资料一 ：导数.知识点
1．导数的概念
例１．已知曲线y =3x 上的一点P (0, ０),求过点P
的切线方程·
解析：如图，按切线的定义，当x →0时,割线
PQ 的极限位置是ｙ轴(此时斜率不存在)，因此过P 点的切线方程是x =0. 例２．求曲线y =x ２在点（2,4)处的切线方程·
解析:∵ y ＝x 2, ∴ ?y =(x 0＋?ｘ)2－x 0２＝２x 0?x ＋(?x )2 =4?ｘ＋(?x )2
∴ k ＝00
lim lim(4)4x x y
x x ?→?→?=+?=?.
∴ 曲线y ＝x 2在点(２，4)处切线方程为y -4=４(x -2)即4x －y －４＝0. 例３.物体的运动方程是 S =１＋t +t 2,其中 S 的单位是米,t 的单位是秒，求物体在t ＝５秒时的瞬时速度及物体在一段时间[5,5＋?t ]内相应的平均速度.
解析:∵ S =1+t +t 2， ∴ ?S =1+（t +?t )+(t +?t )2－（１+t +t ２)=2t ·?t +?t +(?t ）２,
∴21S t t t
?=++??, 即()21v t t t =++?， ∴ (5)11v t =?+， 即在［5，5＋?t ]的一段时间内平均速度为(?ｔ+11)米／秒
∴ v (ｔ)＝S ’=00
lim lim(21)21t t S
t t t t ?→?→?=++?=+?
即v (５)=2×５＋1＝１1．
∴ 物体在t ＝5秒时的瞬时速度是11米／秒. 例4.利用导数的定义求函数y =
x
在x =１处的导数。 解析:?y =
11111x
x x
-+?-=
+?+?， ∴ y x ??=1(11)x x +?++?, ∴ 0lim
x y
x ?→??＝01lim
2
1(11)x x x ?→=-+?++?. 例5．已知函数f （x )=2
1sin 00
x x x
x ?≠?
??=?, 求函数f （x )在点x =0处的导数
解析:由已知ｆ(x )＝０,即ｆ(x )在x =0处有定义,?y =f (０+?x )-f (0)=21
()sin x x
??,
y x ??=1sin x x ???, 0lim x y
x ?→??=01lim sin x x x
?→???＝0, 即 f ’（0）＝0.
∴ 函数ｆ(ｘ）在ｘ＝0处导数为０.
例6．已知函数f （ｘ）=2
1(1)12
1(1)12x x x x ?+????+>??≤, 判断f (x )在x ＝1处是否可导？
解析：f （１）=1, 20001
[(1)1]1
1
2lim lim lim (1)12x x x x y x x x ---?→?→?→+?+-?==+?=??,
001
(11)1
12lim lim 2
x x x y x x ++?→?→+?+-?==??, ∵00lim lim x x y y x x -
+?→?→??≠??, ∴ 函数ｙ=ｆ(x )在x ＝１处不可导. 例7．已知函数 y =2ｘ3+3，求 ｙ’.
解析:∵ y =2ｘ３+3， ∴ ?y ＝２(x +?x )3+３－（2x 3＋3）=6x 2·?ｘ+6x ·（?x )２
＋2(?x )3,
∴ y x
??=6x 2+6x ·?ｘ+2(?x )２
, ∴ y ’=0lim
x y x ?→??＝6x ２. 例８．已知曲线y ＝2x 3＋3上一点Ｐ，P 点横坐标为x ＝１，求点P 处的切线方程和法线方程.
解析:∵ x =1, ∴ y =5, Ｐ点的坐标为(1， 5)， 利用例７的结论知函数的导数为y ’=6x 2,
∴ y ’1|x =＝6, ∴ 曲线在Ｐ点处的切线方程为y －5＝6(ｘ-1)
即6x －y -1=0， 又曲线在P 点处法线的斜率为-61
，
∴ 曲线在P 点处法线方程为y －5＝－6
1
( ｘ-１），即 ６ｙ＋x -３1＝０.
