18.3一次函数的性质
三川中学黄华阳
一、教学目标：
（1）让学生进一步感受到画好函数图象的重要性和紧迫性，因为图象是我们进一步研究函数性质的基础。
（2）让学生学会观察图象，能从一次函数的图象中更好地理解函数的两个变量x、y之间的关系。即“函数值y随着自变量x的增大而如何变化？”“图象随着自变量x的增大从左向右如何延伸？”
（3）启发学生对观察所画一次函数图象所得的结论进行总结，最后形成一次函数的性质。
（4）要求学生会运用一次函数的性质解题。
二、难点：
通过观察探索几个具体的一次函数的图象总结出一次函数的性质，并会加以运用。要注重培养学生通过观察图象，提高自我探索问题的能力。
三、重点：
一次函数性质的探索、归纳总结、应用及用语言准确描述函数的性质。
四、教学过程：
（1）复习引入
同学们，上节课我们共同探究了一次函数的图象，已经知道了一次函数的图象是一条直线，大家想一下，一般情况下，我们画一次函
数的图象取哪两个点比较简便？
生答：取坐标轴X轴，Y轴上两点
好，取坐标轴X轴，Y轴上两个点比较简便。
现在我们已经知道了一次函数图象的画法及形状，那么一次函数在什么特性哪？今天我们就来研究一次函数的性质。
（2）新课
板书：18.3一次函数的性质
（课前完成）
1）在同一直角坐标系中分别作出下列两个一次函数的图象
2x+1 y=3x-2
y=
3
2）在同一直角坐标系中分别作出下列两个一次函数的图象
3x－1
y=－x+2 y=－
2
2x+1上从左向同学请观察图象，思考一下：当一个点在直线y=
3
右移动时，它的位置如何变化？
生答：从低到高很好，那么同学们看这个点在从左向右移动过程中，自变量x怎样变化，函数值y又如何变化？
生答：都是从小到大
回答的很好，这就是说函数值y随自变量x的增大而增大。根据我们的探索过程，请同学们观察函数y=3x－2的图象，是否也有这种现象?
生答：有
这就是说，函数值y 随自变量x 的增大而增大。 那么，是不是所有的一次函数都有这样的结论呢？
下面请同学们在观察函数y=－x+2和y=－2
3x －1的图象 当一个点在直线上从左向右移动时，位置如何变化？自变量x 怎样变化？函数值y 如何变化？
生答：由高变低，x 增大y 反而小
3x－1上从左向右移动时点的位置从点在直线y=－x+2和y=－
2
高到低在移动过程中，自变量x逐渐变大，而函数值y逐渐变小。
这就是说函数值y随x增大而减小。
从上面这四个函数我们可以看到，前两个函数和后两个函数的变化规律正好相反，也就是说性质不同。
你能根据这四个函数的解析式总结出规律吗？
生答：主要是k值不同，前两个k>0，后两个k<0
好！观察分析的非常正确。
下边同学们来总结一下：
一次函数y=kx+b（k≠0）的性质：
1、当k>0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升：
2、当k<0时，y随x的增大而减小，这时函数图象从左到右下降。
下面，我们利用一次函数的性质做练习题：课本50页做一做，一个同学演板，其他同学在下面作。
画出函数y=－2x+2的图象，结合图象回答下列问题：
①这个函数中随着自变量x的增大，函数值y是增大还是减小？它的图象从左到右怎样变化？
②当x取何值时，y=0？
③当x取何值时，y>0？
解：①在y=－2x+2中，k<0，所以函数值y随x的增大而减小，
图象从左到右下降。
①当x取1时，y=0
②当x取小于1 时，y>0
小结：
经过本节课的学习，你有哪些收获？总结：一次函数的性质
布置作业：P50练习
教学反思
根据教学目标，结合学生心理特点，以及本人的教学经验，这节课采用在教师引导下，学生自主发现为主的教学方法。即教师创设问题情景，引导学生观察、比较、自学、思考并展开讨论，使学生作为认知主体参与知识发生的全过程，体验揭示规律，发现真理的乐趣，从而产生巨大的内驱力，提高课堂教学效率，充分发挥教师主导作用和学生的主体作用。
本节课教师要向学生说明研究函数的基本方法是由解析式画图象，再由图象得出性质，最后反过来由函数性质研究其图象的特征。本节难点是对图像性质的理解，为什么呢？因为学生刚学习函数，还没有形成把解析式与图像看成一件事物的两种表达方式的意识，还不具备从图像中获取性质的经验。弄清了成因，就有了突破难点的办法。学生通过自己动手画图、观察图像，并在教师的指导下低起点，小步子，多层次，难度循序渐进，深入浅出，把问题细化，归纳得到一次函数的性质，同时也初步掌握了运用分类、类比的方法研究函数的性质的方法。
函数专题（二） 函数的性质 （一）函数的单调性与最值 ★知识梳理 1.函数的单调性定义： 设函数的定义域为，区间 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有 ，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增 区间 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说 在区间上是单调减函数，称为的单调减区间 2.函数的最大（小）值 设函数的定义域为 如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为 的最大值； 如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为 的最小值。 ★热点考点题型探析 考点1 函数的单调性 【例】试用函数单调性的定义判断函数2 ()1 f x x = -在区间（1，+∞）上的单调性. 【巩固练习】证明：函数2()1 x f x x = -在区间（0，1）上的单调递减. )(x f y =A A I ?I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f <)(x f y =I I )(x f y =I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f >)(x f y =I I )(x f y =)(x f y =A A x ∈0A x ∈)()(0x f x f ≤)(0x f )(x f y =A x ∈0A x ∈)()(0x f x f ≥)(0x f )(x f y =
考点2 函数的单调区间 1.指出下列函数的单调区间： （1）|1|y x =-； （2）22||3y x x =-++. 2. 已知二次函数2()22f x x ax =++在区间(-∞，4)上是减函数，求a 的取值范围. 【巩固练习】 1．函数26y x x =-的减区间是（ ）. A . (,2]-∞ B. [2,)+∞ C. [3,)+∞ D. (,3]-∞ 2．在区间（0，2）上是增函数的是（ ）. A. y =－x +1 B. y C. y = x 2－4x ＋5 D. y = 2x 3. 已知函数f (x )在-1∞（，）上单调递减，在[1+∞，）单调递增，且其图像关于x=1对称，那么 f (1)，f (－1)，f 之间的大小关系为 . 4.已知函数)(x f 是定义在]1,1[-上的增函数,且)31()1(x f x f -<-,求x 的取值范围. 5. 已知二次函数2()22f x ax x =++在区间(-∞，2)上具有单调性，求a 的取值范围. 考点3 函数的最值 【例】求函数253 32,[,]22 y x x x =--∈-的最大值和最小值：
指数函数及其性质教案 课题：指数函数及其性质(第1课时) 教材：普通高中课程标准试验教科书人教社A版，数学必修1 教学内容：第二章，基本初等函数（I）,指数函数及其性质 教学目标 知识目标：理解指数函数的概念，初步掌握指数函数的图像和性质 能力目标：通过定义的引入，图像特征的观察，培养学生的探索发现能力，在学习过程中体会从具体到一般及数形结合的方法 情感目标：通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。 | 教学重点﹑难点 重点：指数函数的概念和图像 难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索﹑概括指数函数的性质 教学流程设计 （一）指数函数概念的构建 1.探究：本节问题2中函数的解析式与问题1中函数的解析式有什么共同特征 师生活动：教师提出问题引导学生把对应关系概括到的形式，学生思考归纳概括共同特征 2.给出指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是 & 3.剖析概念 （1）规定底数大于零且不等于1的理由： 如果=0， 如果等等时，在实数范围内实数值不存在 如果是一个常量，对它就没有研究的必要 （2）形式上的严格性 指数函数是形式定义的函数，就像初中所学的一次函数﹑反比例函数都是形式定义的概念，因此把握指数函数的形式非常重要。在指数函数的定义表达式中，前的系数必须是1，自变量在指数的位置上，否则，不是指数函数，比如等，都不是指数函数 （二）指数函数的图像及性质 ) 1.提出问题：同学们能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的方法吗 师生活动：教师引导学生回顾需要研究函数的那些性质，讨论研究指数函数性质的方法，强调数形结合，强调函数图像在研究性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的应用，渗透概括能力的培养，学生独立思考，提出研究指数函数性质的基本思路 2.画出函数的图像 师生活动：学生用描点法独立画图，教师课堂巡视，个别辅导，展示画的较好的学生的图像
17．3 一次函数 17．3.1．一次函数 教学目标 1．经历探索过程，发展学生的抽象思维能力． 2．理解一次函敷和正比例函数的概念。 3．能根据已知条件，写出简单的一次函数表达式，进一步发展学生的数学应用能力．教学过程 一、创设问题情境 问题l：小明暑假第一次去北京，汽车驶上A地的高速公路后，小明观察里程碑，发现汽车的平均速度是95千米／时．巳知A地直达北京的高速公路全程为 570千米，小明想知道汽车从A地驶出后，距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系，以便根据时间估计自己和北京的距离． 分析：我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化，要想找出这两个变化着的量的关系，并据此得出相应的值．显然，应该探究这两个量的变化规律．为此，我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时，汽车距北京的路程为s千米，根据题意，s和t的函数关系式是 S＝570－95t (1) 说明：找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步，这里的s、t是两个变量，s是t的函数，t是自变量，s为因变量。 