资料一 :导数.知识点
1.导数的概念
例1.已知曲线y
P (0, 0),求过点P 的
切线方程·
解析:如图,按切线的定义,当x →0时,割线
PQ 的极限位置是y 轴(此时斜率不存在),因此过P 点的切线方程是x =0. 例2.求曲线y =x 2在点(2,4)处的切线方程·
解析:∵ y =x 2, ∴ ?y =(x 0+?x )2-x 02=2x 0?x +(?x )2 =4?x +(?x )2 ∴ k =0
lim
lim (4)4x x y x x
?→?→?=+?=?.
∴ 曲线y =x 2在点(2,4)处切线方程为y -4=4(x -2)即4x -y -4=0.
例3.物体的运动方程是 S =1+t +t 2,其中 S 的单位是米,t 的单位是秒,求物体在t =5秒时的瞬时速度及物体在一段时间[5,5+?t ]内相应的平均速度.
解析:∵ S =1+t +t 2, ∴ ?S =1+(t +?t )+(t +?t )2-(1+t +t 2)=2t ·?t +?t +(?t )2
,
∴
21S t t
t
?=++??, 即()21v t t t =++?, ∴ (5)11v t =?+,
即在[5,5+?t ]的一段时间内平均速度为(?t +11)米/秒
∴ v (t )=S ’=0
lim
lim (21)21t t S t t t t
?→?→?=++?=+?
即v (5)=2×5+1=11.
∴ 物体在t =5秒时的瞬时速度是11米/秒. 例4.利用导数的定义求函数y
在x =1处的导数。
解析:?y
1-=
, ∴
y x
??
∴ 0
lim
x y x
?→??
=0
1
lim
2
x ?→=-
.
例5.已知函数
f (x )=2
1sin 000
x x x
x ?≠???=?
, 求函数f (x )在点x =0处的导数
解析:由已知f (x )=0,即f (x )在x =0处有定义,?y =f (0+?x )-f (0)=2
1()sin x x
??,
y x
??=1sin
x x
???, 0
lim
x y x
?→??=0
1lim sin
x x x
?→???=0, 即 f ’(0)=0.
∴ 函数f (x )在x =0处导数为
0.
例6.已知函数f (x )=2
1(1)1
2
1(1)12
x x x x ?+???
?+>??≤, 判断f (x )在x =1处是否可导?
解析:f (1)=1, 2
1
[(1)1]1
12
lim
lim lim (1)12
x x x x y
x x
x -
--?→?→?→+?+-?==+
?=??,
1
(11)1
12
lim lim 2
x x x y x
x
+
+?→?→+?+-?==
??, ∵0
lim
lim x x y
y x
x
-
+
?→?→??≠??,
∴ 函数y =f (x )在x =1处不可导.
例7.已知函数 y =2x 3+3,求 y ’.
解析:∵ y =2x 3+3, ∴ ?y =2(x +?x )3+3-(2x 3+3)=6x 2·?x +6x ·
(?x )2+2(?x )3, ∴
y x
??=6x 2+6x ·?x +2(?x )2
, ∴ y ’=0
lim
x y x
?→??=6x 2.
例8.已知曲线y =2x 3+3上一点P ,P 点横坐标为x =1,求点P 处的切线方程
和法线方程.
解析:∵ x =1, ∴ y =5, P 点的坐标为(1, 5), 利用例7的结论知函数的导数为y ’=6x 2,
∴ y ’1|x ==6, ∴ 曲线在P 点处的切线方程为y -5=6(x -1) 即6x -y -1=0, 又曲线在P 点处法线的斜率为-61
,
∴ 曲线在P 点处法线方程为y -5=-
6
1( x -1),即 6y +x -31=0.
例9.抛物线y =x 2在哪一点处切线平行于直线y =4x -5?
解析:∵ y ’=0
lim
x y x
?→??=22
()lim
2x x x x
x x
?→+?-=?,
令2x =4.∴ x =2, y =4, 即在点P (2,4)处切线平行于直线y =4x -5. 例10.设mt ≠0,f (x )在x 0处可导,求下列极限值 (1) 000
()()
lim
x f x m x f x x
?→-?-?; (2) 000
()()
lim
x x
f x f x t x
?→?+
-?.
解析:要将所求极限值转化为导数f ’(x 0)定义中的极限形式。 (1) 000
()()
lim
x f x m x f x x
?→-?-?=0000
()()
lim
()'()
x f x m x f x m m f x m x
?→-?-?-=-?-?,
(其中-m ·
?x →0) (2) 000
()()
lim
x x
f x f x t
x
?→?+
-?=0000
()()
11lim
'()x x
f x f x t f x x t t t
?→?+
-?=??.
(其中1
0x t
?→)
例11.设函数f (x )在x =1处连续,且1
()lim
2
1
x f x x →=-,求f ’(1).
解析:∵ f (x )在x =1处连续,∴ 1
lim ()x f x →=f (1).
而又1
1
1
1
()()lim ()lim (1)lim (1)lim
01
1
x x x x f x f x f x x x x x →→→→=-?
=-?=--×
2=0. ∴ f (1)=0. ∴ f ’(1)=0
1
(1)(1)
()(1)
lim
lim
2
1
x x f x f f x f x
x ?→→+?--==?-(将?x 换成x -1)
即f ’(1)=2.
例12.已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0),通过点(1,1),且在点(2,-1)处与直线y =x -3相切,求a ,b ,c 的值. 解析:由y ’=0
lim
x y x
?→??=22
()()()
lim
2x a x x b x x c ax bx c ax b x
?→+?++?+-++=+?,
由函数在点(2,-1)处与直线y =x -3相切, ∴ 2a ×2+b =1, 又函数过点(1,1),(2,-1), ∴ a +b +c =1, 4a +2b +c =-1, 由三式解得a =3,b =-11,c =9. 例13.设曲线y =sin x 在点A (6π
,
2
1)处切线倾斜角为θ,求tan(
4
π-θ)的值. 解析:∵ y =sin x ,∴ ?y =sin(x +?x )-sin x =2cos(x +
2
x ?)sin
2
x ?,
∴ y ’=0
lim
x y x
?→??=0
002cos()sin
sin
222lim
lim cos()lim
cos 2
2
x x x x x
x
x x x x x x
?→?→?→???+
?=+?=??.
即y ’=(sin x )’=cos x ,
令在A 点处切线斜率为k =cos 6π
=
2
3, ∴ tan θ=
2
3, θ∈(0, π),
∴ tan(
4
π-θ)
=
11tan 71tan 2
θθ
--==-+ H ,
例14.设f (x )是定义在R 上的函数,且对任何x 1、x 2∈R ,都有f (x 1+x 2)=f (x 1)f (x 2),若f (0)≠0,f ’(0)=1,证明:对任何x ∈R ,都有f (x )=f ’(x )
解析:由f (x 1+x 0)=f (x 1)f (x 2),令x 1=x 2=0得f (0)=f (0)f (0), 又f (0)≠0 ∴ f (0)=1 由f ’(0)=1即0
()(0)
()1lim
lim
1x x f x f f x x
x
?→?→?-?-==??,
∴ f ’(x )=
()()
()()()
()1lim
lim
()lim
()x x x f x x f x f x f x f x f x f x f x x
x
x
?→?→?→+?-?-?-==?=???.
