运筹学判断题
一、第1章 线性规划的基本理论及其应用 1、线性规划问题的可行解集不一定是凸集。（×） 2、若线性规划无最优解则其可行域无界。（×）
3、线性规划具有惟一的最优解是指最优表中非基变量检验数全部非零。（√）
4、线性规划问题的每一个基本可行解对应可行域的一个顶点。（√）
5、若线性规划模型的可行域非空有界，则其顶点中必存在最优解。（√）
6、线性规划问题的大M 法中，M 是负无穷大。（×）
7、单纯形法计算中，若不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量为负。（√）
8、对于线性规划问题的基本可行解，若大于零的基变量数小于约束条件数，则解是退化的。（√）。
9、一旦一个人工变量在迭代过程中变为非基变量后，则该变量及相应列的数字可以从单纯性表中删除，且这样做不影响计算结果。（√）
10、线性规划的目标函数中系数最大的变量在最优解中总是取正值。（×）
11、对一个有n 个变量，m 个约束的标准型的线性规划问题，其可行域的顶点恰好为个m n C 。
（×）
12、线性规划解的退化问题就是表明有多个最优解。（×）
13、如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。（√） 14、单纯型法解线性规划问题时值为0的变量未必是非基变量。（√） 15、任何线性规划问题度存在并具有唯一的对偶问题。（√） 16、对偶问题的对偶问题一定是原问题。（√）
17、根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解；反之，当对偶问题无可行解时，其原问题为无界解。（×）
18、若原问题有可行解，则其对偶问题也一定有可行解。（×） 19、若原问题无可行解，其对偶问题也一定无可行解。（×） 20、若原问题有最优解，其对偶问题也一定有最优解。（√） 21、已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*0i y >，说明在最优生产计划中，第i 种资源一定有剩余。（×）
22、原问题具有无界解，则对偶问题不可行。（√）
23、互为对偶问题，或者同时都有最优解，或者同时都无最优解。（√）
24、某公司根据产品最优生产计划，若原材料的影子价格大于它的市场价格，则可购进原材料扩大生产。（√）
25、对于线性规划问题，已知原问题基本解不可行，对偶问题基本解可行，可采用对偶单纯形法求解。（√） 26、原问题（极小值）第i 个约束是“≥”约束，则对偶变量0i y ≥。（√）
27、线性规划问题的原单纯形解法，可以看作是保持原问题基本解可行，通过迭代计算，逐步将对偶问题的基本解从不可行转化为可行的过程。（√） *28、运输问题不能化为最小费用流问题来解决。（×） 29、运输问题一定有最优解。（√）
30、若运输问题的可行解退化，则存在等于零的数字格。（√）
31、运输问题是特殊的线性规划问题，表上作业法也是特殊形式的单纯形法。（√）
32、按最小元素法（或伏格尔法）给出的初始基可行解，从每一空格出发可以找出，而且仅能找出唯一闭合回路。（√）
33、如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别乘上一个常数k ，调运方案将不会发生变化。（×）
34、如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别加上一个常数k ，调运方案将不会发生变化。（√） 35、如果运输问题单位运价表的全部元素分别乘上一个常数()0k k >，调运方案将不会发生变化。（√） 36、运输问题独立约束条件数1m n +-个，变量数是mn 个，于是基变量数为mn m n --个。（×）
37、整数规划解的目标函数值一般优于其相应的线性规划问题的解的目标函数值。（×） 38、一个整数规划问题如果存在两个以上的最优解，则该问题一定有无穷多最优解。（×） 39、分支定界法在需要分支时必须满足：一是分支后的各子问题必须容易求解；二是各子问题解的集合必须覆盖原问题的解 。（√）
40、整数规划的最优解是先求相应的线性规划的最优解然后取整得到。（×） 41、用分支定界法求解一个极大化的整数规划问题时，任何一个可行解的目标函数值是该问题的下界。（√）
42、用分支定界法求解一个极大化的整数规划问题，当得到多于一个可行解时。通常可任取其中一个作为下界值，再进行比较剪枝。（×）
43、求最大值的整数规划问题中，其松弛问题的最优解是整数规划问题最优解的上界。（√）44、匈牙利算法是对指派问题求最小值的一种求解方法。（√）
45、指派问题效率矩阵的每个元素分别乘上一个常数k ，将不影响最优指派方案。（×） 46、指派问题数学模型的形式同运输问题十分相似，故也可以用表上作业法求解。（√） 47、匈牙利算法是对指派问题求最小值的一种求解方法。（√）
48、应用匈牙利算法求解工作指派问题时，对不打勾的行和打钩的列画横线。（√）
49、求解效率最大的指派问题，可以用指派矩阵的最小元素减去该矩阵的各元素，得到新的指派矩阵，再用匈牙利算法求解。（×） 二、第4章
1、图论中的图不仅反映了研究对象之间的关系，而且是真实图形的写照，因而对图中点与点的相对位置、点与点的连线的长短曲直等都要严格注意。（×）
2、连通图G 的部分树是取图G 的点和G 的所有边组成的树。（×）
3、在有向图中，链和路是一回事。（×）
4、连通图一定有支撑树。（√）
5、避圈法（加边法）是：去掉图中所有边，从最短边开始添加，加边的过程中不能形成圈，直到有n 条边（n 为图中的点数）。（×）
6、应用矩阵法计算网络最小支撑树问题，应当在所有记有T 的行里没有划去的元素中寻找最小元素。（√）
7、用避圈法得到的最小树是惟一的，但破圈法得到的则不是。（×）
8、最小生成树的Kruskal 算法，每次迭代是将剩下边集中的最小权边加入树中。（×） 9、Dijkstra 算法和Ford 算法均要求边的权重非负。（√？）。（×） 10、Dijkstra 算法可用于正权网络也可用于负权网络。（×）
11、Dijkstra算法可用于求解有负权的网络最短路问题。（×）
12、Dijkstra算法可用于求解最短路中的所有情形。（×）
13、Dijkstra算法是求最大流的一种标号算法。（×）
14、在最短路问题中，发点到收点的最短路长是惟一的。（√）
15、求图的最小支撑树以及求图中一点到另一点的最短路问题，都可以归结为求解整数规划问题。（√）
16、只有一个奇点的连通图是欧拉图。（×）
17、在任何网络流中，零流总是一个可行流。（√）
18、在最大流问题中，最大流是惟一的。（×）
19、最大流问题是找一条从发点到收点的路，使得通过这条路的流量最大。（×）
C是弧(),i j的实际通过量。（×）
20、容量
ij
21、可行流是最大流的充要条件是不存在发点到收点的增广链。（√）
22、一个具有多个发点和多个收点地求网络最大流的问题一定可以转化为具有单个发点和单个收点地求网络最大流问题。（√）
f>。（×）
23、形成增广链的条件是对于正向弧必须满足0
ij
24、可行流的流量等于每条弧上的流量之和。（×）
25、最大流量等于最大流。（×）
26、求网络最大流的问题可归结为求解一个线性规划模型。（√）
27、若已求得网络最大流，已标号节点的集合和未标号节点的集合给出了网络的最小割集。（√）
28、网络最大流等于该网络最大割容量。（×）
29、割集中弧的流量之和称为割量。（×）
30、最小割集等于最大流量。（×）
31、任意可行流得流量不超过任意割量。（√）
32、若已给网络的一个最小费用可行流，它的最小费用增广链对应于长度网络（赋权图）的最短路。（√）
33、总时差为零的各项作业所组成的路线即为关键路线。（√）
34、工程网络图中关键路线是最长路线。（√）
35、网络规划中，工作的机动时间或富余时间叫做时差，分为总时差和单时差。（√）
36、以同一节点为开始事件的各项作业的最早开始时间相同。（√）
37、以同一节点为结束事件的各项作业的最迟结束时间相同。（√）
38、节点的最早开始时间与最迟完成时间两两相同所组成的路线是关键路线。（×）
39、优化网络图计划，保证资源的最优配置和工期的按时完成，通常根据工作的时差，采用非关键路线上的工作开始时间来实现。（√）
40、采取应急措施，往往不但缩短了工期环可以减少工程总费用。（×）
41、工程网络图中，只能有一个开始节点，但可以有多个结束节点。（×）
42、工程网络图中，事项只表示某项工作结束的状态。（×）
43、工程网络图可以有几个初始事项，但不可以有几个最终事项。（×）
44、虚活动的作业时间等于零。（√）
45、在网络图得关键路线上，总时差等于零。（√）
三、第6章
1、矩阵对策中，如果最优解要求一个局中人采取纯策略，则另一个局中人也必须采取纯策
略。（×）
2、任何矩阵对策一定存在混合策路意义下的解，并可以通过求解两个互为对偶的线性规划问题得到。（√）
3、对策模型的三要素：局中人、策略、赢得函数。（√）
4、在两人零和对策支付矩阵的某一行（或某一列）上加上一个常数k ，将不影响对策双方各自的最优策略。（×）
5、二人零和对策支付矩阵的所有元素乘上一个常数k ，将不影响对策双方各自的最优策略。（√）
6、应对灾害天气制定预案的策略，同制订对一场可能发生的军事冲突的策略，具有相同的性质和过程。（×）
7、如果在任一“局势”中，全体局中人的“得失”相加总是等于零，这个对策就叫做“零和对策”。（√）
8、任何一个给定的矩阵对策G 一定有解（在混合扩充中的解）。（√） 9、一个矩阵对策问题的赢得矩阵()
ij A a =，一定有不等式max min min max ij ij j
j
i
i
a a ≥。（×）
10、已知某对策问题的赢得函数矩阵为132523243??