问题2：小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来，他已存有50元，从现在起每个月存12元。试写出小张的存款数与从现在开始的月份数之间的函数关系式．分析：我们设从现在开始的月份数为x，小张的存款数为9元，得到所求函数关系式为y＝__________ (2) 问题3：以上(1)与(2)表示的这两个函数有什么共同点? (上述(1)与(2)表示的函数解析式都是用自变量的一次整式表示的) 二、一次函数的定义 函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数．一次函数通常可以表示为y＝kx+b的形式，其中k、b是常数，k≠0。当b=0时，一次函数y＝kx(常数k≠0)也叫做正比例函数．正比例函数也是一次函数，它是一次函数的特例。 三、范例 例1．梯形的上下底边长分别为6cm和l0cm，写出梯形的面积与它的高之间的函数关系式，并问这是一次函数吗?是正比例函数吗? 例2．写出多边形的内角和与它的边数之间的函数关系式，利用这函数关系式求边数取多少时，其内角和等于900度? 四、课堂练习 P40页练习1、2以及P41页练习3。 五、作业 P47页习题18．3 2、3。 六、教后记 17．3.2一次函数的图象 第一课时一次函数的图象(一) 教学目标 1．经历一次函数的作图过程，能熟练地作出一次函数的图象．
2.2.2对数函数及其性质（一） 隆湖中学教师 李江华 教学目标 （一） 教学知识点 1． 对数函数的概念； 2． 对数函数的图象与性质． （二） 能力训练要求 1． 理解对数函数的概念； 2． 掌握对数函数的图象、性质； 3． 培养学生数形结合的意识． （三）德育渗透目标 1．认识事物之间的普遍联系与相互转化； 2．用联系的观点看问题； 3．了解对数函数在生产生活中的简单应用． 教学重点 对数函数的图象、性质． 教学难点 对数函数的图象与指数函数的关系． 教学过程 一、复习引入： 1、指对数互化关系： b N N a a b =?=log 2、 )10(≠>=a a a y x 且的图象和性质． 3、 我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个 数y 是分裂次数x 的函数，这个函数可以用指数函数y =x 2表示．
现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x 就是要得到的细胞个数y 的函数．根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是y x 2log =. 如果用x 表示自变量，y 表示函数，这个函数就是x y 2log =. 引出新课--对数函数． 二、新授内容： 1．对数函数的定义： 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞． 学生思考问题：为什么对数函数概念中规定?1,0≠>a a 例1． 求下列函数的定义域： （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； 分析：此题主要利用对数函数x y a log =的定义域（0，+∞）求解． 解：（1）由2 x >0得0≠x ,∴函数2log x y a =的定义域是{}0|≠x x ； （2）由04>-x 得4
八年级一次函数专题练习 一、快来选选，相信你一定行（每小题3分，共30分） 1、一个变化过程中有两个变量、对于每取一个值，都会有唯一的值与它对应，那么我们就说是自变量，是的函数.下图中表示函数关系的图象是（） 2、函数中，自变量的取值范围应是（） 、、、、 3、下列函数中，是的一次函数的是（） 、、、、 4、下面哪个点在函数的图象上（） 、、、、 5、若把一次函数向上平移3个单位长度，得到图象解析式是( ) 、、、、 6、函数的图象大致位置应是下图中的（）
7、一次函数的图象经过点和（1，3）和（0，1），那么这个一次函数是（） 、、、、 8、汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量y （升）与行驶时间t（时）的函数关系式应为（） 、、、、 9、某教师到一村寨进行学生入学动员工作，开始时骑摩托车大约用了40分钟的时间走了20里路，休息10分钟后，又花近30分钟的时间徒步走了8里路，方到达该村.下列能表示该教师行走的路程s（里）与时间t（分）的函数图象是（）
10、如果直线与交点坐标为（a，b），则是方程组_______的解（?） 、、、、 二、快来填填，这些难不倒你（每小题3分，共24分）. 11、函数中，当时，它是一次函数，当它是正比例函数. 12、将直线往上平移3个单位得到的一次函数的解析式是 . 13、要使直线经过二、一、四象限，则0，0.（填“＞”“＜”＝） 14、直线与轴、轴的交点分别为（－1，0）、（0，3）则这条直线的解析式为 . 15、已知直线中，随的增大而减小，那么直线经过象限. 16、已知方程的解是，则直线与轴的交点为（，）. 17、如图，是函数的图象，要使图象处于虚线部分时自变量的取值范围是 .这个取值范围也就是不等式的解集.
