特殊值法解数学题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
用特殊值法解题
湖北省公安县斑竹当中学雷学池
特殊值法是用满足条件的特殊值（式）代入题目去验证、计算，从而得到正确结论的一种方法．特殊值法在解题中有下列应用．
1．解选择题：
例1 若a＞b＞c＞0，m＞n＞0．（m、n为数），则下列各式中成立的是[ ]
A．a m b n＞b n c m＞c n a m B．a m b n＞c n a m＞b n c m
C．c n a m＞a m b n＞b n c m D．b n c m＞c n a m＞a m b n
解∵a＞b＞c＞0．m＞n＞0（m、n为整数）取特殊值，a=3，b=2，c=1，m=2，n=1得
a m
b n=32×21=18
b n
c m=21×12=2
c n a m=11×32＝9
∴a m b n＞c n a m＞b n c m
故选B．
2．确定多项式的系数
例2已知当x是任何实数时，x2-2x+5＝a（x+1）2＋b（x＋1）＋c都成立，求a、b、c的值．
解用特殊值法．
当x=-1时，原式为8=c①
当x=0时，原式为5=a＋b＋c②
当x=1时，原式为4=4a+2b＋c③
由①、②、③可知a=1，b=-4，c=8．
3．判断命题的真假
例3 判断命题“式子a2＋（a＋1）2＋a2（a＋1）2=（a2＋a-1）2是恒等式”的真假．
解取特殊值，当a=1时，原式左边为9，右边为1，因为9≠1，故原命题是假命题．
4．解证定值问题
例4 若a、b为定值，且无论k取何值时，关于x的一次方程
由①、②可得a=3，b=-2．
练习用特殊值法解下列各题：
2．命题“式子x3＋9=（x＋2）3-6（x＋2）2+12（x+2）是恒等式”是真命题，对吗？
值，求a、b应满足的关系式．并求出这个定值．
4．已知 a＋ b＋ c≠ 0，求证：不论a、b、c取何实数时，三
答案
2．取x=0，左边为9，右边为8，9≠8．故不对．
式得
质证明．
巧取特殊值解选择题
山东省茌平县傅平镇中学初三·一班鲁傅
我在解某些选择题时，采用了取特殊值法，使问题简捷，迅速地获得解决，如下面几例．
例1 已知a、b、c都是实数，且a＞b＞c，那么下列式子中正确的是[ ]
（98年全国初中数学联赛）
解：∵a＞b＞c，
∴可取a=1，b=0，c=-1代入各选择支，只有a+b=1＞b＋c=-1成立．故选（B）．
例2 设a、b、c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc，y=b2-ca，z=c2-ab，则x、y、z[ ]
A．都不小于0B．都不大于0
C．至少有一个小于0D．至少有一个大于0
（94年全国初中数学联赛题）解：若令a=0，b=1，c=-1，则x=y=z=1，故可排除（B）、（C）；
再令a=0，b=c=1，则x=-1，y=z=1，又可排除（A）．故选（D）．
（94年全国初中数学联赛题）
则[ ]
A．M＜Q＜P＜N B．M＜P＜Q＜N
C．Q＜N＜P＜M D．N＜Q＜P＜M
（第六届全国部分省市初中数学通讯赛试题）解：∵ x＜y＜0，
∴可取x=-2，y=-1并代入上式，则
例5 如果a、b均为有理数，且b＜0，则a、a-b，a＋b的大小关系是[ ] A．a＜a+b＜a-b B．a＜a-b＜a+b
C．a＋b＜a＜a-b D．a-b＜a＋b＜a
（95年“希望杯”全国数学邀请赛初一试题）解：∵a、b均为有理数，且b＜0，
∴可取a=1，b=-1并代入上式，得
a-b＝1-（-1）＝2，a＋b=1＋（-1）=0．∵0＜1＜2，∴a+b＜a＜a-b．故选（C）．
例6二次函数y=ax2＋bx＋c的图象经过点（-2，1）和（2，3），且与y 轴的交点为P，若P点的纵坐标是小于1的正数，则a的取值范围是[ ]
（94年山东省初中数学竞赛题）
专题一初中数学（特殊值法） (1)题目中没有出现具体的数据，只有倍数关系 （猜）（初一）1．一个圆柱的底面半径比一个圆锥的底面半径多3倍，高是原来的1/4，则这个圆柱的体积是原来圆柱体积的（） A、3/4 B、27/4倍 C、12倍 D、4/3倍 （猜）（初三）2.AB=2/3AH，AG=2/3AM，三角形ACF的面积是四边形CIKE的（） （猜）（初三）3.圆O被A,B,C,D,E,F,G,H八等分，求 ①∠BEC=（）度 ②与线段AB相等的线段有（）条（不包括自己） ③BC( )1/2CE (填等于大于小于) ④八边形ABCDEFGH是圆O面积的（） （初二）4. 已知关于x的一次函数y=ax-a+1和y=(a-1)x-a+2，它们的图象交点是。 （初一）5.若a<-2，则3-│3-│a-3││化简的结果是（）
A、3-a B、3+a C、-3-a D、a-3 （初一）6.当m＜0时，m与m的大小关系为（） A、m＞m B、m＜m C、m=m D、无法确定 ★（初二）7. （初一）8.已知有理数a、b满足a＞b，则下列式子正确的是（） A．-a＜b B. a＞-b C. -a＜-b D. -a＞-b ★（初三）9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点（－2，0），（，0），且。与y轴的正半轴的交点在点（0，2）的下方，则下列结论①a＜b＜0；②2a＋c＞0；③4a＋c＜0；④2a－b＋1＞0中正确的是。（写出序号） （初二）10．若a、b满足，则的值为。 ★（初三）11. （初一）12.若x＞0，y＜0，且│x│＜│y│，则x+y 0。 若x<0 ，y<0，且│x│＞│y│，则x+y 0 。 ★（初二）13. A、a、b、c都不小于0 B、a、b、c都不大于0 C、a、b、c至少一个小于0 D、a、b、c至少一个大于0
