典型共点力作用下物体的平衡例题
[ ［例1]如图1所示，挡板AB 和竖直墙之间夹有小球，球的质量为m ，问当挡板与竖直墙壁之间夹角θ缓慢增加时，AB
板及墙对球压力如何变化。 极限法
[例2]如图1所示，细绳CO 与竖直方向成30°角，A 、B 两物体用跨过滑轮的细绳相连，已知物体B 所受到的重力为100N ，地面对物体B 的支持力为80N ，试求 （1）物体A 所受到的重力；
（2）物体B 与地面间的摩擦力；
（3）细绳CO 受到的拉力。
例3]如图1所示，在质量为1kg 的重物上系着一条长30cm 的细绳，细绳的另一端连着圆环，圆环套在水平的棒上可以滑动，环与棒间的静摩擦因数为0.75，另有一条细绳，在其一端跨过定滑轮，定滑轮固定在距离圆环0.5m 的地方。当细绳的端点挂上重物G ，而圆环将要开始滑动时，试问
（1）长为30cm 的细绳的张力是多少？
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（2）圆环将要开始滑动时，重物G 的质量是多少？
（3）角φ多大？ [分析]选取圆环作为研究对象，分析圆环的受力情况：圆环受到重力、细绳的张力T 、杆对圆环的支持力N 、摩擦力f 的作用。
[解]因为圆环将要开始滑动，所以，可以判定本题是在共点力作用下物体的平衡问题。由牛顿第二定律给出的平衡条件∑F x =0，∑F y =0，建立方程有
μN-Tcosθ=0，
N-Tsinθ＝0。
设想：过O 作OA 的垂线与杆交于B′点，由AO=30cm ，tgθ=， 得B′O 的长为40cm 。在直角三角形中，由三角形的边长条件得AB′=50cm，但据题述条件AB=50cm ，故B′点与滑轮的固定处B 点重合，即得φ=90°。
（1）如图2所示选取坐标轴，根据平衡条件有
Gcosθ+Tsinθ-mg=0，
Tcosθ-Gsinθ=0。
解得 T≈8N，建议收藏下载本文，以便随时我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在
（2）圆环将要滑动时，得 m G g ＝Tctgθ， m G =0.6kg 。
（3）前已证明φ为直角。 例4]如图1所示，质量为m ＝5kg 的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数
求当物体做匀速直线运动时，牵引力F 的最小值和方向角θ。 [分析]本题考察物体受力分析：
由于求摩擦力f 时，N 受F 制约，
而求F 最小值，即转化为在物理问
题中应用数学方法解决的实际问题。
我们可以先通过物体受力分析。据
平衡条件，找出F 与θ关系。进
一步应用数学知识求解极值。
[解] 作出物体m 受力分析如图2，由平衡条件。
∑F x =Fcosθ-μN=0 （1）
∑F y =Fsinθ+N-G=0 （2）
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由 cos （θ-Ф）=1 即 θ—Ф=0时
∴ Ф=30°，θ=30°
[说明] 本题中我们应用了数学上极值
方法，来求解物理实际问题，这是在高考中考察的一项重要能力。在以后解题中我们还会遇到用如：几何法、三角形法等数学方法解物理问题，所以，在我们学习物理时，逐步渗透数学思想，对解决物理问题是很方便的。但要注意，求解结果和物理事实的统一性。
[例5]如图1，A 、B 两物体质量相等，B 用细绳拉着，绳与倾角θ的斜面平行。A 与B ，A 与斜面间的动摩擦因数相同，若A 沿斜面匀速下滑，求动摩擦因数的值。
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例6、如图7，半径为R的光滑半球的正上方，离球面顶端距离为h的O点，用
一根长为l的细线悬挂质量为m的小球，小球靠在半球面上．试求小球对球面压力
的大小．
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题
[例题1]一个光滑的圆球搁在光滑的斜面和竖直的档板之间（图1），斜面和档
板对圆球的弹力随斜面倾角α
变化而变化的范围是：Array
A．斜面弹力N1变化范围是（mg，＋∞）
B．斜面弹力N1变化范围是（0，＋∞）
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C．档板的弹力N2变化范围是（0，+∞）
D．档板的弹力N2变化范围是（mg，＋∞）
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解：圆球受三个力，其中重力的大小和方向均为确定的，档板对圆球的弹力N2
的方向始终是水平的，亦为确定的。而斜面对圆球的作用力的大小和方向均在变化
中，但不论α如何变动，只要α取一个确定的值，圆球就在三力作用下处于平衡
所示：
状态，则此三力就组成一个封闭的三角形，如图2
由于0＜α＜90°，所以mg＜N1＜＋∞，0＜N2＜＋∞
解出。
[例题2]如图3所示,用两根绳子系住一重物,绳OA与天花板夹角θ不变,且
θ＞45°,当用手拉住绳OB，使绳OB由水平慢慢转向OB′过程中，OB绳所受拉力将我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在
A ．始终减少
B ．始终增大
C ．先增大后减少
D ．先减少后增大
答：[D]
解：重物受三个力，其中重力大小方向确定，OA 方向不变，OB 绳受力的大小方
向变化。在变化过程中，重物所受三力平衡，可组成一个封闭三角形，现图示如下： 从图中可很直观地得出结论。由于θ＞45°,θ+α=90°所以α＜45°,此时T OB 取得最小值。
[例题3]如图4所示，一重球用细线悬于O 点，一光滑斜面将重球支持于A 点，现将斜面沿水平面向右慢慢移动，那么细线对重球的拉力T 及斜面对重球的支持力N 的变化情况是：建议收藏下载本文，以便随时我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在
A ．T 逐渐增大，N 逐渐减小；
B ．T 逐渐减小，N 逐渐增大；
C ．T 先变小后变大，N 逐渐减小；
D ．T 逐渐增大，N 先变大后变小。
．例7、一质量为50kg 的均匀圆柱体，放在台阶旁，台阶高度
（r 为柱体半径）。柱体
最上方A 处施一最小的力F ，使柱体刚能开始以P 轴向台
阶上滚，求此最小力．
析：圆柱体不能看作质点，选其为研究对象，分析其受力如图13（a ）所示． 先将圆柱体在P 点所受的支持力N 和静摩擦
力f 合成，得到合力Q ，则圆柱体受mg 、Q 、F 三
个力作用，这三个力必为共点力，且Q 、F 二力
的合力为定值，如图13（b ）所示，显然当F 与
Q 垂直时，F 有最小值，由题给条件知，
∠OAP=30°，则：
F min =T·sin30°=mg·sin30°=250N
由以上两例可以发现，将多力问题转化为三力问题时，常先将同一接触面上的弹力和摩擦力合成，在求解时用的较多的分析思路是三力的动态平衡问题的分析思路，请读者再进一步加以体会．
