九、陪你去看流星雨，点点滴滴评江西
江西的6道大题分别是16三角、17数列、18、函数、19立几、20解几、21概率. 江西压轴题是21为概率题，有3问.第1问求分布列和数学期望；第2问求概率；第3问证明两个概率的大小关系.下面对其余题分别解析.
51、[江西16]已知函数f x x a x 2()sin()cos()θθ=+++，其中a R ∈，22
(,)ππ
θ∈-
⑴
当a =4
π
θ=
时，求f x ()在区间0[,]π上的最大值与最小值；
⑵ 若f 02()π
=，f 1()π=，求a 、θ的值.
[解析] ⑴
当a =4
π
θ=
时，求f x ()在区间0[,]π上的最大值与最小值
此时函数：f x x x 4
2
()sin())π
π
=+
++
x x 4
sin()π
=+
x x x 22
sin =+-
x x 22
cos =- x 4
cos()π
=+
画出函数图象. 如图，在区间0[,]π
1-. ⑵ 若f 02()π
=，f 1()π=，求a 、θ的值
此时函数：f x x a x 2()sin()cos()θθ=+++
由f 02()π=得：a 2022sin()cos()ππ
θθ+++=
即： a 20cos sin θθ-= ①
由f 1()π=得：a 21sin()cos()πθπθ+++= 即： a 21sin cos θθ--= ② 由①×①得：222a 22a 20cos sin cos sin θθθθ+-= ③ 由②×②得：222a 22a 21sin cos sin cos θθθθ++= ④ 由③＋④得：2a 2a 220(sin cos cos sin )θθθθ+-= 即：2a 2a 20sin()θθ+-=，即：a a 20(sin )θ-= 故：a 0=或 a 2sin θ= 将a 0=代入①、②式得：2
π
θ=-，这与22(,)ππ
θ∈-
不符，故：2
π
θ≠- 则：a 2sin θ= ⑤
将⑤式代入①式得：220cos sin sin θθθ-=，即：240cos sin cos θθθ-= 即：2140cos (sin )θθ-=，即：0cos θ= ⑥ 或2140sin θ-=，即：1
2
sin θ= ⑦ 或：1
2
sin θ=-
⑧ 由⑥式得： 2k 2
π
θπ=±
+，由于不满足22
(,)ππ
θ∈-
，故⑥式舍. 将⑤⑦式代入②式得： 1
212
cos θ--=， 即：3
22
cos θ-=
，由于不满足21cos θ≤，故⑦式舍. 将⑤⑧式代入②式得：1212cos θ+=，即：1
22
cos θ= ⑨ 由⑧⑨式和22(,)ππ
θ∈-
得：6
π
θ=-，代入⑤式得：a 1=-
本题答案：⑴ 最大值是
2，最小值是1-； ⑵ 6
π
θ=-，a 1=-.
52、[江西17]已知首项都是1的两个数列{}n a 、{}n b （n b 0≠，n N +∈），满足
n n 1n 1n n 1n a b a b 2b b 0+++-+=.
⑴ 令n
n n
a c
b =
，求数列{}n c 的通项公式； ⑵ 若n 1n b 3-=，求数列{}n a 的前n 项和n S . [解析] ⑴ 令n
n n
a c
b =
，求数列{}n c 的通项公式 由n n 1n 1n n 1n a b a b 2b b 0+++-+=除以n 1n b b +得：n n 1
n n 1
a a 20
b b ++-+= 即：n n 1
c c 20+-+=，即：n 1n c c 2+-= ① 且：1
11
a c 1
b =
= ② ①②表明：{}n c 是一个首项为1，公差为2的等差数列. 故：n c 2n 1=- ③
⑵ 若n 1n b 3-=，求数列{}n a 的前n 项和n S 由n
n n
a c 2n 1
b =
=-得：n 1n n a 2n 1b 2n 13()()+=-=-? ④ 故数列{}n a 前n 项和n S 为：
0123n 1n S 133353732n 13...()-=?+?+?+?++-? ⑤ 1234n n 3S 133353732n 13...()=?+?+?+?++-? ⑥
由⑤-⑥得：0123n 1n n 2S 132********n 13...()--=?+?+?+?++?--?
0123n 10n 233333132n 13(...)()-=?+++++-?--?
n
0n 1323132n 1313
()()-=??-?--?-
n n 3112n 13()()=----? n 22n 23()=---
故：n n S n 131()=-?+
本题答案：⑴ n c 2n 1=-；⑵ n n S n 131()=-?+.