?
? ???
，所以它是纯策略对策问题。（×）
11、二人零和有限对策问题中，对局双方的赢得函数值互为相反数。（√）
12、最优纯策略中，max min min max ,ij ij ij j
j
i
i
a a a =为局中人赢得函数中的元素。（√）
运筹学实用教程解答题一、第1章线性规划的基本理论及其应用
1（1.3.1）、用图解法解线性规划问题
12
12
12
12
12
12
max32
2422
410
..247
31
,0
z x x
x x
x x
s t x x
x x
x x
=+
+≤
?
?-+≤
??
-≤
?
?-≤
?
?≥
?
（答案：
12
max21;5,3
z x x
===）
x=(0:0.1:12)';
y1=(22-2*x)/4;
y2=2*x-7;
y3=(x+10)/4;
y4=(x-1)/3;
z1=(1-3*x)/2;
z2=(4-3*x)/2;
z3=(8-3*x)/2;
z4=(12-3*x)/2;
plot(x,y1,'g:',x,y2,'g:',x,y3,'g:',x,y4,'g:',x,z1,'b-',x,z2,'b-',x,z3 ,'b-',x,z4,'b-');
title('??D?1???í??a·¨');
2（1.3.2）、用图解法解线性规划问题
12
2
12
12
12
12
max2
10
2560
..18
344
,0
z x x
x
x x
s t x x
x x
x x
=+
≤
?
?+≤
??
+≤
?
?+≤
?
?≥
?
（答案：
12
max31;13,5
z x x
===）
x=(0:0.1:15)';
y1=10;
y2=(60-2*x)/5;
y3=18-x;
y4=44-3*x;
z1=1-2*x;
z2=4-2*x;
z3=8-2*x;
z4=12-2*x;
plot(x,y1,'g:',x,y2,'g:',x,y3,'g:',x,y4,'g:',x,z1,'b-',x,z2,'b-',x,z3 ,'b-',x,z4,'b-');
title('??D?1???í??a·¨');
3（1.3.3）、用图解法解线性规划问题
12
1
12
12
max32
3
..0
,0
z x x
x
s t x x
x x
=-+
≤
?
?
-≤
?
?≥
?
（答案：可行域无界，无最优解）
-3x1+2x2=4
-3x1+2x2=1
1
=3
x1-x2=0
(图形是matlab结合几何画板绘制出来的)
4（1.3.4）、用图解法解线性规划问题
12
12
12
12
max32
1
..224
,0
z x x
x x
s t x x
x x
=-
+≤
?
?
+≥
?
?≥
?
（答案：无可行域，无最优解）x1+x2=1
2x1+2x2
=4 (图形是matlab结合几何画板绘制出来的)
5（1.3.5）、用图解法解线性规划问题
12
12
12
12
max43
326
..318
,0
z x x
x x
s t x x
x x
=+
-+≤
?
?
-+≥
?
?≥
?
（答案：可行域无界，无最优解）
x=(0:0.1:3)';
y1=(6+3*x)/2;
y2=(18+x)/3;
z1=(12-4*x)/3;
z2=(20-4*x)/3;
plot(x,y1,'g:',x,y2,'g:',x,z1,'b-',x,z2,'b-'); title('??D?1???í??a·¨');
(图形是matlab结合几何画板绘制出来的)
6（1.3.6）、用图解法解线性规划问题
12
1
12
12
max23
416
..28
,0
z x x
x
s t x x
x x
=+
≤
?
?
+≤
?
?≥
?
（答案：
12
max14;4,2
z x x
===）
x=(0:0.1:9)';
y1=(8-x)/2;
z1=(12-2*x)/3;
z2=(20-2*x)/3;
plot(x,y1,'g:',x,z1,'b-',x,z2,'b-'); title('??D?1???í??a·¨');
(图形是matlab 结合几何画板绘制出来的)
7（1.4.1）、用单纯形法计算12
212121212max 210
2560..18344,0
z x x x x x s t x x x x x x =+≤??+≤??+≤??+≤??≥? （答案：12max 31;13,5z x x ===，松弛变量34565,9,0x x x x ====）
详解：引进 松弛变量3456,,,x x x x ，标准化模型为12
23124125126123456max 210
2560..18344,,,,,0
z x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x =++=??
++=??++=??++=??≥?。
从表中得答案，12max 31;13,5z x x ===，松弛变量34565,9,0x x x x ====。
8（1.4.2）、用单纯形法计算123
123123123
max 4363330
..23340,,0z x x x x x x s t x x x x x x =++++≤??
++≤??≥? （答案：123max 70;0,10,20/3z x x x ====）
详解：引进松弛变量45,x x ，标准化模型为123
1234123512345
max 4363330
..23340,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x x x =+++++=??
+++≤??≥?。 建立初始单纯形表并作基的变换如下，
从表中得答案，123max 70;0,10,20/3z x x x ====
9（1.4.3）、现有单纯形法问题1234
14123413234
1234min 252520..465
223230
,,0,z x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x =+--+≤??
+++=??+≥??≤++≤??≥?无非负要求
（1）化为标准型；（2）列出初始单纯型表
（答案：
12344
456789101114
451234461378234
49234410111234
456max()2500002520465..23223023222,,,,,,,z x x x x x x x Mx x Mx x x Mx x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x x x x '''-=--+++-+?-+?-+?+?-'''+-+='''+++-+=+-+='''++-+='''++--+='''7891011,,,,0x x x x x ??????
???
≥??
10（1.6.1.1）、求线性规划12
1212
1212max 6050240
26..25,0
z x x x x x x s t x x x x =++≤??-+≤-??
+≤??≥?的对偶问题（答案：
123123123123
min 40625260..250,,0w y y y y y y s t y y y y y y =-+-+≥??++≥??≥?）
11（1.6.1.2）、求线性规划12
121212max 242846489..7,0
z x x x x x s t x x x =++=??≤??
≤??≥?的对偶问题（答案：
123
121323
1min 4897424
..628
,0,w y y y y y s t y y y y y =+++≥??
+≥??≥?无非负要求
） 12（1.6.1.3）、求线性规划1234
14123413234
1234min 26325
20..465
223230
,,0,z x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x =+--+≤??
+++=??+≥??≤++≤??≥?无非负要求
的对偶问题（答案：1234
141234
13
234234123
4min 26325
20
465..2322
23230
,,0,z x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =+--+≤??+++=??+≥??