第83炼 特殊值法解决二项式展开系数问题 一、基础知识： 1、含变量的恒等式：是指无论变量在已知范围内取何值，均可使等式成立。所以通常可对变量赋予特殊值得到一些特殊的等式或性质 2、二项式展开式与原二项式呈恒等关系，所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数（或二项式系数）的等式 3、常用赋值举例： （1）设()011 222 n n n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=+++ +++， ①令1a b ==，可得：01 2n n n n n C C C =++ + ②令1,1a b ==-，可得： ()0123 01n n n n n n n C C C C C =-+-+-，即： 0213 1 n n n n n n n n C C C C C C -+++=+++（假设n 为偶数），再结合①可得： 0213112n n n n n n n n n C C C C C C --++ +=++ += （2）设()()2 01221n n n f x x a a x a x a x =+=+++ + ① 令1x =，则有：()()0122111n n a a a a f +++ +=?+=，即展开式系数和 ② 令0x =，则有：()()02010n a f =?+=，即常数项 ③ 令1x =-，设n 为偶数，则有：()()01231211n n a a a a a f -+-++=-?+=- ()()()021311n n a a a a a a f -?+++-+++=-， 即偶次项系数和与奇次项系数和的差 由①③即可求出()02n a a a +++和()131n a a a -+++的值 二、典型例题： 例1：已知()8 2 8012831x a a x a x a x -=+++ +，则1357a a a a +++的值为________ 思路：观察发现展开式中奇数项对应的x 指数幂为奇数，所以考虑令1,1x x ==-，则偶数项相同，奇数项相反，两式相减即可得到1357a a a a +++的值 解：令1x =可得：8 0182a a a =++ + ①
中考基本题型与解法――选择题 选择题是常见的一种客观性试题，它的评判客观、迅速。选择题内容广泛，能在短时间内回答大量题目。有关于物理概念、规律的；有运用物理方法、能力的；也有物理实验的，等等。考试采用选择题可增大试卷容量，广范覆盖知识点。考试中需要考生能准确地理解物理概念和规律，思维敏捷，才能取得好成绩。因此，它是中考的一类基本题型。 选择题按照正确答案的个数可分为；单一选择题和多重选择题。单一选择题只有一个答案是正确的；多重选择题可以有多个答案是正确的。 解答选择题和解其它题一样，都要求仔细审题，弄清题目中所说的物理现象或物理过程，分析已知量和未知量之间的关系，选用合适的方法、规律进行求解。同时，要充分利用选择题提供的选项，运用一些逻辑比较、鉴别、推理、判断的方法，就能达到快速解题的目的。 选择题的解题方法很多，可分为一般解题方法和特殊解题方法。一般的解题方法是基础，必须熟悉和掌握它。特殊解题方法很多，是充分利用选择题的特点，灵活运用物理、数学、逻辑的知识和方法得到的，要熟练应用它们，注意在练习中归纳总结。下面对选择题的一般解法进行分析。 1．直接判断法 这种解题方法直接运用基本概念、基本规律，对备选项中的答案进行判断。选项常以物理学史、物理单位、物理观象、物理结论等内容为主，对应的题型多数是识记型选择题。 【例1】下列关于机械效率的说法正确的是 [ ] A．机械效率高的机械省力 B．机械效率低的机械，有用功在总功中占的比例小 C．机械效率高的机械，有用功做得多 D．机械效率可以高达100% 【分析】机械在做功时，不可避免地要做一些无用的额外功，因此有用功与额外功合在一起为总功。机械效率反映了机械性能的好坏，是指有用功与总功的比值。 机械效率高的机械不一定是省力机械，例如用定滑轮也可以提升重物，所以A 不正确；机械效率也不能只看有用功做得多少，要看有用功在总功中所占的比例，C 不正确；理想机械可认为没有额外功，机械效率为100%，而实际机械的机械效率均小于1，D也不正确；机械效率低是指，有用功在总功中占的比例小，那么，直接判断B是正确的。 【解答】B 对应练习： 1、目前光污染越来越严重，白亮污染是较普遍的一类光污染，建筑物的玻璃幕墙、釉面砖墙、磨光大理石和各种涂料，都能造成白亮污染。形成白亮污染的主要原因是由于（） A、光的反射 B、光的折射 C、光具有能量 D、光沿直线传播 2、假如一切物体间的摩擦力突然消失．我们的生活将会怎样?