2011-2012-2线性代数46学时期末试卷(A)
考试方式：闭卷 考试时间：
一、单项选择题（每小题
3分，共15分）
1.设A 为m n ?矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。
(A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222
123123
(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．
(A )
1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥．
4．初等矩阵（A ）；
(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,,
,n ααα线性无关，则（C ）
A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；
B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；
C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；
D. 以上都不对。
二、填空题（每小题3分，共15分）
6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t
7．设矩阵020003400A ??
?
= ? ???
，则1A -=
8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为 。
9．行列式11
12
13
2122
23313233
a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;
10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ?? ?
= ? ???
，则()R AB =_____________；
三、计算题（每小题10分，共50分）
11．求行列式11
1213
21
222331
32
33
a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。
12．设矩阵111111111A -?? ?
=- ? ?-??
，矩阵X 满足*12A X A X -=+，求X 。
13． 求线性方程组???????=--+=--+=+-+=+-1
341321230
2432143214
321421x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。
14．已知()()()()12341,2,2,3,6,6,1,,0,3,0,4,2T
T
T
T
αααα====-，求出它的秩及其一个最大无关组。
15.设A 为三阶矩阵，有三个不同特征值123,,,λλλ123,,ααα依次是属于特征值
123,,,λλλ的特征向量，令123βααα=++, 若3A A ββ=，求A 的特征值并计算行列式23A E -.
四、解答题（10分）
16. 已知100032023A ?? ?
= ? ???
，求10A
五、证明题（每小题5分，共10分）
17.设ξ是非齐次线性方程组AX b =的一个特解，12,,,r ηηη为对应的齐次线性方程
组0AX =的一个基础解系，证明：向量组12,,,,r ξηηη线性无关。
18. 已知A 与A E -都是 n 阶正定矩阵，判定1E A --是否为正定矩阵，说明理由.
2010-2011-2线性代数期末试卷(本科A)
考试方式：闭卷统考 考试时间：
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设,A B 为n 阶矩阵，下列运算正确的是（ ）。
A. ();k k k AB A B =
B. ;A A -=-
C. 22()();A B A B A B -=-+
D. 若A 可逆，0k ≠，则111()kA k A ---=；
2．下列不是向量组12,,,s ααα???线性无关的必要条件的是（ ）。
A ．12,,,s ααα???都不是零向量;
B. 12,,,s ααα???中至少有一个向量可由其余向量线性表示;
C. 12,,,s ααα???中任意两个向量都不成比例;
D. 12,,,s ααα???中任一部分组线性无关;
3. 设A 为m n ?矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ ）。
A ．列向量组线性无关； B. 列向量组线性相关； C. 行向量组线性无关； D. 行向量组线性相关；
4． 如果（ ），则矩阵A 与矩阵B 相似。 A. A B =； B. ()()r A r B =； C. A 与B 有相同的特征多项式；
D. n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值且n 个特征值各不相同；
5．二次型()222
123123
(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ ）时，是正定二次型。 A. 1λ>-； B. 0λ>； C. 1λ>； D. 1λ≥。
二、填空题（每小题3分，共15分）
6．设300140003A ??
?
= ? ???
，则()12A E --＝ ；
7．设(,1,2)ij A i j = 为行列式21
31
D =中元素ij a 的代数余子式，则11
122122
A A A A = ；
8．100201100010140001201103010?????? ?????
????? ?????-??????
= ；
9．已知向量组123,,ααα线性无关，则向量组122313,,αααααα---的秩为 ；
10. 设A 为n 阶方阵， A E ≠， 且()()3R A E R A E n ++-=， 则A 的一个特征值
λ= ；
三、计算题（每小题10分，共50分）
11．设()1111222
20+a
a A a n
n n n a +??
?+
?
=≠ ?
???
，求A 。 12．设三阶方阵A ，B 满足方程2A B A B E --=，试求矩阵B 以及行列式B ，其中
102030201A ?? ?= ? ?-??
。
13．已知111011001A -??
?
= ? ?-??
，且满足2A AB E -=，其中E 为单位矩阵，求矩阵B 。
14．λ取何值时，线性方程组1231231
2321
24551
x x x x x x x x x λλ+-=??
