中考数学专题复习——等腰三角形
一．选择题
1．(2008年沈阳市)若等腰三角形中有一个角等于50，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ） A ．50
B ．80
C ．65或50
D ．50或80
2．(2008年大庆市)如图，将非等腰ABC △的纸片沿DE 折叠后，使点A 落在BC 边上的点F 处．若点D 为AB 边的中点，则下列结论：①BDF △是等腰三角形；②DFE CFE ∠=∠；③DE 是ABC △的中位线，成立的有（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③
3．(2008年大庆市)如图，在ABC △中，AC BC AB =>，点P 为ABC △所在平面内一点，且点P 与ABC △的任意两个顶点构成PAB PBC PAC △，△，△均是．．等腰三角形，则满足上述条件的所有点P 的个数为（ ）
A ．3
B ．4
C ．6
D ．7
4．（2008四川内江）如图，在Rt ABC △中，90C =∠，三边分别为a b c ，，， 则cos A 等于（ ）
A ．a c
B ．
a b
C ．
b a
D ．
b c
A
C B
a c
b
C
B
A
A
C
5．(2008 台湾)如图， ABC 中，D 、E 两点分别在AC 、BC 上，则AB =AC ，CD =DE 。若∠A =40?， ∠ABD ：∠DBC =3：4，则∠BDE =？( )
(A) 25? (B) 30? (C) 35? (D) 40?
6．（2008湖北黄石）．如图，在等腰三角形ABC 中，120ABC ∠=，点P 是底 边AC 上一个动点，M N ，分别是AB BC ，的中点，若 PM PN +的最小值为2，则ABC △的周长是（ ）
A ．2
B
．2+
C ．4
D
．4+
7.(2008安徽)如图，在ABC △中，5AB AC ==，6BC =，点M 为BC 的中点，MN AC ⊥于点N ，则MN 等于（ ） A ．
65
B ．
95
C ．
125
D ．
165
8．(2008新疆乌鲁木齐市)某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为（ ） A ．9cm B ．12cm C ．15cm D ．12cm 或15cm
9．(2008云南省)已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（ ）
A ．9
B ．12
C ．15
D ．12或15
10．(2008山东济宁)如图，ABC △是等腰直角三角形，BC 是斜边，将ABP △绕点A 逆时针旋转后，能与ACP '△重合，如果3AP =，那么PP '的长等于（ ） A
． B
．
C
． D
．
二．填空题
1．（08山东省日照市）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作
A
B C P
M
N
C
D
B
A
正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论：
① AD =BE ； ② PQ ∥AE ； ③ AP =BQ ； ④ DE =DP ； ⑤ ∠AOB =60°．
恒成立的有______________（把你认为正确的序号都填上）．
2．（2008年山东省临沂市）如图，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1，再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1，……，如此作下去，若OA ＝OB ＝1，则第n 个等腰直角三角形的面积S n ＝________。
B 1
B 2
A 1A O
B
３．（2008湖北孝感）如图，AB=AC ，0
120BAC ∠=，AB 的垂直平分线交
BC 于点D ，那么ADC ∠= 。
４．（2008浙江湖州）已知等腰三角形的一个角为70°，则它的顶角
为 度.
5．（08山东省日照市）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论：
A
D
C
E
F
B
① AD =BE ； ② PQ ∥AE ；
③ AP =BQ ； ④ DE =DP ； ⑤ ∠AOB =60°．
恒成立的有______________（把你认为正确的序号都填上）（答案）． 6．（2008江苏南京）若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为 ▲ 度. 7．（2008江苏宿迁）等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为______．
8.（2008 江西）如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是 ．
9．（2008年湖南省邵阳市）如图（十一），已知ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠，点E 为AC 的中点，请你写出一个正确的结论： ．
10.（2008湖南益阳市） 如图5，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是BC 边上的高，点E 、F 是AD
的三等分点，若△ABC 的面积为12cm 2，则图中阴影部分的面积是 cm 2
.
A
E
C D
B
图（十一）
35°
A
B
C E D
O P
Q
11．（2008广东肇庆市）如图3，P 是∠AOB 的角平分线上的一点，PC ⊥OA 于点C ，PD ⊥OB 于点D ，写出图中一对相等的线段（只需写出一对即可） .
三．简答题
1.（08浙江温州）文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图），她们对各自所作的辅助线描述如下： 文文：“过点A 作BC 的中垂线AD ，垂足为D ”； 彬彬：“作ABC △的角平分线AD ”．
数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正．”
（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里． （2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．
2.（08浙江宁波）（1）如图1，ABC △中，90C ∠，请用直尺和圆规作一条直线，把ABC △分割成两个等腰三角形（不写作法，但须保留作图痕迹）．
（2）已知内角度数的两个三角形如图2、图3所示．请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数．
C
图5
3.(2008年沈阳市)已知：如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，
BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，
连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点．
（1）求证：①BE CD =；②AMN △是等腰三角形．
（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED 交线段BC 于点P ．求证：PBD AMN △∽△．
4.(2008 广东)（1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．
求∠AEB 的大小；
（2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转
（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠)，求∠AEB 的大小.
已知：如图，在ABC △中，B C ∠=∠． 求证：AB AC =．
A
B
C E
N D
A B
M
图①
C
A
E
M B
D
N 图②
C B O
D 图7 A B O D C
E 图8
5.(2008 湖南 益阳)如图，在△ABC 中，AB =BC =12cm ，∠ABC =80°，BD 是∠ABC 的平分线，DE ∥BC .
