7.5 三角形内角和定理
精讲案
第一环节：情境引入
（1）用折纸的方法验证三角形内角和定理．
实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图6－38（1））然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果
（1）（2）（3）（4）
试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，还有其它折法吗？
（2）实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。
试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，如果只剪下一个角呢？
在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质．
第二环节：探索新知
① 用严谨的证明来论证三角形内角和定理．
② 看哪个同学想的方法最多？
方法一：过A 点作DE ∥BC
∵DE ∥BC
∴∠DAB=∠B ，∠EAC=∠C （两直线平行，内错角相等）
∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°
∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换)
方法二：作BC 的延长线CD ，过点C 作射线CE ∥BA ．
∵CE ∥BA
∴∠B=∠ECD （两直线平行，同位角相等）
∠A=∠ACE （两直线平行，内错角相等）
∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换)
第三环节：反馈练习
（1）△ABC 中可以有3个锐角吗？ 3个直角呢？ 2个直角呢？若有1个直角另外两角有什么特点？
（2）△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=？
（3）∠A=50°，∠B=∠C ，则△ABC 中∠B=？
（4）三角形的三个内角中，只能有____个直角或____个钝角． A B C D E A B C E
D
北师大八年级下册数学 6.5《三角形内角和定理的证明》教学设计 西乡三中蒲忠明 教案背景：在学生掌握了平行线的性质及严格的证明等知识的基础上展开的本节课教学。 教学课题：北师大八年级下册数学6.5《三角形内角和定理的证明》教材分析： (一)教材的地位和作用： 这节内容是在前面学生对“三角形内角和是180°”这个结论有了一定直观认识的基础上编排的，以往对这个结论也曾进行过简单的说理，这里则以严格的步骤演绎证明，旨在让学生从实践操作转移到理性思维上来，使学生初步掌握证明的要求和格式，促使学生养成严谨的数学思维方法，发展学生的证明素养。 三角形内角和定理从数量角度揭示三角形三内角之间的关系，是三角形的一个重要性质，既是今后几何推理的重要依据，又是计算角度的重要方法。教材从学生实践操作到证明过程的呈现训练了学生的抽象思维能力和逻辑推理能力；其中辅助线的作法学生第一次接触，它集中了条件、构造了新图形、形了成新关系，实现了未知与已知的转化，起到了解决问题的桥梁作用；课本议一议引导学生一题多思，体现运动变化的观点，读一读为学生认识定理的发现过程另劈蹊径，渗透极限的思想，是学生认识客观世界、不断探求新知的一种重要途径。 因此本节内容不仅在知识上具有承前启后的地位，而且对今后学习和生活都将起到重要的指导作用。 (二)教学目标：
[知识与技能目标]：掌握三角形内角和定理的证明和简单应用，初步学会作辅助线证明的基本方法，培养学生观察、猜想、和推理论证能力。 [过程与方法目标]： 1、对比过去折纸、撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。 2、通过一题多证、一题多变体会思维的多向性。 3、引导学生应用运动变化的观点认识数学。 [情感与态度目标]：通过一题多证、一题多变激发学生勇于探索、合作交流的精神，体验成功的乐趣，引导学生的个性发展。感悟逻辑推理的价值。 （三）教学重难点： 本节课的重点是：探索证明三角形内角和定理的不同方法，利用三角形内角和定理进行简单的计算或证明。 本节课的难点是：应用运动变化的观点认识数学。从拼图过程中发现并正确引入辅助线是本节课的关键。 教学方法：引导发现法、尝试探究法。 教学过程： 一、创设情景、提出问题： “三角形内角和是180°”一定是个真命题吗？你是怎样知道的？ （学生回答：是个真命题。是从度量、折纸、拼角得到的）。教师指出：任何实验都会有误差，即使全班同学都各自剪出了不同形状的三角形，但也不能就此说明所有的三角形都具有这一共性。那么怎样才能说明“三角形内角和是180°”的真实性呢？（ 证明）由哪些公理、定理、定义可以得到一个角或几个角的和为180°？渗透公理化的思想，自然导入三角形内角和定理证明的学习。 二、探究新知
初中数学《三角形内角和定理的证明》教案第六章证明（一） 5．三角形内角和定理的证明 一、学生知识状况分析 学生技能基础：学生在以前的几何学习中，已经学习过平行线的判定定理与平行线的性质定理以及它们的严格证明，也熟悉三角形内角和定理的内容，而本节课是建立在学生掌握了平行线的性质及严格的证明等知识的基础上展开的，因此，学生具有优良的基础。 活动经验基础：本节课主要采取的活动形式是学生非常熟悉的自主探究与合作交流的学习方式，学生具有较熟悉的活动经验． 二、教学任务分析 上一节课的学习中，学生对于平行线的判定定理和性质定理以及与平行线相关的简单几何证明是比较熟悉的，他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力，本节课安排《三角形内角和定理的证明》旨在利用平行线的相关知识来推导出新的定理以及灵活运用新的定理解决相关问题。为此，本节课的教学目标是： 知识与技能：（1）掌握三角形内角和定理的证明及简单应用。 （2）灵活运用三角形内角和定理解决相关问题。 数学能力：用多种方法证明三角形定理，培养一题多解的能 力。 情感与态度：对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用． 三、教学过程分析 本节课的设计分为四个环节：情境引入探索新知反馈练习课堂小结