++≥??---≥-?≥??无非负要求继而得12345
12324523451245
13452max 25205230342221..6336221,,,0,w y y y y y y y y y y y s t y y y y y y y y y y y y y =-+++--++≤??+-≤??++-≤-??-++-=-??≥?无非负要求）
13（1.6.1.4）、求线性规划
12
121212min 6424
..22
,0
f x x x x s t x x x x =----≥??
-+≥??≥?的对偶问题（答案：12
121212max 4226..24,0w y y y y s t y y y y =+--≤-??-+≤-??≥?） 14（1.6.1.5）、求线性规划
12
121212min 53236..364,0f x x x x s t x x x x =+-+≥??-≥??≥?的对偶问题（答案：12
121212
max 6425
..363,0w y y y y s t y y y y =+-+≤??
-≤??≥?）
15（ 1.6.2）、用对偶单纯型法解
12
121212
min 201056..228,0z x x x x s t x x x x =++≥??+≥??≥?（答案：
()1211
max 45;,322
z x x -=-==）
详解：
12121212
min 201056..228,0z x x x x s t x x x x =++≥??+≥??≥?转化为
12
121212
max()201056..228,0z x x x x s t x x x x -=----≤-??--≤-??≥? ，引入松弛变量34,x x ，得到
标准化模型为
1234
1231241234
max()20100056..228,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x -=--+?+?--+=-??--+=-??≥?。
从表中看出()12max 45;,322
z x x -=-=
=，min 45z = 16（1.6.3）、现有线性规划问题：123
123123123123max 2322153..4,,0
z x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+-+≤??
--≥-??
-+≤??≥?，用单纯形法求最优解和资源1、
资源2、资源3的影子价格。（答案：最优解()21,24,0,0,7T
x =，资源1、资源2、资源3
的影子价格1,1,0）
详解：123123123123123max 2322153..4,,0z x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+-+≤??--≥-??-+≤??≥?转化为123
123123
123123max 2322153
..4,,0
z x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+-+≤??-++≤??-+≤??≥?，引入松弛变量456,,x x x ，得到标准化模型为12312341235
1236123456max 2322153
..,,4,,,,,0
z x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =-+-++=??-+++=??-++=??≥?。
从表中看出()21,24,0,0,7,max 18T
x z ==，由表的最后一行，可得资源1、资源2、资源3的影子价格分别为1,1,0。
17（1.6.4）、现有线性规划问题：123
123123
23123min 2462102212
..24,,0
z x x x x x x x x x s t x x x x x =++-+≥??++≤??
-≥??≥?，（1）用单纯形法求解该问题； （2）用对偶单纯形法求解该问题（答案：()6,2,0,20T
x z ==
（1）()12358467123541236238712358467min()2460210
2212..24,,,,,,,0
z x x x Mx Mx x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x -=-----+++-++-=??+++=??
-+-=??≥?用单纯性法迭代；
（2）()12345612341235236123456min()24602102212..24,,,,,0
z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x -=---+++-+-+=-??+++=??
-++=-??≥?用对偶单纯性法迭代）
18（1.6.5）、求解线性规划12
1212
1212min 201525
323..3,0
z x x x x x x s t x x x x =++≥??-+≤??
+≥??≥?（答案：()2,1,7,0,0,55T x z ==）
详解：1212121212min 201525323..3,0z x x x x x x s t x x x x =++≥??-+≤??+≥??≥?转化为1212121212max()201525323..3,0
z x x x x x x s t x x x x -=----≤-??-+≤??--≤-??≥? ，引入松弛变量345,,x x x ，得到标准化模型为12345123124
12512345max()201500025323
..3,,,,0
z x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x -=--+++--+=-??-++=??
--+=-??≥?。
建立初始对偶单纯形表并作基的变换如下，
从表中看出最优解为 ()2,1,7,0,0,55T
x z ==
19（1.6.6）、用对偶单纯型法解123
12123123
min 108724
..3,,0z x x x x x s t x x x x x x =+++≥??
++≥??≥?（答案：()1,2,0,26T
x z ==）
详解：
123
12123123min 108724..3,,0z x x x x x s t x x x x x x =+++≥??++≥??≥?转化为
123
12123123
max 108724..3,,0z x x x x x s t x x x x x x =-----≤-??---≤-??≥? ，引入松弛变量45,x x ，
得到标准化模型为
12345
124123512345
max()10870024..3,,,,0z x x x x x x x x s t x x x x x x x x x -=---++--+=-??---+=-??≥?。
从而得最优解()1,2,0,26T
x z ==
20（1.6.7）、用对偶单纯型法解12
1212
1212min 332318
2..310,0
w x x x x x x s t x x x x =++≤??-≥??
+≥??≥?（答案：()4,2,4,16T x w ==） 详解：1212121212min 3323182..310,0w x x x x x x s t x x x x =++≤??-≥??+≥??≥?转化为12
12121212max()3323182..310,0
w x x x x x x s t x x x x -=--+≤??-+≤-??
--≤-??≥? ，引入松弛变量345,,x x x ，得到标准化模型为12345123124
12512345max()3300023182
..310,,,,0
z x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x -=--+++++=??-++=-??
--+=-??≥?。
建立初始对偶单纯形表并作基的变换如下，
从表中看出，最优解为()4,2,4
,16T
x w ==
二、第4章 1（4.2.1）、某市举行1990年世界杯6强（A 、B
、C 、D 、E 、F ）联赛。竞赛采取循环制，每天安排三场比赛。同一个队一天之内只安排一场，要求竞赛在5
天之内赛完，请用图的方法表示6个队之间的联赛，和竞赛日程安排，
并指出每个图是什么类型的图，各日程安排图
与联赛图是什么关系。（答案：
G
G 1
G 2
G 3
G 4
G 5
D
E
，G 是完全图，12345,,,,G G G G G 为非连通
图，且都是G 的子图）
2（4.2.2）、写123450
1011101010
10111010011100v v v v v ??
???
?
????
??????
出右图的关联矩阵和相关矩阵。
e
2
43
（答案：列都对应顶点，
关联矩阵为
1
2
3
4
5
6
7
11000
01100
00110
10010
01001
00101
10001
e
e
e
e
e
e
e
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
，相关矩阵为
1
2
3
4
5
01011
10101
01011
10100
11100
v
v
v
v
v
??
??
??
??
??
??
??
??