-+=??+-=-?无解，有唯一解或有无穷多解当有
无穷多解时，求通解。
15. 设()12340,4,2,(1,1,0),(2,4,3),(1,1,1)αααα===-=-，求该向量组的秩和一个极大无关组。
四、解答题（10分）
16．已知三阶方阵A 的特征值1，2，3对应的特征向量分别为1α，2α，3α。其中：
()11,1,1T α=，()21,2,4T α=，()31,3,9T α=，()1,1,3T
β=。
（1）将向量β用1α，2α，3α线性表示；（2）求n A β，n 为自然数。
五、证明题（每小题5分，共10分）
17．设A 是n 阶方阵，且()()R A R A E n +-=，A E ≠；证明：0Ax =有非零解。 18． 已知向量组(I) 123,,ααα的秩为3，向量组(II) 1234,,,αααα的秩为3，向量组(III) 1235,,,αααα的秩为4，证明向量组12354,,,ααααα-的秩为4。
2010-2011-1线性代数期末试卷(本科A)
考试方式：闭卷统考 考试时间：一、单项选择题（每小题3分，
共15分）
1．满足下列条件的行列式不一定为零的是（ ）。
(A ）行列式的某行（列）可以写成两项和的形式; （B ）行列式中有两行（列）元素完全相同; （C ）行列式中有两行（列）元素成比例; （D ）行列式中等于零的个数大于2
n n -个.
2．下列矩阵中（ ）不满足2
A E =-。 (A ）1211-??
?-??; （B ）1211--?? ???; （C ）1211-?? ???; （D ）1121??
?
--??
. 3. 设,A B 为同阶可逆方阵,则( )。
(A)AB BA =； (B) 存在可逆矩阵1
,P P AP B -=使； (C) 存在可逆矩阵,T
C C AC B =使； (D) 存在可逆矩阵,,P Q PAQ B =使. 4．向量组线性无关的充分必要条件是（ ） （A ）均不为零向量；
（B ）中有一部分向量组线性无关； （C ）
中任意两个向量的分量不对应成比例；
（D ）中任意一个向量都不能由其余1r -个向量线性表示。 5．零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ ）。 （A ）充分条件； （B ）充要条件; （C ）必要条件; （D ）无关条件;
二、填空题（每小题3分，共15分）
6．设???
?
?
??=101020101A ，则22A A -= ；
7．已知(),,,,,,??
?
??==31211321βα设,A T βα=则A = ；
8．设A 是三阶方阵，且1A =-，则*12A A --= ；
9．已知向量组()()()()12341,2,3,4,2,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7,αααα====则该向量组的秩为 ;
10. 已知111242335A -?? ?
=- ? ?
--??
，00020002B λ??
?= ? ???，且A 于B 相似，则λ= 。
三、计算题（每小题10分，共50分）
11．12
3
12
11111
1111111(0)1
1
1
1n n n
a a D a a a a a ++=
+≠+
12．12．已知3阶非零矩阵B 的每一列都是方程组123123123
220
2030x x x x x x x x x λ+-=??
-+=??+-=? 的解.
①求λ的值；②证明0B =.
13．设3阶矩阵X 满足等式X B AX 2+=,
其中311110012,102,004202A B ???? ? ?
== ? ? ? ?????
求矩阵X 。
14．求向量组123411343354,,,,22323342αααα--????????
? ? ? ?
-- ? ? ? ?==== ? ? ? ?
-- ? ? ? ?
--????????
53101α?? ? ?= ? ?-?? 的秩及最大
无关组。
15. 设212312331001(,,)(,,)300430x f x x x x x x x x ??
?? ?
?= ? ? ? ?????
1.求二次型123(,,)f x x x 所对应的矩阵A ；
2. 求A 的特征值和对应的特征向量。
四、解答题（10分）
16． 12(1,3,3),(1,2,0),(1,2,3),T T T a a βαα=-==+-
3(1,2,2)T b a b α=---+， 试讨论b a ,为何值时 （1）β不能用321,,ααα线性表示；
（2）β可由321,,ααα唯一地表示，并求出表示式；
（3）β可由321,,ααα表示，但表示式不唯一，并求出表示式。
五、证明题（每小题5分，共10分）
17．设12,,
,n ααα是一组n 维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n
维向量都可由它们线性表示。
18．设A 为对称矩阵，B 为反对称矩阵，且,A B 可交换，A B -可逆，证明：
()()
1
A B A B -+-是正交矩阵。
。
武汉科技大学
2010-2011-2线性代数期末试卷(本科A)
解答与参考评分标准
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设,A B 为n 阶矩阵，下列运算正确的是（ D ）。 A. ();k k k AB A B = B. ;A A -=-
C. 22()();A B A B A B -=-+
D. 若A 可逆，0k ≠，则111()kA k A ---=； 2．下列不是向量组12,,,s ααα???线性无关的必要条件的是（ B ）。
A ．12,,,s ααα???都不是零向量;
B. 12,,,s ααα???中至少有一个向量可由其余向量线性表示;
C. 12,,,s ααα???中任意两个向量都不成比例;
D. 12,,,s ααα???中任一部分组线性无关;
3. 设A 为m n ?矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）。
A ．列向量组线性无关； B. 列向量组线性相关； C. 行向量组线性无关； D. 行向量组线性相关； 4． 如果（ D ），则矩阵A 与矩阵
B 相似。 A. A B =； B. ()()r A r B =； C. A 与B 有相同的特征多项式；
D. n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值且n 个特征值各不相同；
5．二次型()222123123
(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型． A. 1λ>-； B. 0λ>； C. 1λ>； D. 1λ≥。
二、填空题（每小题3分，共15分）
6．设300140003A ?? ?