第一环节：情境引入 活动内容：（1）用折纸的方法验证三角形内角和定理．实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图6－38（1））然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果 （1）（2）（3）（4） 试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，还有其它折法吗？ （2）实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。 试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，如果只剪下一个角呢？ 活动目的： 对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。将自己的操作转化为符号语言对于学生来说还存在一定 困难，因此需要一个台阶，使学生逐步过渡到严格的证明．教学效果： 说理过程是学生所熟悉的，因此，学生能比较烂熟地说出用撕纸的方法可以验证三角形内角和定理的原因。 第二环节：探索新知 活动内容： ① 用严格的证明来论证三角形内角和定理． ② 看哪个同学想的方法最多？ 方法一：过A点作DE∥BC ∵DE∥BC DAB=B，EAC=C（两直线平行，内错角相等）
7．5 三角形内角和定理 第1课时 三角形内角和定理 1．理解并掌握三角形内角和定理及其证明过程；(重点) 2．能利用三角形内角和定理进行简单的计算和证明．(难点) 一、情境导入 星期天，小明和几位同学一起做作业时，其中一位同学不小心把三角板的两个角给压断了．小明将两个角和剩余的一个角放在一起，发现这三个角之和是一个平角．我们知道一个平角是180°，即这个三角形的三个内角之和为180°，那其他的三角形也是这样吗？如何证明呢？ 下面让我们一起进入本节的学习，一起探究如何证明三角形的内角和等于180°. 二、合作探究 探究点一：三角形内角和定理 在△ABC 中，如果∠A＝1 2∠B ＝1 2 ∠C ，求∠A、∠B、∠C 分别等于多少度？ 解析：这是一道利用三角形内角和求各角度的计算题，由已知得∠B ＝∠C ＝2∠A.因此 可以先求∠A ，再求∠B 、∠C. 解：∵∠A＝12∠B ＝1 2∠C(已知)，∴∠B ＝∠C＝2∠A(等式的性质)．∵∠A＋∠B＋∠C ＝180°(三角形的内角和等于180°)，∴∠A ＋2∠A＋2∠A＝180°(等量代换)．∴∠A＝ 36°，∠B ＝72°，∠C ＝72°. 方法总结：求三角形内角度数时，要充分利用各角之间的关系，用其中一个角表示另外两个角，再借助三角形的内角和定理构建方程． 探究点二：三角形内角和定理的证明 已知：如图，在△ABC 中． 求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°. 解析：要证明三角形的内角和是180°，需要从涉及180°角的知识去考虑，涉及180°角的知识有：①平角；②邻补角；③两直线平行下的同旁内角．可从这三个方面分别考虑，
八年级数学导学稿 第五章几何证明初步 5.5三角形内角和定理(2) 开发区初中八年级数学备课组 学习目标：1、掌握直角三角形的性质定理及其逆命题。 2、经历探索直角三角形的性质定理及其逆命题的推理的过程，进一步培 养学生的推理能力.从而使他们灵活应用所学知识。 重点：直角三角形的性质定理及其逆命题。 难点：灵活应用所学知识证明直角三角形的性质定理及其逆命题。 教学过程： 【温故知新】 1、三角形内角和定理的内容是什么？ 2、取一副三角尺，你能说出每个三角尺的两个锐角的度数吗？同一副三角尺的两个锐角的和是多少度？ 【探索新知】 1、已知：在直角△ABC中, ∠ACB=900，求证：∠A+∠B =900 2、合作探究：直角三角形的性质定理： ------------------ 3、你能说出直角三角形的性质定理的逆命题吗？ 它是真命题还是假命题？如果是真命题，请加以证明；如果是假命题，请举一反例。 4、例1:已知：在直角△ABC中, ∠ACB=900， DC⊥AB,垂足是D求证：∠ACD =∠B
D C B A 【巩固提升】 如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD ⊥BC 于D, 则∠B=∠________,∠C=∠________. 【课堂小结】 【达标检测】 1、将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB 的度数为 A ．75° B ．95° C ．105° D ．120° 2.已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，AB 为斜边，AC=BD,BC,AD 相交于点E （1） 求证：AE=BE; （2） 若∠AEC= 45，AC=1，求CE 的长。 A C 【我的反思】
