练习5 三角形的内角和定理和外角性质
一、选择题
1.（2020-2021·四川·月考试卷）一个等腰三角形的一个角是50°，它的一腰上的高与底边的夹角是（）
A.25°
B.40°
C.25°或40°
D.不确定
【答案】C
【解答】解：当底角是50°时，则它一腰上的高与底边的夹角是90°?50°=40°；
(180°?50°)=65°,则它一腰上的高与底边的夹角是90°?65°=25°.故选C．
当顶角是50°时，则它的底角就是1
2
2.（2020-2021·安徽·月考试卷）一副直角三角尺叠放在一起可以拼出多种图形，如图①?④，每幅图中所求角度正确的个数有()
①∠BFD=15°；②∠ACD+∠BCE=150°；③∠BGE=45°；④∠ACE=30°.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【答案】A
【解答】解：如图①中，∠BFD=∠EDC?∠B=45°?30°=15°，故①正确；
如图②中，∠ACD+∠BCE=∠DCE+∠ACE+∠BCE=∠DCE+∠BCA=180°，故②错误；如图③中，∠BGE=∠B+ 45°=75°，故③错误；如图④中，∠ACE=90°?∠ECD=45°，故④错误．故选A．
3.（2020-2021·甘肃·月考试卷）下列关于三角形的说法错误的是()
A.三角形的中线、高、角平分线都是线段
B.任意三角形内角和都是180°
C.三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和等腰三角形
D.直角三角形两锐角互余
【答案】C
【解答】解：A，三角形的中线、高、角平分线都是线段，故本选项正确；B，根据三角形的内角和定理，三角形的内角和等于180°，故本选项正确；C，因为三角形按角分为直角三角形和斜三角形（锐角三角形、钝角三角形），故本选项错误；D，直角三角形两锐角互余，故本选项正确.故选C．
4.（2020-2021·云南·月考试卷）如图，在△ABC中，∠C=58°，点O为△ABC的内心，则∠AOB的度数为()
A.119°
B.120°
C.121°
D.122°
【答案】A
【解答】解：∵ 点O为△ABC的内心，∵ AO平分∠CAB，BO平分∠CBA，∵ ∠BAO=1
2∠CAB，∠ABO=1
2
∠CBA，
∵ ∠AOB=180°?1
2
(∠CAB+∠CBA).∵ ∠C=58°，∵ ∠CAB+∠CBA=122°，∵ ∠AOB=180°?61°=119°.故选A.
5.（2020-2021·吉林·月考试卷）将一副三角尺按如图摆放，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF?//?BC，∠B=∠EDF= 90°，∠A=45°，∠F=60°，则∠CED的度数是()
A.15°
B.20°
C.25°
D.30°
【答案】A
【解答】解：∵ ∠B=90°，∠A=45°，∵ ∠ACB=45°．
∵ ∠EDF=90°，∠F=60°，∵ ∠DEF=30°．∵ EF?//?BC，∵ ∠EDC=∠DEF=30°，
∵ ∠CED=∠ACB?∠EDC=45°?30°=15°．故选A.
6.（2020-2021·吉林·月考试卷）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的点，DA=DE，DB=BE=EC．若∠ABC=130°，则∠C的度数为()
A.20°
B.22.5°
C.25°
D.30°
【答案】D
【解答】解：设∠C=x，
因为BE=EC，所以∠EBC=x，则∠DBE=130°?x.因为DB=BE，
所以∠EDB=1
2(180°?∠DBE)=1
2
(180°?130°+x)=25°+1
2
x.
因为DA=DE，所以∠A=1
2∠EDB=12.5°+1
4
x.在△ABC中，12.5°+1
4
x+x+130°=180°，解得x=30°.故选D．
7.（2020-2021·江苏·月考试卷）下列条件能判定△ABC为直角三角形的是()
A.∠A+∠B=∠C
B.∠A:∠B:∠C=1:2:4
C.a=32，b=42，c=52
D.a=4，b=5，c=6
【答案】A
【解答】解：A，∵ ∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∵ ∠C=90°，
∵ △ABC为直角三角形，故A正确；B，设∠A=x°，∠B=2x°，∠C=4x°，∵ x+2x+4x=180，解得x=180
7
，
则4x=4×180
7
≠90，∵ △ABC不是直角三角形，故B错误；
C，由于(52)2≠(32)2+(42)2，∵ △ABC不是直角三角形，故C错误；
D，42+52≠62，∵ △ABC不是直角三角形，故D错误.故选A．
二、填空题
8.（2020-2021·山东·期中试卷）如图，△ABC绕点A旋转得到△ADE，恰好使点C旋转后落在直线BC上的点E处，已知∠ACB=105°，∠CAD=10°，则∠B=________.
【答案】55°
【解答】解：∠ACB=∠CAD+∠CFA，且∠CFA=∠DFE，∵ ∠DFE=95°，∠ACF=75°.
∵ AC=AE，∵ ∠AEB=75°,∠AFC=∠AEB+∠EAD，∵ ∠EAD=20°,∠CAB=20°，
∵ ∠EAB=50°，∵ ∠B=180°?∠EAB?∠AEB=55°.故答案为：55°.
9.（2020-2021·广西·月考试卷）如图，直线a?//?b，∠1=110°，∠2=55°，则∠3的度数是________．
【答案】55°
【解答】解：如图：
∵ ∠5=∠2=55°，又∵ a?//?b，∵ ∠4=∠1=110°．
∵ ∠4=∠3+∠5，∵ ∠3=∠4?∠5=110°?55°=55°.故答案为：55°．
10.（2020-2021·河南·期中试卷）如图，在△ABC中，AE=DE=BD，AD=EC，∠ABE=17°，则∠EBC的度数是________.
【答案】56°
【解答】解：∵BD=DE，∴∠DEB=∠ABE=17°，∴∠ADE=∠ABE+∠DEB=34°.
∵AE=DE，∴∠A=∠ADE=34°.∵BD=AE，AD=CE，∴AD+BD=CE+AE，即AB=AC，
∴∠ABC=∠C=180°?∠A
2=180°?34°
2
=73°，∴∠CBE=∠ABC?∠ABE=73°?17°=56°.故答案为：56°.
11.（2020-2021·安徽·月考试卷）如图，△ABC?△ADE，延长BC，分别交AD，ED于点F，G，若∠EAB=120°，∠B=30°，∠CAD=10°，则∠CFD=________°．
【答案】95
【解答】解：∵ △ABC?△ADE，∵ ∠BAC=∠DAE=(120°?10°)÷2=55°，∵ ∠ACF=∠BAC+∠B=85°，∵ ∠CFA=180°?∠ACF?∠CAD=85°，∵ ∠CFD=180°?85°=95°.故答案为：95.