= ? ?
??
，则()12A E --＝1
011
022001??
? ?-
? ??
?；
7．设(,1,2)ij A i j = 为行列式21
31
D =
中元素ij a 的代数余子式，则11
122122
A A A A = -1 ；
8．100201100010140001201103010?????? ????? ????? ?????-??????=210104350??
? ? ?
?
?；
9．已知向量组123,,ααα线性无关，则向量组122313,,αααααα---的秩为 2 ； 10. 设A 为n 阶方阵， A E ≠， 且()()3R A E R A E n ++-=， 则A 的一个特征值
λ= -3 ；
三、计算题（每小题10分，共50分）
11．设()1111222
20+a
a A a n
n n n a +??
?+
?
=≠ ?
???
，求A 。 解：11111111011110
2222000
+00
a
a A a a n
n
n a
n a
+-==+-- ．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 11
11111
00
0(1)10002
00
n
i n n n n i i a
a i n n a a a a a a
=-=++??=
=+=+ ???∑
∑．
．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 12．设三阶方阵A ，B 满足方程2A B A B E --=，试求矩阵B 以及行列式B ，其中
102030201A ??
?= ? ?-??
。
解：由2A B A B E --=，得()2A E B A E -=+，即
()()A E A E B A E +-=+ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
由于202040202A E ?? ?
+= ? ?-??
，320A E +=≠，
002020200A E ?? ?
-= ? ?-??
，80A E -=≠，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
()()()()1
11100200110200102200100B A E A E A E A E -----????
? ?=-++=-== ? ? ? ?
-????，．．．．8分 所以18B =。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
13．已知111011001A -??
?
= ? ?-??
，且满足2A AB E -=，其中E 为单位矩阵，求矩阵B 。
解：因为111
01110001A -==-≠-，所以A 可逆，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 由2A AB E -=，得2A E AB -=，故()121A A E A AB ---=，即1A A B --=，．．．．4分
不难求出 1112011001A ---??
?
= ? ?-??,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
因此1111112021011011000001001000B A A ----??????
? ? ?
=-=-= ? ? ? ? ? ?--?????? 。．．．．．．．．．．．．．．．10分
14．λ取何值时，线性方程组1231231
2321
24551
x x x x x x x x x λλ+-=??
-+=??+-=-?无解，有唯一解或有无穷多解当有
无穷多解时，求通解。
解：由于方程个数等于未知量的个数，其系数行列式
()()221
11541544
5
5
A λ
λ
λλλλ-=-=--=-+；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
1.当45
λ=-时，有()421
15
104555
,112455104000945
51A b r ??-
- ?
--??
? ?
?=-
--- ? ?
? ???-- ? ??
?，
()()2,3R A R A b =≠=，原方程组无解；
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 2.当1λ=时，有()211103331001,111211120111455109990000A b r r ---??????
? ? ?
=---- ? ? ? ? ? ?----??????，
所以原方程的通解为1230111,10x x k x ?????? ? ? ?
=+- ? ? ? ? ? ???????
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
3.当4
1,5
λ≠-时，方程组有唯一解。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
15. 设()12340,4,2,(1,1,0),(2,4,3),(1,1,1)αααα===-=-，求该向量组的秩和一个极大无关组。 解：
()2
13
41021102110211441~0462~0462023102310000T
T T
T
A αααα------??????
? ? ?== ? ? ? ? ? ???????