即f ’(x )=f (x )成立.
2.几种常见函数的导数
例1.已知f (x )=x 3,求f ’(x ) ,f ’(1),(f (1))’,f ’( 0.5)
解析:f (x )=x 3, ∴ f ’(x )=3x 2, f ’(1)=3, f ’( 0.5)=3×(0.5)2= 0.75,(f (1))’=(1)’=0.
说明:导函数与函数在某点处导数要弄清区别与联系.后者是导函数的某一函数值,因此在求函数某一点处导数时可先求导函数,再直接求导函数值.
例2.已知曲线y =x 2上有两点A (1, 1), B (2, 4),求 ① 割线AB 的斜率;②在[1, 1+?x ]内的平均变化率;③ 过点A 处的切线斜率k AT ;④ 点A 处的切线方程.
解析:① k AB =4121
--=3;
② 平均变化率
2
(1)(1)
(1)1
2y f x f x x x
x
x
?+?-+?-==
=+????,
③ y ’=2x , ∴ y ’|x =1=2. 即点A 处的切线斜率为K AT =2.
④ 点A 处的切线方程为y -1=2(x -1)即2x -y -1=0.
说明:通过本例搞清割线斜率,区间上平均变化率,某点处切线斜率与某点处的导数之间的区别与联系,再次验证了导数与平均变化率之间的关系
y ’=0
lim
x y x
?→??.
例3.利用导数定义和导数公式两种方法求曲线y =1x 在点P (1,1)处的切线倾斜
角及该点处的法线方程.
解析:解法一:f (x )=1
x , ?y =f (1+?x )-f (1)=
1111x x
x
-?-=
+?+?,
∴ y ’|x =1=0
lim
x y x
?→??=0
1lim
11x x
?→-=-+?.
即在点P 处斜率为k =-1,∴ 倾斜角为135°, 法线方程y -1=x -1即x -y =0. 解法(二):y =f (x )=
1x
,y ’=f ’(x )=2
1x
-
, ∴ y ’|x =1=-1.
即在点P 处切线斜率为k =-1,以下同法(一)
说明:求导致方法有两种,一种是利用导致定义法求导数,第二种用导数公式,要注意题目要求,若无声明,用最简单的方法即可.
例4.已知曲线y P (0,0),求过点P 的切线方程.
解析:由y =∴ y ’=
'=
, 在x =0处导数不存在,由图形知
过P 点的切线方程是x =0. 例5.设曲线y =cos x 在A (6π
,
23)点处的切线倾斜角为θ,求cot(
4
π-θ)的值
解析:y =cos x , y ’=-sin x , x =6
π时, k =-sin
6
π=-
2
1, ∴ tanθ=-
2
1,
∴ cot(4
π-θ)=
1
11
1tan 1211tan 3tan(
)
14
2
θπθ
θ-
+==
=--+
. 例6.求曲线y =x 3在点(3,27)处的切线与坐标轴所围成的三角形面积. 解析:∵ y =x 3, ∴ y ’=3x 2, y ’|x =3=27,
∴ 曲线 y =x 3在点(3,27)处的切线方程为y -27=27(x -3), 即y =27x -54. 其与x 轴,y 轴交点分别为(2,0),(0,-54) ∴ 切线与坐标轴围成的三角形面积为 S =
2
1×2×54=54.
例7.在抛物线y =x 2上取横坐标为x 1=1及x 2=3的两点,作过这两点的割线,
问该抛物线上哪一点的切线平行于这一割线?
解析:已知两点A (1,1)B (3,9),割线斜率为k AB =4,
∵ y ’=2x ,令y ’=2x =4得x =2, 即在点(2,4)处切线平行于这一割线.
3.函数和、差、积、商的导数 例1.求下列函数的导数: ① y =3x 2+x cos x ;② y =
tan x x
; ③ y =x tan x -
2cos x
;④ y =
111x
+
.
解析:① y ’=6x +cos x -x sin x ; ② y ’=2
2
2
(tan )'tan ()'
sec tan x x x x x x x
x
x
?-?-=
;
③ y =
sin 2cos x x x
-, ∴ y ’=
2
(cos sin )cos (sin 2)(sin )
cos x x x x x x x x
+?--?-
=2
sin (cos 2)cos x x x
x
-+. ④ y =
1111
x x
x =-
++, y ’=2
2
11(1)
(1)
x x --
=
++.
例2.已知函数f (x )=x 3-7x +1,求f ’(x ),f ’(1),f ’(1.5).
解析:f (x )=x 3-7x +1, ∴ y ’= f ’(x )=3x 2-7, f ’(1)=-4,f ’(1.5)=-
4
1.
注意:导函数与导数的区别与联系,函数在某一点的导数是导函数在这一点
处的函数值.
例3.已知函数y =x 3+ax 2-34
a 的导数为0的x 值也都使y 值为0,求常数a 的
值.
解析:y ’=3x 2+2ax , 令y ’=0, 则3x 2+2ax =0, x 1=0, x 2=-32
a ,
当x =0时,y =0=-3
4
a ,∴ a =0,即a =0满足条件,
当x =-3
2a 时.y =0=3
2
84427
9
3
a a a
-
+
-
得a =0或a =±3
检验知a =±3不满足条件,
∴ 常数的值为0.
例4.曲线y =-x 2+4x 上有两点A (4,0),B (2,4),求① 割线AB 的斜率k AB ; ② 过点A 处的切线斜率k A ;③ 点A 处的切线方程。
解析:① 割线AB 的斜率k AB =
4024
--=-2;
② y ’=-2x +4,∴ y ’|x =4=-4,即k A =-4;
③ 过A 点的切线方程为y -0=-4(x -4),即 y =-4x +16.
例5.已知F (x )=f (x )+g (x ),就下列两种情形判断F (x )在x =x 0处是否可导? ① f (x )在x =x 0处可导,g (x )在x =x 0处不可导. ② f (x ),g (x )在x =x 0处均不可导. 解析: ① F (k )在x =x 0处不可导.
假设F (x )在x =x 0处可导, 由F (x )=f (x )+g (x ), ∴g (x )=F (x )-f (x ).
∵ f (x )在x =x 0处可导,∴ g (x )在x =x 0处可导,与条件g (x )在x =x 0处不可导矛盾, ∴ F (x )在x =x 0处不可导. ② F (x )在x =x 0处不一定可导. 如设 f (x )=sin x +
1x
, g (x )=cos x -1
x
, 则f (x ),g (x )在x =0处均不可导,
但F (x )=f (x )+g (x )=sin x +cos x 在x =0处可导. 另:若.g (x )=tan x +
1x
上,在x =0处不可导,
F (x )=f (x )+g (x )=sin x +tan x +2x
在x =0处也不可导.
例6.曲线y =x 3+x -1上求一点P ,使过P 点切线与直线y =4x -7平行. 解析: y ’=(x 3+x -1)’=3x 2+1,
由过P 点切线与直线y =4x -7平行, 令3x 2+1=4得x =±1,
当x =1时,y =1,此时切线为y -1=4(x -1),即y =4x -3与直线y =4x -7平行,∴ P 点坐标为(1,1)。
当x =-1时,y =-3,此时切线为y +3=-3(x +1),即y =4x +1也满足条件,∴ P 点坐标为(-1,-3).