（2）利用正交分解法分析求解建议收藏下载本文，以便随时
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当受力较多时，利用合成法需要几次合成才能得出结论，分析起来较繁琐．最常见的多力平衡问题就是直接建立正交坐标系，在分析物体受力后，利用正交分析法求解． 例8、如图14为一遵从胡克定律的弹性轻绳，其一端
固定于天花板上的O 点，另一端与静止在动摩擦因数恒定
的水平地面上的滑块A 相连．当绳处在竖直位置时，滑块
A 对地面有压力作用．
B 为紧挨绳的一光滑水平小钉，它到
天花板的距离BO 等于弹性绳的自然长度．现用一水平力F 作
用于A ，使它向右作直线运动．在运动过程中，作用于A 的
摩擦力
A 、逐渐增大
B 、逐渐减小
C 、保持不变
D 、条件不足，无法判断
析：取物体A 为研究对象，分析A 受力如图15，并沿水平
和竖直方向建立正交坐标系． 由于物体向右做直线运动，则y 轴方向上受力平衡，即：
T·sinθ＋N=mg
依题意，绳的拉力T=kx ，x 为弹性绳的形变量，则地面对物体的支持力
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与A 物体在B 正下方时地面对物体的支持力相同．也就是说，在物体向右运动过程中，地面对物体的支持力不变，由滑动摩擦力公式知，正确答案为C ． 解决物理问题的关键在于有正确的分析思路和解题步骤．上面我们虽然分成几种情况来讨论平衡问题，但不难发现，突破障碍后，其解题的思路和步骤是完全一样的．这就要求我们，在学习物理的平衡知识时，首先要建立一个解题的基本模式，即解题基本步骤及几种常见题型的特点，则无论在何处遇到此类问题，都能够迅速唤起基本模式，通过原型启发，迅速重视相关知识，从而顺利地解决问题．解平衡问题是这样，解决其它问题也是这样，如果我们坚持这样去做，就会达到会学、要学、乐学的高境界．
三、练习题
1．如图16，AB 为一轻质杆，BC 为一细绳，A 总通过绞链
固定于竖直墙上，若在杆上挂一重物，并使其逐渐由B 向A 移
动，试分析墙对杆A 端的作用力如何变化？
2．半径为R 的光滑球，重为G ，光滑木块，重为G ，如图
示放置．至少用多大的力F （水平力）推木块，才能使球离开
地面？木块高为h ．
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3．两根长度相等的轻绳下端是挂一质量为m 的物体，上
端分别固定在水平天花板上的M 、N 点．M 、N 两点间的距离为
S ，如图18所示．已知两绳所能承受的最大拉力均为T ，则每
根绳的长度不得短于多少？球，在图
示情形下处于静止状态，求绳对球的拉力大小及斜面给球的支持力
的大小．
5．如图20，AB 为一轻质梯子，A 端靠在光滑墙面上，B 端置于粗糙
水平面上．当重为G 的人由B 端逐渐爬上梯子的A 端时，梯子始终
没动．试分析墙对梯子的作用力与地面给梯子的作用力分别如何变化？
6．如图21，一木块质量为m ，放在倾角为θ的固定斜面上，
木块与斜面间的动摩擦因数为μ．当用水平方向的力F 推这木
块时，木块沿斜面匀速上升，则此水平推力多大？
附答案：
1
．先减小，后增大 4．T=N=10N
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5．墙对A 支持力逐渐增大，地面对B 支持力不变，静摩擦力逐渐增大． 静力学中四类极值问题的求解
最（大或小）值问题是中学物理习题中常见的题型之一，这类题型渗透在中学物理的各个部分，技巧性强，解法颇多。深入探究最值问题的解答，能有效地提高运用数学知识解决问题的能力，培养灵活性和敏捷性。
1．不等式法：
例1 无限长直电杆立于地面，与地面之间的摩擦力
足够大。如图1示，用长为L 的绳拉电杆，若所用拉力
T 恒定时，绳栓在电线杆的何处最容易拉倒？
分析与解：设绳线栓在离地h 高处，则拉力T 的力矩最大时，最容易拉倒电杆，如图1，cosθ=h/L，则T 的力矩 观察此式，
T 、L 一定，因h 2+（L 2-h 2）=L 2是一常数，故当h 2=L 2-h 2
评点：解此类问题，首先根据力的平衡列出方程，然后观察方程特征，发掘其隐含条件，若a ＞0，b ＞0,a ＋b=常数,则当a=b 时，ab 积最大。这里运用了不等式的一个重要性质（a ＋b ）/2
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2.三角函数法：
例2 重量为G的物体在水平而上作匀速运动，设物体与地
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如图2示。
分析与解：物体受共点力作用而平衡，由平衡条件得：
水平方向：Fcosθ=μN
竖直方向： N＋Fsinθ=G
解得F=μG／（cosθ＋μsinθ）
为使F最小，只需cosθ＋μsinθ最大，因为
（cosθ+μsinθ）=（cosθsinφ+cosφsinθ）/sinφ
=sin（θ+φ）/sinφ
而φ=ctg -1，故当θ=30°时，F最小，最小值为
F min=μGsinφ＝G／2。
评点：求解此类问题的一般思路是先根据物理规律求出待求量的表达式，再根
据三角函数的有界性：|sinθ|≤1或|cosθ|≤1求最值。
3．极限推理法：
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例3 如图3，用力F 推质量为M 的物体，物体与地面间的摩擦因数为μ，求外力F 与水平方向交角θ最小为多大时，无论外力F 多么大均不能使物体前进？ 分析与解：物体受共点力作用，当不动时必满足：Fcosθ≤μ（Mg ＋Fsinθ）
化简得： F （csoθ-μsinθ）≤μMg。
因为无论F 多大，上式均成立，则当F→∞时，不等式也成立，此时θ取最小值θ0因此最小角满足方程 cosθ0-μsinθ0=0，
tgθ0=1/μ，
θ0=arctg1/μ。
评点：此类题通过对关系式的推理分析、θ=θ0时F 无论多大物体都不能被推动，因而F→∞时所满足的θ角便是最小值。这是一种极限推理分析的方法。 4．矢量三角图示法
例5 一重为G 的光滑球放在倾角
为θ的斜面上，被一挡板PQ 挡住，Q 处为固定转轴，如图4示，挡板可以逐渐放平，何时球对挡板的压力最小。
分析与解：小球受重力、斜面的支持力和挡板支持力三个共点力作用而平衡。由挡板对球支持力的动态变化，可作力矢量三角形。如图5所示，由图知当挡板逐
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渐放平的过程中，斜面对球的支持力N1一直逐渐减小，而挡板对球的支持力N2将先
减小后增大，故当挡板与斜面垂直时球对挡板压力最小。
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量三角形可直观地作出判断。这是处理此类平衡问题常用的一种方法。