12.（2020-2021·湖北·期中试卷）如图，直线a?//?b，∠1=30°，∠2=40°，且AD=AC，则∠3的度数是________.
【答案】40°
【解答】解：∵ ∠ADC=∠1+∠2=70°，又∵ AD=AC，∵ ∠DAC=180°?2∠ADC=40°.
∵ 直线a?//?b，∵ ∠3=∠DAC=40°.故答案为：40°.
三、解答题
13.（2020-2021·湖北·期中试卷）如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD=84°，AB=AD=DC，求∠CAD的度数.
【答案】解：∵ AB=AD，∵ ∠B=∠ADB，由∠BAD=84°，得∠B=180°?84°
2
=48°=∠ADB.
∵ AD=DC，∵ ∠C=∠CAD，∵ ∠CAD=1
2
∠ADB=24°．
14.（2020-2021·江西·月考试卷）如图①，△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D．
(1)若∠ABC=75°，∠ACB=45°，求∠D的度数；
(2)若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D，∠M，∠N的关系，并说明理由．
【答案】解：(1)∵ ∠ACE=∠A+∠ABC，∵ ∠ACD+∠ECD=∠A+∠ABD+∠DBE，∠DCE=∠D+∠DBC，又∵ BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，∵ ∠ABD=∠DBE，∠ACD=∠ECD，
∵ ∠A=2(∠DCE?∠DBC)，∠D=∠DCE?∠DBC，∵ ∠A=2∠D，
∵ ∠ABC=75°，∠ACB=45°，∵ ∠A=60°，∵ ∠D=30°.
(2)∠D=1
2
(∠M+∠N?180°).理由：延长BM，CN交于点A，
则∠A=∠BMN+∠CNM?180°，由(1)知，∠D=1
2∠A，∵ ∠D=1
2
(∠M+∠N?180°).
15.（2020-2021·河北·期中试卷）如图，在△ABC中，D，E是边AC，BC上的点，AE和BD交于点F，已知∠CAE=20°，∠C=40°，∠CBD=30°.
(1)求∠AFB的度数；
(2)若∠BAF=2∠ABF，求∠BAF的度数．
【答案】解：(1)∵ ∠AEB=∠C+∠CAE=40°+20°=60°，∵ ∠AFB=∠CBD+∠AEB=30°+60°=90°. (2)由(1)可知，∠AFB=90°，又∠BAF=2∠ABF，∵ 3∠ABF=90°，∵ ∠ABF=30°，∵ ∠BAF=2∠ABF=60°．
16.（2020-2021·山西·期中试卷）如图，在△ABC中，直线DF，EF分别垂直平分线段AC和BC，并相交于点F．且DF，EF分别交AB于点M，N，连接CM，CN．
(1)若AB=25cm，求△CMN的周长；
(2)若∠MCN=40°，求∠MFN的度数．
【答案】解：(1)∵ 点M，N分别在线段AC，BC的垂直平分线上，
∵ AM=CM，BN=CN，∵ C△CMN=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB=25cm．
(2)∵ AM=CM，BN=CN，∵ ∠ACM=∠A，∠BCN=∠B，
∵ ∠CMN=∠ACM+∠A=2∠A，∠CNM=∠BCN+∠B=2∠B．
∵ ∠MCN=40°，∠CMN+∠CNM=180°?∠MCN=140°，∵ 2∠A+2∠B=140°，∵ ∠A+∠B=70°，
∵ DM，EN分别垂直平分线段AC和BC，∵ ∠ADM=∠BEN=90°，∵ ∠DMA=90°?∠A，∠BNE=90°?∠B.∵ ∠FMN=∠DMA，∠FNM=∠BNE，
∵ ∠MFN=180°?∠FMN?∠FNM=180°?∠DMA?∠BNE=180°?(90°?∠A)?(90°?∠B)=∠A+∠B=70°．
5.4 平行线的性质定理和判定定理 1．下列命题中正确的有（） ①相等的角是对顶角；②若a∥b，b∥c，则a∥c； ③同位角相等；④邻补角的平分线互相垂直． A．0个B．1个C．2个D．3个 2．有下列四种说法： （1）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 （2）平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直 （3）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 （4）平行于同一条直线的两条直线平行． 其中正确的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 3．下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是（） A．B．C．D． 4．如图，∠C=110°，请添加一个条件，使得AB∥CD，则符合要求的其中一个条件可以是． （4题图）（5题图）（6题图）（7题图） 5．如图，AB∥CD，直线l分别与AB，CD相交，若∠1=50°，则∠2的度数为． 6．如图，l∥m，∠1=120°，∠A=55°，则∠ACB的大小是． 7．如图，直线a∥b，∠1=110°，∠2=55°，则∠3的度数为． 8．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=65°，求∠2的度数．
9．如图，AB∥CD，EF分别交AB、CD与M、N，∠EMB=50°，MG平分∠BMF，MG交CD于G，求∠MGC 的度数． 10．如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠E．求证：AD∥BC．
参考答案 1．C 2．D 3．B 4. ∠BEC=70°5．50° 6．65° 7．55° 8．解：∵AB∥CD， ∴∠ABC=∠1=65°，∠ABD+∠BDC=180°， ∵BC平分∠ABD， ∴∠ABD=2∠ABC=130°， ∴∠BDC=180°﹣∠ABD=50°， ∴∠2=∠BDC=50°． 9．解：∵∠EMB=50°， ∴∠BMF=180°﹣50°=130°． ∵MG平分∠BMF， ∴∠BMG=∠BMF=65°． ∵AB∥CD， ∴∠MGC=∠BMG=65°． 10．证明：∵AE平分∠BAD， ∴∠1=∠2， ∵AB∥CD，∠CFE=∠E， ∴∠1=∠CFE=∠E， ∴∠2=∠E， ∴AD∥BC． 初中数学试卷 桑水出品
三角形的内角和与外角和关系（基础）知识讲解 【学习目标】 1．理解三角形内角和定理的证明方法； 2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质； 3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题. 【要点梳理】 要点一、三角形的内角和 1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 2.结论：直角三角形的两个锐角互余. 要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 要点二、三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是 △ABC的一个外角. 要点诠释： （1）外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理、证明经常使用的理论依据．另外，在证明角的不等关系时也常想到外角的性质． 3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°． 【典型例题】 类型一、三角形的内角和 1．证明：三角形的内角和为180°. 【答案与解析】 解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.
