考研概率与数理统计
第一章 随机事件和概率
第一节 基本概念例题
例1．1：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，没有平局，试问 总共输的场次是多少？
例1．2：到美利坚去，既可以乘飞机，也可以坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有
小鹰号和Titanic 号，问有多少种走法？
例1．3：到美利坚去，先乘飞机，后坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和
Titanic 号，问有多少种走法？
例1．4：10人中有6人是男性，问组成4人组，三男一女的组合数。
例1．5：两线段MN 和PQ 不相交，线段MN 上有6个点A 1，A 2…，A 6，线段PQ 上有7 个点B 1，
B 2，…，B 7。若将每一个A i 和每一个B j 连成不作延长的线段A i B j (i=1,2,…6;j=1,2,…,7),则由这些线段 A i B j 相交而得到的交点最多有
A ． 315个
B ． 316个
C ． 317个
D ． 318个
例1．6：3封不同的信，有4个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？
例1．7：某市共有10000辆自行车，其牌照号码从00001到10000，求有数字8的牌照号码的个数。
例1．8：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的种数？（有序）
151513=?C C 2112121515=?-?C C C C
例1．9：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的种数？（有序）
121413=?C C 1811121415=?-?C C C C
例1．10：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的种数？（无序）
121
413=?C C 922
25=-C C 例1．11：化简 (A+B)(A+B )(A +B)
例1．12：)()()(C B C A C B A = 成立的充分条件为：
(1)C A ? (2) C B ?
例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的概率？ 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的概率？ 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的概率？ 例1．16：袋中装有α个白球及β个黑球。
①从袋中任取a+b 个球，试求其中含a 个白球，b 个黑球的概率（a ≤α，b ≤β）。
②从袋中任意地接连取出k+1（k+1≤α+β）个球，如果取出后不放回，试求最后取出的是白球的概率。
③上两题改成“放回”。
例1．17：从6双不同的手套中任取4只，求其中恰有一双配对的概率。
例1．18：有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取3个，问其中至少有1个是黑色的概率？ 例1．19：设O 为正方形ABCD[坐标为（1，1），（1，-1），（-1，1），（-1，-1）]中的一点，求
其落在x 2+y 2
≤1的概率。
例1．20：某市共有10000辆自行车，其牌照号码从00001到10000，求偶然遇到的一辆自行车，其牌照号码中有数字8的概率。
例1．21：一只袋中装有五只乒乓球，其中三只白色，两只红色。现从袋中取球两次，每次一只，取出后不再放回。试求：①两只球都是白色的概率；②两只球颜色不同的概率；③至少有一只白球的概率。
例1．22：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问以下事件的概率？ ①第一次打开；②第二次打开；③第三次打开。
例1．23：某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过4件，并
现在进行抽样检验，从每批中抽取10件来检验，如果发现其中有次品，则认为该批产品是不合
格的，求一批产品通过检验的概率。
例1．24：某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过4件，并具有如下的概率：
格的，求通过检验的一批产品中，恰有)4,3,2,1,0(=i i 件次品的概率。 例1．25：A ，B ，C 相互独立的充分条件： （1）A ，B ，C 两两独立 （2）A 与BC 独立
例1．26：甲，乙两个射手彼此独立地射击同一目标各一次，甲射中的概率为0.9，乙射中的概率为0.8，求目标被射中的概率。
例1．27：有三个臭皮匠独立地解决一个问题，成功解决的概率分别为0.45，0.55，0.60，问解决该问题的能力是否赶上诸葛亮（成功概率为0.9）？
例1．28：假设实验室器皿中产生A 类细菌与B 类细菌的机会相等，且每个细菌的产生是相互独立的，若某次发现产生了n 个细菌，则其中至少有一个A 类细菌的概率是 。 例1．29：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中任取a+b 次球，每次放回，试求其中含a
个白球，b 个黑球的概率（a ≤α，b ≤β）。
例1．30：有4组人，每组一男一女，从每组各取一人，问取出两男两女的概率？
例1．31：进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p ，则在成功2次之前已经失败3
次的概率为： A ．3
2
)1(4p p - B ．3
)1(4p p -
C ．3
2)1(10p p -
D ．3
2
)1(p p -
E ．3
)1(p -
第二节 重点考核点
事件的运算、概率的定义（古典概型和几何概型）、条件概率和乘法公式、全概和贝叶斯公式、独立性和伯努利概型
第三节 常见题型
1、事件的运算和概率的性质
例1．32：(A B)-C=(A-C) B 成立的充分条件为：
(1)A B=? (2) A C=?
