经济数学模型分类作业
一、按数学模型的性质分为：
1、确定性模型：
确定性模型是一个由完全肯定的函数关系（因果关系）所决定的、不包含任何随机成份的模型。这种模型包括由微分方程所描述的数学模型，可用解析解法、数值解法和电模拟方
法求解。对于确定性模型，只要设定了输入和各个输入之间的关系，其输出也是确定
的，而与实验次数无关。确定性模型事实上是一种简化了的随机性模型。举例：
模型名称：大坝位移确定性模型
模型：把坝体某考察点的位移i视为几种外界条件贡献的总和
i(t) f i1(t) f i2(t) f i3(t)
式中:
i——某考察点,
△——位移,
t——时间,
f i1(t)——水位变化引起的弹性位移分量,
f i2(t)——变温引起的弹性位移分量,
f i3(t)——由于混凝土和岩石的非弹性性质引起的不可恢复的位移分量。
2、随机性模型：
随机性模型是指含有随机成份的模型。与确定性模型的不同可以很好地用以下例子解释：在赌场里赌大小，如果有人认为三次连开大第四次必然开小，那么此人所用的既是确定
性模型。但是常识告诉我们第四次的结果并不一定与之前的结果相关联。概率模型、统计回归模型、马氏链模型都属于随机性模型
举例：
模型名称：报童的诀窍
模型：报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。购进太少，不购卖，
会少赚钱；购进太多，卖不完，将要赔钱。他应该如何确定每天购进量，以获得最大收入。每天需求量是随机的，所以每天收入是随机的。
模型假设：
1、假设报纸没分购进价为b，零售价为a，退回价为c，a>b>c。
2、每天购进量为n份，需求量为r份的概率为 f(r),r=0,1,2 ,。
3、每天购进量为n份的日平均收入为G（n）。
模型构成：
n
G(n) [(a b)r (b c)(n r)]f(r) (a b)nf(r)
r 0 r n1
求n使G（n）最大
二、按数学模型的变量和函数结构的变动情况分为：
1、连续性模型：
模型中的任何量或关系的微小变动是相对稳定的。模型中的时间变量是在一定区间内变化的模型称为连续性模型。一般用微分方程描述。如：人口增长模型。
举例：
模型名称：连续增长模型
模型：标准的连续增长模型方程式dN/dt=(b-d)N=rN积分式Nt=N0e^rt
在很短的时间dt内,b,d为瞬时出生率、死亡
率，
N为种群大小。r为每员增长率，与密度
无
关。
2、非连续性模型：
模型中某些量或关系的变化是间断的，有跳跃的模型。
举例：
模型名称：马尔可夫模型
模型：马尔可夫链是随机变量X1,X2,X3?的一个数列。这些变量的范围，即他们所有可能
取值的集合，被称为“状态空间”，而Xn的值则是在时间n的状态。如果Xn+1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数，则
P(Xn+1=x∣X0,X1,X2, ?，Xn)=P(Xn+1=x∣Xn)
这里x为过程中的某个状态。
3、离散性模型：
模型中的变量是由可数点列构成的。变量（主要是时间变量）取离散的模型称为离散性
模型。在处理集中参数模型时，也可以将时间变量离散化，所获得的模型称为离散时间模型。
离散时间模型是用差分方程描述的。
举例：
模型名称：原生动物的裂体生殖模型
N t 1 R0N t
模型：
N t为t世代种群大小，N t1是t世代下一代。
三、根据模型的参数分为：
1、固定参数模型：
在模型化过程中所涉及的参数只需给定一次。
举例：
模型名称：戈登股利增长模型
模型：不变增长模型有三个假定条件：
1、股息的支付在时间上是永久性的。
2、股息的增长速度是一个常数。
3、模型中的贴现率大于股息增长率。
V为股票的初始价值。Di每期股票的收益，R为回报率。
2、自适应参数模型：
需要随着经济原型的变化对参数进行必要的调整，这时参数往往属于一个参数空间。
举例：
模型名称：期望模型
模型：在经济活动中，经济活动主体经常根据他们对某些经济变量未来走势的“预期”变动来改变自己的行为决策。也就是说，某些经济变量的变化或多或少会受到另一些经济变量预
期值的影响。为了处理这种经济现象，我们可以将解释变量预期值引入模型建立“期望模型”
即：
Xt=X(t-1)+γ[Xt-X(t-1)]
其中Yt 是应变量，Xt 是解释变量预期值， ut 为随机扰动项。 四、按模型与时间的关系分为：
1、动态模型：
模型的行为随时间变化， 而且时间是独立的变量， 其经济原型和时间的关系密切。 应当 指出，按步骤、阶段而变化（与时间长度无关）的模型有时也称为动态模型。在经济中，动 态模型是一类应用广泛的模型，尤其是在宏观方面。
动态模型用于描述系统的过程和行为，例如描述系统从一种状态到另一种状态的转换。 动态模型描述与操作时间和顺序有关的系统特征、 影响更改的事件、 事件的序列、事件的环 境以及事件的组织。 借助时序图、状态图和活动图，可以描述系统的动态模型。动态模型的 每个图均有助于理解系统的行为特征。 对于开发人员来说， 动态建模具有明确性、 可视性和 简易性的特点。
举例：
模型名称：生产计划模型
模型：公司要对某产品制定 n 周的生产计划，产品每周的需求量、生产和贮存费用、生产能 力的限制、初始库存量等都是已知的，试在满足需求的条件下，确定每周的生产量，使 n 周
的总费用最少。
决策变量是第
k 周的生产量，记作u k (k
1,2,,n)。已知下列数据及函数关系：第k
周的需求量d k ：第k 周产量为u k 时的生产费为 c k (u k )；第k 周初贮存量为x k 时这一周 的贮存费为h k (x k )；第k 周的生产能力限制为
U k
；初始（k 0）及终结（k
n ）时贮
存量均为零。按照最短路问题的思路，设从第 k 周初贮存量为 x 到（ n 周末）过程结束的 k 最小费用函数为 f k (x k )，则下列逆向递推公式成立。 f k (x k ) min[c k (u k )
h k (x k )f k1(x k1)]
x k X k ,k n , ， 2,1 0u k U k
f n1(x n1)0
（1）
而x k 与x k 1满足
xk1
x k
u k
d k , kn,，2，1
（2）
x 1
x
n1 0
这里贮存量 x k 是状态变量，（2）式给出了相邻阶段的状态在决策变量作用下的转移规
律，称为状态转移规律。在用（1）式计算时，x k的取值范围——允许状态集合X k由（2）式及允许决策集合 (0 u k U k)决定。
2、稳态模型：
模型的行为不随时间而变化（时间可以是参量），其经济原型对时间的变化相对稳定，也就是说研究对象仍是动态过程，但建模的目的并不是寻求动态过程中每个瞬间的性
态，
而
是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋
势，
需要考查模型的平衡状态是否稳定。
稳态模型是指要描述的系统各量之间的关系是不随时间的变化而变化的，一般都用代数方程来表达。静态模型展示了待开发系统的结构特征。类图是系统静态模型的一部分。
举例：
模型名称：效应函数模型
模型：u(x,y)=xy
其中，x，y分别是两个商品的消费量，均不随时间的变化而变化。U（x，y）是消费这样一个消费束给消费者带来的效用，a>0，b>0。