《三角形的内角和》教学设计与说明 【教学内容】：“三角形的内角和”。例一，“试一试”和“练一练”。 【教材简析】： 本课教学先通过介绍数学家帕斯卡并讲述帕斯卡和三角形内角和的故事，激发学生的好奇心，进而引发“三角形内角和是180o”的猜想，再通过组织操作活动验证猜想，得出结论。最后让学生利用三角形内角和的知识求三角形中未知角的度数，并通过量角的度数的操作，进一步证实结论的正确性。因此本课教学需要引导学生度量、计算和实验，在活动中感知三角形内的三个角的度数之和是定数为180度，并能运用它解决有关实际问题，激发学生主动参与、自主探索的意识，锻炼学生的动手操作能力，发展学生初步的逻辑推理能力和空间观念。 【设计理念】： “三角形的内角和等于180°”是三角形的一个重要性质，教材通过多种方法的操作实验如：亲自动手测量、折叠、拼凑等，让学生确信这一个性质的正确性，根据学生已有的经验和教材的内容特点，本着学生的数学学习过程是一个自主构建自己对数学知识的理解过程”的教学理念，利用多媒体课件、采用小组合作探究式教学设计让学生经历猜想、验证、归纳总结等数学活动，体验知识的形成过程。在这节课中引入了帕斯卡和三角形内角和的故事为本节课注入了数学文化，数学思想，丰富了本节课的内容，这也是我这节课想要达到的教学目标. 【教学目标】： 1、知识与技能：让学生通过猜想——验证——归纳结论，发现“三角形的内角和是180o”。 2、过程与方法：让学生学会根据“三角形的内角和是180 o”这一知识求三角形中一个未知角的度数。 3、情感态度与价值观：激发学生主动参与、自主探索的意识，锻炼动手能力，发展空间观念，向学生传递数学文化，数学思想。 【教学重难点】：学生用撕拼法，折叠法自主探索三角形内角和是180o。 【教学准备】：多媒体，三角板，量角器、自制的三种三角形纸片等。 【教学过程】： 一、提出猜想： 多媒体出示帕斯卡的图片，介绍帕斯卡，并讲帕斯卡和三角形内角和的故事。 揭示课题：三角形内角和。 让学生大胆猜想三角形内角和是多少？ 【设计说明：通过帕斯卡和三角形内角和的故事引入课题，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣。同时也可以培养学生大胆猜想的数学思想。】 二、验证猜想： 我们既然提出了猜想，那下面我们该去研究验证了这个猜想是否正确了。 你们想用什么方法去验证呢？ 下面我们就进行小组合作，用你们刚才想到的方法去研究，互相交流你们发现了什么？ 1、画、量： 在点子图上，分别画锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。画好后分别量出各个角的度数，再把三个角的度数相加。 老师注意巡视和指导。交流各自加得的结果，说说你的发现。 2、折、拼： 学生用自己事先剪好的图形，折一折。 指名介绍折的方法：比如折的是一个锐角三角形，可以先把它上面的一个角折下，顶点和下面的边重合，再分别把左边、右边的角往里折，三个角的顶点要重合。发现：三个角会正好在一直线上，说明它们合起来是一个平角，也就是180度。 继续用该方法折钝角三角形，得到同样的结果。 直角三角形的折法有不同吗？ 通过交流使学生明白：除了用刚才的方法之外，直角三角形还可以用更简便的方法折；可以直角不动，而把两个锐角折下，正好能拼成一个直角；两个直角的度数和也是180度。 3、撕、拼： 可能有个别学生对折的方法感到有困难。那么还可以用撕的方法。 在撕之前要分别在三个角上标好角1、角2和角3。然后撕下三个角，把三个角的一条边、顶点重合，也能清楚地看到三个角合起来就是一个平角——180度。 三．归纳总结 刚才我们小组通过研究得出了什么结论呢？ 学生齐说：三角形的内角和是180o。 同学们你们想知道12岁的帕斯卡是用什么方法去验证的呢？多媒体出示帕斯卡的论证方法，教师讲解。 如果你们感兴趣的话可以到网络上去搜索有关帕斯卡的信息，再详细的了解他的这个论证方法！ 你们觉得帕斯卡的这种方法怎么样？
八年级数学导学稿 第五章几何证明初步 5.5三角形内角和定理(2) 开发区初中八年级数学备课组 学习目标：1、掌握直角三角形的性质定理及其逆命题。 2、经历探索直角三角形的性质定理及其逆命题的推理的过程，进一步培 养学生的推理能力.从而使他们灵活应用所学知识。 重点：直角三角形的性质定理及其逆命题。 难点：灵活应用所学知识证明直角三角形的性质定理及其逆命题。 教学过程： 【温故知新】 1、三角形内角和定理的内容是什么？ 2、取一副三角尺，你能说出每个三角尺的两个锐角的度数吗？同一副三角尺的两个锐角的和是多少度？ 【探索新知】 1、已知：在直角△ABC中, ∠ACB=900，求证：∠A+∠B =900 2、合作探究：直角三角形的性质定理： ------------------ 3、你能说出直角三角形的性质定理的逆命题吗？ 它是真命题还是假命题？如果是真命题，请加以证明；如果是假命题，请举一反例。 4、例1:已知：在直角△ABC中, ∠ACB=900， DC⊥AB,垂足是D求证：∠ACD =∠B
D C B A 【巩固提升】 如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD ⊥BC 于D, 则∠B=∠________,∠C=∠________. 【课堂小结】 【达标检测】 1、将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB 的度数为 A ．75° B ．95° C ．105° D ．120° 2.已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，AB 为斜边，AC=BD,BC,AD 相交于点E （1） 求证：AE=BE; （2） 若∠AEC= 45，AC=1，求CE 的长。 A C 【我的反思】
八年级数学上册 三角形内角和定理(第一课时) 一、教学内容分析 1．教学主要内容 《三角形内角和定理》共两个课时,它分为三角形内角和定理以及三角形外角.三角形内角和定理在小学阶段学生已经学习过,七年级又通过活动再次验证了这一结论,本节课的主要内容则要严格地证明这一结论,进行简单的问题解决,并为下一课时利用这一结论推导有关三角形外角的定理做好铺垫. 2．教材编写特点 三角形内角和定理学生已经探究过,教材先引导学生回顾原来的探究与验证过程,力图从探究与验证活动中获取证明的思路.三角形内角和定理的证明思路都是将角“凑”到一起,而在七年级验证过程中,学生已经有了将三个角“凑”到一起的经验.因此,这样的回顾是十分有必要的. 3．我的思考 本节课的内容是学生已经非常熟悉的,而本节课的重点是让学生在原有基础上,利用添加辅助线的方式对定理进行严格的证明,这就要求学生有严谨的思维、清晰的表达能力以及灵活的思维.而教师在课堂中要充分发挥自己的引导启发能力,让学生从不同的角度、用不同的方式去思考问题,体会“条条大路通罗马”,从而训练学生的数学思维. 二、学生分析 1．学生已有知识基础 学生在小学、七年级已经学习并探索过三角形内角和定理,本节课由回顾原来探索方式的基础上展开,是一个很自然的过渡,应该不会有很大障碍. 2．学生学习该内容可能的困难 (1)一些学生可能在如何添加有效辅助线上产生困难. (2) 一些学生可能在写证明过程时思路不太清晰. (3) 一些学生可能在应用过程中产生困难,找不到问题之间的联系. 3．我的思考： 在教学过程中,对学生的引导要到位、有效,教学生如何进行严谨证明,规范书写格式,对学生出现的问题、困难及时发现、解决,所学知识及时强化. 三、学习目标 1.知识与技能: （1）理解并掌握三角形内角和定理及其证明过程； （2）能利用三角形内角和定理进行简单的计算和证明；
