相似三角形经典大题解析
1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ．
（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？
【答案】解：（1）
MN BC ∥
AMN ABC ∴△∽△ 68
h x ∴= 34
x h ∴= （2）1AMN A MN △≌△
1A MN ∴△的边MN 上的高为h ，
①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时，
1A MN y S =△=21133
2248MN h x x x ==··（04x <≤）
②当1A 落在四边形BCNM 外时，如下图(48)x <<，
设1A EF △的边EF 上的高为1h ，
则13
2662
h h x =-=
- 11EF MN
A EF A MN ∴∥△∽△
11A MN ABC A EF ABC ∴△∽△△∽△
12
16A EF S h S ⎛⎫= ⎪⎝⎭
△△ABC
1
68242
ABC S =⨯⨯=△ 2
2
363224122462EF
x S x x ⎛⎫- ⎪∴==⨯=-+ ⎪
⎪
⎝⎭
1△A 1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ⎛⎫
=-=
--+=-+- ⎪⎝⎭
△△ 所以 2
91224(48)8
y x x x =-
+-<<
综上所述：当04x <≤时，2
38
y x =，取4x =，6y =最大 当48x <<时，2
912248
y x x =-+-， 取16
3x =
，8y =最大 86>
∴当16
3
x =时，y 最大，8y =最大
M
N
C
B E
F
A
A 1
2．如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点． （1）求出抛物线的解析式；
（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，
M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，
请说明理由；
【答案】解：（1）
该抛物线过点(02)C -，，∴可设该抛物线的解析式为
22y ax bx =+-．
将(40)A ，，(10)B ，代入，
得1642020a b a b .+-=⎧⎨+-=⎩，解得1252a b .
⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
∴此抛物线的解析式为215
222
y x x =-
+-． （2）存在．
如图，设P 点的横坐标为m ， 则P 点的纵坐标为215
222
m m -+-， 当14m <<时，
4AM m =-，215
222
PM m m =-+-．
又
90COA PMA ∠=∠=°，
∴①当
2
1
AM AO PM OC ==时， APM ACO △∽△，
即21542222m m m ⎛⎫
-=-
+- ⎪⎝⎭
．
解得1224m m ==，（舍去），(21)P ∴，． ②当
12AM OC PM OA ==时，APM CAO △∽△，即215
2(4)222
m m m -=-+-． 解得14m =，25m =（均不合题意，舍去）
∴当14m <<时，(21)P ，．
类似地可求出当4m >时，(52)P -，． 当1m <时，(314)P --，．
综上所述，符合条件的点P 为(21)，或(52)-，或(314)--，．
3．如图，已知直线128
:33
l y x =
+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G 与点B 重合． （1）求ABC △的面积；
（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；
（3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．
【答案】（1）解：由
28
033
x +=，
得4x A =-∴．点坐标为()40-，． 由2160x -+=，得8x B =∴．点坐标为()80，． ∴()8412AB =--=．
由2833216y x y x ⎧
=+⎪⎨⎪=-+⎩，
．
解得56x y =⎧⎨
=⎩，．∴C 点的坐标为()56，． ∴11
1263622
ABC C S AB y =
=⨯⨯=△·．
