辽宁省大连八中2013年高考适应性考试数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
2
2
2．（5分）已知i是虚数单位，则复数的虚部等于（）
解：∵复数==
3．（5分）已知向量，，则的最大值为（）
的大小，再利用三角函数知识求最大值．
=1+4（+）取得最大值的最大值为
项和
﹣]
∵sinx+cosx=）﹣，﹣，]
6．（5分）要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）向左平移个单位向右平移
向左平移个单位向右平移
=（））x+
个单位就可以得到上面的解析式的图象．
7．（5分）已知某几何体的三视图如图（单位m）所示，则这个几何体的外接球的表面积（单位：m2）等于（）
×，
AD=OD=
=
×
8．（5分）按照如图所示的程序框图执行，若输出的结果为15，则M处的条件可为（）
9．（5分）把五位领导派往三个不同的城市监督检查指导食品卫生工作，要求每个城市至少
种分组方法，分派到三个城市，有×A
分组方法，分派到三个城市，有×A 10．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，O为抛物线的
再代入向量的夹角公式，求出∠AOB
11．（5分）已知函数f（x）=﹣x3﹣sinx，（x∈R），对于任意的x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1 123
12．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=0，f′（x）是f（x）的导函数，
为减函
，则=
=
===g
=0
?
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）（2012?南宁模拟）（1﹣x+x2）（1+x）6的展开式中x5项的系数等于11 ．（用数字作答）
14．（5分）设约束条件为，则目标函数z=|2x﹣y+1|的最大值是7 ．
y+1|=其中
几何意义是点到直线的距离的
y+1|=
表示点（
15．（5分）（2012?梅州一模）已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过
点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是[2，+∞）．
，
≥=
16．（5分）在三棱锥T﹣ABC中，TA，TB，TC两两垂直，T在底面ABC内的正投影为D，下列命题：①D一定是△ABC的垂心；
②D一定是△ABC的外心；
③△ABC是锐角三角形；
④；
其中正确的是①③④（写出所有正确的命题的序号）
解答：
cosA=＞
，
AE=
×TD=a×
三、解答题：本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）在△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且∠C=2∠A．
（1）若△ABC为锐角三角形，求的取值范围；
（2）若，a+c=20，求b的值．
由第一问得出的得出的值，
）根据正弦定理有，
∴cosA∈（，，
，又，
cosA=≠
18．（12分）（2010?烟台一模）某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知某学生选修甲而不选修乙和丙的概率为0.08，选修甲和乙而不选修丙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．
（1）记“函数f（x）=x2+ξ?x为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；
（2）求ξ的分布列和数学期望．
依题意得，解得
19．（12分）（2013?茂名一模）如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=a，PD=a．
（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；
（2）求平面PAD与PBC所成锐二面角的大小．
a
，
的单位法向量为，则可取
的法向量
，取
∴…（
…（
20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴
的一个端点
构成等边三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（4，0）且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，设点A关于x轴的对称点为A1．
（ⅰ）求证：直线A1B过x轴上一定点，并求出此定点坐标；
（ⅱ）求△OA1B面积的取值范围．
所以椭圆的标准方程为．
联立并消去
，
，得，即
=
|OT||y|=
，得
，+∞）上为增函数．所以
．故△OA1B的面积取值范围是
21．（12分）（2010?盐城二模）设函数f（x）=x2，g（x）=alnx+bx（a＞0）．
（Ⅰ）若f（1）=g（1），f'（1）=g'（1），求F（x）=f（x）﹣g（x）的极小值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实常数k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m？若存在，求出k和m的值．若不存在，说明理由．
（Ⅲ）设G（x）=f（x）+2﹣g（x）有两个零点x1，x2，且x1，x0，x2成等差数列，试探究G'（x0）值的符号．
下面验证
，解得
﹣
x=或＜下面验证
，即
﹣）﹣
＞
﹣
＞
选做题：（22、23、24任选一题，如果都做，按第一题计分）
22．（10分）如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B=60°，F在AC上，且AE=AF．
（1）证明：B，D，H，E四点共圆；
（2）证明：CE平分∠DEF．
23．选修4﹣4：坐标系与参数方程
已知圆锥曲线C：（θ为参数）和定点，F1，F2是此圆锥曲线
的左、右焦点．
（1）以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF2的极坐标方程；（2）经过点F1，且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求||MF1|﹣|NF1||的值．
的方程中，得：
，轨迹为椭圆，其焦点
；
的斜率为，倾斜角为
的参数方程为
的方程中，得：
的异侧
24．设minA表示数集A中的最小数；设maxA表示数集A中的最大数．
（1）若a，b＞0，，求证：；
（2）若，，，求H的最小值．
＜h≤a，，利用不等式的性质得到
，利用基本不等式得到
）利用最大值的定义得到，，
，
，
=
）∵
，
．
的最小值为