5.3.1平行线的性质 (教案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
5.3 平行线的性质 5.3.1 平行线的性质 【知识与技能】 1.掌握平行线的性质定理. 2.综合运用平行线的判定及性质进行简单的证明或计算. 【过程与方法】 1.经历猜想、实践、探究不难得到平行线的性质定理.在此基础上，结合前节的知识，进行简单的证明或计算. 2.培养学生逆向思维的能力. 【情感态度】 培养学生逆向思维的能力. 【教学重点】 掌握平行线的性质定理，综合运用平行线的判定及性质进行简单的证明或计算. 【教学难点】 综合运用平行线的判定及性质进行简单的证明或计算. 一、情境导入，初步认识 问题利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行.反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢？二、思考探究，获取新知 可将上述问题细化： 1.如图，直线a∥b,直线a,b被直线c所截. （1）请填表： （2）如果a与b不平行，∠1与∠2还有以上关系吗？
（3）通过（1）（2）的探究，你能得到什么结论？ 2.如图，直线a∥b,则∠3与∠2相等吗为什么∠3与∠4互补吗 思考1.你能根据以上探究，归纳出平行线的三个性质定理吗？ 2.平行线的性质定理与相应的判定定理是怎样的关系？ 【归纳结论】1.平行线的性质： 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补. 2.平行线的性质定理与相应的判定定理的已知部分和结论部分正好相反，它们是互逆关系. 三、运用新知，深化理解 1.如图，已知AB∥CD，AD∥BC，∠A与∠C有怎样的大小关系，为什么？ 2.已知AB∥CD,直线EF分别交AB，CD于M，N，MP平分∠EMA，NQ平分 ∠MNC，那么MP∥NQ，为什么？ 3.将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1+∠2=_____.
1、（2011?昭通）将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（） A、45° B、60° C、75° D、85° 2、（2011?义乌市）如图，已知AB∥CD，∠A=60°，∠C=25°，则∠E等于（） A、60° B、25° C、35° D、45° 3、（2011?台湾）如图中有四条互相不平行的直线L 1、L 2 、 L 3、L 4 所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何 者正确（） A、∠2=∠4+∠7 B、∠3=∠1+∠6 C、∠1+∠4+∠6=180° D、∠2+∠3+∠5=360°
4、（2011?台湾）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B 的外角度数为何（） A、36 B、72 C、108 D、144 5、（2011?台湾）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数？（） A、37 B、57 C、77 D、97 6、（2011?宁波）如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C=20°，则∠EAB的度数为（） A、57° B、60° C、63° D、123° 7、直角三角形中两锐角平分线所交成的角的度数是（） A、45° B、135° C、45°或135° D、都不对 8、（2009?荆门）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（） A、40° B、30° C、20° D、10°
9、关于三角形的内角，下列判断不正确的是（） A、至少有两个锐角 B、最多有一个直角 C、必有一个角大于60° D、至少有一个角不小于60° 10、如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A=（） A、50° B、40° C、70° D、35° 11、如图，将等边三角形ABC剪去一个角后，则∠1+∠2的大小为（） A、120° B、180° C、200° D、240° 12、在三角形的三个外角中，钝角的个数最多有（） A、3个 B、2个 C、1个 D、0个 13、如图在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（） A、100 B、110 C、115 D、120 14、以下说法中，正确的个数有（）
7．5 三角形内角和定理 第1课时 三角形内角和定理 1．理解并掌握三角形内角和定理及其证明过程；(重点) 2．能利用三角形内角和定理进行简单的计算和证明．(难点) 一、情境导入 星期天，小明和几位同学一起做作业时，其中一位同学不小心把三角板的两个角给压断了．小明将两个角和剩余的一个角放在一起，发现这三个角之和是一个平角．我们知道一个平角是180°，即这个三角形的三个内角之和为180°，那其他的三角形也是这样吗？如何证明呢？ 下面让我们一起进入本节的学习，一起探究如何证明三角形的内角和等于180°. 二、合作探究 探究点一：三角形内角和定理 在△ABC 中，如果∠A＝1 2∠B ＝1 2 ∠C ，求∠A、∠B、∠C 分别等于多少度？ 解析：这是一道利用三角形内角和求各角度的计算题，由已知得∠B ＝∠C ＝2∠A.因此 可以先求∠A ，再求∠B 、∠C. 解：∵∠A＝12∠B ＝1 2∠C(已知)，∴∠B ＝∠C＝2∠A(等式的性质)．∵∠A＋∠B＋∠C ＝180°(三角形的内角和等于180°)，∴∠A ＋2∠A＋2∠A＝180°(等量代换)．∴∠A＝ 36°，∠B ＝72°，∠C ＝72°. 方法总结：求三角形内角度数时，要充分利用各角之间的关系，用其中一个角表示另外两个角，再借助三角形的内角和定理构建方程． 探究点二：三角形内角和定理的证明 已知：如图，在△ABC 中． 求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°. 解析：要证明三角形的内角和是180°，需要从涉及180°角的知识去考虑，涉及180°角的知识有：①平角；②邻补角；③两直线平行下的同旁内角．可从这三个方面分别考虑，