3、拟稳态模型：
一个非稳态的经济原型用一系列静态模型来表示，其特点是模型的经济原型是动态的，而这一系列模型中的每一个经济模型是稳态的。
五、按模型的经济背景分为：
宏观经济模型：
宏观经济研究的是一个国家整体经济的运行情况，以及政府如何运用经济政策来影响国家整体经济的运作，其运行目标是促进社会经济发展和福利水平。宏观经济模型主要包括总
需求-总供给模型、IS-LM模型、SNA模型、国民收入决定模型、经济周期模型、索洛模型、
菲利普斯曲线模型等。
举例：
模型名称：国民收入决定模型
模型:总支出AE是用货币表现的总需求。在一个完全的模型中， AE由总消费支出C，总投资
支出I，政府购买支出GP和国外部门的购买支出即出口EX构成：
AE=C+I+GP+EX
N I 与AE相等时
的
NI是均衡的国民收入。
消费者的可支配收入DI可以分为两大部分：消费C和储蓄S。因此，可支配收入可以写为：
DI=C+S
微观经济模型：
微观经济研究的是单个经济单位的经济活动， 旨在解决资源配置问题， 级生产什么、如 何生产和为谁生产， 以实现个体效益的最大化。 微观经济模型主要包括供给与需求模型、 效
用基数与序数模型、生产成本模型、完全竞争市场的供求模型、垄断市场价格与产量模型、 纳什均衡模型等。蛛网模型 垄断的又古诺模型，斯威齐模型。
举例：
模型名称：蛛网模型
模型：蛛网模型的基本假定是：
商品的本期产量Q 决定于前一期的价格 P ，即供给函数
为
ts t-1 Q=f(P t -1 )，商品本期的需求量 Q 决定于本期的价格 P ，即需求函数为 Q=f(P ）。
ts td t td t
根据以上的假设条件，蛛网模型可以用以下三个联立的方程式来表
示：
Q t d =α-β?P t
Q t s =-δ+γ?P t-1
Qtd=Qts
其中，α、β、δ和γ均为常数且均大于零。由于区别了经济变量的时间先后，因此，蛛网模型是一个动态模型。 六、按模型学科背景分为：
1、运筹学模型：
主要是线性规划、 整数规划、动态规划等当面的运筹学应用和模型， 可以用来解决
农作物的生产安排问题、运输问题、最佳路线问题等生活实际问题。 举例：
模型名称：线性规划模型
模型：假设有м项有限的资源要在n 项活动中间进行分配。给各项资源规定脚标1,2,,,м,给各项活动规定脚标1,2,,,n,设xj （即决策变量,有时亦称控制变量）为j 项活动的水平，
j=1,2,,,n 。决策变量x1,x2,,,xn 的一组数值代表一个方案（或计划）。设z 为选定的
某个效益量度（总效益指标）
，它的数值衡量当采取一组活动水平（ x1，x2，,， xn ）时所 得到的总效益。设 cj 为每一单位的 xj 所提供的效益。设 bj 为i
项资源在分配时可被
利用的量，最后，设 ai j （i =1,2,, ,м；j =1,2,, ,n ）为 i 项资源被每单位 j
项活动所消
耗（或使用）的量。于是， 将各项资源分配给各项活动以获得最优化结果的规划问题具有下
列数学模型：
选择x1，x2，,,xn的值，借以使
z=c1x1+c2x2+,, +cnxn 达到最大，且满足下列各项限制条件：
a11x1+ a12x2+,, a1nxn≤b1
21 1+222+,, +2 ≤
b 2
ax ax anxn
11+ 22+,, +≤
amx amx amnxnbm
及x1≥0，x2≥0，,，xn≥0
这个数学模型可以等价地表述为下列更为简洁的矩阵形式：
选择x的值，借以使z=cx达到最大，且满足下列条件：
A X≤b
x≥0
式中：
x=（x1,x2,,xn ）（n维列向量）
c=（c1,c2,,cn ）（n维行向量）
b=（b1,b2,,bm）（m维列向量）
（м×n矩阵）
2、经济控制论模型：
从宏观经济总体出发，利用经济控制论、现代控制理论，以及输入、输出、反馈、协调、
优化等基本概念建立的宏观经济系统的数学模型，并通过计算机仿真运行来实现对宏观经
济系统的最优控制。
经济控制论模型是指应用经济控制论和现代控制理论对宏观经济系统进行辨识和估计
而建立的模型，以便通过计算机仿真运行来实现宏观经济系统的最优控制或次优控制。经济控
制论模型是从宏观经济系统总体出发，利用经济控制论以及输入、输出、反馈、协调、优
化等基本概念建立的宏观经济系统的数学模型。它为宏观经济系统的最优控制提供了新的思
想和工具。
举例：
模型名称：单周期连续型随机库存控制模型
*p C s
模型：P(x Q)
只要知道该物资的单位进价、售价、回收价、损失顾客时的罚款以及日需
求量的概率分布，就可以求出可使利润期望值最大的一次订货批量。
3、计量经济学模型：
以统计数据为基础，以数学工具为手段，在一定的经济理论的指导下建立的经济模型。
它具体又可分为线性回归模型、时间序列模型、协整模型和面板数据等。
计量经济模型包括一个或一个以上的随机方程式，它简洁有效地描述、概括某个真实经
济系统的数量特征，更深刻地揭示出该经济系统的数量变化规律。是由系统或方程组成，方程
由变量和系数组成。其中，系统也是由方程组成。举例：
模型名称：多元线性回归模型
模型：多元线性回归模型的一般形式为
Yi=β0+β1X1i+β2X2i+?+βkXki+μii=1,2, ?,n
其中k为解释变量的数目，βj（j=1,2,?,k)称为回归系数（regressioncoefficient)。上式也被称为总体回归函数的随机表达式。它的非随机表达式为
E(Y∣X1i,X2i, ?Xki,)=β0+β1X1i+β2X2i+?+βkXki
βj也被称为偏回归系数（partialregressioncoefficient)
4、数理经济学模型：
指用数学语言描述经济问题的模型，目的在于通过数学工具进行演绎推理，从而得到某
种有经济意义的结果。这类模型从建立到演绎推理，都是严格在数学变换中进行的。
七、按建立模型类别分为：
1、模拟模型：
模拟模型，就是根据系统或过程的特性，按一定规律用计算机程序语言模拟系统原型的
数学方程。
举例：
模型名称：穿越公路模型
模型：穿越公路者在60秒的期间内的每一时刻都可能到达公路旁，用[0，60]（单位：秒）
上的均匀分布随机变量模拟穿越公路者到达路旁的时刻是合理的。
2、统计模型：
有些过程无法用理论分析方法导出其模型，但可通过试验或直接由工业过程测定数据，经
过数理统计法求得各变量之间的函数关系，称为统计模型。
常用的数理统计分析方法有最大事后概率估算法，最大似然率辨识法等。
举例：
模型名称：预测模型
模型：常见的预测模型有一元线性回归模型，计算公式为Y=a+b*x.
3、优化模型：
利用最优化理论建立的模型，重在进行配置、统筹和最佳控制。
举例：
模型名称：存贮模型
模型：配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。
模型假设：
1、产品每天的需求量为常数r；
2、每次生产准备费为c1, 每天每件产品贮存费为c2；
3、T天生产一次（周期）, 每次生产 Q件，当贮存量为零时， Q件产品立即到来（生产时间不计）；
4、为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。