本题第⑵问，网上由好多都写错，写成n 1n b 3+=，应更正为：n 1n b 3-=.
53、[江西18] 已知函数2f x x bx b ()(=++b R ∈）.
⑴当b 4=时，求f x ()的极值；
⑵若f x ()在区间1
03
(,)上单调递增，求b 的取值范围.
[解析] ⑴ 当b 4=时，求f x ()的极值
此时函数为：2f x x 4x 4x 2()(()=++=+ ① 函数的定义域为：1x 2
<
令：t x 2=+，则：x t 2=-，代入①式得：
f t t t 2
()==
② 由均值不等式n n A G ≥得：1
2
22222
2222255a b c d e a b c d e abcde 5()()++++≥=
2
5≥
即：2
510t 5(≥，即：5
2t 2≤= ③
代入②式得：f t t 422
()=
≤= ④
由于②式中f t t 0()==≥ ⑤ 由④⑤式得本题极值为：
极大值4，在t 104t =-时得到，即：1t 2=，即：11x t 20=-=时得到； 极小值0，在t 0=时得到，即：2t 0=，即：22x t 22=-=-时得到.
⑵ 若f x ()在区间1
03
(,)上单调递增，求b 的取值范围
函数的导数由①式2f x x bx b ()(=++
2f x 2x b '()(=+
22x b 12x x bx b )()()]=
+--++
23b
x x 5
()-==-
⑥ 当f x ()在区间1
03
(,)上单调递增时，
则：f x 0'()>，即：1
f x kx x 03
'()()=--> ⑦
若保证⑦式成立，对比⑥⑦式，则⑥式中：23b 1
53
-≥ 即：69b 5-≥，即：9b 1≤，即：1b 9≤
，故：1b 9
(,]∈-∞ 本题答案：⑴ 极大值4，极小值0； ⑵ b 的取值范围 1
9
(,]-∞.
54、[江西19]如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD .
⑴求证：AB PD ⊥；
⑵若o BPC 90∠=
，PB =PC 2=，问AB 为何值时，四棱锥P ABCD -的体积最大？并求此时平面PBC 与平面DPC 夹角的余弦值.
[解析] ⑴求证：AB PD ⊥
因为ABCD 为矩形，所以AB AD ⊥；
又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，AD 为两平面的交线，
根据平面与平面垂直的性质定理：若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直
P
A B
C
D
线垂直于另一个平面.
故：AB PAD ⊥平面.
根据直线与平面垂直的定义：若一直线与一平面垂直，则此直线与该平面内的任何直线垂直.
故：AB PD ⊥. 证毕.
⑵若o BPC 90∠=
，PB =PC 2=，问AB 为何值时，四棱锥P ABCD -的体积最大？并求此时平面PBC 与平面
DPC 夹角的余弦值.
在Rt PBC ?
中，由勾股定理得：BC ==
过P 作PE AD ⊥，交AD 于E ；
过E 作EF BC ⊥，交BC 于F ；连结PF .
由三垂线定理得：AD PEF ⊥平面，即：BC PEF ⊥平面. 设AB x =，则矩形ABCD
， 由PBC 11S PB PC BC PF 22?=
??=??
得：PB PC PF BC ?== 在Rt PEF ?
中，由勾股定理得：PE ==四棱锥P ABCD -的体积为：
ABCD 111V S PE 333
=
??=?= ① 由均值不等式：22
a b ab 2+≤（当且仅当a b =时取等号）
故：226x 86x 42
()
+-≤
= ② 将②代入①式得：
P
A
B
C D
E
F
=时③式取等号，即体积V
=
则V最大时：22
6x86x
=-，即：2
6x4
=，即：2
2
x
3
=
，即：x=
故：当AB=时，四棱锥P ABCD
-的体积最大.
⑶要求此时平面PBC与平面DPC夹角的余弦值.
设111
m(,,)
αβγ
=为过E点垂直于平面PBC的向量，
设222
n(,,)
αβγ
=为过E点垂直于平面DPC的向量.
则：m FC
⊥，m PC
⊥④
而：n DC
⊥，n PD
⊥⑤
以E点为原点，以EF为x轴，以ED为y轴，以EP为z轴，建立三维直角坐标系
.
FC
3
===
，PE
3
===
则：E000
(,,)
，F00,)
，C0)
，D00
()
，P00
(,
则：FC00
3
(,)
=
，
6
PC
333
(
=-；
6
DC00
(,)
=，PD0(
=.