七年级数学下册第九章《三角形》素材： 三角形的内角和问题 利用欧几里得的平行公理及其等价定理即可证明『三角形三内角之和为180o定理及其证明记载于欧氏《几何原本》第一卷的命题32，证明如下： 第一卷命题32 在任意三角形中，如果延长一边。则外角等于二内对角的和，而且三角形的三个内角的和等于二直角。 设ABC是一个三角形，延长其一边BC至D。则可证外角ACD等于两个内对角CAB，ABC的和且三角形的三个内角 ABC.BCA.CAB的和等于二直角。 事实上，过点C作平行于直线AB的直线CE。﹝I. 31﹞ 这样，由于AB平行于CD，且AC和它们同时相交，其错角BAC，ACE彼此相等﹝I. 29﹞ 又因为，AB平行于CE，且直线BD同时和它们相交，同位角ECD 与角ABC相等。﹝I. 29﹞ 但是已经证明了角ACE也等于角BAC； 故整体角ACD等于两内对角BAC.ABC的和。 给以上各角加上ACB。 于是角ACD.ACB的和等于三个角ABC.BCA.CAB的和。 但角ACD.ACB的和等于二直角。﹝I. 13﹞ 所以，角ABC.BCA.CAB的和也等于二直角。
证完 ﹝取材自蓝纪正，朱恩宽﹝1992﹞。《欧几里得?几何原本》，页27。台北：九章出版社﹞ 但若不用这条公理，又何以证明呢？ 法国著名数学家勒让德﹝1752─1833﹞为此作出研究，并于1794年出版了被世界各国广泛采用为初等几何教材的《几何原理》。书中他重新排列欧几里得的几何命题，把定理与一般命题分列，简化证明之余，仍保持逻辑上的严密性。书中亦提及『三角形三内角和不大于180°』这著名的命题，其证明步骤如下：于直线上取 AC=CC1=...=Cn-2Cn-1，作全等三角形△ABC≌△CB1C1≌...≌△ Cn-2Bn-1Cn-1，连BB1，B1B2，...，Bn-2Bn-1，得全等三角形△BCB1≌△B1C1B2≌... ≌△Bn-1Bn-2Cn-1 。拼作△B0AB≌△BCB1﹝此时认为B0，B，B1，...，Bn-1在一条直线上并无根据的﹞。 若△ABC的三内角和大于180°，必使角α大于角β，故AC>BB1，但AB0 + B0B +...+ Bn-1Cn-1>AC + CC1 +...+ Cn-2Cn-1，故2AB0 + nBB1>nAC，即n(AC-BB1)<2AB0=2BC，并一切自然数n都合符上式，这与阿基米德公理﹝对于任意二个正实数a与b，必存在正整数n，使na ≧ b成立﹞矛盾，故此，三角形三内角和不大于180°。
三角形的内角和(1) 一、教学目标 知识目标： 1、知道三角形内角之间的关系，直角三角形的两个内角互余 2、知道三角形外角的意义以及外角和内角之间的关系 3、能运用相关结论进行有关的推理和计算； 能力目标： 通过观察、操作、想象、推理等活动，经历三角形的内角和等于180度的过程。体会说理的必要性 二、教学重难点 1、探索三角形3个内角之间的关系以及三角形外角的性质 2、在使用有关结论的场合形成及时的反馈，理性思维的培养 三、设计思路 本课通过创设“剪一剪，拼一拼” 情境，让学生直观感受“三角形3个内角的和是1800；“议一议”的设计目的在于使学生对三角形内角和的感性认识提升到理性认识的阶段，培养学生的推理能力和有条理地表达能力，在此基础上进一步探索三角形的3个内角关系和三角形外角性质，进一步得到直角三角形的两个锐角互余这一重要性质。 四、教学过程 （一）创设情境，感悟三角形内角和等于180 step1：在小学里，学生就会用拼图的方法得出三角形内角和等于1800 【设计说明：通过操作，使学生直观地感受三角形的三个内角之间的关系】 step2：在△ABC 中，把∠A 撕下，然后把点A 与点C 重合在同一点，摆成如图所示的位置： 【设计说明：根据内错角相等，两直线平行，可知a ∥b ，又由两直线平行，同旁内角互补，就可以得到∠A+∠B+∠C=1800】 （二）探索规律，揭示三角形内角和等于1800 议一议：如图7-33，3根木条相交成∠1，∠2，若木条a 与木条b 平行，则∠1+∠2=1800 A B a b (2) 1 221(1) b a C B A 操作：把木条a 绕点A 转动，使它与木条b 相交于点C ，根据图（2），你能说明“三角形内角和等于1800”吗？
《三角形的内角和》教学设计 数学系09（2）班马颗颗 教学内容： 九年制义务教育七年级下册第七章第五节。 教学目标： （1）了解三角形的内角； （2）会运用平行线的性质与平角的定义证明三角形的内角和等于180. （3）学会解决与求角有关的实际问题； （4）初步培养学生的说理能力。 教学重点与难点 重点：了解三角形的内角和性质，学会解决简单的实际问题。 难点：证明三角形的内角和等于180。 学情分析: 学生在小学学习中，通过实验操作知道了三角形内角和的结论，在这节课中，要让学生自己回顾已学过的几何意义，定理，从中发现有180的结论。 教学过程 1.情境创设 （1）回顾：小学里用拼图的方法证明了“三角形内角和等于180”。 （2）证明：根据180角的性质。用平行线中同旁内角互补证明“三角形的内角和等于180”。（文字语言，图像语言和符号语言是几何说理的基础，为之后论证几何阶段的说理作准备这里不给出其他证法的详细过程，只是对说理思路进行数学交流） （3）延伸：用“三角形的内角和等于180”解决问题。 1．在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C , 求∠C的度数。 2．已知三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角的度数。 2.探究活动 1．等边三角形的一个内角是多少度？ 2．直角三角形的两锐角之和是多少度？请证明你的结论. 3．（1）你能求出未知的三个角的度数吗？ （2）你所求出得三个角和已知的三个角有什么联系吗？
根据两道例题得出两个结论： “直角三角形的另个锐角互余”， “三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”。 3.总结知识点 1．三角形的内角和为180； 2．直角三角形中得两个锐角互余； 3.．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 4.课后拓展布置作业 （1）练习册习题 （2）你还能用其他方法对三角形内角和的性质进行说理吗？ （3）你能猜想出五边形的内角和吗？请对你的猜想结论通过说理进行证实。 Ａ B C 100° 20° 60° γ α β