某同学对此做了下列猜想，其中不可能发生的是 ( ) A、静止在水平路面上的车无法开动 B、我们将无法写字，因为笔会从手中滑下 C、沿铁轨方向的风能把火车吹动 D、马会很容易的拉车前进 3、电源电压为6伏，闭合开关S，当灯泡L 1 和L 2 其中一个出现短路或断路时，电压表V的示数可能出现变化的情况，下列判断正确的是（） A、L 1 断路时，V的示数为6伏，L 2 断路时，V示数为0 B、L 1 短路时，V示数为0，L 2 断路时，V的示数为6伏 C、L 1 断路时，V的示数为0， L 2 短路时，V的示数为6伏 D、L 1 短路时，V的示数为6伏， L 2 短路时，V的示数为0 4、一滴雨滴从足够高的空中落下，若所受空气阻力与速度的平方成正比，则该雨滴在下落过程中，下列说法正确的是：（） A、重力势能减少，动能增加 B、重力势能减少，动能不变 C、重力势能不断减少，动能先增加，后保持不变 D、重力势能不断减少，动能先增加，后不断减少 5、在力F=10N作用下物体以2m/s的速度在水平桌面上做匀速直线运动，若将速度增加到4m/s，仍在桌面上做匀速直线运动，此时受摩擦力大小为（不计空气阻力）： A、等于10N B、大于10N C、小于10N D、等于20N 6、若所有导体的电阻都消失时，当电器通电时，说法正确的：（） A、白炽灯仍然能发光 B、电动机仍然能转动 C、电饭锅仍然能煮饭 D、电熨斗仍然能熨衣服 7、“跳远”是一项常见的体育运动。跳远运动员在比赛中都是先助跑一段距离后才起跳，这样做 A.增大了跑远运动员的惯性 B.减小了跳远运动员的惯性 C.增大了跳远运动员的动能 D.减小了跳远运动员的动能 8、如图所示，一个大口的厚玻璃瓶内装有少量的水，用塞子塞紧，通过塞子的孔往瓶内打气到一定的时候瓶塞会跳起，下列分析正确的是[ ] Ａ．当瓶塞跳起后，瓶内空气体积变大压强变大 Ｂ．瓶塞跳起是由于瓶内空气压强大于大气压强 Ｃ．当瓶塞跳起后，瓶内空气温度升高 Ｄ．实验过程中，瓶口出现的白气是瓶中的水汽化而成的水蒸气 2．直接求解法 若在选项中陈述的是题目的数据或代数式答案供选择这类题可直接采用物理规律、公式计算结果，对照答案进行选择。 【例2】铜的比热容是铅的比热容的3倍。质量相同的铜块和铅块，若它们升高的温度之比为1∶2，则它们吸热之比为[ ] A．2∶3 B．3∶2 C．6∶1 D．1∶6 对应练习
利用特殊值法巧解中考数学填空题利用特殊值法巧解中考数学填空题 解法二：取AE=AG的特殊位置(如图2-3)，则四边形AGPE、PFCH都是正方形。由矩形PFCH的面积为矩形AGPE面积的2倍，得出PH=-PE ∵PA=-PE ∴PH=PA，易得PA=PH=PF，以P为圆心，PA为半径画圆，则∠HPF=90°∴∠HAF=45° [点评]：这道题若按常规做法解题，过程非常繁杂；针对填空题的特点，采用特殊值法，则非常方便。解法一，主要利用相似三角形的性质和勾股定理的知识，解法与学生的想法基本吻合；解法二，通过作圆的辅助线，由同弧所对的圆心角和圆周角之间的关系，得出结论，具有思路新颖，解法简单的特点。 例4.如图3-1所示，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN 的周长为____。(2019年辽宁省沈阳市中考题) [解析]：由题意可知：△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，M、N是在满足∠MDN=60°前提条件下AB、AC边上的动点，在移动过程中肯定存在MN∥BC的情况,取MN∥BC 的特殊位置，可以非常简单的求出△AMN的周长。 取MN∥BC的特殊位置，过D点作DH⊥MN垂足为H(如图3-2)，
可得△MDN也是等边三角形，∠BDM=∠HDM=30°， ∠MBD=∠MHD=90°，△MBD≌△MHD，∴MB=MH；同理可证，NC=NH，最后可得△AMN的周长=AB+AC=6。 [点评]：常规作法是延长NC到H点，使CH=BM，先证明 △DCH≌△DBM，得出∠BDM=∠CDH，∠NDH=∠NDM=60°，再证△NMD≌△NHD，得出NM=NH，最后得出△AMN的周长等于AB+AC=6。与常规作法相比，特殊值法的解法比较简单。 总之，利用特殊值法解决有关填空题，特别是对一些难度较大的题，会有很好的解题效果，这种解法充分体现了“特殊与一般”的辩证唯物主义的思想。 最后，提醒同学们两点： ①不是所有的填空题都适用特殊值法，所以一定要认真审题，要根据题的特点决定能否采用特殊值法。 ②采用特殊值法，设特殊的值或特殊的点时，一定要在允许的范围内。
极限法（特殊值法）在物理高考中的应用 “极限法”是一种特殊的方法，它的特点是运用题中的隐含条件，或已有的概念，性质，对选项中的干扰项进行逐个排除，最终达到选出正确答案的目的。 极限法在物理解题中有比较广泛的应用,将貌似复杂的问题推到极端状态或极限值条件下进行分析，问题往往变得十分简单。利用极限法可以将倾角变化的斜面转化成平面或竖直面。可将复杂电路变成简单电路，可将运动物体视为静止物体，可将变量转化成特殊的恒定值，可将非理想物理模型转化成理想物理模型，从而避免了不必要的详尽的物理过程分析和繁琐的数学推导运算，使问题的隐含条件暴露，陌生结果变得熟悉，难以判断的结论变得一目了然。 1.（12安徽）如图1所示，半径为R 均匀带电圆形平板，单位面积带电量为σ，其轴线上任意一点P （坐标为x ）的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出： E =2πκσ()????????+-21221x r x ，方向沿x 轴。现考虑单位面积带电量为0σ的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r 的圆板，如图2所示。则圆孔轴线上任意一点Q （坐标为x ）的电场强度为 ( ) A. 2πκ0σ()2122x r x + B. 2πκ0σ()2122x r r + C. 2πκ0 σr x D. 2πκ0σx r 【解析】当→∝R 时，22x R x +=0，则0k 2E δπ=，当挖去半径为r 的圆孔时，应在E 中减掉该圆孔对应的场强）（220r x r x - 12E +=πκδ，即21220x r x 2E ）（+='πκδ。选项A 正确。 2.（11福建）如图，一不可伸长的轻质细绳跨过滑轮后，两端分别悬挂质 量为m 1和m 2的物体A 和B 。若滑轮有一定大小，质量为m 且分布均匀，滑 轮转动时与绳之间无相对滑动，不计滑轮与轴之间的磨擦。设细绳对A 和B 的拉力大小分别为T 1和T 2，已知下列四个关于T 1的表达式中有一个是正确 的，请你根据所学的物理知识，通过一定的分析判断正确的表达式是（ ） O R ● x P 图1 O r ● x Q 图2