《函数的概念与性质》教案设计 2019-02-16 一、学习要求 ①了解映射的概念，理解函数的概念； ②了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数单调性奇偶性的方法； ③了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数； ④理解分数指数幂的概念，掌握有理数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质； ⑤理解对数函数的概念、图象和性质；⑥能够应用函数的性质、指数函数和对数函数性质解决某些简单实际问题． 二、两点解读 重点：①求函数定义域；②求函数的值域或最值；③求函数表达式或函数值；④二次函数与二次方程、二次不等式相结合的有关问题；⑤指数函数与对数函数；⑥求反函数；⑦利用原函数和反函数的定义域值域互换关系解题． 难点：①抽象函数性质的研究；②二次方程根的.分布． 三、课前训练 1．函数的定义域是（ D ） （A）（B）（C）（D） 2．函数的反函数为（ B ） （A）（B） （C）（D） 3．设则． 4．设，函数是增函数，则不等式的解集为 (2,3) 四、典型例题
例1设，则的定义域为（） （A）（B） （C）（D） 解：∵在中，由，得，∴ ， ∴在中，． 故选B 例2已知是上的减函数，那么a的取值范围是（） （A）（B）（C）（D） 解：∵ 是上的减函数，当时，，∴ ；又当时，，∴ ，∴ ，且，解得：．∴综上，，故选C 例3函数对于任意实数满足条件，若，则 解：∵函数对于任意实数满足条件， ∴ ，即的周期为4， 例4设的反函数为 ,若× ，则 2 解： ∴m+n=3，f(m+n)=log3(3+6)=log39=2 （另解∵ , 例5已知是关于的方程的两个实根，则实数为何值时，大于3且小于3？ 解：令，则方程 的两个实根可以看成是抛物线与轴的两个交点（如图所示）， 故有：，所以：， 解之得：
对数函数及其性质教学设计 三亚市第四中学邓影 课题：对数函数及其性质 使用教材：人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学（必修1）》 第二章第2.2.2节第一课时 一、教材分析 1．本节教材的地位和作用 基本初等函数是函数的核心内容，而对数函数又是重要的基本初等函数之一。在此之前，学生已经学习了指数函数及对数运算，为本节的学习起着铺垫作用，同时对数函数作为常用数学模型是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，本节课的学习为学生进一步学习、参加生产和实际生活提供必要的基础知识。因此本节课具有承前启后的作用。 2．教学重难点 重点：本节课是新授课，,因此我把本节课重点定为对数函数的概念、图象，和性质。 难点：学生在探究对数函数性质时可能会遇到障碍，因此我把探究对数函数性质作为本节课的难点。 二、教学目标 根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生实际情况及其认知结构心理特征制定教学目标如下： 1．知识与技能： （1）理解对数函数的概念； （2）掌握对数函数的图像和性质，并在探索过程中学会运用数形结合的方法研究问题； 2．过程与方法： （1）经历对数函数概念的形成过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，由具体到一般，提高学生归纳概括能力； （2）学生通过自己动手作图，分组讨论对数函数的性质，提高动手能力、合作学习能力以及分析解决问题的能力； （3）通过类比指数函数性质研究对数函数，培养学生运用类比的思想研究数学问题的素养；
3．情感、态度与价值观： 在知识形成的过程中，体会成功的乐趣，感受数学图形的美，激发学生学习数学的热情与爱国主义热情，培养学生勇于探索敢于创新的精神。 三、教法学法 1.教学方法 建构主义学习观，强调以学生为中心，学生在教师指导下对知识的主动建构。它既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用。 高中一年级的学生正值身心发展的过渡时期，思维活跃，具有一定的独立性，喜欢新鲜事物，敢于大胆发表自己的见解，不过思维还不是很成熟. 在目标分析的基础上，根据建构主义学习观，及学生的认知特点，我拟采用“探究式 ．．．”教学方法。将一节课的核心内容通过四个活动的形式引导学生对知识进行主动建构。其理论依据为建构主义学习理论。它很好地体现了“学生为主体，教师为主导，问题为主线，思维为主攻”的“四为主”的教学思想。 2. 学法指导 新课程强调“以学生发展为核心”，强调培养学生的自主探索能力与合作学习能力。因此本节课学生将在教师的启发诱导下对教师提供的素材经历创设情境→获得新知→作图察质→问题探究→归纳性质→学以致用→趁热打铁→画龙点睛→自我提升的过程，这一过程将激发学生积极参与到教学活动中来。 3. 教学手段 本节课我选择计算机辅助教学。增大课堂容量，提高课堂效率；激发学生的学习兴趣，展示运动变化过程，使信息技术真正为教学服务． 4.教学流程
2.1.2指数函数及其性质教学设计 一、教学目标： 知识与技能：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力。 过程与方法：通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。 情感态度与价值观：在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 二、教学重点、难点： 教学重点：指数函数的概念、图象和性质。 教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 三、教学过程： （一）创设情景 问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞分裂的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出 x 与 y 之间的函数关系式吗？ 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝2x 。 问题2： 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x 表示,剩留量用y 表示。 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝0.84x 。 引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。 1．指数函数的定义 一般地，函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 问题：指数函数定义中，为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况？ (1)若a<0会有什么问题？（如2 1,2=-=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在） (2)若a=0会有什么问题？（对于0≤x ,x a 无意义） (3)若 a=1又会怎么样？（1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.） 师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a .