由④式m FC
⊥得：111
m FC000
(,,)()
αβγ
?=?=，即：10
β=；
由④式m
PC
⊥
得：111
m PC0
333
(,,)
αβγ
?=?-=
即：111
20
αβγ
+-=，即：110
αγ-=；
令11
α=，则11
γ=，故：m101
(,,)
=⑥
P
A B
C
D
E
F
由⑤式n PD ⊥
得：222n PD 00(,,)(αβγ?=?-= 即：2220βγ-=，令：21β=，则：22γ=，故：n 012(,,)= 法向量m 和n 的点乘：
2m n
m n m n
1
cos ,?<>=
=
=
=
最后一定画图，以此来决定法向量的夹角是二面角还是二面角的补角. 经画图确定，平面PBC 与平面DPC . 本题答案：⑵AB 3=
；5
. 55、[江西20] 如图，已知双曲线222
x C y 1a :
-= （a 0>）的右焦点F ,点A B ,分别在C 的两
条渐近线上，AF x ⊥轴，AB OB ⊥，BF OA ∥ (O 为坐标原点). ⑴求双曲线C 的方程；
⑵过C 上一点00P x y (,)（0y 0≠）的直线002
x x l y y 1a
:-=与直线AF 相交于点M ，与直
线
3
x 2
=
相交于点N
，证明点P 在C 上移动时，MF NF 恒为定值，并求此定值.
[解析] ⑴求双曲线C 的方程
实际上是求a . 双曲线C 的方程：
222
x y 1a -=，则右焦点F c 0(,)，其中c ==
渐近线OA 方程：x y a =
，A 点坐标：A x c =，A A x c
y a a == 渐近线OB 方程：x y a =-
，其斜率：OB 1
k a
=-
因为AB OB ⊥，所以AB 的斜率：OB
1k a k =-
=
故AB 的直线方程：A A y a x x y ()=-+ ① A> B 点在AB 直线上，故：B B A A y a x x y ()=-+ ②
同时B 点在OB 直线上，故：B
B x y a
=-
③ 联立②③得：B A A 1
a x ax y a ()+=-，即：A A B 2a ax y x 1a
()-=+ 代入③得：B A A B 2
x ax y y a 1a ()
-=-
=-+ B> 由于BF OA ∥，即其斜率相等
由于OA 1
k a
=
；B F B BF B F B y y y k x x x c -==--，
所以：A A 2B A A 2A A B A A 2
ax y y ax y 11a a ax y a x c a ax y c 1a c 1a ()
()()()--
-+===-----+-+ 即：2A A A A a ax y a ax y c 1a ()()()-=--++ 即：22A A 2a x ay c 1a ()()-=+ ④ 将A x c =，A c
y a
=
代入上式得：222a c c c 1a ()()-=+ 即：222a 11a ()-=+，即：2a 3=
故，双曲线C 的方程为：2
2x y 13
-= ⑤
而c 2===
⑵ 过C 上一点00P x y (,)（0y 0≠）的直线00x x
l y y 13
:-=与直线AF 相交于点M ，与直线3
x 2
=
相交于点N ，证明点P 在C 上移动时，MF NF 恒为定值，并求此定值.
M 点的坐标为：M x c 2==，而
0M
0M x x y y 13
-=得：0
0M 00
2x 12x 33y y 3y --==； N 点的坐标为：N 3
x 2=
，而0N 0N x x y y 13
-=得：0
0N 00
x 1x 22y y 2y --== F 点的坐标为：F x c 2==，F y 0=
P 点的坐标满足C 的方程：2200x y 13-=，即：222
000x x 3y 133
-=-=
故：00
2x 3
1MF 3y -===? ⑥
NF ==
==
=
=
=
=
⑦
由⑥和⑦得：
1MF
31NF
3
==
本题答案：⑴ 22x y 13-=；⑵
MF NF 3
=. 56、[江西21]随机将122n ,,...,(n N *∈)这2n 个连续正整数分成A B ,两组，每组n 个数，A 组最小数为1a ，最大数为2a ；B 组最小数为1b ，最大数为2b ，记21a a ξ=-,21b b η=-
⑴当n 3=时，求ξ的分布列和数学期望；
⑵令C 表示事件ξ与η的取值恰好相等，求事件C 发生的概率P C ()；
⑶对⑵中的事件C ,C 表示C 的对立事件，判断P C ()和P C ()的大小关系，并说明理由。 [解析] ⑴当n 3=时，求ξ的分布列和数学期望
当n 3=时，连续正整数为：123456,,,,,
选择3个数，3个数中的最小数1a 1≥，最大数23a 6≤≤ 则：21a a ξ=-可能的值是：2345,,,
将6个数平均分成A B ,两组的不同分法有：36654
C 20123
??=
=?? 其中，2ξ=的可能有：
共4种，故：P 2205
()ξ==
=； 其中，3ξ=的可能有：
共6种，故：P 3=2010
()ξ==
； 其中，4ξ=的可能有：
共6种，故：P 4=2010
()ξ==； 其中，5ξ=的可能有：
共4种，故：P 5205
()ξ===； 于是，ξ的分布列为：
数学期望：
13317E 23455101052
()ξ=
?+?+?+?= ⑵令C 表示事件ξ与η的取值恰好相等，求事件C 发生的概率P C ()； A> 若数组的最小数1和最大数2n 分到同一个组内时，如同在A 组， 即：1a 1=，2a 2n =，则：21a a 2n 1ξ=-=-；
那么，B 组可能的最小值是：1b 2=，可能的最大值是：2b 2n 1=- 则：21b b 2n 3η=-=- 此时，不存在ξη=.
