考虑问题，将思路打开，同时善于用数学思维去将题目情境抽象成数学模型。 (二)新距离 近几年兴起的关于坐标系中新距离d=|X1-X2|+|Y1-Y2|的问题，考生需要懂得坐标系中坐标差的原理，对于对应两点构成的矩形中坐标差的关系弄清楚就行了。近两年高考大题中均涉及到了新距离问题，可是高考所考察的内容不再新距离本身，而在于建立新的数学模型情况下，考生能否摸索出建立数学模型与数学思维的关系。比如2019年压轴题，对于一个数列各个位做差取绝对值求和的问题，由于每个位取值情况均相同，故只需考虑一个位就行了。在大题具体解题中笔者 会详细叙述。 (三)新名词 对于题目中出现了新名词新性质，考生完全可以从新性质本身出发，从数学思维角度理解新性质所代表的数学含义。此类创新题型就像描述一幅画一样去描述一个数学模型，然后描述的简洁透彻，让考生通过此类描述去挖掘性质。新课标数学追求对数学思维的自然描述，即不会给学生思维断层、非生活常规思路(北京海淀区2019届高三上学期期末考试题的解析几何大题属于非常规思路)。比如2009年北京卷文科填空压轴题，就是让学生直观形象的去理解什么叫做孤立元，这样肯快就可以得到答案。 (四)知识点性质结合 此类题型主要结合函数性质、图象等知识点进行出题，此类题一般只要熟悉知识点网络结构与知识点思维方式就没有问题。比如2019年高考北京卷填空压轴题，需要考生掌握轨迹与方程思想，方程与曲线关于变量与坐标的一一对应关系。再比如2009年北京卷填空压轴题，就是对数列递推关系进行了简单的扩展，考生只要严格按照题目的规则代入就可得到答案。此类题型需要考生对于知识点的原理、思维方法有深层次的理解才能够很快做出答案。上面提到的两道题均没有考对应知识点的细节处理问题，而是上升的数学思维方法的层次。(五)情境结合题 要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、 高考数学模拟试题 （第一卷） 一、选择题：（每小题5分，满分60分） 1、已知集合A={x|x 2+2ax+1=0}的真子集只有一个，则a 值的集合是 A ．（﹣1，1）； B ．(﹣∞,﹣1)∪[1，+∞]； C ．{﹣1，1}； D ．{0} 2、若函数y=f(x)的反函数y=f －1(x)满足f －1(3)=0，则函数y=f(x+1)的图象必过点： A ．（0，3）； B ．（－1，3）； C ．（3，－1）； D ．（1，3） 3、已知复数z 1,z 2分别满足| z 1+i|=2，|z 2－3－3i|=3则| z 1－z 2|的最大值为： A ．5； B ．10； C ．5+13； D ．13 4、数列 ,4 3211,3211,211++++++ ……的前n 项和为： A ．12+n n ； B ．1+n n ； C ．222++n n ； D ．2+n n ； 5、极坐标方程ρsin θ=sin2θ表示的曲线是： A ．圆； B ．直线； C ．两线直线 D ．一条直线和一个圆。 6、已知一个复数的立方恰好等于它的共轭复数，则这样的复数共有： A ．3个； B ．4个； C ．5个； D ．6个。 7、如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 是异面直 线AC ，A 1D 的公垂线，则EF 和ED 1的关系是： A ． 异面； B ．平行； C ．垂直； D ．相交。 8、设(2－X)5=a 0+a 1x+a 2x+…+a 5x 5, 则a 1+a 3+a 5的值为： A ．－120； B ．－121； C ．－122； D ．－243。 9、要从一块斜边长为定值a 的直角三角形纸片剪出一块圆形纸片，圆形纸片的最大面积为： A ．2 πa 2； B ．24223a π-； C ．2πa 2； D ．2)223(a π- 10、过点（1，4）的直线在x,y 轴上的截距分别为a 和b(a,b ∈R +)，则a+b 的最小值是： A ．9； B ．8； C ．7； D ．6； 11、三人互相传球，由甲开始发球并作为第一次传球。经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有： A ．6种； B ．8种； C ．10种； D ．16种。 12、定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x －2)，若f(x)在[﹣2，0]上递增，则 A ．f(1)>f(5.5) ; B ．f(1) 高考数学复习小题训练15 高考数学复习小题训练（15） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。 1．设集合{}2,1=A ,则满足{}3,2,1=B A 的集合B 的个数是 A ．1 B ．3 C ．4 D ．8 2．“1=a ”是“函数a x x f -=)(在区间[)1,+∞上为增函数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．设π20<≤x ,且x 2sin 1-=,cos sin x x -则 A ．0≤x ≤ B ．4π≤x ≤45π C ．4π≤x ≤47π D ．2 π≤x ≤23π 4．函数)11 2lg(-+=x y 的图象关于（ ）对称； ....A y x B x C y D =直线轴轴原点 5．在正方体ABCD －A 1BC 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动， 则异面直线CP 与BA 1所成的角的取值范围是 A.02πθ<< B.02πθ<≤ C. 30πθ≤≤ D.03πθ<≤ 6．已知数列{}n a 的通项公式)(,2 1 log 2 *∈++=N n n n a n ，设{}n a 的前n 项 的和为n S ，则使5 - 赛），决出每个组的一、二名，然后又在剩下的12个队中按积分取4个队（不比赛），共计16个队进行 淘汰赛来确定冠亚军，则一共需比赛（ ）场次 A.53 B.52 C.51 D.50 8．若将))((b x a x --逐项展开得ab bx ax x +--2 ，则2 x 出现的频率 为14，x 出现的频率为1 2 ，如此将))()()()((e x d x c x b x a x -----逐项展开后，3 x 出现的频率是（ ） 32 5 .51.61.165.D C B A 9．若m 是一个给定的正整数，如果两个整数b a ,用m 除所 得的余数相同，则称a 与b 对模m 同余，记作[mod()]a b m ≡，例如：513[mod(4)]≡.若:2008 2[mod(7)]r ≡,则r 可以为（ ） .1.2.3.4A B C D 10．如图，过抛物线)(022 >=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若 BF BC 2=，且3=AF ，则此抛物线的方程为 ( ) A ．x y 232= B ．x y 92= C ．x y 2 9 2 = D ．x y 32 = 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在答题卷相应位置。 11、设函数 2 (1)(1)()41 (1) x x f x x x ?+ 2019-2020学年度最新人教版高考数学总复习 (各种专题训练)Word版(附参考答案) 一．课标要求： 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。二．