）
3（4.2.3）、有甲乙丙丁戊己6名运动员报名参加ABCDEF6个项目的比赛。下表中打“√”的是各运动员报名参加的比赛项目（表4-1）。问：6个项目比赛顺序如何安排，做到每名运
（答案：，
有人同时参加则连线，方案一ACBFED，方案二AFBCDE，一条任意两点不相关序列）
4（4.2.4）、出席某处国际学术报告会的6个成员ABCDEF被分在一组。他们的情况是：A 会讲汉语、法语和日语；B会讲德语、俄语和日语；C会讲英语、法语；D会讲汉语和西班牙语；E会讲英语和德语；F会讲俄语和西班牙语。怎么把他们安排在一张圆桌旁坐下，使得每个人能和他两旁的人交谈？（答案：
找一条汉密顿回路ACEBFDA ）
5（4.2.5）、图G=（V ，E ）是连通图，且e E ∈。证明：e 属于每一棵生成树的充要条件是e 为G 的割集。（答案：都用反证法。充分性：e 属于每一棵生成树，若e 不为G 的割集（反设）。则G-e 必连通，则G-e 中必存在生成树T ，因为T 也是G 的生成树，但T 不包含e ，导致矛盾。必要性：设e 不为G 的割集（反设）。若G 有生成树T ，则T+e 包含回路。删去e 后连通，即与e 属于每棵生成树矛盾，反设不成立。） 6（4.2.6）、已知图得结点集V={a,b,c,d}，以及图G 和图D 的边集合分别为E(G)={(a,a),(a,b),(b,c),(a,c)}; E(D)={
、图D 是简单图还是多重图。
（答案：
G
D
a 在图G 中deg()4,deg()2a
b ==，
deg()2,deg()0c d ==；在图D 中deg()3,deg()2,deg()4,deg()1a b c d ====；D 是简
单图，其中
deg ()2,deg ()1,deg ()0,deg ()2,deg ()3a a b b c +-+-+=====，
deg ()1,deg ()0,deg ()1c d d -+-===，图G 是多重图。
） 7（4.3.1）、用破圈法或避圈法求右图的最小生成树。
v
运筹学A卷) 一、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,答案选错或未选者,该题不得分。每小题1分,共10分) 1.线性规划具有唯一最优解就是指 A.最优表中存在常数项为零 B.最优表中非基变量检验数全部非零 C.最优表中存在非基变量的检验数为零 D.可行解集合有界 2.设线性规划的约束条件为 则基本可行解为 A.(0, 0, 4, 3) B.(3, 4, 0, 0) C.(2, 0, 1, 0) D.(3, 0, 4, 0) 3.则 A.无可行解 B.有唯一最优解medn C.有多重最优解 D.有无界解 4.互为对偶的两个线性规划, 对任意可行解X 与Y,存在关系 A.Z > W B.Z = W C.Z≥W D.Z≤W 5.有6 个产地4个销地的平衡运输问题模型具有特征 A.有10个变量24个约束
B.有24个变量10个约束 C.有24个变量9个约束 D.有9个基变量10个非基变量 6、下例错误的说法就是 A.标准型的目标函数就是求最大值 B.标准型的目标函数就是求最小值 C.标准型的常数项非正 D.标准型的变量一定要非负 7、m+n－1个变量构成一组基变量的充要条件就是 A.m+n－1个变量恰好构成一个闭回路 B.m+n－1个变量不包含任何闭回路 C.m+n－1个变量中部分变量构成一个闭回路 D.m+n－1个变量对应的系数列向量线性相关 8.互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系 A.原问题无可行解,对偶问题也无可行解 B.对偶问题有可行解,原问题可能无可行解 C.若最优解存在,则最优解相同 D.一个问题无可行解,则另一个问题具有无界解 9、有m个产地n个销地的平衡运输问题模型具有特征 A.有mn个变量m+n个约束…m+n-1个基变量 B.有m+n个变量mn个约束 C.有mn个变量m+n－1约束 D.有m+n－1个基变量,mn－m－n－1个非基变量 10.要求不超过第一目标值、恰好完成第二目标值,目标函数就是
第七章决策论 1.某厂有一新产品，其面临的市场状况有三种情况，可供其选择的营销策略也是 三种，每一钟策略在每一种状态下的损益值如下表所示，要求分别用非确定型 （1）悲观法：根据“小中取大”原则，应选取的经营策略为s3； （2）乐观法：根据“大中取大”原则，应选取的经营策略为s1； （3）折中法（α=0.6）：计算折中收益值如下： S1折中收益值=0.6?50+0.4?(-5)=28 S2折中收益值=0.6?30+0.4?0=18 S3折中收益值=0.6?10+0.4?10=10 显然，应选取经营策略s1为决策方案。 （4）平均法：计算平均收益如下： S1:x_1=（50+10-5）/3=55/3 S2:x_2=(30+25)/3=55/3 S3:x_3=(10+10)/3=10 故选择策略s1,s2为决策方案。 （5）最小遗憾法：分三步 第一，定各种自然状态下的最大收益值，如方括号中所示； 第二，确定每一方案在不同状态下的最小遗憾值，并找出每一方案的最大遗憾值如圆括号中所示； 第三，大中取小，进行决策。故选取S1作为决策方案。
2．如上题中三种状态的概率分别为: 0.3, 0.4, 0.3, 试用期望值方法和决策树方法决策。 （1）用期望值方法决策：计算各经营策略下的期望收益值如下： 故选取决策S2时目标收益最大。 （2）用决策树方法，画决策树如下： 3. 某石油公司拟在某地钻井，可能的结果有三：无油(θ1)，贫油（θ2）和富油（θ3）， 估计可能的概率为：P (θ1) =0.5, P (θ2)=0.3，P (θ3)=0.2。已知钻井费为7万元，若贫油可收入12万元，若富油可收入27万元。为了科学决策拟先进行勘探，勘探的可能结果是：地质构造差(I1)、构造一般(I2)和构造好(I3)。根据过去的经验，地质构造与出油量间的关系如下表所示： P (I j|θi) 构造差(I1) 构造一般(I2) 构造好(I3) 无油(θ1) 0.6 0.3 0.1 贫油(θ2) 0.3 0.4 0.3 富油(θ3) 0.1 0.4 0.5 假定勘探费用为1万元, 试确定：
运筹学习题精选
运筹学习题精选 第一章线性规划及单纯形法 选择 1．在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为……………………………………………………( C ) A．多余变量 B．松弛变量 C．自由变量 D．人工变量 2．约束条件为0 AX的线性规划问题的可行解集 b ,≥ =X 是………………………………………( B ) A．补集 B．凸集 C．交集 D．凹集 3．线性规划问题若有最优解，则一定可以在可行域的（ C）上达到。 A．内点 B．外点 C．顶点 D．几何点 4．线性规划标准型中bi（i=1，2，……m）必须是…………………………………………………( B) A．正数 B．非负数 C．无约束 D．非零的 5．线性规划问题的基本可行解X对应于可行域D 的………………………………………………( D) A．外点 B．所有点 C．内点 D．极点 6．基本可行解中的非零变量的个数小于约束条件数时，该问题可求得……………………………( B ) A．基本解 B．退化解 C．多重解 D．无解 7．满足线性规划问题全部约束条件的解称为…………………………………………………( C ) A．最优解 B．基本解 C．可行解 D．多重解 8．线性规划一般模型中，自由变量可以用两个非负变量的（B ）代换。 A．和 B．差 C．积 D．商 9．当满足最优检验，且检验数为零的变量的个数大于基变量的个数时，可求得………………………( A ) 第 2 页共 30 页
第 3 页 共 30 页 A ．多重解 B ．无解 C ．正则解 D ．退化解 10．若线性规划问题有最优解，则必定存在一个( D )是最优解。 A ．无穷多解 B. 基解 C. 可行解 D. 基可行解 填空 计算 1． 某厂生产甲、乙、丙三种产品，已知有关数据如下表所示,求使该厂获利最大的生产计划。 2． 目标函数为max Z =28x4+x5+2x6，约束形式为“≤”，且x1，x2，x3为松弛变量， 表中的解代入目标函数中得Z=14，求出a~g 的值，并判断→j c 0 0 0 28 1 2 B C 基 b 1x 2x 3x 4x 5x 6x 2 6x A 3 0 -14/3 0 1 1 0 2x 5 6 D 2 0 5/2 0 28 4x 0 0 E F 1 0 0 j j z c - B C 0 0 -1 G