建模目的：设r,c1,c
2
已知，
求
T,Q 使每天总费用的平均值最小。
模型建立：贮存量表示为时间的函数q(
t)
，
t=0
生
产
Q件，q(0)=Q,q(t) 以需求速
率
r递
减，q(T)=0.
Q=rT
4、结构模型：
重在对原型的逻辑化、分析、推理和解释假说。结构方程模型（Structuralequation modeling,SEM）是一种融合了因素分析和路径分析的多元统计技术。它的强势在于对多变
量间交互关系的。
举例：
模型名称：刘易斯-费-拉尼斯模型。
模型：这一理论被西方许多经济学家认为是第三世界劳动剩余国家发展过程的普遍真理.刘易斯二元结构理论的三个假设前提：
ⅰ不发达经济分为两个部门，即城市以制造业为中心的现代部门和农村以农业，手工业为主的传统部门。
ⅱ劳动无限供给。
ⅲ工资水平不变。
刘易斯划分了资本主义部门和自给农业部门，这就是所谓二元结构问题。资本越多，就可以将更多的劳动者从自给农业部门吸收到城市工业部门中来。当剩余劳动完全吸收到现代
工业部门中去，这时二元结构变成了一元结构，也就完成了不发达经济的发展问题。刘易斯认为资本积累和技术进步是同一方向的，二者密切相关。经济发展的关键就是资本积累。
数学模型按照不同的分类标准有许多种类： 1.按照模型的数学方法分，有几何模型，图论模型，微分方程模型。概率模型，最优控制模型，规划论模型，马氏链模型。 2.按模型的特征分，有静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线性模型和非线性模型。 3.按模型的应用领域分，有人口模型，交通模型，经济模型，生态模型，资源模型。环境模型。 4.按建模的目的分，有预测模型，优化模型，决策模型，控制模型等。 5.按对模型结构的了解程度分，有白箱模型，灰箱模型，黑箱模型。 数学建模的十大算法： 蒙特卡洛算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法。） 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用matlab作为工具。） 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用lingo、lingdo软件实现）图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。） 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题时用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需谨慎使用） 网格算法和穷举法（当重点讨论模型本身而情史算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具） 一些连续离散化方法（很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认得是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。） 图像处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用matlab来处理问题。） 数学建模方法 统计：1.预测与预报2.评价与决策3.分类与判别4.关联与因果 优化：5.优化与控制 预测与预报 ①灰色预测模型（必须掌握） 满足两个条件可用： a数据样本点个数少，6-15个 b数据呈现指数或曲线的形式 ②微分方程预测（备用） 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式
数学模型的分类有哪些 数学模型可以按照不同的方式分类，下面介绍常用的几种． 1.按照模型的应用领域(或所属学科)分：如人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型等．范畴更大一些则形成许多边缘学科如生物数学、医学数学、地质数学、数量经济学、数学社会学等． 2.按照建立模型的数学方法(或所属数学分支)分：如初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、规划论模型等． 按第一种方法分类的数学模型教科书中，着重于某一专门领域中用不同方法建立模型，而按第二种方法分类的书里，是用属于不同领域的现成的数学模型来解释某种数学技巧的应用．在本书中我们重点放在如何应用读者已具备的基本数学知识在各个不同领域中建模． 3.按照模型的表现特性又有几种分法：
确定性模型和随机性模型取决于是否考虑随机因素的影响．近年来随着数学的发展，又有所谓突变性模型和模糊性模型．静态模型和动态模型取决于是否考虑时间因素引起的变化． 线性模型和非线性模型取决于模型的基本关系，如微分方程是否是线性的． 离散模型和连续模型指模型中的变量(主要是时间变量)取为离 散还是连续的． 虽然从本质上讲大多数实际问题是随机性的、动态的、非线性的，但是由于确定性、静态、线性模型容易处理，并且往往可以作为初步的近似来解决问题，所以建模时常先考虑确定性、静态、线性模型．连续模型便于利用微积分方法求解，作理论分析，而离散模型便于在计算机上作数值计算，所以用哪种模型要看具体问题而定．在具体的建模过程中将连续模型离散化，或将离散变量视作连续，也是常采用的方法． 4.按照建模目的分：有描述模型、分析模型、预报模型、优化模
薅§16.3建立数学模型的方法、步骤、特点及分类 螁[学习目标] 蚀1.能表述建立数学模型的方法、步骤； 蒆2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；； 羆3.能表述数学建模的分类； 蒃4.会采用灵活的表述方法建立数学模型； 葿5.培养建模的想象力和洞察力。 薆一、建立数学模型的方法和步骤 膃—般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.§16.2节的示例都属于机理分析方法。测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(SystemIdentification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数． 袁可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。 膈建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从 薆§16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示． 薄图16-5建模步骤示意图 蚃模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 芁模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样．