(1)求∠EDB 的度数；
(2)求DE 的长.
6.(2008新疆乌鲁木齐市)在一次数学课上，王老师在黑板上画出图6，并写下了四个等式： ①AB DC =，②BE CE =，③B C ∠=∠，④BAE CDE ∠=∠．
要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出AED △是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）
已知：
求证：AED △是等腰三角形．
7.（2008湖北宜昌市）如图，某种雨伞的伞面可以看成由12块完全相同的等腰三角形布料缝合而成.量得其中一个三角形OAB 的边OA=OB=56cm. （1）求∠AOB 的度数；
（2）求△OAB 的面积.（不计缝合时重叠部分的面积）
等腰三角形答案
一．选择题
A B
C
D E
C
1.D
2.B
3.B
4.D
5.B
6. D
7.C
8.C
9.C 10.A 二.填空题
1. ①②③⑤．
2.22-n
3. 0
60 4. 40 5. ①②③⑤ 6. 110°或35°7. 178. 125 9.
答案不唯一．例如：B C ∠=∠ 10. 6 11. PC =PD
三.解答题
1. 解：（1）只要合理即可．
（2）证明：作ABC △的角平分线AD ，则BAD CAD ∠=∠， 又B C ∠=∠，AD AD =， ABD ACD ∴△≌△，AB AC ∴=．
2. 解：（1）如图，直线CM 即为所求3分（作图正确，不写结论不扣分） （2）图2能画一条直线分割成两个等腰三角形， 4分 分割成的两个等腰三角形的顶角分别是132和84． 5分 图3不能分割成两个等腰三角形． 6分
3. 证明：（1）①BAC DAE ∠=∠ BAE CAD ∴∠=∠
AB AC =，AD AE = ABE ACD ∴△≌△
BE CD ∴=
································ 3分 ②由ABE ACD △≌△得ABE ACD ∠=∠，BE CD =
M N ，分别是BE CD ，的中点，BM CN ∴=
················ 4分 又AB AC = ABM ACN ∴△≌△
AM AN ∴=，即AMN △为等腰三角形 ···················
6分 （2）（1）中的两个结论仍然成立． ······················ 8分 （3）在图②中正确画出线段PD
由（1）同理可证ABM ACN △≌△ CAN BAM ∴∠=∠ BAC MAN ∴∠=∠ 又BAC DAE ∠=∠
MAN DAE BAC ∴∠=∠=∠ AMN ∴△，ADE △和ABC △都是顶角相等的等腰三角形 ·········· 10分 PBD AMN ∴∠=∠，PDB ADE ANM ∠=∠=∠ PBD AMN ∴△∽△ 12分 4. 解：（1）如图7.
∵ △BOC 和△ABO 都是等边三角形，
且点O 是线段AD 的中点，
∴ OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60°, ∴ ∠4=∠5. 又∵∠4+∠5=∠2=60°, ∴ ∠4=30°
同理，∠6=30°.
∵ ∠AEB=∠4+∠6,
图7
O
D
C A
∴ ∠AEB=60°.
（2）如图8.
∵ △BOC 和△ABO 都是等边三角形， ∴ OD=OC, OB=OA,∠1=∠2=60°， 又∵OD=OA,
∴ OD ＝OB ，OA ＝OC ， ∴ ∠4=∠5，∠6=∠7. ∵ ∠DOB=∠1+∠3, ∠AOC=∠2+∠3, ∴∠DOB=∠AOC.
∵ ∠4+∠5+∠DOB=180°, ∠6+∠7+∠AOC=180°,
∴ 2∠5=2∠6, ∴ ∠5=∠6.
又∵ ∠AEB=∠8-∠5， ∠8=∠2+∠6， ∴ ∠AEB ＝∠2＋∠5－∠5＝∠2， ∴ ∠AEB ＝60°. 5.
解：（1）∵DE ∥BC ，
∴∠EDB ＝∠DBC ＝?=∠402
1
ABC
（2）∵AB ＝BC ， BD 是∠ABC 的平分线，∴D 为AC 的中点 ∵DE ∥BC ，∴E 为AB 的中点，
∴DE ＝
cm AB 62
1
= 6. 证明：在ABE △和DCE △中，
B C AEB DEC AB DC ∠=∠??
∠=∠??=?
，ABE DCE ∴
△≌△ AE DE ∴=，即AED △是等腰三角形
7. 解：（1）∠AOB=360°÷12=30° （2）在Rt △BOD 中，∠AOB=30°，∴BD=2
1
OB=28. ∴S △OAB =21×OA ×BD=2
1×56×28=784（cm 2
）
图8
8
7
6
5
4
2
1
E
O D
C
B
A
3
中考数学真题汇编:锐角三角函数 一、选择题 1.的值等于（） A. B. C. 1 D. 【答案】B 2.如图，过点，，，点是轴下方上的一点，连接，， 则的度数是（） A. B. C. D. 【答案】B 3.如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的 直径是( ) A.3 B.