．6分
所以向量组的秩为2，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
因为任意两个向量均不成比例，
所以任意两个向量都是该向量组的一个极大无关组。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
四、解答题（10分）
16．已知三阶方阵A 的特征值1，2，3对应的特征向量分别为1α，2α，3α。其中：()11,1,1T
α=，()21,2,4T
α=，()31,3,9T
α=，()1,1,3T
β=。
（1）将向量β用1α，2α，3α线性表示；（2）求n A β，n 为自然数。 解：（1）把β用123,,ααα线性表示，即求解方程
112233x x x αααβ++=
111111111002123101200102149300110011r r ?????? ? ? ?- ? ? ? ? ? ???????
故12322βααα=-+。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）()1231232222n n n n n A A A A A βαααααα=-+=-+
11211122331233222322223223.223n n n n n n n n n n n λαλαλαααα++++++??
-+ ?
=-+=-+=-+ ? ?-+??
．
．．．．．．．．．10分 五、证明题（每小题5分，共10分）
17．设A 是n 阶方阵，且()()R A R A E n +-=，A E ≠；证明：0Ax =有非零解。 证明：()01A E A E R A E ≠?-≠?-≥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ()()()()1R A R A E n R A n R A E n +-=?=--≤-，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 所以0Ax =有非零解。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 18． 已知向量组(I) 123,,ααα的秩为3，向量组(II) 1234,,,αααα的秩为3，向量组(III) 1235,,,αααα的秩为4，证明向量组12354,,,ααααα-的秩为4。
证明：向量组123,,ααα的秩为3，向量组1234,,,αααα的秩为3，所以123,,ααα为向量组1234,,,αααα的一个极大无关组，因此4α可唯一的由123,,ααα线性表示；．．．．2分 假设向量组12354,,,ααααα-的秩不为4，又因为向量组123,,ααα的秩为3，所以向量组12354,,,ααααα-的秩为3，因此54αα-也可唯一的由123,,ααα线性表示；．．．4分 因此5α可唯一的由123,,ααα线性表示，而向量组1235,,,αααα的秩为4，即
1235,,,αααα线性无关，因此5α不能由123,,ααα线性表示，矛盾，因此向量组12354,,,ααααα-的秩为4。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
武汉科技大学
2010-2011-1线性代数期末试卷(本科A)
解答与参考评分标准
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．满足下列条件的行列式不一定为零的是（ A ）。
(A ）行列式的某行（列）可以写成两项和的形式;（B ）行列式中有两行（列）元素完全相同; （C ）行列式中有两行（列）元素成比例; （D ）行列式中等于零的个数大于2
n
n -个.
2．下列矩阵中（ C ）不满足2
A E =-。
(A ）1211-?? ?-??; （B ）1211--?? ???; （C ）1211-?? ???; （D ）1121?? ?
--??
. 3. 设,A B 为同阶可逆方阵,则( D )。
(A)AB BA =； (B) 存在可逆矩阵1
,P P AP B -=使；
(C) 存在可逆矩阵,T
C C
AC B =使； (D) 存在可逆矩阵,,P Q PAQ B =使.
4．向量组线性无关的充分必要条件是（ D ）
（A ）
均不为零向量； （B ）中有一部分向量组线性无关；
（C ）中任意两个向量的分量不对应成比例；
（D ）
中任意一个向量都不能由其余1r -个向量线性表示。
5．零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ）。
（A ）充分条件； （B ）充要条件; （C ）必要条件; （D ）无关条件.
二、填空题（每小题3分，共15分）
6．设???
?
? ??=101020101A ，则22A A -= 0 。
7．已知(),,,,,,??
? ??==31211321βα设,A T
βα=则A =1112322
133312
?
? ?
? ? ? ? ? ??
?
； 8．设A 是三阶方阵，且1A =-，则*
1
2A A
--= 27 ；
9．已知向量组()()()()12341,2,3,4,2,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7,αααα====则该向量组的秩为 2 ;
10. 已知
111
242
335
A
-
??
?
=-
?
?
--
??
，
00
020
002
B
λ??
?
= ?
?
??
，且A于B相似，则λ= 6 。
三、计算题（每小题10分，共50分）
11．
1
2
312
1111
1111
1111(0)
1111
n n
n
a
a
D a a a a
a
+
+
=+≠
+
解：
1
21
32
11111111
11110111
11110111
11110111
n
n n
a
a a
D a a
a a
+
++
=+=+
++
5分
1
1
1
2
2
1
1111
1111
100
000
100
000
100
000
n
i i
n
n
a
a
a
a
a
a
a
=
+
-
=-=
-
∑
8分
12
1
1
1
n
n
i i
a a a
a
=
??