例1．33：A,B,C 为随机事件，“A 发生必导致B 、C 同时发生”成立的充分条件为：
(1) A∩B∩C=A (2)A∪B∪C=A 例1．34：设A ，B 是任意两个随机事件，则)})()()({(B A B A B A B A P ++++= 。
例1．35：假设事件A 和B 满足P （B | A ）=1，则 （A ） A 是必然事件。 （B ）B A ?。
（C ）B A ?。
（D ）0)(=B A P 。
[
]
2、古典概型和几何概型
例1．36：有两组数，都是{1，2，3，4，5，6}，分别任意取出一个，其中一个比另一个大2的概率？
例1．37：52张扑克牌，任取5张牌，求出现一对、两对、同花顺的概率。
例1．38：设有n 个质点，每个以相同的概率落入N 个盒子中。设A=“指定的n 个盒子中各有1个质点”，对以下两种情况，试求事件A 的概率。 （1）（麦克斯威尔-波尔茨曼统计）假定n 个质点是可以分辨的，还假定每个盒子能容纳的质点数不限。 （2）（费米-狄拉克统计）假定n 个质点是不可分辨的，还假定每个盒子至多只能容纳一个质点。 例1．39：袋中有10个球，其中有4个白球、6个红球。从中任取3个，求这三个球中至少有1个是白球的概率。
例1．40：侯车问题：某地铁每隔五分钟有一列车通过，在乘客对列车通过该站时间完全不知道的情况下，求每个乘客到站等车时间不多于2分钟的概率。
例1．41：会面问题：甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲船和乙船停泊的时间都是两小时，求它们会面的概率是多少？ 3、条件概率和乘法公式
例1．42：从0到9这10个数中任取一个数并且记下它的值，放回，再取一个数也记下它的值。当两个值的和为8时，出现5的概率是多少？
例1．43：一个家庭有两个孩子，已知至少一个是男孩，问另一个也是男孩的概率？ 4、全概和贝叶斯公式
例1．44：在盛有10只螺母的盒子中有0只，1只，2只，…，10只铜螺母是等可能的，今向盒中放入一个铜螺母，然后随机从盒中取出一个螺母，则这个螺母为铜螺母的概率是 A ． 6/11 B ．5/10 C ．5/11 D ．4/11
例1．45：有5件产品，次品的比例为20％，从中抽查2件产品，没有次品则认为合格，问合格的概率？
例1．46：有5件产品，每件产品的次品率为20％，从中抽查2件产品，没有次品则认为合格，问合格的概率？
例1．47：发报台以概率0.6和0.4发出信号“· ”和“－”，由于通信系统存在随机干扰，当发出信号为“· ”和“－”时，收报台分别以概率0.2和0.1收到信号“－”和“· ”。求收报台收到信号“· ”时，发报台确实发出信号“· ”的概率。
例1.48：100个球，40个白球，60个红球，先后不放回取2次，问第2次取到白球的概率？ 例1.49：袋中有4个白球、6个红球，先从中任取出4个，然后再从剩下的6个球中任取一个，则它恰为白球的概率是 。
例1.50：设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份，
（1） 求先抽到的一份是女生表的概率p ；
（2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q 。 5、独立性和伯努利概型
例1．51：设两两相互独立的三事件A ，B ，C ，满足：2
1)()()(,<==Φ=C P B P A P ABC ，并且16
9
)(=
++C B A P ，求事件A 的概率。 例1．52：设P(A)>0,P(B)>0，证明
（1） 若A 与B 相互独立，则A 与B 不互斥； （2） 若A 与B 互斥，则A 与B 不独立。
例1．53：对行任意二事件A 和B ，
（A ） 若AB ≠Φ，则A ，B 一定独立。 （B ） 若AB ≠Φ，则A ，B 有可能独立。 （C ） 若AB=Φ，则A ，B 一定独立。 （D ） 若AB =Φ，则A ，B 一定不独立。 例1．54：“A,B,C 为随机事件，A -B 与C 独立”的充分条件： (1) A,B,C 两两独立 （2）P （ABC ）=P （A ）P （B ）P （C ）
例1．55：设A ，B ，C 是三个相互独立的随机事件，且0＜P （C ）＜1。则在下列给定的四对事件中不．相互独立的是
（A ）B A +与C 。（B ）AC 与C 。（C ）B A -与C 。 （D ）AB 与C 。
[
]
例1．56：将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件
（A ）321,,A A A 独立（B ）432,,A A A 独立（C ）321,,A A A 两两独立（D ）432,,A A A 两两独立 例1．57：某班车起点站上车人数是随机的，每位乘客在中途下车的概率为0.3，并且它们下车与否相互独立。求在发车时有10个乘客的条件下，中途有3个人下车的概率。
例1.58：某种硬币每抛一次正面朝上的几率为0.6，问连续抛5次,至少有4次朝上的概率。 例1．59：A 发生的概率是0.6，B 发生的概率是0.5，问A,B 都不发生的最大概率？
例1．60：两只一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）内的红球数与黑球数之比为2：1，另一罐（取名“乙罐”）内的黑球数与红球数之比为2：1 。今任取一罐并从中取出50只球，查得其中有30只红球和20只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的
(A) 154倍 (B)254倍 (C)798倍 (D)1024倍
第四节 历年真题
数学一：
1（87，2分） 设在一次试验中A 发生的概率为p ，现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为 ；而事件A 至多发生一次的概率为 。
2（87，2） 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3
个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 。已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。
3（88，2分） 设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率等于
27
19
，则事件A 在一次试验中出现的概率为 。