例9．抛物线y =x 2在哪一点处切线平行于直线ｙ＝４x －5？
解析：∵ y ’＝0lim x y
x ?→??=220()lim
2x x x x x x
?→+?-=?， 令2x =4．∴ ｘ=２， y =4, 即在点P （2，４)处切线平行于直线y =４x
－5．
例10.设mt ≠0，f (ｘ)在x 0处可导,求下列极限值
（１) 000()()lim x f x m x f x x ?→-?-?; (2） 000()()
lim x x
f x f x t x
?→?+-?. 解析：要将所求极限值转化为导数f ’(x 0)定义中的极限形式。
(1） 000()()lim x f x m x f x x ?→-?-?＝0000()()
lim
()'()x f x m x f x m m f x m x ?→-?-?-=-?-?, (其中－m ·?x →0)
(2） 000
()()
lim
x x f x f x t x ?→?+
-?=0000()()11lim '()x x
f x f x t f x x t t
t
?→?+-?=??.
(其中1
0x t
?→)
例11.设函数f (x )在x ＝1处连续,且1
()
lim
21
x f x x →=-,求f ’(１). 解析：∵ f (x ）在x ＝1处连续，∴ 1
lim ()x f x →=f (1）. 而又1
1
11()()
lim ()lim(1)lim(1)lim 011
x x x x f x f x f x x x x x →→→→=-?
=-?=--×
2=０. ∴ f (1）=0. ∴ f ’(1）＝0
1(1)(1)()(1)lim
lim 21
x x f x f f x f x x ?→→+?--==?-（将?x 换成x -１) 即f ’(1）=2.
例１2．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)，通过点(1，1),且在点(２，－1)处与直线y =x -3相切,求ａ,b ,c 的值．
解析：由y ’＝0lim x y
x ?→??＝220()()()lim 2x a x x b x x c ax bx c ax b x
?→+?++?+-++=+?，
由函数在点(2，－1）处与直线ｙ＝x -3相切, ∴ 2ａ×2＋b =1,
又函数过点（1，１)，(2，－1), ∴ a +b +c =1， 4ａ+2b ＋c =－1, 由三式解得a ＝３,b =－11，c ＝9.
例13．设曲线ｙ=ｓin ｘ在点A (6π,21)处切线倾斜角为θ，求ｔａn(4
π
－θ)的值.
解析：∵ y =ｓin ｘ,∴ ?ｙ=sin(x +?x )－ｓin ｘ＝2ｃos(x +2x ?)ｓｉn 2x
?，
∴ y ’＝0lim
x y
x
?→??＝0002cos()sin sin
222lim
lim cos()lim cos 22
x x x x x x
x x x x x
x ?→?→?→???+?=+?=??. 即y ’＝(sin ｘ）’＝co ｓｘ, 令在A 点处切线斜率为k ＝cos
6π=2
3， ∴ ｔａn θ=23, θ∈（0， π),
∴ tan(4π-θ
）＝
11tan 71tan 2
θθ-==-+H , 例14.设f （x )是定义在R 上的函数,且对任何x 1、x 2∈R ，都有f (ｘ１+x 2)=ｆ（x １)
ｆ(x ２）,若f （0）≠0,f ’(0）=1,证明：对任何ｘ∈R ，都有ｆ(x )=f ’(x )
解析:由f (x 1+x 0)＝f (x 1)f (x 2)，令x １=x 2＝0得ｆ(0)=f (0）f （0), 又f (0)≠0 ∴ ｆ(0)=1 由f ’（0)＝1即0
0()(0)()1
lim
lim 1x x f x f f x x x
?→?→?-?-==??, ∴ f ’(x )＝
000()()()()()()1lim lim ()lim ()x x x f x x f x f x f x f x f x f x f x x x x ?→?→?→+?-?-?-==?=???. 即f ’(x ）=ｆ(x )成立.
2．几种常见函数的导数
例1.已知f (ｘ)＝x 3，求ｆ ’(x ) ,f ’(1），(ｆ(1）)’，f ’( ０.５)
解析：ｆ（x )=x 3, ∴ f ’(x )=3ｘ2， f ’(1)=３， ｆ ’( ０.5）＝３×(０.5)2= 0.７5,(f (1）)’=(１)’=0.