数学模型的分类有哪些？ 数学模型可以按照不同的方式分类，下面介绍常用的几种． 1.按照模型的应用领域(或所属学科)分：如人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型等．范畴更大一些则形成许多边缘学科如生物数学、医学数学、地质数学、数量经济学、数学社会学等． 2.按照建立模型的数学方法(或所属数学分支)分：如初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、规划论模型等． 按第一种方法分类的数学模型教科书中，着重于某一专门领域中用不同方法建立模型，而按第二种方法分类的书里，是用属于不同领域的现成的数学模型来解释某种数学技巧的应用．在本书中我们重点放在如何应用读者已具备的基本数学知识在各个不同领域中建模． 3.按照模型的表现特性又有几种分法： 确定性模型和随机性模型取决于是否考虑随机因素的影响．近年来随着数学的发展，又有所谓突变性模型和模糊性模型． 静态模型和动态模型取决于是否考虑时间因素引起的变化． 线性模型和非线性模型取决于模型的基本关系，如微分方程是否是线性的． 离散模型和连续模型指模型中的变量(主要是时间变量)取为离散还是连续的． 虽然从本质上讲大多数实际问题是随机性的、动态的、非线性的，但是由于确定性、静态、线性模型容易处理，并且往往可以作为初步的近似来解决问题，所以建模时常先考虑确定性、静态、线性模型．连续模型便于利用微积分方法求解，作理论分析，而离散模型便于在计算机上作数值计算，所以用哪种模型要看具体问题而定．在具体的建模过程中将连续模型离散化，或将离散变量视作连续，也是常采用的方法． 4.按照建模目的分：有描述模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等． 5.按照对模型结构的了解程度分：有所谓白箱模型、灰箱模型、黑箱模型．这是把研究对象比喻成一只箱子里的机关，要通过建模来揭示它的奥妙．白箱主要包括用力学、热学、电学等一些机理相当清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题，这方面的模型大多已经基本确定，还需深入研究的主要是优化设计和控制等问题了．灰箱主要指生态、气象、经济、交通等领域中机理尚不十分清楚的现象，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做．至于黑箱则主要指生命科学和社会科学等领域中一些机理(数量关系方面)很不清楚的现象．有些工程技术问题虽然主要基于物理、化学原理，但由于因素众多、关系复杂和观测困难等原因也常作为灰箱或黑箱模型处理．当然，白、灰、黑之间并没有明显的界限，而且随着科学技术的发展，箱子的“颜色”必然是逐渐由暗变亮的．
数学模型的分类 按模型的数学方法分： 几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模型、马氏链模型等 按模型的特征分： 静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线性模型和非线性模型等 按模型的应用领域分： 人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。 按建模的目的分： 预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等 一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往往也和建模的目的对应 按对模型结构的了解程度分： 有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等 比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。 按比赛命题方向分： 国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016美赛六个题目（离散、连续、运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策） 数学建模十大算法 1、蒙特卡罗算法 （该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法 （比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题 （建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现） 4、图论算法 （这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）
5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法 （这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法 （这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用） 7、网格算法和穷举法 （当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法 （很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9、数值分析算法 （如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用） 10、图象处理算法 （赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理） 算法简介 1、灰色预测模型（必掌握） 解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。 满足两个条件可用： ①数据样本点个数少，6-15个 ②数据呈现指数或曲线的形式 2、微分方程预测（高大上、备用） 微分方程预测是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但其中的要求，不言而喻。学习过程中 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。 3、回归分析预测（必掌握） 求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变化； 样本点的个数有要求： ①自变量之间协方差比较小，最好趋近于0，自变量间的相关性小； ②样本点的个数n＞3k+1，k为自变量的个数；
