2.7 平面、直线与立体相交2.7.1 平面与平面立体相交
2.7.2 直线与平面立体相交
2.7.3 平面与曲面立体相交
2.7.4 直线与曲面立体相交
2.7.1 平面与平面立体相交
如图所示：平面P称为截平面；棱线与截平面的交点称为截交点；截平面与三棱柱表面的交线称为截交线；截交线围成的平面图形，称为断面。
图2.159 平面与平面立体相交的概念
1.平面与棱柱相交
图2.160 作正三棱柱的截交线及断面真形
(a)已知条件
(b)作图过程和作图结果如图2.160a 所示，棱线为侧垂线的正三棱柱被正垂面P 截去左
端，作截交线和完成截断体的水平投影，并求作断面的真形。
［解］
如图2.161a 所示，求作一般位置的平行四边形ABCD 与正四棱柱
的截交线。图2.161 作一般位置平面与正四棱柱的截交线
［解］
(b)作图过程和作图结果(a)已知条件
(a)已知条件
如图2.162a 所示，求作斜三棱柱
AA 1BB 1CC 1的法断面(也就是垂直于棱线的截平面所截得的断面)的水平投影和正面投影，并作出法断面的真形。图2.162 作斜三棱柱的法断面的两面投影及其真形
［解］
(b)作图过程和作图结果①将斜三棱柱的棱线变换为V 1面平行线
②在H 、V 1新投影面体系中作出法断面的投影
③在H 、V 原投影面体系中作出法断面的投影④作法断面的真形
2.平面与棱锥、棱台相交
图2.163 作三棱锥的侧面投影和截交线的投影及断面真形
如图2.163a 所示，求
作三棱锥SABC 的侧面投影，以及被正垂面P 截得的截交线的三面投影，并作出断面的真形。(a)已知条件
(b)作图过程和作图结果［解］
①作三棱锥的侧面投影②作截交线的三面投影③作断面的真形
如图2.164a 所示，正三棱锥被一个正垂面和一个水平面切割
成一个具有切口的三棱锥，补全这个具有切口的三棱锥的水平投影，并作出它的侧面投影。图2.164 补全正三棱锥的水平投影，并作出它的侧面投影
(b)切口和截交线的分析
(a)已知条件(c)作图过程和作图结果［解］
①作三棱锥的侧面投影
②作截交线的三面投影
如图2.165a 所示，补全具有正四棱柱孔的正四棱台被正垂面切
割后的截断体的水平投影，作出它的侧面投影，并作断面的真形。图2.165 补全水平投影，作出侧面投影和断面真形
(a)已知条件
(b)作图过程和作图结果［解］
①作出尚未切割时的具有正四棱柱孔的正四棱台的侧面投影
②补全截断体的水平投影和侧面投影
③作断面的真形
直线与平面立体相交，当直线或平面立体表面的投影有积聚性时，利用投影的积聚性可以很方便地作出贯穿点。如图2.166a 所示，求作直线AB 与正四棱柱的贯穿点，并表明直线的投影及其可见性。2.7.2 直线与平面立体相交
图2.166 作AB 与正四棱柱的贯穿点，表明可见性
1.直线或平面立体表面的投影有积聚性时相交
(a)已知条件
(b)作图过程和作图结果［解］
①由水平投影的积聚性作贯穿点1②由正面投影的积聚性作贯穿点2③判别可见性，将可见部分画成粗实线
如图2.167a 所示，求作直线AB
与正四棱锥的侧面投影，作出贯穿点，并表明直线的投影及其可见性。图2.167 作AB 与正四棱锥的贯穿点，表明可见性
(a)已知条件
(b)作图过程和作图结果［解］
①作直线AB 和正四棱锥的侧面投影
②作贯穿点的投影
③表明直线AB 的投影及其可见性
2.直线和平面立体表面的投影都无积聚性时相交
图2.168 作AB 与三棱锥的贯穿点，表明可见性
如图2.168a 所示，求作直线AB 与三棱锥的贯穿点，并表明直
线的投影及其可见性。
［解］
方法一:
方法二:
(a)已知条件(b)方法一（c ）方法二
2.7.3 平面与曲面立体相交