说明:导函数与函数在某点处导数要弄清区别与联系.后者是导函数的某一函数值，因此在求函数某一点处导数时可先求导函数,再直接求导函数值．
例2．已知曲线y =x 2上有两点A (1, 1)， B (2, ４)，求 ① 割线AB 的斜率;②在[1, 1＋?x ］内的平均变化率;③ 过点Ａ处的切线斜率k ＡT ；④ 点A 处的切线方程．
解析：① k AB ＝41
21
--＝3;
② 平均变化率2(1)(1)(1)12y f x f x x x x x
?+?-+?-===+????, ③ ｙ’=2x , ∴ y ’|x ＝1＝2. 即点A 处的切线斜率为K AT ＝2.
④ 点A 处的切线方程为ｙ-1＝2(ｘ－1)即２x －y －１=0.
说明:通过本例搞清割线斜率,区间上平均变化率，某点处切线斜率与某点处的导数之间的区别与联系,再次验证了导数与平均变化率之间的关系
y ’=0lim x y
x
?→??.
例3.利用导数定义和导数公式两种方法求曲线y =1
x
在点P (1，1)处的切线倾斜角
及该点处的法线方程．
解析:解法一：f (ｘ）=1x , ?y =f （1+?ｘ)－f (1)=1111x
x x -?-=
+?+?, ∴ ｙ’|x =1＝0lim x y x ?→??=01
lim 11x x
?→-=-+?.
即在点P 处斜率为ｋ=-1,∴ 倾斜角为135°, 法线方程y －１=ｘ－1即x －ｙ＝0.
解法(二)：y ＝f （x ）=1x ,y ’＝f ’(x )=21
x
-， ∴ y ’|x =1=-1.
即在点P 处切线斜率为ｋ=－１,以下同法(一)
说明：求导致方法有两种，一种是利用导致定义法求导数，第二种用导数公式,要注意题目要求，若无声明，用最简单的方法即可．
例４．已知曲线ｙ
P (0，0），求过点P 的切线方程.
解析:由y
∴ y ’
＝'=在ｘ=0处导数不存在,由图形知
过P 点的切线方程是x =0.
例5.设曲线y =co ｓx 在Ａ(6π,23)点处的切线倾斜角为θ，求cot(4π
-θ）的值
解析:y =c ｏｓx ， y ’=－si ｎx ， x ＝
6π时, ｋ=-s ｉｎ6π=-21， ∴ tanθ=-2
1
, ∴ ｃot （4π－θ)=1111tan 1211tan 3tan()142
θπθθ-
+===--+. 例６．求曲线y =x 3在点(3，２7)处的切线与坐标轴所围成的三角形面积. 解析：∵ ｙ=x 3, ∴ y ’=３x 2, y ’|x =3＝27,
∴ 曲线 y =ｘ3在点(3,27)处的切线方程为y －２７=27(x -３），
即y =2７ｘ－5４． 其与x 轴，y 轴交点分别为(2，０）,（0，－５4)
∴ 切线与坐标轴围成的三角形面积为 Ｓ＝2
1
×２×54=54.
例７.在抛物线y =x ２
上取横坐标为ｘ１=1及x ２＝3的两点，作过这两点的割线,问该抛物线上哪一点的切线平行于这一割线?
解析：已知两点A (1，1)B (3,9),割线斜率为k AB =４，
∵ ｙ’=２x ,令y ’=2x ＝4得x =2, 即在点(２，4）处切线平行于这一割线．
３.函数和、差、积、商的导数 例１．求下列函数的导数: ① ｙ=3x 2+x c ｏｓx ；② y =
tan x x ; ③ y ＝x tan ｘ-2cos x ;④ y =1
11x
+．
解析：① y ’=6x +cos x -x si ｎx ;
② y ’＝222
(tan )'tan ()'sec tan x x x x x x x
x x
?-?-=; ③ y ＝
sin 2cos x x x -, ∴ y ’=2
(cos sin )cos (sin 2)(sin )cos x x x x x x x x
+?--?-
=2sin (cos 2)cos x x x
x
-+.
④ ｙ=
1
111
x x x =-
++, y ’＝2211(1)(1)x x --=++. 例2.已知函数f （x )＝x 3-7x +1,求f ’（x )，ｆ ’(１)，f ’(1.5)．
解析：f (x )=x 3－７x ＋1, ∴ y ’＝ f ’(x )=３x ２－7, f ’(1)＝－４,f ’(1．5）=-4
1
.
