泰勒公式及其应用

摘要：文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式，针对泰勒公式的应用讨论了

九个问题，即应用泰勒公式求极限，证明不等式，判断级数的敛散性，证明根的唯一存在性，判断函数的极值，求初等函数的幂级数展开式，进行近似计算，求高阶导数在某些点的数值，求行列式的值。

关键词：泰勒公式，极限，不等式，敛散性，根的唯一存在性，极值展开式近似计算行列式。

英文题目

Abstract:Taylor’s formula is an important knowledge in the mathematical analysis ．This paper discusses some basic contents about the Taylor’s formula ，In this paper ，we discuss its applications in the mathematical analysis and reality life from 9 facets in general： we can use the Taylor’s formula to prove the equation and inequality，solve the limit and the value limit，There are some applications in the functional equations and linear interpolation，besides we may use it to search the extreme value and study the partial shape of the function’s graph，as well as the application of approximate calculation,this can help us to know the importance of theTalorsformula

Key words:Taylor's formula The remaining of the Pia no The remaining of the Lagrangian Application

1．引言：泰勒公式是高等 数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示

为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆，作者通过阅读大量的参考文献，从中搜集了大量的习题，通过认真演算其中少数难度较大的题目，证明来自相应的参考文献，并对这些应用方法做了系统的归纳和总结，由于本文的主要内容是介绍应用所以本文会以大量的例题进行讲解说明。

1.1预备知识

泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数.这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力工具.本文阅读了大量的参考文献，并从中搜集了大量的习题，这些习题都经过认真演算，其中少数难度较大题目的证明来自相应的参考文献，文中还并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用，所以，本文会以大量的例题进行讲解说明.

给定一个函数)(x f 在点0x 处可微，则有：

)()()()(000x x x f x f x x f ?+?'+=?+ο

这样当1<

x x f x f x x f ?'+≈?+)()()(000

或

))(()()(000x x x f x f x f -'+=，10<<-x x

即在0x 点附近，可以用一个x 的线形函数（一次多项式）去逼近函数f ，但这时有两个问题没有解决：

（1）近似的程度不好，精确度不高．因为我们只是用一个简单的函数（一次多项式）去替代的函数f 可能十分复杂．

（2）近似所产生的误差不能具体估计.只知道舍掉的是一个高阶无穷小量)(0x x -ο，如果要求误差不得超过4

10-，用))(()(000x x x f x f -'+去替代)(x f 行吗？

因此就需要用新的逼近方法去解决这个问题．在下面这一节我们就来设法解决这两个问题．

1.1.1 Taylor 公式

首先看第一个问题，为了提高近似的精确程度，我们可以设想用一个x 的n 次多项式在

0x 附近去逼近f ，即令

n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+=,

从几何上看，这表示不满足在0x 附近用一条直线（曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的切线）去替代)(x f y =，而是想用一条n 次抛物线

n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+= ,

去替代它．

我们猜想在点))(,(00x f x 附近这两条曲线可能会拟合的更好些．那么系数0a ，1a …n a 如何确定呢？

假设f 本身就是一个n 次多项式，显然，要用一个n 次多项式去替代它，最好莫过它自身了，因此应当有

n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+= ,

于是得： )(00x f a = 求一次导数可得： )(01x f a '= 又求一次导数可得： !

2)

(02x f a ''= 这样进行下去可得：

!3)(03x f a '''=，!4)(0)4(4x f a =，… ，!

)(0)(n x f a n n =

因此当f 是一个n 次多项式时，它就可以表成：

k n

k k n

n x x k x f x x n x f x x x f x f x f )(!)()(!)(...))(()()(00

0)(00)(000-=-++-'+=∑=,

（2-1）

即0x 附近的点x 处的函数值)(x f 可以通过0x 点的函数值和各级导数值去计算．通过这个特殊的情形，我们得到一个启示，对于一般的函数f ，只要它在0x 点存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式

n n n x x n x f x x x f x x x f x f x T )(!

)(...)(!2)())(()()(00)(2

00000-++-''+-'+= , （2-2）

称（2-2）式为函数)(x f 在点0x 处的泰勒多项式[1]，)(x T n 的各项系数

!

)

(0)

(k x f

k ),...,3,2,1(n k = ，称为泰勒系数．因而n 次多项式的n 次泰勒多项式就是它本身．

1.1.2 Taylor 公式的各种余项

对于一般的函数，其n 次Taylor 多项式与函数本身又有什么关系呢？函数在某点0x 附近能近似地用它在0x 点的n 次泰勒多项式去替代吗？如果可以，那怎样估计误差呢？下面的Taylor 定理就是回答这个问题的．

定理1(带拉格朗日型余项的Taylor 公式)假设函数)(x f 在h x x ≤-||0上存在直至

1+n 阶的连续导函数，则对任一],[00h x h x x +-∈,泰勒公式的余项为

10)1()()!

1()

()(++-+=n n n x x n f x R ξ

其中)(00x x x -+=θξ为0x 与x 间的一个值.即有

1

0)1(00)(000)()!

1()()(!)(...))(()()(++-++-++-'+=n n n

n x x n f x x n x f x x x f x f x f ξ,

（2-3）推论1 当0=n ，（2-3）式即为拉格朗日中值公式：

))(()()(00x x f x f x f -'=-ξ,

所以，泰勒定理也可以看作是拉格朗日中值定理的推广． 推论2 在定理1中,若令

)0()()1(!

)

()(1

01)1(>--?=+-++p x x n p f x R n p n n n θξ,

则称)(x R n 为一般形式的余项公式, 其中0

x x x --=ξθ．在上式中，1+=n p 即为拉格朗日

型余项．若令1=p ，则得:

)0()()1(!

)

()(1

0)1(>--=++p x x n f x R n n n n θξ， （2-4）

此式(2-4)称为柯西余项公式．

推论3 当00=x ，得到泰勒公式：

1

1)(2)!