C. D. 【答案】D 4.如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面CD的坡度 ，坡长米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离米，则旗杆AB的高度约为 （） （参考数据：，，） A. 12.6米 B. 13.1 米 C. 14.7 米 D. 16.3米 【答案】B 5.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后 两位）（参考数据：）（） A. 4.64海里 B. 5.49海 里 C. 6.12海 里 D. 6.21海里 【答案】B
6.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（） A. B. C. D. 【答案】B 7. 如图，已知在中，，，，则的值是（） A. B. C. D. 【答案】A 8. 如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B 在同一条直线上）（）
A. B. C. D. h?cosα 【答案】B 二、填空题 9.如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处测得岛礁在东北方向上，继续航 行1．5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东方向,同时测得岛礁正东方向上的避风港在 北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航 行________小时即可到达 (结果保留根号) 【答案】 10.如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=________。 【答案】 11.如图，把三角形纸片折叠，使点、点都与点重合，折痕分别为，，得到 ，若厘米，则的边的长为________厘米. 【答案】 12.如图，在菱形中，，分别在边上，将四边形沿翻折， 使的对应线段经过顶点，当时，的值为________.
锐角三角函数 【知识梳理】 【思想方法】 1. 常用解题方法——设k 法 2. 常用基本图形——双直角 【例题精讲】 例题1.在△ABC 中，∠C=90°． （1）若cosA= 12，则tanB=______;（?2）?若cosA=45 ，则tanB=______． 例题2.（1）已知：cos α=23，则锐角α的取值范围是（ ） A ．0°<α<30° B ．45°<α<60° C ．30°<α<45° D ．60°<α<90° （2）当45°<θ<90°时，下列各式中正确的是（ ） A ．tanθ>cosθ>sinθ B ．sinθ>cosθ>tanθ C ．tanθ>sinθ>cosθ D ．sinθ>tan θ> cosθ 例题3.（1）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，∠CAB=60°，? ， ，求AC ，AB 的长． 例题4.“曙光中学”有一块三角形状的花园ABC ，有人已经测出∠A=30°，AC=40米，BC=25米，你能求出这块花园的面积吗？ 例题5.某片绿地形状如图所示，其中AB ⊥BC ，CD ⊥AD ，∠A=60°，AB=200m ，CD=100m ，?求AD 、BC 的长． 【当堂检测】 1.若∠A 是锐角，且cosA=sinA ，则∠A 的度数是（ ） A.300 B.450 C.600 D.不能确定 2.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=450，∠C=1200，AB=8，则CD 的长为（ ） B A D C 第2题图
A.63 8 B.64 C.328 D.24 3.在Rt △ABC 中，∠C=900，AB=2AC ，在BC 上取一点D ，使AC=CD ，则CD ：BD=（ ） A.213+ B.13- C.2 3 D.不能确定 4.在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A=300，b=310，则a= ，c= ； 5.已知在直角梯形ABCD 中，上底CD=4，下底AB=10，非直角腰BC=34， 则底角∠B= ； 6.若∠A 是锐角，且cosA=5 3，则cos （900-A ）= ； 7.在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=1，sinA= 23，求tanA ，BC ． 8.在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AB=22，AC=BC=52，求AD 的长． 9. 去年某省将地处A 、B 两地的两所大学合并成一所综合性大学，为了方便两地师生交往，学校准备在相距2km 的A 、B 两地之间修一条笔直的公路，经测量在A 地北偏东600方向，B 地北偏西450方向的C 处有一个半径为0.7km 的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？ 第28课时 锐角三角函数的简单应用 【知识梳理】 1. 坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切值． 2. 仰角：仰视时，视线与水平线的夹角． 俯角：俯视时，视线与水平线的夹角． 【思想方法】 1. 常用解题方法——设k 法 2. 常用基本图形——双直角 A B C D C A B 第8题图 第9题图
培优专题 等腰三角形 等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一般三角形的性质，同时，还具有自身的特殊性，这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛．等腰三角形的性质和判定为证明两个角相等和两条线段相等提供了依据．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三角形底边上的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径． 例1 如图1-1，△ABC 中，AB=BC ，M 、N 为BC 边上两点，且∠BAM=∠CAN ，MN=AN ，求∠MAC 的度数． 分析 AB=AC ，MN=AN 可知△ABC 和△AMN 均为等腰三角形，充分利用等腰三角形的性质寻找所求角间的关系． 练习1 1．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，AD=AE ，∠BAE=30°，则∠DEC 等于（ ）． A ．7．5° B ．10° C ．12.5° D ．15° 2．如图，AA ′、BB ′分别是△ABC 的外角∠EAB 和∠CBD 的平分线，且AA ′=AB=B ′B ，A ′、B 、C 在一直线上，则∠ACB 的度数是多少？ 3．如图，等腰三角形ABC 中，AB=BC ，∠A=20°．D 是AB 边上的点，且AD=BC ，?连结CD ，则∠BDC=________． 例2 如图1-5，D 是等边三角形ABC 的AB 边延长线上一点，BD?的垂直平分线HE?交AC 延长线于点E ，那么CE 与AD 相等吗？试说明理由． 分析 要说明似乎没有任何关系的两条线段相等，往往需要做一些工作，如添加辅助线，构造全等三角形等，从而达到解决问题的目的．