综上得P 点坐标为(1,1)或(-1,-3).
例7.证明:过抛物线y =a (x -x 1)(x -x 2), (a ≠0,x 1<x 2)上两点A (x 1,0),B (x 2,0)的切线倾斜角互补.
解析: y ’=2ax -a (x 1+ x 2).
∴ 1
12'|()x x y a x x ==-, 即k 1=a (x 1-x 2), 1
21'|()x x y a x x ==-, 即k 2=a (x 2-x 1),
∵ k 1=-k 2,∴ 两切线倾斜角互补.
例8.已知曲线y =f (x )及y =f (x )sin ax ,(a ≠0),其中f (x )>0,且为可导函数,求证:两曲线在公共点处彼此相切.
解析:由f (x )=f (x )sin ax , f (x )>0,∴ sin ax =1,ax =2k π+2π
(k ∈Z ),
∴ x =
22k a
π
π+
,设曲线交点(x 0, y 0), 即x 0
=22k a
ππ+
.
又两曲线y 1=f (x ),y 1’=f ’(x ),y 1=f (x )sin ax ,y 2’=f ’(x )sin ax +a ·cos x ·f (x )
010'|'()x x y f x ==, 0
2000'|'()sin(2)()cos(2)'()2
2
x x y f x k af x k f x π
π
ππ==+
++
=,
∴ k 1=k 2,即两曲线在公共点处相切.
例9.已知直线y =kx 与曲线y =x 3-3x 2+2x 相切,求k 的值.
解析:由y ’=3x 2-6x +2=k , 又由kx =x 3-3x 2+2x ,∴ 3x 3-6x 2+2x =x 3-3x 2+2x , 即2x 3-3x 2=0得x 1=0或x 2=2
3
.∴ k =2或-4
1
.
4.复合函数的导数、对数函数与指数函数的导数
例1.函数y =(sin x 2
)2
3是由函数y = ,u = ,v = 三个函数复合而成.
解析:答案分别为:y =u 2
3, u =sin v . v =x 2. 例2.求下列函数的导数:
① y =(x 2
+2x )3
;② y =2
54x
e
+;③ y
;④ y =(sin x 2
)1
3;
⑤ y =ln(x
;⑥ y =x 3lig 3x ;⑦ y =cos 5sin 2x x
;⑧ y =x n , (x ∈R +, n ∈R ).
解析:① y =(x 2+2x )3, y ’=3(x 2+2x )2·(2x +2)=6(x +1)(x 2+2x )2.
② y =2
54x
e
+, y ’= 2
54x
e
+·(8x )=8x ·2
54x
e +.
③ y
y ’=
3
122
3
()
ax bx x -++·(2ax +b ).
④ y =(sin x 2
)1
3, y ’=
3
122
3
(sin )
x -
·cos x 2
·2x
2⑤ y =ln(x
y
’=
(1+
⑥ y =x 3lig 3x , y ’=3x 2·lig 3x +x 3·1
x
lig 3e =3x 2lig 3x +x 2lig 3e =x 2lig 3(ex 3).
⑦ y =cos 5sin 2x x
,
y ’=
2
2
(cos 5)'(sin 2)cos 5(sin 2)'
5sin 5sin 22cos 5co s 2(sin 2)
(sin 2)
x x x x x x x x
x x -?--=
.
⑧ y =x n =ln ln ()x n n x e e =, y ’=ln 1n x e n x
??=n ·1
x
·x n =1n nx -.
说明:本例集中训练常见函数求导公式,导数的四则运算法则,复合函数的求导法则等,这些要反复熟记·
例3.求函数f (x )=22()()0或x a x b a x b x a x b
?--?
<>?
≤≤的导数。
解析:f ’(x )= 2()()[()()]
或x a x b x b x a a x b x a x b
---+-??
<>?
≤≤,
∴ f ’(x )= 2()()(2)
或x a x b x a b a x b x a x b
----??
<>?
≤≤
例4.若f (x )=x +ln(x -5),g (x )=ln(x -1),解不等式f ’(x )>g ’(x ).
解析:f ’(x )=1+15
x -, g ’(x )=
11
x -, 由f ’(x )>g (x ),有
1+
15
x ->
11
x -, 即
2
(3)
0(5)(1)
x x x ->--, ∴ x >5或x <1.
又两函数定义域为x >5, 所以,不等式f ’(x )>g ’(x )的解集为(5,+∞).
说明:求导数有关问题时还要注意原函数定义域. 例5.证明:可导奇函数的导数是偶函数。 解析: 法一:定义法:
设f (x )为可导奇函数,则f (-x )=-f (x ),
∴ f ’(-x )=0
()()[()()]
lim
lim
x x f x x f x f x x f x x
x
?→?→-+?----?-=??
=0
()()
lim
x f x x f x x
?→-?--?=f ’(x ).
即f ’(-x )=f ’(x ).∴导函数为偶函数. 法二:复合函数求导法:
设f (x )为可导奇函数,则f (-x )=-f (x ),两边对x 求导 得:[f (-x )]’=-f ’(x ) 即 -f ’(-x )=-f ’( x ),
∴ f ’(-x )=f ’(x ).∴ f ’(x )为偶函数,即命题成立. 同理可证:可导偶函数的导数是奇函数.
例6.石头落在平静水面上,产生同心波纹,若最外一圈波半径增大速度总是am /s ,问在b 秒末波扰动水面积的增大速度是多少?
解析:设b 秒末最外一圈波纹的半径为R ,则R =ab ,
∴ S =πR 2,又 R ’=a , ∴ S ’|R =ab =2πR ·R ’(t )|R =ab =2πa 2b .
即b 秒末波扰动水面积的增大率为2πa 2b m 2/s .
例7.将水注入锥形容器中,其速度为4米3/分,设锥形
容器的高为8米,顶口直径为6米,求当水深为5米时,水面上升的速度.(如图)
解析:设注入水t 分钟后,水深为h 米, 由相似三角形对应过之比可得水面直径为43
h 米,
这时水的体积温V =3
1π(83h )2·h =
3
364
h
π,由于水面高
度h 随时间t 而变化,因此h 是t 的函数h =h (t ),由此可得水的体积关于时间t 的导数为V ’t =V ’h ·h ’t ,∴ V ’t =3
2
39(
)'''64
64
t t
h h h h ππ?=
?,
由假设,注水的速度为 4米3/分. ∴ Vt ’=
2
9'64
t h h π?=4,
即h ’t =
2
4649h
π?,
∴ 当h =5米时,水面上升的速度为h ’|h =5=
256225π
(米/分).
5.函数的单调性和极值
1.求函数y =e x -x +1的单调区间
解析:y ’=(e x -x +1)’=e x -1, 由e x -1>0得x >0,即函数在(0, +∞)上为增函数; 由e x -1<0得x <0,即函数在(-∞,0)上为减函数. ∴ 函数的单增区间为(0,+∞),单减区间为(-∞,0).
例2.证明:函数y 在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,2)上单调递减.
解析:∵ y ’=
,
当x ∈(0,1)时,y ’>0,∴ f (x )在(0,1)上递增; 当x ∈(1,2)时,y ’<0,∴ f (x )在(1,2)上递减. 例3.讨论函数y =x -2sin x 在(0,2π)内的单调性.