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物体的受力（动态平衡）分析及典型例题 受力分析就是分析物体的受力，受力分析是研究力学问题的基础，是研究力学问题的关键。 受力分析的依据是各种力的产生条件及方向特点。 一.几种常见力的产生条件及方向特点。 1.重力。 重力是由于地球对物体的吸引而使物体受到的力，只要物体在地球上，物体就会受到重力。 重力不是地球对物体的引力。重力与万有引力的关系是高中物理的一个小难点。 重力的方向：竖直向下。 2.弹力。 弹力的产生条件是接触且发生弹性形变。 判断弹力有无的方法：假设法和运动状态分析法。 弹力的方向与施力物体形变的方向相反，与施力物体恢复形变的方向相同。 弹力的方向的判断：面面接触垂直于面，点面接触垂直于面，点线接触垂直于线。 【例1】如图1—1所示，判断接触面对球有无弹力，已知球静止，接触面光滑。图a 中接触面对球 无 弹力；图b 中斜面对小球 有 支持力。 【例2】如图1—2所示，判断接触面MO 、ON 对球有无弹力，已知球静止，接触面光滑。水平面ON 对球 有 支持力，斜面MO 对球 无 弹力。 【例3】如图1—4所示，画出物体A 所受的弹力。 a 图中物体A 静止在斜面上。 b 图中杆A 静止在光滑的半圆形的碗中。 c 图中A 球光滑，O 为圆心，O ＇为重心。 【例4】如图1—6所示，小车上固定着一根弯成α角的曲杆，杆的另一端固定一个质
量为m 的球，试分析下列情况下杆对球的弹力的大小和方向：（1）小车静止；（2）小车以加速度a 水平向右加速运动；（3）小车以加速度a 水平向左加速运动；（4）加速度满足什么条件时，杆对小球的弹力沿着杆的方向。 3.摩擦力。 摩擦力的产生条件为：（1）两物体相互接触，且接触面粗糙；（2）接触面间有挤压；（3）有相对运动或相对运动趋势。 摩擦力的方向为与接触面相切，与相对运动方向或相对运动趋势方向相反。 判断摩擦力有无和方向的方法：假设法、运动状态分析法、牛顿第三定律分析法。 【例5】如图1—8所示，判断下列几种情况下物体A 与接触面间有、无摩擦力。 图a 中物体A 静止。图b 中物体A 沿竖直面下滑，接触面粗糙。图c 中物体A 沿光滑斜面下滑。图d 中物体A 静止。 图a 中 无 摩擦力产生，图b 中 无 摩擦力产生，图c 中 无 摩擦力产生,图d 中 有 摩擦力产生。 【例6】如图1—9所示为皮带传送装置，甲为主动轮，传动过程中皮带不打滑，P 、Q 分别为两轮边缘上的两点，下列说法正确的是：（ B ） A ．P 、Q 两点的摩擦力方向均与轮转动方向相反 B ．P 点的摩擦力方向与甲轮的转动方向相反， Q 点的摩擦力方向与乙轮的转动方向相同 C ．P 点的摩擦力方向与甲轮的转动方向相同， Q 点的摩擦力方向与乙轮的转动方向相反 D ．P 、Q 两点的摩擦力方向均与轮转动方向相同 【例7】如图1—10所示，物体A 叠放在物体B 上，水平地面光滑，外力F 作用于物体B 上使它们一起运动，试分析两物体受到的静摩擦力的方向。
受力分析及物体平衡典型例题解析
专练 3 受力分析 物体的平衡 、单项选择题 1．如图 1所示，质量为 2 kg 的物体 B 和质量为 1 kg 的物体 C 用轻弹簧连接并竖直地静置于水平地面上． 再将一个质 量为 3 kg 的物体 A 轻放在 B 上的一瞬间， 弹簧的弹力大 小为（取 g ＝10 m/s 2）（ ） A ．30 N C ．20 N D ．12 N 答案 C 2．（2014 ·上海单科， 9）如图 2，光滑的四分之一圆弧轨道 AB 固 定在竖直平面 内， A 端与水平面相切，穿在轨道上的小球在 拉力 F 作用下，缓慢地由 A 向 B 运动，F 始终沿轨道的切线 方向，轨道对球的弹力为 F N ，在运动过程中 （ ) A ．F 增大，F N 减小 B ．F 减小， F N 减小 C ．F 增大，F N 增大 D ．F 减小， F N 增大 解析 对球受力分析，受重力、支持力和拉力，根据共点力平 衡条件，有： F N ＝mgcos θ和 F ＝mgsin θ，其中 θ为 支 持力 F N 与竖直方向的夹角；当物体向上移动时， θ 变 大，故 F N 变小， F 变大；故 A 正确， BCD 错误． 答案 A （2014 ·贵州六校联考， 15）如图 3 所示，放在粗糙水平面 上的物体 A 上叠 放着物体 B.A 和 B 之间有一根处于压 缩状态的弹簧，物体 A 、B 均处于静止状态．下列说 法中正确的是 （ ） C ．地面对 A 的摩擦力向右 D ．地面对 A 没有摩擦力 解析 弹簧被压缩，则弹簧给物体 B 的弹力水平向左，因此物体 B 平衡 时必 受到 A 对 B 水平向右的摩擦力， 则 B 对 A 的摩擦力水平向左， 故 A 、 B ．0 3． A ．B 受到向左的摩擦力 B ．B 对 A 的摩擦力向右
典型共点力作用下物体的平衡例题 [［例1]如图1所示，挡板AB和竖直墙之间夹有小球，球的质量为m，问当挡板与竖直墙壁之间夹角θ缓慢增加时，AB板及墙对球压力如何变化。 极限法 [例2]如图1所示，细绳CO与竖直方向成30°角，A、B两物体用跨过滑轮的细绳相连，已知物体B所受到的重力为100N，地面对物体B的支持力为80N，试求 （1）物体A所受到的重力； （2）物体B与地面间的摩擦力； （3）细绳CO受到的拉力。 例3]如图1所示，在质量为1kg的重物上系着一条长30cm的细绳，细绳的另一端连着圆环，圆环套在水平的棒上可以滑动，环与棒间的静摩擦因数为0.75，另有一条细绳，在其一端跨过定滑轮，定滑轮固定在距离圆环0.5m的地方。当细绳的端点挂上重物G，而圆环将要开始滑动时，试问 .
（1）长为30cm的细绳的力是多少？ （2）圆环将要开始滑动时，重物G的质量是多少？ （3）角φ多大？ [分析]选取圆环作为研究对象，分析圆环的受力情况：圆环受到重力、细绳的力T、杆对圆环的支持力N、摩擦力f的作用。 [解]因为圆环将要开始滑动，所以，可以判定本题是在共点力作用下物体的平衡问题。由牛顿第二定律给出的平衡条件∑F x=0，∑F y=0，建立方程有 μN-Tcosθ=0， N-Tsinθ＝0。 设想：过O作OA的垂线与杆交于B′点，由AO=30cm，tgθ=，得B′O的长为40cm。在直角三角形中，由三角形的边长条件得AB′=50cm，但据题述条件AB=50cm，故B′点与滑轮的固定处B点重合，即得φ=90°。 （1）如图2所示选取坐标轴，根据平衡条件有 .
Gcosθ+Tsinθ-mg=0， Tcosθ-Gsinθ=0。 解得T≈8N， （2）圆环将要滑动时，得m G g＝Tctgθ，m G=0.6kg。 （3）前已证明φ为直角。 例4]如图1所示，质量为m＝5kg的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩 擦因数求当物体做匀速 直线运动时，牵引力F的最小值和 方向角θ。 [分析]本题考察物体受力分析： 由于求摩擦力f时，N受F制约，而 求F最小值，即转化为在物理问题 中应用数学方法解决的实际问题。 我们可以先通过物体受力分析。据平衡条件，找出F与θ关系。进一步应用数学知识求解极值。 [解]作出物体m受力分析如图2，由平衡条件。 ∑F x=Fcosθ-μN=0 （1） .