例9 分析在原计划中是否应该安排一种新产品。以第一章例1为例。设该厂除了生产产品Ⅰ、Ⅱ外，现有一种新产品Ⅲ。已知生产产品Ⅲ，每件需要消耗原材料A ，B 各为6kg ，3kg ，使用设备2台时；每件可获利5元。问改产是否应生产该产品和生产多少？若能以10个单位的价格再买进15单位的原材料A ，这样做是否有利？ ()()T B P B C c 3,6,20,125.0,5.153133-='-'='-σ =1.25＞0 21max x x z += ?????? ?≥≤+-≤+为整数 21212 121,0,13651914x x x x x x x x ()T n X ??? ??=310,23 ()629=*z 2,111≥≤x x 21max x x z += 21max x x z = （IP1）?????????≥≤≤+-≤+为整数212112121,0,113651914x x x x x x x x x （IP2）????? ????≥≥≤+-≤+为整数 212112121,0,21 3651914x x x x x x x x x 继续解（IP1）和（IP2），得最优解分别为： ()()()()941,923,2310,37,12211= ?? ? ??== ??? ??=z X z X T T ()9410≤≤*z 3,221≥≤x x 21max x x z = 21max x x z +=
（IP3）??????????≥≤≥≤--为整数2121212121,0,22136x x x x x x x x （IP3）??????????≥≥≥≤+-为整数 2121212121,0,32 1 36x x x x x x x x ()()1461,2,143333=?? ? ??=z X T IP4无可行解 21max x x z += 21max x x z = （IP5）???????????≥≤≤≤+-≤+为整数2121212121,0,2113651914x x x x x x x x x x （IP6）???????????≥≤≤≤+-≤+为整数 2121212121,0,31 1 3651914x x x x x x x x x x ()()()3,2,155==z X T IP6无可行解 14613≤≤*z ()T 2,1433=不为整数 3,211≥≤x x 分别加入问题（IP3）形成两个子问题 21max x x z += 21max x x z =
二、计算题（60分） 1、已知线性规划（20分） MaxZ=3X1+4X2 X1+X2≤5 2X1+4X2≤12 3X1+2X2≤8 X1,X2≥0 其最优解为： 基变量X1X2X3X4X5 X33/2 0 0 1 -1/8 -1/4 X25/2 0 1 0 3/8 -1/4 X1 1 1 0 0 -1/4 1/2 σj 0 0 0 -3/4 -1/2 1）写出该线性规划的对偶问题。 2）若C2从4变成5，最优解是否会发生改变，为什么？ 3）若b2的量从12上升到15，最优解是否会发生变化，为什么？ 4）如果增加一种产品X6，其P6=(2,3,1)T，C6=4该产品是否应该投产？为什么？解： 1)对偶问题为 Minw=5y1+12y2+8y3 y1+2y2+3y3≥3 y1+4y2+2y3≥4 y1,y2≥0 2)当C2从4变成5时， σ4=-9/8 σ5=-1/4 由于非基变量的检验数仍然都是小于0的，所以最优解不变。 3）当若b2的量从12上升到15 X＝9/8 29/8 1/4 由于基变量的值仍然都是大于0的，所以最优解的基变量不会发生变化。 4）如果增加一种新的产品，则 P6’=(11/8,7/8，－1/4)T σ6=3/8>0 所以对最优解有影响,该种产品应该生产 2、已知运输问题的调运和运价表如下，求最优调运方案和最小总费用。（共15分）。 B1B2B3产量销地 产地 A1 5 9 2 15 A2 3 1 7 11 A3 6 2 8 20 销量18 12 16 解：初始解为
计算检验数 由于存在非基变量的检验数小于0，所以不是最优解，需调整 调整为： 重新计算检验数 所有的检验数都大于等于0，所以得到最优解 3、某公司要把4个有关能源工程项目承包给4个互不相关的外商投标者，规定每个承包商只能且必须承包一个项目，试在总费用最小的条件下确定各个项目的承包者，总费用为多少？各承包商对工程的报价如表2所示： （15分） 项目 投标者 A B C D 甲 15 18 21 24 乙 19 23 22 18 丙 26 17 16 19 丁 19 21 23 17 答最优解为： X= 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 总费用为50 4. 考虑如下线性规划问题（24分） B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 15 15 A 2 11 11 A 3 18 1 1 20 销量/t 18 12 16 B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 5 13 0 15 A 2 －2 0 0 11 A 3 0 0 20 销量/t 18 12 16 B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 15 15 A 2 11 11 A 3 7 12 1 20 销量/t 18 12 16 B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 5 13 0 15 A 2 0 2 2 11 A 3 0 0 0 20 销量/t 18 12 16
第一章线性规划1、 由图可得：最优解为 2、用图解法求解线性规划： Min z=2x1+x2 ? ? ? ? ? ? ? ≥ ≤ ≤ ≥ + ≤ + - 10 5 8 24 4 2 1 2 1 2 1 x x x x x x 解： 由图可得：最优解x=1.6,y=6.4
Max z=5x 1+6x 2 ? ?? ??≥≤+-≥-0 ,23222212 121x x x x x x 解： 由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= + ∞
Maxz = 2x 1 +x 2 ????? ? ?≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x 由图可得：最大值?????==+35121x x x ， 所以?????==2 3 21x x max Z = 8.
12 12125.max 2328416412 0,1,2maxZ .j Z x x x x x x x j =+?+≤? ≤?? ≤??≥=?如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为2 6将线性规划模型化成标准形式： Min z=x 1-2x 2+3x 3 ????? ??≥≥-=++-≥+-≤++无约束 321 321321321,0,05232 7x x x x x x x x x x x x 解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥ 0,x 3’’≥0 Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’ ????? ? ?≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0 ,0,0'',0',0,05 232 '''7'''543321 3215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
运筹学试题 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
运筹学试题 一、填空题(本大题共8小题，每空2分，共20分) 1．线性规划闯题中，如果在约束条件中出现等式约束，我们通常用增加___的方法来产生初始可行基。 2．线性规划模型有三种参数，其名称分别为价值系数、___和___。 3．原问题的第1个约束方程是“=”型，则对偶问题相应的变量是___变量。 4．求最小生成树问题，常用的方法有：避圈法和 ___。 5．排队模型M／M／2中的M，M，2分别表示到达时间为___分布，服务时间服从负指数分布和服务台数为2。 6．如果有两个以上的决策自然条件，但决策人无法估计各自然状态出现的概率，那么这种决策类型称为____型决策。 7．在风险型决策问题中，我们一般采用___来反映每个人对待风险的态度。 8．目标规划总是求目标函数的___信，且目标函数中没有线性规划中的价值系数，而是在各偏差变量前加上级别不同的____。 二、单项选择题(本大题共l0小题，每小题3分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。多选无分。 9．使用人工变量法求解极大化线性规划问题时，当所有的检验数在基变量中仍含有非零的人工变量，表明该线性规划问题【】 A．有唯一的最优解 B．有无穷多最优解 C．为无界解 D．无可行解 10．对偶单纯形法解最大化线性规划问题时，每次迭代要求单纯形表中【】 A．b列元素不小于零 B．检验数都大于零 C．检验数都不小于零 D．检验数都不大于零
11．已知某个含10个结点的树图，其中9个结点的次为1，1，3，1，1，1，3，1，3，则另一个结点的次为【】 A．3 B．2 C．1 D．以上三种情况均有可能 12．如果要使目标规划实际实现值不超过目标值。则相应的偏离变量应满足【】 13．在运输方案中出现退化现象，是指数字格的数目【】 A．等于 m+n B．等于m+n-1 C．小于m+n-1 D．大于m+n-1 14．关于矩阵对策，下列说法错误的是【】 A．矩阵对策的解可以不是唯一的 C．矩阵对策中，当局势达到均衡时，任何一方单方面改变自己的策略，都将意味着自己更少的赢得和更大的损失 D．矩阵对策的对策值，相当于进行若干次对策后，局中人I的平均赢得或局中人Ⅱ的平均损失值 【】 A．2 8．—l C．—3 D．1 16．关于线性规划的原问题和对偶问题，下列说法正确的是【】 A．若原问题为元界解，则对偶问题也为无界解