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥CD ， ∠ACB =90°， AB=10cm ， BC=8cm ， OD 垂直平分 A C ．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P 作 PE ⊥AB ，交 BC 于点 E ，过点 Q 作 QF ∥AC ，分别交 AD ， OD 于点 F ， G ．连接 OP ，EG ．设运动时间为 t ( s )（0＜t ＜5） ，解答下列问题： （1）当 t 为何值时，点 E 在 BAC 的平分线上？ （2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ，求 S 与 t 的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （4）连接 OE ， OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE ⊥OQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4s t =；（2）PEGO S 四边形2 31568 8 t t =-+ + ，(05)t <<；（3）5 2t =时， PEGO S 四边形取得最大值；（4）16 5 t = 时，OE OQ ⊥. 【解析】 【分析】 （1）当点E 在∠BAC 的平分线上时，因为EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，可得PE=EC ，由此构建方程即可解决问题． （2）根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ）构建函数关系式即可． （3）利用二次函数的性质解决问题即可． （4）证明∠EOC=∠QOG ，可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ，推出EC GQ OC OG =，由此构建方程即可解决问题． 【详解】 （1）在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，AB=10cm ，BC=8cm ， ∴22108-=6（cm ）， ∵OD 垂直平分线段AC ， ∴OC=OA=3（cm ），∠DOC=90°， ∵CD ∥AB ，
二楼 一楼 4m A 4m 4m B 28° C 应用题（三角函数） 1. （2008年南京市）23．（6分）如图，山顶建有一座铁塔，塔高30m C D =，某人在点A 处测得塔底C 的仰角为20 ，塔顶D 的仰角为23 ，求此人距C D 的水平距离A B ． （参考数据：s in 200.342 ≈，c o s 200.940 ≈，ta n 200.364 ≈， sin 23 0.391 ≈，co s 230.921 ≈，tan 230.424 ≈） 2. （2008年巴中市）又到了一年中的春游季节，某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博物馆”．下面是两位同学的一段对话：请你根据两位同学的对话，计算白塔的高度（精确到1米）． 甲：我站在此处看塔顶仰角为600 乙：我站在此处看塔顶仰角为300 甲：我们的身高都是1.5m 乙：我们相距20m 3. （2008年遵义市）某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示．B C A D ∥，斜坡40A B =米，坡角60B A D ∠= ，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过45 时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿B C 削进到E 处，问B E 至少是多少米（结果保留根号）？ 4. 汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30?，B 村的俯角为60?（．如图7）．求A 、B 两个村庄间的距离．（结果精确1.414 1.732==） 5. （2008乌鲁木齐）．如图7，河流两岸a b ，互相平行，C D ，是河岸a 上间隔50m 的两个电线杆．某人在河岸b 上的A 处测得30D A B ∠= ，然后沿河岸走了100m 到达B 处，测得 60C B F ∠= ，求河流的宽度C F 的值（结果精确到个位）． 6.（08庆阳）某超市（大型商场）在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板（一楼的楼顶墙壁）与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.85米，他乘电梯会有碰头危险吗？（sin28o ≈0.47，tan28o ≈0.53） 7. (荆门08)如图，山脚下有一棵树AB ，小华从点B 沿山坡向上走50米到达点D ，用 高为1.5米的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB 的高．(精确到0．1米) （已知sin10°≈0.17, cos10°≈0.98, tan10°≈0.18, sin15°≈0.26, cos15°≈0.97, tan15°≈0.27．) 8. （09铁岭）某旅游区有一个景观奇异的望天洞，D 点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭A 处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道A B 返回山脚下的B 处．在同一平面内，若测得斜坡B D 的长为100米，坡角10D B C ∠=°，在B 处测得A 的仰角40A B C ∠=°，在D 处测得A 的仰角85A D F ∠=°，过D 点作地面B E 的垂线，垂足为C ． （1）求A D B ∠的度数； （2）求索道A B 的长．（结果保留根号） A B C D 20 23 Q B C P A 450 60? 30? B E D C F a b A A C D E F B
等腰三角形专题复习 一、等腰三角形中的分类讨论 1、等腰三角形的周长为50, —条边长是12,则另两边分别是____________________ 4 、如图，在RT^ABC中，/ ACBW ,AB=2BC 在直线BC或AC上取一点P 使得△ PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有____________ 个。 5、已知0为等边△ ABD边BD的中点，AB=4, E、F分别为射线AB DA上一动点，且/ EOF=^ ,若AF=1,求BE的长 _________________ 。 二、构造等腰三角形解题一一截长补短法 6、如图，在△ ABC中，AD为角平分线，且AC=AB+BD求证丁代 2 ＜：. 7、如图，已知W.W 1 2V,AC平分/ MA N MEC-A N C
