第3章集合与关系

第3章集合与关系

集合论是现代数学的基础，它几乎与现代数学的每个分支均有联系，并且已渗透到各个科学领域。集合论的内容十分丰富，并有相应的专著论述，这里只概括介绍集合论中最基本的内容，包括:集合的基本概念；子集、全集、军集、补集等；集合的基本运算和集合代数的一些基本公式；基本计数原理等。

利用笛卡尔积及集合的一些基本关系讨论二元关系的定义及表示、关系的运算(并、交、差、补、复合、逆关系、闭包等〉、关系的基本类型，及由此导出的等价关系，集合的划分等，并讨论两种特殊的关系，相容关系和偏序关系。

一、集合的基本概念

集合是数学中没有给出精确定义的基本的数学概念，我们通常把所考查的对象的全体称为集合。其中的每个对象称为元素(或成员)，通常用大写英文字母表示集合，如:A，B，X等，用小写英文字母表示元素，如a，b，x等。

经常用到的几个集合有:

N自然数集或正整数集(有些教材用n表示非负整数集，用P表示正整数集)

Z整数集(有些教材用I表示整数集，但一般用I表示区间[0，1])

Q有理数集

R实数集

C复数集

给出一个集合的方法之一是列出集合的所有元素，元素之间用逗号隔开，并把它们用花括号括起来，例如:

N m={0，1，2，…，m-1}；P m={1，2，…，m}(有些教材表示为:Z m= {1，2，…，m})

不含任何元素的集合称为空集，用φ(或{})表示。在所讨论的问题中，涉及到的全体对象的集合称为全集，通常用U(或E)表示。空集是惟一的，但全集只能是相对惟一的，而非绝对惟一的。

集合的元素与集会之间是属于或者不属于的关系，两者必有且只有一个成立。用A∈A表示元素a属于集合A。

集合通常有两种表示方法：列举法和描述法。列举法是列出集合的所有元素，如：A={1，23}；描述法是用谓词概括该集合中元素的属性，如：B={n2|n∈N}，C={x|x∈R，且-l

集合具有几个性质:

(1)确定性。对一个具体的集合来说，其元素是确定的，一个元素或者在此集合中，或者不在此集合中，两者必居其一，这与模糊集合不同。不清晰的对象构成的集合不在本书讨论范围之内。

(2)无重复性。集合中元素彼此不同，没有重复的元素，这与后面图论中涉及的多重集合不同，那里因为特殊的原因允许有重复的元素。例如:{1，2，1}={1，2}。

(3)集合中元素无顺序。例如:{1，2，3}={2，3，1}。

(4)集合中元素是抽象的，甚至可以是集合。例如:A={1，a，{1}}。

二、子集，集合的相等

定义1 设有A，B两集合，若B中的每个元素都是A中的元素，称B是A的子集，也称B被A包含，或A包含B，记为BA。若B是A的子集，且A 中至少有一个元素不属于B，则称B为A的真子集，记为BA。

显然有：φA，AA

据定义有：

BAx∈B，有x∈A

定义2若两集合A与B包含的元素相同，称A与B相等，也解释为：若A是B的子集且B是A的子集，称A与B相等，即A=BAB且BA 定义3设A是一集合，A的所有子集构成的集合称为A的幕集，记为P(A)(或p(A)、2A)。即P(A)={B|BA}。

用|A|记为A中元素的数目，也称为集合的基数(对有限集)。显然有：|φ|=0。对于幂集，若A是有限集，则有：|P(A)|=2|A|。

三、集合的运算及其性质

定义4任意两集合A与B的并是一个集合，它由所有至少属于A或B之一的元素所构成，记为A∪B。

任意两集合A与B的交是一个集合，它由所有属于A且属于B的元素所构成，记为A∩B。

任意两集合A与B的差是一个集合，它由所有属于A但不属于B的元素

所构成，记为A-B(或A\B)，也称为B相对A的补集。

任意两集合A与B的对称差是一个集合，它由所有属于A不属于B和属于B不属于A的元素所构成。记为AB。

集合A的补集是一个集合，它由所有不属于A的元素所构成，记为

~A(或A c、A'等)，也称为A的绝对补集。

由以上定义，有：

A∪B={x|x∈A或x∈B}

A∩B={x|x∈A且x∈B}

A-B={xlx∈A且x不属于B}

AB=(A-B)∪(B-A)

~A={x|x∈U且x不属于A}

上面集合的并和交可以推广到n个集合的并和交，并和交的运算还可推广到无穷集合的情形。

集合之间相互关系和运算可以用文氏图（J o hnVenn）形象描述，它有助于我们理解相关问题，有时对解题也很有帮助。

定理2对于全集U的任意子集A，B，C，有（下面的算律在不同老板中，可能名称、性质都有所不同）：

基本特性

等幂律A∩A=A，A∪A=A

同一律A∩E=A，A∪=A

零率A∩=，A∪E=E

交换律A∩B=B∩A A∪B=B∪A

结合律(A∩B)∩C=A∩(B∩C) (A∪B)∪C=A∪(B∪C)

分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

吸收律A∪(A∩B)=A A∩(A∪B)=A

对合律~(~A)=A

~E=，~=E 排中律A∪~A=E 矛盾律A∩~A=

德.摩根律~(A∪B)=~A∩~B ~(A∩B)=~A∪~B A-B=A∩~B

A-B=A-(A∩B)

A∩(B-C)=(A∩B)-(A∩C)

若AB，则~B~A

(B-A)∪A=B

AB=BA

AA=

(AB)C=A(BC)

AB=(A∪B)-(A∩B)

A∩(BC)=(A∩B)(A∩B)

但A∪(BC)=(A∪B)(A∪C)不一定成立，如：A={1，2，3}，B= {1}，C={2}，则右边为空集，但左边为非空集。

四、基本计数原理

1.鸽巢原理(抽屉原理)

定理把n+1个物体放入n个盒子里，则至少有一个盒子里有两个或两个以上的物体。

2.容斥原理

最简单情形：

定理：设A，B均为有限集，则有：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|

有三个集合时，容斥原理的表现形式：

定理：A，B，C均为有限集，则有：

|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|

五、笛卡尔积

称为由元素a和b组成的有序对(或序偶)，其中a为第一元素，b 为第二元素，a，b可以相同。

定义5设A，B为两集合，由A中元素为第一元素，B中元素为第二元素，构成有序对，所有这样的有序对组成的集合称为A与B的笛卡

尔积(也称为直积)，记作A×B即A×B={|a∈A，b∈B}。同样可以给出n维笛卡尔积的定义。

据上面定义可知：若A或B中有一个空集，则A×B=φ。且一般来说：A×B≠B×A.

关于笛卡尔积，有下面几条性质：

定理4对任意集合A，B，C，有：

(1)A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)

(2)A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)

(3)(A∪B)×C=(A×C)∪(B×C)

(4)(A∩B)×C=(A×C)∩(B×C)

(5)若C≠，则AB(A×CB×C)(C×AC×B)

(6)设A，B，C，D为四个非空集合，则

(7)A×BC×D的充要条件为AC且BD

六、关系的定义及表示

定义6若RA×B，R称为集合A到B的关系。若∈R，也记为aRb。我们特别称A到A的关系为A上的关系，即若RA×A，则称R为A上的关系。

R为A到B的关系，R的定义域D o m(R)和值域Ran(R)定义为:

D o m(R)={x|x∈A，y∈B，∈R}

Rarl(R)={y|y∈B，x∈A，∈R}

一般说来，若|Al=m，|B|=n，则A到B共有2mn个二元关系，A上共有2m2个二元关系。

几种常见的A上的关系有：空关系φ，恒等关系I A(明确A时，简记为I)，全域关系E A等(不同的教材记法可能有所不同)。分别为：

φ={}；I A={|x∈A}；E A={|x，y∈A}

因为关系是一种集合，所以通常用来表示集合的方法自然可用来表示关系。此外，还可以用关系图或矩阵来表示，并且这两种表示更能体现关系的特点。(有些教材提到用表格表示关系的方法，其实质和用矩阵表示是一样的。)

1.用关系图表示

关系图是表示关系的一种直观形象的方法。限定A，B均为有限集，设A={x1，x2，…，x m}，B={y1，y2，…，y n}

R是A到B的二元关系。R所对应的关系图的具体做法是：首先作出m 个结点x1，x2，…，x m，再作出n个结点y1，y2，…，y n.，若x i Ry j，则自结点x i至结点y j作一有向弧，其箭头指向y j，若x i Ry j不成立，则没有线联结.