力与物体的平衡 题型一：常规力平衡问题 解决这类问题需要注意：此类题型常用分解法也可以用合成法，关键是找清力及每个力的方向和大小表示！多为双方向各自平衡，建立各方向上的平衡方程后再联立求解。 ［例1］一个质量m 的物体放在水平地面上,物体与地面间的摩擦因数为μ,轻弹簧的一端系在物体上,如图所示.当用力F 与水平方向成θ角拉弹簧时,弹簧的长度 伸长x ，物体沿水平面做匀速直线运动.求弹簧的劲度系数. ［解析］可将力F 正交分解到水平与竖直方向，再从两个方向上寻求平衡关系！水平方向应该是力F 的分力Fcos θ与摩擦力平衡，而竖直 方向在考虑力的时 候，不能只考虑重力和地面的支持力，不要忘记力F 还有一个竖直方向的分力作用！ 水平： F cos θ=μF N ① 竖直：F N ＋ F sin θ=mg ② F =kx ③ 联立解出：k = ) sin (cos θμθμ+x mg ［变式训练1］ 如图，质量为m 的物体置于倾角为θ的斜面上，先用平行于斜面的推力F 1作用于物体上，能使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑，则两次力之比F 1/F 2=? 题型二：动态平衡与极值问题 解决这类问题需要注意： （1）三力平衡问题中判断变力大小的变化趋势时，可利用平行四边形定则将其小和方向均不变的一个力，分别向两个已知方向分解，从而可从图中或用解析法判断出变力大小变化趋势，作图时应使三力作用点O 的位置保持不变． （2）一个物体受到三个力而平衡，其中一个力的大小和方向是确定的，另一个力的方向始终不改变，而第三个力的大小和方向都可改变，问第三个力取什么方向这个力有最小值，当第三个力的方向与第二个力垂直时有最小值，这个规律掌握后，运用图解法或计算法就比较容易了． ［例2］ 如图2-5-3所示，用细线AO 、BO 悬挂重力，BO 是水平的，AO 与竖直方向成α角．如果改变BO 长度使β角减小，而保持O 点不动，角α（α < 450）不变，在β角减小到等于α角的过程中，两细线拉力有何变化？ ［解析］取O 为研究对象，O 点受细线AO 、BO 的拉力分别为F 1、F 2，挂重力的细线拉力 F 3 = mg ．F 1、F 2的合力F 与F 3大小相等方向相反．又因为F 1的方向不变，F 的末端作射线平 行于F 2，那么随着β角的减小F 2末端在这条射线上移动，如图2-5-3(解)所示．由图可以看出，F 2先减小，后增大，而F1则逐渐减小． ［变式训练2］如图所示，轻绳的一端系在质量为m 的物体上，另一端系在一个圆环上，圆环套在粗糙水平横杆MN 上，现用水平力F 拉绳上一点，使物体处在图中实线位置.然后改变F 的大小使其缓慢下降到图中虚线位置，圆环仍在原来位置不动，则在这一过程中，水平拉力F 、环与横杆的摩擦力f 和环对杆的压力N 的变化情况是( ) A.F 逐渐减小，f 逐渐增大，N 逐渐减小 B.F 逐渐减小，f 逐渐减小，N 保持不变 图2-5-3
共点力平衡的几种解法 1. 力的合成、分解法：对于三力平衡，一般根据“任意两个力的合力与第三个力等大反向”的关系，借助三角函数、相似三角形等手段求解；或将某一个力分解到另外两个力的反方向上，得到的这两个分力势必与另外两个力等大、反向；对于多个力的平衡，利用先分解再合成的正交分解法。 2. 矢量三角形法：物体受同一平面内三个互不平行的力作用平衡时，这三个力的矢量箭头首尾相接，构成一个矢量三角形；反之，若三个力矢量箭头首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合力必为零，利用三角形法，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识可求得未知力。 矢量三角形作图分析法，优点是直观、简便，但它仅适于处理三力平衡问题。 3. 相似三角形法：相似三角形法，通常寻找的是一个矢量三角形与三个结构（几何）三角形相似，这一方法也仅能处理三力平衡问题。 4. 正弦定理法：三力平衡时，三个力可构成一封闭三角形，若由题设条件寻找到角度关系，则可用正弦定理列式求解。 5. 三力汇交原理：如果一个物体受到三个不平行外力的作用而平衡，这三个力的作用线必在同一平面上，而且必为共点力。 6. 正交分解法：将各力分别分解到x轴上和y轴上，运用两坐标轴上的合力等于零的条件，多用干三个以上共点力作用下的物体的平衡，值得注意的是，对“x、y方向选择时，尽可能使落在x、y轴上的力多；被分解的力尽可能是已知力。不宜分解待求力。 7. 动态作图：如果一个物体受到三个不平行外力的作用而处于平衡，其中一个力为恒力，第二个力的方向一定，讨论第二个力的大小和第三个力的大小和方向。 三. 重难点分析： 1. 怎样根据物体平衡条件，确定共点力问题中未知力的方向？ 在大量的三力体（杆）物体的平衡问题中，最常见的是已知两个力，求第三个未知力。解决这类问题时，首先作两个已知力的示意图，让这两个力的作用线或它的反向延长线相交，则该物体所受的第三个力（即未知力）的作用线必定通过上述两个已知力的作用线的交点，然后根据几何关系确定该力的方向（夹角），最后可采用力的合成、力的分解、拉密定理、正交分解等数学方法求解。 2. 一个物体受到n个共点力作用处于平衡，其中任意一个力与其余（n-1）个力的合力有什么关系？ 根据二力平衡条件，一个物体受n个力平衡可看作是任意一个力和其余（n-1）个力的合力应满足平衡条件，即任意一个力和其余（n-1）个力的合力满足大小相等、方向相反、作用在同一直线上。 3. 怎样分析物体的平衡问题 物体的平衡问题是力的基本概念及平行四边形定则的直接应用，也是进一步学习力和运动关系的基础。 （1）明确分析思路和解题步骤 解决物理问题必须有明确的分析思路．而分析思路应从物理问题所遵循的物理规律本身去探求。物体的平衡遵循的物理规律是共点力作用下物体的平衡条件：，要用该规律去分析平衡问题，首先应明确物体所受该力在何处“共点”，即明确研究对象．在分析出各个力的大小和方向后，还要正确选定研究方法，即合成法或分解法，利用平行四边形定则建立各力之间的联系，借助平衡条件和数学方法，确定结果．由上述分析思路知，解决平衡问题的基本解题步骤为： ①明确研究对象。 在平衡问题中，研究对象常有三种情况： <1> 单个物体，若物体能看成质点，则物体受到的各个力的作用点全都画到物体的几何中心上；若物体不能看成质点，则各个力的作用点不能随便移动，应画在实际作用位置上。 <2> 物体的组合，遇到这种问题时，应采用隔离法，将物体逐个隔离出去单独分析，其关键是找物体之间的联系，相互作用力是它们相互联系的纽带。 <3> 几个物体的的结点，几根绳、绳和棒之间的结点常常是平衡问题的研究对象。 ②分析研究对象的受力情况 分析研究对象的受力情况需要做好两件事：