《一次函数的图像和性质》教案 一、课题：一次函数的图像和性质 二、课型：新授课 三、课时：第一课时（共两课时） 四、教学内容分析 在学习此节课之前，已经学习了平面直角坐标系/函数/正比例函数等等，这为一次函数的学习打下了很好的基础，让学生们对一次函数的学习流程也有了一定的认识。在明确一次函数的图像是一条直线后，进一步结合图像研究它的性质，是学生对一次函数有了从“数”到“形”，从“形”到“数”两方面的理解，这也为今后讨论二次函数，反比例函数打下牢固的基础。 五、学情分析 八年级学生刚学函数，但有了七年级“字母表示数”和“变量之间的关系”的铺垫，他们在学习一次函数时，知识结构中印象最深的是用关系式和表格表示，数型的对应关系与他们的学习经验有很大差距，也更复杂更抽象。 此阶段的学生有很强的好奇心，但动手能力较差，而此课时正需要他们动手去画一次函数的图像，从而得出它的性质。大部分学生也正刚刚由形象思维向抽象思维发展，所以此节课的学习有一定的难度。 六、教学目标 1、知识与技能目标:能熟练做出一次函数的图像，并能通过图像
归纳总结出一些简单的性质。
2、过程与方法目标： （1）经历一次函数的图像和性质探究后，能解决一些简单的问题。 （2）进一步培养数型结合及分类讨论的意识和思想。 （3）在思考活动中培养他们的探索和动手能力及合作交流意识。 3、情感态度与价值观目标：让学生全心投入到学习活动中，积 极参与讨论，发展探索能力和创新能力。 七、教学重点、难点 重点：1、能熟练做出一次函数的图像 2、能结合图像掌握一次函数的性质 难点：一次函数的性质及应用图像解决问题 八、教学策略与方法 根据教学内容，教学目标和学生的认知水平，主要采取教师启发式、探讨式、以及鼓励式的方法进行教学，培养他们的思考能力及动手能力。 由于此节课之前已学习了正比例函数，对函数的学习流程已有了初步的认识，通过对比与正比例函数的学习模式来进行一次函数的学习，即函数解析式函数的图像函数的性质。正比例函数是特殊的一次函数，用特殊到一般的教学方法启发学生们思考一次函数的图像和性质，进而渗透数型结合及分类讨论的思想方法。
函数的专题复习 一、一次函数b kx y +=中的“k ”与“b ” 1.“k ” （1）“k ”的符号，决定图像（从左到右，即x 越来越大）的升降 当0>k 时，直线从左到右呈上升趋势，即y 随x 的增大而增大； 当0 2.一次函数b kx y +=，其中5-=+b k ，6=kb ，那么该直线经过（ ） A.第二、四象限 B.第一、二、三象限 C.第一、三象限 D.第二、三、四象限 3.已知点()15-y ，，()23y ，都在直线78-+=x y 上，则1y ，2y 的大小关系是（ ） A.21y y > B.21y y = C.21y y < D.无法比较 4.已知一次函数b kx y +=，当13-≤≤x 时，相应的函数值为91≤≤x ，则b k +的值为（ ） A.9或1 B.5或-5 C.-5或1 D.5或1 5.如果一次函数y =(k -1)x +b -2的函数图象不经过第一象限，则k 的范围是_________, b 的范围是_________. 6.已知一次函数()032≠++=k k kx y ，无论k 取何值时，该函数的图像都经过点A ，则点A 坐标是 . 7.已知一次函数b kx y +=的图象经过点()1,1-A 、()3,1B -两点，则k 0 8.如图，有一种动画程序，屏幕上正方形ABCD 是黑色区域（含正方形边界）， 其中A （1,1），B （2,1），C （2,2），D(1,2),用信号枪沿直线b x y +-=2发射 信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的b 的取值范围为 . 9.已知关于x 的一次函数()173-+-=m x m y 的图象与y 轴的交点在x 轴上方，且y 随着x 的增大而减小，则整数m 的值 . 二、反比例函数x k y = ()0≠k ，即k xy = 1. 当0>k ，y x ,同号，图像在第一、三象限；在每个分支，图像从左到右下降（y 随x 的增加而减小） 2. 当0 [课题]：第一章集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 主备人：高一数学备课组陈伟坚编写时间：2013年9月30日使用班级（21）（22） 计划上课时间：2013-2014学年第一学期第6 周星期一至三（四至六月考）[课标、大纲、考纲内容]： 学生在初中已学过一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质，通过这些基本初等函数引入函数的单调性和最值，学生还是容易接受的，但很多学生的二次函数的性质还不过关，需要加强。学生的阅读理解能力还是较弱，教师需要引导学生对函数的单调性、奇偶性的定义理解透彻。 1、重点：理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；求函数的单调区间和最值；奇偶性的定义，判定函数的奇偶性的方法；运用函数图象理解和研究函数的性质。 2、难点：运用函数图象理解函数单调性和奇偶性的定义，研究基本函数的单调性和奇偶性。 第1课时 1.3.1 单调性与最大（小）值（1） 【教学目标】 1. 运用已学过的函数特别是二次函数的图象，理解函数的单调性的定义及其几何意义； 2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3. 会用定义证明函数的单调性 【教学重难点】 教学重点: 理解函数的单调性的含义及其几何意义. 教学难点: 用定义证明函数的单调性. 【教学过程】 一、引入课题 1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： 2． ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． 2．f(x) = -2x+1 ○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． 