故：数组的最小数1和最大数2n 不在同一个组内. B> 设最小数1在A 组，则最大数2n 在B 组. 此时ξη=的最小值是：n 1-
这里：1a 1=，2a n =，1b n 1=+，2b 2n =.
A B ,交换元素，则共有2种方法.
C> 当n ξη==时：1a 1=，2a n 1=+，1b n =，2b 2n =.
A B ,交换元素，则共有2种.
D>
当
n 1ξη==+时：1a 1=，2a n 2=+，1b n 1=-，2b 2n =.
上表中的空位A 和空位B 所填元素为：n 和n 1+，共有1
2C 种. 加上A B ,交换元素，则共有122C 种.
E> 当n 2ξη==+时：1a 1=，2a n 3=+，1b n 2=-，2b 2n =.
上表中4个空位所填元素为：n 1-，n ，n 1+，n 2+，共有2
4C 种. 加上A B ,交换元素，则共有242C 种.
F> 那么ξη=的最大值是多少
当1a 1=，2a 2n 1=-，1b 2=，2b 2n =时，2n 2ξη==- 此时ξη=达到最大.
因为此时2n 2n n 2()ξη==-=+-，所以有2n 2()-空位，A B ,组各填n 2-个元
素，共有n 22n 2C ()--种方法.
加上A B ,交换元素，则共有n 2
2n 22C ()--种.
G> 综上，ξη=的不同方法共有：n 2
k
2k
k 1
22C ()-=+
∑种. 而所有分组的不同方法有：n 2n C 种.
因此，事件C 发生的概率P C ()为： n 2
k 2k
k 1
n 2n
22C P C C ()()-=+
=∑ （n 3≥）
H> 当n 2=时， ξη=的不同方法有：
加上A B ,交换元素，共有4种不同方法.
1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；
（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：．
6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；
高考数学中的放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i
绝密★启用前 2014年高考全国2卷文科数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题（题型注释） 1．设集合2 {2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A B =I （ ） A ．? B ．{}2 C ．{0} D ．{2}- 2． 131i i +=-（ ） A ．12i + B ．12i -+ C ．12i - D ．12i -- 3．函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =；0:q x x =是()f x 的极值点，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件 B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 4．设向量b a ρρ,满足10||=+b a ρρ，6||=-b a ρ ρ，则=?b a ρρ（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 5．等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ） A ．(1)n n + B ．(1)n n - C ． (1)2n n + D ．(1) 2 n n - 6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件 由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积和原来毛坯体积的比值为（ ） A ． 2717 B ．95 C ．2710 D ．3 1 7．正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为23，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为 （A ）3 （B ） 3 2 （C ）1 （D 3 D 1 1 A B 1 8．执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =（ ）
2014年江西省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．（5分）是z的共轭复数，若z +=2，（z ﹣）i=2（i为虚数单位），则z=（）A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i 2．（5分）函数f（x）=ln（x2﹣x）的定义域为（） A．（0，1） B．[0，1]C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0]∪[1，+∞） 3．（5分）已知函数f（x）=5|x|，g（x）=ax2﹣x（a∈R），若f[g（1）]=1，则a=（） A．1 B．2 C．3 D．﹣1 4．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积为（） A．3 B ．C ．D．3 5．（5分）一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（） A ． B ． C ． D ． 6．（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（） 表1
表2 表3
A．成绩B．视力C．智商D．阅读量 7．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（） A．7 B．9 C．10 D．11 8．（5分）若f（x）=x2+2f（x）dx，则f（x）dx=（） A．﹣1 B．﹣ C．D．1 9．（5分）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（） A．πB．πC．（6﹣2）π D．π 10．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=11，AD=7，AA1=12．一质点从顶点A射向点E（4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第i﹣1次到第i次反射点之间的线段记为l i（i=2，3，4），l1=AE，将线段l1，l2，l3，l4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）
高考数学填空选择压轴题试题汇编（理科） 目录（120题） 第一部分函数导数(47题)······································2/23 第二部分解析几何(23题)······································9/29第三部分立体几何（11题）·····································12/31 第四部分三角函数及解三角形（10题）··························14/32 第五部分数列（10题）········································15/33 第六部分概率统计（6题）·····································17/35 第七部分向量（7题）·········································18/36 第八部分排列组合（6题）······································19/37 第九部分不等式（7题）········································20/38