=+
?
??
∑ 10分
12．已知3阶非零矩阵B的每一列都是方程组
123
123
123
220
20
30
x x x
x x x
x x x
λ
+-=
?
?
-+=
?
?+-=
?
的解.
①求λ的值；②证明0
B=.
解：①因为非零矩阵B的每一列都是齐次方程组的解，所以齐次线性方程组
123
123
123
220 20 30 x x x
x x x
x x x
λ
+-=?
?
-+=?
?+-=?
有非零解，即122
210451
311
λλλ
-
-=?+=?=
-
5分
②由题意可得1222110()()3311B R B R A n -?? ?
-=?+== ? ?-??
， 8分
因为()1R A >，所以()3R B <，即B 不可逆，所以0B = 10分 注：第二问也可以用反证法，方法对即可。
13．设3阶矩阵X 满足等式X B AX 2+=,其中311110012,102.004202A B ????
? ?
== ? ? ? ?????
求矩阵X 。
解：()22AX B X A E X B =+?-=1112012,002A E ?? ?
-=- ? ???
3分
()1111101001112,012102~010100,002202001101A E B ???--?
? ?
-=- ? ? ? ?????
8分 所以111100101X --?? ?
= ? ???
。 10分
14．求向量组123451134333541,,,,2232033421ααααα--??????????
? ? ? ? ?-- ? ? ? ? ?===== ? ? ? ? ?-- ? ? ? ? ?---??????????的秩及最大无关组。 解：()123451
134
3113433
354100488,,,,~22320003693
34210051010ααααα----???? ? ?
----
? ?
= ? ?
---- ? ?
-----????
1134300488~0000000000--?? ?--
? ? ???
， 6分 所以()12345,,,,2R ααααα=，任意两个不成比例的向量组均是12345,,,,ααααα的一个极大无关组。 10分
15. 设212312331001(,,)(,,)300430x f x x x x x x x x ??
?? ?
?= ? ? ? ?????
1.求二次型123(,,)f x x x 所对应的矩阵A ；
2. 求A 的特征值和对应的特征向量。
解：1. 二次型123(,,)f x x x 所对应的矩阵100032023A ??
?
= ? ???
， 3分
2．()()2
10003201505,10
2
3A E λ
λλλλλλ
--=
-=?--=?=-（二重） 6分
当5λ=时，()40010050022~011022000A E x -????
? ?
-=?-- ? ? ? ?-????
，
所以1011k ??
?
? ???为5λ=对应的特征向量。 8分
当1λ=时，()0000000022~011022000A E x ???? ? ?
-=? ? ? ? ?????
，
所以23100,101k k ????
? ?
- ? ? ? ?????
为1λ=对应的特征向量。 10分
四、解答题（10分）
16． 12(1,3,3),(1,2,0),(1,2,3),T T T a a βαα=-==+-3(1,2,2)T b a b α=---+， 试讨论b a ,为何值时
（1）β不能用321,,ααα线性表示；（2）β可由321,,ααα唯一地表示，并求出表示式；（3）β可由321,,ααα表示，但表示式不惟一，并求出表示式.
解：问题转化为方程组求解问题??
?
??
-=++-=+-++=-+3
)2(33)2()2(2132321321x b a ax x b x a x x x x
增广矩阵11
1111112223~010323000A a b a b a a b a b --???? ? ?=+--- ? ?
? ?-+--???? 5分
（1）0a =时,(若b=0则2)(,1)(==A R A R ,若≠b 0则()2,()3R A R A ==) 方程组无解，即β不能用321,,ααα线性表示 6分 （2）0,0≠-≠b a a 时，()()3R A R A ==，方程组有唯一解，即β可由321,,ααα唯一地表示，求表示式：
111111110110010100101000000100010a a A a b a a b --??
???? ? ? ??-?? ?
? ? ? ? ?-??????
1112(1)a a βαα?=-+ 8分
（3）0,0a a b ≠-=时，()()2R A R A ==，β可由321,,ααα表示，但表示式不惟一，
求表示式：11111110010101100000000a a A a a --????
? ??-?- ? ? ? ?????