1()(!)0(...!2)0()0()0()(++++++''+'+=n n n n x n x f x n f x f x f f x f θ）（，)10(<<θ ,

（2-5）

则（2-5）式称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式．

定理2（带皮亚诺型的余项的Taylor 公式）[3]

若函数f 在点0x 处存在直至n 阶导数，

则有

∑

=-=n

k k k n x x k x f x P 0

00)()(!

)

()(，

)()()(x P x f x R n n -=．

则当0x x →时，))(()(0n n x x x R -=ο．即有

))(()(!

)

(...))(()()(000)(000n n n x x x x n x f x x x f x f x f -+-++-'+=ο , （2-6）

定理2所述的（2-6）式称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒公式，)()()(x P x f x R n n -=， 称为泰勒公式的余项，形如))((0n x x -ο的余项称为皮亚诺型余项，所以（2-6）式又称为带有皮亚诺型余项的泰勒公式

当（2-6）式中00=x 时，可得到

)(!

)0(...!2)0()0()0()()(2n n

n x x n f x f x f f x f ο+++''+'+= , （2-7）

（2-7）式称为带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式，此展开式在一些求极限的题目中有重要应用．

定理3设0>h ，函数)(x f 在);(0h x U 内具有2+n 阶连续导数，且0)(0)

2(≠+x f n ，)

(x f 在);(0h x U 内的泰勒公式为

10,)!

1()(!)(...)()()(1

0)1(0)(000<<+++++'+=+++θθn n n n h n h x f h n x f h x f x f h x f ,（2-8）

则2

1

lim 0

+=

→n h θ． 证明 )(x f 在);(0h x U 内的带皮亚诺型余项的泰勒公式

)

()!

2()()!1()(!)(...)()()(22

0)2(10)1(0)(000++++++++++++'+=+n n n n n n n h h n x f h n x f h n x f h x f x f h x f ο将上式与（2-8）式两边分别相减，可得出

)()!

2()()!1()(-)(220)2(10)1(0)1(++++++++=++n n n n n n h h n x f h n x f h x f οθ，

从而

220)2(0)1(0)1()()!2()()()()!1(+++++++=-+?+n n n n n h

h n x f h x f h x f n οθθθ

，

令0→h ，得

)!

2()()(lim )!1(10)2(0)

2(0+=

??+++→n x f x f n n n h θ， 故2

1

lim 0

+=

→n h θ．证毕.

2．研究问题及成果

2.1 泰勒公式证明等式与不等式

2.1.1 泰勒公式证明等式

所要证明的等式是级数系数之间的关系时，已知和函数的满足的方程就可以利用和函数进行证明。 例

1[1]设幂级数

n

n n a x

∞

=∑在

(),-∞+∞内收敛，其和函数()y x 满足

()()''''24

0,00,01y x y y y y

--==

=，证明22

,1,2,,1

n n a a n n +=

=+ 证明：对0

n

n n y a x

∞

==

∑求一，二阶导数得

'

1

n n n y na x

∞

-==∑，

()''

22

1n n n y n n a x ∞

-==-∑

代入''

'

240y xy y --=，并整理得

()()2

1

21240

n

n

n n n n n n n n n a

x na x a x ∞

∞∞

+===++--=∑∑∑

于是

20240a a -= ()()()221220,1,2,,

n n n n a n a n +++-+==

从而

22

,1,2,,1n n a a n n +=

=+

2.1.2 泰勒公式证明不等式

当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物，可做一个辅助函数并用泰勒公式代

替；当级数表示的两区域的面积并比较大小时，也可用泰勒公式计算，往往使证明方便简洁。 例2

［2］

当0x ≥时，证明3

1sin 6x x x ≥-

证明： 取

()31sin 6f x x x x =-+

，

00,x = 则

()()()()()'''''''''00,00,00,1cos ,00

f f f f x x f ====-≥

代入泰勒公式，其中n=3,得

()3

1cos 0003!x f x x θ-=+++

，

()01θ<< 故当

3

1

0,sin 6x x x x ≥≥- 例3[3]设n a 为曲线

n y x = 与 ()11,2,n y x n +== 所围成区域的面积，记 11

n n s a ∞==∑,

221

n n s a ∞

-==∑，证明

12

s s >

证明：求

n

a

()110

11

12n n n a x x dx n n +=-=

-

++?

求

1s

1111111

11lim lim lim 12212k

k

n n k k k n n n s a a n n k ∞

→∞→∞→∞===????===-=-= ? ?+++?

???∑∑∑ 求

2s ，由于

()()21ln 11,(1,1]

2n

n x

x x x x n

+=-++-+∈- 取x=1得

()11

ln 2112n n

=-++-+ 于是

221111111111ln 22212345n n n s a n n ∞∞

-==??==-=-+-+=- ?-?

?∑∑

故

12s s >

2.2 泰勒公式与极限

2.2.1 应用Taylor 公式求近似极限 例4 [4] 求4

2

2

cos lim

x

e

x x x -→-．

解 方法一：由于当0x →时.

2

2cos 0x x e -

??

-→ ? ??

?

4

0x →

且上式均可以在0x →式，可以求导数，所以满足洛毕达法则[7]

：

24

2

cos lim

x x x e

x

-

→-

22

3

sin 4lim

x x x xe

x -→+=

2222

2

20

cos 12lim

x x x x e x e x --→-+-=

2

232

2

0sin 324lim

x x x x xe x e x --→-+=

22

2242

2

2

cos 36324

lim

x x x x x e

x e x e

-

--

→-+-=

112

=-

方法二：在这里我们用泰勒公式求解，考虑到极限，用带皮亚诺型余项的麦克劳林公式展开，则有

)(24

21cos 54

2x x x x ο++-=,

)(8

2154

22

2x x x e

x ο++-=-

,

)(12

cos 54

2

2x x e

x x ο+-=--,

所以，121

)

(12lim cos lim

45402

4

2-=+-=-→-→x

x x x

e

x x x x ο． 像这类函数使用洛必达法则求极限比较麻烦和复杂, 但是用泰勒公式求极限就比较简单.由于拘泥于课本上的知识，只知道运用洛必达法则求极限，而洛必达法则比较麻烦，而且浪费时间，所以，在求函数的极限的问题时，分析题目的基础上，适当地应用泰勒公式是比较明智的.