命题走向 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。 预测2013年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为： （1）题型是1个选择题或1个填空题； （2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三．要点精讲 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。 a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A b?； 记作A （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体 （对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排 列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法： 2007年高考数学创新题型精选 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（06年山东）定义集合运算：A ⊙B =｛z ︳z = xy (x+y )，z ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为( ) A ．0 B.6 C.12 D.18 2．（06年辽宁卷）设○ +是R 上的一个运算, A 是R 的非空子集,若对任意,a b A ∈有a ○+b A ∈,则称A 对运算○ +封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是（ ） A.自然数集 B.整数集 C.有理数集 D.无理数集 3．(05天津)从集合{1，2，3，…，11}中的任意取两个元素作为椭圆22 221x y m n +=方程中的m 和n ，则能组 成落在矩形区域(){},|||11,||9B x y x y =<<内的椭圆的个数是（ ） A. 43 B. 72 C. 86 D. 90 4．（05福建）)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0在区间（0，6） 内解的个数的最小值是 （ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5．(06上海卷)如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ） A.48 B. 18 C. 24 D.36 6．点P 到点A(21，0)，B(a ，2)及到直线x ＝－2 1 的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是 ( ) A. 21 B.23 C.21或23 D.－21或2 1 7．如果 二次方程 x 2 -px-q=0(p,q∈N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程 有 （ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 8. 设四棱锥P-ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥（如右图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α （ ） A. 不存在 B. 只有1个 C. 恰有4个 D. 有无数多个 9。（05全国Ⅲ）计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0-9和字母 A .6E B. 72 C .5F D. B0 10．设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝ ABc PBC S S ??， λ2＝ABC PCA S S ??， λ3＝ ABC PAB S S ??，定义f (P)=(λ1, λ, λ3),若G 是△ABC 的重心，f (Q)＝（21，31，6 1 ），则 （ ） A. 点Q 在△GAB 内 B. 点Q 在△GBC 内 C. 点Q 在△GCA 内 D. 点Q 与点G 重合 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．在平面几何中有如下特性：从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值。类比上述性质，请叙述在立体几何中相应地特性，并画出图形。不必证明。 类比性质叙述如下 ：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 12．规定记号“?”表示一种运算，即+∈++=?R b a b a b a b a 、，. 若31=?k ，则函数()x k x f ?=的 2018年浙江省高考模拟试卷 数学卷 本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分（共40分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色的字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。 2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷上无效。 参考公式： 如果事件A ，B 互斥，那么 棱柱的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh = 如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 ()()()P A B P A P B ?=? 棱锥的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 1 3 V Sh = n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 ()() ()1,0,1,2,,n k k k n n P k C p k k n -=-=L 棱台的体积公式 球的表面积公式 24S R π= () 11221 3 V h S S S S =++ 球的体积公式 34 3 V R π= 其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积， 其中R 表示球的半径 h 表示棱台的高 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分。） 1、（原创）已知集合R U =，集合},2{R x y y M x ∈==，集合)}3lg({x y x N -==，则()=N M C U I （ ） A ．{}3≥y y B. {}0≤y y C. {} 30< 题型训练四 创新题型 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（06年山东）定义集合运算：A ⊙B =｛z ︳z = xy (x+y )，z ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为( ) A ．0 B.6 C.12 D.18 2．