《三角形的内角和》教案 设计思路：教学过程不仅是知识传授的过程，更是学生掌握良好学习方法，锻炼思维能力、感受数学思想的过程。因此，本次课遵循由特殊到一般的规律进行探究活动是这节课设计的主要特点之一。先让学生思考直角三角形的另外两个角是什么角，再设疑让学生判断一个三角形中有两个角是直角，引出课题。接着让学生猜想是不是所有的三角形的内角和是180°。学生通过用量的方法得出三角形的内角和大约是180°（存在误差），再引导学生通过剪拼、折拼的方法发现：各类三角形的三个内角都可以拼成一个平角。再利用课件演示进一步验证，由此获得三角形的内角和是180°的结论。这一系列活动潜移默化地向学生渗透了“转化”数学思想，培养学生科学试验的态度，培养学生的统计观念。让学生体验数学学习的快乐。学生分析： 四年级的学生已经掌握了锐角、直角、钝角、平角的概念；知道直角或平角的度数、会用量角器度量角的度数。认识了三角形，知道了三角形根据角分类，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。并且知道了等腰三角形和等边三角形。在量角时，已经对三角形内角和是180°进行了渗透。不少学生都已经知道了结论，但是很可能都知其然不知其所以然。教材分析： 三角形的内角和是三角形的一个重要特征。从教材的安排来看，是在学习了三角形的特性及分类之后，同时三角形的内角和又是学生以后学习多边形的内角和及解决实际问题的基础。在呈现教学内容时，我们要重视知识的形成过程，给学生提供动手操作的学具，留给学生充分进行自主探索和交流的空间，让学生通过量和拼的活动，在探索、实验、发现、讨论交流中，推理归纳出三角形的内角和是180°。 教学目标： 1.让同学亲自动手，通过量和拼的活动发现、证实三角形内角和是180°，并会应用这一知识解决生活中简单的实际问题。 2.让同学在动手获取知识的过程中，培养同学的创新意识、探索精神和实践能力。并通过动手操作把三角形内角和转化为平角的探究活动，向同学渗透“转化”数学思想。 3.使同学体验胜利的喜悦，激发同学主动学习数学的兴趣。 教学准备：多媒体课件、三角形、量角尺等 教学过程 一、激趣引入 （一）认识三角形内角 师：老师今天带了几个三角形来，请看屏幕，如果把它按照角来分类的话，有哪几种三角形？生1：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 师：无论是哪种三角形都有几个角？ 生：三个角。 师：我们把它的三个角叫做三角形的内角。 师：请看屏幕(课件演示三条线段围成三角形的过程)。 师：三条线段围成三角形后，在三角形内形成了三个角，（课件分别闪烁三个角和的弧线），我们把三角形里面的这三个角分别叫做三角形的内角。（这里，有必要向同学直观介绍“内角”。） 师：今天我们就一起来研究三角形的内角和三个内角的和（板书：三角形的内角和）（二）研究一般三角形内角和 1.猜一猜。 师：猜一猜其它三角形的内角和是多少度呢？同桌互相说说自身的看法。 生1：180°。
8.4平行线的判定定理 7数导—010 授课时间：2014年3月日班级：姓名： 一、学习目标 1、掌握平行线的性质定理“两直线平行，同位角相等”“两直线平行，内错角相等”“两直线平行，同旁内角互补” 2、在与前一节判定定理的联系中，体会互逆的思维过程。 3、进一步理解证明的基本步骤和书写格式。 4、发展学生的初步的演绎推理能力。 二、重难点 重点：平行线的性质定理。 难点：明确推理证明每一步的理论依据，证明格式和步骤的规范性。 三、学习过程： （探究一）两直线平行的性质定理1：两直线平行，同位角相等 结合学习目标独立思考，翻看课本48—49页了解性质定理一的证明过程，由此，我们可以得到两直线平行的第一个性质定理： （探究二）两直线平行的性质定理2：两直线平行，内错角相等 （1）你能将命题“两直线平行，内错角相等”用“如果…那么…”的形式表示出来吗？请写出来。 （2）通过（1）的表示，请找出该命题中的条件和结论。 条件： 结论： （3）通过（2）的条件和结论，你能写出已知、求证吗？并根据已知画出几何图形和完成证明过程中的填空。 已知： 求证： 证明：∵a∥b（） ∴∠3=∠2 （） ∵∠1=∠3（） ∴∠1= （） 由此，我们可以得到两条直线平行的第二个性质定理： （探究三）两直线平行的性质定理3：两直线平行，同旁内角互补 独立思考，脱离课本完成下列问题： （1）、通过定理“两直线平行，内错角相等”的学习，你能结合图形直接写出命题“两直线平行，同旁内角互补”的证明过程吗？试试看。已知：如图a∥b，∠1，∠2是直线a和b被直线c截出的同旁内角。 求证：∠1+∠2=180° 证明： 由此，我们可以得到两条直线平行的第三个性质定理： 预习自测 1、如图a∥b，写出相等的同位角： . 写出相等的内错角：， 写出互补的同旁内角： 2、如图a∥b，∠1=68°，那么：∠2的度数为 3、如图，已知：DE∥BC，∠ABC=52°，∠BED=18° 求：∠ABE的度数 四.课堂学习 1、小组展示探究二的证明过程，进一步规范证明定理的基本步骤。 2、小组展示探究三的证明过程。你还能用其他方法求证吗？组内交流。
5.5三角形内角和定理（1） 一、教学目标 1.知识与技能目标：会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于 ?180，能用三角形内角和等于?180进行角度计算和简单推 理，并初步学会利用辅助线解决问题，体会转化思想在解 决问题中的应用。 2.过程与方法目标：通过拼图实验、合作交流、推理论证的过程。体现“做中学” 发展学生的合情推理能力和逻辑思维能力，初步获得科学研 究的体验。 3.情感态度价值观目标：通过操作、交流、探究、表述、推理等活动，培养学生 的合作精神，体会数学知识内在的联系与严谨性，鼓励学 生大胆提出疑问，培养学生良好的学习习惯。 二、重点、难点 重点：三角形内角和等于?180的证明及应用 难点：证明三角形内角和等于?180 三、教学过程 “三角形的三个内角之和是?180” 如何证明这个结论的正确性？ 已知：△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=?180 证法一 证明： 在△ABC 的外部以CA 为边 作∠ACE=∠A.延长BC 至D 则 C E ∥B A ﹙内错角相等，两直线平行﹚ ∴∠DCE=∠B ﹙两直线平行，同位角相等﹚ ∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=?180 ﹙平角定义﹚ ∴∠BCA +∠A +∠B=?180 ﹙等量代换﹚ ∴∠BCA +∠A +∠B = ?180 2.同学想一想还有没有其他的方法证明这个结论的正确性？ 证法二 证明： 延长BC 至D ，过C 作CE ∥BA. 则∠A =∠ACE ﹙两直线平行，内错角相等﹚ ∠B =∠ECD ﹙两直线平行，同位角相等﹚ ∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=?180 E. D . A E. D . A