三角形三边关系、三角形角和定理 三角形边的性质 （1）三角形三边关系定理及推论 定理：三角形两边的和大于第三边。 推论：三角形两边的差小于第三边。 （2）表达式：△ABC中，设a＞b＞c 则b-c＜a＜b+c a-c＜b＜a+c a-b＜c＜a+b （3）应用 1、给出三条线段的长度，判断它们能否构成三角形。 方法（设a、b、c为三边的长） ①若a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a都成立，则以a、b、c为三边的长可构成三角形； ②若c为最长边且a+b＞c，则以a、b、c为三边的长可构成三角形； ③若c为最短边且c＞|a-b|，则以a、b、c为三边的长可构成三角形。 2、已知三角形两边长为a、b，求第三边x的围：|a-b|＜x＜a+b。 3、已知三角形两边长为a、b(a＞b)，求周长L的围：2a＜L＜2(a+b)。 4、证明线段之间的不等关系。 复习巩固，引入新课 1画出下列三角形是高 2、已知：如图△ABC中AG是BC中线，AB=5cm AC=3cm，则△ABG和△ACG的周长的差为多少？△ABG和△ACG的面积有何关系？ 3、三角形的角平分线、中线、高线都是（） A、直线 B、线段 C、射线 D、以上都不对 4、三角形三条高的交点一定在（） A、三角形的部 B、三角形的外部 C、顶点上 D、以上三种情况都有可能 5、直角三角形中高线的条数是（） A、3 B、2 C、1 D、0 6、判断： （1）有理数可分为正数和负数。
（2）有理数可分为正有理数、正分数、负有理数和负分数。 7、现有10cm的线段三条，15cm的线段一条，20cm的线段一条，将它们任意组合可以得到几种不同形状的三角形？ 三角形三边的关系 一、三角形按边分类（见同步辅导二） 练习 １、两种分类方法是否正确： 不等边三角形不等三角形 三角形三角形等腰三角形 等腰三角形等边三角形 2、如图，从家A上学时要走近路到学校B，你会选哪条路线？ ３、下列各组里的三条线段组成什么形状的三角形？ （1）3cm 4cm 6cm （2）4cm 4cm 6cm （3）7cm 7cm 7cm （4）3cm 3cm ７ｃｍ 应用举例1 已知△ABC中，a=6，b=14，则c边的围是 练习 １、三角形的两边为3cm和5cm，则第三边x的围是 ２、果三角形的两边长分别为７和２，且它的周长为偶数，那么第三边的长为 3、长度分别为12cm，10cm，5cm，4cm的四条线段任选三条线段组成三角形的个数为 （） A、1 B、2 C、3 D、4 4、具备下列长度的各组线段中能够成三角形的是（） A、5，9，3 B、5，7，3 C、5，2，3 D、5，8，3 应用举例2 1、已知一个等腰三角形的两边分别是8cm和6cm，则它的周长是 ______cm。 分析：若这个等腰三角形的腰长为8cm,则三边分别为8cm,8cm,6cm，满 足两边之和大于第三边，若腰长为7cm,则三边分别为6cm，6cm,8cm，也 成立。 解：这个等腰三角形的周长为22cm或20cm。 2、已知：△ABC的周长为11，AB=4，CM是△ABC的中线，△BC M的周 长比△ACM的周长大3，求BC和AC的长。 分析：由已知△ABC的周长=AB+AC+BC=11，AB=4，可得 BC+AC=7。 又△BCM的周长-△ACM的周长=(BC+CM+MB)-(AC+CM+MA)=3，而AM=MB，
初二数学 七年级第八章三角形内角和定理及推论 一、三角形三个内角的关系 三角形三个内角的和等于_____.在小学，我们已通过下列三种实验，观察猜想得到。 ⑴ 折叠 本册教材P 70图______示意。（填图序号。下同） （2）剪拼 本册教材P 70图______示意或本册教材 P 75图______示意。 （3）度量 实际上，有可能： 折叠时，边缝不易平齐，难以拼成一个平角; 剪拼时，发现三个内角难以拼成一个平角，只是接近180°的某个角； 度量三个角，然后相加，有的接近179°，有的接近181°，不是很准确地都得180°。 以致于怀疑我们的猜想：三角形的内角的和等于180°。 事实上，它是真命题，并且曾多次运用它求三角形内角的度数。要判断它的“真“，必须进 行 _________。 二、证明三角形的内角的和等于180° 1、分析 要想求得三角形的内角的和等于180°，三角形纸片的折叠、剪拼过程给我们这 样的提示： 把三角形三个分散的角，全部或部分适当地集中起来，利用平角定义或两直线平行，同 旁内角互补来证明。这就需要在原来的图形上，添画一些线，转化为易于证明的情况。 为了证明的需要，在原来的图形上添画的线，叫做__________.为了区别于原图形中 的线，辅助线一般画成____线。 由剪、拼角给我们的提示，得到辅助线的添法，如图（1）、（2）、（3）、（4） 所示。 （2） （1） 图（1）：剪掉三个角，拼接在它的一边BC 上，∠B 放在∠CDF 上，∠C 放在∠BDE 上 E B C A D
图（2）剪掉两个角（∠A 与∠B ），拼接在它的顶点C 处，其中∠A 放在∠1上 图（3）剪掉两个角（∠B 与∠C ）,拼接在它的顶点A 处，∠B 放在∠BAD 上 （3） （4） 图（4）剪掉∠C 放在∠DAC 上。 作辅助线是几何证明常用的方法，在书写几何证明时，首先应该写明辅助线的画法。上面四 个图辅助线的添法，可用下面的几何语言表达： 1、作BC 的延长线CD ，在△ABC 的外部，以CA 为一边，CE 为另一边，画∠1=∠A 。< > 2、作BC 的延长线CD ，过C 点作CE ∥AB 。 < > 3、过A 点作DE ∥BC 。 < > 4、过A 点作射线AD ∥BC 。 < > 5、在BC 上任取点D ，过D 作DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F 。 < > 请在上面五句话后面的< >内填上对应的图号。 2.证明： 请你根据图（4）证明“三角形的内角的和等于180°” 至此，我们明白，“三角形的内角的和等于180°”是一个真命题，并且，常被选作解决其他 问题的依据，所以课本上，把它称之为_______。 三角形内角和定理 表达式： △ABC 中 ∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理） 根据图（3），证明三角形内角和定理：______________________________________________. 三． 推论1：直角三角形的两个锐角互余。 表达式∵在Rt △ACB 中，∠C=90°（已知） ∴∠A+∠B=90°（直角三角形的两个锐角互余） 推论 2：有两个角互余的三角形是直角三角形。 表达式：∵△ACB 中，∠A +∠ B=90° E B C B