(一)线性规划建模与求解 B.样题：活力公司准备在5小时内生产甲、乙两种产品。甲、乙两种产品每生产1 单位分别消耗2小时、1小时。又根据市场需求信息，乙产品的产量应该至少是甲产品产量的3倍。已知甲、乙两种产品每销售1单位的利润分别为3百元和1百元。请问：在5小时内，甲、乙两种产品各生产多少单位，才能够使得总销售利润最大？ 要求：1、建立该问题的线性规划模型。 2、用图解法求出最优解和最大销售利润值，并写出解的判断依据。如果不存在最优解，也请说明理由。 解：1、(1)设定决策变量： 设甲、乙两种产品分别生产x 1 、x 2 单位 。 (2)目标函数： max z=2 x 1+x 2 (3)约束条件如下：1221 12 25..3,0+≤??≥??≥?x x s t x x x x 2、该问题中约束条件、目标函数、可行域和顶点见图1所示，其中可行域用阴影部分标记，不等式约束条件及变量约束要标出成立的方向，目标函数只须画出其中一条等值线， 结论：本题解的情形是： 无穷多最优解 ，理由： 目标函数等值线z=2 x 1 +x 2 与 约束条件2 x 1+x 2≤5的边界平行 。甲、乙两种产品的最优产量分别为 (5,0)或(1,3)单位；最大销售利润值等于 5 百元。 （二）图论问题的建模与求解样题 A.正考样题（最短路问题的建模与求解，清华运筹学教材编写组第三版267-268页例 13）某企业使用一台设备，每年年初，企业都要做出决定，如果继续使用旧的，要付维修费；若购买一台新设备，要付购买费。但是变卖旧设备可以获得残值收入，连续使用1年、2年、3年、4年以上卖掉的设备残值分别为8万元、6万元、3万元和0万元。试制定一个5年的更新计划，使总支出最少。已知设备在各年的购买费与维修费如表2所示。要求：（1）建立某种图论模型；（2）求出最少总支出金额。
3）若问题中 x2 列的系数变为（3，2）T，问最优解是否有变化； 4）c2 由 1 变为 2，是否影响最优解，如有影响，将新的解求出。 Cj CB 0 0 Cj-Zj 0 4 Cj-Zj 3 4 Cj-Zj 最优解为 X1=1/3,X3=7/5,Z=33/5 2对偶问题为Minw=9y1+8y2 6y1+3y2≥3 3y1+4y2≥1 5y1+5y2≥4 y1,y2≥0 对偶问题最优解为 y1=1/5,y2=3/5 3 若问题中 x2 列的系数变为（3，2）T 则P2’=(1/3,1/5σ2=-4/5＜0 所以对最优解没有影响 4）c2 由 1 变为2 σ2=-1＜0 所以对最优解没有影响 7. 求如图所示的网络的最大流和最小截集(割集，每弧旁的数字是（cij , fij ）。（10 分） V1 (9,5 (4,4 V3 (6,3 T 3 XB X4 X5 b 9 8 X1 6 3 3 X4 X3 1 8/5 3 3/5 3/5 X1 X3 1/3 7/5 1 0 0 1 X2 3 4 1 -1 4/5 -11/5 -1/3 1 - 2 4 X 3 5 5 4 0 1 0 0 1 0 0 X4 1 0 0 1 0 0 1/3 -1/ 5 -1/5 0 X5 0 1 0 -1 1/5 -4/5 -1/3 2/5 -3/5 VS (3,1 (3,0 (4,1 Vt (5,3 V2 解： (5,4 (7,5 V4 V1 (9,7 (4,4 V3 (6,4 (3,2 Vs (5,4 (4,0 Vt (7,7 6/9 V2 最大流＝11 (5,5 V4 8. 某厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品分别经过 A、B、C 三种设备加工。已知生产单位各种产品所需的设备台时，设备的现有加工能力及每件产品的预期利润见表：ⅠⅡⅢ设备能力(台.h A 1 1 1 100 B 10 4 5 600 C 2 2 6 300 单
某昼夜服务的公交线路 解：设x i 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 s.t. x1 + x6≥60 x1 + x2≥70 x2 + x3≥60 x3 + x4≥50 x4 + x5≥20 x5 + x6≥30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥0 解得50,20,50,0,20,10（x1到x6）一共需要150人 一家中型的百货商场 解：设x i ( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥28 x2 + x3 + x4 + x5 + x6≥15 x3 + x4 + x5 + x6 + x7≥24 x4 + x5 + x6 + x7 + x1≥25 x5 + x6 + x7 + x1 + x2≥19 x6 + x7 + x1 + x2 + x3≥31 x7 + x1 + x2 + x3 + x4≥28 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 ≥0 解得12.0.11.5.0.8.0(x1到x7) 最小值36 某工厂要做100套钢架 设x1,x2,x3,x4,x5 分别为5 种方案下料的原材料根数。这样我们建立如下的数学模型。 目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 s.t. x1 + 2x2 +x4≥100 2x3+2x4 +x5≥100 3x1+x2+2x3+3x5≥100 x1,x2,x3,x4,x5≥0 解得30,10,0,50,0 只需要90根原料造100钢架某工厂要用三种原料1、2、3 设设x ij 表示第i 种（甲、乙、丙）产品中原料j 的含量。 目标函数：Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13≥0 -0.25x11+0.75x12 -0.25x13≤0 0.75x21-0.25x22 -0.25x23≥0 -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23≤0 x11+x21 +x31≤100 x12+x22 +x32≤100 x13+x23+x33≤60 x ij≥0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3 解得x11=100,x12=50,x13=50原料分别为第1种100 第2种50 第3种50 资源分配 解：将问题按工厂分为三个阶段，甲、乙、丙三个厂分别编号为1、2、3厂。设sk= 分配给第k个厂至第3个厂的设备台数（k=1、2、3）。xk=分配给第k个工厂的设备台数。 已知s1=5, 并有S2=T1(s1,x1)=s1-x1,S3=T2(s2,x2)=s2-x2从Sk与Xk的定义，可知s3=x3 以下我们从第三阶段开始计算。Maxr3(s3,x3)=r3(s3,x3)即F3（s3）= Maxr3(s3,x3)=r3(s3,x3). 第二阶段F2（s2）=max[r2(s2,x2)+f3(s3)]第一阶段当s1=5时最大盈利为f1(5)=max[r1(5,x1)+f2(5-x1)] 得出2个方案⑴分配给甲0台乙0台丙3台⑵分配甲2台乙2台丙1台，他们的总盈利值都是21. 背包 设Sk＝分配给第k种咨询项目到第四种咨询项目的所有客户的总工作日Xk=在第k种咨询项目中处理客户的数量已知s1=10,有S2=T1(s1,x1)=s1-x1. S3=T2(s2,x2)=s2-3x2. S4=T3(s3,x3)=s3-4x3,第四阶段F4(s4)=maxr4(s4,x4)=r4(s4,[s4/7])第三阶段F3(s3)=max[r3(s3,x3)+f4(s3-4x3)]第二阶段F2(s2)=max[r2(s2,x2)+f3(s2-3x2)]第一阶段已知s1=10，又因s2=s1-x1有F1(10)=max[r1(10,x1)+f2(10-x1)] 综上当x1*=0,x2*=1,x3*=0,x4*=1,最大盈利为28 京城畜产品 解：设：0--1变量xi = 1 (Ai 点被选用）或0 (Ai 点没被选用）。这样我们可建立如下的数学模型：Max z =36x1+40x2+50x3+22x4+20x5+30x6+25x7+48x8+58x9+61x10 s.t. 100x1+120x2+150x3+80x4+70x5+90x6+80x7+140x8+160x9+180x10 ≤720 x1 + x2 + x3 ≤2 x4 + x5 ≥1 x6 + x7 ≥1 x8 + x9 + x10 ≥2 xi≥0 且xi为0--1变量，i = 1,2,3,……,10 函数值245 最优解1,1,0,0,1,1,0,0,1,1（x1到x10的解） 高压容器公司