∵ y ’=1-2cos x , x ∈(0, 2π),由y ’>0,得3
π 53 π, 即y =f (x )在(3 π, 53 π )内是 单调递增;同理,由y ’<0,得0 或 53 π ∴ y =f (x ) 在(0, 3 π)和( 53 π, 2π)内都是单调递减。 例4.设f (x )ax (a >0),求a 的范围,使函数f (x )在(0,+∞)上是单 调函数. 解析:f ’(x a -,当x ∈(0, +∞)时, <1, ∵ a >0,且f (x )在(0,+∞)上是单调函数, 则必有f ’(x )<0,∴a ≥1. 即a ≥1时,函数f (x )在(0,+∞)上是单调函数. 例5.已知函数f (x )=lg(2)ax a -(a >0且a ≠1)在定义域(0,1)上是减函数,求a 的取值范围. 解析:∵ 定义域要求2-ax >0, x <2 a , 又函数在(0, 1)上都有意义, ∴ 2a ≥1,∴ a ≤2, ∵ y ’=lg(2)lg(2) 1011ln log ()lg 22ax ax a a e a a a ax x a --?? ??-=?? -- , 由y ’<0,得lg 0 lg 0 或2 20 a a x x a a ?>? ? ?? -<->??? ?, 若 0 ->0,则x >2 a >2与定义域x ∈(0, 1)矛盾, ∴ 只有a >1,此时lga >0, 2x a -<0, x <2 a <2, ∴ 1 例6.当x >0时,证明不等式 ln(1)1x x x x <+<+ 解析:设f (x )= ln(1)1x x x -++=11ln(1)1x x - -++, 则f ’(x )= 2 2 11(1) 1(1) x x x x - =- +++, 当x >0时,f ’(x ) =2 (1) x x - +<0, 即f (x )在(0,+∞)上是递减函数, 又当x =0时,f (0)=0.∴ f (x ) ln(1)1x x x -++<0, ∴ ln(1)1x x x <++. 令g (x )=ln(1+x )-x , g ’(x )=1111x x x --= ++ 当x >0时,g ’(x ) 又当x =0时,g (x )=0,∴ g (x ) ln(1)1x x x x <+<+ 例7.右图是函数y =x 3+x 2-5x -5的图象,试结合图形说明函数的极值情况: 解析:f ’(x )=3x 2+2x -5=(3x +5)(x -1), 令f ’(x )=0, 得x 1=-35 , x 2=1, ∴ x =-3 5 和x =1是f (x )可能的极值点, 又由图象可以看出,f (-3 5)比它临近点的函数值大,f (1)比它临近点的函数 值要小, ∴ f (-3 5 ),f (1)分别是函数的极大值和极小值,除此之外,没有其它极值点. 例8.设函数f (x )=ax 3+bx 2+cx ,在x =1与x =-1处有极值,且f (1)=-1,求f (x )表达式. 解析:∵ f (x )=ax 3+bx 2+cx ,∴ f ’(x )=3ax 2+2bx +c , x ∈(-∞, +∞), 由已加f (x )在x =一1与x =1时有极值. ∴ f ’(1)=f ’(-1)=0, 又f (1)=-1, ∴ 320 3201 a b c a b c a b c ++=?? -+=??++=-? ,解得 a =21, b =0, c =-23. ∴ f (x )=2 1x 3-2 3 x . 例9.已知f (x )=x 2+c ,且g (x )=f [f (x )]=f (x 2+1),设φ(x )=g (x )-λf (x ),问:是否存在实数λ,使φ(x )在(-∞,-1)上是减函数,并且在(-1,0)上是增函数. 解析:由f [f (x )]=f ( x 2+1)得 (x 2+c )2+c =(x 2+1)2+1,得c =1, ∴ φ(x )=g (x )-λf (x )=x 4+(2-λ)x 2+(2-λ)是连续函数, φ’(x )=2x (2x 2+2-λ) 由φ(x )在(-∞,-1)上是减函数,且在(-1,0)上是增函数, ∴ φ’(x )|x =-1=φ’(-1)=0,∴ λ=4, 即存在实数λ=4,使φ(x )满足条件. 说明:本题若用函数单调性定义太繁! 6.函数的最大值和最小值 例1.求函数f (x )=5x + . 解析:由30 40x x +??-? ≥≥得 f (x )的定义域为-3≤x ≤4,原问题转化为求f (x )在区 间[-3, 4]上的最值问题。 ∵ y ’=f ’(x ) =115+ , 在[-3,4]上f ’(x )>0恒成立, ∴ f (x )在[-3,4]上单调递增. ∴ 当x =-3时y min =-15-7, 当x =4时y max =20+27, ∴ 函数的值域为[-15-7,20+27]. 例2.设3 2 3 ax 2+b (-1≤x ≤1)的最大值为1,最小值为 - 2 ,求a , b 的值。 解析:f ’(x )=3x 2-3ax =3x (x -a ),当x 变化时,f ’(x ), f (x )的变化情况列表如下: 当x =0时, f (x )取极大值b ,而f (0)>f (a ),f (-1) ∴ 需要比较f (0)与f (1)的大小, ∵ f (0)-f (1)= 23a -1>0,∴ f (x )的最大值为f (0)=b -1, 又f (-1)-f (a )= 2 1(a 3-3a -2)= 2 1(a +1)2(a -)<0, ∴ f (x )|min =f (-1),∴ -2 3a -1+b =-2 3a =2 ∴ a 3 b =1. 例3.若函数f (x )在[0,a ]上单调递增且可导,f (x )<0,f (x )是严格单调递增的,求 ()f x x 在(0,a ]上的最大值。 解析:2 ()'()() []'f x f x x f x x x ?-= ,∵ f (x )是严格单调递增的, ∴ f ’(x )>0,∵ f (x )<0,x >0,∴f ’(x )·x -f (x )>0, ∴ 2 ()'()() []'f x f x x f x x x ?-= >0,∴ ()f x x 在(0,a ]上是增函数。 ∴ ()f x x 在(0,a ]上最大值为()f a a . 例4.设g (y )=1-x 2+4 xy 3-y 4在y ∈[-1,0]上最大值为f (x ),x ∈R , ① 求f (x )表达式;② 求f (x )最大值。 解析:g ’(y )=-4y 2(y -3x ), y ∈[-1, 0], 当x ≥0时,g ’(y )≥0,∴ g (y )在[-1, 0]上递增, ∴ f (x )=g (0)=1-x 2. 当-31 ∴ f (x )=g (3x )=1-x 2+27x 4. 当x ≤-3 1 时,g ’(y ),g (y )在[-1,0]上递减, ∴ f (x )=g (-1)=-x 2-4x , ∴ f (x )=2 24 2 1011270 3143 x x x x x x x x ? ?-?? -+-<??--- ?? ≥≤. ② 当x ≥0时,f (x )≤f (0)=1, 当x ∈(-31 ,0)时,f (x )=27[(x - 154 )2- 2 154 ]+1 1)= 119 , 当x ≤-31时, f (x )=-( x +2)2+4≤f (-2)=4, ∵ 1< 119< 4,∴ f (x )|max =f (-2)=4. 例5.设函数f ( x )=3x 2+ 3 a x (x ∈(0,+∞)),求正数a 的范围,使对任意的x ∈(0, +∞),都有不等式f (x )>20成立。 解析:f ’(x )=6x - 4 3a x ,令f ’(x )=0得 x =1 5()2 a , 当0 ()2 a 时,f ’(x )<0,当x >1 5()2 a 时f ’(x )>0, ∴ x =1 5()2 a 是唯一的极值点,是极小值点且是最小值点. 要使f (x )≥20恒成立,∴ f (x )|min ≥20, ∴ 1 2 2 5553 2 55 5 (())3()202 2 ()22 a a a f a a =?+ = ?≥, 解得a ≥64. 例6.圆柱形金属饮料罐的表面积一定时,应怎样制作,其容积最大? 解析:设圆柱的高为h ,底面半径为R ,则S =2πRh +2πR 2, ∴ h = 2 22S R R ππ-, ∴ V (R )=S 底面·h = 2 2 2 2122 S R R SR R R ππππ-?= -, 由V ’(R )=0得 2 1S -3πR 2=0得S =6πR 2,∴ 6πR 2=2πRh +2πR 2,∴ h =2R , 即当罐的高和底面直径相等时容积最大. 例7.已知三次函数f (x )=x (x -a )(x -b ),其中0<a <b . (1)设f (x )在x =s 及x =t 处取最值,其中s <t ,求证:0<s <a <t <b ; (2)设A (s ,f (s )),B (t ,f (t )),求证:AB 中点C 在曲线y =f (x )上; (3)若a +b <22,求证:过原点且与曲线y =f (x )相切的两直线不可能垂直。 解析:(1)f ’(x )=3x 2-2(a +b )x +ab , 由f (x )在x =s 和x =t 处取最值,∴ s ,t 分别是方程f ’(x )=0的两实根. ∵ f ’(0)=ab >0,f ’(a )=3a 2-2(a +b )a +ab =a (a -b )<0, f ’(b )=b 2-ab =b (b -a )>0,∴ f ’(x )=0在(0,a )及(a ,b )内分别有一个实根, ∵ s (2)由s ,t 是方程f ’(x )=0的两根.∴ 2()3 3a b s t ab st +? +=????= ?? , ∴ f (s )+f (t )=3 42()() 27 3a b ab a b -++ +, ∵ 3 2 11( )( )()()[()()]2 3273 2 s t a b f f a b ab a b f s f t ++==- ++ += +, ∴ AB 的中点C ( 2 s t +,f ( 2 s t +))在曲线y =f (x )上. (3)过曲线上点(x 1,y 1)的切线方程为y -y 1=[3x 12-2(a +b )x 1+ab ](x -x 1), 由y 1=x 1(x 1-a )(x 1-b )且切线过原点. ∴ -x 1(x 1-a )(x 1-b )=-x 1[3x 12-2(a +b )x 1+ab ], 当x 1=0时,切线的斜率为k 1=ab , 当x 1= 2 a b +时,切线斜率为- 4 1(a +b )2+ab , ∵ a , b >0,a +b <22,∴ k 1k 2=[-4 1(a +b )2+ab ], Ab =(ab )2- 4 1(a +b )2+ab >(ab )2-2ab =(ab -1)2-1≥-1 ∴ k 1k 2≠-1,即两切线不可能垂直。 