动态规划是对最优化问题的一种新的算法设计方法。由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的没计法对不同的问题，有各具特色的表示方式。不存在一种万能的动态规划算法。但是可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行讨论，学会这一设计方法。 多阶段决策过程最优化问题 ——动态规划的基本模型 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。因此各个阶段决策的选取不能任意确定，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线。这种把一个问题看做是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题称为多阶段决策最优化问题。 【例题1】最短路径问题。图中给出了一个地图，地图中每个顶点代表一个城市，两个城市间的连线代表道路，连线上的数值代表道路的长度。现在，想从城市A到达城市E，怎样走路程最短，最短路程的长度是多少? 【分析】把从A到E的全过程分成四个阶段，用k表示阶段变量，第1阶段有一个初始状态A，两条可供选择的支路ABl、AB2；第2阶段有两个初始状态B1、 B2，B1有三条可供选择的支路，B2有两条可供选择的支路……。用dk(x k，x k+1)表示在第k阶段由初始状态x k到下阶段的初始状态x k+1的路径距离，Fk(x k)表示从第k阶段的x k到终点E的最短距离，利用倒推方法求解A到E的最短距离。具体计算过程如下： S1：K=4，有：F4(D1)=3，F4(D2)=4，F4(D3)=3 S2: K=3，有： F3(C1)=min{d3(C1,D1)+F4(D1),d3(C1,D2)+F4(d2)}=min{8,10}=8 F3(C2)=d3(C2,D1)+f4(D1)=5+3=8 F3(C3)=d3(C3,D3)+f4(D3)=8+3=11 F3(C4)=d3(C4,D3)+f4(D3)=3+3=6
3 5 知识点三：共点力平衡（动态平衡、矢量三角形法） 1．(单选)如图所示，一小球在斜面上处于静止状态，不考虑一切摩擦，如果把竖直挡板由竖直位置缓慢绕 O 点转至水平位置，则此过程中球对挡板的压力 F 1 和球对斜面的压力 F 2 的变化情况是( )．答案 B A ．F 1 先增大后减小，F 2 一直减小 B ．F 1 先减小后增大，F 2 一直减小 C ．F 1 和 F 2 都一直减小 D ．F 1 和 F 2 都一直增大 2、 （单选）(天津卷，5)如图所示，小球用细绳系住，绳的另一端固定于 O 点．现用水平力 F 缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于直线状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平， 此过程中斜面对小球的支持力 F N 以及绳对小球的拉力 F T 的变化情况是( )．答案 D A ．F N 保持不变，F T 不断增大 B ．F N 不断增大，F T 不断减小 C ．F N 保持不变，F T 先增大后减小 D ．F N 不断增大，F T 先减小后增大 3．（单选）如图所示，一光滑小球静止放置在光滑半球面的底端，用竖直放置的光滑挡板水平向右缓慢地推动小球，则在小球运动的过程中(该过程小球未脱离球面)，木板对小球的推力 F 1、半球面对小球的支持力 F 2 的变化情况正确的是( )． 答案 B A ．F 1 增大，F 2 减小 B ．F 1 增大，F 2 增大 C ．F 1 减小，F 2 减小 D ．F 1 减小，F 2 增大 4、（单选）如图所示，一物块受一恒力 F 作用，现要使该物块沿直线 AB 运动，应该再加上另 一个力的作用，则加上去的这个力的最小值为( )．答案 B A ．F cos θ B ．F sin θ C ．F tan θ D ．F cot θ 5．(单选)如图所示，一倾角为 30°的光滑斜面固定在地面上，一质量为 m 的小木块在水平力 F 的作用下静止在斜面上．若只改变 F 的方向不改变 F 的大小，仍使木块静止，则此时力 F 与水平 面的夹角为( )．答案 A A ．60° B ．45° C ．30° D ．15° 6．（多选）一铁架台放于水平地面上，其上有一轻质细线悬挂一小球，开始时细线竖直，现将水平力 F 作用于小球上，使其缓慢地由实线位置运动到虚线位置，铁架台始终保持静止，则在这 一过程中( )． 答案：AD A ．细线拉力逐渐增大 B ．铁架台对地面的压力逐渐增大 C ．铁架台对地面的压力逐渐减小 D ．铁架台所受地面的摩擦力逐渐增大 7、（多选）(苏州调研)如图所示，质量均为 m 的小球 A 、B 用两根不可伸长的轻绳连接后悬挂于 O 点，在外力 F 的作用下，小球 A 、B 处于静止状态．若要使两小球处于静止状态且悬线 OA 与竖直方 向的夹角 θ 保持 30°不变，则外力 F 的大小( )．答案 BCD A ．可能为 mg B ．可能为 mg 3 2 C ．可能为 2mg D ．可能为 mg 8、（单选）如图所示，轻绳的一端系在质量为 m 的物体上，另一端系在一个轻质圆环上，圆环套在粗糙水平杆 MN 上．现用水平力 F 拉绳上一点，使物体处于图中实线位置，然后改变 F 的大小使 其缓慢下降到图中虚线位置，圆环仍在原来的位置不动．在这一过程中，水平拉力 F 、环与杆 的摩擦力 F 摩和环对杆的压力 F N 的变化情况是( )．答案 D A ．F 逐渐增大，F 摩保持不变，F N 逐渐增大 B ．F 逐渐增大，F 摩逐渐增大，F N 保持不 变
16.简述金属固态扩散的条件。 答：⑴扩散要有驱动力——热力学条件，化学势梯度、温度、应力、电场等。 ⑵扩散原子与基体有固溶性——前提条件；⑶足够高温度——动力学条件；⑷足够长的时间——宏观迁移的动力学条件 17. 何为成分过冷？它对固溶体合金凝固时的生长形貌有何影响？ 答：成分过冷：在合金的凝固过程中，虽然实际温度分布一定，但由于液相中溶质分布发生了变化，改变了液相的凝固点，此时过冷由成分变化与实际温度分布这两个因素共同决定，这种过冷称为成分过冷。成分过冷区的形成在液固界面前沿产生了类似负温度梯度的区域，使液固界面变得不稳定。当成分过冷区较窄时，液固界面的不稳定程度较小，界面上偶然突出部分只能稍微超前生长，使固溶体的生长形态为不规则胞状、伸长胞状或规则胞状；当成分过冷区较宽时，液固界面的不稳定程度较大，界面上偶然突出部分较快超前生长，使固溶体的生长形态为胞状树枝或树枝状。所以成分过冷是造成固溶体合金在非平衡凝固时按胞状或树枝状生长的主要原因。 18. 为什么间隙固溶体只能是有限固溶体，而置换固溶体可能是无限固溶体？ 答：这是因为当溶质原子溶入溶剂后，会使溶剂产生点阵畸变，引起点阵畸变能增加，体系能量升高。间隙固溶体中，溶质原子位于点阵的间隙中，产生的点阵畸变大，体系能量升高得多；随着溶质溶入量的增加，体系能量升高到一定程度后，溶剂点阵就会变得不稳定，于是溶质原子便不能再继续溶解，所以间隙固溶体只能是有限固溶体。