中考数学模型的常见类型及其应用 史承灼 【摘要】“联系实际，加强应用”已经成为数学教育改革的一个重要方面，以应用数学的理论和方法解决实际问题的能 力为目标的“问题解决”亦已成为中考一大热点．而“数学模 型”或“数学建模”则是实现“数学问题解决”的基本手段和 主要内容．初中阶段常见的数学模型大致有：数与式、方程、 不等式、函数、三角、几何和统计模型等． 【关键词】初中数学问题解决构建数学模型随着数学教育改革的不断发展和深入，“联系实际，加强应用”已经成为数学 教育改革的一个重要方面，在基础教育中以培养应用数学的理论和方法解决实际问题的能力为目标的“问题解决”越来越引起人们的高度关注，亦已成为国际数学教育的一大热点．而“数学模型”或“数学建模”则是实现“数学问题解决”的基本手段和主要内容．掌握常见的“数学模型”和“数学建模”的方法，将会激发学生的创造能力，有助于应用数学知识解决实际问题能力的提高，从而达到加强“数学问题解决”教育的目的． 在数学的“问题解决”中，应用数学知识去解决实际问题，首先要把实际问题中的数学问题明确地表述出来，也就是说，要通过对实际问题的分析、归纳给出以描述这个问题的数学提法；然后才能使用数学的理论和方法进行分析，得出结论；最后再返回去解决现实的实际问题．由于实际问题的复杂性，往往很难把现成的数学理论直接套用到这些实际问题上，这就必须要在数学理论和所要解决的实际问题之间构建一个桥梁来加以沟通，以便把实际问题中的数学结构明确地表示出来，这个桥梁就是“数学模型”，这个桥梁的构建过程就是“数学建模”．一般说来，所谓数学模型是指通过抽象和简化，使用数学语言对实际现象的一个近似的刻画，以便于人们更深刻地认识所研究的对象．而“数学建模”的过程 考数学试题中，常见的应用问题按解决问题时建立数学模型所用数学知识和方法的
建立数学模型的方法、步骤、特点及分类 [学习目标] 1.能表述建立数学模型的方法、步骤； 2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非 预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；； 3.能表述数学建模的分类； 4.会采用灵活的表述方法建立数学模型； 5.培养建模的想象力和洞察力。 一、建立数学模型的方法和步骤 —般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(System Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数． 可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法
为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。 建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从 §16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示． 图16-5 建模步骤示意图 模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样．
新课标下初中数学建模的常见类型 汕头市澄海溪南中学 陈耀盛 全日制义务教育数学课程标准对数学建模提出了明确要求，标准强调“从学生以有的经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解析与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力。情感态度与价值观等方面得到进步和发展。”强化数学建模的能力，不仅能使学生更好地掌握数学基础知识，学会数学的基本思想和方法。也能增强学生应用数学的意识，提高分析问题，解决实际问题的能力。2007年全国各地的中考试题考查学生建模思想和意识的题目有许多，现分类举例说明。 一、建立“方程（组）”模型 现实生活中广泛存在着数量之间的相等关系，“方程（组）”模型是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型，它可以帮助人们从数量关系的角度更正确、清晰的认识、描述和把握现实世界。诸如纳税问题、分期付款、打折销售、增长率、储蓄利息、工程问题、行程问题、浓度配比等问题，常可以抽象成“方程（组）”模型，通过列方程（组）加以解决 例1（2007年深圳市中考试题）A 、B 两地相距18公里，甲工程队要在A 、B 两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A 、B 两地间铺设一条输油管道。已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1公里，甲工程对提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道？ 解：设甲工程队每周铺设管道x 公里，则乙工程队每周铺设管道（x ＋1）公里。 依题意得：31 1818=+-x x 解得x 1=2， x 2=－3
经检验x1=2，x2=－3都是原方程的根。 但x2=－3不符合题意，舍去。 ∴x＋1=3 答：甲工程队每周铺设管道2公里，则乙工程队每周铺设管道3公里。二、建立“不等式（组）”模型 现实生活建立中同样也广泛存在着数量之间的不等关系。诸如统筹安排、市场营销、生产决策、核定价格范围等问题，可以通过给出的一些数据进行分析，将实际问题转化成相应的不等式问题，利用不等式的有关性质加以解决。 例2 （2007年茂名市中考试题）某体育用品商场采购员要到厂家批发购进篮球和排球共100只，付款总额不得超过11815元。已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表，试解答下列问题： （1）该采购员最多可购进篮球多少只？ （2）若该商场能把这100只球全部以零售价售出，为使商场获得的利润不低于2580元，则采购员至少要购篮球多少只？该商场最多可盈利多少元？ 解：（1）该采购员最多可购进篮球ｘ只，则排球为（100－x）只，依题意得：130x＋100（100－x）≤11815 解得x≤60.5 ∵x是正整数，∴x＝60 答：购进篮球和排球共100只时，该采购员最多可购进篮球60只。 （2）该采购员至少要购进篮球ｘ只，则排球为（100－x）只，
数学模型的概念及分类 2.1数学模型的概念 数学模型是指运用数学符号和公式来表达来研究对象系统的结构或过程的模型。系统工程力求采用数学模型是因为数学模型是定量化的基础，是科学实验的补充手段，是预测和决策的重要工具，是推进科技发展的依据。数学的抽象化、公理化的概念和方法，体系十分严谨。数学的丰富的想像力和思辨性，如弯曲的几何和非平直的空间结构，蕴含着普遍真理。数学模型既然是对所研究的实际对象的概括与简化，因此它不能等同于实际对象的本身，它必须舍弃实际对象的质的规定性，而是从量的关系上对实际对象作形式化的描述和刻画，在这一过程中常常略去实际对象的某些次要性质和因素，抓住其主要性质和因素，因此数学模型虽然能从某些数量关系上反映实际对象的原型，但这种反映仅仅是一种近似和模拟。 2.2数学模型的分类 常见的数学模型分类有以下几种： 按数学模型的功能可分为定量的和定性的。 按数学模型的目的可分为理论研究的，预期结果的和优化的。 按数学模型变量之间的关系可分为代数的，几何的和积分的。 按数学模型的结构可分为分析的，非分析的和图论的。 按数学模型所研究对象的特性可分为确定的和随机的，静态的和动态的，连续的和离散的，或线性的和非线性的。 按数学模型所用的数学方法可分为初等模型，微分方程模型，优化模型，控制论模型，逻辑模型，扩散模型，…… 按数学模型研究对象的实际领域可分为人口模型，交通模型，生态模型，生理模型，经济模型，社会模型．，工程系统模型，……