11
123(1)()a a k k βααα?=-+++， 10分
五、证明题（每小题5分，共10分）
17．设12,,
,n ααα是一组n 维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n 维向量都
可由它们线性表示。
证明：充分性：12,,
,n ααα是一组n 维向量，任一n 维向量都可由它们线性表示。因此有E
可由12,,
,n ααα线性表示，因此有
()()()n R E R A n R A n =≤≤?=?12,,,n ααα线性无关。 3分
必要性：,n b R ?∈12,,
,n ααα线性无关，因此有12,,
,,n b ααα线性相关，即
()12,,,n x b ααα=有惟一解，所以向量b 可由向量组12,,
,n ααα线性表示，由b 的任意性
可得任一n 维向量都可由12,,,n ααα线性表示。 5分
18．设A 为对称矩阵，B 为反对称矩阵，且,A B 可交换，A B -可逆，证明：
()()
1
A B A B -+-是正交矩阵。
证明：A 为对称矩阵T A A ?=，B 为反对称矩阵T B B ?=-，
,A B 可交换()()()()AB BA A B A B A B A B ?=?+-=-+， 2分
()()
()
()()
()
()
()()
()
()()()
11
11
1
T
T
T
A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B E
-----+-+-=
-++=+-+-= 4分
所以()()1
A B A B -+-是正交矩阵。 5分
精品文档 线性代数试题精选与精解（含完整试题与详细答案，2020 考研数学基础训练） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1.设3阶方阵A =（α1，α2，α3），其中αi （i =1,2,3）为A 的列向量，若| B |=|（α1+2α2， α2，α3）|=6，则| A |=( ) A.-12 B.-6 C.6 D.12 【答案】C 【解析】本题考查了矩阵行列式的性质。有性质可知，行列式的任意一列（行）的(0)k k ≠倍加至另一列（行），行列式的值不变。本题中，B 是由A 的第二列的2倍加到了第一列形成的，故其行列式不变，因此选C 。 【提醒】行列式的性质中，主要掌握这几条：（1）互换行列式的两行或两列行列式要变号；（2）行列式的任意一行（列）的(0)k k ≠倍加至另一行（列），行列式的值不变；（2）行列式行（列）的公因子（公因式）可以提到行列式的外面。 【点评】本题涉及内容是每年必考的，需重点掌握。热度：☆☆☆☆☆；可出现在各种题型中，选择、填空居多。 【历年考题链接】 （2008,4）1．设行列式D=3332 31 232221 131211a a a a a a a a a =3，D 1=33 32 3131 2322212113 12 1111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ ） A ．-15 B ．-6 C ．6 D ．15 答案：C 。 2.计算行列式3 2 3 20 2 0 0 0 5 10 2 0 2 0 3 ----=( ) A.-180 B.-120
精品文档 C.120 D.180 【答案】A 【解析】本题考查了行列式的计算。行列式可以根据任意一行（列）展开。一般来说，按含零元素较多的行或列展开计算起来较容易。本题，按第三列展开，有： 44 1424344433 313233 3 0 2 0 302 2 10 5 000033(1)2105 0 0 2 000 2 2 3 2 3 3 3(002)6(1) =630180. 210 A A A A A A A ++--=?+?+?+?=-----=?+?-=---?=- 【提醒】还要掌握一些特殊矩阵的行列式的计算，如对角矩阵，上（下）三角矩阵，还有分块矩阵。 【点评】行列式的计算是每年必考的，常出现在选择、填空和计算中，选择、填空居多。近几年，填空题的第一题一般考察这个内容。需重点掌握。热度：☆☆☆☆☆。 【历年考题链接】 （2008,1）11.若,02 11 =k 则k=_______. 答案：1/2。 3.若A 为3阶方阵且| A -1 |=2，则| 2A |=( ) A.21 B.2 C.4 D.8 【答案】C 【解析】本题考查了逆矩阵行列式的计算，和矩阵行列式的运算性质。由于1 1,A A -= 由已知| A -1 |=2，从而12A = ，所以3 122842 A A ==?=。
《线性代数》重点题 一． 单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（ ）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（ ）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（ ）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（ ）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα
线性代数考试题库及答案 一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为 （ ） (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且 ()r C r <，则 （ ） (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（ ） (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似，但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则 222A B C ++= （ ） (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5．设1010,0203A B ???? == ? ????? ，则A B 与 （ ） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似 （D ）既不合同，又不相似
二、填空题（共 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分） 1．已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠，则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2．设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是 。 3．已知β为n 维单位列向量， T β为β的转置，若T C ββ= ，则 2C = 。 4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则 12T αα= 。 5．设A 是四阶矩阵，A * 为其伴随矩阵，12,αα是齐次方程组0AX =的两个线 性无关解，则()r A *= 。 6．向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系 是 。 7．已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解，则 λ= 。 8．已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===，则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是 。 9．设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则 。 10．二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为 。