而置换固溶体中，溶质原子位于溶剂点阵的阵点上，产生的点阵畸变较小；溶质和溶剂原子尺寸差别越小，点阵畸变越小，固溶度就越大；如果溶质与溶剂原子尺寸接近，同时晶体结构相同，电子浓度和电负性都有利的情况下，就有可能形成无限固溶体。 19. 在液固相界面前沿液体处于正温度梯度条件下，纯金属凝固时界面形貌如何？同样条件下，单相 固溶体合金凝固的形貌又如何？分析原因 答：正的温度梯度指的是随着离开液—固界面的距离Z 的增大，液相温度T 随之升高的情况，即0>dZ dT 。在这种条件下，纯金属晶体的生长以接近平面状向前推移，这是由于温度梯度是正的，当界面上偶尔有凸起部分而伸入温度较高的液体中时，它的生长速度就会减慢甚至停止，周围部分的过冷度较凸起部分大，从而赶上来，使凸起部分消失，这种过程使液—固界面保持稳定的平面形状。固溶体合金凝固时会产生成分过冷，在液体处于正的温度梯度下，相界面前沿的成分过冷区呈现月牙形，其大小与很多因素有关。此时，成分过冷区的特性与纯金属在负的温度梯度下的热过冷非常相似。可以按液固相界面前沿过冷区的大小分三种情况讨论：⑴当无成分过冷区或成分过冷区较小时，界面不可能出现较大的凸起，此时平界面是稳定的，合金以平面状生长，形成平面晶。⑵当成分过冷区稍大时，这时界面上凸起的尖部将获得一定的过冷度，从而促进了凸起进一步向液体深处生长，考虑到界面的力学平衡关系，平界面变得不稳定，合金以胞状生长，形成胞状晶或胞状组织。⑶当成分过冷区较大时，平界面变得更加不稳定，界面上的凸起将以较快速度向液体深处生长，形成一次轴，同时在一次轴的侧向形成二次轴，以此类推，因此合金以树枝状生长，最终形成树枝晶。 20. 纯金属晶体中主要的点缺陷类型是什么？试述它们可能产生的途径？ 答：纯金属晶体中，点缺陷的主要类型是空位、间隙原子、空位对及空位与间隙原子对等。产生的途径：⑴依靠热振动使原子脱离正常点阵位置而产生。空位、间隙原子或空位与间隙原子对都可由热激活而形成。这种缺陷受热的控制，它的浓度依赖于温度，随温度升高，其平衡态的浓度亦增高。⑵冷加工时由于位错间有交互作用。在适当条件下，位错交互作用的结果能产生点缺陷，如带割阶的位错运动会放出空位。⑶辐照。高能粒子（中子、α粒子、高速电子）轰击金属晶体时，点阵中的原子由于粒子轰击而离开原来位置，产生空位或间隙原子。 21. 简述一次再结晶与二次再结晶的驱动力，并如何区分冷热加工？动态再结晶与静态再结晶后的组 织结构的主要区别是什么？ 答：一次再结晶的驱动力是基体的弹性畸变能，而二次再结晶的驱动力是来自界面能的降低。再结晶温
★★★★★高一物理培优讲义2 分析动态平衡问题 1.动态平衡问题：通过控制某一物理量，使物体的状态发生缓慢变化的平衡问题，从宏观上看，物体是运动变化的，但从微观上理解是平衡的，即任一时刻物体均处于平衡状态。 2.图解法：对研究对象进行受力分析，再根据三角形定则画出不同状态下的力的矢量图（画在同一个图中），然后根据有向线段（表示力）的长度变化判断各力的变化情况。 3.图解法分析动态平衡问题，往往涉及三个力，其中一个力为恒力，另一个力方向不变，但大小发生变化，第三个力则随外界条件的变化而变化，包括大小和方向都变化。 解答此类“动态型”问题时，一定要认清哪些因素保持不变，哪些因素是改变的，这是解答动态问题的关键 4.典型例题： 例1：半圆形支架BCD上悬着两细绳OA和OB，结于圆心O，下悬重为 G的物体，使OA绳固定不动，将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐 渐移至竖直的位置C的过程中，如图所示，分析OA绳和OB绳所受力的 大小如何变化？ 例2：如图所示，把球夹在竖直墙AC和木板BC之间，不计摩擦，球对墙的 压力为F N１，球对板的压力为F N2．在将板BC逐渐放至水平的过程中，下列 说法中，正确的是（） A．F N１和F N2都增大 B．F N１和F N2都减小 C．F N１增大，F N2减小 D．F N１减小，F N2增大 思考：1如图所示，电灯悬挂于两壁之间，更换水平绳OA使连结点 A向上移动而保持O点的位置不变，则A点向上移动时 （） A．绳OA的拉力逐渐增大； B．绳OA的拉力逐渐减小； C．绳OA的拉力先增大后减小； D．绳OA的拉力先减小后增大。 例3：如图所示，一个重为G的匀质球放在光滑斜直面上，斜面倾角为α， 在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态．今使板 与斜面的夹角β缓慢增大，问：在此过程中，球对挡板和球对斜面的压力 大小如何变化？
力的平衡经典习题 １、如图所示，两个完全相同的光滑球的质量均为ｍ,放在竖直挡板和倾角为α的固定斜面间.若缓慢转动挡板至与斜面垂直,在此过程中 Ａ.Ａ、B两球间的弹力不变 B．B球对挡板的压力逐渐减小 C．Ｂ球对斜面的压力逐渐增大D.Ａ球对斜面的压力逐渐增大 2、如图所示，不计滑轮质量与摩擦，重物挂在滑轮下,绳A端固定,将B端绳由Ｂ移到C或D(绳长不变）其绳上张力分别为T B,T C，T D，绳与竖直方向夹角θ分别为θB, θＣ, θD则 A. T B>T C>T D θB＜θC<θD B. TＢ 动态规划经典教程 引言：本人在做过一些题目后对DP有些感想，就写了这个总结： 第一节动态规划基本概念 一，动态规划三要素：阶段，状态，决策。 他们的概念到处都是，我就不多说了，我只说说我对他们的理解： 如果把动态规划的求解过程看成一个工厂的生产线，阶段就是生产某个商品的不同的环节，状态就是工件当前的形态，决策就是对工件的操作。显然不同阶段是对产品的一个前面各个状态的小结，有一个个的小结构成了最终的整个生产线。每个状态间又有关联（下一个状态是由上一个状态做了某个决策后产生的）。 下面举个例子： 要生产一批雪糕，在这个过程中要分好多环节：购买牛奶，对牛奶提纯处理，放入工厂加工，加工后的商品要包装，包装后就去销售……，这样没个环节就可以看做是一个阶段；产品在不同的时候有不同的状态，刚开始时只是白白的牛奶，进入生产后做成了各种造型，从冷冻库拿出来后就变成雪糕（由液态变成固态=_=||）。每个形态就是一个状态，那从液态变成固态经过了冰冻这一操作，这个操作就是一个决策。 一个状态经过一个决策变成了另外一个状态，这个过程就是状态转移，用来描述状态转移的方程就是状态转移方程。 经过这个例子相信大家对动态规划有所了解了吧。 下面在说说我对动态规划的另外一个理解： 用图论知识理解动态规划：把动态规划中的状态抽象成一个点，在有直接关联的状态间连一条有向边，状态转移的代价就是边上的权。这样就形成了一个有向无环图AOE网（为什么无环呢？往下看）。对这个图进行拓扑排序，删除一个边后同时出现入度为0的状态在同一阶段。这样对图求最优路径就是动态规划问题的求解。 二，动态规划的适用范围 动态规划用于解决多阶段决策最优化问题，但是不是所有的最优化问题都可以用动态规划解答呢？ 一般在题目中出现求最优解的问题就要考虑动态规划了，但是否可以用还要满足两个条件： 最优子结构（最优化原理） 无后效性 最优化原理在下面的最短路径问题中有详细的解答； 什么是无后效性呢？ 