按数学模型研究对象的了解程度可分为白箱模型，灰箱模型和黑箱模型等。 2.3数学模型的特点 第一，它是某事物为一种特殊目的而作的一个抽象化、简单化的数学结构， 这意味着扬弃、筛选，是舍弃次要因素，突出主要因素的主要结果；是事物的一种模拟，虽源于现实，但非实际的原型，而又高于现实。 第二，它是数学上的抽象，在数值上可以作为公式应用，可以推广到与原物 相近的一类问题。 第三，可以作为某事物的数学语言，可以译成算法语言，编写程序进入计算机第三，可以作为某事物的数学语言，可以译成算法语言，编写程序进入计算机。通常所谓的处理事物和过程的模型化方法，往往就是为之建立数学模型来处理。
数学模型的分类有哪些？数学模型可以按照不同的方式分类，下面介绍常用的几种． 1. 按照模型的应用领域（或所属学科）分：如人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型等．范畴更大一些则形成许多边缘学科如生物数学、医学数学、地质数学、数量经济学、数学社会学等． 2. 按照建立模型的数学方法（或所属数学分支）分：如初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、规划论模型等． 按第一种方法分类的数学模型教科书中，着重于某一专门领域中用不同方法建立模型，而按第二种方法分类的书里，是用属于不同领域的现成的数学模型来解释某种数学技巧的应用．在本书中我们重点放在如何应用读者已具备的基本数学知识在各个不同领域中建模． 3. 按照模型的表现特性又有几种分法： 确定性模型和随机性模型取决于是否考虑随机因素的影响．近年来随着数学的发展，又有所谓突变性模型和模糊性模型． 静态模型和动态模型取决于是否考虑时间因素引起的变化． 线性模型和非线性模型取决于模型的基本关系，如微分方程是否是线性的． 离散模型和连续模型指模型中的变量（主要是时间变量）取为离散还是连续的．虽然从本质上讲大多数实际问题是随机性的、动态的、非线性的，但是由于确定性、静态、线性模型容易处理，并且往往可以作为初步的近似来解决问题，所以建模时常先考虑确定性、静态、线性模型．连续模型便于利用微积分方法求解，作理论分析，而离散模型便于在计算机上作数值计算，所以用哪种模型要看具体问题而定．在具体的建模过程中将连续模型离散化，或将离散变量视作连续，也是常采用的方法． 4. 按照建模目的分：有描述模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等． 5. 按照对模型结构的了解程度分：有所谓白箱模型、灰箱模型、黑箱模型．这是把研究对象比喻成一只箱子里的机关，要通过建模来揭示它的奥妙．白箱主要包括用力学、热学、电学等一些机理相当清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题，这方面的模型大多已经基本确定，还需深入研究的主要是优化设计和控制等问题了．灰箱主要指生态、气象、经济、交通等领域中机理尚不十分清楚的现象，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做．至于黑箱则主要指生命科学和社会科学等领域中一些机理 （数量关系方面）很不清楚的现象．有些工程技术问题虽然主要基于物理、化学原理，但由于因素众多、关系复杂和观测困难等原因也常作为灰箱或黑箱模型处理．当然，白、灰、黑之间并没有明显的界限，而且随着科学技术的发展，箱子的“颜色”必然是逐渐由暗变亮的．
目录 一、问题重述 (2) 二、问题提出 (2) 三、问题分析 (2) 四、模型假设 (2) 五、主要符号说明 (3) 六、模型建立与求解 (3) 6.1探究影响流行音乐风格分类的主要因素 (3) 6.1.1旋律对音乐风格的影响 (3) 6.1.2音高对音乐风格的影响 (6) 6.1.3和声对音乐风格的影响 (7) 6.1.4音色对音乐风格的影响 (7) 6.1.5复调对音乐风格的影响 (7) 6.1.6节拍对音乐风格的影响 (7) 6.2对各影响因素进行主成分分析 (8) 6.2.1模型的建立 (8) 6.2.2模型的求解 (10) 6.3用matlab进行音乐特征提取 (11) 6.3.1利用FFT进行频谱分析 (11) 6.3.2特征提取分析 (12) 6.3.3特征提取结果 (12) 6.4基于BP神经网络的分类算法 (13) 6.4.1 BP神经网络介绍 (13) 6.4.2 BP神经网络训练步骤 (14) 6.4.3 BP神经网络语音特征信号分类 (15) 6.4.4 归一化处理 (16) 6.4.5 结果分析 (16) 七、模型的优缺点 (18) 7.1层次分析法的优缺点 (18) 7.2主成分分析法的优缺点 (18) 7.3 BP神经网络的优缺点 (18) 八、参考文献 (19)
一、问题重述 随着互联网的发展，流行音乐的主要传播媒介从传统的电台和唱片逐渐过渡到网络下载和网络电台等。网络电台需要根据收听者的已知喜好，自动推荐并播放其它音乐。由于每个人喜好的音乐可能横跨若干种风格，区别甚大，需要分别对待。这就需要探讨如何区分音乐风格的问题。 在流行音乐中，传统的风格概念包括Pop（流行）、Country（乡村）、Jazz（爵士）、Rock（摇滚）、R&B（节奏布鲁斯）、New Age（新世纪）等若干大类，它们分别可以细分成许多小类，有些小类甚至可以做更进一步的细分。而每首歌曲只能靠人工赋予风格标签。这样的做法有许多不足：有的类别之间关系不清楚，造成混乱；有的类别过度粗略或精细；有的类别标签没有得到公认；有的音乐归属则存在争议或者难以划归。 二、问题提出 建立合理的数学模型，对流行音乐的风格给出一个自然、合理的分类方法，以便给网络电台的推荐功能和其它可能的用途提供支持。 三、问题分析 对于流行音乐风格的分类，要从以下三个方面进行考虑： （1）探究影响流行音乐风格分类的主要因素。目前，旋律、音高、和声、音色、复调和节拍等都是体现音乐风格的因素。通过建立递阶层次结构，构造判断矩阵并赋值、层次单排序（计算权向量）与检验、主成分分析的数学模型等方法，确定影响流行音乐风格的主要因素； （2）音乐特征提取。通过FFT进行频谱分析，利用不同类别音乐的统计规律提取特征向量； （3）进行归一化处理； （4）利用BP神经网络分类算法进行分类。 四、模型假设 4.1忽略主观因素对流行音乐风格分类的影响 4.2假设每个音乐分类是明确的 4.3假设流行音乐市场处于稳定状态 4.4其他所发生的偶然因素对模型无影响