例5 [5] 设函数)(x ?在[)+∞,0上二次连续可微，如果)(lim x x ?+∞

→存在，且)(x ?''在[)

+∞,0上有界，试证：0)(lim ='+∞

→x x ?．

证明 要证明0)(lim ='+∞

→x x ?，即要证明：0>?ε，0>?δ．当M x >时()ε?<'x ．

利用Taylor 公式，0>?h ，

2)(2

1

)()()(h h x x h x ξ????''+'+=+,

即

[]h x h x h x )(2

1)()(1

)(ξ????''--+=

', （3-8） 记)(lim x A x ?+∞

→=，因)(x ?''有界，所以0>?M ，使得

M x ≤'')(?， )0(≥?x

故由（3-8）知

[]h x A A h x h x |)(|2

1)()(1

)(ξ????''+-+-+≤

', (3-9) 0>?ε，首先可取0>h 充分小，使得2

21ε

所以0>?δ，当δ>x 时

[]2

)()(1

ε??<-+-+x A A h x h , 从而由（3-9）式即得：εε

ε

?=+

<

'2

2

)(x ．即

0)(lim ='+∞

→x x ?.

2.2.2泰勒公式在求解极限方面的应用 例6[6]求极限2

cos lim 2x x x π

π

→-

解：

()()200002cos cos sin 2lim lim lim lim 1121!2n n t t t x n t x t t t t n x πππ∞

→→→→=??

+ ???==-=--=-+-

∑

2.3.3应用Taylor 公式求中值点的极限

例 7[7] 设

(1))(x f 在),(00δδ+-x x 内是n 阶连续可微函数，此处0>δ； (2)当)1(,...,3,2-=n k 时，有0)(0)

(=x f k ，但是0)(0)(≠x f n ；

(3)当δ<≠h 0时有

))(()

()(000h h x f h

x f h x f θ+'=-+． (3-10)

其中1)(0<

lim ()h h θ→=

．

证明 要求出)(h θ的极限必须设法解出)(h θ，因此将（3-10）式左边的)(0h x f +及右端的))((0h h x f θ+'在0x 处展开，注意条件(2)，知)1,0(,21∈?θθ使得

()

)(!

)()()(10000h x f n h x f h x f h x f n n θ++'+=+，

))(()!

1())(()())((20)

(1100h h x f n h h x f h h x f n n n θθθθ+-+'=+'--，

于是（3-10）式变为

=++'-)(!)(10)(10h x f n h x f n n θ))(()!

1())(()(20)

(110h h x f n h h x f n n n θθθ+-+'--,

从而

1

20)(10)

())(()

()(-++=n n n h h x nf h x f

h θθθθ,

因)1,0()(,,21∈h θθθ，利用)()

(x f

n 的连续性，由此可得

lim ()h h θ→=

．

这个例子可以作为定理来使用，但前提是要满足条件．以后只要遇到相关的题目就可以简单应用．

2.3 泰勒公式与函数

2.3.1应用泰勒公式研究函数表达式 例8[8]设在内有连续三阶导数，且满足方程：

)()()(h x f h x f h x f θ+'+=+，10<<θ．(θ与h 无关) （2.1）

试证：)(x f 是一次或二次函数．

证明：要证)(x f 是一次或二次函数，就是要证0)(≡''x f 或0)(≡'''x f ．因此要将（2.1）式对h 求导，注意θ与h 无关，我们有

)()()(h x f h h x f h x f θθθ+''++'=+' （2.2）

从而

)()

()()()(h x f h

h x f x f x f h x f θθθ+''=+'-'+'-+' （2.3）

令0→h ，对（2.2）式两边取极限得：)()()(x f x f x f ''=''-''θθ，即

)(2)(x f x f ''=''θ

若2

1

≠

θ，由此知0)(≡''x f ，)(x f 为一次函数； 若2

1

=θ，则（2.2）式变成：)21(21)21()(h x f h h x f h x f +''++'=+'．此式两端同

时对h 求导，减去)(x f ''，除以h ，然后令0→h 取极限，即得0)(≡'''x f ，即)(x f 为二次函数．

实际上在一定条件下证明某函数0)(≡x f 的问题，我们称之为归零问题， 因此上例实际上也是)(x f ''，)(x f '''的归零问题． 2.3.2应用Taylor 公式研究线形插值

例9[9]

（线形插值的误差公式） 设R b a f →],[:为实一元函数，l 为两点))(,(a f a 与

))(,(b f b 所决定的线形函数，即)()()(b f a

b a

x a f a b x b x l --+--=

，l 称为f 在区间],[b a 上的线形插值．

如果f 在区间],[b a 上二阶可导，f 在],[b a 上连续，那么，我们可以对这种插值法带来的误差作出估计．

应用带Lagrange 型余项Taylor 公式：),(x a ∈?ξ，),(b x ∈?η，使得

[][]()()()()()()b x x a

l x f x f a f x f b f x b a b a

---=

-+---

22

11()()()()()()()()22b x x a a x f x a x f b x f x b x f b a b a ξη--????''''''=

-+-+-+-????--????()()()()2b x x a x a b x f f b a b a ξη----??''''=+??--??

()()

()2

b x x a f ζ--''=

.

其中，),(b a ∈ζ，最后一个式子是由于

0>--a b x b ，0>--a

b a

x ． min{(),()}min{(),()}()x a b x

f f f f b a b a

ξηξη--''''''''=+--

()()x a b x

f f b a b a

ξη--''''≤

+-- max{(),()}f f ξη''''≤.

以及Darboux 定理推得．

如果M 为)(x f ''的上界（特别当)(x f ''在],[b a 上连续时，根据最值定理，取

)(max ]

,[x f M b a x ''=∈），则误差估计为

M a b f a x x b x f x l 2

)(|)(|2))(()()(2

-≤''--≤-ζ，],[b a x ∈?