对集合A上的关系作关系图，则通常将A上的元素画成一行或适当表示在一个平面上，不必和一般的A到B的关系一样画成A到A的情形。若x i Ry j，则自结点x i至结点y j作一有向弧，其箭头指向y j，若x i Rx i，则从x i 到x i用一带箭头的小圆圈表示。

2.用关系矩阵来表示

关系矩阵是表示关系的另一种有效的方法，其优点是可以利用矩阵作为研究关系的手段，而且这样做便于计算机进行处理。

设A={x1，x2，…，x m}，B={y1，y2，…，y n}，R是A到B的二元关系，则R的关系矩阵是一个m行n列矩阵M(R)=(r ij)，其中元素r ij定义为：若x i Ry j，则r ij=1，否则r ij=0，这里i的取值为1，2，…，m，j的取值1，2，…，n.

矩阵M{R)的元素取值为0或1。这样的矩阵称为布尔矩阵。

显然，当有限集A和B的元素己按一定的次序排列，则从A到B的关系R与其对应的关系矩阵M{R)是一一对应的。

七、关系的运算

关系作为一种集合，具有集合所具有的运算如：并、交、差、补等。当然两个关系运算之后的结果仍为一个关系，即仍为某一笛卡尔积的子集，这就要求两个进行运算的关系应满足一定的前提条件，即：一般我们要求两个关系应是同一笛卡尔积的子集。

除这些基本运算外，作为一种特殊的集合，关系还具有下面的一些运算：

1.复合运算

定义7 设RX×Y，SY×Z，则R与S的复合(或合成)是一个从X到Z的关系，记为R o S，且

{|y(xRy∧ySz)}

定理1复合运算具有下面一些性质：

(1)若R:A×B，则R o I B=R，I A o R=R

(2)A，B，C，D是集合，R:A×B，S:B×C，P:C×D，则有

(R o S)o P=R o(S o P)

（3）设A为集合，RA×A，定义R n如下：

R0=IA

R1=R

R n+1=R n o R

则有R m o R n=R m+n，(R m)n=R mn，这里m，n∈N

2.逆运算

定义8设有集合A和B，RA×B，则关系{|∈R}是从B到A的关系，称为R的逆关系，记为(R c或R-1)。

注意：集合的补集和关系的逆关系是两个不同的概念。

关于复合运算的逆运算具有下面性质：

定理2设R1，R2都是从A到B的关系，则下列各式成立

（1）(R1∪R2)c=R1c∪R2c

（2）(R1∩R2)c=R1c∩R2c

(3)(A×B)c=B×A

(4)(R1-R2)c=R1c-R2c

定理3设TX×Y，SY×Z.证明:(T o S)c=S c o T c.

既然可以用矩阵来表示关系，我们也可以用矩阵来表示关系运算(并、交、差、补、复合、逆)之后的结果。首先说明一下布尔矩阵的乘

法、加法运算。

定义在{0，1}上的布尔加∨和布尔乘∧运算如下：

0∨0=0，0∨1=1，1∨0=1，1∨1=1

0∧0=0，0∧1=0，1∧0=0，1∧1=1

设A与B为两个布尔矩阵，则两矩阵的布尔加∨和布尔乘∧运算定义为对应位置上元素的布尔加和布尔乘。有下面的结论：

M(R∪S)=M(R)∨M(S)

M(R∩S)=M(R)∧M(S)

M(R o S)=M(R)*M(S)=∨k=1n(r ik∧s kj)

八、关系的基本类型

集合上的关系有5种最基本的类型，它们分别具有自反、反自反、对称、反对称、可传递特性。

定义9设R是集合A上的关系。

(1)若对所有的x∈A，必有∈R，则称R是有自反特性的，或说R是自反的。

(2)若对所有的x∈A，都有不属于R，则称R是有反自反特性的，或说R是反自反的。

(3)对任意x∈A，y∈A，若∈R，必有∈R，则称R是有对称特性的，或说R是对称的。

(4)对任意x∈A，y∈A，若∈R，且∈R，必有x=y，则称R是有反对称特性的，或说R是反对称的。

(5)对任意x∈A，y∈A，z∈A，若∈R，∈R，必有

∈R，则称R是有传递特性的，或说R是传递的。

基于上面对几个基本类型的描述，可以证明下面一些结论：

定理4设R是A上的关系，有：

（1）R是自反的I A R

（2）R是反自反的I A\cuBR=φ

（3）R是对称的R=R c

（4）R是反对称的R∩R c I A

（5）R是传递的R2R

如果用关系图来表示，则有下面结论：

(1)在关系图中，每个结点都有环，则此关系是自反的；

(2)在关系图中，每个结点都无环，则此关系是反自反的；

(3)在关系图中，任何一对不同的结点之间，或者有方向相反的两条边，或者无任何边，则此关系是对称的：

(4)在关系图中，任何一对结点之间，至多有一条边存在，则此关系是反对称的；

(5)在关系图中，任何三个结点x，y，z之间，若从x到y有一条边存在，从y到Z有一条边存在，则从x到z一定有一条边存在，那么此关系是传递的。

如果用矩阵来表示，则有下面结论：

(1)在关系矩阵中，对角线上全为1，则此关系是自反的：

(2)在关系矩阵中，对角线上全为0，则此关系是反自反的：

(3)若关系矩阵是对称矩阵，则此关系是对称的：

(4)若关系矩阵是反对称矩阵，则此关系是反对称的：

(5)在关系矩阵中，对任意的i，j，k∈{1，2，…，n}时，满足r ij=1且r jk=1，一定有r ik=1，则此关系是传递的。

关于两个具有某些特性的关系经过运算之后特性是否保持的问题，有下面一些结论：

定理6 R，S均为A上的关系，有:

(1)若R，S是自反的，则R c，R∪S，R∩R，R o S也是自反的；

(2)若R，S是反自反的，则R c，R∪S，R∩R，R-S也是反自反的；

(3)若R，S是对称的，则R c，R∪S，R∩R，R-S，~R也是对称的；

(4)若R，S是反对称的，则R c，R∩R，R-S也是反对称的；

(5)若R，S是传递的，则R c，R∩R也是传递的。

从上面定理可以看出，逆运算和交运算较好地保持了原来的性质，而复合运算和并运算则相对要差一点。有些特性没有保持，如:若R，S 是对称的，则R o S不一定对称；若R，S反对称，则R o S不一定反对称:若R，S传递，则R∪S不一定传递。希望大家能举一些没有保持特性的例子，以加深对以上结论的理解。

九、关系的闭包

关系的闭包实际上也是关系的一种运算，但由于与通常的运算有显著的不同，我们把它单独提出来。

定义10设R是集合A上的关系，则R的自反(对称、传递)闭包是A上的关系R'，它满足下面三个条件:

(1)RR'；

(2)R'是自反的(对称的，传递的)；

(3)对A上的任意关系R''，若它满足条件(1)，(2)，则必有R'R''。

分别用r(R)，s(R)，t(R)表示R的自反、对称、传递闭包。

简单来说，一个关系对应的闭包就是包含原关系的具有所求性质的一种最小的关系，有时我们也把它作为闭包的定义。

给出一个关系R，如何确定它的闭包，这是一个重要的问题。下面的定理实质上给出了这一方法。

定理7设R是非空集合A上的关系，则

(l)r(R)=R∪I A

(2)S(R)=R∪R c；

(3)T(R)=R∪R2∪R3∪…

上面第三个结论形式上是一个无限的过程，但我们实际上处理的几乎全部是有限集合。若对有限集A，设|A|=n，R是A上的关系，则有比上面简单一点的结论：

t(R)=R∪R2∪R3∪…∪R n

虽然求传递闭包有Warshall算法，但实际用得并不多。

若给出了一个关系的关系图，如何求出它对应的闭包呢?