名师精编优秀教案 北师大八年级下册数学 6.5《三角形内角和定理的证明》教学设计 西乡三中蒲忠明 在学生掌握了平行线的性质及严格的证明等知识的基础教案背景：上展开的本节课教学。 北师大八年级下册数学6.5《三角形内角和定理的证明》教学课题：教材分析： (一)教材的地位和作用： 这节内容是在前面学生对“三角形内角和是180°”这个结论有了一定直观认识的基础上编排的，以往对这个结论也曾进行过简单的说理，这里则以严格的步骤演绎证明，旨在让学生从实践操作转移到理性思维上来，使学生初步掌握证明的要求和格式，促使学生养成严谨的数学思维方法，发展学生的证明素养。 三角形内角和定理从数量角度揭示三角形三内角之间的关系，是三角形的一个重要性质，既是今后几何推理的重要依据，又是计算角度的重要方法。教材从学生实践操作到证明过程的呈现训练了学生的抽象思维能力和逻辑推理能力；其中辅助线的作法学生第一次接触，它集中了条件、构造了新图形、形了成新关系，实现了未知与已知的转化，起到了解决问题的桥梁作用；课本议一议引导学生一题多思，体现运动变化的观点，读一读为学生认识定理的发现过程另劈蹊径，渗透极限的思想，是学生认识客观世
界、不断探求新知的一种重要途径。 因此本节内容不仅在知识上具有承前启后的地位，而且对今后学习和生活都将起到重要的指导作用。 教学目标：)二( 名师精编优秀教案 [知识与技能目标]：掌握三角形内角和定理的证明和简单应用，初步学会作辅助线证明的基本方法，培养学生观察、猜想、和推理论证能力。 [过程与方法目标]： 1、对比过去折纸、撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。 2、通过一题多证、一题多变体会思维的多向性。 3、引导学生应用运动变化的观点认识数学。 [情感与态度目标]：通过一题多证、一题多变激发学生勇于探索、合作交流的精神，体验成功的乐趣，引导学生的个性发展。感悟逻辑推理的价值。 （三）教学重难点： 本节课的重点是：探索证明三角形内角和定理的不同方法，利用三角形内角和定理进行简单的计算或证明。 本节课的难点是：应用运动变化的观点认识数学。从拼图过程中发现并正确引入辅助线是本节课的关键。 引导发现法、尝试探究法。教学方法：教学过程： 一、创设情景、提出问题：
5.5三角形内角和定理（1） 一、教学目标 1.知识与技能目标：会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于 ?180，能用三角形内角和等于?180进行角度计算和简单推 理，并初步学会利用辅助线解决问题，体会转化思想在解 决问题中的应用。 2.过程与方法目标：通过拼图实验、合作交流、推理论证的过程。体现“做中学” 发展学生的合情推理能力和逻辑思维能力，初步获得科学研 究的体验。 3.情感态度价值观目标：通过操作、交流、探究、表述、推理等活动，培养学生 的合作精神，体会数学知识内在的联系与严谨性，鼓励学 生大胆提出疑问，培养学生良好的学习习惯。 二、重点、难点 重点：三角形内角和等于?180的证明及应用 难点：证明三角形内角和等于?180 三、教学过程 “三角形的三个内角之和是?180” 如何证明这个结论的正确性？ 已知：△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=?180 证法一 证明： 在△ABC 的外部以CA 为边 作∠ACE=∠A.延长BC 至D 则 C E ∥B A ﹙内错角相等，两直线平行﹚ ∴∠DCE=∠B ﹙两直线平行，同位角相等﹚ ∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=?180 ﹙平角定义﹚ ∴∠BCA +∠A +∠B=?180 ﹙等量代换﹚ ∴∠BCA +∠A +∠B = ?180 2.同学想一想还有没有其他的方法证明这个结论的正确性？ 证法二 证明： 延长BC 至D ，过C 作CE ∥BA. 则∠A =∠ACE ﹙两直线平行，内错角相等﹚ ∠B =∠ECD ﹙两直线平行，同位角相等﹚ ∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=?180 E. D . A E. D . A
练习5 三角形的内角和定理和外角性质 一、选择题 1.（2020-2021·四川·月考试卷）一个等腰三角形的一个角是50°，它的一腰上的高与底边的夹角是（） A.25° B.40° C.25°或40° D.不确定 【答案】C 【解答】解：当底角是50°时，则它一腰上的高与底边的夹角是90°?50°=40°； (180°?50°)=65°,则它一腰上的高与底边的夹角是90°?65°=25°.故选C． 当顶角是50°时，则它的底角就是1 2 2.（2020-2021·安徽·月考试卷）一副直角三角尺叠放在一起可以拼出多种图形，如图①?④，每幅图中所求角度正确的个数有() ①∠BFD=15°；②∠ACD+∠BCE=150°；③∠BGE=45°；④∠ACE=30°. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】A 【解答】解：如图①中，∠BFD=∠EDC?∠B=45°?30°=15°，故①正确； 如图②中，∠ACD+∠BCE=∠DCE+∠ACE+∠BCE=∠DCE+∠BCA=180°，故②错误；如图③中，∠BGE=∠B+ 45°=75°，故③错误；如图④中，∠ACE=90°?∠ECD=45°，故④错误．故选A． 3.（2020-2021·甘肃·月考试卷）下列关于三角形的说法错误的是() A.三角形的中线、高、角平分线都是线段 B.任意三角形内角和都是180° C.三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和等腰三角形 D.直角三角形两锐角互余 【答案】C