四类基本模型 1 优化模型 1.1 数学规划模型 线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。 1.2 微分方程组模型 阻滞增长模型、SARS 传播模型。 1.3 图论与网络优化问题 最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。 1.4 概率模型 决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。 1.5 组合优化经典问题 ● 多维背包问题(MKP) 背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。如何将尽可能多的物品装入背包。 多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。 多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。该问题属于NP 难问题。 ● 二维指派问题(QAP) 工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。工人i 完成工作j 的时间为ij d 。如何安排使总工作时间最小。 二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。 二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。 ● 旅行商问题(TSP) 旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。 ● 车辆路径问题(VRP) 车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在
模型类型： 一：关联分析类（回归分析、相关分析法、熵权法、归一化、主成分分析、聚类分析、典型相关分析、灰色关联度分析、层次分析法、判别分析法、小波分析、灵敏度分析、误差分析、残差检验、回归方程显著性检验） 二：预测类（时间序列、灰色预测、插值拟合） 三：图论模型（最短路问题、图片匹配类模型） 四：最优化类（遗传算法、神经网络、蚁群算法、线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划） 类别类别（2）模型名称关键点备注 参 考 书 目 复杂系统库存模型排队模型 可靠系统 差 分方程模型动力系统类 酵母菌增长模型 平衡点；平 衡点的分 类 地高辛衰减模型 战争模型 总量一定 时，对单量 的分配 竞争物种模型 不稳定平 衡：对初始 值敏感 比例性模型 钓鱼比赛模型 几何相似 性 身高、体重与灵活性模型 A 数据拟合模型最小二乘拟合 停止距离模型97 海湾收成模型 多项式拟合 磁带播放模型 高阶多项 式敏感度 很强 光滑化115 停止距离模型（2） 三阶样条 法。有自然 和强制样 条两种 134 A 预时间序列GM(1,1)，指数平滑，线性平滑因果分析法
测 A 聚类分析灰色关联度分析聚类分析 因子分析 模 拟方法蒙特卡罗算法 硬币投掷模型149 汽油储存模型 逆线性样 条（可改变 随机数范 围） 155 港口系统模型 改变参数 时，改善情 况的分析 164 离 散概率模型马尔可夫链 汽车租赁模型 要结合蒙特卡 罗算法 176 投票趋势模型177 Markov决策 串联和并联系统模型178 线性规划模型 无约束类生产计划模型192取整数类载货模型194动态规划类197 多目标规划类投资问题 有时须对 目标进行 取舍。可采 取加权 系统层次分析196 冲突目标 Minmax与maxmin 机会约束 约束满足 概率性>P 矛盾约束 约束相互 矛盾 单纯形法木匠生产模型 注意步骤 性。 215组合模型 参数模型 动态规划决策法 背包问题 排序问题 多步骤形 的规划 数值搜索法工业流程优化 黄金分割 搜索法 还有二分搜索 法 233
数学模型是近些年发展起来的新学科，是数学理论与实际问题相结合的一门科学。它将现实问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究，从而从定性或定量的角度来刻画实际问题，并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。 根据研究目的，对所研究的过程和现象(称为现实原型或原型)的主要特征、主要关系、采用形式化的数学语言，概括地、近似地表达出来的一种结构，所谓“数学化”，指的就是构造数学模型．通过研究事物的数学模型来认识事物的方法，称为数学模型方法．简称为MM方法。 数学模型是数学抽象的概括的产物，其原型可以是具体对象及其性质、关系，也可以是数学对象及其性质、关系。数学模型有广义和狭义两种解释．广义地说，数学概念、如数、集合、向量、方程都可称为数学模型，狭义地说，只有反映特定问题和特定的具体事物系统的数学关系结构方数学模型大致可分为二类：(1)描述客体必然现象的确定性模型，其数学工具一般是代效方程、微分方程、积分方程和差分方程等，（2）描述客体或然现象的随机性模型，其数学模型方法是科学研究相创新的重要方法之一。在体育实践中常常提到优秀运动员的数学模型。如经调查统计．现代的世界级短跑运动健将模型为身高1.80米左右、体重70公斤左右，100米成绩10秒左右或更好等。 用字母、数字和其他数学符号构成的等式或不等式，或用图表、图像、框图、数理逻辑等来描述系统的特征及其内部联系或与外界联系的模型。它是真实系统的一种抽象。数学模型是研究和掌握系统运动规律的有力工具，它是分析、设计、预报或预测、控制实际系统的基础。数学模型的种类很多，而且有多种不同的分类方法。
数学模型可以按照不同的方式分类，下面介绍常用的几种． 1.按照模型的应用领域(或所属学科)分：如人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型等．范畴更大一些则形成许多边缘学科如生物数学、医学数学、地质数学、数量经济学、数学社会学等． 2.按照建立模型的数学方法(或所属数学分支)分：如初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、规划论模型等． 按第一种方法分类的数学模型教科书中，着重于某一专门领域中用不同方法建立模型，而按第二种方法分类的书里，是用属于不同领域的现成的数学模型来解释某种数学技巧的应用．在本书中我们重点放在如何应用读者已具备的基本数学知识在各个不同领域中建模． 3.按照模型的表现特性又有几种分法： 确定性模型和随机性模型取决于是否考虑随机因素的影响．近年来随着数学的发展，又有所谓突变性模型和模糊性模型． 静态模型和动态模型取决于是否考虑时间因素引起的变化． 线性模型和非线性模型取决于模型的基本关系，如微分方程是否是线性的． 离散模型和连续模型指模型中的变量(主要是时间变量)取为离散还是连续的． 虽然从本质上讲大多数实际问题是随机性的、动态的、非线性的，但是由于确定性、静态、线性模型容易处理，并且往往可以作为初步的近似来解决问题，所以建模时常先考虑确定性、静态、线性模型．连续模型便于利用微积分方法求解，作理论分析，而离散模型便于在计算机上作数值计算，所以用哪种模型要看具体问题而定．在具体的建模过程中将连续模型离散化，或将离散变量视作连续，也是常采用的方法． 4.按照建模目的分：有描述模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等． 5.按照对模型结构的了解程度分：有所谓白箱模型、灰箱模型、黑箱模型．这是把研究对象比喻成一只箱子里的机关，要通过建模来揭示它的奥妙．白箱主要包括用力学、热学、电学等一些机理相当清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题，这方面的模型大多已经基本确定，还需深入研究的主要是优化设计和控制等问题了．灰箱主要指生态、气象、