这表明，M 愈小线性插值的逼近效果就会愈好，当M 很小时，曲线)(x f y =的切线改变得不剧烈，这也是符合几何直观的．

2.3.3用泰勒级数研究函数图形局部形态

设R 为任一非空集合，X x ∈0，函数R X f →:在0x 处n 阶可导，且满足条件：

)(0x f ''0)(...)(0)1(0==='''=-x f x f n ，0)(0)(≠x f n ．

（1）n 为偶数，如果)0(0)(0)

(<>x f

n ，则曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的邻近位

于曲线过此点的切线的上（下）方．

（2）n 为奇数，则曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的邻近位于该点切线的两侧，此时称曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处与该点的切线横截相交．

证明：因为f 在x0处n 阶可导，并且)(0x f ''0)(...)(0)

1(0==='''=-x f

x f n ，

0)(0)(≠x f n ，所以f 在x0的开邻域 ),(0δx B 内的n 阶Taylor 公式为

))(()(!

)

())(()()(000)(000n n n x x x x n x f x x x f x f x f -+-+-'+=ο )(0x x →

于是

[]???

???--+-=-'+-n

n n n

x x x x n x f x x x x x f x f x f )())((!

)()())(()()(000)(0000ο 由于

!)()())((!)(lim 0)(000)(0n x f x x x x n x f n n n n x x =?????

?--+→ο 由此可见:存在0>?δ ，),(0δx B X x ∈?，有：[]

))(()()(000x x x f x f x f -'+-与n n x x n x f )(!

)

(00)(-同号．

（1）当n 为偶数，如果0)(0)

(>x f

n ，则

[]0))(()()(000>-'+-x x x f x f x f ，),(0δx B X x ∈?

这就表明在点))(,(00x f x 邻近，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的上方；

如果0)(0)

(

n ，则有

[]0))(()()(000<-'+-x x x f x f x f ，),(0δx B X x ∈?

因此，在点))(,(00x f x 邻近，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的下方．

（2）当n 为奇数，这时若0)(0)

(>x f

n ，则

[])0(0))(()()(000<>-'+-x x x f x f x f ， ),(0δx B X x

+∈?

[])0(0))(()()(000><-'+-x x x f x f x f ， ),(0δx B X x

-∈?

由此知，在0x 的右侧，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的上（下）方；而在0x 的左侧，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的下（上）方．因此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处与该点的切线横截相交．

3.结束语

本文主要介绍了泰勒公式及其八个应用，使我们对泰勒公式有了更深一层的了解，怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识，只要在解题训练中注意分析，研究题设条件及其形式特点，把握上述处理规则，就能比较好的掌握利用泰勒公式解题的技巧。（另外通过这次作业，也懂得了分工合作的必要性，各司其职，相互配合，才能做得更好。）

参考文献

[1]张天德高等数学考研辅导[M] 北京：科学出版，2004

[2]常瑞玲高等数学证明不等式的几种方法[M] 濮阳教育学院学报，2000 13（1）

[3]高等数学（下) [M] 上海交大，集美大学科学出版社

[4]谢黎东.利用中值定理和泰勒公式求函数极限[J].和田师范专科学校学报，2007,02（27）.

[5]张天虹.泰勒公式在解题中的应用[J].考试周刊，2009,51:072.

[6]冯平,石永廷.泰勒公式在求解高等数学问题中的应用[J].新疆职业大学学报,2003（04）：64-66

[7]余力,刘三阳.带皮亚诺型余项的泰勒公式及其应用[J].高等数学研究,2003（03）:15-1

[8]华东师范大学数学系数学分析[M].高等教育出版社，1991.

[9]张天虹.泰勒公式在解题中的应用[J].考试周刊，2009,51:072.

[M]表示参考的是书

[J] 表示参考的是杂志上的论文

泰勒公式的应用精选

泰勒公式及其应用 摘要

文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在最优化理论领域的应用，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用，并用简单的算例加以说明。 关键词：泰勒公式，最优化理论，应用

一、泰勒公式 1.1 一元泰勒公式 若函数)(x f 在含有x 的开区间),(b a 内有直到1+n 阶的导数，则当函数在此区间内时，可展开为一个关于)(0x x -的多项式和一个余项的和： 1 0)1(00)(200000)()! 1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中=)(x R n 10)1()()! 1()(++-+n n x x n f ξ ξ在x 和0x 之间的一个数，该余项)(x R n 为拉格朗日余项。 1.1.1 泰勒公式的推导过程 我们知道α+-'+=))(()()(000x x x f x f x f ，其在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式： n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+= 来近似表达函数)(x f ； 设多项式)(x p 满足)()()()(),()(0)(0)(0000x f x p x f x p x f x p n n ='='= 因此可以得出n a a a 10,.显然，00)(a x p =，所以)(00x f a =；10)(a x p ='，所以 )(01x f a '=；20!2)(a x p =''，所以 ! 2)(02x f a ''=n n a n x p !)(0)(=，所以有!)(0)(n x f a n n = 所以，n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(! )()(!2)())(()()(00)(200000-++-''+-'+= 1.1.2 泰勒公式余项的证明 我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项（拉格朗日余项）： 设)()()(x p x f x R n -= 于是有0)()()(000=-=x p x f x R n 所以有0)()()()(0)(000===''='=x R x R x R x R n n n n n 根据柯西中值定理可得： n n n n n n n x n R x x x R x R x x x R ))(1()(0)()()()()(011)1(00)1(0-+'=---=-++ξξ 1ξ是在x 和0x 之间的一个数； 对上式再次使用柯西中值定理，可得：