【解答】解：A，三角形的中线、高、角平分线都是线段，故本选项正确；B，根据三角形的内角和定理，三角形的内角和等于180°，故本选项正确；C，因为三角形按角分为直角三角形和斜三角形（锐角三角形、钝角三角形），故本选项错误；D，直角三角形两锐角互余，故本选项正确.故选C． 4.（2020-2021·云南·月考试卷）如图，在△ABC中，∠C=58°，点O为△ABC的内心，则∠AOB的度数为() A.119° B.120° C.121° D.122° 【答案】A 【解答】解：∵ 点O为△ABC的内心，∵ AO平分∠CAB，BO平分∠CBA，∵ ∠BAO=1 2∠CAB，∠ABO=1 2 ∠CBA， ∵ ∠AOB=180°?1 2 (∠CAB+∠CBA).∵ ∠C=58°，∵ ∠CAB+∠CBA=122°，∵ ∠AOB=180°?61°=119°.故选A. 5.（2020-2021·吉林·月考试卷）将一副三角尺按如图摆放，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF?//?BC，∠B=∠EDF= 90°，∠A=45°，∠F=60°，则∠CED的度数是() A.15° B.20° C.25° D.30° 【答案】A 【解答】解：∵ ∠B=90°，∠A=45°，∵ ∠ACB=45°． ∵ ∠EDF=90°，∠F=60°，∵ ∠DEF=30°．∵ EF?//?BC，∵ ∠EDC=∠DEF=30°， ∵ ∠CED=∠ACB?∠EDC=45°?30°=15°．故选A. 6.（2020-2021·吉林·月考试卷）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的点，DA=DE，DB=BE=EC．若∠ABC=130°，则∠C的度数为()
1. 如何证明这个结论的正确性? 已知：△ ABC. 求证：/ A+Z B+Z C=180 证法 证明： 在厶ABC 的外部以CA 为边 作Z ACE Z A.延长BC 至D 贝 U C E // B A （内错角相等，两直线平行） ???Z DCE Z B （两直线平行，同位角相等） vZ BCA Z ACE Z ECD=80 （平角定义） ? Z BCA +Z A + Z B=180 （等量代换） 证明： 延长BC 至D ，过C 作CE// BA. 则 Z A = Z ACE （两直线平行，内错角相等） Z B = Z ECD （两直线平行，同位角相等） vZ BCA Z ACE Z ECD=80 ? Z BCA +Z A + Z B = 180 A B C E. 证法二 B C E. 讲授新课 2.同学想一想还有没有其他的方法 证明这个结论的正确性？
证明： 过A 作EF// BC. 则Z EAB =Z B. Z FAC = Z C （两直线平行，内错角相等） vZ EAB-Z BAC Z CAF=80 ???Z B+Z BAC Z C=180 1?三角形内角和定理: 三角形的内角和等于180 即厶ABC中, / A+Z B+Z C=180 2.推论： 直角三角形中，两锐角互余。 即Rt △ ABC中Z C=90 则Z A+Z B=90 例1.在厶ABC中: ①Z A=35 Z C=90 则Z B=? 55 ②Z A=50 Z B=Z C 则Z B=? 65 ③Z A : Z B : Z C=3: 2: 1 问厶ABC是什么三角形？ 直角三角形 ④Z A- Z C =35 Z B- Z C =10 贝UZ B =? 55证法三 B C F 巩固练习
教学设计 一、学习目标 1.能根据三角形的内角和定理推出直角三角形的性质理 2.会写出“直角三角形的两锐角互余”这一性质定理的逆命题，即直角三角形的判定定理 3.会利用直角三角形的性质定理和判定定理解决有关问题。 二、重点 直角三角形的性质及判断方法 三、难点 直角三角形的性质及判断方法的应用 四、教学过程 （一）演练导学 1.说出下列命题的逆命题，并判断原命题和 逆命题的真假 （1）两直线平行，内错角相等（） 逆命题：________________ （） （2)对顶角相等（） 逆命题：________________（） （3）若x2=y2，则x=y （） 逆命题：________________ 2 在△ABC ,∠A+∠B+∠C =___度，若∠C=90°则∠A+∠B=____度，此时我们称∠A与∠B__ （二）得出结论 直角三角形的性质：直角三角形的两锐角互余 （三）解惑质疑 例1.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D 求证：∠1=∠B （四）跟踪练习 1.如图，已知△ABC中，已知∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高， AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数。 （五）演练导学 你能说出直角三角形性质定理的逆命题吗? 逆命题_____________________ 它是真命题还是假命题？若是真命题，请写出证明过程 （六）解惑质疑 例2. 已知：如图，A,B,E三点在同一条直线 上DB⊥AE, AB=DB, BC=BE 求证：AF⊥DE （七）跟踪练习 如图，已知：AB∥CD, AE平分∠BAC, CE 平分∠ACD 求证：△AEC是直角三角形 （八）达标测试 （九）反馈总结这节课你有什么收获？与同学交流一下你的心得，请写下来吧