第二部分 导数、微分及其导数的应用 知识汇总 一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则 若)(u f y =与)(x u φ=均可导,则[])(x f y φ=也可导,且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则 若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数,且)(y φ单调、可导,则 )(1)(y x f φ'= ',即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法 求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导(注意其中变量y 是x 的函数),然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法 对数求导法是先取对数,然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题: (1)幂指数函数y=)()(x v x u ;(2)由若干个因子的乘积或商的显函数,如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则 设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x),其中)(),(t t ?φ 可导,且)(t φ'≠0,则y=f(x)可导,且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法 二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = ', (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax 导数在研究函数中的应用 知识点一、导数的几何意义 函数()y f x =在0x x =处导数()0f x '是曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的 ,即_______________;相应地,曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线方程是 例1.(1)曲线x e x y +=sin 在点)1,0(处的切线方程为( ) A.033=+-y x B.022=+-y x C.012=+-y x D.013=+-y x (2)若曲线x x y ln =上点P 处的切线平行于直线012=+-y x ,则点P 的坐标是( ) A.),(e e B.)2ln 2,2( C.)0,1( D.),0(e 【变式】 (1)曲线21x y xe x =++在点)1,0(处的切线方程为( ) A.13+=x y B.12+=x y C.13-=x y D.12-=x y (2)若曲线x ax y ln 2-=在点),1(a 处的切线平行于x 轴,则a 的值为( ) A.1 B.2 C.21 D.2 1- 知识点二、导数与函数的单调性 (1)如果函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内,使得'()0f x >,那么函数()y f x =在这个区间内为 且该区间为函数)(x f 的单调_______区间; (2)如果函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内,使得'()0f x <,那么函数()y f x =在这个区间内为 ,且该区间为函数)(x f 的单调_______区间. 例1.(1)函数x e x x f )3()(2-=的单调递增区间为( ) A.)0,(-∞ B.),0(+∞ C.)1,3(- D.),1()3,(+∞--∞和 (2)函数x x y ln 2 12-=的单调递减区间为( ) A.(]1,1- B.(]1,0 C.[)+∞,1 D.),0(+∞ 例2.求下列函数的单调区间,并画出函数)(x f y =的大致图像. (1)3)(x x f = (2)x x x f 3)(3+= (3)1331)(23+--=x x x x f (4)x x x x f 33 1)(23++-= 知识点三、导数与函数的极值 函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内,若0x 满足0)(0='x f ,且在0x 的两侧)(x f 的导数)(x f '异号,则0x 是)(x f 的极值点,)(0x f 是极值,并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”,则0x 是)(x f 的 ,)(0x f 是极大值;如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”,则0x 是)(x f 的极小值点,)(0x f 是 (熟练掌握求函数极值的步骤以及一些注意点) 例1.(1)求函数133 1)(23+--=x x x x f 的极值 (2)求函数x x x f ln 2)(2-=的极值 导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度,加速度,光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则,了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?,那么函数y 相应地有增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0),比值x y ??叫做函数y=f (x )在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率,即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时,x y ??有极限,我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导,并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数,记作f’(x 0)或y’|0x x =。 即f (x 0)=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明: (1)函数f (x )在点x 0处可导,是指0→?x 时,x y ??有极限。如果x y ??不存在极限,就说函数在点x 0处不可导, 或说无导数。 (2)x ?是自变量x 在x 0处的改变量,0≠?x 时,而y ?是函数值的改变量,可以是零。 由导数的定义可知,求函数y=f (x )在点x 0处的导数的步骤: (1)求函数的增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0); (2)求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00; (3)取极限,得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率是f’(x 0)。相应地,切线方程为y -y 0=f/(x 0)(x -x 0)。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差), 即: ( .)' ''v u v u ±=± 法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数, 即: .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数: .)(''Cu Cu = 法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方: ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -(v ≠0)。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解——求导——回代。法则:y '|x = y '|u ·u '|x 五、导数应用 1、单调区间: 一般地,设函数)(x f y =在某个区间可导, (数学选修1-1)第一章 导数及其应用 [提高训练C 组]及答案 一、选择题 1.若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于( ) A .sin α B .cos α C .sin cos αα+ D .2sin α 2.若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限,则函数'()f x 的图象是( ) 3.已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是( ) A .),3[]3,(+∞--∞ B .]3,3[- C .),3()3,(+∞--∞ D .)3,3(- 4.对于R 上可导的任意函数()f x ,若满足'(1)()0x f x -≥,则必有( ) A . (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5.若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为( ) A .430x y --= B .450x y +-= C .430x y -+= D .430x y ++= 6.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ,导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示, 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点( A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 二、填空题 1.若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值,则常数c 的值为_________; 2.函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。 3.设函数())(0)f x ??π=+<<,若()()f x f x '+为奇函数,则?=__________ 4.设3 2 1()252 f x x x x =- -+,当]2,1[-∈x 时,()f x m <恒成立,则实数m 的 取值范围为 。 5.