2019年中考数学选择题和填空题的解法技 巧 选择题解题技巧： 1、排除法。 是根据题设和有关知识，排除明显不正确选项，那么剩下唯一的选项，自然就是正确的选项，如果不能立即得到正确的选项，至少可以缩小选择范围，提高解题的准确率。排除法是解选择题的间接方法，也是选择题的常用方法。 2、特殊值法。 即根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理的方法。用特殊值法解题要注意所选取的值要符合条件，且易于计算。此类问题通常具有一个共性：题干中给出一些一般性的条件，而要求得出某些特定的结论或数值。 在解决时可将问题提供的条件特殊化。使之成为具有一般性的特殊图形或问题，而这些特殊图形或问题的答案往往就是原题的答案。利用特殊值法解答问题，不仅可以选用特别的数值代入原题，使原题得以解决而且可以作出符合条件的特殊图形来进行计算或推理。 3、通过猜想、测量的方法，直接观察或得出结果。 这类方法在近年来的中考题中常被运用于探索规律性的问题，此类题的主要解法是运用不完全归纳法，通过试验、猜
想、试误验证、总结、归纳等过程使问题得解。 填空题解题技巧： 中考数学填空题与选择题同属客观性试题的填空题，具有客观性试题的所有特点，即题目短小精干，考查目标集中明确，答案唯一正确，答卷方式简便，评分客观公正等。但是它又有本身的特点，即没有备选答案可供选择，这就避免了选择项所起的暗示或干扰的作用，及考生存在的瞎估乱猜的侥幸心理，从这个角度看，它能够比较真实地考查出学生的真正水平。 近几年全国20多个省市中考试题，发现它与选择题一样，都是分量不轻的常见题型。考查内容多是“双基”方面，知识复盖面广。但在考查同样内容时，难度一般比选择题略大。中考填空题主要题型：一是定量型填空题，二是定性型填空题，前者主要考查计算能力的计算题，同时也考查考生对题目中所涉及到数学公式的掌握的熟练程度，后者考查考生对重要的数学概念、定理和性质等数学基础知识的理解和熟练程度。 要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿
特殊值法巧解数列题示例 特殊值法在解决选择题与填空题中是比较常用的一种方法，在解题中能否灵活运用，体现了解题者的数学素养与能力.下面举例说明特殊值法(特殊数列、特殊数值)在解一些数列题中的应用. 【例1】已知}{n a 是等比数列,且252,0645342=++>a a a a a a a n ，那么53a a +的值等于( ) (A)5 (B)10 (C)15 (D)20 【分析】取}{n a 为常数数列0>=a a n ，则由252645342=++a a a a a a 得2 54252=?= a a ，故5253==+a a a ，所以选A. 【例2】在等差数列}{n a 中,若45076543=++++a a a a a ,则=+82a a ( ) (A)45 (B)75 (C)180 (D)300 【分析】取}{n a 为常数数列a a n =，则由45076543=++++a a a a a 得904505=?=a a ,所以180282==+a a a ,所以选C. 【例3】在各项均为正数的等比数列}{n a 中,若965=a a ,则=+++1032313log log log a a a ( ) (A)12 (B)10 (C)8 (D)2+5log 3 【分析】取}{n a 为常数数列0>=a a n ，则由965=a a 得392=?=a a ,所以 103log 10log log log 31032313==+++a a a ,所以选B. 如果解题者心中有数（具备特殊化思想），那么直接观察利用心算立即可得结果，可大大地提高解题速度，避免不必要的计算。留心观察细事物，沙子也会变金银！
高中数学重点题型与思维方法归纳 一、集合、逻辑、函数、导数、定积分 1.集合的运算——①图示法P1 9；②验证法P111；③空集分类法P2 14；④转化法P14 2.子集（元素）个数——①列举法；②2n法P1 6；③转化法P125 8 3.充分必要条件——①大小法(小充分，大必要)P3 1；②推导法(推出充分被推必要互推充要)P3 3 4.命题的否定——①结论否定法；②全特互化法)P3 4 5.求定义域——①有意义法（具体函数或实际问题）P6 12；②整体不变法(抽象函数)P5 5 6.求值域——①图象法；②单调性法P5 8、P7 8；③反函数法；④分离常数法P12 13（1）； ⑤配方法P10 13；⑥最值法 7.求最值——①函数值域法P7 8、P21 8、P86 13；②均值不等式法P11 4；③线性规划法； ④导数法P103 6；⑤转化法（立体与平面、同侧与异侧P67 5、P73 7、相离与相切P101 11） 8.求解析式——①换元法；②待定系数法P10 13（1）；③构造方程法P6 13；④化归法P22 13 9.