人教版八上《数学》《11.2.1三角形的内角和定理》教学设计 第十一章《三角形》 一、内容分析 “三角形内角和定理”这一内容，上承平行线的判定与性质，下启外角、多边形的内角和.这一内容是几何学习的核心知识点、基础知识点.它的推导，是建立在学生学习了平行 线的性质与判定之后，由180角联想到同旁内角、平角，利用平行线的性质与判定转化、构造.对学生的知识迁移能力、转化思想、数形结合思想的培养起到了很重要的作用? 二、目标解析 （一）知识与技能 （1）掌握推导三角形内角和定理的方法 （2）会利用内角和定理解决实际问题 （二）过程与方法 学生经历“实验一一探究一一解决一一运用”的学习过程，从中感悟证明结论的方法的多样性和获得成功的乐趣，初步了解作平行线（辅助线）的魅力，培养“转化”的数学思想方法?（三）情感、态度与价值观 （1）学生经历自主、合作、探究的学习过程体验获取数学知识的成就感 （2）通过对三角形内角和定理的推导，体会新知识的形成来源于旧知识的灵活运用，渗透运用转化的观点? （3）在和谐、活跃的探究氛围中，弓I导学生对图形去质疑、发现，激发学生的求知欲和学习兴趣，帮助其养成良好的学习习惯和勤于思考，勇于探索的思想品质，建立学习的自信心. 三、教学重难点 定理的推导证明方法是重点； 教师如何引导学生获取推导的方法以及感悟其中的数学思想与方法是难点. 四、学情分析 1. 小学已经学过三角形内角和为180°这一 结论，并会用剪、拼的方法直观验证. 2. 由180°角联想到平角和两平行线所截形成的同旁内角 3. 了解平行线的性质，会利用平行线将内角和转化为平角或同旁内角 4. 学生重“结论”轻“过程”现象普遍；学生自主探究意识不强，钻研精神不够。 本节课选择小学都已熟知的定理一一“三角形内角和为180。”的证明为素材，学生通过动手拼一拼，教师适时引导，引领学生思考，生成新的解题思路与方法，同时为学生质疑引导方向。 五、教学具的准备 教具：多媒体课件、几何画板课件 学具：一个三角形制片 六、设计主线 以“剪一剪，模型验证一一证一证，理论推导一一说一说，归纳方法一一用一用，学以致用”为主线. 学生通过动手拼一拼模型，感知三角形内角和为180。，将实物模型抽象概括为几何模型；根据剪拼的模型，抽象概括出两种思路，学生动手证一证，进一步感知数学的严谨性，体会数学中的乐趣；“由180 °想到了什么”“有多余的”“如何转化” “其他点可以吗”等问题串连整个证明环节之中，学生在同组议一议、全班论一论中，寻找碰撞，探索推 导三角形内角和定理的方法，感悟角与角之间的转化，培养学生的逻辑推理和创新能力? 七、教学过程： （一）剪一剪，模型验证
7.5 三角形内角和定理 第1课时三角形内角和定理 1.填空： （1）如果三角形的三个内角都相等，那么每一个角的度数等于_______．（2）在△ABC中，若∠A=65°,∠B=∠C，则∠B=_______． （3）在△ABC中，若∠C=90°,∠A=30°，则∠B=_______． （4）在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠A=_______，∠B=_______，∠C=_______． （5）在下两图中，∠1、∠2与∠B、∠C的关系是_______ （6）如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD⊥AC，垂足为D，则∠DBC的度数为_______． 2.在△ABC中，∠A=50°，∠B、∠C的平分线交于O点，则∠BOC等于 ( ) A．65°B．115°C．80°D．50°
3.两条平行线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的平分线( ) A．相互重合B．互相平行 C．相互垂直D．无法确定相互关系 4.如图，AB∥CD，∠A=35°,∠C=80°,那么∠E等于( ) A．35°B．45°C．55°D．75° 5.一块大型模板如图，设计要求BA与CD相交成30°角，DA与CB相交成20°的角，怎样通过测量∠A，∠B，∠C，∠D的度数，来检查模板是否合格？ 6.小芳和小白在一起温习三角形内角和定理，小芳灵机一动，想考考小白对
知识掌握的程度，她给小白出了一道这样的题目： 如图，证明五边形的内角和等于540°．即：∠A +∠B +∠C +∠D +∠E =540°． 7.4 平行线的性质 1.如图，DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ，求证： BC DE AC AE AB AD ==。 2 如图，△ABC 中，E 、G 、D 、F 分别是边AB 、CB 上的点，且GF ∥ED ∥AC ，EF ∥AD 。求证： BC BD BE BG =。 3 已知：在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，过C 任作一直线交AD 于E ，交AB 于F 。 求证： FB AF ED AE 2=。