注意:导函数与导数的区别与联系,函数在某一点的导数是导函数在这一点处的函数值.
例3.已知函数y =x ３＋ax 2－3
4
a 的导数为０的x 值也都使ｙ值为0,求常数a 的值.
解析:ｙ’=3x 2+2a ｘ, 令y ’=0， 则3x ２＋2ａx ＝0, x １＝0， x ２=-3
2
a ,
当x =0时,y ＝0=－3
4
a ，∴ a ＝０,即a ＝0满足条件，
当x ＝－32a 时．ｙ＝0＝32844
2793
a a a -+- 得a =0或a =±３
检验知a =±3不满足条件,
∴ 常数的值为０．
例４.曲线y ＝－x 2+4x 上有两点A (4,０）,B (2，4),求① 割线AB 的斜率k AB ; ② 过点A 处的切线斜率ｋＡ；③ 点A 处的切线方程。
解析:① 割线AB 的斜率k AB =40
24
--＝－2；
② y ’=-2x +４,∴ y ’|x ＝4＝-４,即k A ＝－4；
③ 过A 点的切线方程为y -0＝－4（x -4），即 y ＝－４ｘ＋16.
例5.已知F (x )=f (x ）＋g (x )，就下列两种情形判断Ｆ(ｘ）在x ＝x 0处是否可导？ ① f (x )在x =x ０处可导,g (x )在x =x ０处不可导. ② ｆ（x )，ｇ(x )在ｘ=ｘ0处均不可导． 解析： ① F (k )在x ＝ｘ0处不可导．
假设F (x ）在ｘ=x 0处可导, 由Ｆ(x )=f (ｘ)＋g (x ), ∴g (x ）＝F (x )-ｆ(x ).
∵ f (x ）在x ＝x 0处可导，∴ g (x )在ｘ=x 0处可导,与条件ｇ(x )在x =ｘ0处不可导矛盾， ∴ F (x )在ｘ=x 0处不可导. ② F (ｘ)在x =ｘ0处不一定可导．
如设 f (ｘ)=ｓｉn x +1x ， g (x )=cos x -1
x
, 则ｆ(ｘ),g (ｘ）在ｘ＝0处均不可导，
但F （ｘ)＝ｆ（ｘ）+g (ｘ)＝sin x +cos x 在x ＝０处可导.
另：若．g (x )＝ｔａn x +1
x
上,在x =0处不可导，
F (x ）＝f （x )+g (x ）=sin ｘ+ｔａn x +2
x
在x ＝0处也不可导.
例6．曲线ｙ=x 3+x －1上求一点Ｐ,使过P 点切线与直线y =4ｘ-7平行． 解析: ｙ’=(ｘ3＋x -1)’=3x ２+1，
由过P 点切线与直线ｙ＝4x -7平行, 令3x 2＋1＝4得ｘ=±1,
当x ＝1时，ｙ=１,此时切线为ｙ－1＝４(ｘ-1)，即y =4x －3与直线y =４x -7平行,∴ Ｐ点坐标为(1,１)。 当ｘ=-１时,y =-3，此时切线为y +3＝－3(x +1)，即y =4x ＋1也满足条件,∴ P 点坐标为(－1，-3).
综上得P 点坐标为(１，1)或(－1，－3).