(1)求一个关系的自反闭包，即将图中的所有无环的结点加上环；

(2)求一个关系的对称闭包，图中任何一对不同结点之间，若仅存在一条边，则加上方向相反的另一条边即可：

(3)求一个关系的传递闭包，则在图中，对任意结点a，b，c，若a到b 有一条边，同时b到c有一条边，则从a至c增加一条边(当a到c无边时)。继续这样下去，直到不能再添加边为止。

根据上面定理7和关系矩阵所对应的结论，可以计算闭包所对应的矩阵。如：

M(r(R))=M(R)∨M(I A)

M(s(R))=M(R)∨M(R)

M(t(R))=∨M(R n)

根据闭包的定义，容易证明下面结论：

定理8

(1)R是自反的r?=R

(2)R是对称的S(R)=R

(3)R是传递的T(R)=R

定理9设R，S是集合A上的关系，且有SR，则有：

r(S)(R)；S(S)s(R)；T(S)t(R)

定理10设R，S是集合A上的关系，则有:

(1)r(R∪S)=r(R)∪r(S)

(2)S(R∪S)=s(R)∪S(S)

(3)T(R)∪T(S)t(R∪S)

定理11设R是集合A上的关系。

(1)若R是自反的，则s(R)和t(R)也是自反的；

(2)若R是对称的，则r(R)和t(R)也是对称的；

(3)若R是传递的，则r(R)也是传递的。

有了上述几个定理，可以给出求包含R的具有自反、对称、传递特性的最小的关系的定理：

定理12对集合上的任意关系R，Tsr(R)是包含R并同时具有自反、对称、传递特性的最小关系。此处tsr(R)表示t(s(r(R)))。

类似地，如出现sr(R)，st(R)，rt(R)，tr(R)或ts(R)等也分别理解为

s(r(R))，s(t(R))，r(t(R))，T(r(R))，t(s(R))。

十、等价关系与集合的划分

定义11令A≠，S={S1，S2，…，S n}，其中≠S i A(i=1，2，…，n)，若∪S i=A，则称集合Ｓ为集合A的覆盖，进一步，若S i∩S j=，则称集合S是集合A的划分。

等价是一种很重要、很普遍的关系，它和集合的划分有密切的联系。

定义12对集合A上关系R，若R是自反、对称、传递的，称R为A上的等价关系。

定义13设R是集合A上的等价关系，a∈A，由A中所有与a具有关系R 的全体元素组成的A的子集，称为a关于R的等价类，记为[a]R，即：

[a]R={x|x∈A，xRa}

A关于等价类全体构成的集合，称为A关于R的商集，记为A/R，即

A/R={[a]|A∈A}

定理13设R是集合A上的等价关系，则

(l)A上关于R的每个等价类不是空集。

(2)对A中任意两个元素a和b，若aRb，则[a]R=[b]R；若aRb不成立，则

[a]R∩[b]R=φ

(3)∪a∈A[a]R=A

根据划分的定义，等价关系确定一个集合的划分，反过来，一个划分能否确定一个等价关系呢?关于等价关系与集合的划分之间的相应关系，表示为下面的定理：

定理14 设R是非空集合A上的等价关系，则商集A/R是A的一个划分；反之，对集合A的任一划分M，可确定A上的一个等价关系R，且R 所对应的商集A/R=M。

十一、相容关系与集合的覆盖

定义14设R是非空集合A上的关系，若R是自反、对称的，则称R是集合A上的相容关系。对相容关系，若ARb，则称a与b相容。

设R是集合A上的相容关系，若A的非空子集S满足：

(1)S中任意元素与S中所有元素相容：

(2)A-S中任意元素不与S中所有元素相容。

则称S是相容关系R的极大相容类。

根据覆盖与完全覆盖的定义，由非空集合A上的相容关系R所确定的极大相容类组成的集合也是A的一个覆盖，并且显然是完全覆盖，称之为由相容关系R确定的完全覆盖。

等价关系和划分之间是一一对应的，即由等价关系可以得到划分，由划分也可以得到等价关系，并且由此等价关系确定的划分即为原划分。不同的划分确定不同的等价关系。但对相容关系和完全覆盖，却没有相同的结论。虽然由完全覆盖可以得到相容关系，相容关系也可以得到完全覆盖，但两者之间并不是一一对应的。集合上不同的完全覆盖确定的相容关系可能是相同的。如：对集合A={1，2，3}，完全覆盖C= {{1，2}，{2，3}，{3，1}}确定(用和由划分来确定等价关系相同的方法)的相容关系R为：R={<1，1>，<2，2>，<3，3>，<1，2>，<2，1>，<1，3>，<3，1>，<2，3>，<3，2>}，而由相容关系R所确定的完全覆盖是{{133}}而不是C。另一方面，覆盖{{1，2，3}}也可确定相容关系R。

十二、偏序关系

偏序关系是一种特殊的二元关系，定义如下：

定义15对集合A上的关系R，若R是自反、反对称、传递的，称R为A 上的偏序关系，常用记号≤表示。A及其上的偏序关系≤合称为偏序集，记为(A，≤)。

由于偏序集本身所具备的特性，因此用图来描述偏序关系在不引起混淆时，可以将其中的一些显然的因素略去不管，其关系图可以简化。

①将图中每个结点的环略去：②图中若有有向边，，则必有有向边，将边略去③如果图中有有向边，我们总将a画在b的下方，从而a到b的箭头也省去。按此约定简化后的图，称为偏序集所对应的哈斯(Hasse)图。给定一个有限集合所对应的偏序关系，当集合中元素的数目不太多时(如不超过15个)，我们应能画出其对应的哈斯图。

与偏序相关的还有几个概念：

定义对集合A上的关系R，若R是反自反、反对称、传递的，称R为A 上的拟序关系，称(A，R)为拟序集。

定义对偏序集(A，≤)，若对任意x，y∈A，总有x≤y或y≤x，二者必居其一。则称(A，≤)为全序集(也叫线性序)。称≤为全序关系。

定义对偏序集(A，≤)，若A的任何非空子集都有最小元素，则“≤”称为良序关系，(A，≤)称为良序集。

显然良序一定是全序，反之不一定。每个有限的全序集一定是良序集，但对无限的全序集就不一定是良序集，如：[0，1]上的≤关系是全序，但不是良序。

若两个不同的元素x，y，既没有x≤y也没有y≤x，称x，y是不可比的。

下面几个定义在讨论格与布尔代数时将要用到。

定义16设偏序集(A，≤)，BA。

(1)假设B∈A，若使得对所有的x∈B，有B≤x(x≤B)，则称b为B的一个下(上)界。

(2) b是B的下界(上界)，若对B的任意下界(上界)x，有x≤b(b≤x)，称b 为B的最大下界(最小上界)，也称为下确界(上确界)。

(3) b∈B。若B中不存在满足x

(极大元)；或定义为:若对任意的x∈B，足x≤b(b≤x)，则有x=b。则称b是B的极小元(极大元)