&如图，△ ABC为等腰三角形，EC=ED, P为BD的中点，求证：AE=2PE. 三、构造等腰三角形解题一一引平行线 9、如图，已知△ ABC是等边三角形，延长BC到D,延长BA到E,使AE=BD求证：EC=ED. 10、已知△ ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC延长BE交AC于F,求证：AF=EF. B
11、△ ABC为等边三角形，D为BC上任意一点，/ ADE=60,边ED与/ ACB外角的平分线交于点E. (1) 求证：AD=DE. (2) 若点D在CB的延长线上，(1)的结论是否依然成立？请画出图形，若成立，请给出证明, 若不成立，请说明理由。 12、如图，BD平分/ ABC交AC于点D, E为CD上一点，且AD=DE,EF// BC交BD于F,求证: AB=EF. 四、等腰三角形中的“三线合一” (一)利用等腰三角形的“三线合一”证题 AE=AC,EF// BC交AC于点F,求证:EC 平分/ DEF. 13、如图，AD是厶ABC的角平分线，且
考点精要解析 考点一：锐角三角函数的概念 1．定义：在 Rt? ABC 中，锐角 A 的正弦、余弦和正切统称为锐角 A 的三角函数． 考点二：特殊角的三角函数 30o ，45o ， 60o 特殊角的三角函数 考点二：解直角三角形 1．直角三角形的性质 在 Rt?ABC 中，∠ C=90o ，∠ A ，∠ B ，∠ C 的对边分别为 a ，b ，c ，斜边中线长为 d ． 2．解直角三角形 （1）定义：由直角三角形中除直角外的已知元素，求所有未知元素的过程，叫作解直角三角形． 四）锐角三角函数 2．在 Rt? ABC 中，∠ C ＝90o ，∠ A ，∠ B ， C 的对边分别为 a ，b ，c ， 1）正弦：锐角 A 的对边与斜边的比叫作∠ 的正弦，记作 sinA ， 即 sin A 2）余弦：锐角 A 的邻边与斜边的比叫作∠ 的余弦，记作 cosA ， 即 cosA 3）正切：锐角 A 的对边与邻边的比叫作∠ 的正切，记作 tanA ， 即 tan A A 的对边 = a ； 斜边 = c A 的邻边 = b ； 斜边 c A 的对边 = a ； A 的邻边 = b
2）解直角三角形的基本类型 注：有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除，取原避中，化斜为直． （3）几种常见的三角形： 考点四：解直角三角形的应用 1．相关概念： （1 ）仰角和俯角：它们都是视线与水平线所成的角，如图4—2—83（a）所示，视线在水平线上方的 角叫作仰角，视 线在水平线下方的角叫作俯角． （2）坡度与坡角：如图4—2—83（b）所示，坡面的垂直高度 h和水平宽度 l 的比叫作坡度（坡 比）．用字母 i表示，即i h．把坡面与水平面的夹角，记作（叫作坡角），那么i h＝tan ．ll （3 ）指北或指南方向线与与目标方向线所成的小于90°的角，叫作方向角．如图4—2—83（c）所示，OA，OB，OC， OD 的方向角分别为：北偏东30 °，南偏东45 °（东南方向），南偏西30°，北偏西45°（西北方向）．
中考数学 特殊角三角函数的应用 1师生共同完成课本第82页例3:求下列各式的值. (1)COS260°sin260 ° COS45 o (2)-tan45 ° . sin 45 教师以提问方式一步一步解上面两题?学生回答，教师板书. 1 ?3 解：(1} COS260 °sin260° =(2)2+(乙)2=1 ⑵ CO^-ta n45 ° =上 + 2-1=0 sin 45 2 2 2?师生共同完成课本第82页例4:教师解答题意: (1)如课本图28? 1-9 ( 1),在Rt△ ABC 中，/ C=90, AB= J6 , BC= J3，求/ A 的度数. (2)如课本图28. 1-9 (2),已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的J3倍，求 a. 教师分析解题方法：要求一个直角三角形中一个锐角的度数，可以先求它的某一个三角函数的值，如果这个值是一个特殊解，那么我们就可以求出这个角的度数. 解：(1)在课本图28. 1-9 (1)中, BC 73 血 -sinA= —= AB V6 2
(2)在课本图28 . 1-9 (2)中， AO y/30B庁 ■/ tana= =、、3 , OB OB ??? a=60°. 教师提醒学生：当A、B为锐角时，若A丰B,则si nA 丰 si nB , cosA 丰 cosB, tanA 丰 ta nB.随堂练习 学生做课本第83页练习第1、2题. 课时总结 学生要牢记下表: 对于sina与tana, . 教后反思 第3课时作业设计
课本练习
做课本第85页习题28. 1复习巩固第3题. 双基与中考 （本练习除了作为本课时的课外作业之外，余下的部分作为下一课时（习题课）学生 的课堂作业?学生可以自己根据具体情况划分课内、课外作业的份量） 、选择题. 1 .已知: Rt △ ABC 中，/ 3 C=90 , cosA=—, 5 AB=15 , 则AC 的长是（） A . 3 B . 6 C . 9 D . 12 2.下列各式中不正确的是（ ）. A . si n 260 °+COS 260° =1 B . si n30° +cos30° =1 C . sin35 ° =cos55 ° D . tan 45° >sin45 ° 3 .计算 2sin30 ° -2cos60° +ta n45 °的结果是（ ）. A . 2 B . 3 C . 、、2 D . 1 1 cosA w ，那么（ ） 2 B . 60° 2011中考数学复习专题—三角函数和圆 考点1 三角形的边角关系 主要考查：三种锐角三角函数的概念，特殊值计算，锐角函数之间的关系，解直角三角形及应用。 1.如图所示 ，Rt △ABC ～Rt △DEF ，则cosE 的值等于（ ） A ．2 1 B ．2 2 C ．2 3 D ．33 2.如图，已知直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠B=ο40，则直角边BC 的长是（ ） A ．ο40sin m B ．ο40cos m C ．ο40tan m D ．ο40tan m 3.王师傅在楼顶上的点A 处测得楼前一棵树CD 的顶端C 的俯角为ο60，又知水平距离BD=10m ，楼高AB=24m ，则树高CD 为（ ） A ．()m 31024- B ．m ???? ??-331024 C ．()m 3524- D ．9m 4.如图是掌上电脑设计用电来测量某古城墙高度的示意图。点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（ ） A ．6米 B ．8米 C ．18米 D ．24米 5.如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD ，BC ∥AD ，迎水坡AB 长13米，且tan ∠BAE= 512，则河堤的高BE 为 米。 6．如果，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东ο60方向上，在A 处东500米的B 处，测得海中灯塔P 在北偏东ο30方向上，则灯塔P 到环海路的距离 PC= 米（用根号表示）。 