对正整数n ,设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ,则 数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是 三、解答题 1.求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2.求函数y = 3.已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-,不等式2()f x c <恒成立,求c 的取值范围。 4.已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞,是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列 两个条件:(1))(x f 在(0,1)上是减函数,在[)1,+∞上是增函数;(2))(x f 的最小值是1,若存在,求出a b 、,若不存在,说明理由. (数学选修1-1)第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1.A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα== 高中数学导数典型例题 精讲 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】 导数经典例题精讲 导数知识点 导数是一种特殊的极限 几个常用极限:(1)1 lim 0n n →∞=,lim 0n n a →∞=(||1a <);(2)0 0lim x x x x →=,00 11lim x x x x →=. 两个重要的极限 :(1)0sin lim 1x x x →=;(2)1lim 1x x e x →∞?? += ??? (e=…). 函数极限的四则运算法则:若0 lim ()x x f x a →=,0 lim ()x x g x b →=,则 (1)()()0 lim x x f x g x a b →±=±????;(2)()()0 lim x x f x g x a b →?=?????;(3)()()()0 lim 0x x f x a b g x b →=≠. 数列极限的四则运算法则:若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==,则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±;(2)()lim n n n a b a b →∞ ?=?(3)()lim 0n n n a a b b b →∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞?=?=?( c 是常数) )(x f 在0x 处的导数(或变化率或微商) 000000()()()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =?→?→+?-?''===??. .瞬时速度:00()() ()lim lim t t s s t t s t s t t t υ?→?→?+?-'===??. 瞬时加速度:00()() ()lim lim t t v v t t v t a v t t t ?→?→?+?-'===??. )(x f 在),(b a 的导数:()dy df f x y dx dx ''===00()() lim lim x x y f x x f x x x ?→?→?+?-==??. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f ',相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数 (1) 0='C (C 为常数).(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='.x x sin )(cos -=' (4) x x 1)(ln =';e a x x a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='. 导数的运算法则 (1)' ' ' ()u v u v ±=±.(2)' ' ' ()uv u v uv =+.(3)'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 复合函数的求导法则 设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=,函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =,则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数,且'''x u x y y u =?,或写作'''(())()()x f x f u x ??=. 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求:了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. 高中数学导数典型例题 题型一:利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。 (1)若函数2)(-=x x f 在处有极值,求)(x f 的表达式; (2)在(1)的条件下,求函数)(x f y =在[-3,1]上的最大值; (3)若函数)(x f y =在区间[-2,1]上单调递增,求实数b 的取值范围 解:(1)极值的求法与极值的性质 (2)由导数求最值 (3)单调区间 零点 驻点 拐点————草图 2. 已知).(3232)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当4 1||≤ a 时, 求证:)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 解:(1)单调区间 零点 驻点 拐点————草图 (2)草图——讨论 题型二:利用导数解决恒成立的问题 例1:已知322()69f x x ax a x =-+(a ∈R ). (Ⅰ)求函数()f x 的单调递减区间; (Ⅱ)当0a >时,若对[]0,3x ?∈有()4f x ≤恒成立,求实数a 的取值范围. 例2:已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++,1()()2 g x f x '=. (1)证明:当22t <时,()g x 在R 上是增函数; (2)对于给定的闭区间[]a b ,,试说明存在实数 k ,当t k >时,()g x 在闭区间[]a b , 上是减函数; (3)证明:3()2 f x ≥. 解:g(x)=2e^(2x)-te^x+1 令a=e^x 则g(x)=2a^2-ta+1 (a>0) (3)f(x)=(e^x-t)^2+(x-t)^2+1 讨论太难 分界线即1-t^2/8=0 做不出来问问别人,我也没做出来 例3:已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f (1)求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值 (2)对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立,求实数a 的取值范围 解:讨论点x=1/e 1/e 导数典型例题 导数作为考试内容的考查力度逐年增大 .考点涉及到了导数的所有内容,如导数的定 义,导数的几何意义、物理意义,用导数研究函数的单调性,求函数的最(极)值等等, 考查的题型有客观题(选择题、填空题) 、主观题(解答题)、考查的形式具有综合性和多 样性的特点.并且,导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考 查成为新的热点. 一、与导数概念有关的问题 【例1】函数f(x)=x(x-1) (x-2)…(x-100)在x= 0处的导数值为 2 A.0 B.100 C.200 D.100 ! 解法一 “(0、_ .. f (° tx) _f(o) .. .-xC-x-DO-2V'^-100)-0 解法 f (0)_叽 L _叽 - _ ||m (A x-1)( △ x-2)…(△ x-100)_ (-1) (-2)-( - 100) =100 ! ???选 D. .x _0 解法二 设 f(x)_a 101x 101 + a 100X 100+ …+ a 1X+a 0,则 f z (0)_ 而 a 1_ (-1)(-2 ) - (- 100) _100 ! . ???选 D. 点评解法一是应用导数的定义直接求解, 函数在某点的导数就是函数在这点平均变化 率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解 111 【例2】已知函数f(x)_ c ; c ^x ? — C ;X 2亠■亠— C ;X k 亠■亠一 导数及其应用高考题精选 1.(2010·海南高考·理科T3)曲线y x 在点1,1 处的切线方程为() x 2 (A)y2x1(B)y2x1(C)y2x 3(D)y 2x2 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义,以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数,解出斜率,然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选A.因为y 2 2,所以,在点 1,1 处的切线斜率 2) (x 2 22 ,所以,切线方程为 y1 2(x 1) ,即 y2x1 ,故选A. ky x1 (12) 2.(2010·山东高考文科·T8)已知某生产厂家的年利润y (单位:万元) 与年产量x (单位:万件)的函数关系式为y 1x3 81x 234,则使该生产厂 3 家获得最大年利润的年产量为() (A)13万件(B)11 万件 (C)9万件(D)7万件 【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题,考查了考生的分析 问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C,y' x2 81,令y0得x 9或x 9(舍去),当x 9 时y' 0; 当x9时y'0,故当x 9时函数有极大值,也是最大值,故选C. 3.