（06年辽宁卷）设○ +是R 上的一个运算, A 是R 的非空子集,若对任意,a b A ∈有a ○+b A ∈,则称A 对运算○ +封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是（ ） A.自然数集 B.整数集 C.有理数集 D.无理数集 3．(05天津)从集合{1，2，3，…，11}中的任意取两个元素作为椭圆22 221x y m n +=方程中的m 和n ，则能组成落在矩形区域(){},|||11,||9B x y x y =<<内的椭圆的个数是（ ） A. 43 B. 72 C. 86 D. 90 4．（05福建）)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0 在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5．(06上海卷)如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ） A.48 B. 18 C. 24 D.36 6．点P 到点A( 21，0)，B(a ，2)及到直线x ＝－2 1 的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是 ( ) A. 21 B.23 C.21或23 D.－21或2 1 7．如果二次方程 x 2 -px-q=0(p,q∈N*) 的正根小于3, 那么这 样的二次方程有（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 8. 设四棱锥P-ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥（如右图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α （ ） A. 不存在 B. 只有1个 C. 恰有4个 D. 有无数多个 9。（05全国Ⅲ）计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0-9和字母A-F 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A .6E B. 72 C .5F D. B0 10．设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝ ABc PBC S S ??， λ2＝ABC PCA S S ??， λ3＝ ABC PAB S S ??，定义f (P)=(λ1, λ, λ3),若G 是△ABC 的重心，f (Q)＝（21，31，6 1 ），则 （ ） A. 点Q 在△GAB 内 B. 点Q 在△GBC 内 2019年高考数学仿真模拟试题 本试卷共6页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准 确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的 签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域 书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱。不准使用涂改液、修正带、 刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合{}3,2,1=A ，{} Z x x x x B ∈<--= ,0322 ,则=B A Y A ．{}2,1 B ．{}3,2,1,0 C ．[]2,1 D ．[]3,0 2.复数 i i 212-+的共轭复数的虚部是 A ．53- B ．53 C ．1- D ．1 3.下列结论正确的是 A ．若直线⊥l 平面α，直线⊥l 平面β，且βα,不共面，则βα// B ．若直线//l 平面α，直线//l 平面β，则βα// C ．若两直线21l l 、与平面α所成的角相等，则21//l l D ．若直线l 上两个不同的点B A 、到平面α的距离相等，则α//l 4.已知34cos sin = -αα，则=?? ? ??-απ4cos 2 A. 91 B. 92 C. 94 D. 9 5 5.设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于B A 、两点， 2018高考数学专题---数列大题训练（附答案） 1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+. （1）求{n a }的通项公式； （2）求和T n = 12 111 23(1)n a a n a +++ +. 2 ．已知数列}{n a ，a 1=1，点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线012 1 =+- y x 上. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）函数)2*,(1 111)(321≥∈++++++++= n N n a n a n a n a n n f n 且 ，求函数)(n f 最小值. 3 ．已知函数x ab x f =)( (a ，b 为常数)的图象经过点P （1，8 1）和Q （4，8） (1) 求函数)(x f 的解析式； (2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数，n S 是数列{a n }的前n 项和，求n S 的最小值。 4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15． 求n S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式． 5 ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数. （1）求证: {}n a 为等比数列； （2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111,,23 n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ?? ???? 的通项公式，并求12231n n b b b b b b -++ +的结果. 6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线， 且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上. (1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ; (2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12 F D C B A 2019年高考数学模拟试题（理科） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。 一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1．已知集合}032{2>--=x x x A ，}4,3,2{=B ，则B A C R ?)(= A ．}3,2{ B ．}4,3,2{ C ．}2{ D ．φ 2．