画图——①特殊点法P15 9；②变换图象法P15 8、P27 7；③假设验证法P15 6； ④奇偶分析法P15 9；⑤导数法（原增导在上，原减导在下）P103 3 10.零点或交点——①图象法P9 8；②零点交点转化法P18 11；③韦达定理法P17 8； ④解方程法P17 1、P17 10；⑤估算法P17 5；⑥导数法 11.一元二次方程根的分布——①图象法P67 9；②判别韦达法P9 9 12.单调性问题——①图象法P7 9；②复合法（同增异减）P9 11；③定义法； ④导数法P12 13、P101 10、P103 5、P103 9；⑤性质法 13.奇偶性问题——①特殊值法P7 6；②定义法P16 14（1）；③化半法P8 13；④图象法P21 12 14.周期性问题——①图象法；②定义法P7 7；③三角公式法 15.对数计算——①逆运算转化法P13 3、P21 9；②化同法P13 5；③换底法 16.函数的应用——①列式法P19 4；②建模法P20 14、P64 14；图表法 17.求导数——①定义法P103 1；②公式法P101 2 18.求切线方程——①△=0法；②导数法P102 13、P104 11；③距离法（适用于圆） 19.求极值——①图象法P103 2；②导数法（左正右负极大值，左负右正极小值）P104 10、P104 13 20.求定积分或曲线围成面积——①图象法P105 11；②积分公式法P105 5；③概率法 二、三角函数、平面向量 1.三角函数符号（或角的象限）——①单位圆法P23 7；②πk2法P23 5 Rt法P25 2；②同角公式法 2.三角函数知一求余——①? 3.三角化简求值——①化切法P25 9；②化弦法；③1的代换P24 13；④和积互化P25 4； ⑤公式法P29 10；⑥换角法P30 13；⑦转化法（化同角、化同名、化同次）P25 8、P28 14 4.对称问题——①图象P21 12；②整体不变法；③公式法；④验证法P28 12 5.解三角形——①正弦定理P33 8；②余弦定理P33 9；③化边法P34 13；④化角法 6.平面向量的运算——①图解法P35 10、P97 9；②公式法P41 3；③坐标法P37 1、P41 10 7.向量平行（共线）问题——①成比例法P37 2；②公式法P35 2、P73 11、P99 7、12 8.向量垂直问题——①几何法P39 10；②公式法P39 7、P96 14 9.求夹角——①几何法P37 5；②公式法P41 11 10.求长度（模）——①平方法P37 9；②解三角形法P41 2
臧老师辅导课堂之 特殊值法专项训练 特殊值法是用满足条件的特殊值（式）代入题目去验证、计算，从而得到正确结论的一种方法．特殊值法在解题中有下列应用． 1．解选择题： 若a＞b＞c＞0，m＞n＞0．（m、n为数），则下列各式中成立的是[ ] A．a m b n＞b n c m＞c n a m B．a m b n＞c n a m＞b n c m C．c n a m＞a m b n＞b n c m D．b n c m＞c n a m＞a m b n 2．确定多项式的系数 已知当x是任何实数时，x2-2x+5＝a（x+1）2＋b（x＋1）＋c都成立，求a、b、c的值． 3．判断命题的真假 判断命题“式子a2＋（a＋1）2＋a2（a＋1）2=（a2＋a-1）2是恒等式”的真假． 4．解证定值问题 若a、b为定值，且无论k取何值时，关于x的一次方程 专项练习 1 已知a、b、c都是实数，且a＞b＞c，那么下列式子中正确的是 [ ] 2．命题“式子x3＋9=（x＋2）3-6（x＋2）2+12（x+2）是恒等式”是真命题，对吗？ 值，求a、b应满足的关系式．并求出这个定值． 4．已知a＋b＋c≠0，求证：不论a、b、c取何实数时，三 5、设a、b、c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc，y=b2-ca，z=c2-ab，则x、y、z[] A．都不小于0B．都不大于0 C．至少有一个小于0D．至少有一个大于0 6、如果a、b均为有理数，且b＜0，则a、a-b，a＋b的大小关系是
[ ] A．a＜a+b＜a-b B．a＜a-b＜a+b C．a＋b＜a＜a-b D．a-b＜a＋b＜a 巧取特殊值解选择题 山东省茌平县傅平镇中学初三·一班鲁傅 我在解某些选择题时，采用了取特殊值法，使问题简捷，迅速地获得解决，如下面几例． 例1 已知a、b、c都是实数，且a＞b＞c，那么下列式子中正确的是 [ ] （98年全国初中数学联赛）解：∵a＞b＞c， ∴可取a=1，b=0，c=-1代入各选择支，只有a+b=1＞b＋c=-1成立．故选（B）． 例2 设a、b、c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc，y=b2-ca，z=c2-ab，则x、y、z[ ] A．都不小于0B．都不大于0 C．至少有一个小于0D．至少有一个大于0 （94年全国初中数学联赛题）解：若令a=0，b=1，c=-1，则x=y=z=1，故可排除（B）、（C）； 再令a=0，b=c=1，则x=-1，y=z=1，又可排除（A）．故选（D）． （94年全国初中数学联赛题） 则[ ] A．M＜Q＜P＜N B．M＜P＜Q＜N