泰勒公式及其应用

泰勒公式及其应用 数学学院数学与应用数学专业 2009级杨立 指导教师吴春 摘要:泰勒公式以一种逼近的思想成为数学分析中的一个重要知识，在分析和研究数学问题中有着重要的作用。本文研究了利用泰勒公式证明微分中值定理，求函数的极限，进行近似计算，求函数的高阶导数和偏导数等方面的应用，恰当的运用泰勒公式能够给我们的解题带来极大的方便。 关键词：泰勒公式；微分中值定理；极限；高阶导数；偏导数 Abstract:Taylor formula is an important knowledge of mathematics analysis in an approximation of the thought, and it plays an important role in the analysis and study of mathematical problems. This paper studies the application of the Taylor formula in proving differential mean value theorem, the limit of function, approximate calculation, the application of high order derivative for function and partial derivative, and using Taylor formula appropriate can bring great convenience to our problem. Keywords:Taylor formula; approximate calculation; limit; higher derivative; partial derivative 引言 泰勒公式最早是以泰勒级数的形式出现在泰勒1715年出版的著作《增量及其逆》中，但在该书中却没有给出具体的证明，直到19世纪由柯西给出了现在的形式及其严格的证明。泰勒公式是一种逼近的思想，集中体现了逼近法的精髓，可以将有理分式函数﹑无理函数和初等超越函数等复杂函数用简单的多项

《泰勒公式及其应用》的开题报告.doc

《泰勒公式及其应用》的开题报告 《泰勒公式的验证及其应用》的 关键词：泰勒公式的验证数学开题报告范文中国开题报告 1．本课题的目的及研究意义 目的：泰勒公式集中体现了微积分、逼近法的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。泰勒公式是非常重要的数学工具，现对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。 研究意义：在初等函数中，多项式是最简单的函数，因为多项式函数的的运算只有加、减、乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数以一种“逼近”的思想，用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。对泰勒公式的研究就是为了解决上述问题的。 2．本课题的研究现状 数学计算中泰勒公式有广泛的应用，需要选取点将原式进行泰勒展开，如何选取使得泰勒展开后，计算的结果在误差允许的范围内，并且使计算尽量简单、明了。泰勒公式是一元微积分的一个重要内容，不仅在理论上有重要的地位，而且在近似计算、极限计算、函数性质的研究方面也有重要的应用。对于泰勒公式在高等代数中的应用，还在研究中。 3．本课题的研究内容 对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极

限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。 本课题将从以下几个方面展开研究： 一、介绍泰勒公式及其证明方法 二、利用泰勒公式求极限、证明不等式、判断级数的敛散性、证明根的唯一存在性、判断函数的极值、求初等函数的幂级数展开式、进行近似计算、求高阶导数在某些点的数值、求行列式的值。 三、结论。 4．本课题的实行方案、进度及预期效果 实行方案： 1.对泰勒公式的证明方法进行归纳； 2.灵活运用公式来解决极限、级数敛散性等问题； 3.研究实际数学问题中有关泰勒公式应用题目，寻求解决问题的途径。 实行进度： 研究时间为第8 学期，研究周期为9周。 1．前期准备阶段： 收集有关信息进行分析、归类，筛选有价值的信息，确定研究主题；制定课题计划，学习理论。 2．研究阶段：2010年12月— 2011 年4 月 3．第一阶段：初期（2010年12月1日- 2011年3月15 日） 第二阶段：中期（2011年3月16 日- 2011年4月15日）第三阶段：结题（2011年4月16日- 2011年4月30日）

泰勒公式的证明及应用 开题报告

题目泰勒公式的证明及推广应用 一、选题背景和意义 在初等函数中，多项式是最简单的函数。因为多项式函数的运算只有加、减、 乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。 通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是高等数学中的重要内容，在各个 领域有着广泛的应用，例如在函数值估测及近似计算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明，求函数在某点的高阶导数值等方面。 除此以外，泰勒公式及泰勒级数的应用，往往能峰回路转，使问题变得简单易解。 二、国内外研究现状、发展动态 本人以1999—2010十一年为时间范围，以“泰勒公式”、“泰勒公式的应用”为关键词，在中国知网以及万方数据等数据库中共搜索到30余篇文章，发现国内外对泰勒公式的其研究进展主要分配在以下领域： 一、带不同型余项泰勒公式的证明； 二、泰勒公式的应用举例。 三、研究内容及可行性分析 在高等数学中，泰勒公式占有重要的地位，并以各种形式出现而贯穿全部内容，因此掌握好泰勒公式是学习高等数学的关键一环。本论文将主要研究泰勒公式的证明及其在其他方面的应用。 本文将通过对泰勒公式的探讨，给出了泰勒公式在其它方面的应用，,显现出泰勒公式的应用之广泛。希望其研究结果在求极限等问题时可以提供一些方法的参考，也同时能给相关学科研究人员在解决比较复杂的不定式极限问题时能有一定的思路指导。 接下来我将分两方面的应用来阐述本次论文的主要内容。 一、带不同型余项泰勒公式的证明： 本次证明将涉及到三种不同余项的泰勒公式的证明，即： 1.带皮亚诺余项的泰勒公式； 2.带拉格朗日余项的泰勒公式； 3.带积分型余项的泰勒公式； 二、泰勒公式的应用： 本次论文将涉及到泰勒公式在以下七个方面的应用： 1、泰勒公式在极限计算中的应用； 在函数极限运算中,不定式极限的计算始终为我们所注意,因为这是比较困难的一类问题。计算不定式极限我们常常使用洛必达法则或者洛必达法则与等价无穷小结合使用。但对于有些未定式极限问题若采用泰勒公式求解,会更简单明了。我将在论文中就例题进行探讨。 2、泰勒公式在判定级数及广义积分敛散性中的应用；

泰勒公式及其应用

目录 摘要 (1) 英文摘要 (2) 第一章绪论 (3) 第二章泰勒公式 (5) 1.1泰勒公式的意义 (5) 1.2泰勒公式余项的类型 (5) 1.3泰勒公式 (6) 第三章泰勒公式的实际应用 (7) 2.1利用泰勒公式求极限 (7) 2.2利用泰勒公式进行近似计算 (8) 2.3在不等式证明中的应用 (9) 2.4泰勒公式在外推上的应用 (10) 2.5求曲线的渐近线方程 (11) 2.6泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用 (13) 2.7在广义积分敛散性中的应用 (14) 2.8泰勒公式在关于界的估计 (15) 2.9泰勒公式展开的唯一性问题 (15) 结束语 (16) 致谢 (17) 参考文献 (18)