已知i 是虚数单位，i z += 31 ，则z z ?= A ．5 B ．10 C ． 10 1 D ． 5 1 3．执行如图所示的程序框图，若输入的点为(1,1)P ，则输出的n 值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 （第3题） （第4题） 4．如图，ABCD 是边长为8的正方形，若1 3 DE EC =，且F 为BC 的中点，则EA EF ?= A ．10 B ．12 C ．16 D ．20 5．若实数y x ,满足?? ???≥≤-≤+012y x y y x ，则y x z 82?=的最大值是 A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 6.一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为 A ．3228516++ B ．32532+ C ．32216+ D ．32216516++ 7. 5张卡片上分别写有0，1，2，3，4，若从这5张卡片中随机取出2张，则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是 A ． 101 B ．51 C ．103 D ．5 4 8．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，且11-=a ，11++?=n n n S S a ，则5a = A ． 301 B ．031- C ．021 D ．20 1 - 9. 函数()1ln 1x f x x -=+的大致图像为 10. 底面为矩形的四棱锥ABCD P -的体积为8，若⊥PA 平面ABCD ,且3=PA ，则四棱锥 ABCD P -的外接球体积最小值是 原创押题卷(二) (时间120分钟，满分150分) 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设全集为R，集合A＝{x|x2－9＜0}，B＝{x|－1＜x≤5}，则A∩(?R B)＝( ) A．(－3,0) B．(－3，－1) C．(－3，－1] D．(－3,3) 2．设复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则2 z ＋z2＝( ) A．1＋i B．1－i C．－1－i D．－1＋i 3．已知||a＝1，||b＝2，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为( ) A.π 6 B. π 4 C. π 3 D. 2π 3 4.某商场在端午节的促销活动中，对9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图1所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为( ) 图1 A ．8万元 B ．10万元 C ．12万元 D ．15万元 5．在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：kx －y ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OAMB ，若点M 在圆C 上，则实数 k 等于( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．0 6．函数y ＝4cos x －e |x |(e 为自然对数的底数)的图象可能是( ) 7．已知正三角形ABC 的边长是3，D 是BC 上的点，BD ＝1，则AD →·BC →＝( ) A ．－92B ．－32C.152D.52 8.已知变量x ，y 满足??? 4x ＋y －9≥0，x ＋y －6≤0， y －1≥0， 若目标函数z ＝x －ay 取到最大 值3，则a 的值为( ) A ．2B.12C.2 5 D ．1 1、函数与导数（1） 2、三角函数与解三角形 3、函数与导数（2） 4、立体几何 5、数列（1） 6、应用题 7、解析几何 8、数列（2） 9、矩阵与变换 10、坐标系与参数方程 11、空间向量与立体几何 12、曲线与方程、抛物线 13、计数原理与二项式分布 14、随机变量及其概率分布 15、数学归纳法 高考压轴大题突破练 (一)函数与导数(1) 1．已知函数f (x )＝a e x x ＋x . (1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线经过点(0，－1)，求a 的值； (2)是否存在负整数a ，使函数f (x )的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2， ∴f ′(1)＝1，f (1)＝a e ＋1. ∴函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为 y －(a e ＋1)＝x －1， 又直线过点(0，－1)，∴－1－(a e ＋1)＝－1， 解得a ＝－1 e . (2)若a <0，f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2 ， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(－∞，0)上无极值；当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(0,1)上无极值． 方法一 当x ∈(1，＋∞)时，若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0)， 则???? ? x 0>1，f (x 0)>0，f ′(x 0)＝0， 则0 0000 2 00 201,e 0,e (1)0,x x x a x x a x x x ? > +> -+ = ? ①②③ 由③得0 e x a ＝－x 20 x 0－1，代入②得－x 0x 0－1＋x 0 >0， 结合①可解得x 0>2，再由f (x 0)＝0 e x a x ＋x 0>0，得a >－02 0e x x ， 设h (x )＝－x 2 e x ，则h ′(x )＝x (x －2)e x ， 当x >2时，h ′(x )>0，即h (x )是增函数， ∴a >h (x 0)>h (2)＝－4 e 2. 2021届全国百强中学新高考原创预测试卷（二） 数学 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、考试范围：高考范围。 2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。 3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。 4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。 5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。 6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。 8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合11A x x ?? =
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