初二等腰三角形专题集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN] 等腰三角形专题复习 一、等腰三角形中的分类讨论 1、等腰三角形的周长为50，一条边长是12，则另两边分别是__________ 2、若等腰三角形的一个内角为,则底角的度数为__________________ 3、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则此三角形的三个内角度数分别为________________. 4、如图，在RT△ABC中，∠ACB=,AB=2BC，在直线BC或AC上取一点P, 使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有个。 5、已知0为等边△ABD边BD的中点，AB=4，E、F分别为射线AB、DA上一动 点，且∠EOF=,若AF=1，求BE的长_____________。 二、构造等腰三角形解题——截长补短法 6、如图，在△ABC中，AD为角平分线，且AC=AB+BD,求证. 7、如图，已知,AC平分∠MAN，,求证： 8、如图，△ABC为等腰三角形，EC=ED, P为BD的中点，求证：AE=2PE. 三、构造等腰三角形解题——引平行线 9、如图，已知△ABC是等边三角形，延长BC到D,延长BA到E，使AE=BD,求证：EC=ED. 10、已知△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC,延长BE交AC于F,求证：AF=EF. 11、△ABC为等边三角形，D为BC上任意一点，∠ADE=600,边ED与∠ACB外角的平分线交于点E. (1)求证：AD=DE. (2)若点D在CB的延长线上，（1）的结论是否依然成立?请画出图形，若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由。 12、如图，BD平分∠ABC交AC于点D，E为CD上一点，且AD=DE,EF∥BC交BD 于F,求证：AB=EF. 四、等腰三角形中的“三线合一” （一）利用等腰三角形的“三线合一”证题 13、如图，AD是△ABC的角平分线，且AE=AC,EF∥BC交AC于点F，求证:EC平分∠DEF. 14、如图所示，∠BAC=∠ABD，AC=BD,点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点，试判断OE和AB的位置关系并给出证明。 和 三角函数专项训练 1．（2009眉山）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B到C处的距离． 2．（2009年中山）如图所示，A．B两城市相距100km，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据： 3≈1.732，2≈1.414） 3．（2009年哈尔滨）如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西30°方向，轮船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西60°方向．当轮船到达灯塔C的正东方向的D处时，求此时轮船与灯塔C的距离．（结果保留根号） 北 C D 60° B 30° A 4．（2009年凉山州）如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上． （1）MN是否穿过原始森林保护区？为什么？（参考数据：3≈1.732） （2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？ . C M A B N （第21题） 5．（2009年辽宁省锦州）为了加快城市经济发展，某市准备修建一座横跨南北的大桥如图10所示，测量队在点A处观测河对岸水边有一点C，测得C在北偏东60°的方向上，沿河岸向东前行30米到达B处，测得C在北偏东45°的方向上，请你根据以上数据帮助该测量队计算出这条河的宽度.(结果保留根号) 6．（2009年湖南长沙）某校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量湘江宽度的活动．如图，他们在河东岸边的A点测得河西岸边的标志物B在它的正西方向，然后从A点出发沿河岸向正北方向行进550米到点C处，测得B在点C的南偏西60°方向上，他们测得的湘江宽度是多少米？（结果保留整数，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）北 西东 南 C B A 7．（2009山西省太原市）如图，从热气球C上测得两建筑物A．B底部的俯角分别为30°和60°．如果这时气球的高度CD为90米．且点A．D．B在同一直线上，求建筑物A．B间的距离． E C F 30°60° A D B 三角函数1 一．解答题（共10小题） 1．如图：一辆汽车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA=30°和∠DCB=60°，如果斑马线的宽度是AB=3米，驾驶员与车头的距离是0.8米，这时汽车车头与斑马线的距离x是多少？ 2．一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB=50cm，拉杆最大伸长距离BC=35cm，（点A、B、C在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮⊙A，⊙A与水平地面切于点D，AE∥DN，某一时刻，点B距离水平面38cm，点C距离水平面59cm． （1）求圆形滚轮的半径AD的长； （2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C处且拉杆达到最大延伸距离时，点C距离水平地面73.5cm，求此时拉杆箱与水平面AE所成角∠CAE的大小（精确到1°，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）． 3．如图，书桌上的一种新型台历和一块主板AB、一个架板AC和环扣（不计宽度，记为点A）组成，其侧面示意图为△ABC，测得AC⊥BC，AB=5cm，AC=4cm，现为了书写记事方便，须调整台历的摆放，移动点C至C′，当∠C′=30°时，求移动的距离即CC′的长（或用计算器计算，结果取整数，其中=1.732，=4.583） 4．某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°～24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面．新桌面的设计图如图1，AB可绕点A 旋转，在点C处安装一根可旋转的支撑臂CD，AC=30cm． （1）如图2，当∠BAC=24°时，CD⊥AB，求支撑臂CD的长； （2）如图3，当∠BAC=12°时，求AD的长．（结果保留根号） （参考数据：sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.46，sin12°≈0.20） 应用题（三角函数） 1. （2008年南京市）23．