截平面与曲面立体表面相交所形成的截交线，可能是一条封闭的平面曲线，也可能是由曲线和直线围成的平面图形，在特殊情况下还可能是多边形。截交线的形状与曲面立体的几何性质及其与截平面的相对位置有关。 曲面立体的截交线是截平面和曲面立体表面的共有线，截交线上的点也都是截平面和曲面立体表面的共有点，当截交线是曲线时，通常都是先作出这些共有点，然后连成截交线。当截交线是曲线时，截交线上有一些能控制截交线的形状和范围的点，包括曲面投影转向轮廓线上的点；极限位置点，即最左、最右、最前、最后、最高、最低的点；对称的截交线在对称轴上的顶点；以及截交线的曲线段的端点等，称为特殊点。其它的点则称为一般点或中间点。
1.平面与圆柱相交
表2.7 圆柱面上的截交线
如图2.169a 所示，求作圆柱被正垂面P 截切的截交线，并作出
断面真形。图2.169 作圆柱的截交线，并求断面真形
(a)已知条件［解］
①作截交线椭圆的特殊点。②作截交线上的一般点。
(b)作图过程和作图结果
③判别可见性，顺次连接各点成截交线的侧面投影。④作断面真形。
如图2.170a 所示，求作一般位置的
平行四边形PQRT 截切圆柱所得的截交线的正面投影，并表明可见性。图2.170 作一般位置的平行四边形与圆柱的截交线
(a)已知条件［解］
①作截交线椭圆上的特殊点和一般点。
②将已作出的截交点连成截交线，并表明截交线的可见性。
(b)作图过程和作图结果
如图2.171a 所示，求作轴线为侧垂线的圆柱被两个水平面和一
个正垂面截切后，取去了上面被切割部分的截余体的水平投影和侧面的投影。图2.171 作圆柱被切割后的水平投影和侧面投影
(a)已知条件［解］
①作中间的正垂截平面与圆柱面的截交线。②作两端的水平截平面与圆柱面的截交线。(b)作图过程和作图结果
③完成截余体的水平投影和侧面投影。
2.平面与圆锥相交
表2.8 圆锥面上的截交线
正垂面P 与圆锥的截交线的水平投影，截断体的侧面投影，并作出断面的真形。图2.172 作圆锥的截交线和截断体的侧面投影，断面真形
［解］
①用双点画线画出圆锥未截切时的侧面投影。②作截交线椭圆的水平投影和侧面投影。③完成截断体的侧面投影。
④作断面真形。
(a)已知条件(b)作图过程和作图结果
由两个铅垂面和一个侧平面截切掉圆锥前面一部分后的截余体的正面投影和侧面投影。图2.173 作圆锥的截余体的水平投影和侧面投影
［解］
①在水平投影中标绘出诸截交线和相邻断面的交线的投影符号。
②作截交线和相邻断面的交线的正面投影和侧面投影。③完成截余体的正面投影和侧面投影
(a)已知条件(b)作图过程和作图结果
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3.平面与球相交
图2.174 作铅垂面P 与球的截交线和截断体的正面投影
如图2.174a 所示，求作
铅垂面P 与球的截交线和截断体的正面投影。［解］
②完成截断体的正面投影。
(a)已知条件(b)作图过程和作图结果
①作截交线的正面投影。
立体构成的基本形态要素---点、线、面、体 一、点的构成 1、造型中的点具有相对性。 2、点的构成方式很多，但点独立存在的构成少，多数情况下会存在其他形态要素。 3、点的视觉情感及特征 点的特征： a.与环境相比较，体积小 b.长度、宽度、高度近似 点的作用： a.起某种稳定图式、造型的作用 b.创造视觉焦点 c.创造运动感：设计作品中点的动感通常源于点的集群关系和点 与背景的图底关系。 二、线材的构成 1、线的形态与感情象征 直线与曲线是构成线的两大系统，也是决定一切由线构成的形的基本要素。一般来说，直线表示静，曲线表示动。 直线是一种无机线，它具有冷淡而坚强的表现力。其中垂直线具有生命、尊严、永恒、上升、下落等感情象征；水平线趋向于表示平静、安定、向上的感情象征；斜直线意味着运动、积极、阳性等感情色彩；向下的斜直线则有危险、消极、阴性等感觉特质。而曲折线则表示不安的象征性联想。