例7.证明:过抛物线y ＝a （ｘ－x １)(x －ｘ2)， (a ≠0,x 1 解析: y ’=2ax -a (x 1+ x 2）． ∴ 112'|()x x y a x x ==-, 即ｋ1＝ａ(x 1－ｘ２）, 121'|()x x y a x x ==-, 即k 2=ａ（x 2-x 1), ∵ k １=－k 2，∴ 两切线倾斜角互补． 例8．已知曲线y =f (x ）及y =f (x )sin ax ,(a ≠０)，其中f (x )＞0，且为可导函数，求证:两曲线在公共点处彼此相切. 解析:由f (x )＝f (ｘ)sin a ｘ, f （x ）>0，∴ sin ax =1,ａx =2ｋπ+2 π (k ∈Z ）, ∴ x = 22k a π π+ ，设曲线交点(x 0, y 0）， 即x 0= 22k a ππ+ . 又两曲线ｙ1=f (ｘ)，y 1’＝f ’(ｘ)，ｙ１＝f (x ）sin ax ，y 2’=f ’(x )ｓin ａx +a ·ｃo ｓx ·f (x ) 010'|'()x x y f x ==, 02000'|'()sin(2)()cos(2)'()22 x x y f x k af x k f x ππ ππ==+++=, ∴ k 1=k 2，即两曲线在公共点处相切. 例9.已知直线y ＝kx 与曲线y =ｘ3-3x 2+２x 相切，求k 的值. 解析:由y ’=3x ２－６x +２＝k , 又由k ｘ=x 3-3x 2+2x ，∴ 3ｘ３－6x 2＋２x =ｘ3-３x 2+2x , 即2ｘ3－3ｘ２=0得x 1＝０或ｘ2=23．∴ k =2或－4 1 ． ４.复合函数的导数、对数函数与指数函数的导数 例1.函数y =(ｓi ｎx 2)23 是由函数y = ，ｕ＝ ,v = 三个函数复合而成． 解析:答案分别为：ｙ=u 23 , u =si ｎv . v ＝x 2. 例２.求下列函数的导数: ① y =(x 2 +2ｘ）3 ；② ｙ=2 54x e +;③ y y =(si ｎx ２ )13 ； ⑤ y ＝ｌｎ(ｘ ;⑥ y ＝ｘ３lig 3x ；⑦ y = cos 5sin 2x x ;⑧ ｙ=ｘｎ, (x ∈R +, n ∈R ). 解析:① y ＝(ｘ２+2x )3， y ’=3（x 2+2x ）2·（2x +２)＝6（x ＋１)(ｘ2+2x )2. ② ｙ=2 54x e +, y ’= 2 54x e +·(８x )=8x · 2 54x e +. ③ y y ’＝3 1 2 23()ax bx x -++·(2ａx ＋b ). ④ ｙ＝(s ｉｎx 2)1 3 , ｙ’=312 23 (sin )x -·co ｓx ２·2ｘ 2 ⑤ y =ln(x ＋), y ’ (1 . ⑥ y ＝ｘ３lig ３x , ｙ’＝3ｘ２·lig 3x ＋x 3·1 x l ｉg 3ｅ＝３x ２ｌig ３x +x 2lig 3e =x ２li ｇ 3（e ｘ３ ）. ⑦ ｙ=cos 5sin 2x x , y ’= 22 (cos5)'(sin 2)cos5(sin 2)'5sin 5sin 22cos5cos 2(sin 2)(sin 2)x x x x x x x x x x -?--=. ⑧ y ＝ｘn =ln ln ()x n n x e e =, y ’＝ln 1n x e n x ??=ｎ·1 x ·ｘn ＝1n nx -． 说明:本例集中训练常见函数求导公式，导数的四则运算法则,复合函数的求导法则等，这些要反复熟记· 例3.求函数ｆ(ｘ)=22()()0或x a x b a x b x a x b ?--? <>? ≤≤的导数。 解析：f ’(x )＝ 2()()[()()]0或x a x b x b x a a x b x a x b ---+-??<>?≤≤， ∴ f ’(ｘ)＝ 2()()(2) 0或x a x b x a b a x b x a x b ----??<>? ≤≤ 例４．若ｆ(x )=x ＋ln(ｘ－5)，g (ｘ)=ｌn(x －1)，解不等式f ’(ｘ)＞ｇ’(x ). 解析：f ’（x )=1＋15 x -, ｇ’(x ）=1 1x -, 由ｆ ’(ｘ)>g (x ),有 １+15x ->1 1 x -， 即 2(3)0(5)(1)x x x ->--， ∴ x >５或ｘ<1. 