(4) B∈B。若对B中任意元素x，有b≤x(x≤b)，则称b为B的最小元(最大元)。

显然，若BA有最大下界(最小上界)，或有最小元(最大元)，它们都是惟一的，且由定义可以知道，若B有最小元(最大元)b，则b也是B的最大下界(最小上界)。

关于上面的定义结论如下：

定理15设(A，≤)是一偏序集，B是A的子集，则

(1)若B∈B是B的最大元，则b是B的极大元、上界、上确界；

(2)若B∈B是B的最小元，则b是B的极小元、下界、下确界；

(3)若a是B的上确界，且a∈B，则a是B的最大元；

(4)若a是B的下确界，且a∈B，则a是B的最小元；

(5)若“≤”是一个全序关系，则b∈B是B的最大元B∈B是B的极大元；

(6)若“≤”是一个全序关系，则b∈B是B的最小元B∈B是B的极小元。

《集合之间的关系》参考教案

1.2.1 集合之间的关系 （一）教学目标； 1．知识与技能 （1）理解集合的包含和相等的关系. （2）了解使用Venn图表示集合及其关系. （3）掌握包含和相等的有关术语、符号，并会使用它们表达集合之间的关系. 2．过程与方法 （1）通过类比两个实数之间的大小关系，探究两个集合之间的关系. （2）通过实例分析，获知两个集合间的包含与相等关系，然后给出定义. （3）从自然语言，符号语言，图形语言三个方面理解包含关系及相关的概念. 3．情感、态度与价值观 应用类比思想，在探究两个集合的包含和相等关系的过程中，培养学习的辨证思想，提高学生用数学的思维方式去认识世界，尝试解决问题的能力. （二）教学重点与难点 重点：子集的概念；难点：元素与子集，即属于与包含之间的区别. （三）教学方法 在从实践到理论，从具体到抽象，从特殊到一般的原则下，一方面注意利用生活实例，引入集合的包含关系. 从而形成子集、真子集、相等集合等概念. 另一方面注意几何直观的应用，即Venn图形象直观地表示、理解集合的包含关系，子集、真子集、集合相等概念及有关性质.

（四）教学过程 教学环 节 教学内容师生互动设计意图 创设情境提出问题思考：实数有相关系，大小关系， 类比实数之间的关系，联想集合 之间是否具备类似的关系. 师：对两个数a、b，应有a ＞b或a = b或a＜b. 而对于两个集合A、B它们也 存在A包含B，或B包含A， 或A与B相等的关系. 类比生疑， 引入课题 概念形 成分析示例： 示例1：考察下列三组集合， 并说明两集合内存在怎样的关 系 （1）A = {1，2，3} B = {1，2，3，4，5} （2）A = {新华中学高（一）6 班的全体女生} B= {新华中学高（一）6 班 的全体学生} （3）C = {x | x是两条边相等 的三角形} D = {x | x是等腰三角形} 1．子集： 生：实例（1）、（2）的共同 特点是A的每一个元素 都是B的元素. 师：具备（1）、（2）的两个 集合之间关系的称A是B的 子集，那么A是B的子集怎 样定义呢？ 学生合作：讨论归纳子集的 共性. 生：C是D的子集，同时D 是C的子集. 师：类似（3）的两个集合称 为相等集合. 师生合作得出子集、相等两 通过 实例的共 性探究、感 知子集、相 等概念，通 过归纳共 性，形成子 集、相等的 概念. 初步 了解子集、 相等两个 概念.

集合概念与单独概念普遍概念

集合概念与单独概念、普遍概念 【作者】王心铭 【提要】集合概念与单独概念、集合概念与普遍概念之间分别表现为交叉关系要搞清它们的区别和联系首先应把握客观事物中类和分子、整体和部分、集合体和个体三种不同关系。在此基础上要把一个概念放在具体的环境中去考察才能准确判定它的类属。这样才不会在概念的使用上出现误用集合的逻辑错误。 【关键词】类、整体、集合体、集合概念 概念的逻辑分类，是根据概念的内涵和外延的不同特征给概念进行的划分。单独概念对应于普遍概念，划分根据是概念所反映的对象的数量。反映某一特定对象的概念，是单独概念其外延独一无二；反映某一类对象的概念是普遍概念，其外延最少两个。集合概念对应于非集合概念，划分根据是概念所反映的对象是否为一类事物的集合体。反映集合体的概念是集合概念，反映非集合体的概念是非集合概念。因而，每一种划分的子项之间是互相排斥的。即单独概念与普遍概念之间的关系是不相容的，集合概念和非集体概念之间也是不相容的。但是，由于它们是采用不同的根据从不同的方面对概念进行的两种划分，因此，两种划分所得的不同系列的子项之间并不互相排斥，其中集合概念与单独概念、集合概念与普遍概念之间分别表现为交叉关系。只有把握好这三种概念之间的区别和联系，对一个具体概念进行正确的归类，才能做到使用准确。

一 弄清客观事物中类与分子、整体与部分、集合体与个体三种关系是区别三种概念的根据。 客观事物中的类是许多具有相同或相似属性事物的综合，从属于类的每个对象叫做分子，属于一个类的任何分子都具有这类事物的属性并能独立存在。比如综合大学是由一所所象山东大学、山西大学、西北大学等设有文科、理科方面各种专业的大学组合而成的类，综合大学所具有的多科系的高等学校这一属性作为分子的每个具体的大学必定具有，用造句法检验时，山东大学是综合大学这样的语句必定成立。综合大学与山东大学之间就是类与分子的关系。反映类的概念和反映分子的概念在外延上表现为属种关系。 整体是由部分组成，每个单独事物都可看作一个单个整体，整体依赖部分，部分不能脱离整体而独立存在，整体所具有属性部分并不具有。比如山西大学是由山西大学组织部、山西大学后勤处、山西大学哲学系等党务、业务、行政方面许多具体部门组成，任何一个部门不可脱离山西大学而独立存在。比如离开了山西大学，也就没有山西大学哲学系。同时，这些部门也都不具有山西大学所具有的高等学校这一属性。用造句法作检验时，山西大学哲学系是大学这一语句必定不能成立，山西大学与山西大学哲学系就是整体和部分的关系。反映整体的概念和反映部分的概念在外延上表现为全异关系。 集合体是由许多同类个体有机构成的不可分割的统一体（或叫群体），这个统一体形成后，有着自己的本质属性，组成集合体的个体，虽然可以

《集合间的基本关系》教学设计(精品)

集合间的基本关系 （一）教学目标； 1．知识与技能 （1）理解集合的包含和相等的关系. （2）了解使用Venn图表示集合及其关系. （3）掌握包含和相等的有关术语、符号，并会使用它们表达集合之间的关系. 2．过程与方法 （1）通过类比两个实数之间的大小关系，探究两个集合之间的关系. （2）通过实例分析，获知两个集合间的包含与相等关系，然后给出定义. （3）从自然语言，符号语言，图形语言三个方面理解包含关系及相关的概念. 3．情感、态度与价值观 应用类比思想，在探究两个集合的包含和相等关系的过程中，培养学习的辨证思想，提高学生用数学的思维方式去认识世界，尝试解决问题的能力. （二）教学重点与难点 重点：子集的概念；难点：元素与子集，即属于与包含之间的区别. （三）教学方法 在从实践到理论，从具体到抽象，从特殊到一般的原则下，一方面注意利用生活实例，引入集合的包含关系. 从而形成子集、真子集、相等集合等概念. 另一方面注意几何直观的应用，即Venn图形象直观地表示、理解集合的包含关系，子集、真子集、集合相等概念及有关性质. （四）教学过程

图表示为： =2}. }.

备选训练题 例1 能满足关系{a ，b }?{a ，b ，c ，d ，e }的集合的数目是（ A ） A ．8个 B ．6个 C ．4个 D ．3个 【解析】由关系式知集合A 中必须含有元素a ，b ，且为{a ，b ，c ，d ，e }的子集，所以A 中元素就是在a ，b 元素基础上，把{c ，d ，e }的子集中元素加上即可，故A = {a ，b }，A = {a ， b ， c }，A = {a ，b ， d }，A = {a ，b ， e }，A = {a ，b ，c ，d }，A = {a ，b ，c ，e }，A = {a ，b ，d ，e }，A = {a ，b ，c ，d ，e }，共8个，故应选A. 例2 已知A = {0，1}且B = {x |x A ?}，求B . 【解析】集合A 的子集共有4个，它们分别是：?，{0}，{1}，{0，1}. 由题意可知B = {?，{0}，{1}，{0，1}}. 例3 设集合A = {x – y ，x + y ，xy }，B = {x 2 + y 2，x 2 – y 2，0}，且A = B ，求实数x 和y 的值及集合A 、B . 【解析】∵A = B ，0∈B ，∴0∈A . 若x + y = 0或x – y = 0，则x 2 – y 2 = 0，这样集合B = {x 2 + y 2，0，0}，根据集合元素的互异性知：x + y ≠0，x – y ≠0. ∴22 220 xy x y x y x y x y =?? -=-??+=+? （I ） 或22 220xy x y x y x y x y =?? -=+??+=-? （II ） 由（I ）得：00x y =?? =?或01x y =??=?或1 0x y =??=? 由（II ）得：00x y =?? =?或01x y =??=-?或1 0x y =??=? ∴当x = 0，y = 0时，x – y = 0，故舍去. 当x = 1，y = 0时，x – y = x + y = 1，故也舍去. ∴01x y =?? =?或0 1x y =??=-? ， ∴A = B = {0，1，–1}. 例4 设A = {x | x 2 – 8x + 15 = 0}，B = {x | ax – 1 = 0}，若B A ?，求实数a 组成的集合，并写出它的所有非空真子集. 【解析】A = {3，5}，∵B A ?，所以