第十部分 算法（2 题）··········································21/40 第十一部分 交叉部分（2 题）·····································22/40 第十二部分 参考答 案············································23/40 【说明】：汇编试题来源 河南五年高考真题5套；郑州市2011年2012年一模二模三模试题6套；2012年河南省各地市检测试题12套；2012年全国高考文科试题17套。共计40套试题.试题为每套试卷选择题最后两题，填空最后一题。 第一部分 函数导数 1.【12年新课标】（12）设点P 在曲线1 2 x y e = 上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的 最小值为( ) 2.【11年新课标】(12)函数x y -= 11 的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于( ) 3.【10年新课标】（11）()??? ??>+-≤<=10,62 1100,lg x x x x x f ，若c b a ,,均不相等，且 ()()()c f b f a f ==，则abc 的取值范围是（ ） 4.【09年新课标】（12）用{}c b a ,,m in 表示c b a ,,三个数中的最小值。设 (){}()010,2m in ≥-+=x x x x f ,则()x f 的最大值为( ) 5.【11年郑州一模】12．若定义在R 上的偶函数()(2)()f x f x f x +=满足，且当 [0,1],(),x f x x ∈=时则函数3()log ||y f x x =-的零点个数是( ) A ．多于4个 B ．4个 C ．3个 D ．2个 6.【11年郑州二模】 7.【11年郑州二模】设()x f 是R 上的奇函数，且()01=-f ，当0>x 时， () ()()021'2 <-+x xf x f x ，则不等式()0>x f 的解集为________.
放缩技巧 （高考数学备考资料） 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 1 2142的值; (2)求证:3 511 2 <∑=n k k . 解析:(1)因为 121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 112 22 2+-+-+j i j i j i
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 数学（理科） 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. z 是z 的共轭复数. 若2=+z z ，（2)(=-i z z （i 为虚数单位），则=z （ ） A. i +1 B. i --1 C. i +-1 D. i -1 2. 函数)ln()(2x x x f -=的定义域为（ ） A.)1,0( B. ]1,0[ C. ),1()0,(+∞-∞ D. ),1[]0,(+∞-∞ 3. 已知函数||5)(x x f =，)()(2R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=a （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. -1 4.在ABC ?中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若,3 ,6)(2 2 π =+-=C b a c 则ABC ?的面积（ ） A.3 B. 239 C.2 3 3 D.33 5.一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ） 6.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，泽宇性别有关联的可能性最大的变量是（ ） A.成绩 B.视力 C.智商 D.阅读量 7.阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）
A.7 B.9 C.10 D.11 8.若1 2 ()2(),f x x f x dx =+? 则1 ()f x dx =?（ ） A.1- B.13- C.1 3 D.1 9.在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线 240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ） A.4 5π B.34π C.(6π- D.54 π 10.如右图，在长方体1111ABCD A B C D -中， AB =11，AD =7，1AA =12，一质点从顶点A 射向点()4312E ，，，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将1i -次到第i 次反射点之间的线段记为()2,3,4i L i =，1L AE =，将线段1234,,,L L L L 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ） 二.选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 11(1).（不等式选做题）对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 11(2).（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为（ ） A.1,0cos sin 2πρθθθ= ≤≤+ B.1,0cos sin 4 π ρθθθ=≤≤+ C.cos sin ,02 π ρθθθ=+≤≤ D.cos sin ,04 π ρθθθ=+≤≤
高考数学压轴题集锦 1．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为(,)0F c （0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。 （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若0OP OQ ?=，求直线PQ 的方程； （3）设AP AQ λ=（1λ>），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证 明FM FQ λ=-. (14分) 2． 已知函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ，且当]2,0[∈x 时，|1|)(-=x x f 。 （1） )](22,2[Z k k k x ∈+∈时，求)(x f 的表达式。 （2） 证明)(x f 是偶函数。 （3） 试问方程01 log )(4=+x x f 是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。 3．（本题满分12分）如图，已知点F （0，1），直线L ：y=-2，及圆C ：1)3(2 2 =-+y x 。 （1） 若动点M 到点F 的距离比它到直线L 的距离小1，求动点M 的轨迹E 的方程； （2） 过点F 的直线g （3） 过轨迹E 上一点P 点P 的坐标及S