2、材料的连接点称为节点，节点有三种 滑节——可以在接触面上自由滑动或滚动。 铰节——像铰链一样可以上下左右旋转，但不能移动，具有各方向受力的特性。刚节——完全固定死的。 线材构成中，线材大致可分为软质线材(又称拉力材)和硬质线材(又称压缩材)两大类。 软质线材包括棉、麻、丝、绳、化纤等软线，还有铁、钢、铝丝等可弯曲变形的金属线材；硬质线材有木、塑料及其他金属条材等。 (1)软质线材的构成 利用棉、麻、丝、化纤等软线、软绳。在构成中，按意图制作造型框架。其结构可选用正方体、三角柱、三角锥、五棱柱、六棱柱等造型;也可采用正圆、半圆或渐伸涡线形等、并在框架上面竖立支柱，以小钉为连点进行连接构成。 (2)硬质线材构成 木条、金属条、塑料细管、玻璃柱等线材均可用以组合而成为立体造型。在构成前，先确定好支架。构成后，部分撤掉，只保留硬质线材构成的部分。 常见的造型方法有： a．垒积构造 只把材料重叠起来做成立体的构造物，叫做累积形式的构成。 在制作时应该注意： (1)接触面过分倾斜易引起滑动；整体的重心若超过底部的支撑面则 构造物将因失去平衡而倒塌。 (2)与用线材做立体构成—样，不要忘记使空隙大小具有韵律。 (3)作为垒积构造的变形，可以在结合部施以简单的防滑处理(如缺口 等)，这样将出现更多的变化。
2.7 平面、直线与立体相交2.7.1 平面与平面立体相交 2.7.2 直线与平面立体相交 2.7.3 平面与曲面立体相交 2.7.4 直线与曲面立体相交
2.7.1 平面与平面立体相交 如图所示：平面P称为截平面；棱线与截平面的交点称为截交点；截平面与三棱柱表面的交线称为截交线；截交线围成的平面图形，称为断面。 图2.159 平面与平面立体相交的概念
1.平面与棱柱相交 图2.160 作正三棱柱的截交线及断面真形 (a)已知条件 (b)作图过程和作图结果如图2.160a 所示，棱线为侧垂线的正三棱柱被正垂面P 截去左 端，作截交线和完成截断体的水平投影，并求作断面的真形。 ［解］
如图2.161a 所示，求作一般位置的平行四边形ABCD 与正四棱柱 的截交线。图2.161 作一般位置平面与正四棱柱的截交线 ［解］ (b)作图过程和作图结果(a)已知条件
(a)已知条件 如图2.162a 所示，求作斜三棱柱 AA 1BB 1CC 1的法断面(也就是垂直于棱线的截平面所截得的断面)的水平投影和正面投影，并作出法断面的真形。图2.162 作斜三棱柱的法断面的两面投影及其真形 ［解］ (b)作图过程和作图结果①将斜三棱柱的棱线变换为V 1面平行线 ②在H 、V 1新投影面体系中作出法断面的投影 ③在H 、V 原投影面体系中作出法断面的投影④作法断面的真形
2.平面与棱锥、棱台相交 图2.163 作三棱锥的侧面投影和截交线的投影及断面真形 如图2.163a 所示，求 作三棱锥SABC 的侧面投影，以及被正垂面P 截得的截交线的三面投影，并作出断面的真形。(a)已知条件 (b)作图过程和作图结果［解］ ①作三棱锥的侧面投影②作截交线的三面投影③作断面的真形
平面构成入门 点的构成形式 AKI 越小的形体越能给人以点的感觉 (1) 不同大小、疏密的混合排列，使之成为 一种散点式的构成形式 (2)将大小一致的点按一定的方向进行有规 律的排列，给人的视觉留下一种由点的移动 而产生线化的感觉 (3)以由大到小的点按一定的轨迹、方向进 行变化，使之产生一种优美的韵律感 (4)把点以大小不同的形式，既密集、又分 散的进行有目的的排列，产生点的面化感觉 (5)将大小一致的点以相对的方向，逐渐重 合，产生微妙的动态视觉 (6)不规则点的视觉效果 线的构成形式 AKI 线是点移动的轨迹 (1) 面化的线（等距的密集排列） (2)疏密变化的线（按不同距离排列）透 视空间的视觉效果 (3)粗细变化空间,虚实空间的视觉效果