一、单选题 1．目标函数取极小（minZ ）的线性规划问题可以转化为目标函数取极大的线性规划问题求解，原问题的目标函数值等于（ ）。 A. maxZ B. max(-Z) C. –max(-Z) D.-maxZ 2．下列说法中正确的是（ ）。 A ．基本解一定是可行解 B ．基本可行解的每个分量一定非负 C ．若B 是基，则B 一定是可逆 D ．非基变量的系数列向量一定是线性相关的 3．在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为 （ ） A.多余变量 B ．松弛变量 C ．人工变量 D ．自由变量 4. 当满足最优解，且检验数为零的变量的个数大于基变量的个数时，可求得（ ）。 A ．多重解 B ．无解 C ．正则解 D ．退化解 5．对偶单纯型法与标准单纯型法的主要区别是每次迭代的基变量都满足最优检验但不完全满足 （ ）。 A ．等式约束 B ．“≤”型约束 C ．“≥”约束 D ．非负约束 6. 原问题的第ｉ个约束方程是“＝”型，则对偶问题的变量i y 是（ ）。 A ．多余变量 B ．自由变量 C ．松弛变量 D ．非负变量 7.在运输方案中出现退化现象，是指数字格的数目( )。 A.等于m+n B.大于m+n-1 C.小于m+n-1 D.等于m+n-1 二、判断题 1．线性规划问题的一般模型中不能有等式约束。 2．对偶问题的对偶一定是原问题。 3．产地数与销地数相等的运输问题是产销平衡运输问题。 4．对于一个动态规划问题，应用顺推或逆解法可能会得出不同的最优解。 5．线性规划问题的每一个基本可行解对应可行域上的一个顶点。 6．线性规划问题的基本解就是基本可行解。 三、填空题 1．如果某一整数规划：MaxZ=X 1+X 2 X 1+9/14X 2≤51/14 -2X 1+X 2≤1/3 X 1,X 2≥0且均为整数 所对应的线性规划（松弛问题）的最优解为X 1=3/2，X 2=10/3，MaxZ=6/29，我们现在要对X 1进行分枝，应该分为 和 。 2．如希望I 的2 倍产量21x 恰好等于II 的产量2x ，用目标规划约束可表为： 3. 线性规划解的情形有 4. 求解指派问题的方法是 。 5．美国的R.Bellman 根据动态规划的原理提出了求解动态规划的最优化原理为 6. 在用逆向解法求动态规划时，f k (s k )的含义是：
第一章习题 1.思考题 （1）微分学求极值的方法为什么不适用于线性规划的求解？ （2）线性规划的标准形有哪些限制？如何把一般的线性规划化为标准形式？ （3）图解法主要步骤是什么？从中可以看出线性规划最优解有那些特点？ （4）什么是线性规划的可行解，基本解，基可行解？引入基本解和基可行解有什么作用？ （5）对于任意基可行解，为什么必须把目标函数用非基变量表示出来？什么是检验数？它有什么作用？如何计算检验数？ （6）确定换出变量的法则是什么？违背这一法则，会发生什么问题？ （7）如何进行换基迭代运算？ （8）大M法与两阶段法的要点是什么？两者有什么共同点？有什么区别？ （9）松弛变量与人工变量有什么区别？试从定义和处理方式两方面分析。 （10）如何判定线性规划有唯一最优解，无穷多最优解和无最优解？为什么？ 2.建立下列问题的线性规划模型： （1）某厂生产A，B，C三种产品，每件产品消耗的原料和设备台时如表1-18所示： 润最大的模型。 （2）某公司打算利用具有下列成分（见表1-19）的合金配制一种新型合金100公斤，新合金含铅，锌，锡的比例为3：2：5。 如何安排配方，使成本最低？ （3）某医院每天各时间段至少需要配备护理人员数量见表1-20。
表1-20 假定每人上班后连续工作8小时，试建立使总人数最少的计划安排模型。能否利用初等数学的视察法，求出它的最优解？ （4）某工地需要30套三角架，其结构尺寸如图1-6所示。仓库现有长6.5米的钢材。如何下料，使消耗的钢材最少？ 图1-6 3. 用图解法求下列线性规划的最优解： ?????? ?≥≤+-≥+≥++=0 ,425.134 1 2 64 min )1(21212 12121x x x x x x x x x x z ?????? ?≥≤+≥+-≤++=0 ,82 5 1032 44 max )2(21212 12121x x x x x x x x x x z ????? ????≥≤≤-≤+-≤++=0 ,6 054 4 22232 96 max )3(2122 1212121x x x x x x x x x x x z ??? ??≥≤+-≥+ +=0,1 12 34 3 max )4(2 12 12121x x x x x x x x z
第1题单选 题 A、决策变量 B、松弛变量 C、偏差变量 D、人工变量 2．第2题单选题若用图解法求解线性规划问题，则该问题所含决策变量的数目应为( ) A、二个 B、五个以下 C、三个以上 D、无限制 3．第3题单选题用单纯形法求解目标函数为极大值的线性规划问题，当所有非基变量的检验数均小于零时，表明该问题( ) A、有无穷多最优解 B、无可行解 C、有且仅有一个最优解 D、有无界解 4．第4题单选题 A、1个
B、4个 C、6个 D、9个 5．第5题单选题线性规划问题中基可行解与基解的区别在于( ) A、基解都不是可行解 B、 C、基解是凸集的边界 D、 6．第6题判断题如果线性规划问题问题存在最优解，则最优解一定对应可行域边界上的一个点 标准答案：正确 7．第7题判断题若线性规划问题有两个最优解 , 则它一定有无穷多个最优解 标准答案：正确 8．第8题判断题任何线性规划问题存在并具有唯一的对偶问题 标准答案：正确 9．第9题判断 题 标准答案：正确 10．第10题判断题对偶问题的对偶问题一定是原问题 标准答案：正确 11．第11题判断题线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域范围一般将扩大 标准答案：正确 12．第12题判断题线性规划问题的基解对应可行域的顶点
标准答案：错误 13．第13题判断题若线性规划的原问题有无穷多个最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优解 标准答案：错误 第1题单选题对于 m 个发点、n 个收点的运输问题，叙述错误的是 ( ) A、该问题的系数矩阵有m × n 列 B、该问题的系数矩阵有 m n 行 C、该问题的系数矩阵的秩必为 m n-1 D、该问题的最优解必唯一 2．第2题单选题在解运输问题时，若已求得各个空格的改进路线和判别数，则选择调整格的原则是( ) A、在所有空格中，挑选绝对值最大的正判别数所在的空格作为调整格 B、在所有空格中，挑选绝对值最小的正判别数所在的空格作为调整格 C、在所有空格中，挑选绝对值最大的负判别数所在的空格作为调整格 D、在所有空格中，挑选绝对值最小的负判别数所在的空格作为调整格 3．第3题单选题在运输方案中出现退化现象，是指数字格的数目( ) A、等于m n B、大于m n-1 C、小于m n-1 D、等于m n-1 4．第4题单选题求最初运输方案可采用( ) A、大M法 B、位势法 C、西北角法 D、闭合回路法 5．第5题单选题
运筹学基础课后习题答案 [2002年版新教材] 第一章导论 P5 1.、区别决策中的定性分析和定量分析，试举例。 定性——经验或单凭个人的判断就可解决时，定性方法 定量——对需要解决的问题没有经验时；或者是如此重要而复杂，以致需要全面分析（如果涉及到大量的金钱或复杂的变量组）时，或者发生的问题可能是重复的和简单的，用计量过程可以节约企业的领导时间时，对这类情况就要使用这种方法。 举例：免了吧。。。 2、. 构成运筹学的科学方法论的六个步骤是哪些？ .观察待决策问题所处的环境； .分析和定义待决策的问题； .拟定模型； .选择输入资料； .提出解并验证它的合理性（注意敏感度试验）； .实施最优解； 3、．运筹学定义： 利用计划方法和有关许多学科的要求，把复杂功能关系表示成数学模型，其目的是通过定量分析为决策和揭露新问题提供数量根据 第二章作业预测P25 1、. 为了对商品的价格作出较正确的预测，为什么必须做到定量与定性预测的结合？即使在定量预测法诸如加权移动平均数法、指数平滑预测法中，关于权数以及平滑系数的确定，是否也带有定性的成分？ 答：（1）定量预测常常为决策提供了坚实的基础，使决策者能够做到心中有数。但单靠定量预测有时会导致偏差，因为市场千变万化，影响价格的因素很多，有些因素难以预料。调查研究也会有相对局限性，原始数据不一定充分，所用的模型也往往过于简化，所以还需要定性预测，在缺少数据或社会经济环境发生剧烈变化时，就只能用定性预测了。（2）加权移动平均数法中权数的确定有定性的成分；指数平滑预测中的平滑系数的确定有定性的成分。 2.、某地区积累了5 个年度的大米销售量的实际值（见下表），试用指数平滑法，取平滑系数α= 0.9，预测第6年度的大米销售量（第一个年度的预测值，根据专家估计为4181.9千公斤） 年度 1 2 3 4 5 大米销售量实际值 （千公斤）5202 5079 3937 4453 3979 。 答： F6=a*x5+a(1-a)*x4+a(1-a)~2*x3+a(1-a)~3*x2+a(1-a)~4*F1 F6=0.9*3979+0.9*0.1*4453+0.9*0.01*3937+0.9*0.001*5079+0.9*0.0001*4181.9