7.2.1三角形的内角 教学目标 1 经历实验活动的过程，得出三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理 2 能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题 重点：三角形内角和定理 难点：三角形内角和定理的推理的过程 课前准备 每个学生准备好二个由硬纸片剪出的三角形，在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码 一、创设情境 1、上节课我们已经学习了三角形的边，研究了三角形的三条边之间的关系。今天我们学习三角形的内角，研究三角形的三个内角之间又有怎样的关系。（板书：7.2.1三角形的内角） 2、出示课件： 有一△ABC（如图），由于老师一不小心将墨水洒落到∠A处，现测得∠B=50°、∠C=60°，你能帮助老师计算出∠A的度数吗？ 问：（1）谁能回答这个问题？说明你的理由。（利用三角形的内角和为180°得到的）（2）你们同意他的结论吗？ 问：三角形的内角和为180°这个结论是正确的吗？你是什么时候知道这个结论的？又是怎样验证这个结论的呢？（小学时学习的，是通过测量的方法验证的） 问：（1）你当时测量了多少个三角形的内角和的180°的呢？ （2）你当时对这一结论的正确性产生过怀凝吗？为什么？ 课件出示 通过测量的方法可以验证三角形的内角和是180°,但是由于形状不同的三角形有无数多个,我们不可能通过测量的办法一一验证。测量总有特殊性，不可能说明全部三角形的内角和都是1800。为了能够准确的论证“三角形的三个内角的和等于180°”这一命题的正确性。我们需要寻找一种能证明任意一个三角形的内角和等于180°的方法。（你们同意这种看法吗？）出示课件 什么叫证明呢？就是由题设（已知）出发，经过推理论证得出结论。 下面我们就来研究这一命题的证明方法。 出示课件 三角形的三个内角的和等于180° 二、探究过程
练习5 三角形的内角和定理和外角性质 一、选择题 1.（2020-2021·四川·月考试卷）一个等腰三角形的一个角是50°，它的一腰上的高与底边的夹角是（） A.25° B.40° C.25°或40° D.不确定 【答案】C 【解答】解：当底角是50°时，则它一腰上的高与底边的夹角是90°?50°=40°； (180°?50°)=65°,则它一腰上的高与底边的夹角是90°?65°=25°.故选C． 当顶角是50°时，则它的底角就是1 2 2.（2020-2021·安徽·月考试卷）一副直角三角尺叠放在一起可以拼出多种图形，如图①?④，每幅图中所求角度正确的个数有() ①∠BFD=15°；②∠ACD+∠BCE=150°；③∠BGE=45°；④∠ACE=30°. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】A 【解答】解：如图①中，∠BFD=∠EDC?∠B=45°?30°=15°，故①正确； 如图②中，∠ACD+∠BCE=∠DCE+∠ACE+∠BCE=∠DCE+∠BCA=180°，故②错误；如图③中，∠BGE=∠B+ 45°=75°，故③错误；如图④中，∠ACE=90°?∠ECD=45°，故④错误．故选A． 3.（2020-2021·甘肃·月考试卷）下列关于三角形的说法错误的是() A.三角形的中线、高、角平分线都是线段 B.任意三角形内角和都是180° C.三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和等腰三角形 D.直角三角形两锐角互余 【答案】C
【解答】解：A，三角形的中线、高、角平分线都是线段，故本选项正确；B，根据三角形的内角和定理，三角形的内角和等于180°，故本选项正确；C，因为三角形按角分为直角三角形和斜三角形（锐角三角形、钝角三角形），故本选项错误；D，直角三角形两锐角互余，故本选项正确.故选C． 4.（2020-2021·云南·月考试卷）如图，在△ABC中，∠C=58°，点O为△ABC的内心，则∠AOB的度数为() A.119° B.120° C.121° D.122° 【答案】A 【解答】解：∵ 点O为△ABC的内心，∵ AO平分∠CAB，BO平分∠CBA，∵ ∠BAO=1 2∠CAB，∠ABO=1 2 ∠CBA， ∵ ∠AOB=180°?1 2 (∠CAB+∠CBA).∵ ∠C=58°，∵ ∠CAB+∠CBA=122°，∵ ∠AOB=180°?61°=119°.故选A. 5.（2020-2021·吉林·月考试卷）将一副三角尺按如图摆放，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF?//?BC，∠B=∠EDF= 90°，∠A=45°，∠F=60°，则∠CED的度数是() A.15° B.20° C.25° D.30° 【答案】A 【解答】解：∵ ∠B=90°，∠A=45°，∵ ∠ACB=45°． ∵ ∠EDF=90°，∠F=60°，∵ ∠DEF=30°．∵ EF?//?BC，∵ ∠EDC=∠DEF=30°， ∵ ∠CED=∠ACB?∠EDC=45°?30°=15°．故选A. 6.（2020-2021·吉林·月考试卷）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的点，DA=DE，DB=BE=EC．若∠ABC=130°，则∠C的度数为()
授课人修世刚备课时间 3.26 上课时间 4.2 执教班级7.6 课题平行线的性质定理 教学课时 1 教学课型（新授、复习、 习题、实验等） 新授课 教学目标 一）教学知识点 1.平行线的性质定理的证明. 2.证明的一般步骤. （二）能力训练要求 1.经历探索平行线的性质定理的证明.培养学生的观察、分析和进行简单的逻辑推理能力. 2.结合图形用符号语言来表示平行线的三条性质的条件和结论.并能总结归纳出证明的一般步骤. （三）情感与价值观要求 通过师生的共同活动，培养学生的逻辑思维能力，熟悉综合法证明的格式.进而激发学生学习的积极主动性. 教学重点、难点(一)重点在观察实验的基础上进行公理的概括与定理的推导． (二)难点推理过程的规范化表达． 媒体运 用 电子白板 预设过程（应包括课程导入、预习自学、展示交流、当堂练习检测等）
Ⅰ.巧设现实情境，引入新课 ［师］上节课我们通过推理得证了平行线的判定定理，知道它们的条件是角的大小关系.其结论是两直线平行.如果我们把平行线的判定定理的条件和结论互换之后得到的命题是真命题吗？ 这节课我们就来研究“如果两条直线平行”. Ⅱ.讲授新课 ［师］在前一节课中，我们知道：“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”这个真命题是公理，这一公理可以简单说成： 两直线平行，同位角相等. 下面大家来分组讨论 议一议：利用这个公理，你能证明哪些熟悉的结论？ ［生甲］利用“两条直线平行，同位角相等”可以证明：两条直线平行，内错角相等. ［生乙］还可以证明：两条直线平行，同旁内角互补. ［师］很好.下面大家来想一想： （1）根据“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”.你能作出相关的图形吗？ （2）你能根据所作的图形写出已知、求证吗？ （3）你能说说证明的思路吗？ 图1