就是说在状态i求解时用到状态j而状态j就解有用到状态k…..状态N。 而求状态N时有用到了状态i这样求解状态的过程形成了环就没法用动态规划解答了，这也是上面用图论理解动态规划中形成的图无环的原因。 也就是说当前状态是前面状态的完美总结，现在与过去无关。。。 当然，有是换一个划分状态或阶段的方法就满足无后效性了，这样的问题仍然可以用动态规划解。 三，动态规划解决问题的一般思路。 拿到多阶段决策最优化问题后，第一步要判断这个问题是否可以用动态规划解决，如果不能就要考虑搜索或贪心了。当却定问题可以用动态规划后，就要用下面介绍的方法解决问题了：（1）模型匹配法： 最先考虑的就是这个方法了。挖掘问题的本质，如果发现问题是自己熟悉的某个基本的模型，就直接套用，但要小心其中的一些小的变动，现在考题办都是基本模型的变形套用时要小心条件，三思而后行。这些基本模型在先面的分类中将一一介绍。 （2）三要素法 仔细分析问题尝试着确定动态规划的三要素，不同问题的却定方向不同： 先确定阶段的问题：数塔问题，和走路问题（详见解题报告） 先确定状态的问题：大多数都是先确定状态的。 先确定决策的问题：背包问题。（详见解题报告） 一般都是先从比较明显的地方入手，至于怎么知道哪个明显就是经验问题了，多做题就会发现。 （3）寻找规律法： 这个方法很简单，耐心推几组数据后，看他们的规律，总结规律间的共性，有点贪心的意思。 （4）边界条件法 找到问题的边界条件，然后考虑边界条件与它的领接状态之间的关系。这个方法也很起效。 （5）放宽约束和增加约束 这个思想是在陈启锋的论文里看到的，具体内容就是给问题增加一些条件或删除一些条件使问题变的清晰。 第二节动态规划分类讨论 知识点三：共点力平衡（动态平衡、矢量三角形法） 1．(单选)如图所示，一小球在斜面上处于静止状态，不考虑一切摩擦，如果把竖直挡板由竖直位置缓慢绕 O点转至水平位置，则此过程中球对挡板的压力F1和球对斜面的压力F2的变化情况是()．答案B A．F1先增大后减小，F2一直减小 B．F1先减小后增大，F2一直减小 C．F1和F2都一直减小 D．F1和F2都一直增大 2、（单选）(天津卷，5)如图所示，小球用细绳系住，绳的另一端固定于O点．现用水平力F缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于直线状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平， 此过程中斜面对小球的支持力F N以及绳对小球的拉力F T的变化情况是()．答案D A．F N保持不变，F T不断增大 B．F N不断增大，F T不断减小 C．F N保持不变，F T先增大后减小 D．F N不断增大，F T先减小后增大 3．（单选）如图所示，一光滑小球静止放置在光滑半球面的底端，用竖直放置的光滑挡板水平向右缓慢地 推动小球，则在小球运动的过程中(该过程小球未脱离球面)，木板对小球的推力F1、半球面对小球的支持力F2的变化情况正确的是()．答案B A．F1增大，F2减小B．F1增大，F2增大 C．F1减小，F2减小D．F1减小，F2增大 4、（单选）如图所示，一物块受一恒力F作用，现要使该物块沿直线AB运动，应该再加 上另一个力的作用，则加上去的这个力的最小值为()．答案B A．F cos θB．F sin θ C．Ftan θD．F cot θ 5．(单选)如图所示，一倾角为30°的光滑斜面固定在地面上，一质量为m的小木块在水平力F的作用下静止在斜面上．若只改变F的方向不改变F的大小，仍使木块静止，则此时力F与水平 面的夹角为()．答案A A．60°B．45° C．30°D．15° 6．（多选）一铁架台放于水平地面上，其上有一轻质细线悬挂一小球，开始时细线竖直，现将水平力F作用于小球上，使其缓慢地由实线位置运动到虚线位置，铁架台始终保持静止，则在这一 过程中()．答案：AD A．细线拉力逐渐增大B．铁架台对地面的压力逐渐增大 C．铁架台对地面的压力逐渐减小D．铁架台所受地面的摩擦力逐渐增大 7、（多选）(苏州调研)如图所示，质量均为m的小球A、B用两根不可伸长的轻绳连接后悬挂于O点，在外力F的作用下，小球A、B处于静止状态．若要使两小球处于静止状态且悬线OA与竖直 方向的夹角θ保持30°不变，则外力F的大小()．答案BCD A．可能为 3 3 mg B．可能为 5 2 mg C．可能为2mg D．可能为mg 8、（单选）如图所示，轻绳的一端系在质量为m的物体上，另一端系在一个轻质圆环上，圆环套在粗糙水平杆MN上．现用水平力F拉绳上一点，使物体处于图中实线位置，然后改变F的大小使 其缓慢下降到图中虚线位置，圆环仍在原来的位置不动．在这一过程中，水平拉力F、环 与杆的摩擦力F摩和环对杆的压力F N的变化情况是()．答案D A．F逐渐增大，F摩保持不变，F N逐渐增大B．F逐渐增大，F摩逐渐增大，F N保持不变 C．F逐渐减小，F摩逐渐增大，F N逐渐减小D．F逐渐减小，F摩逐渐减小，F N保持不变 求解共点力平衡问题的常见方法 共点力平衡问题，涉及力的概念、受力分析、力的合成与分解、列方程运算等多方面数学、物理知识和能力的应用，是高考中的热点。对于刚入学的高一新生来说，这个部分是一大难点。 一、力的合成法 物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反; 1.（2008年·广东卷）如图所示，质量为m 的物体悬挂在轻质支架上，斜梁OB 与竖直方向的夹角为θ(A 、B 点可以自由转动)。设水平横梁OA 和斜梁OB 作用于O 点的弹力分别为F 1和F 2，以下结果正确的是（ ） A.F 1=mgsinθ B.F 1= sin mg q C.F 2=mgcosθ D.F 2=cos mg q 二、力的分解法 在实际问题中，一般根据力产生的实际作用效果分解。 2、如图所示，在倾角为θ的斜面上，放一质量为m 的光滑小球，球被竖直的木板挡住，则球对挡板的压力和球对斜面的压力分别是多少？ 3．如图所示，质量为m 的球放在倾角为α的光滑斜面上，试分析挡板AO 与斜面间的倾角β多大时，AO 所受压力最小。 三、正交分解法 解多个共点力作用下物体平衡问题的方法 物体受到三个或三个以上力的作用时，常用正交分解法列平衡方程求解: 0x F =合,0 y F =合. 为方便计算，建立坐标系时以尽可能多的力落在坐标轴上为原则 . θ 4、如图所示，重力为500N 的人通过跨过定滑轮的轻绳牵引重200N 的物体，当绳与水平面成60° 角时，物体静止。不计滑轮与绳的摩擦，求地面对人的支持力和摩擦力。 四、相似三角形法 根据平衡条件并结合力的合成与分解的方法，把三个平衡力转化为三角形的三条边，利用力的三角形与空间的三角形的相似规律求解. 