2集合之间的关系

1.2 集合之间的关系 【知识解读】 1、集合与集合之间的关系： （1）子集：对于两个集合A 和B ，若集合A 中______元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集 合B 的子集，记作_______（或B A ?），读作“___________”或“B 包含A ”。 如：每个整数都是有理数，就是说：整数集中Z 的每个元素都属于有理数集Q ，即Z Q ?，同理Q R ?，即N _____Z ______Q ______R ； 注意: 任何集合都是它自身集合的子集，如A_____A 。 （2）相等的集合：对于集合A 和B ，如果______且_______，那么叫做集合A 与集合B 相等。 记作A=B ，读作“集合A 等于集合B ”。因此，如果两个集合所含的元素完全相同，那么这两个集合相等。 注意: 当A=B 时，A 一定是B 的子集，B 一定是A 的子集，即A=B ,A B B A ???。 （3）真子集：对于两个集合A ，B ，如果________，且B 中至少有一个元素不属于A ，那么 集合A 叫做集合B 的真子集，记作A ___ B 或（B _____A ），读作“A 真包于B ”或是“B 真包含A ”。由真子集的定义可见，真子集是子集关系中的特殊关系。 如：对于数集N ，Z ，Q ，R 来说，有N _____ Z _______ Q _______ R ； 注意： 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 2、有关有限集的子集个数的结论： 若集合A 是含有n 个元素的有限集，则集合A 的子集共有____________个， 集合A 的非空子集有__________个，集合A 的非空真子集有_____________个； 【例题讲解】 例1、 确定实数,x y ，使{}{}2,7,4x x y +=。 例2、确定下列每组两个集合的包含关系或相等关系； （1）{|A n n =为12的正约数 }与}{1,3,2,4,6,12B =； （2）}{ *|2,C m m k k N ==∈与{|D m m =为4的正整数倍数}。

1.1.2--集合间的基本关系教案

1.1.2 集合间的基本关系 教学目标分析： 知识目标： 1、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。 2、在具体情景中，了解空集的含义。 过程与方法：从类比两个实数之间的关系入手，联想两个集合之间的关系，从中学会观察、类比、概括和思维方法。 情感目标：通过直观感知、类比联想和抽象概括，让学生体会数学上的规定要讲逻辑顺序，培养学生有条理地思考的习惯和积极探索创新的意识。 重难点分析： 重点：理解子集、真子集、集合相等等。 难点：子集、空集、集合间的关系及应用。 互动探究： 一、课堂探究： 1、情境引入——类比引入 思考：实数有相等关系、大小关系，如55,57,53=<>，等等，类比实数之间的关系，可否拓展到集合之间的关系？任给两个集合，你能否发现每组的前后两个集合的相同元素或不同元素吗?这两个集合有什么关系？ 注意：这里可关系两个数学思想，分别是特殊到一般的思想，类比思想 探究一、观察下面几个例子，你能发现两个集合之间的关系吗？ （1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==； （2）设A 为新华中学高一（2）班全体女生组成的集合，B 为这个班全体学生组成的集合； （3）设{|}={|}C x x D x x =是两条边相等的三角形，是等腰三角形。 可以发现，在（1）中，集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素。这时，我们就说集合A 与集合B 有包含关系。（2）中集合A ,B 也有类似关系。 2、子集的概念：集合A 中任意一个元素都是集合B 的元素，记作B A ?或A B ?。图示如下符号语言：任意x A ∈，都有x B ∈。读作：A 包含于B ，或B 包含A.当集合A 不包含于集合B 时，记作：A B ? 注意：强调子集的记法和读法； 3、关于Venn 图：在数学中，我们经常用平面上封闭的曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图.这样，上述集合A 与B 的包含关系可以用右图表示 自然语言：集合A 是集合B 的子集

1.1.2集合间的基本关系练习题

1.1.2集合间的基本关系 一、选择题 1．对于集合A ，B ，“A ?B ”不成立的含义是( ) A ． B 是A 的子集 B ．A 中的元素都不是B 的元素 C ．A 中至少有一个元素不属于B D ．B 中至少有一个元素不属于A [答案] C [解析] “A ?B ”成立的含义是集合A 中的任何一个元素都是B 的元素．不成立的含义是A 中至少有一个元素不属于B ，故选C. 2．集合M ＝{(x ，y )|x ＋y <0，xy >0}，P ＝{(x ，y )|x <0，y <0}那么( ) A ．P M B ．M P C ．M ＝P D ．M P [答案] C [解析] 由xy >0知x 与y 同号，又x ＋y <0 ∴x 与y 同为负数 ∴??? x ＋y <0 xy >0等价于??? x <0 y <0∴M ＝P . 3．设集合A ＝{x |x 2＝1}，B ＝{x |x 是不大于3的自然数}，A ?C ，B ?C ，则集合C 中元素最少有( ) A ．2个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 [答案] C [解析] A ＝{－1,1}，B ＝{0,1,2,3}， ∵A ?C ，B ?C ， ∴集合C 中必含有A 与B 的所有元素－1,0,1,2,3，故C 中至少有5个元素． 4．若集合A ＝{1,3，x }，B ＝{x 2,1}且B ?A ，则满足条件的实数x 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] C [解析] ∵B ?A ，∴x 2∈A ，又x 2≠1 ∴x 2＝3或x 2＝x ，∴x ＝±3或x ＝0.故选C. 5．已知集合M ＝{x |y 2＝2x ，y ∈R }和集合P ＝{(x ，y )|y 2＝2x ，y ∈R }，则两个集合间的

§1.1集合的概念及其关系

§1.1集合的概念及其关系 能力目标： 知识梳理： 1.【基础+中等+培优】集合的概念 ①集合：把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 元素与集合的关系

②只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 ③常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . （知识点讲法：举例子解释元素的确定性，例如：2班中个子比较高的学生和2班中身高大 于1.7米的学生，用{1，2，3}和{3,2,1}来解释无序性，并解释集合相等） 2.【基础+中等+培优】集合的表示方法： ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （知识点讲法：举例子说明，描述法一定要强调“|”，例如{x| }{ y| }来解释注意观察“|” 符号前边的元素区别） 3.【基础+中等+培优】集合间的基本关系 ①子集： 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素， 则称集合A 是集合B 的子集。记作B A ?. ②真子集：如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. ③空集： 把不含任何元素的集合叫做 空集.记作：?.并规定：空集合是任何集合的子集. ④如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子集，21n -个真子集,非空子集21n -， 非空真子集22n -. . （知识点讲法:①举例子解释，例如用集合A={1,2,3,4,5}，B={1,2,3}，C={1,2,3,4}，D={5,4,3,2,1}，B ，C,D,都是集合A 的子集，其中B ，C 是A 的真子集，D=A ②把集合A 的所有子集和真子集写出来）

集合间的基本关系试题(含答案)