中考 天天练 练出好水平 数学选择专项训练 数学选择题的常用解法（方法篇） 在中考数学试题中，选择题占相当大的比例，因此，解答选择题对考试成绩影响很大。解数学选择题，常可以从选择支出发进行思考，充分利用选择支所提供的信息与“只有一个正确答案”的方向，改变解题策略，充分发挥直观的作用，发现其特殊的数量关系和图形位置特征，迅速解题。下面举例谈谈解数学选择题的五种常用方法，供大家复习时参考。 一. 直接法 例1. 若b a b a <0，有意义，则a b a =（ ）。 A. ab B. -ab C. -ab D. --ab 解：根据题设，注意到a <0，直接化简原式，可得-ab 。 选C 。 点拨：直接法就是直接从条件出发，通过合理运算和严密推理，最后推出正确的结果，再对照选择支解答的一种解题思路。 二. 特例法 例2. 若a b <-<<010，，则（ ） A. ab ab a 2<< B. a ab ab <<2 C. ab a ab 2<< D. a ab ab <<2 解：取a b =-=-112 ，，很容易得到答案为D 。
点拨：特例法就是用符合已知条件的特例或考虑特殊情况、特殊位置，检验选择支或化简已知条件，得出答案。当已知条件中有范围时可考虑使用特例法。 三. 检验法 例3. 方程7312x x -+-=的解是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 37 解：把四个选择支的数值代入方程7312x x -+-=中，很快就可知道答案为C 。 点拨：检验法就是将选择支分别代入题设中或将题设代入选择支中检验，从而确定答案。解答本题时若直接解方程，要浪费很多时间和精力。当结论为具体值时可考虑使用检验法。 四. 排除法 例4. 在同一坐标平面内，函数y m x =-()1与y mx x m =++2 的图象只可能是（ ） 解：选择支A 中抛物线肯定错误，B 中直线肯定错误（若为抛物线也错误），C 中直线和抛物线不是同时正确的，故选D 。 点拨：排除法就是利用一些基本概念、定理和简单的运算，通过排除容易发现错误的选择支，从而推断正确答案的方法。 五. 图解法 例5. 二元一次方程组36426x y y x -=-=??? 的解的情况是（ ） A. x 、y 均为正数 B. x 、y 均为负数
数学解题论文：特殊值法在高考数学解题中的应用 摘要：文章谈了特殊值法在高考数学解题中的应用。在考试中有些数学题采用一般方法很难求解，在这时可以选择代入特殊值，以达到简化题目、减少思维量的效果。 主题词：数学高考特殊值法简化应用 随着高考的日益临近，各位考生进入了紧张的备战阶段，如何在短时间内使数学成绩突飞猛进成为大家关心的问题。身为一个过来人，我想把我的经验传授给大家，让大家能在高考的考场上得心应手，取得好成绩。 第一，在高考场上要放松心态，抱着一颗冲击别人的心态来考试，比如你平时刚上重本线，可以把自己的目标定为上一个很好的二本即可，既没有超出你能力范围，又没有给你自己太大的压力，有利于考出好成绩。如果实在很紧张，还有一种很好的方法，就是在考试的前一天完全放弃看书，去亲近自然，接触自然，相信自己，给自己以良好的暗示，这样你就一定能在考场上发挥出平时的水平，甚至超常发挥。 第二，在最后一个月内要准确掌握书本上的知识点，掌握基本方法、基本技巧，这样即使你做不出最后一题，也能保证较高的分数。 第三，在掌握了基本的知识和技巧之后你就需要一定的
应试技巧来取得成功，这些技巧很多，如直接法，数行结合法，大致求解法，特殊值法，等等。这里着重介绍特殊值法在数学高考中的应用。 特殊值法的定义：解数学题时，如果直接解原题有时难以入手，不妨先考察它的某些简单的特例，通过解答这些特例，最终达到原题的目的。这种解决数学问题的思想方法，通常称为“特殊值法”。［１］ 特殊值法的理论基础：对于一般性成立的结果，特殊值则一定成立，而当特殊值成立时一般性的结果不一定成立。这是很简单的一个思维逻辑，我们可以通过显而易见的容易得出结果的特殊值进行运算，得出结果再与答案相比较，选出正确答案的方法。 如：要证明（教材基础）：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。 证：先证相邻对换的情形。 设排列为a…aabb…b，对换a和b，变为a…abab…b.显然，a，…，a;b，…，b这些元素的逆序数经过对换并不改变，而a，b两元素的逆序数改变为：当a＜b时，经对换后a的逆序数增加1而b的逆序数不变;当a＞b时，经对换后a的逆序数不变而b的逆序数减少1.所以排列a…aabb…b 与排列a…abab…b的奇偶性不同。
再谈高中数学中的特殊值法解题
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再谈高中数学中的特殊值法解题-中学数学论文 再谈高中数学中的特殊值法解题 胡春雷 （惠州实验中学，广东惠州516000） 摘要：高中数学问题的解决取决于思维、方法、习惯等诸多方面,解题方法需具有针对性，对于一个数学问题如果具有一般性结论，那么适当取特殊值也是成立的，这是特殊值法的理论根据。特殊值法是指选用特殊值解决数学问题的方法，常见的三种特殊值有三种，分别是特殊的数、式、形；本文结合实例来说明在使用特殊值法解题时取值的技巧、细节以及注意事项。 关键词：特殊数；特殊式；特殊形 中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-03-0061-01 高中数学有很多常规而经典的解法，比如换元法、待定系数法、配方法等。也有一些非常规解法，比如特殊值法。有时在解决有些数学问题时特殊值法可以收到奇效。笔者认真阅读了许多同行关于特殊值法的论文，结合自己教学实践，在此也谈谈对特殊值的认识和体会，不妥之处，敬请同行指正。 一、选用特殊的数字解决问题 选用特殊数字来解决问题，一般喜欢选用±1、10、i、e等数字.