第一章 绪论 近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式 ()20000000()()()()()()()(),1!2!! n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++- 称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即 ()200000000()()()()()()()()(()).2!! n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+- 称为泰勒公式. 众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证

泰勒公式及其在解题中的应用

本科生毕业设计（论文） （ 2014届） 设计（论文）题目泰勒公式及其在解题中应用 作者周立泉 分院理工分院用数学1001班 指导教师（职称）徐华（讲师） 专业班级数学与应用数学） 论文字数 8000 论文完成时间 2014年4月3日 杭州师范大学钱江学院教学部制

泰勒公式及其在解题中应用 数学与应用数学1001班周立泉指导教师徐华 摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它的基础思想是运用多项式来逼近一个已知函数，而该多项式的系数由给定的函数的各阶导数决定．本文主要归纳了其在证明不等式、等式，求极限，求近似值等各方面的应用． 关键词：泰勒公式;数学分析;导数 Taylor Formula and Its Application in Solving Problem Mathematics and Applied Mathematics class 1001 ZhouLiQuan Instructor: XuHua Abstract：Taylor's formula is an important equation of mathematical analysis, it is the basic idea is to use polynomial approximation to a known function, and the polynomial coefficients given by the derivatives of the function determined. This paper describes the method to prove the Taylor formula,summarized in inequalities, find the limit,the approximate value and the other applications. Keyword:Taylor's formula;Mathematical analysis; derivative.

浅谈泰勒公式及其应用

浅谈泰勒公式及其应用 摘要：大学泰勒公式在数学分析中是极其重要的公式，并且在经济领域中也占有一席之地。泰勒公式是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，在近似计算上有着独特的优势，在微积分的各个方面有着重要的应用。本文主要对泰勒公式在求极限、估计误差、证明求解积分、经济学计算等几个方面的应用给予举例说明进行研究。 关键词：泰勒公式 求极限 不等式 行列式 泰勒公式的应用 1、利用泰勒公式求极限 对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具。利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项。当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限。 例1 求2 2 4 0cos lim x x x e x - →- 分析：此题分母为4 x ，如果用洛比达法则，需连用4次，比较麻烦.而用带佩亚诺余项的泰勒公式解求较简单。 解： 因为 2 211()2! x e x x o x =++ + 将x 换成2 2 x -有 222222 2 11()()(())22!22 x x x x e o - =+-+-+- 又 24 4cos 1()2!4! x x x o x =-++ 所以 24442 111 cos ( )()()2484 x x e x o x o x --=-+-

4 41()12 x o x =- + 故 24 42 4 41() cos 1 12lim lim 12 x x x x o x x e x x - →∞→∞- +-==- 例2 求极限2 2 40cos lim sin x x x e x -→- 解： 因为分母的次数为4，所以只要把cos x ，2 2 x e -展开到x 的4次幂即可。 24 411cos 1()2!4! x x x o x =-++ 2222 42 11()()22!2 x x x e o x -=-+-+ 故 22 40cos lim sin x x x e x -→- 4 44011( )() 4!8lim x x o x x →-+= 1 12 =- 带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单。 例4 2 128 x x ≈+- []0,1x ∈ 的绝对误差。 解： 设( )f x =,则因为 ()01f = ()()1 2112f x x - '=+ ()102 f '= ()()3 2114f x x - ''=-+ ()104 f ''=- ()()5 2318 f x x - '''=+ 所以 ( )f x =带有拉格朗日型余项的二阶麦克劳林公式为：

开题报告浅谈泰勒公式及其应用

附件 7 论文（设计）管理表一 昌吉学院本科毕业论文（设计）开题报告 论文（设计）题目 浅谈泰勒公式及其应用 系（院） 数学系 专业班级 数学与应用数学 B1002 学科 理学 学生 姓名 马尚红 指导教师 姓名 马园媛 学号 1025809043 职称 讲师 一、选题的根据 （ 1、内容包括：选题的来源及意义，国内外研究状况，本选题的研究目标、内容创新点及主 要参考文献等。 2、撰写要求： 宋体、小四号 。） 1. 选题的来源及意义 泰勒公式是数学分析中非常重要的内容， 是一个用函数在某点的信息描述其附近 取值的公式。如果函数足够光滑的话， 在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下， 泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中值。 泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。 泰勒公式的初 衷是用多项 式来近似表示函数在某点周围的情况。比如说，指数函数 e x 在x 0的 附近可以用以 2 3 n 下多项式来近似地表示： e x 1 x x x x 称为指数函数在 0处的 n 阶泰勒 2! 3! n! 展开公式。这个公式只对 0附近的 x 有用， x 离 0越远，这个公式就越不准确。实际 函数值和多项式的偏差称为泰勒公式的余项。对于一般的函数，泰勒公式的系数的选 择依赖于函数在一点的各阶导数值，这个想法的原由可以由微分的定义开始。微分是 函数在一点附近的最佳线性近似： f a h f a f ' a h o h ，其中 o h 是比 h 高 阶 的无穷小。 也就是说 f a h f a f ' a h,或 f x f a f ' a x a .注意到 f x 和 f ' a x a 在a 处的零阶导数和 一阶导数都相同。对足够光滑的函数，如果一个 多 项式在 a 处的前 n 次导数值都与函数在 a 处的前 n 次导数值重合，那么这个多项 式应 该能很好地近似描述函数在 a 附近的情况。对于多元函数，也有类似的泰勒公式。设 a,r 是欧几里得空间 RN 中的开球， f 是定义在 a,r 的闭包上的实值函数，并在 每一点都存在所有的 n 1次偏导数。这时的泰勒公式为：对所有， f x 1 f a x a x x a ，其中的 是多重指标 0 ! x n 1 泰勒公式也是大学数学中的一个重要知识， 由此本文将总结几种泰勒公式的证明 及其应用。其泰勒公式在近似计算，求极限，判断函数凸凹性等方面的应用，除此之 外，它还可应用于行列式，证明不等式，判断无穷级数、无穷积分的收敛性，求函数 导数的中值估计、求曲面的渐进线方程，高阶求导等等。 2. 国内外研究状况 其中的余项也满足不等式：对所有 n 1的 满足 x