4.以椭圆2 22y a x +＝1（a ＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试 判断并推证能作出多少个符合条件的三角形. 5 已知，二次函数f （x ）＝ax 2 ＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ，其中a 、b 、c ∈R ，a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0. （Ⅰ）求证：f （x ）及g （x ）两函数图象相交于相异两点； （Ⅱ）设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围. 6 已知过函数f （x ）=12 3++ax x 的图象上一点B （1，b ）的切线的斜率为－3。 （1） 求a 、b 的值； （2） 求A 的取值范围，使不等式f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立； （3） 令()()132 ++--=tx x x f x g 。是否存在一个实数t ，使得当]1,0(∈x 时，g （x ）有 最大值1？ 7 已知两点M （－2，0），N （2，0），动点P 在y 轴上的射影为H ，︱PH ︱是2和→ → ?PN PM 的等比中项。 （1） 求动点P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线； （2） 若以点M 、N 为焦点的双曲线C 过直线x+y=1上的点Q ，求实轴最长的双曲线C 的方程。 8．已知数列{a n }满足a a a a b a a a a a a a n n n n n n +-=+=>=+设,2),0(322 11 （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设数列{b n }的前项和为S n ，试比较S n 与 8 7 的大小，并证明你的结论. 9．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称． （Ⅰ）求双曲线C 的方程； （Ⅱ）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （-2，0）及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围； （Ⅲ）若Q 是双曲线C 上的任一点，21F F 为双曲线C 的左，右两个焦点，从1F 引21QF F ∠的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程． 10. )(x f 对任意R x ∈都有.2 1)1()(= -+x f x f
由2008年江西高考理科数学最后一题说起 周湖平 年年岁岁卷相似，岁岁年年题不同。2008年是江西省高考数学自主命题的第四年，今年全省理科平均分为69.37 比去年了降了19.87，特别是理科压轴题的难度系数为0.11，属于超难题。2007年考生满面笑容，2008年考生叫苦连天。2008年的理科压轴题是一道函数与不等式的综合题，一改前两年以数列与不等式的综合题为压轴题局面，避免了老师和学生猜题压宝，具有良好的导向作用。压轴题基于公平的原则体现了试题选拔功能,其设计之新颖,立意之深隧,技巧之高难，把选拔功能体现得酣畅淋漓。本文以08年江西省高考数学理科压轴题为例谈谈自己的看法。 1考查能力好载体 题目 函数()f x ＝x +11＋a +11＋8 +ax ax ，x ∈(0，＋∞)． （1）当8a =时，求()f x 的单调区间； （2）对任意正数a ，证明：()12f x <<． 解 （1）略 （2）对任意给定的0>a ，0>x ，因为 ax a x x f 8 111111)(+++++=，若令ax b 8=，则8=abx ① b a x x f +++++=11 11 11 )( ② （一）先证1)(>x f ：因为x x +>+1111，a a +>+1111，b b +>+1111 又由x b a +++2≥8244=abx ，∴x b a ++≥6 所以 （2）.再证2)(
一、圆锥曲线中的定值问题 y2 b2＝ （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率 为m，证明2m－k为定值． y2 b2＝ 线l的方程为x＝4． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由． y2 b2＝ 过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围； （Ⅲ）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证 y2＝1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在 C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）． （Ⅰ）求双曲线C的方程；
|NF| 定值，并求此定值． 二、圆锥曲线中的最值问题 y2 b2＝ （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且A D⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值； （ii）求△OMN面积的最大值． ★★已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形． （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E， （ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标； （ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． y2 b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦 y2 b2＝1的左、右焦点分 （Ⅰ）求C1、C2的方程； （Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为A B的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形AP B Q面积的最小值．