（6分）如图，山顶建有一座铁塔，塔高30m CD =，某人在点A 处测得塔底C 的仰角为20o ，塔顶D 的仰角 为23o ，求此人距CD 的水平距离AB ． （参考数据：sin 200.342o ≈，cos 200.940o ≈，tan 200.364o ≈， sin 230.391o ≈，cos 230.921o ≈，tan 230.424o ≈） 2. （2008年遵义市）某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示．BC AD ∥，斜坡40AB =米，坡角 60BAD ∠=o ，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过45o 时，可确保山 体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC 削进到E 处，问BE 至少是多少米（结果保留根号）？ 3题图. 3. 汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30?，B 村的俯角为60?．求A 、B 两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据2 1.4143 1.732==，） 4 ．如图，河流两岸a b ，互相平行，C D ，是河岸a 上间隔50m 的两个电线杆．某人在河岸b 上的A 处测得30DAB ∠=o ，然后沿河岸 走了100m 到达B 处，测得60CBF ∠=o ，求河流的宽度CF 的值（结果精确到个位）． 5题图. 7题图 5. 如图，山脚下有一棵树AB ，小华从点B 沿山坡向上走50米到达点D ，用 高为1.5米的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB 的高．(精确到0．1米) （已知sin10°≈0.17, cos10°≈0.98, tan10°≈0.18, sin15°≈0.26, cos15°≈0.97, tan15°≈0.27．) B 2题图. E C D 1题图 A B C D 20o 23o Q B C P A 450 60? 30? B E D C F a b A 4题 A C D E F B 6题图 北 东 C D B E 60° 76° 等腰三角形专题训练及答案 一、计算题： 1.如图，△ABC中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A的度数 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A的度数 3.如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥BC交AC于点F，若∠EDF=70°，求∠AFD的度数 4. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求 ∠EDC 的度数 6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=, DE+BC=1, 求∠ABC 的度数 2 1 7.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，若AC=AB+BD 求∠B：∠C的值 二、证明题： 8.如图，△ABC中，∠ABC,∠CAB的平分线交于点P，过点P作DE∥AB，分别交BC、AC于点D、E求证：DE=BD+AE 9.如图，△DEF中，∠EDF=2∠E，FA⊥DE于点A，问：DF、AD、AE间有什么样的大小关系 10.如图，△ABC中，∠B=60°，角平分线AD、CE交于点O 求证：AE+CD=AC 11.如图，△ABC中，AB=AC,∠A=100°，BD 平分∠ABC,求证：BC=BD+AD 12.如图,△ABC中,AB=AC,D为△ABC外一点， 且∠ABD=∠ACD=60° 求证：CD=AB-BD 13.已知：如图，AB=AC=BD ，CE 为△ABC 中AB 边上的中线 求证：CE=CD 14. 如图，△ABC 中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC 求证：BD=ED 15. 如图，△ABC 中，AB=AC,BE=CF,EF 交BC 于 点D 求证：ED=FD 2 1 2019年中考数学复习专题分类练习---三角函数的应用 1如图，小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为60°和35°，已知大桥BC的长度为100m，且与地面在同一水平面上．求热气球离地面的高度． （结果保留整数，参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，≈1.7） 2.在某两个时刻，太阳光线与地面的夹角分别为和，树AB长． （1）如图1，若树与地面的夹角为，则两次影长的和； （2）如图2，若树与地面的夹角为，求两次影长的和用含的式子表示． 参考数据：，， 3.如图所示，小杨在广场上的A处正面观测一座楼房墙上的广告屏幕，测得屏幕下端D处的 仰角为30°，然后他正对大楼方向前进5m到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45°．若该楼高为26. 65m，小杨的眼睛离地面1.65m，广告屏幕的上端与楼房的顶端平齐，求广告屏幕上端与下端之间的距离．(≈1.732，结果精确到0.1m) 4.如图,已知长江路西段与黄河路的夹角为150°,长江路东段与淮河路的夹角为135°，黄河路全长AC=20km,从A地道B地必须先走黄河路经C点后再走淮河路才能到达,城市道路改造后，直接打通长江路（即修建AB路段）．问：打通长江路后从A地道B地可少走多少路程？（参考数据：≈1.4，≈1.7） 5.如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°夹角，长为20km，BC段与AB、CD段都垂直．长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离．（结果保留根号） 6.如图，湿地景区岸边有三个观景台、、.已知m，m，点位于点的南偏西60. 7°方向， 点位于点的南偏东66. 1°方向. (1)求的面积; 等腰三角形专题练习题 等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一般三角形的性质，同时，还具有自身的特殊性，这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛．等腰三角形的性质和判定为证明两个角相等和两条线段相等提供了依据．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三角形底边上的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径． 例1如图1-1，△ABC中，AB=BC，M、N为BC边上两点，且∠BAM=∠CAN，MN=AN，求∠MAC的度数． 练习1 1．如图1-2，已知△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°，则∠DEC等于（）．A．7．5° B．10° C．12.5° D．18° 1-2 2．如图1-3，AA′、BB′分别是△ABC的外角∠EAB和∠CBD的平分线，且AA′=AB=B′B，A′、B、C在一直线上，则∠ACB的度数是多少？ 