一、选择题 1．对于集合A ，B ，“A ?B ”不成立的含义是( ) A ． B 是A 的子集 B ．A 中的元素都不是B 的元素 C ．A 中至少有一个元素不属于B D ．B 中至少有一个元素不属于A [答案] C [解析] “A ?B ”成立的含义是集合A 中的任何一个元素都是B 的元素．不成立的含义是A 中至少有一个元素不属于B ，故选C. 2．集合M ＝{(x ，y )|x ＋y <0，xy >0}，P ＝{(x ，y )|x <0，y <0}那么( ) A ．P M B ．M P C ．M ＝P D ．M P [答案] C [解析] 由xy >0知x 与y 同号，又x ＋y <0 ∴x 与y 同为负数 ∴??? x ＋y <0xy >0等价于????? x <0y <0∴M ＝P . 3．设集合A ＝{x |x 2＝1}，B ＝{x |x 是不大于3的自然数}，A ?C ，B ?C ，则集合C 中元素最少有( ) A ．2个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 [答案] C [解析] A ＝{－1,1}，B ＝{0,1,2,3}， ∵A ?C ，B ?C ， ∴集合C 中必含有A 与B 的所有元素－1,0,1,2,3，故C 中至少有5个元素． 4．若集合A ＝{1,3，x }，B ＝{x 2,1}且B ?A ，则满足条件的实数x 的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] C

[解析] ∵B ?A ，∴x 2∈A ，又x 2≠1 ∴x 2＝3或x 2＝x ，∴x ＝±3或x ＝0.故选C. 5．已知集合M ＝{x |y 2＝2x ，y ∈R }和集合P ＝{(x ，y )|y 2＝2x ，y ∈R }，则两个集合间的关系是( ) A ．M P B ．P M C ．M ＝P D ．M 、P 互不包含 [答案] D [解析] 由于两集合代表元素不同，因此M 与P 互不包含，故选D. 6．集合B ＝{a ，b ，c }，C ＝{a ，b ，d }；集合A 满足A ?B ，A ?C .则满足条件的集合A 的个数是( ) A ．8 B ．2 C ．4 D ．1 [答案] C [解析] ∵A ?B ，A ?C ，∴集合A 中的元素只能由a 或b 构成．∴这样的集合共有22＝4个． 即：A ＝?，或A ＝{a }，或A ＝{b }或A ＝{a ，b }． 7．设集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z }，则( ) A ．M ＝N B ．M N C ．M N D ．M 与N 的关系不确定 [答案] B [解析] 解法1：用列举法，令k ＝－2，－1,0,1,2…可得 M ＝{…－34，－14，14，34，54…}， N ＝{…0，14，12，34，1…}， ∴M N ，故选B. 解法2：集合M 的元素为：x ＝k 2＋14＝2k ＋14(k ∈Z )，集合N 的元素为：x ＝k 4 ＋12＝k ＋24(k ∈Z )，而2k ＋1为奇数，k ＋2为整数，∴M N ，故选B. [点评] 本题解法从分式的结构出发，运用整数的性质方便地获解．注意若

集合的概念与关系练习题.(精选)

集合的概念与关系练习题 1．集合{x ∈N ＋|x －3<2}用列举法可表示为 ( ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4} C ．{0,1,2,3,4,5} D ．{1,2,3,4,5} 2．给出下列几个关系，正确的个数为 ( ) ①3∈R ；②0.5D ∈/Q ；③0∈N ；④－3∈Z ；⑤0∈N ＋. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．下列集合中，结果是空集的是 ( ) A ．{x ∈R |x 2－1＝0} B ．{x |x ＞6或x ＜1} C ．{(x ，y )|x 2＋y 2＝0} D ．{x |x ＞6且x ＜1} 4．将集合????? (x ，y )|??? ??? ??? ?x ＋y ＝52x －y ＝1表示成列举法，正确的是 ( ) A ．{2,3} B ．{(2,3)} C ．{(3,2)} D ．(2,3) 5．下列集合中，不同于另外三个集合的是 ( ) A ．{x |x ＝1} B ．{y |(y －1)2＝0} C ．{x ＝1} D ．{1} 6．下列正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的Venn 图是 ( )

7．若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 8．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为( ) A ．2 B ．3 C ．0或3 D ．0,2,3均可 9．集合M ＝{(x ，y )|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }是 ( ) A ．第一象限内的点集 B ．第三象限内的点集 C ．第四象限内的点集 D ．第二、四象限内的点集 10．下列命题：①空集无子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A ??，则A ≠?.其中正确的有 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 11．集合M ＝{x |x ＝3k －2，k ∈Z }，P ＝{y |y ＝3n ＋1，n ∈Z }，S ＝{z |z ＝6m ＋1，m ∈Z }之间 的关系是 ( ) A ． S P M ?? B ． S P M =? C ．S P M ?= D ． P M S =? 12．由下列对象组成的集体属于集合的是________．(填序号) ①不超过π的正整数； ②本班中成绩好的同学； ③高一数学课本中所有的简单题； ④平方后等于自身的数． 13．设a ，b 都是非零实数，y ＝a |a |＋b |b |＋ab |ab | 可能取的值组成的集合是________． 14．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a . 15．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}．若B ?A ，则实数m ＝________. 16．如果有一集合含有三个元素1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________． 17．已知集合A ＝{x |1＜x ＜2}，B ＝{x |x ＜a }，若A B ?，则实数a 的取值范围是________．

1.2 集合之间的关系(含答案)

【课堂例题】 例1.设,,A B C 是三个集合，若A B ?且B C ?，试证A C ?. 例2.试判定下列两个集合的包含关系或相等关系并简述理由. (1)? {|23}x x -<<-; (2){|5}x x > {|6}x x >； (3){|n n 是12的正约数} {1,2,3,4,6,8,12}； (4){|n n 是4的正整数倍} {|2,}n n k k Z + =∈. 例3.求出所有符合条件的集合C (1){1,2,3}C ?; (2){,}C a b ü; (3){1,2,3}{1,2,3,4,5}C ?ü. (选用)例4.已知{|21,},{|A x x k k Z B x x ==+∈=是被4除余3的整数},判断,A B 之间的关系并证明之. .

【知识再现】 1.对于两个集合A 与B , (1)如果 ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作________或________，读作 或者_________________； (2)如果A 是B 的子集并且___________________________________，那么集合A 与集合B 相等，记作 ； (3)如果A 是B 的子集并且___________________________________，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作____________或______________. 2.空集?是__________________的子集；空集?是__________________的真子集. 【基础训练】 1.(1)下列写法正确的是（ ） （A ）{0}?ü （B ）0?ü （C ）{0}?∈ （D ）0∈? (2)下列四个关于空集的命题中：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A ??≠，则.A ≠? 其中正确的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 2.用恰当的符号填空(,,=??) (1){1,3,5} {5,1,3}; (2){|(3)(2)0}x x x -+= 3{| 0}3 x x x -=+; (3){|2}x x > {|2}x x ≥; (4){|,}2n x x n Z =∈ 1{|,}2 x x n n Z =+∈. 3.(1)已知2{,}{2,2}x y x x =，则x = ，y = . (2)2{1,3,}{1,}x x ?，则实数x ∈ . 4.指出下列各集合之间的关系，并用文氏图表示： {|A x x =是平行四边形}，{|B x x =是菱形}, {|C x x =是矩形},{|D x x =是正方形} 5.类比“?”、“?≠”的定义，请给出符号“?”的定义： 如果 ，则称集合A 不是集合B 的子集，用符号“A B ?”表示，读作“A 不包含于B ”. 6.已知集合M 满足{0,1,2,3,4}M ?且{0,2,4,8}M ?， 写出所有符合条件的集合M . 7.已知2 {1},{|30}A B x x x a ==-+=, ①若A B ü，求实数a 的值;②是否存在实数a 使得A B =？