二、选用特殊的式解决问题 选用特殊数学表达式来解决问题，一般喜欢选用符合题目条件的的基本初等函数、典型方程、基本不等式等。 ①y=f(x)是周期函数②x=π是它的一条对称轴③(-π,0)是它图象的一个对称中心 ④当x=π时，它一定取最大值，其中描述正确的是（） A.①② B.①③ C.②④ D.②③
中考数学选择题解题技巧 在中考中，选择题也占有一定的比例。为了又快又准确地找到解题的答案，我们共同探讨选择题的结构及解答方法和技巧。 1.标准化试题的漏洞 除了用了知识点之外，用选择题本身固有漏洞做题。大家记住一点，所有选择题，题目或者答案必然存在做题暗示点。因为首先我们必须得承认，这题能做，只要题能做，必须要有暗示。 1）有选项。利用选项之间的关系，我们可以判断答案是选或不选。如两个选项意思完全相反，则必有正确答案。 2）答案只有一个。大家都有这个经验，当时不明白什么道理，但是看到答案就能明白。由此选项将产生暗示 3）题目暗示。选择题的题目必须得说清楚。大家在审题过程中，是必须要用到有效的讯息的，题目本身就给出了暗示。 4）利用干扰选项做题。选择题除了正确答案外，其他的都是干扰选项，除非是乱出的选项，否则都是可以利用选项的干扰性做题。一般出题者不会随意出个选项，总是和正确答案有点关系，或者是可能出错的结果，我们就可以借助这个命题过程得出正确的结论。 5）选择题只管结果，不管中间过程，因此在解题过程中可以大胆的简化中间过程。 6）选择题必须考察课本知识，做题过程中，可以判断和课本哪个知识相关？那个选项与这个知识点无关的可立即排除。因此联系课本知识点做题。 7）选择题必须保证考生在有限时间内可以做出来的，因此当大家花很多时间想不对的时候，说明思路错了。选择题必须是由一个简单的思路构成的。 专题精讲： 选择题是中考试题中必有的固定题型，它具有考查面宽、解法灵活、评分客观等特点．选择题一般由题干（题没）和选择支（选项）组成．如果题干不是完全陈述句，那么题干加上正确的选择支，就构成了一个真命题；而题干加上错误的选择支，构成的是假命题，错误的选择支也叫干扰支，解选择题的过程就是通过分析、判断、推理用除干扰支，得出正确选项的过程. 选择题的解法一般有七种： 1．直接求解对照法：直接根据选择题的题设，通过计算、推理、判断得出正确选项． 2．排除法：有些选择题可以根据题设条件和有关知识，从4个答案中，排除3个答案，根据答案的唯一性，从而确定正确的答案，这种方法也称为剔除法或淘汰法或筛选法． 3．特殊值法：根据命题条件．’选择题中所研究的量可以在某个范围内任意取值，这时可以取满足条件的一个或若干特殊值代人进行检验，从而得出正确答案． 4．作图法：有的选择题可通过命题条件的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的直观性从中找出正确答案．这种应用“数形结合”来解数学选择题的方法，我们称之为“作图法”．5．验证法：直接将各选择支中的结论代人题设条件进行检验，从而选出符合题意的答案． 6．定义法：运用相关的定义、概念、定理、公理等内容，作出正确选择的一种方法． 7．综合法：为了对选择题迅速、正确地作出判断，有时需要综合运用前面介绍的几种方法．解选择题的原则是既要注意题目特点，充分应用供选择的答案所提供的信息，又要有效地排除错误答案可能造成的于抗，须注意以下几点：（1）要认真审题；（2）要大胆猜想；（3）要小心验证；（4）先易后难，先简后
第11讲特殊值法 一、方法技巧 特殊值法 （一）定义 又叫特值法，即通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法． 这个特殊值必须满足无论这个量的值是多少，对最终结果所要求的量的值没有影响； （二）使用条件 有些选择题或填空题，用常规方法求解比较困难，若根据已知或答案所提供信息，选择某些特殊值进行分析或计算，把一般形式变为特殊形式，再进行判断往往比较简单． （三）专题目标 通过训练，能迅速作出判断并能用特殊值法解决问题． （四）解题思路 1．一定要按照题目所给的具体条件取值 2．所取的数值一般最大不超过5，最小不超过5-这样的整数，例如1、1-、0最常用3．将所取的特殊值代入题干直接判断或逐一代入题支判断即可得出正确答案 （四）应用类型 类型一已知中具体数量关系较少的问题 类型二化简与求值的问题 类型三恒等式问题 类型四解以“不论k为何值时”为条件的问题 类型五验证结论的正确性的问题 类型六比较大小的问题 类型七几何问题 二、应用举例 类型一已知中具体数量关系较少的问题 【例题1】有两只相同的大桶和一只空杯子，甲桶装牛奶，乙桶装糖水．先从甲桶内取出一杯牛奶倒入乙桶，再从乙桶中取出一杯糖水和牛奶的混合液倒入甲桶．请问此时甲桶内糖水
多还是乙桶内的牛奶多？ A ．甲桶多 B ．乙桶多 C ．一样多 D ．无法判断 【答案】C 【解析】 题干全部为文字叙述，没有具体数据，可采用特值法． 解：令甲桶牛奶量=乙桶牛奶量=1L ，空杯子体积为1L ， 第一次取一杯牛奶即将甲桶牛奶全部倒入乙桶，充分混合， 此时乙桶内牛奶和糖水的比例为1：1，乙桶有2L ，甲桶0L ， 又从乙桶取一杯混合液倒入甲桶，此时甲桶溶液量=乙桶溶液量=1L ，且牛奶和糖水各 占一半．即甲桶内糖水=乙桶内糖水．故选C ． 【难度】一般 类型二 化简与求值的问题 【例题2】已知a 、b 满足2b a a b +=，则22224a ab b a ab b ++=++ ． A ．1 B ． 12 C ．34 D ．14 【答案】B 【解析】 满足题干条件的a 、b 的数据很多，但结果是唯一的，所以可以对a 、b 特殊化，令1a b ==，则222231462 a a b b a ab b ++==++，故选择B ． 【难度】一般 类型三 恒等式问题 【例题3】若实数x 、y 、z 满足()()()2 40x z x y y z ----=，则下列式子一定成立的是（ ） A ．0x y z ++= B ．20x y z +-= C ．20y z x +-= D ．20z x y +-= 【答案】D 【解析】 本题三个未知数，一个方程，如果不用特值法很难解答． 取特殊值：1x =，2y =，3z =，满足()()()240x z x y y z ----=， A ．12360x y z ++=++=≠, B ．2122330x y z +-=+-?=-≠