绝密★启用前 2014 年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标 I 卷 ) 数 学(理科 ) 一．选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1.已知集合 A={ x | x 2 2x 3 0 } ， － ≤＜＝，则A B = B={ x | 2 x 2 A .[-2,-1] B .[-1,2 ） C .[-1,1] D .[1,2） (1 i )3 2. (1 i ) 2 = A .1 i B .1 i C . 1 i D . 1 i 3.设函数 f ( x) ， g( x) 的定义域都为 R ，且 f ( x) 时奇函数， g (x) 是偶函数，则下列结论正确的 是 A . f (x) g( x) 是偶函数 B .| f ( x) | g ( x) 是奇函数 C .f (x) | g( x) 是奇函数 D .|f ( x) g ( x) 是奇函数 | | 4.已知 F 是双曲线 C ： x 2 my 2 3m(m 0) 的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为 A . 3 B .3 C . 3m D . 3m 5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日 都有同学参加公益活动的概率 A . 1 B . 3 C . 5 D . 7 8 8 8 8 6.如图，圆 O 的半径为 1， A 是圆上的定点， P 是圆上的动点，角 x 的始边 为射线 OA ，终边为射线 OP ，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M ，将点 M 到直线 OP 的距 离表示为 x 的函数 f ( x) ，则 y = f ( x) 在 [0, ]上的图像大致为
历届高考数学压轴题汇总及答案 一、2019年高考数学上海卷：（本题满分18分） 已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合 {}*|,n S x x b n N ==∈． （1）若120,3 a d π ==，求集合S ； （2）若12 a π = ，求d 使得集合S 恰好有两个元素； （3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的 值． 二、2019年高考数学浙江卷：(本小题满分15分) 已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +> (Ⅰ)当34 a =-时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)对任意21[ ,)e x ∈+∞均有()2f x a ≤ 求a 的取值范围. 注： 2.71828e =为自然对数的底数.
设2 *012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=+++ +∈N .已知2 3242a a a =. （1）求n 的值； （2）设(1n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值. 四、2018年高考数学上海卷：(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”。 (1)设{}n a 是首项为1，公比为1 2 的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由； (2)设数列{}n a 的前四项为：12341,248a a a a ====,,，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ； (3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在 2132201200,,,b b b b b b ﹣﹣﹣中至少有100个为正数，求d 的取值范围．
【例1】用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝ ()()()() ()()()() , { , C A C B C A C B C B C A C A C B -≥ -< 若A＝{1,2}， B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于() A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 1.【北京市顺义区2019届高三第二次统练】已知集合，若对于， ，使得成立，则称集合是“互垂点集”．给出下列四个集合： ；；； ．其中是“互垂点集”集合的为( ) A．B．C．D． 设点是曲线上的两点，对于集合，当时，， 不成立所以集合不是“互垂点集”.对于集合，，当时，，不成立所以集合不是“互垂点集”.对于集合，当时，， 不成立，所以集合不是“互垂点集”.排除A,B,C.故选：D 2.【陕西省2019届高三第二次检测】已知集合，若对于任意，存在 ，使得成立，则称集合是“垂直对点集”.给出下列四个集合： ①② ③④
其中是“垂直对点集”的序号是________. 对于①，，即，与的值域均为，故①正确； 对于②,若满足，则，在实数范围内无解，故②不正确； 对于③ ，画出的图象，如图，直角始终存在，即对于任意，存在，使得成立，故③正确； 对于④，，取点，曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”, 故④不正确，故答案为①③. 类型二高等数学背景型临界问题 【例2】设S是实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S＝{a＋b3|a，b为整数}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S?T?R的任意集合T也是封闭集．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号) 【答案】①② 【举一反三】【湖南省衡阳市2019届高三二模】若两函数具有相同的定义域、单调区间、奇偶性、值域，
2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷） 数学试题卷（文史类） 注意事项 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的、号填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. （1）已知集合A={2-，0，2}，B={x |022 =--x x }，则A B= （A ）? （B ）{}2 （C ）{}0 （D ）{}2- （2） 131i i +=- （A ）12i + （B ）12i -+ （C ）12i - （D ）12i -- （3）函数()f x 在0x x =处导数存在．若p ：0'()0f x =；q ：0x x =是()f x 的极值点，则 （A ）p 是q 的充分必要条件 （B ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 （C ）p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 （D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 （4）设向量a ，b 满足||a b +=，||a b -= ，则a b = （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）5 （5）等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S = （A ）()1n n + （B ）()1n n - （C ） ()12 n n + （D ） ()12 n n - （6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）， 图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个 底面半径为3cm ，高为6c m 的圆柱体毛坯切削得 到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 （A ） 1727 （B ）59 （C ）1027 （D ）1 3