3．f(x) = x 2 ○ 1在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ． ○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ． 二、新课教学 （一）函数单调性定义 1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1 二次函数的性质 教学目标:1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质. 2.了解二次函数与二次方程的相互关系. 3.探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念, 会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性 重点:二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法. 难点:二次函数的性质的应用. 教学过程: 一. 复习引入 二次函数: y=ax2 +bx + c (a ? 0)的图象是一条抛物线,它的开口由什么决定呢 补充: 当a 的绝对值相等时,其形状完全相同,当a 的绝对值越大,则开口越小,反之成立. 二,新课教学: 1.探索填空: 根据下边已画好抛物线y= -2x 2的顶点坐标是 , 对称轴是 ， 在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而增大；在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减小. 当x= 时，函数y 最大值是____. 当x____0时,y<0. 2. 探索填空:根据上边已画好的 函数图象填空： 抛物线y= 2x2的顶点坐标是 , 对称轴 是 ，在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减少；在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而增大. 当x= 时，函数y 最小值是____. 当x____0时,y>0 3.归纳: 二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象和性质 (1).顶点坐标与对称轴 (2).位置与开口方向 (3).增减性与最值 当a ﹥0时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大；当 时，函数y 有最小值 。当a ﹤0时，在对称轴的 左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小。当 时，函数y 有最大值 4.探索二次函数与一元二次方程 ? 二次函数y=x 2+2x,y=x 2-2x+1,y=x 2-2x+2的图象如图所示. ? (1).每个图象与x 轴有几个交点？ ? (2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有 根吗 a 2 b x -=a 4a c 4b 2-a 4ac 4b 2 - 18.3一次函数的性质 三川中学黄华阳 一、教学目标： （1）让学生进一步感受到画好函数图象的重要性和紧迫性，因为图象是我们进一步研究函数性质的基础。 （2）让学生学会观察图象，能从一次函数的图象中更好地理解函数的两个变量x、y之间的关系。即“函数值y随着自变量x的增大而如何变化？”“图象随着自变量x的增大从左向右如何延伸？” （3）启发学生对观察所画一次函数图象所得的结论进行总结，最后形成一次函数的性质。 （4）要求学生会运用一次函数的性质解题。 二、难点： 通过观察探索几个具体的一次函数的图象总结出一次函数的性质，并会加以运用。要注重培养学生通过观察图象，提高自我探索问题的能力。 三、重点： 一次函数性质的探索、归纳总结、应用及用语言准确描述函数的性质。 四、教学过程： （1）复习引入 同学们，上节课我们共同探究了一次函数的图象，已经知道了一次函数的图象是一条直线，大家想一下，一般情况下，我们画一次函 数的图象取哪两个点比较简便？ 生答：取坐标轴X轴，Y轴上两点 好，取坐标轴X轴，Y轴上两个点比较简便。 现在我们已经知道了一次函数图象的画法及形状，那么一次函数在什么特性哪？今天我们就来研究一次函数的性质。 （2）新课 板书：18.3一次函数的性质 （课前完成） 1）在同一直角坐标系中分别作出下列两个一次函数的图象 2x+1 y=3x-2 y= 3 2）在同一直角坐标系中分别作出下列两个一次函数的图象 3x－1 y=－x+2 y=－ 2 2x+1上从左向同学请观察图象，思考一下：当一个点在直线y= 3 右移动时，它的位置如何变化？ 生答：从低到高很好，那么同学们看这个点在从左向右移动过程中，自变量x怎样变化，函数值y又如何变化？ 生答：都是从小到大 回答的很好，这就是说函数值y随自变量x的增大而增大。根据我们的探索过程，请同学们观察函数y=3x－2的图象，是否也有这种现象? 生答：有 一次函数的性质 教学目标 1．引导学生通过观察一次函数图像的上升或下降情况，归纳、总结一次函数的性质。 2．运用一次函数的性质解决一些简单的问题。 教学重难点 1．观察一次函数图像，归纳、总结一次函数性质，并运用性质解决问题。 2．引导学生观察一次函数图像，总结性质。 教学过程 教师活动设计学生活动设计 一、复习引入 1．一次函数的图像； 2．如何画一个一次函数的图像。 二、讲新课 一次函数描述了变量之间相互依赖的变化规律。那么，以x为自变量的一次函数y=kx+b所反映的变化过程有什么特点呢？ 观察与思考： 在同一直角坐标系内画函数y=2x+5与函数y=-2x+5的图像。观察图像并分析：顺着x轴正方向看，这两个图像是上升还是下降？当自变量x 的值逐渐增大时，函数值随之怎样变化？ 