规律方法指导 1．三角形内角和为180°，三角形三个外角的和是360°,这是在做题时题设不用加以说明的已知条件； 在三个角中已知其中两个角的度数便能求第三个角的大小. 2．在一个三角形中最多只能有一个钝角或者一个直角，最少有两个锐角. 3．三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度数及有关的推理论证时经常使用的理论依据． 外角的性质应用：①证明一个角等于另两个角的和；②作为中间关系式证明两角相等；③证明角的不等关系. 4．利用作辅助线求解问题，会使问题变得简便. 经典例题透析 类型一：三角形内角和定理的应用 1．已知一个三角形三个内角度数的比是1：5：6，则其最大内角的度数为（） A．60° B．75° C．90° D．120° 举一反三： 【变式1】在△ABC中，∠A=55°，∠B比∠C大25°，则∠B的度数为（）A．50° B．75°C．100° D．125° 【变式2】三角形中至少有一个角不小于________度。 类型二：利用三角形外角性质证明角不等 2．如图所示，已知CE是△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA延长线于点E。求证：∠BAC ＞∠B。
举一反三： 【变式】如图所示，用“＜”把∠1、∠2、∠A联系起来________。 类型三：三角形内角和定理与外角性质的综合应用 3．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. 举一反三： 【变式】如图所示，五角星ABCDE中，试说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。 类型四：与角平分线相关的综合问题 4．如图9，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点Ｄ．（1）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，则∠BDC＝________； （2）若∠ABC＋∠ACB＝120°，则∠BDC＝________； （3）若∠A＝60°，则∠BDC＝________； （4）若∠A＝100°，则∠BDC＝________；
教学设计 一、学习目标 1.能根据三角形的内角和定理推出直角三角形的性质理 2.会写出“直角三角形的两锐角互余”这一性质定理的逆命题，即直角三角形的判定定理 3.会利用直角三角形的性质定理和判定定理解决有关问题。 二、重点 直角三角形的性质及判断方法 三、难点 直角三角形的性质及判断方法的应用 四、教学过程 （一）演练导学 1.说出下列命题的逆命题，并判断原命题和 逆命题的真假 （1）两直线平行，内错角相等（） 逆命题：________________ （） （2)对顶角相等（） 逆命题：________________（） （3）若x2=y2，则x=y （） 逆命题：________________ 2 在△ABC ,∠A+∠B+∠C =___度，若∠C=90°则∠A+∠B=____度，此时我们称∠A与∠B__ （二）得出结论 直角三角形的性质：直角三角形的两锐角互余 （三）解惑质疑 例1.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D 求证：∠1=∠B （四）跟踪练习 1.如图，已知△ABC中，已知∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高， AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数。 （五）演练导学 你能说出直角三角形性质定理的逆命题吗? 逆命题_____________________ 它是真命题还是假命题？若是真命题，请写出证明过程 （六）解惑质疑 例2. 已知：如图，A,B,E三点在同一条直线 上DB⊥AE, AB=DB, BC=BE 求证：AF⊥DE （七）跟踪练习 如图，已知：AB∥CD, AE平分∠BAC, CE 平分∠ACD 求证：△AEC是直角三角形 （八）达标测试 （九）反馈总结这节课你有什么收获？与同学交流一下你的心得，请写下来吧
《三角形的内角和》案例分析 德清县乾元镇清溪小学沈琦琦 【案例】 教学目标： 1.知识与技能：通过小组合作，运用直观操作的方法，探究并发现三角形内 角和等于180度。能应用三角形内角和的性质解决一些简单问题。 2.过程与方法：经历亲自动手实践、探索三角形内角和的过程，体会运用“量 一量”“拼一拼”“折一折”“推算”进行验证的数学思想方法。 3.情感态度价值观：使孩子们在数学活动中获得成功的体验，增强自信心。 培养学生的创新意识、探索精神和实践能力，在学生亲自动手实践和归纳中，感受理性的美。 教学重点：让学生探究发现并验证三角形内角和等于180度。 教学难点：帮助学生建立空间观念。 教学准备：教学课件、不同类型的三角形纸片、正方形和长方形纸片 , 教学过程： 一、创设情境 1.认识内角，引出课题 （把三种三角形贴在黑板上）你们认识它们吗一起来叫叫他们的名字。 它们有哪些共同特征呢（它们都有三条边和三个角） 这三个角称为三角形的内角，我们为了更好的区分这三个内角，可以为每个内角标上序号。（给角标上序号）那你们知道什么是三角形的内角和吗也就是三角形三个内角的度数总和，对吗今天我们就来研究三角形的内角和（板书课题） 2.情境引入 猜想： 你们认为三角形的内角和会是多少度呢你是怎么知道的啊 师：同学们认为三角形的内角和是180度（板书：三角形的内角和是180度) ~ 那三角形的内角和真的是180度吗（在“180度”后面打上“”）想不想自己来验证一下呢
二、小组合作探究三角形的内角和 验证： 老师给大家准备了一些材料（展示材料时教师逐一举一举），请大家选择其中的一些材料想方法来验证。比一比哪个小组同学想到的方法又多又好。 1.学生操作教师巡视 预设： 生1：量出三角形的三个内角和度数，加起来是否是180度。 生2：把三角形的三个内角剪下来拼一拼是否能拼成一个平角。 生3：折一折 生4：用长方形或正方形的内角和度数推算出三角形的内角度数。 ` …… 2．学生汇报 （1）量一量，算一算 师：哪个小组先来汇报一下，你用了什么方法（板书：量一量）那你量的是什么三角形另两种三角形你量了吗（请学生自己汇报自己的测量结果）看了这些测量的结果，你有什么发现（三角形的内角和有些是180度，有些不是） 师：你们发现三角形的内角和有些等于180度，有些接近180度，所以认为通过测量我们只能说三角形的内角和大约是180度，是吗（板书：大约，并把问号改成句号） 师反问：为什么会出现这样的情况 师：你们的意思是在量的过程中会产生误差。所以得到的三角形的内角和只能大约是180度。 师：那除了量一量的方法，还有用其他的方法来验证的吗 （2）剪一剪，拼一拼 ， 生：我们组是用剪拼的方法（板书:剪一剪） 师：你们验证的是什么三角形（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）师：请上来给大家展示下好吗 生：先把三个内角剪下来，然后拼起来了就是一个平角了，就是180度了。