2014 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 英语 第二部分 英语知识运用（共两节，满分 45 分） 第一节 单项填空（共 15小题；每小题 1 分，满分 15分） 21. --- C ould I use this dictionary ? -- ____ .It 's a spare one . A. Good idea B. Just go ahead C. You 're welcome D. You 'd better not 22. They chose Tom to be ___captain of the team because they knew he was __smart leader. A. a; the B. the; the C. the; a D. a; a 23 Thanks for your directions to the house ; we wouldn 't have found it 24. -- Tony , why are your eyes red ? ---I __ up peppers for the last five minutes . A. cut B. was cutting C. had cut 25. Starting your own business could be a way to achieving financial independence .___, it could just put you in debt. A. In other words B. All in all C. As a result D. On the other hand 26. When it comes to __ in public , no one can match him . A. speak B. speaking C. being spoken D. be spoken 27. Anyway , we 're here now ,so let 's ___some serious work. A. come up with B. get down to C. do away with D. live up to 28. Among the many dangers_-- sailors have to face , probably the greatest of all is fog . A. which B. what C. where D. when 29. I don 't believe what you said , but if you can prove it , you may be able to __-me . A. convince B. inform C. guarantee D. refuse 30. Life is unpredictable ; even the poorest __become the richest . A. shall B. must C. need D. might 31. ___nearly all our money , we couldn 't afford to stay at a hotel . A. Having spent B. To spent C. Spent D. To have spent 32. ---When shall I call , in the morning or afternoon? ---- ___. I 'll be in all day . A. Any B. None C. Neither D. Either 33. It is unbelievable that Mr. Lucas Leads a simple life __his great wealth . A. without B. despite C. in D. to 34. He is thought ___foolishly .Now he has no one but himself to blame for losing the job . A. to act B. to have acted C. acting D. having acted 35. It was the middle of the night __ my father woke me up and told me to watch the football game . A. that B. as C. which D. when 第二节 完形填空（共 20 小题；每小题 1.5分，满分 30 分） 阅读下面短文，掌握其大意。然后从 36-55各题所给的四个选项中（A 、B 、C 和D ）中, 选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。 A. nowhere B. however C. otherwise D. instead D. have been cutting
2019-2020 年高考数学压轴题集锦——导数及其应用（五） 46.已知函数f ( x)x2ax 4 （ aＲ）的两个零点为x1, x2 , 设 x1 x2. （Ⅰ）当 a0 时，证明：2x1 0． （Ⅱ）若函数g (x)x2| f ( x) |在区间 (, 2)和(2,) 上均单调递增，求 a 的取值范围. 47.设函数 f ( x)2 R ）．x ax ln x （a （Ⅰ）若 a 1时,求函数 f (x)的单调区间； （Ⅱ）设函数 f ( x) 在[1 , ] 有两个零点，求实数 a 的取值范围． e e 48.已知函数 f ( x) ln( ax b) x ，g (x)x2ax ln x ． （Ⅰ）若 b 1,F ( x) f ( x) g (x) ，问：是否存在这样的负实数 a ，使得 F ( x) 在x1处存在切线且该切线与直线y 1 x 1平行，若存在，求a的值；若不存在，请说明理 23 由． （Ⅱ）已知 a 0 ，若在定义域内恒有 f (x) ln( ax b) x 0 ，求 a(a b) 的最大值．
49.设函数 f ( x) x ln x b(x 1 )2(b R)，曲线y f x在1,0处的切线与直线 2 y3x 平行．证明： （Ⅰ）函数 f ( x) 在 [1,) 上单调递增； （Ⅱ）当 0 x 1 时， f x1. 50.已知 f（ x） =a（ x-ln x）+2 x 1 ， a∈ R. x 2（I ）讨论 f（ x）的单调性； （II ）当 a=1 时，证明f（ x）＞ f’（ x） + 3 对于任意的x∈ [1,2] 恒成立。 2 2 51.已知函数f（x） =x +ax﹣ lnx， a∈ R． （1）若函数f（x）在 [1， 2]上是减函数，求实数 a 的取值范围； （2）令 g（ x） =f（ x）﹣ x2，是否存在实数a，当 x∈（ 0， e] （ e 是自然常数）时，函数g （x）的最小值是 3，若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由； （3）当 x∈（ 0， e]时，证明： e2x2－5 x＞ (x+1)ln x．2