顺着x轴正方向看，直线y=2x+5是上升的，可知函数y=2x+5当自变量x的值逐渐增大时，函数值y随之增大；直线y=-2x+5是下降的，可知函数y=-2x+5当自变量x的值逐渐增大时，函数值y随之减小。 再对前面的几张图进行同样的观察，顺着x轴正方向看，直线y=kx+b （k、b为常数，k≠0）是上升还是下降与k所取值的正负有关。 一般来说，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）具有以下性质：当k>0时，函数值y随自变量x的值增大而增大； 当k<0时，函数值y随自变量x的值增大而减小。 例题1：已知一次函数y=kx+2的图像经过点A（-1，1）， （1）求常数k的值； 1．画图。 2．观察图像，思考问题，小组交流。 3．自主归纳、小结。 4．课堂练习本，一生板演。 5．思考、交流。 6．小结方法、注意点。 7．小结反思。 一次函数单元测试题 一、选择题（15分） 1、与函数y=x是同一函数的是（） A、y=|x| B、y=x2 x C、y=33x D、y=2x 2、下面函数图象不经过第二象限的为（） A、y=3x+2 B、y=3x－2 C、y=－3x+2 D、y=－3x－2 3、一各函数的图象如图所示，那么这个函数的表达式是（） A、y＝－2x＋2 B、y＝－2x－2 C、y＝2x＋2 D、y＝2x－2 4、一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶的路程为300米．小军先走了一段路程，爸爸才开始出发．图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程S(米）与登山所用的时间t（分）的关系（从爸爸开始登山时计时）．根据图象，下列说法错误的是（） A、爸爸登山时，小军已走了50米； B、爸爸走了5分钟，小军仍在爸爸的前面； C、小军比爸爸晚到山顶； D、爸爸前10分钟登山的速度比小军慢，10分钟后登山的速度比小军快。 5、如图，l1反映了某公司的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，当该公司赢利（收入大于成本）时，销售量（） A、小于3吨 B、大于3吨 C、小于4吨 D、大于4吨 二、填空题（12分） 6、直线y=2x+m和直线y=3x+3的交点在第二象限，则m的取值范围. 7、函数 1 x y + =中自变量x的取值范围是______________。 8、若函数y= -2x m+2 +n-2正比例函数，则m的值是，n的值为________。 9、若一次函数y=kx+3的图象经过（－l，5）那么这个函数的表达式为__________， y的值随x 的减小而____________ 第3题第4题第5题 函数及其表示 题型一 求函数的定义域 求函数定义域的主要依据是： (1)分式的分母不能为零； (2)偶次方根的被开方式其值非负； (3)对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1. （4）若f (x )是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集 合； （5）若f (x )是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题 【例1】求下列函数的定义域： (1)f (x )＝|x －2|－1log 2x －1；(2)f (x )＝ln x ＋1－x 2－3x ＋4 . 【例2】（1）已知()f x 得定义域为[1,2]，求()f 2x +1的定义域； （2）已知()f 2x +1得定义域为[1,2]，求()f x 的定义域 【跟踪训练】(1)已知f (x )的定义域为??????－12，12，求函数y ＝f ? ????x 2－x －12的定义域； (2)已知函数f (3－2x )的定义域为[－1,2]，求f (x )的定义域． 题型二 求函数的解析式 （1）待定系数法： 【例3】已知(())98f f x x =+，且()f x 是一次函数，求()f x （2）换元法：已知(())()f g x h x =，求()f x 时，可设()g x t =，从中解出()x x t =，代入()h x 进行换元，便可求解 【例4】已知2 (2)1f x x =+，求()f x 的解析式。 【例5】若x x x f -= 1)1( 求()f x 题型三 求函数的值域 （1）二次函数在区间上的值域（最值）： 【例6】求下列函数的最大值、最小值与值域： ①142+-=x x y ； ②]4,3[,142∈+-=x x x y ； ③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ； （2）分离常数法 【例7】（1）1+=x x y 的值域 （2）求22321 x y x +=+的值域 题型四 分段函数 分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题。 【例9】设函数f (x )＝????? 21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )． A ．[－1,2] B ．[0,2] C ．[1，＋∞) D．[0，＋∞) 【跟踪训练】 (江苏)已知实数a ≠0，函数f (x )＝????? 2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的 值为________．-3/4 函数的性质 一、函数的单调性 设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1，x2，当x1 （新课标）2017-2018学年华东师大版八年级下册 一次函数专题练习 一、快来选选，相信你一定行（每小题3分，共30分） 1、一个变化过程中有两个变量、对于每取一个值，都会有唯一的值与它对应，那么我们就说是自变量，是的函数.