又两函数定义域为x >5, 所以,不等式f ’(x )>g ’(x ）的解集为(5,＋∞). 说明：求导数有关问题时还要注意原函数定义域． 例５.证明：可导奇函数的导数是偶函数。 解析: 法一:定义法: 设f (ｘ）为可导奇函数，则f (－x )=-ｆ(x ), ∴ f ’(-x )=00()()[()()] lim lim x x f x x f x f x x f x x x ?→?→-+?----?-=?? =0()()lim x f x x f x x ?→-?--?=f ’(x ). 即f ’(－x ）=f ’(x ).∴导函数为偶函数. 法二:复合函数求导法: 设ｆ(ｘ)为可导奇函数，则f （－x ）=-f （x )，两边对x 求导 得:[ｆ (－ｘ）］’＝－f ’（x ） 即 －f ’(－ｘ）=－f ’( x )， ∴ f ’(-x )＝f ’（x )．∴ f ’(ｘ)为偶函数，即命题成立. 同理可证：可导偶函数的导数是奇函数. 例6．石头落在平静水面上,产生同心波纹,若最外一圈波半径增大速度总是ａｍ／s ,问在ｂ秒末波扰动水面积的增大速度是多少? 解析：设b 秒末最外一圈波纹的半径为R ,则R =ａb , ∴ Ｓ＝πＲ2，又 R ’＝a , ∴ Ｓ’｜R =ab =2πR ·R ’(t )|R =ab =2πa 2ｂ． 即b 秒末波扰动水面积的增大率为2πａ2b m 2／s . 例７．将水注入锥形容器中,其速度为4米３／分,设锥形容器的高为８米,顶口直径为6米,求当水深为５米时，水面上升的速度．(如图) 解析:设注入水t 分钟后，水深为h 米， 由相似三角形对应过之比可得水面直径为43 ｈ米， 这时水的体积温V =31π(83h )２ ·ｈ=3364 h π,由于水面高 度h 随时间t 而变化,因此h 是t 的函数ｈ＝h (t ）,由此可得水的体积关于时间t 的导数为V ’t ＝Ｖ’h ·h ’t ,∴ V ’ｔ＝32 39()'''6464 t t h h h h ππ?=?， 由假设,注水的速度为 ４米3／分． ∴ Vt ’＝29'64t h h π?=4， 即h ’t =2464 9h π?, ∴ 当h ＝5米时,水面上升的速度为h ’｜h ＝５=256 225π (米/分). ５.函数的单调性和极值 １.求函数y =e x -ｘ+1的单调区间 解析:y ’＝（e x -ｘ+１）’=ｅx -1， 由e x －１>0得x >0，即函数在(0, ＋∞)上为增函数; 由e ｘ－１<０得x <0，即函数在（－∞,０)上为减函数． ∴ 函数的单增区间为(0，+∞)，单减区间为（－∞，０). 例2.证明：函数y =22x x -在区间(0,1）上单调递增,在区间（1，2)上单调递减. 解析：∵ y , 当x ∈(0,1）时,y ’>０，∴ f (x )在(０，１)上递增; 当x ∈(1,2）时,ｙ’＜0，∴ ｆ(x )在(１,2)上递减． 例3.讨论函数y =x －2s ｉn x 在(０，2π）内的单调性． ∵ y ’=1－２c ｏs x , x ∈(0， 2π)，由y ’>０，得3π ) 内是单调递增；同理，由y ’<0，得0<ｘ＜3π或53 π ∴ ｙ=ｆ（x ) 在(0， 3π )和(53π, 2π）内都是单调递减。 例4．设f (x )=ax (a >0),求a 的范围，使函数f (x )在(0,＋∞)上是单调函数. 解析:f ’(x a -，当x ∈(0, +∞)时 1， ∵ a ＞0，且f (ｘ)在（０，+∞)上是单调函数, 则必有f ’(ｘ）＜０，∴a ≥１． 即ａ≥1时,函数f (ｘ)在(0,+∞）上是单调函数. 例5．已知函数f (x )＝lg(2)ax a -（ａ>0且a ≠１)在定义域（0,1）上是减函数,求a 的取值范围． 解析:∵ 定义域要求2－ax >０, x <2 a , 又函数在（0, 1）上都有意义， ∴ 2 a ≥1，∴ ａ≤２, ∵ y ’=lg(2)lg(2)1011 ln log ()lg 22ax ax a a e a a a ax x a --????-=?? --, 由y ’<０,得lg 0lg 0或22 00a a x x a a ?> ??-<->???? ， 若 0 ＞0,则x >2 a >２与定义域ｘ∈(０, １)矛盾, ∴ 只有ａ＞1,此时lga >0, 2x a -<0, ｘ<2