5、 固定在水平面上的光滑半球半径为R ，球心0的正上方C 处固定一个小定滑轮，细线一端拴一小球置于半球面上A 点，另一端绕过定滑轮，如图5所示，现将小球缓慢地从A 点拉向B 点，则此过程中小球对半球的压力大小N F 、细线的拉力大小T F 的变化情况是 ( ) A 、N F 不变、T F 不变 B. N F 不变、T F 变大 C ， N F 不变、T F 变小 D. N F 变大、T F 变小 6、两根长度相等的轻绳下端悬挂一质量为m 物体，上端分别固定在天花板M 、N 两点，M 、N 之间距离为S ，如图所示。已知两绳所能承受的最大拉力均为T ，则每根绳长度不得短于____ 。 五、用图解法处理动态平衡问题 对受三力作用而平衡的物体，将力矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的封闭力三角形，进而处理物体平衡问题的方法叫三角形法;力三角形法在处理动态平衡问题时方便、直观，容易判断. 7、如图4甲，细绳AO 、BO 等长且共同悬一物，A 点固定不动，在手持B 点沿圆弧向C 点缓慢移动过程中，绳BO 的张力将 ( ) A 、不断变大 B 、不断变小 C 、先变大再变小 D 、先变小再变大 六．矢量三角形在力的静态平衡问题中的应用 若物体受到三个力（不只三个力时可以先合成三个力）的作用而处于平衡状态，则这三个力一定能构成一个力的矢量三角形。三角形三边的长度对应三个力的大小，夹角确定各力的方向。 8．如图所示，光滑的小球静止在斜面和木版之间，已知球重为G ，斜面的倾角为θ，求下列情况 信息学竞赛中的动态规划专题 哈尔滨工业大学周谷越 【关键字】 动态规划动机状态典型题目辅助方法优化方法 【摘要】 本文针对信息学竞赛（面向中学生的Noi以及面向大学生的ACM/ICPC）中的动态规划算法，从动机入手，讨论了动态规划的基本思想和常见应用方法。通过一些常见的经典题目来归纳动态规划的一般作法并从理论上加以分析和说明。并介绍了一些解决动态规划问题时的一些辅助技巧和优化方法。纵观全文可知，动态规划的关键在于把握本质思想的基础上灵活运用。 【目录】 1.动态规划的动机和基本思想 1.1.解决重复子问题 1.2.解决复杂贪心问题 2.动态规划状态的划分方法 2.1.一维状态划分 2.2.二维状态划分 2.3.树型状态划分 3.动态规划的辅助与优化方法 3.1.常见辅助方法 3.2.常见优化方法 4.近年来Noi动态规划题目分析 4.1 Noi2005瑰丽华尔兹 4.2 Noi2005聪聪与可可 4.3 Noi2006网络收费 4.4 Noi2006千年虫 附录参考书籍与相关材料 1.动态规划的动机和基本思想 首先声明，这里所说的动态规划的动机是从竞赛角度出发的动机。 1.1 解决重复子问题 对于很多问题，我们利用分治的思想，可以把大问题分解成若干小问题，然后再把各个小问题的答案组合起来，得到大问题的解答。这类问题的共同点是小问题和大问题的本质相同。很多分治法可以解决的问题（如quick_sort，hanoi_tower等）都是把大问题化成2个以内的不相重复的小问题，解决的问题数量即为∑(log2n / k)。而考虑下面这个问题： USACO 1.4.3 Number Triangles http://122.139.62.222/problem.php?id=1417 【题目描述】 考虑在下面被显示的数字金字塔。 写一个程序来计算从最高点开始在底部任意处结束的路径经过数字的和的最大。每一步可以走到左下方的点也可以到达右下方的点。 7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 1 在上面的样例中，从7到3到8到7到5的路径产生了最大和：30。 【输入格式】 第一个行包含R(1<= R<=1000) ,表示行的数目。后面每行为这个数字金字塔特定行包含的整数。所有的被供应的整数是非负的且不大于100。 【输出格式】 单独的一行包含那个可能得到的最大的和。 【样例输入】 5 7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 1 【样例输出】 30 显然，我们同样可以把大问题化成小问题来解决。如样例中最底层的6就可以从次底层 物体的受力（动态平衡）分析及典型例题 一.几种常见力的产生条件及方向特点。 1.重力 重力是由于地球对物体的吸引而使物体受到的力，只要物体在地球上，物体就会受到重力。 重力不是地球对物体的引力。重力与万有引力的关系是高中物理的一个小难点。 重力的方向：竖直向下。 2.弹力。 弹力的产生条件是接触且发生弹性形变。 判断弹力有无的方法：假设法和运动状态分析法。 弹力的方向与施力物体形变的方向相反，与施力物体恢复形变的方向相同。 弹力的方向的判断：面面接触垂直于面，点面接触垂直于面，点线接触垂直于线。 【例1】如图1—1所示，判断接触面对球有无弹力，已知球静止，接触面光滑。图a 中接触面对球 弹力；图b 中斜面对小球 支持力。（无 有） 【例2】如图1—2所示，判断接触面MO 、ON 对球有无弹力，已知球静止，接触面光滑。水平面ON 对球 支持力，斜面MO 对球 弹力。 （有 无） 【例3】如图1—4所示，画出物体A 所受的弹力。 a 图中物体A 静止在斜面上。 b 图中杆A 静止在光滑的半圆形的碗中。 c 图中A 球光滑，O 为圆心，O ＇为重心。 图1—1 a b 图1—2 图1—4 a b c 【例4】如图1—6所示，小车上固定着一根弯成α角的曲杆，杆的另一端固定一个质量为m 的球，试分析下列情况下杆对球的弹力的大小和方向：（1）小车静止；（2）小车以加速度a 水平向右加速运动；（3）小车以加速度a 水平向左加速运动；（4）加速度满足什么条件时，杆对小球的弹力沿着杆的方向。 3.摩擦力 摩擦力的产生条件为：（1）两物体相互接触，且接触面粗糙；（2）接触面间有挤压；（3）有相对运动或相对运动趋势。 摩擦力的方向为与接触面相切，与相对运动方向或相对运动趋势方向相反。 判断摩擦力有无和方向的方法：假设法、运动状态分析法、牛顿第三定律分析法。 【例5】如图1—8所示，判断下列几种情况下物体A 与接触面间有、无摩擦力。 图a 中物体A 静止。图 b 中物体A 沿竖直面下滑，接触面粗糙。图 c 中物体A 沿光滑斜面下滑。图 d 中物体A 静止。 图a 中 摩擦力产生，图b 中 摩擦力产生，图c 中 摩擦力产生,图d 中 摩擦力产生。 （无 无 无 有） 【例6】如图1—9所示为皮带传送装置，甲为主动轮，传动过程中皮带不打滑，P 、Q 分别为两轮边缘上的两点，下列说法正确的是：（ ） B A ．P 、Q 两点的摩擦力方向均与轮转动方向相反 B ．P 点的摩擦力方向与甲轮的转动方向相反， Q 点的摩擦力方向与乙轮的转动方向相同 C ．P 点的摩擦力方向与甲轮的转动方向相同， Q 点的摩擦力方向与乙轮的转动方向相反 D ．P 、Q 两点的摩擦力方向均与轮转动方向相同 图1—8 图1—9动态规划经典教程
高中物理受力分析(动态平衡问题)典型例题(含答案)【经典】
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