下图中表示函数关系的图象是（） 2、函数中，自变量的取值范围应是（） 、、、、 3、下列函数中，是的一次函数的是（） 、、、、 4、下面哪个点在函数的图象上（） 、、、、 5、若把一次函数向上平移3个单位长度，得到图象解析式是( ) 、、、、 6、函数的图象大致位置应是下图中的（） 7、一次函数的图象经过点和（1，3）和（0，1），那么这个一次函数是（） 、、、、 8、汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间t（时）的函数关系式应为（）、、、、 9、某教师到一村寨进行学生入学动员工作，开始时骑摩托车大约用了40分钟的时间走了20里路，休息10分钟后，又花近30分钟的时间徒步走了8里路，方到达该村.下列能表示该教师行走的路程s（里）与时间t（分）的函数图象是（） 10、如果直线与交点坐标为（a，b），则是方程组_______的解（?） 、、、、 二、快来填填，这些难不倒你（每小题3分，共24分）. 11、函数中，当时，它是一次函数，当它是正比例函数. 12、将直线往上平移3个单位得到的一次函数的解析式是. 13、要使直线经过二、一、四象限，则0，0.（填“＞”“＜”＝） 14、直线与轴、轴的交点分别为（－1，0）、（0，3）则这条直线的解析式为. 15、已知直线中，随的增大而减小，那么直线经过象限. 16、已知方程的解是，则直线与轴的交点为（，）. 17、如图，是函数的图象，要使图象处于虚线部分时自变量的取值范围是.这个取值范围也就是不等式的解集. 必修一 1．3 函数的基本性质 教案 1．3．1 单调性与最大（小）值 1、 引入 观察如下函数图象，说说它们的图象是单调上升，还是单调下降，有没有最大值或最小值。 P27 2、 研究函数单调性 函数图象的单调上升或是单调下降，我们统称为这是函数的单调性。那么我们怎样研究判断函数的单调性？ 首先，研究一次函数)(x f =x 和二次函数)(x f =2x 的单调性。P27 如图所示 由图，可观察到函数)(x f =x 的图象由左到右是上升的；而函数)(x f =2x 的图象在对称轴左侧是下降的，在对称轴右侧是上升的。所说的图象“上升”或“下降”反映的就是函数的单调性，那么，如何描述函数图象的“上升”“下降”呢？ 以二次函数)(x f =2x 为例，结合图象，不难发现，图象在对称轴左侧是“下降”的，也就是在区间（∞-，0]内，随着x 的增大，相应的)(x f （即y 值）反而减小；相反地，在对称轴的右侧图象是“上升”的，也就是在区间(]∞+，0内，随着x 的增大，相应的)(x f （即y 值）也随着增大。 那么该如何去描述“在区间(]∞+，0内， 随着x 的增大，相应的)(x f （即y 值）也随着增大”？ 描述如下：在区间(]∞+，0内，任取两个21,x x ，并且21x x <，得到)(1x f =21x ，)(2x f =22x ，有)(1x f <)(2x f ，这时，我们就说函数)(x f =2 x 在区间(]∞+，0上是增函数。 3、 增函数、减函数的定义 一般地，设函数)(x f 的定义域为I ： 如果对于定义域I 内某个区间D 上任取的两个值21,x x ，当21x x <时，都有)(1x f <)(2x f ，那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数。这时区间D 就叫单调增区间。 相反地，如果对于定义域I 内某个区间D 上任取的两个值21,x x ，当21x x <时，都有)(1x f >)(2x f ，那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数。这时区间D 就叫单调减区间。 4、 例题 P29 例1 例2 巩固练习 P32 练习1，2，3，4 1、已知函数f (x )=2x 2 -mx +3，当()2,x ∈-+∞时是增函数，当(),2x ∈-∞-时是减函数，则f (1)等于 （ ） A ．-3 B ．13 C ．7 D ．含有m 的变量 2、如果函数f (x )＝ax 2 ＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是 31-ξ函数的基本性质 学习目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应 用函数的基本性质解决一些问题。 （2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法． （3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。 重点与难点 （1）判断或证明函数的单调性； （2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。 学习过程 一、 函数的单调性 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。 （3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。 2、单调性的判定方法 （1）定义法： 判断下列函数的单调区间：2 1x y = （2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （3）复合函数的单调性的判断： 设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在] ,[b a 上也是单调函数。 ①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 ②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 练习：（1）函数24x y -= 的单调递减区间是 ，单调递增区间函数的基本性质(教案)
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