山师安宁华清：中考数学选择题解题大法，教你如何事半功倍！ 方法一：排除选项法 选择题因其答案是四选一，必然只有一个正确答案，那么我们就可以采用排除法，从四个选项中排除掉易于判断是错误的答案，那么留下的一个自然就是正确的答案。 方法二：赋予特殊值法 即根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理的方法。用特殊值法解题要注意所选取的值要符合条件，且易于计算。 方法三：通过猜想、测量的方法，直接观察或得出结果 这类方法在近年来的初中题中常被运用于探索规律性的问题，此类题的主要解法是运用不完全归纳法，通过试验、猜想、试误验证、总结、归纳等过程使问题得解。 方法四：直接求解法 有些选择题本身就是由一些填空题、判断题、解答题改编而来的，因此往往可采用直接法，直接由从题目的条件出发，通过正确的运算或推理，直接求得结论，再与选择项对照来确定选择项。我们在做解答题时大部分都是采用这种方法。
例如：商场促销活动中，将标价为200元的商品，在打8折的基础上，再打8折销售，现该商品的售价是( ) A 、160元 B、128元 C 、120元 D、 88元 方法五：数形结合法 解决与图形或图像有关的选择题，常常要运用数形结合的思想方法，有时还要综合运用其他方法。 方法六：代入法 将选择支代入题干或题代入选择支进行检验，然后作出判断。 方法七：观察法 观察题干及选择支特点，区别各选择支差异及相互关系作出选择。 方法八：枚举法 列举所有可能的情况，然后作出正确的判断。 例如：把一张面值10元的人民币换成零钱，现有足够面值为2元，1元的人民币，换法有( ) A.5种 B.6种 C.8种 D.10种 分析：如果设面值2元的人民币x张，1元的人民币y元，不难列出方程，此方程的非负整数解有6对，故选B。
微专题83 特殊值法解决二项式展开系数问题 一、基础知识： 1、含变量的恒等式：是指无论变量在已知范围内取何值，均可使等式成立。所以通常可对变量赋予特殊值得到一些特殊的等式或性质 2、二项式展开式与原二项式呈恒等关系，所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数（或二项式系数）的等式 3、常用赋值举例： （1）设()011222 n n n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++， ①令1a b ==，可得：012n n n n n C C C =++ + ②令1,1a b ==-，可得： ()0123 01n n n n n n n C C C C C =-+-+-，即： 02 13 1 n n n n n n n n C C C C C C -+++=+++（假设n 为偶数），再结合①可得： 0213112n n n n n n n n n C C C C C C --++ +=++ += （2）设()()2 01221n n n f x x a a x a x a x =+=+++ + ① 令1x =，则有：()()0122111n n a a a a f +++ +=?+=，即展开式系数和 ② 令0x =，则有：()()02010n a f =?+=，即常数项 ③ 令1x =-，设n 为偶数，则有：()()01231211n n a a a a a f -+-++=-?+=- ()()()021311n n a a a a a a f -?+++-+++=-， 即偶次项系数和与奇次项系数和的差 由①③即可求出()02n a a a +++和()131n a a a -+++的值 二、典型例题： 例1：已知()8 2 8012831x a a x a x a x -=+++ +，则1357a a a a +++的值为________ 思路：观察发现展开式中奇数项对应的x 指数幂为奇数，所以考虑令1,1x x ==-，则偶数项相同，奇数项相反，两式相减即可得到1357a a a a +++的值 解：令1x =可得：8 0182a a a =++ + ①
二次根式特殊求值法 一、二次根式具有双重非负性 1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数。 包含双重非负性：a≥0；0≥a 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到。 二次根式 化简根据 ()()a aa 20=≥ 注意：此性质既可正用，也可逆用，反用的意义在于， 可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式。 a a a a a a 2 00==≥-
妙用特殊值法、特殊位置法 联想融通：知道“特殊值法”或“赋值法”吧？以前没听说过也不要紧，顾名思义即知.请就此展开一下联想吧！ 特殊值法，是由一般到特殊的过程，如果题中出现、或隐含着满足条件的任意数、或任意点都使结论成立，可由特殊值法推断结论. 做题中学生不一定明白其中原理，但可以让学生用试值法验证，如果有两或三个（对）以上的特殊数、或特殊值的位置结论一定或不变，一般可选之，或作为猜想的结论. 此法，在题目简单时就能很大程度地帮助绩差生、在题目难时很大程度地帮助绩优生. 一、代数类[8] 解法归一：用使原题有意义的数代替字母求值或推断. 例15－1－1 已知x －3y ＝－3，则5－x ＋3y ＝（ ） A ．0 B .2 C .5 D .8 交流分享：取y ＝0，x ＝－3带入即可. 因为：由四个选项可知，5－x ＋3y 值为等于0、2、5、8之一，是一个定数，与x 、y 的取值无关，但前提是所选x 、y 的取值满足x －3y ＝－3，所以可用特殊值法，一般地，至少用两组数试试. 技巧：当已知一个方程、求一个代数式值，自己又不会其他方法时，可用此法蒙上. 例15－1－2 化简 2244 xy y x x --+的结果是（ ） A . 2x x + B . 2x x - C . 2y x + D . 2y x - 交流分享：选一对使分式值不等于0的数即可，知x ＝1，y ＝2. 最好选两组使分式有意义的数，代入原式和各选项，看原式与哪个选项的值相等. 技巧：如果不会化简分式，则可用特殊值代入原式与选项试值找答案. 例15－1－3 若a ＜b ＜0，则下列式子：①a ＋b ＜ab ；②a ＋b ＜b ＋2；③1a b >；④11a b <中，正确的有（ ） A .1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 交流分享：给一组满足条件的a 、b 值一试就可得正确选项. 如取a ＝－2，b ＝－1. 例15－1－4 某商品原价为100元，现在有下列四种调价方案，其中0＜n ＜m ＜100, 则调价后该商品价格最高的方案是（ ） A . 先涨m ％，再降n ％ B . 先涨n ％，再降m ％ C . D . 先涨2m n +％，再降2 m n +％ 交流分享：同上理，给两组满足条件的m 、n 值一试就可. 如m ＝20、n ＝10, m ＝60、n ＝40