(2010·山东高考理科·T7)由曲线y=x 2,y= x 3围成的封闭图形面积为() (A)1 (B) 1 (C) 1 (D) 7 12 4 3 12 【命题立意】本题考查定积分的基础知识,由定积分求曲线围成封闭图形的 面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【思路点拨】先求出曲线y=x2,y=x3的交点坐标,再利用定积分求面积. 【规范解答】选A,由题意得:曲线y=x2,y=x3的交点坐标为(0,0) ,(1,1),故 所求封闭图形的面积为1(x2-x3)dx= 1 1 1 0 1- 1= 故选A. 3 4 12 4 4.(2010·辽宁高考理科·T10)已知点P在曲线y= x 上,为曲线在点 e 1 P处的切线的倾斜角,则的取值范围是() (A)[0, )(B)[ , )( ,3 ](D)[ 3 ,) 4 4 2 2 4 4 【命题立意】本题考查了导数的几何意义,考查了基本等式,函数的值域,直线的倾斜角与斜率。 【思路点拨】先求导数的值域,即tan的范围,再根据正切函数的性质求的范围。 【规范解答】选 D. 5.(2010·湖南高考理科·T4) 4 1 dx等于()2x A、2ln2 B、2ln2 C、ln2 D、ln2 【命题立意】考查积分的概念和基本运算. 【思路点拨】记住1 的原函数. x 1 4 【规范解答】选D. dx=(lnx+c)|42=(ln4+c)-(ln2+c)=ln2. 2 x 【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数. 函数与导数 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈,其中t R ∈. (Ⅰ)当1t =时,求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)当0t ≠时,求()f x 的单调区间; (Ⅲ)证明:对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点. 【解析】(19)本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零点、解不等式等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法,满分14分。 (Ⅰ)解:当1t =时,3 2 2 ()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+- (0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =- (Ⅱ)解:2 2 ()1266f x x tx t '=+-,令()0f x '=,解得.2 t x t x =-=或 因为0t ≠,以下分两种情况讨论: (1)若0,,2 t t t x <<-则 当变化时,(),()f x f x '的变化情况如下表: x ,2t ? ?-∞ ?? ? ,2t t ?? - ??? (),t -+∞ ()f x ' + - + ()f x 所以,()f x 的单调递增区间是(), ,,;()2t t f x ? ?-∞-+∞ ? ??的单调递减区间是,2t t ?? - ??? 。 (2)若0,2 t t t >-< 则,当x 变化时,(),()f x f x '的变化情况如下表: x (),t -∞ ,2t t ??- ?? ? ,2t ?? +∞ ??? ()f x ' + - + ()f x 导数及其应用大题精选 姓名____________班级___________学号____________分数______________ 1 .已知函数)0()(>++ =a c x b ax x f 的图象在点(1,)1(f )处的切线方程为1-=x y . (1)用a 表示出c b ,; (2)若x x f ln )(≥在[1,+∞)上恒成立,求a 的取值范围. 2 .已知2 ()I 若()f x 在x=1处取得极值,求a 的值; ()II 求()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 的最小值为1,求a 的取值范围 . 4 .已知函数 ()ln f x x x =. (Ⅰ)求()f x 的单调区间; (Ⅱ) 当1k ≤时,求证:()1f x kx ≥-恒成立. 5 .已知函数()ln a f x x x =- ,其中a ∈R . (Ⅰ)当2a =时,求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)如果对于任意(1,)x ∈+∞,都有()2f x x >-+,求a 的取值范围. 6 .已知函数 2()4ln f x ax x =-,a ∈R . (Ⅰ)当1 2 a = 时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)讨论()f x 的单调性. 7 .已知函数 ()e (1)x f x x =+. (Ⅰ)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)若对于任意的(,0)x ∈-∞,都有()f x k >,求k 的取值范围. 8 .已知函数 a ax x x f 23)(3+-=,)(R a ∈. (Ⅰ) 求)(x f 的单调区间; (Ⅱ)曲线)(x f y =与x 轴有且只有一个公共点,求a 的取值范围. 9 .已知函数 22()2ln (0)f x x a x a =->. (Ⅰ)若()f x 在1x =处取得极值,求实数a 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 在[1]e , 上没有零点,求实数a 的取值范围. 10.已知曲线 ()x f x ax e =-(0)a >. (Ⅰ)求曲线在点(0,(0)f )处的切线; (Ⅱ)若存在实数0x 使得0()0f x ≥,求a 的取值范围. 导数典型例题 数作 考 内容的考 力度逐年增大 .考点涉及到了 数的所有内容,如 数的定 , 数的几何意 、物理意 ,用 数研究函数的 性,求函数的最(极) 等等,考 的 型有客 ( 、填空 ) 、主 (解答 ) 、考 的形式具有 合性和多 性的特 点 .并且, 数与 内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的 合考 成 新的 点 . 一、与导数概念有关的问题 【例 1】函数 f(x)=x(x-1) ( x-2)? (x-100) 在 x=0 的 数 .100 2 C ! f ( 0 x) f ( 0) x( x 1)( x 2) (100 ) 解法一 f ' (0)= lim x = lim x x 0 x 0 = lim ( x-1)( x-2)? ( x-100)= ( -1 )( -2)?( -100 ) =100 ! ∴ D. x 0 解法二 f(x)=a 101 x 101 + a 100 x 100 +? + a 1x+a 0, f '(0)= a 1,而 a 1 =( -1)( -2 )?( -100 ) =100 ! . ∴ D. 点 解法一是 用 数的定 直接求解,函数在某点的 数就是函数在 点平均 化 率的极限 .解法二是根据 数的四 运算求 法 使 解 . 【例 2】 已知函数 f (x)= c n 0 c 1 n x 1 c n 2 x 2 1 c n k x k 1 c n n x n , n ∈ N * , 2 k n f ( 2 2 x ) f ( 2x) lim x = . x 0 f (2 2 x) f ( 2 x) f ( 2 2 x) f (2) 解 ∵ lim x =2 lim 2 x + x x 0 f 2 ( x) f ( 2) lim x =2f ' (2)+ f '(2)=3 f ' (2), x 0 又∵ f '(x)= c n 1 c n 2 x c n k x k 1 c n n x n 1 , ∴ f '(2)= 1 ( 2 c n 1 22 c n 2 2k c n k 2 n c n n ) = 1 [(1+2) n -1]= 1 ( 3 n -1). 2 2 2 点 数定 中的“增量 x ”有多种形式,可以 正也可以 ,如 f ( x 0 m x) f ( x 0 ) , 且 其 定形 式 可 以 是 lim f ( x 0 m x) f ( x 0 ) lim m x m x , 也 可 以 是 x 0 x 0 f (x) f (x 0 ) (令 x=x-x 得到),本 是 数的定 与多 式函数求 及二 式定理有关 lim x x x 0 知 的 合 , 接交 、自然,背景新 . 【例 3】 如 的半径以 2 cm/s 的等速度增加, 半径 R=10 cm , 面 增加的速 度是 . 导数经典例题精讲 导数知识点 导数是一种特殊的极限 几个常用极限:(1)1 lim 0n n →∞=,lim 0n n a →∞=(||1a <);(2)00lim x x x x →=,0011lim x x x x →= . 两个重要的极限 :(1)0sin lim 1x x x →=;(2)1lim 1x x e x →∞?? += ??? (e=2.718281845…). 函数极限的四则运算法则:若0 lim ()x x f x a →=,0 lim ()x x g x b →=,则 (1)()()0 lim x x f x g x a b →±=±????;(2)()()0 lim x x f x g x a b →?=?????;(3)()()()0 lim 0x x f x a b g x b →=≠. 数列极限的四则运算法则:若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==,则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±;(2)()lim n n n a b a b →∞?=?(3)()lim 0n n n a a b b b →∞ =≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞?=?=?( c 是常数) )(x f 在0x 处的导数(或变化率或微商) 000000()()()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =?→?→+?-?''===??. .瞬时速度:00()() ()lim lim t t s s t t s t s t t t υ?→?→?+?-'===??. 瞬时加速度:00()() ()lim lim t t v v t t v t a v t t t ?→?→?+?-'===??. )(x f 在),(b a 的导数:()dy df f x y dx dx ''===00()() lim lim x x y f x x f x x x ?→?→?+?-==??. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f ',相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数 (1) 0='C (C 为常数).(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='.x x sin )(cos -=' (4) x x 1 )(ln = ';e a x x a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='. 导数的运算法则 (1)' ' ' ()u v u v ±=±.(2)' ' ' ()uv u v uv =+.(3)'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 复合函数的求导法则 设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=,函数)(u f y =在点x 处的对应点U处有导数 ''()u y f u =,则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数,且''' x u x y y u =?,或写作'''(())()()x f x f u x ??=. 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求:了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 . [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. 《导数及其应用》经典题型总结 一、知识网络结构 题型一 求函数的导数及导数的几何意义 考 点一 导数的概念,物理意义的应用 例 1.(1)设函数()f x 在 2x =处可 导,且(2)f '=, 求 0(2)(2) lim 2h f h f h h →+--; (2)已知()(1)(2) (2008)f x x x x x =+++,求(0)f '. 考点二 导数的几何意义的应用 例2: 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1,1),且在点Q(2,-1)处与直线y=x-3相切,求实数a 、b 、c 的值 例3:已知曲线y=.3 43 13+x (1)求曲线在(2,4)处的切线方程;(2)求曲线过点(2,4)的切线方程. 题型二 函数单调性的应用 考点一 利用导函数的信息判断f(x)的大致形状 例1 如果函数y =f(x)的图象如图,那么导函数y =f(x)的图象可能是( ) 考点二 求函数的单调区间及逆向应用 例1 求函数522 4 +-=x x y 的单调区间.(不含参函数求单调区间) 例2 已知函数f (x )=1 2x 2+a ln x (a ∈R ,a ≠0),求f (x )的单调区间.(含参函数求单调区间) 练习:求函数x a x x f + =)(的单调区间。 例3 若函数f(x)=x 3 -ax 2 +1在(0,2)内单调递减,求实数a 的取值范围.(单调性的逆向应用) 练习1:已知函数0],1,0(,2)(3 >∈-=a x x ax x f ,若)(x f 在]1,0(上是增函数,求a 的取值范围。 2. 设a>0,函数ax x x f -=3 )(在(1,+∞)上是单调递增函数,求实数a 的取值范围。 导 数 导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则 导数大题专题训练 1.已知f(x)=xlnx-ax,g(x)=-x2-2, (Ⅰ)对一切x∈(0,+∞),f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围; (Ⅱ)当a=-1时,求函数f(x)在[m,m+3](m>0)上的最值;(Ⅲ)证明:对一切x∈(0,+∞),都有lnx+1>成立. 2、已知函数.(Ⅰ)若曲线y=f (x)在点P(1,f (1))处的切线与直线y=x+2垂直,求函数y=f (x)的单调区间;(Ⅱ)若对于都有 f (x)>2(a―1)成立,试求a的取值范围;(Ⅲ)记g (x)=f (x)+x―b(b∈R).当a=1时,函数g (x)在区间[e―1,e]上有两个零点,求实数b的取值范围. 3.设函数 f (x)=lnx+(x-a)2,a∈R.(Ⅰ)若a=0,求函数 f (x)在[1,e]上的最小值; (Ⅱ)若函数 f (x)在上存在单调递增区间,试求实数a的取值范围; (Ⅲ)求函数 f (x)的极值点. 4、已知函数. (Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行,求的值;(Ⅱ)求的单调区间;(Ⅲ)设,若对任意,均存在,使得,求的 取值范围. 5、已知函数 (Ⅰ)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线与直线y=x+2垂直,求函数y=f(x)的单调区间; (Ⅱ)若对于任意成立,试求a的取值范围; (Ⅲ)记g(x)=f(x)+x-b(b∈R).当a=1时,函数g(x)在区间上有两个零点,求实数b的取值范围. 6、已知函数. (1)若函数在区间(其中)上存在极值,求实数a的取值范围; (2)如果当时,不等式恒成立,求实数k的取值范围. 1.解:(Ⅰ)对一切恒成立,即恒成立.也就是在恒成立;令,则, 在上,在上,因此,在处取极小值,也是最小值, 即,所以. (Ⅱ)当,,由得. ①当时,在上,在上 导数及其应用 1、函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111 212 注1:其中x ?是自变量的改变量,可正,可负,可零。 注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数在0x x =处的瞬时变化率是 ,则称函数在点处可导,并把这个极限叫做在处的导数,记作或,即= . 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;(3)边际成本。 )(x f y =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000)(x f y =0x )(x f y =0x )(0'x f 0|'x x y =)(0'x f x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000 6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ,()g x 均可导(可积),则有: 7.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式,得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式,得x 的范围,就是递减区间;[注]:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 8.求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f (x )的导数 '()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区 间分成若干小开区间,并列成表格,检查/()f x 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f (x )在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f (x )在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f (x )在这个根处无极值 9.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下: ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值;⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。[注]:实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点; 经典例题导讲 [例1]已知2)2cos 1(x y +=,则='y . 错因:复合函数求导数计算不熟练,其x 2与x 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:)2cos 1(2sin 2x x y +-='. 正解:设2u y =,x u 2cos 1+=,则)2()2sin (2)2cos 1(2'?-?='+=''='x x u x u u y y x u x )2cos 1(2sin 42)2sin (2x x x u +-=?-?=∴)2cos 1(2sin 4x x y +-='. [例2]已知函数???????>+≤+=)1)(1(2 1)1)(1(2 1)(2 x x x x x f 判断f(x)在x=1处是否可导? 错解:1)1(,1) 11(2 1]1)1[(2 1 lim 2 2 ='∴=?+- +?+→?f x x x 。 分析: 分段函数在“分界点”处的导数,须根据定义来判断是否可导 . 解: 1) 11(2 1]1)1[(2 1 lim lim 2 2 =?+- +?+=??- - →?→?x x x y x x ∴ f(x)在x=1处不可导. 注:+→?0x ,指x ?逐渐减小趋近于0;-→?0x ,指x ?逐渐增大趋近于0。 点评:函数在某一点的导数,是一个极限值,即x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 000 ,△x →0,包括△x →0+,与△x →0- ,因此,在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时,要验证其左、右极限是否存在且相等,如果都存在且相等,才能判定这点存在导数,否则不存在导数. [例3]求322+=x y 在点)5,1(P 和)9,2(Q 处的切线方程。 错因:直接将P ,Q 看作曲线上的点用导数求解。 分析:点P 在函数的曲线上,因此过点P 的切线的斜率就是y '在1=x 处的函数值; 点Q 不在函数曲线上,因此不能够直接用导数求值,要通过设切点的方法求切线. 解:4.4,3212= ' ∴='∴+==x y x y x y 即过点P 的切线的斜率为4,故切线为:14+=x y .高考数学 导数及其应用的典型例题
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