泰勒公式及其应用

目录 摘要 (1) 英文摘要 (2) 第一章绪论 (3) 第二章泰勒公式 (5) 1.1泰勒公式的意义 (5) 1.2泰勒公式余项的类型 (5) 1.3泰勒公式 (6) 第三章泰勒公式的实际应用 (7) 2.1利用泰勒公式求极限 (7) 2.2利用泰勒公式进行近似计算 (8) 2.3在不等式证明中的应用 (9) 2.4泰勒公式在外推上的应用 (10) 2.5求曲线的渐近线方程 (11) 2.6泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用 (13) 2.7在广义积分敛散性中的应用 (14) 2.8泰勒公式在关于界的估计 (15) 2.9泰勒公式展开的唯一性问题 (15) 结束语 (16) 致谢 (17) 参考文献 (18)

泰勒公式及其应用 （河南城建学院数理系河南平顶山 467044） 摘要 泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，它是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具, 它的用途很广泛.本文详细介绍泰勒公式及其应用在数学领域上的几个应用作论述.文章除了对泰勒公式在常用的近似计算、求极限、不等式的证明、外推和求曲线的渐近线方程上作解求证明外，特别地，泰勒公式还对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的应用、界的估计和展开的唯一性问题这4个领域的应用做详细的介绍. 关键词泰勒公式佩亚诺余项拉格朗日余项

Abstract Taylor’s formula is the mathematical analysis of the important part, it has become a research function theory method and estimat-ed error limit of the indispensable tools such as a concentrated exp -ression of the calculus, “approximation” of the essence, which is the value of the Calculus theorem is also of high order derivative function of an important tool for state, its use is very wide. This paper introduces the Taylor formula and its applications in mathema -tics for discussion on several applications. In addition to Taylor’s article in the commonly used approximation formula, find the limit, Inequality, extrapolation, demand curve equation and determine the asymptotic line on the Convergence of Solutions of applications as shown, in particular, the Taylor formula also Convexity and the in flection point of the function to judge, Generalized Integral Converg -ence application, industry estimates and launched the only problem the application of these four areas a detailed introduction. Keywords：Taylor formula，Peano remainder，Lagrange Remainder

泰勒公式的应用

泰勒公式及其应用

摘要 文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在最优化理论领域的应用，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用，并用简单的算例加以说明。 关键词：泰勒公式，最优化理论，应用

一、泰勒公式 1.1 一元泰勒公式 若函数)(x f 在含有x 的开区间),(b a 内有直到1+n 阶的导数，则当函数在此区间内时，可展开为一个关于)(0x x -的多项式和一个余项的和： 1 0)1(00)(200000)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中=)(x R n 10)1()()!1() (++-+n n x x n f ξ ξ在x 和0x 之间的一个数， 该余项)(x R n 为拉格朗日余项。 1.1.1 泰勒公式的推导过程 我们知道α+-'+=))(()()(000x x x f x f x f ，其在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式： n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+= 来近似表达函数)(x f ； 设多项式)(x p 满足)()()()(),()(0)(0)(0000x f x p x f x p x f x p n n ='='= 因此可以得出n a a a 10,.显然，00)(a x p =，所以)(00x f a =；10)(a x p ='，所以 )(01x f a '=；20!2)(a x p =''，所以 !2)(02x f a ''= n n a n x p !)(0) (=，所以有! )(0)(n x f a n n = 所以，n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(! )()(!2)())(()()(00)(2 00000-++-''+ -'+= 1.1.2 泰勒公式余项的证明 我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项（拉格朗日余项）： 设)()()(x p x f x R n -= 于是有0)()()(000=-=x p x f x R n 所以有0)()()()(0) (000===''='=x R x R x R x R n n n n n 根据柯西中值定理可得： n n n n n n n x n R x x x R x R x x x R ))(1()(0)()()()()(011)1(00)1(0-+'=---=-++ξξ 1ξ是在x 和0x 之间的一个数； 对上式再次使用柯西中值定理，可得：

泰勒公式及其应用

泰勒公式及其应用 [摘 要] 文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式,针对泰勒公式的应用讨论了九个问题， 即应用泰勒公式求极限，证明不等式，判断级数的敛散性，证明根的唯一存在性,判断函数的极值,求初等函数的幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值,求行列式的值. [关键词] 泰勒公式；极限；不等式；敛散性；根的唯一存在性；极值;展开式;近似计算;行列式. １ 引言 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２ 预备知识 定义2.1]1[ 若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有 '''200000()() ()()()()1!2! f x f x f x f x x x x x =+-+-+ ()000() ()(())! n n n f x x x o x x n +-+- （1） 这里))((0n x x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式. 当0x =0时,（1）式变成)(! )0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n n n x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式 为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.

定义2.2]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则 ''()' 2 0000000()()()()()()()...()()2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+ , （2）这里 ()n R x 为拉格朗日余项(1)10() ()()(1)! n n n f R x x x n ξ++=++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒 公式. 当0x =0时,（2）式变成''()' 2(0)(0)()(0)(0)...()2!! n n n f f f x f f x x x R x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式. 常见函数的展开式： 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ . )()! 12()1(!5!3sin 221 253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)! n n n x x x x x o x n =-+-++-+ . )(1 )1(32)1ln(11 32++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x . )(111 2n n x o x x x x +++++=- +-+ +=+2 ! 2)1(1)1(x m m mx x m . 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得

(完整版)泰勒公式及其应用(数学考研)

第2章 预备知识 前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的． 给定一个函数)(x f 在点0x 处可微，则有： )()()()(000x x x f x f x x f ?+?'+=?+ο 这样当1<