八年级数学上册《三角形内角和定理》教案 ★教学目标 知识与技能：三角形的内角和定理的证明.。 （二）过程与方法： 掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用；初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力。 （三）情感态度与价值观： 通过一题多解、一题多变，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展。 ★教学重点 三角形内角和定理的证明。 ★教学难点 三角形内角和定理的证明方法。 ★教学过程 Ⅰ.设现实情境，引入新课 ［师］大家来看这张三角形纸片。三个角分别是A、B、C，现在我们把三个角折叠到一起，大家观察一下这三个角之间的关系。（请***同学来回答） 实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行，然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相重合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果. （1）（2）（3）（4） [***] 三个角之和为180° [师] 很好！请坐。由实验可知：三角形的内角之和正好为一个平角。但观察与实验得到的结论，并不一定正确、可靠，这样就需要通过数学证明。那么怎样证明呢？请同学们再来看下一个实验。 [师]大家再来看这三张三角形纸片。把它们重合一起，说明这3个三角形是全等三角形。也就是说这3个三角形对应边相等，对应角也相等。 试验2. 我们先画一条直线，然后， 我请一位同学上台来帮忙。(请***同学上台) 我们让其中两个三角形底边靠着这条直线，使得它们有两个顶点重合，固定不动。 然后我用第3个三角形∠C朝下，逐渐往下逼近。这时，∠A与∠ACE能重合吗？ ［生齐声］能重合. ［师］为什么能重合呢？请大家思考一下。 Ⅱ.讲授新课 ［师］为了回答这个问题，先看一下课本P237撕纸试验。
§6.5 三角形内角和定理的证明 教学目标 （一）教学知识点 三角形的内角和定理的证明. （二）能力训练要求 掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力. （三）情感与价值观要求 通过一题多解、一题多变激发学生勇于探索、合作交流的精神。引导学生个性化的发展。 教学重难点 教学重点：三角形内角和定理的证明. 教学难点：三角形内角和定理的证明方法. 教学过程设计 1、温故求新 三角形三个内角有什么关系？你还记得这个结论的探索过程吗？ 回顾七年级采用撕纸、折纸的方法证明三角形内和定理的方法． 只是实验得出的结论，并不一定正确可靠，只有经过严格的几何证明，证明命题的正确性，才能作为几何定理，那么如何证明此命题是真命题呢？ 我们今天就来研究这个问题。 2、讲授新课 对于一个文字命题，证明时需要先做什么？ ①画图；②分析命题的题设和结论，写出已知、求证，把文字语言转化为几何语言。 推理证明过程 已知：如图1，A B C ∠，∠，∠是ABC △的三个内角．
求证：180A B C ++=o ∠∠∠． 教师引导：有什么方法可以得到180°？ ① 一个平角等于180°②两直线平行，同旁内角互补。 如果不实际移动角，那么你还有其他的办法达到同样的效果吗？从刚才拼角的过程你能想出证明的方法吗？ 证明：延长BC 到D ，过点C 作CE ∥BA （如图2） ∵CE ∥BA （已作） ∴∠1=∠A （两直线平行，内错角相等），∠2=∠B （两直线平行，同位角相等） 又∵∠1+∠2+∠ACB ＝180° （平角的定义） ∴∠A+∠B+∠ACB ＝180°（等量代换） 要把三角形三个内角转化为平角，就要在原图形上添加一些线，构造新图形，形成新关系，这些线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线常画成虚线。 只有这一种做辅助线的方法吗？下面看看小明的做法： 小明的想法是把三个角“凑”到A 处，他过点A 作直线PQ BC ∥（如图3），他的想法可行吗？如果可行，请你写出证明过程。（学生板书证明过程） 图3 3、自主探索 前面的两种方法都是通过凑成一个平角来实现证明，你好有其他的方法吗？请大家在练习本上写出你的证明，并与同桌交流！ （学生小组内合作交流，探索其它方法来证明三角形内角和定理，通过展示自己的方法，互相交流，点评，对比中明确不足，拓宽思维面。教师巡看。）请学生展示自己的证明过程。 A B Q P 1 2 A B D E 1 2 R 图2
《三角形内角和定理》教学设计方案 平乡县实验中学庞西宏 一、教材与学生现实的分析 1、三角形的内角和定理是从“数量关系”来揭示三角形内角之间的关系的，这个定理是任意三角形的一个重要性质，它是学习以后知识的基础，并且是计算角的度数的方法之一。在解决四边形和多边形的内角和时都将转化为三角形的内角和来解决。其中辅助线的作法、把新知识转化为旧知识、用代数方法解决几何问题，为以后的学习打下良好的基础，三角形内角和定理在理论和实践中有广泛的应用。 2、三角形内角和定理的内容，学生在小学已经熟悉，但在小学是通过实验得出的，要向学生说明证明的必要性，同时说明今后在几何里，常常用这种方法得到新知识，而定理的证明需要添辅助线，让学生明白添辅助线是解决数学问题（尤其是几何问题）的重要思想方法，它同代数中设末知数是同一思想。 3、学生在小学里已知三角形的内角和是180°，前面又学习了三角形的有关概念，平角定义和平行线的性质，而且也渗透了三角形的内角和是180°的证明，它的证明借助了平角定义，平行线的性质。用辅助线将三角形的三个内角巧妙地转化为一个平角或两平行线间的同旁内角，为定理的证明提供了必备条件。尽管前面学生接触过推理论证的知识，但并末真正去论证过，特别是在论证的格式上，没有经过很好的锻炼。因此定理的证明应是本节引导和探索的重点。辅助线的作法是学生在几何证明过程中第一次接触，只要教师设置恰当的问题情境，学生再由实验操作、观察、抽象出几何图形，用自主探索的方式是可以完成的， 并且这样的过程可以更好地发展他们的创造能力和实验能力。 从本节开始训练学生将命题翻译为几何符号语言，写出已知、求证，学会分析命题的证明思路，对培养学生的思维能力和推理能力将起到重要的作用。