《线性代数》习题集（含答案） 第一章 【1】填空题 （1） 二阶行列式 2a ab b b =___________。 （2） 二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。 （3） 二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。 （4） 三阶行列式x y z z x y y z x =___________。 （5） 三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。 答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。 【2】选择题 （1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。 （2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ，
（3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。 （4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。 （5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。 答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。 【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。 【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。 答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。 （2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。 （3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。 【5】计算下列的逆序数： （1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。 答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1） 【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：
线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( )
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，， ， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，， ， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆， 则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（ ） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。
WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。 评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级 姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … （ 密） … … … … … … … … … … … … （ 封 ） … … … …… … … … … … … … （ 线 ） … … … … … … … … … … … …
(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小 【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解 的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示 【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系， 则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。
线性代数（试卷一) 一、 填空题(本题总计2０分,每小题2分） 1. 排列76２３451的逆序数是_______。 2． 若 122 21 12 11 =a a a a ,则=1 6 030322211211 a a a a 3。 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =,其中E 为n 阶单位矩阵，则CA B =-1。 4. 若A 为n m ?矩阵,则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 ＿＿＿__＿_＿_ 5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为４，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_ ＿2__＿__＿____＿． ６. 设Ａ为三阶可逆阵,??? ? ? ??=-1230120011 A ，则=*A ７。若Ａ为n m ?矩阵,则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是 ８．已知五阶行列式1 23453 2011 11111 2 1403 54321=D ,则=++++4544434241A A A A A 9。 向量α=(2,1,0,2)T -的模（范数)______________ 。 1０。若()T k 11=α与()T 121-=β正交,则=k
二、选择题（本题总计10分,每小题2分） 1。 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则（D) Ａ.s r = B.s r ≤ C.r s ≤ ? D ．r s < 2. 若A 为三阶方阵,且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A) Ａ.8? B.8- Ｃ． 34?? Ｄ.3 4- 3.设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( ｄ ) Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R < C.)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥ ４. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则 () * kA 等于_____。c )(A *kA )(B *A k n )(C *-A k n 1)(D *A 5。 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____. )(A AC AB = 则 C B =)(B 0=AB ,则0=A 或0=B )(C T T T B A AB =)()(D 22))((B A B A B A -=-+ 三、计算题(本题总计60分.１-3每小题８分，4-7每小题９分） １。 计算n 阶行列式22221 =D 22222 22322 2 12 2 2-n n 2 222 ． 2．设A 为三阶矩阵,* A 为A 的伴随矩阵，且2 1= A ，求* A A 2)3(1--. ３．求矩阵的逆 111211120A ?? ?=- ? ???