第一节集合的概念和表示及关系练习题

第一章集合与函数 第一节集合的概念及表示方法练习题 一、选择题 1.已知A＝{x|3－3x>0}，则下列各式正确的是( ) A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．－1?A 2.下列四个集合中，不同于另外三个的是( ) A．{y|y＝2} B．{x＝2} C．{2} D．{x|x2－4x＋4＝0} 3.用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( ) A.{1,1} B.{1} C.{x＝1} D.{x2－2x＋1＝0} |－5≤x≤5}，则必有 ( ) 4.已知集合A＝{x∈N ＋ A. －1∈A B.0∈A C. 3∈A D.1∈A 5.集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 小于等于1 6.已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为 ( ) A. 2 B. 2或4 C. 4 D. 0 7．下列各组对象 ①接近于0的数的全体； ②比较小的正整数全体； ③平面上到点O的距离等于1的点的全体； ④正三角形的全体； ⑤2的近似值的全体． 其中能构成集合的组数有( ) A．2组B．3组 C．4组D．5组 8．设集合M＝{大于0小于1的有理数}， N＝{小于1050的正整数}， P＝{定圆C的内接三角形}， Q＝{所有能被7整除的数}， 其中无限集是( ) A．M、N、P B．M、P、Q C．N、P、Q D．M、N、Q

9．下列命题中正确的是( ) A ．{x ｜x 2＋2＝0}在实数范围内无意义 B ．{(1，2)}与{(2，1)}表示同一个集合 C ．{4，5}与{5，4}表示相同的集合 D ．{4，5}与{5，4}表示不同的集合 10．直角坐标平面内，集合M ＝{(x ，y )｜xy ≥0，x ∈R ，y ∈R }的元素所对应 的点是( ) A ．第一象限内的点 B ．第三象限内的点 C ．第一或第三象限内的点 D ．非第二、第四象限内的点 11．已知M ＝{m ｜m ＝2k ，k ∈Z }，X ＝{x ｜x ＝2k ＋1，k ∈Z }， Y ＝{y ｜y ＝4k ＋1，K ∈Z }，则( ) A ．x ＋y ∈M B ．x ＋y ∈X C ．x ＋y ∈Y D ．x ＋y ?M 12．下列各选项中的M 与P 表示同一个集合的是( ) A ．M ＝{x ∈R ｜x 2＋0.01＝0}，P ＝{x ｜x 2＝0} B ．M ＝{(x ，y )｜y ＝x 2＋1，x ∈R }，P ＝{(x ，y )｜x ＝y 2＋1，x ∈R } C ．M ＝{y ｜y ＝t 2＋1，t ∈R }，P ＝{t ｜t ＝(y －1)2＋1，y ∈R } D ．M ＝{x ｜x ＝2k ，k ∈Z }，P ＝{x ｜x ＝4k ＋2，k ∈Z } 二、填空题 13．下列关系中，正确的个数为________． ①12 ∈R ； ② 2 ?Q ； ③|－3|?N *； ④|－3|∈Q . 14.已知M ＝{x|x ≤22}，且a ＝32，则a 与M 的关系是 . 15.已知P ＝{x|2＜x ＜a ，x ∈N }，已知集合P 中恰有3个元素，则整数a ＝ . 16．由实数x ，－x ，｜x ｜所组成的集合，其元素最多有______个． 17．集合{3，x ，x 2－2x }中，x 应满足的条件是______． 18．对于集合A ＝{2，4，6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是______． 19．用符号∈或?填空： ①1______N ，0______N ．－3______Q ，0.5______Z ，2______R ． ② 2 1______R ，5______Q ，｜－3|______N ＋，｜－3｜______Z ． 20．若方程x 2＋mx ＋n ＝0(m ，n ∈R )的解集为{－2，－1}，则m ＝_____，n ＝_____． 21．若集合A ＝{x ｜x 2＋(a －1)x ＋b ＝0}中，仅有一个元素a ，则a ＝___，b ＝___． 22．方程组?? ???=+=+=+321x z z y y x 的解集为______． 23．已知集合P ＝{0，1，2，3，4}，Q ＝{x ｜x ＝ab ，a ，b ∈P ，a ≠b }，用列举 法表示集合Q ＝______． 24．用描述法表示下列各集合： ①{2，4，6，8，10，12} ． ②{2，3，4}______________________________________________．

集合间的基本关系练习题

集合间的基本关系 姓名：__ __________ 一、 选择题 1.集合}{Z x x x A ∈<≤=且30的真子集 的个数为 （ ） A.5 B.6 C.7 D.8 2.已知集合}{{x B x x A =<<-=,21 }1 0< B. B A ? C. A B D. B A 3.已知}13,2,1{2--=a a M ，}3,1{=N ,若a M N M 则且,3?∈的取值为 （ ） A.1 B.4 C.-1或-3 D.-4或1 4.已知集合???∈???==Z k k x x A ,3， = B ? ? ?∈???=Z k k x x ,6,则 （ ） A. A B B. B A C.B A = D. A 与B 关系不确定 5.满足M a ?} {的集合},,,{d c b a M 共 有 （ ） A.6个 B.7个 C.8个 D.15个 6. 已 知 集 {}} {a x x B x x A <=<<=,21，满足 A B ，则 （ ） A.2≥a B. 1≤a C.1≥a D. 2≤a 二、 填空题 1.集合A 中有m 个元素，若在A 中增加一个元素，则它的子集增加的个数为____ 2.设} 1,1{},,3,1{2+-==a a B a A 若 B A ，则a 的取值为__ __________. 3.已知集合{ }1 2==x x P ，集合{x Q = }1=ax ，若P Q ?,则a 的取值______ . 4 设 {}= ==∈B x y y x A R y x ,),(,,? ??=???1),(x y y x ， 则B A 间的关系为____ 5.已知集合 }{ {x B x x x A =>-<=,51或}4 +<≤a x a ，若 B A ，则实数a 的 取值范围是____________ 三、 解答题 1. 设 集合}{{ ax x x B x x A -==-=2 ,01} 02=-，若B A ?，求a 的值. 2.若集合{ }==-+=N x x x M ,062 }{0))(2(=--a x x x ，且N M ?,求实数 a 的值.

集合之间的关系练习题

~ 集合之间的关系 1.集合{}1,2,3的真子集共有（ ） A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 2.下列各式中，正确的是（ ） A.{}22≤x x ? B.{}21且x x x >< C.{}{}41,21,x x k k x x k k =±∈≠=+∈Z Z D.{}{}31,32,x x k k x x k k =+∈==-∈Z Z 3.下列八个关系式①{}0=?；②0?=；③{}?=?； ④{}?∈?；⑤{}0??；⑥0??；⑦{}0?≠；⑧{}?≠?其中正确的个数（ ） ( A.4 B.5 C.6 D.7 4.下列语句：（1）0与{}0表示同一个集合；（2）由1,2,3组成的集合可表示为{}1,2,3或{}3,2,1；（3）集合{}45x x <<是有限集，正确的是（ ） A.只有（1） B.只有（2）和（3） C.只有（2） D.以上语句都不对 5.给出下列关系：（1）12=R ；（2Q ；（3）3-?+N ；（4）Q .其中正确的个数为（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.下列关系：（1）{}0是空集；（2）若a ∈N ，则a -?N ；（3）集合{} 2210A x x x =∈-+=R ；（4）集合{} 6B x x =∈∈Q N ，其中正确的个数为（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 7.下列四个命题：（1）空集没有子集；（2）空集是任何一个集合的真子集；（3）空集的元素个数为零； : （4）任何一个集合必有两个或两个以上的子集.其中正确的有（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 8.已知集合{}3,A x x k k ==∈Z ，{}6,B x x k k ==∈Z , 则A 与B 之间最适合的关系是（ ） A.A B ? B.A B ? C.A B D.A B