1-3 3．如图1-4，等腰三角形ABC中，AB=BC，∠A=20°．D是AB边上的点，且AD=BC，?连结CD，则∠BDC=________． 1-4 例2 如图1-5，D是等边三角形ABC的AB边延长线上一点，BD?的垂直平分线HE?交AC 延长线于点E，那么CE与AD相等吗？试说明理由． 练习2 1．已知如图1-6，在△ABC中，AB=CD，D是AB上一点，DE⊥BC，E为垂足，ED?的延长线交CA的延长线于点F，判断AD与AF相等吗？ 1-6 1-7 1-8 2．如图1-7，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，则BD与BA的大小关系是（） A．BD>BA B．BD 20．“新中梁山隧道”于2017年11月21日开放通行，原中梁山隧道将封闭升级，扩容改造工程预计2018年3月全部完工，届时将实现双向八车道通行，隧道通行能力将增加一倍，沿线交通拥堵状况将有所缓解.图中线段AB 表示该工程的部分隧道，无人勘测机从隧道一侧的A 点出发时，测得C 点正上方的E 点的仰角为45°，无人机飞行到E 点后，沿着坡度i ＝1:3的路线EB 飞行，飞行到D 点正上方的F 点时，测得A 点的俯角为12°，其中EC ＝100米，A 、B 、C 、D 、E 、F 在同一平面内，则隧道AD 段的长度约为（ ）米.（参考数据：tan120.2?≈，cos120.98?≈） A.200 B.250 C.300 D.540 21．进入12月，南开（融侨）中学的银杏树叶纷纷飘落，毫无杂色的黄足以绚烂整个寒冷萧瑟的冬季，小晨拿出手机准备记录下站在银杏树前M 点的小悠与周围精致浑然一体的美好瞬间.期初小晨站在A 点处，手机距树干3米，只能拍到与水平面夹角为42°的树干B 处及以下范围.于是小晨先后退2米到达坡比为1:3的斜坡底（AD ＝2米），再沿着斜坡后退1米到达斜坡上的C 点（CD ＝1米），按照同样的方式拍照，此时树尖刚好入镜.事后发现，小晨整个运动过程均在同一平面内，拿手机的姿势始终不变，手机距离脚底1.4米，则银杏树高（ ）米.（sin 420.67?≈，cos420.74?≈，tan420.90?≈，3 1.73=） A.7.01 B.7.18 C.5.28 D.5.23 A B C D E F 18．如图，某信号塔AB 建在陡峭的山坡BC 上，该山坡的坡度i ＝1：2.4，小明为了测得信号塔的高度，他首先在C 处测得山脚与信号塔的水平距离CD ＝96m ，然后沿着斜坡走了39m 到达E 处，他在E 处测得信号塔顶端A 的仰角为60°，则该信号塔AB 的高度约为（ ）（精确到1米，参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈） A.104米 B.79米 C.85米 D.60米 19．重庆实验外国语学校的数学兴趣小组的同学一起去测量校内食堂旁边林荫路上的一颗垂直于地面的大树AB 的高 度，如图，他们测得大树前斜坡DE 的坡度i ＝1：3，一名学生长在斜坡底处，测得大树顶端A 的仰角为36.5°，斜坡DE 长为10米，树脚B 离坡顶E 的距离为2米，这名学生的身高CD 为1.6米，则大树高度AB 大约为（ ）（精确到0.1米，参考数据：3 1.7≈，10 3.3≈，36.50.6?≈，cos36.50.8?≈，tan36.50.75?≈） A.8.9米 B.6.6米 C.7.2米 D.5.6米 20．如下图（1）是重庆中国三峡博物馆，又名重庆博物馆，中央地方共建国家级博物馆图（2）是侧面示意图．某校数学 兴趣小组的同学要测量三峡博物馆的高GE ．如图（2），小杰身高为1.6米，小杰在A 处测得博物馆楼顶G 点的仰角为27°，前进2米到达B 处测得博物馆楼顶G 点的仰角为39°，斜坡BD 的坡i=1:2.4，BD 长度是13米，GE ⊥DE ，A 、B 、D 、E 、G 在同一平面内，则博物馆高度GE 约为（ ）米（结果精确到1米，参考数据tan27°≈0.50，tan39°≈0.80） A.24 B.25 C.26 D.27 A B C D E A B C D E A B C D E 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°． （1）求∠BPQ的度数； （2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：， 【答案】（1）∠BPQ=30°； （2）该电线杆PQ的高度约为9m． 【解析】 试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可； （2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解． 试题解析：延长PQ交直线AB于点E， （1）∠BPQ=90°-60°=30°； （2）设PE=x米． 在直角△APE中，∠A=45°， 则AE=PE=x米； ∵∠PBE=60° ∴∠BPE=30° 在直角△BPE中，BE= 3 3 PE= 3 3 x米， ∵AB=AE-BE=6米， 则3 ， 解得：3 则BE=（33+3）米． 在直角△BEQ中，QE= 3 3 BE= 3 3 （33+3）=（3+3）米． ∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23≈9（米）． 答：电线杆PQ的高度约9米． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 2．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O 于点E． （1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由； （2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F． ①若CF=CD时，求sin∠CAB的值； ②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果） 【答案】（1）AE=CE；（2）①；②． 【解析】 试题分析：（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于 AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE； （2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得 ∠AEF=90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得=AD?AF．①当CF=CD时，可得，从而有EC=AE=CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得 sin∠CED=，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②当CF=aCD（a＞0）时，同①即可解决问题． 试题解析：（1）AE=CE．理由：中考数学复习专题三角函数与圆
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