初二数学第五节三角形内角和定理的证明教案鲁教版 ●课题 §6.5 三角形内角和定理的证明 ●教学目标 （一）教学知识点 三角形的内角和定理的证明. （二）能力训练要求 掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力. （三）情感与价值观要求 通过新颖、有趣的实际问题，来激发学生的求知欲. ●教学重点 三角形内角和定理的证明. ●教学难点 三角形内角和定理的证明方法. ●教学方法 实验、讨论法. ●教具准备 三角形纸片数张. 投影片三张 第一张：问题（记作投影片§6.5 A） 第二张：实验（记作投影片§6.5 B） 第三张：小明的想法（记作投影片§6.5 C） ●教学过程 Ⅰ.巧设现实情境，引入新课 ［师］大家来看一机器零件（出示投影片§6.5 A） 工人师傅将凹型零件（图6－34）加工成斜面EC与槽底CD成55°的燕尾槽（图6－35）的程序是：将垂直的铣刀倾斜偏转35°角（图6－5），就能得到55°的燕尾槽底角. 图6－34图6－35图6－36 为什么铣刀偏转35°角，就能得到55°的燕尾槽底角呢？ Ⅱ.讲授新课 ［师］为了回答这个问题，先观察如下的实验（电脑实验，或实物实验） 用橡皮筋构成△ABC，其中顶点B、C为定点，A为动点（如图6－37），放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上，请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角形：△A1BC、△A2BC、△A3BC……其内角会产生怎样的变化呢？
图6－37 ［生甲］当点A离BC越来越近时,∠A越来越接近180°,而其他两角越来越接近于0°. ［生乙］三角形各内角的大小在变化过程中是相互影响的. ［师］很好.在三角形中，最大的内角有没有等于或大于180°的？ ［生丙］三角形的最大内角不会大于或等于180°. ［师］很好.看实验：当点A远离BC时，∠A越来越趋近于0°,而AB与AC逐渐趋向平行，这时，∠B、∠C逐渐接近为互补的同旁内角.即∠B+∠C→180°. 请同学们猜一猜：三角形的内角和可能是多少？ ［生齐声］180° ［师］180°，这一猜测是否准确呢？我们曾做过如下实验：（出示投影片§6.5 B） 实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图6－38（1））然后把另外两角相向对折， 使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果. （1）（2）（3）（4） 图6－38 实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起. ［师］由实验可知：我们猜对了！三角形的内角之和正好为一个平角. 但观察与实验得到的结论，并不一定正确、可靠，这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢？请同学们再来看实验. 图6－39 这里有两个全等的三角形，我把它们重叠固定在黑板上，然后把三角形ABC的上层∠B剥下来，沿BC 的方向平移到∠ECD处固定，再剥下上层的∠A，把它倒置于∠C与∠ECD之间的空隙∠ACE的上方. 这时，∠A与∠ACE能重合吗？ ［生齐声］能重合.
第21卷第2期 苏州教育学院学报 Vol.21.No.22004年6月Journal of Suzhou Education College Jun.2004 三角形的内角和定理 虞言林 y (苏州大学数学科学学院,江苏苏州215006) 摘要:本文设想了三角形内角和定理在希腊时代的一种认识上的推进. 关键词:初等几何;内角和;转角 中图分类号:O123文献标识码:A 文章编号:1008-7931(2004)02-0057-02 公元前四百多年古希腊有一个著名的毕达哥拉斯学派.他们在数学上有许多重要的发现.其中的两个是很出名的.一个是毕达哥拉斯定理,那是说直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方;另一个是:三角形的三内角之和等于180 .关于三内角之和的这条定理,现今几乎是家喻户晓了,因为每个初中学生都知道它.由于这个定理陈述起来很简单,便于记忆,加之学校里的老师通常不用这个定理去为难学生,因此人们想起它时总觉得有点可爱.它的这么一点可爱性,恐怕和下列一件事有点联系.数学大师陈省身先生精心考察中国古代数学之后,发现在中国古算中竟然没有 三内角之和等于180 这一条定理,也没有它的类似物.想一想比这个定理难得多的勾股定理(即前面提到过的毕达哥拉斯定理)可以在中国古代的 九章算术 一书中找到,但三内角和定理却找不到,这不是很奇怪吗?陈先生认为那是 中国数学都偏应用 所致.这表明这个定理自古就没有什么应用,致使我们的祖先 理所当然 地把它忽略了.而且老师们也不大容易用它来考学生了. 但是历史是不会忘记这条定理的.19世纪初年出现了富于革命性的数学发现,即非欧几何学的发现 .它否定了经典几何中平行公理的先天必然性.这个发现与三内角和定理有着密切的联系.欧氏几何与非欧几何的差别可以反映在它们各自具有的不同的三内角和的定理上.从理论的形成、发展上讲,三内角和定理确实非常重要. 如果以弧度为单位,三内角和定理就是说:对于平面上任何一个三角形,如记 , , 为它的三个内角,则 + + =!,这里的!就是圆周率3.14159!!. 值得注意的是: , , 因三角形不同而取不同的值,故它们是千变万化的.但 是定理中的等式宣称 + + 的值是不变的,它就等于!.这道出了一个 万变 不 离其 宗 的事实.这时的 宗 就是!. 对于平面上凸n 边形的情形,定理是怎样呢?容易知道,凸n 边形的内角和是(n-2)!,换句话说,它的外角和是2!.人们可以将多边形剖分为若干个三角形,对每个三角形用上面的等式 + + =!便可求得凸n 边形的内角和.我们在此就不细说了.不过现在要提醒大家:为着说清同一件事,用外角和的说法比用内角和的说法好.这是因为2!是常数而(n -2)!则随着n 一起变化.57y 收稿日期:2004-04-30 作者简介:虞言林(1939-),男,浙江桐庐人,苏州大学数学科学学院教授.