(4)错觉化的线（将原来较为规的线条 排列作一些切换变化） (5)立体化的线 (6)不规则的线 面的构成形式 AKI 它体现了充实、厚重、整体、稳定的视觉效果 (1) 几何形的面，表现规则、平稳、较为理 性的视觉效果 (2)自然形的面，不同外形的物体以面的形 式出现后，给人以更为生动、厚实的视觉效 果 (3)徒手的面 (4)有机形的面，得出柔和、自然、抽象的 面的形态 (5)偶然形的面，自由、活泼而富有哲理性 (6)人造形的面，较为理性的人文特点 单形的构成 AKI (1) 几何单形的相互构成（以圆形、方形、三角形为基本形体，将它们分别以连接、重合、重叠、透叠等形式，构成不同形象特点的造型）
(2)分割所构成的形体（训练设计者灵活的造型能力） (3)重合所构成的形体，（形体间相互重合、添加派生出各种形态各异的造型） (4)自然形单形的构成（把自然物的基本形以真实、自然、概括的形式表现出来，使用到构成设计中去） 平面构成的形式 AKI 1.平面构成的基本格式（基本格式大体分为：90度排列格式、45度排列格式、弧线排列格式、折线排列格式） 2.重复构成形式（以一个基本单形为主体在基本格式重复排列，排列时可作方向、位置变化，具有很强的形式美感） －简单重复构成 －多元重复 3.近似构成形式（有相似之处形体之间的构成，寓“变化”于“统一”之中是近似构成的特征，在设计中，一般采用基本形体之间的相加或相减来求得近似的基本形） 4.渐变构成形式（把基本形体按大小、方向、虚实、色彩等关系进行渐次变化排列的构成形式）
一、点的构成 1、造型中的点具有相对性。 2、点的构成方式很多，但点独立存在的构成少，多数情况下会存在其他形态要素。 3、点的视觉情感及特征 点的特征： a.与环境相比较，体积小 b.长度、宽度、高度近似 点的作用： a.起某种稳定图式、造型的作用 b.创造视觉焦点 c.创造运动感：设计作品中点的动感通常源于点的集群关系和点 与背景的图底关系。 二、线材的构成 1、线的形态与感情象征 直线与曲线是构成线的两大系统，也是决定一切由线构成的形的基本要
素。一般来说，直线表示静，曲线表示动。 直线是一种无机线，它具有冷淡而坚强的表现力。其中垂直线具有生命、尊严、永恒、上升、下落等感情象征；水平线趋向于表示平静、安定、向上的感情象征；斜直线意味着运动、积极、阳性等感情色彩；向下的斜直线则有危险、消极、阴性等感觉特质。而曲折线则表示不安的象征性联想。 2、材料的连接点称为节点，节点有三种 滑节——可以在接触面上自由滑动或滚动。 铰节——像铰链一样可以上下左右旋转，但不能移动，具有各方向受力的特性。刚节——完全固定死的。 线材构成中，线材大致可分为软质线材(又称拉力材)和硬质线材(又称压缩材)两大类。 软质线材包括棉、麻、丝、绳、化纤等软线，还有铁、钢、铝丝等可弯曲变形的金属线材；硬质线材有木、塑料及其他金属条材等。 (1)软质线材的构成 利用棉、麻、丝、化纤等软线、软绳。在构成中，按意图制作造型框架。其结构可选用正方体、三角柱、三角锥、五棱柱、六棱柱等造型;也可采用正圆、半圆或渐伸涡线形等、并在框架上面竖立支柱，以小钉为连点进行连接构成。
(2)硬质线材构成 木条、金属条、塑料细管、玻璃柱等线材均可用以组合而成为立体造型。在构成前，先确定好支架。构成后，部分撤掉，只保留硬质线材构成的部分。 常见的造型方法有： a．垒积构造 只把材料重叠起来做成立体的构造物，叫做累积形式的构成。 在制作时应该注意： (1)接触面过分倾斜易引起滑动；整体的重心若超过底部的支撑面则 构造物将因失去平衡而倒塌。 (2)与用线材做立体构成—样，不要忘记使空隙大小具有韵律。 (3)作为垒积构造的变形，可以在结合部施以简单的防滑处理(如缺口 等)，这样将出现更多的变化。 (4)为了利于保存，可以用粘接剂将节点固定成刚性节点，但是必须 要求不粘接也能维持形态。 b．椼架构造