运筹学习题库 数学建模题（5） 1、某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需要A 、B 、C 三种资源，每种产品的资源消耗量及单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备如下表所示： 试建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型，不求解。 解：设甲、乙产品的生产数量应为x1、x2，则x1、x2≥0，设z 是产品售后的总利润，则 max z =70x 1+120x 2 s.t. ????? ??≥≤+≤ +≤+0 300103200643604921212121x x x x x x x x ， 2建立使利润最大的生产计划的数学模型，不求解。 解：设甲、乙两种产品的生产数量为x 1、x 2， 设z 为产品售后总利润，则max z= 4x 1+3x 2 s.t. ???????≥≤≤+≤+ ,50040005.253000222112121x x x x x x x 3、一家工厂制造甲、乙、丙三种产品，需要三种资源——技术服务、劳动力和行政管理。每种产品的资源消耗量、单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备量如下表所示：
建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型，不求解。 解：建立线性规划数学模型： 设甲、乙、丙三种产品的生产数量应为x 1、x 2、x 3，则x 1、x 2、x 3≥0，设z 是产品售后的总利润，则 max z =10x 1+6x 2+4x 3 s.t. ???????≥≤++≤++≤++0 3006226005410100321321321321x x x x x x x x x x x x ，， 4、一个登山队员，他需要携带的物品有：食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通 信器材等。每种物品的重量合重要性系数如表所示。设登山队员可携带的最大重量为25kg,试建立队员所能携带物品最大量的线性规划模型，不求解。 解：引入0—1变量x i , x i =1表示应携带物品i ，,x i =0表示不应携带物品I ?? ?==≤++++++++++++=7 ,...,2,1,10254212625510481418152076543217654321i x x x x x x x x x x x x x x x naxz i 或 5、工厂每月生产A 、B 、C 三种产品，单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源根据市场需求，预测三种产品最低月需求量分别是150、260、120，最高需求量是250、310、130，试建立该问题数学模型，使每月利润最大，为求解。 解：设每月生产A 、B 、C 数量为321,,x x x 。 321121410x x x MaxZ ++= 250042.15.321≤++x x x
(一)线性规划建模与求解 B.样题: 活力公司准备在 5小时内生产甲、乙两种产品。甲、乙两种产品每生产 1 单位分别消耗2小时、1小时。又根据市场需求信息，乙产品的产量应该至少是甲产品产量 的3倍。已知甲、乙两种产品每销售 1单位的利润分别为 3百元和1百元。请问：在5小时 内，甲、乙两种产品各生产多少单位，才能够使得总销售利润最大？ 要求：1、建立该问题的线性规划模型。 2、用图解法求出最优解和最大销售利润值， 并写出解的判断依据。如果不存在最优解， 也请说明理由。 解: 1、(1)设定决策变量： 设甲、乙两种产品分别生产 X]、X 2单位 _____________ max z=2 X 1+X 2 _________________________________ 12X 1 亠X 2 乞5 s.t X 2 _3X ! X,X 2 _0 1所示，其中可行域用阴影部分 目标函数只须画出其中一条等值线， 求解过程如下： 1?各个约束条件的边界及其方向如图 1中直线和箭头所示，其中阴影部分为可 行域，由直线相交可得其顶点 A(5,0)、 B(1,3)和 0(0,0)。 2. 画出目标函数的一条等值线 CD : 2x 什X 2=0，它沿法线向上平移，目标函数 值z 越来越大。 3. 当目标函数平移到线段 AB 时时，z ⑵目标函数：. (3)约束条件如下: 2、该问题中约束条件、目标函数、可行域和顶点见图 标记，不等式约束条件及变量约束要标出成立的方向， 顶点用大写英文字母标记。 -2 -1 X 2> 3 X 4 B(1,3) 3 图1 X2 5； A(5,O) T Max z 。 1 MaX 2
运筹学例题及解答 一、市场对I、II两种产品的需求量为：产品I在1-4月每月需10000件，5-9月每月需30000件,10-12月每月需100000件；产品II在3-9月每月需15000件，其它月份每月需50000件。某厂生产这两种产品成本为：产品I在1-5月内生产每件5元，6-12月内生产每件4.50元；产品II在1-5月内生产每件8元，6-12月内生产每件7元。该厂每月生产两种产品能力总和应不超过120000件。产品I容积每件0.2立方米，产品II容积每件0.4立方米，而该厂仓库容积为15000立方米，要求：(a)说明上述问题无可行解；(b)若该厂仓库不足时，可从外厂借。若占用本厂每月每平方米库容需1元，而租用外厂仓库时上述费用增加为1.5元，试问在满足市场需求情况下，该厂应如何安排生产，使总的生产加库存费用为最少。 解：(a) 10-12月份需求总计：100000X3+50000X3=450000件，这三个月最多生产120000X3=360000件，所以10月初需要（450000-360000=90000件）的库存，超过该厂最大库存容量，所以无解。 ? ?（b）考虑到生产成本，库存费用和生产费用和生产能力，该厂10-12月份需求的不足只需在7-9月份生产出来库存就行， 则设xi第i个月生产的产品1的数量，yi第i个月生产的产品2 的数量，zi，wi分别为第i个月末1，2的库存数s1i，s2i分别
为用于第i+1个月库存的原有及租借的仓库容量m3，可建立模型： Lingo 程序为 MODEL: sets: row/1..16/:; !这里n 为控制参数; col/1..7/:; AZ(row,col):b,x; endsets 1211 127777778 7887898998910910109101110111110111211min (4.57)( 1.5) 30000150003000015000300001500030000150003000015000.i i i i i i z x y s s x z y w x z z y w w x z z y w w x z z y w w x z z y w w st x z ===+++-=→-=+-=→+-=+-=→+-=+-=→+-=+-=→+-=+∑∑1211121100005000 120000(712)0.20.415000(712)0i i i i i i i y w x z i z w s s s i ?????????=→+=??+≤≤≤?+=+??≤≤≤???变量都大于等于
运筹学试题库 一、多项选择题 1、下面命题正确的是（）。 A、线性规划的标准型右端项非零； B、线性规划的标准型目标求最大； C、线性规划的标准型有等式或不等式约束； D、线性规划的标准型变量均非负。 2、下面命题不正确的是（）。 A、线性规划的最优解是基本解； B、基本可行解一定是基本解； C、线性规划有可行解则有最优解； D、线性规划的最优值至多有一个。 3、设线性规划问题（P），它的对偶问题（D），那么（）。 A、若（P）求最大则（D）求最小； B、（P）、（D）均有可行解则都有最优解； C、若（P）的约束均为等式，则（D）的所有变量均无非负限制； D、（P）和（D）互为对偶。 4、课程中讨论的运输问题有基本特点（）。 A、产销平衡； B、一定是物品运输的问题； C、是整数规划问题； D、总是求目标极小。 5、线性规划的标准型有特点（）。 A、右端项非零； B、目标求最大； C、有等式或不等式约束； D、变量均非负。 6、下面命题不正确的是（）。 A、线性规划的最优解是基本可行解； B、基本可行解一定是基本解； C、线性规划一定有可行解； D、线性规划的最优值至多有一个。 7、线性规划模型有特点（）。 A、所有函数都是线性函数； B、目标求最大； C、有等式或不等式约束； D、变量非负。 8、下面命题正确的是（）。 A、线性规划的最优解是基本可行解； B、基本可行解一定是最优； C、线性规划一定有可行解； D、线性规划的最优值至多有一个。 9、一个线性规划问题（P）与它的对偶问题（D）有关系（）。 A、（P）有可行解则（D）有最优解； B、（P）、（D）均有可行解则都有最优解； C、（P）可行（D）无解，则（P）无有限最优解； D、（P）（D）互为对偶。 10、运输问题的基本可行解有特点（）。 A、有m＋n－1个基变量； B、有m+n个位势； C、产销平衡； D、不含闭回路。