泰勒公式及其应用论

本科毕业论文(设计) 论文题目：泰勒公式及其应用 学生姓名： 学号： 专业：数学与应用数学 班级： 指导教师： 完成日期：2012年 5月20日

泰勒公式及其应用 内容摘要 本文介绍泰勒公式及其应用，分为两大部分：第一部分介绍了泰勒公式的相关基础知识，包括带Lagrange余项、带Peano余项两类不同泰勒公式；第二部分通过详细的例题介绍了泰勒公式在八个方面的应用. 通过本文的阅读，可以提高对泰勒公式及其应用的认识，明确其在解题中的作用，为我们以后更好的应用它解决实际问题打好坚实的基础. 关键词：泰勒公式 Lagrange余项 Peano余项应用

The Taylor Formula and The Application Of Taylor Formula Abstract This paper focuses on Taylor formula and the application of Taylor formula. It has two parts. The first part of this paper introduces the basic knowledge of the Taylor formula,Including Taylor formula with Lagrange residual term and with Peano residual term. With the detailed examples,The second part introduces eight applications of Taylor formula. By reading this paper,you can build a preliminary understanding of Taylor formula,define the function in problem solving ,in the later application that can be a good reference. Key Words:Taylor formula Lagrange residual term Peano residual term application

泰勒公式及其应用典型例题

泰勒公式及其应用 常用近似公式，将复杂函数用简单的一次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当较大时），从下图可看出。 上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进： 1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。 2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“心中不安”。 将上述两个想法作进一步地数学化： 对复杂函数，想找多项式来近似表示它。自然地，我们希望尽可能多地反映出函数所具有的性态——如：在某点处的值与导数值；我们还关心的形式如何确定；近似所产生的误差。 【问题一】 设在含的开区间内具有直到阶的导数，能否找出一个关于的次多项式

近似? 【问题二】 若问题一的解存在，其误差的表达式是什么? 一、【求解问题一】 问题一的求解就是确定多项式的系数。 …………… 上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出：

于是，所求的多项式为： (2) 二、【解决问题二】 泰勒(Tayler)中值定理 若函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数，则当时，可以表示成 这里是与之间的某个值。 先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路：

这表明： 只要对函数及在与之间反复使用次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。 【证明】 以与为端点的区间或记为，。 函数在上具有直至阶的导数， 且 函数在上有直至阶的非零导数， 且 于是，对函数及在上反复使用次柯西中值定理，有

三、几个概念 1、 此式称为函数按的幂次展开到阶的泰勒公式； 或者称之为函数在点处的阶泰勒展开式。 当时，泰勒公式变为 这正是拉格朗日中值定理的形式。因此，我们也称泰勒公式中的余项。 为拉格朗日余项。 2、对固定的，若 有

中期报告：泰勒公式的几种应用论文

数学与统计学学院 中期报告 学院: 数学与统计学学院 专业: 信息与计算科学年级:2009 题目:泰勒公式的几种用法 学生姓名学号: 指导教师姓名:俞诗秋职称:副教授 2011年6月10日 目录 摘要 (1) Abstract (2)

引言 ........................................................................ 2 1 利用泰勒公式进行化简计算 ................................................. 3 1.1 泰勒公式在近似计算上的应用 ........................................... 3 1.2 泰勒公式在求极限上的应用 ............................................. 3 1.3 泰勒公式在求解同余式上的应用 ......................................... 4 2 泰勒公式在构造母函数)(x G 上的应用........................................ 6 3 泰勒公式在求解线性空间极大无关组上的应用 ................................. 6 结论 ........................................................................ 7 参考文献 (8) 泰勒公式的几种应用 摘要：若函数)(x f 在],[b a 上存在直至n 阶的连续导函数，在),(b a 内存在)1(+n 阶的导函数则对 于任意给定的0,x x ],[b a ∈至少存在一点ξ),(b a ∈使得： n n x x n x f x x x f x f x f )(!)())(()()(00)(00' 0-++-+= +10)1()()! 1()(++-+n n x x n f ξ[1]，

关于泰勒公式的论文

泰勒公式及其应用 臧树霞 摘要：泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和 估计误差等方面的不可或缺的工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，它是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具, 它的用途很广泛.本文详细介绍泰勒公式及其应用在数学领域几个应用作论述。文章除了对泰勒公式在常用的近似计算、求极限、不等式的证明、行列式的计算、求高阶导数在某点的数值、根的唯一存在性的证明、判断函数的极值外，特别的，泰勒公式还对函数凹凸性及拐点判断的应用做详细的介绍。 关键词：泰勒公式；佩亚诺余项；拉格朗日余项 Taylor’s Formula and its Application Zhang shu-xia Abstract：Taylor’s formula is the mathematical analysis of the important part, it has become a research function theory method and estimated error limit of the indispensable tools such as a concentrated expression of the calculus, “approximation” of the essence, which is the value of the Calculus theorem is also of high order derivative function of an important tool for state, its use is very wide. This paper introduces the Taylor formula and its applications in mathematics for discussion on several applications. Article in addition to the common Taylor formula for approximate calculation, limit, inequality, the determinant calculation, high derivatives at come point the only numerical, root the existence of proof, judging function outside the extremum, special, Taylor formula also for function convexity and application of inflexion point judge detail. Keyword:Taylor formula, Peano remainder, Lagrange remainder

带佩亚诺型余项的泰勒公式的应用毕业论文

题 目：带佩亚诺型余项的泰勒公式的应用 院（系）专业： 数学系（数学与应用数学） 学生姓名: 段 国 珍 学 号： 2003701146 导师（职称）： 杨慧章 (助教) 日 期： 2007年6月 毕业生毕业论文（设计）

摘要 带佩亚诺型余项的泰勒公式，尽管佩亚诺型余项只是给出了其误差的定性描述，无法进行定量的计算，但它在求极限、估计无穷小量的阶、判定敛散性、计算函数的极值和拐点及求高阶导数中起着重要作用。本文将介绍其应用技巧。 关键词：泰勒公式；佩亚诺型余项；应用技巧

Abstract The Taylor formula with Peano remainder term only give the qualitative description other than quantitative description about the Peano remainder term.However,it is very important in the calculation of the limits and limit value of functions, the estimation of the order about the infinitesimal of higher order,the judgement of the convergence of functions ,and so on.In this paper,we will mainly introduce its application skills. Key words : Taylor formula；Peano remainder term；Skills