全国第七届研究生数学建模竞赛 题目神经元形态分类与识别的数学建模 摘要： 本文针对神经元的形态分类与识别问题，运用决策树、神经网络、支持向量机（SVM）等分类方法对问题进行求解。 对于问题1，本文先采用单一决策树模型将神经元划分为7类，通过交叉验证，分类的准确率为84.3%。然后，采用多决策树模型对神经元进行分类，第一步分类的准确率为90.2%，第二步分类的准确率为90.9%。接着，采用神经网络模型将神经元分别划分为5类、7类，分类的准确率分别为98.04%、88.24%。最后，采用SVM模型将神经元分别划分为5类、7类，分类的准确率分别为98.04%、86.27%。同时得到刻画附录C中5类神经元的几何特征为胞体表面积，主干数目，分支数目，分枝级数和高度。 对于问题2，在对测试集进行扩展后，本文先后采用神经网络模型和SVM 模型对附录B中的未知神经元利用概率输出来作类型识别及新类探测。最后得到一致的识别结果，1～3号为椎体神经元，5～6号为普肯野神经元，7～9为新类神经元，4、10～12、19～20号为运动神经元，13～14、17～18号为感觉神经元，15～16为中间神经元。 对于问题3，本文利用神经网络和SVM概率输出来作类型识别及新类探测。 对于问题4，本文采用在训练集中进一步细分的方法来验证神经网络模型以及SVM解决该问题的有效性。 对于问题5，本文先通过对树的生长进行模拟，然后利用L-system的建模方法实现对神经元生长的模拟，从而预测出神经元的生长变化。 关键字：神经元形态分类决策树神经网络支持向量机分形
目录 一、问题重述 (3) 二、模型假设 (3) 三、符号说明 (3) 四、名词解释 (4) 五、问题的分析 (4) 5.1 问题1分析 (5) 5.2 问题2分析 (5) 5.3 问题3分析 (5) 5.4 问题4分析 (5) 5.5 问题5分析 (5) 六、模型一：决策树模型 (5) 6.1决策树(C4.5)介绍 (5) 6.2 问题1求解：单一决策树 (6) 6.4 问题1求解：多决策树 (8) 6.5 总结 (10) 七、模型二：神经网络模型 (10) 7.1 神经网络（ANN）介绍 (10) 7.2 BP神经网络模型的建立 (11) 7.4 基于神经网络概率分布输出的新类探测 (13) 7.5 问题3：命名建议 (19) 八、模型三：支持向量机 (20) 8.1 支持向量机SVM介绍 (20) 8.2 问题1求解：SVM分类 (20) 8.3 问题2：类型识别及新类探测 (22) 8.4 问题三：命名建议 (28) 8.5问题四：不同种类动物同种类别之间神经元区别 (28) 九、模型四：神经元生长模型 (29) 9.1 L-System建模 (29) 9.2 字符串替换 (29) 9.3 龟形建模 (29) 9.4 基于L-System的神经元生长的实现 (31) 十、模型的评价 (32) 参考文献 (33) 附录 (34)
数学建模与创业计划实践部 学习目标 1.能表述建立数学模型的方法、步骤； 2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、 非预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；； 3.能表述数学建模的分类； 4.会采用灵活的表述方法建立数学模型； 5.培养建模的想象力和洞察力。 一、建立数学模型的方法和步骤 —般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(System Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数． 可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法
为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。 建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关 模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同学请教，尽量掌握第一手资料. 模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样． 模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量(常量和变量)之间的等式(或不等式)关系或其他数学结构．这里除需要一些相关学科的专门知识外，还常常需要较广阔的应用数学方
热过程数学模型及其分类
北京科技大学热能工程系
Department of Thermal Energy Engineering of USTB
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数学模型及其分类
(1) 数学模型的定义 (2) 数学模型的分类 (A)理论模型(板坯或小球加热或冷却模型) (B)半理论(经验)模型(流化床加热或冷却模型) (C)经验模型(Black Model)(食物加热—水、食物、 水/食物、容器、功率等) (3) 数学模型的作用 (A)已有数学模型的作用 (B)新建数学模型的作用 (4) 数学模型的维数 (A)“０”维数学模型 (B)“一”维数学模型 (C)“二”维数学模型 (D)“三”维数学模型
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建立数学模型的基本方法及步骤
(A) 准确确定所研究对象的范围(或边界)。 (B) 在了解热工工艺特点的基础上，进行必要和合理的简化。 (C) 利用“质量、能量、动量守恒定律”建立描述该过程的方程(模型)。 (D) 确定相应的定解条件(几何、物性、初始和边界条件)。 (E) 采用各种离散化技术将其转化为线性或非线性方程(组)。 (F) 画出求解该过程的计算流程框图。 (G) 采用合适的数值计算方法和计算机算法语言编写计算机程序。 (H) 上机调试程序直至能够得到大体上符合实际情况的数值解。 (I ) 用现场实测数据或实验室物理模型的实际测试数据验证数值解。 (J) 实测数据与计算结果比较分析，精度如不能满足要求则返回到(H)， 调整有关系数重新计算。 (K) 利用验证了的数学模型进行大量的数值仿真，得到满意的计算结果。 (L) 对所得数据进行统计回归分析(表图)，得出结论，并尽可能地将其应 用到在线控制中。
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