2009年7月高等教育自学考试全国统一命题考试 线性代数试题 课程代码：02198 试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A * 表示A 的伴随矩阵；R （A ）表示矩阵 A 的秩；|A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A ，B ，C 为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立．．．的是（ ） A ．（A +B ）T =A T +B T B ．|AB |=|A ||B | C ．A （B +C ）=BA +CA D ．（AB ）T =B T A T 2．已知3332 31 232221 131211 a a a a a a a a a =3，那么33 32 31 23222113 12 11222222a a a a a a a a a ---=（ ） A ．-24 B ．-12 C ．-6 D ．12 3．若矩阵A 可逆，则下列等式成立的是（ ） A ．A = | |1A A * B ．|A |=0 C ．（A 2）-1=（A -1）2 D ．（3A ）-1=3A -1 4．若 A =?? ????-25 1 21 3 ，B =??? ? ????-12 32 14 ，C =?? ???? --21 312 ，则下列矩阵运算的结果为3×2的矩 阵的是（ ） A ．ABC B ．AC T B T C ．CBA D ．C T B T A T 5．设有向量组A ：4321,,,αααα，其中α1，α2，α3线性无关，则（ ） A ．α1，α 3线性无关 B ．α1，α2，α3，α4线性无关 C ．α1，α2，α3，α4线性相关 D ．α2，α3，α 4线性无关 6．若四阶方阵的秩为3，则（ ） A ．A 为可逆阵 B ．齐次方程组Ax =0有非零解 C ．齐次方程组Ax =0只有零解 D ．非齐次方程组Ax =b 必有解 7．已知方阵A 与对角阵B =??? ? ????---20 020 00 2 相似，则A 2 =（ ） A ．-64E B ．-E
线性代数（A 卷） 一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ；
线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有 一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是Aの伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs和不全为0の数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵Aの秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误の是（） A.η1+η2是Ax=0の一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=bの一个解
第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2η1+1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．已知2阶行列式 m b b a a =2 1 21， n c c b b =2 1 21，则 =++2 21 121c a c a b b （ B ） A ．n m - B ．m n - C ．n m + D ．)(n m +- 2．设A , B , C 均为n 阶方阵，BA AB =，CA AC =，则=ABC （ D ） A ．ACB B ．CAB C ．CBA D ．BCA 3．设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且1||=A ，2||-=B ，则行列式||||A B 之值为（ A ） A ．8- B ．2- C ．2 D ．8 4．??? ? ? ??=3332 312322 211312 11a a a a a a a a a A ，????? ??=3332312322 211312 11333a a a a a a a a a B ，????? ??=100030001P ，??? ? ? ??=100013001Q ，则=B （ B ） A ．PA B ．AP C ．QA D ．AQ 5．已知A 是一个43?矩阵，下列命题中正确的是（ C ） A ．若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩(A )=2 B ．若A 中存在2阶子式不为0，则秩(A )=2 C ．若秩(A )=2，则A 中所有3阶子式都为0 D ．若秩(A )=2，则A 中所有2阶子式都不为0 6．下列命题中错误．．的是（ C ） A ．只含有1个零向量的向量组线性相关 B ．由3个2维向量组成的向量组线性相关 C ．由1个非零向量组成的向量组线性相关 D ．2个成比例的向量组成的向量组线性相关 7．已知向量组321,,ααα线性无关，βααα,,,321线性相关，则（ D ）
线性代数期末考试试题含 答案 The final edition was revised on December 14th, 2020.
江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ）
线性代数期末考试题样卷 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ，Λ21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，，Λ21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ，Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ） （A ）任意r 个列向量线性无关
诚实考试吾心不虚 ，公平竞争方显实力， 考试失败尚有机会 ，考试舞弊前功尽弃。 上海财经大学《 线性代数 》课程考试卷（B ）闭卷 课程代码 105208 课程序号 姓名 学号 班级 一、单选题(每小题2分，共计20分) 1. 当=t 3 时，311244s t a a a a 是四阶行列式中符号为负的项。 2. 设A 为三阶方阵，3A = ，则* 2A -=__-72__。 3. 设矩阵01000 01000010 00 0A ????? ?=?????? ，4k ≥,k 是正整数，则=k P 0 。 4. 设A 是n 阶矩阵，I 是n 阶单位矩阵,若满足等式2 26A A I +=，则 () 1 4A I -+= 2 2A I - 。 5. 向量组()()()1,2,6,1,,3,1,1,4a a a +---的秩为1，则 a 的取值为__1___。 6. 方程组1243400x x x x x ++=??+=? 的一个基础解系是 ???? ? ? ? ??--??????? ??-1101,0011 。 7. 设矩阵12422421A k --?? ?=-- ? ?--??，500050004A ?? ? = ? ?-?? ，且A 与B 相似，则=k 4 。 …………………………………………………………… 装 订 线…………………………………………………
8. 123,,ααα是R 3 的一个基,则基312,,ααα到基12,αα,3α的过渡矩阵为 ???? ? ??001100010 。 9. 已知413 1 210,32111 a A B A A I -===-+-, 则B 的一个特征值是 2 。 10. 设二次型222 12312132526f x x x tx x x x =++++为正定, 则t 为 5 4||< t 。 二．选择题（每题3分，共15分） 1. 设A 为n 阶正交方阵，则下列等式中 C 成立。 (A) *A A =; (B)1*A A -= (C)()1T A A -=; (D) *T A A = 2. 矩阵 B 合同于145-?? ? - ? ??? (A) 151-?? ? ? ??? ; （B ）????? ??--321;（C ）???? ? ??112;（D ）121-?? ? - ? ?-?? 3. 齐次线性方程组AX O =有唯一零解是线性方程组B AX =有唯一解的（ C ）。 （A ）充分必要条件； （B ）充分条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。 4．设,A B 都是n 阶非零矩阵，且AB O =，则A 和B 的秩（ B ）。 （A ）必有一个等于零；（B ）都小于n ；（C ）必有一个等于n ；（D ）有一个小于n 。 5．123,,ααα是齐次线性方程组AX O =的基础解系，则__B___也可作为齐次线性方程组 AX O =的基础解系。 (A) 1231231222,24,2αααααααα-+-+--+ （B ）1231212322,2,263αααααααα-+-+-+