元素与集合之间的基本关系

元素与集合之间的基本 关系 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

第一课 元素与集合之间的关系 一、考点 1、集合、元素 某些指定的对象集在一起就成为一个集合（常用大写字母表示），其中每一个对象叫做元素（常用小写字母表示）。 元素三要素：确定性、互异性、无序性。 2、集合与元素之间的关系 （1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记做a ∈A 。 （2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记做a ?A 。 3、集合的表示法：列举法、描述法。 4、集合的分类：空集、有限集、无限集 5、常用数集 实数集：R 有理数集：Q 整数集：Z 自然数集：N 正整数集：*N 或+N 6、集合与集合之间的关系 7、集合之间的运算 二、典型例题 1、已知集合A={x||x|≤2，x ∈R}，B={x|x ≤4，x ∈Z}，则A B=（） A 、（0,2） B 、[0,2] C 、{0,2} D 、{0,1,2} 2、设P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{4,5,6,7,8}，定义P*Q ＝{(a ，b)|a ∈P ，b ∈Q ，a ≠b}，则P*Q 中元素的个数为( ) A ．4 B ．5 C ．19 D ．20 3、已知集合A={（x ，y ）|x ，y 为实数，且1y x 22=+}，B={（x ，y ）|x ，y 为实数，且 y=x}，则A B 的元素个数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 4、设集合{}R A ∈<=x 1a -x x ，，{} R B ∈>=x 2b -x x ，，若B A ?，则实数a ，b 必满足（ ） A 、3b a ≤+ B 、3b a ≥+ C 、3b -a ≤ D 、3b -a ≥

集合与集合之间的关系

课时1 集合与集合之间的关系（第一课时） 一、高考考纲要求 1．理解交集、并集的概念. 2．理解补集的概念，了解全集的意义. 3．会用交集、并集、补集正确地表示一些简单的集合. 二、高考考点回顾 1．集合的概念 （1）集合的概念：我们把研究对象统称为，把一些元素组成的总体叫做 (简称为集). （2）集合的分类：根据集合中元素的多少，可以分为三类：有限集、无限集、空集. （3）元素与集合之间的关系：若a是集合A的元素，记作；若b不是集合A的元素，记作； （4）元素的特征：①、②、③ . （5）常用数集及其记法：自然数集，记作N；正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z； 有理数集，记作Q；实数集，记作R. 2．集合有三种表示方法： 3．集合之间的关系： （1）对于两个集合A和B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的，记作或 . （2）如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于集合A，那么集合A叫做集合B的，记作或 . （3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A?B且B?A，则称集合A等于集合B，记作； 简单性质：①A?A；②??A；③若A?B，B?C，则A?C. 4．空集 空集是指的集合，它是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集.记作?. 5．有限集的子集、真子集的个数 若集合A中含有n个元素的集合，则集合A有个子集（其中个真子集）.

课时1 集合与集合之间的关系（第二课时） 三、课前检测 1．已知集合{,,}S a b c =中的三个元素是ABC ?的三边长，那么ABC ?一定不是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 2．集合8{|,}3M y Z y x Z x =∈= ∈+的元素的个数是（ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个 3． 已知集合2{|320}M x x x =+->，{|}N x x a =>，若M N ?，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[3,)+∞ B ．(3,)+∞ C ．(,1]-∞- D ．(,1)-∞- 4．已知集合2{|32,}M x x a a a R ==-+∈，2{|,}N x x b b b R ==-∈，则M 、N 的关系是（ ） A ．M N ≠? B ．M N ≠? C ．M N = D ．不确定 5．已知集合{1,3,21}A m =--，集合2{3,}B m =，若B A ?，则实数m = 6.(2016·新课标全国Ⅰ,1)设集合A ＝{1,3,5,7},B ＝{x |2≤x ≤5},则A ∩B ＝( ) A.{1,3} B.{3,5} C.{5,7} D.{1,7} 7.(2016·新课标全国Ⅱ,1)已知集合A ＝{1,2,3},B ＝{x |x 2<9},则A ∩B ＝( ) A.{－2,－1,0,1,2,3} B.{－2,－1,0,1,2} C.{1,2,3} D.{1,2} 8.(2016·新课标全国Ⅲ,1)设集合A ＝{0,2,4,6,8,10},B ＝{4,8},则?A B ＝( ) A.{4,8} B.{0,2, 6} C.{0,2,6,10} D.{0,2,4,6,8,10}

元素与集合之间的基本关系

第一课元素与集合之间的关系 、考点 1、 集合、元素 某些指定的对象集在一起就成为一个集合（常用大写字母表示），其中每一个对 象叫做元素（常用小写字母表示）。 元素三要素：确定性、互异性、无序性。 2、 集合与元素之间的关系 （1） 如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ,记做a A 。 （2） 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ,记做a A 。 3、 集合的表示法：列举法、描述法 4、 集合的分类：空集、有限集、 5、 常用数集 实数集：R 有理数 集： 整数集：Z 自然数集： 正整数集: 6集合与集合之间的关系 7、集合之间的运算 、典型例题 o 无限集 A 、( 0,2 ) B 、[0,2] C {0,2} D 、 {0,1,2} 2、设 P = {1,2,3,4} , Q= {4,5,6,7,8}, 定义 P*Q = {(a , b)|a € 中兀素的个数为（ ) A. 4 B .5 C 19 D .20 3、已知集合A={ (x , y ) |x , y 为实数， 且x 2 y 2 1} , B={(: y=x}，则 A B 的兀素个数为（） A 、0 B 、1 C 、 2 D 、3 4、设集合A x x-a 1, x R , B x x -b 2, x R , 必满足（ ) |x , y 为实数，且 B ，则实数a , b a-b a-b 5、已知集合A Rx 2 ，集合 B x R x -m x-2 0 ，且 A B -1, n ，则m 1 已知集合 A={x||x| < 2, x R}, 3 A B P , b € Q a 工 b}，贝U P*Q x , y ) 若A a b a b 3 B={x| 、、x w 4, x Z}，则 A B=()

集合的概念与关系练习题

集合的概念与关系练习题 1.集合{x ∈N ＋|ｘ－3<２｝用列举法可表示为??? ?? ?( ) A.{0,1,２,3,4} ?? B.｛1，2,3，４} C.｛0,1,2,３，4,5} ? ?? D ．｛1,2，3,４,5} ２.给出下列几个关系,正确的个数为 ??? ( ) ①错误!∈R ；②0.5D ∈/Ｑ；③０∈Ｎ;④－3∈Z ;⑤０∈N ＋. A ．0 ?B ．１ C.2 ? D.３ 3.下列集合中,结果是空集的是? ?? ? （ ) A.｛ｘ∈R ｜x 2－1＝0｝ ?? ? B ．{x |x >６或x ＜1} C.{(x ，ｙ)|ｘ２ +y 2＝0} ?? ? D ．{x |ｘ>６且ｘ＜1｝ 4．将集合错误!表示成列举法，正确的是?? ?( ) A.{2,3｝ ???Ｂ.{（2,3)} C.｛(3，2)} ? Ｄ．（2，3） ５．下列集合中,不同于另外三个集合的是 ? ?? ? ( ） A.{x |x ＝1} B ．{y |(y －１)2＝0} C ．｛ｘ＝1｝ ?D.{1｝ 6．下列正确表示集合M ＝｛-１,0,1｝和N ＝{x |x ２ ＋x ＝0}关系的Ｖen ｎ图是 ?( ) 7.若集合A ={-1,1},B ={0,２｝，则集合{z ｜z =x +y ,x ∈A ，y ∈B ｝中的元素的个数为( ) A ．5 ? B ．4 ?C.3 ? ?Ｄ．2 8．已知集合Ａ是由0，m ,m 2-3m +2三个元素组成的集合,且2∈A ，则实数m 为( ) A.2 ? ? B.3 C.０或３ ?? D.0,2,3均可 9．集合M ＝{(x ,y )|xy ＜０,x ∈R ,y ∈R }是?? ?? ??( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C.第四象限内的点集 Ｄ．第二、四象限内的点集 10.下列命题：①空集无子集；②任何集合至少有两个子集;③空集是任何集合的真子集；④若A ??,则Ａ≠?.其中正确的有 ? ?( ) A ．0个 B.1个 ?? C.２个 ??? D.3个 1１.集合M ={x |x ＝３ｋ-2，k ∈Z ｝，P ＝{y |ｙ=3ｎ＋1,n ∈Z }，Ｓ=｛z |z ＝６m ＋1,m ∈Z }之间 的关系是?? ?? ?? ? ( ） A ． S P M ?? B ． S P M =? C ．S P M ?= D ． P M S =? １2.由下列对象组成的集体属于集合的是_＿___＿__.(填序号)