4（88，2分） 在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于
5
6
”的概率为 。
5（89，2分） 已知随机事件A 的概率P （A ）=0.5，随机事件B 的概率P （B ）=0.6及条件概率P （B | A ）=0.8，则和事件A B 的概率P （A B ）= 。 6（89，2分） 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 。
7（90，2分） 设随机事件A ，B 及其和事件A B 的概率分别是0.4, 0.3和0.6，若
B 表示B 的对立事件，那么积事件A B 的概率P （A B ）=
。
8（91，3分）
随机地向半圆0 何区域的概率与该区域的面积成正比。则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于4 π 的概率为 。 9（92，3分） 已知P （A ）=P （B ）=P （C ）= 16 1)()(,0)(,41===BC P AC P AB P ，则事件A 、B 、C 全不发生的概率为 。 10（93，3分） 一批产品有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 。 11（94，3分） 已知A 、B 两个事件满足条件P （AB ）=P （A B ），且P （A ）=p ，则P （B ）= 。 12（96，3分） 设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A 厂和B 厂的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品是A 厂生产的概率是 。 13（97，3分） 袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球。今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第2个人取得黄球的概率是 。 14（98，3分） 设A 、B 是两个随机事件，且0 0, P (B | A )=P (B | A )，则必有 （A ）P （A | B ）= P (A |B ) （B ）P （A | B ）≠P(A |B ) （C ）P （AB ）= P (A )P （B ） （D ）P （AB ）≠P (A ) P （B ） 15（99，3分） 设两两相互独立的三事件A ，B 和C 满足条件；ABC =Ф，P （A ）=P （B ）=P （C ）< 21，且已知16 9)(=C B A P ，则P （A ）= 。 16（00，3分） 设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为9 1 ，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则P （A ）= 。 17．（06，4分）设B A ,为随机事件，且()0>B P ，() 1=B A P ，则必有 （A ）()()A P B A P > （B ）()()B P B A P > （C ）()()A P B A P = （D ）()()B P B A P = 数学三： 1（87，2分） 若二事件A 和B 同时出现的概率P （AB ）=0，则[ ] （A ）A 和B 不相容（互斥）。 （B ）AB 是不可能事件。 （C ）AB 未必是不可能事件。 （D ）P （A ）=0或P （B ）=0 2（87，8分） 设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品。现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回）。试求 （1） 先取出的零件是一等品的概率p ; （2） 在先取出的是一等品的条件下，后取出的零件仍然是一等品的条件概率q 。 3（88，2分） 设P （A ）=0.4, 7.0)(=B A P ，那么 （1）若A 与B 互不相容，则P （B ）= ； （2）若A 与B 相互独立，则P （B ）= 。 4（88，2分）（是非题） 若事件A ，B ，C 满足等式C B C A =，则A=B （ ）。 5（88，7分） 玻璃杯成箱出售，每箱20只，设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8, 0.1和0.1。一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看4只；若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求： （1）顾客买此箱玻璃杯的概率； （2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。 6（89，3分） 以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为： （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”。（B ）“甲、乙两种产品均畅销”。 （C ）“甲种产品滞销”。（D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。 [ ] 7（90，3分）一射手对同一目标独立地进行4次射击，若至少命中一次的概率为 81 80 ，则该射手的命中率为 。 8（90，3分） 设A 、B 为二随机事件，且A B ?，则下列式子正确的是[ ] （A ）)()(A P B A P =+ （B ）)()(A P AB P = （C ）)()|(B P A B P = （D ）)()()(A P B P A B P -=- 9（90，4分） 从0，1，2，…，9等10个数字中任意选出3个不同的数字，求下列事件的概率： A 1={三个数字中不含0和5}；A 2={三个数字中不含0或5}。 10（91，3分） 设A 和B 是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正 确的是： （A ）B A 与不相容。 （B ）B A 与相容。 （C ）)()()(B P A P AB P =。 （D ）)()(A P B A P =- 11（92，3分） 将C ，C ，E ，E ，I ，N 。S 这七个字母随机地排成一行，则恰好排成SCIENCE 的概率为 。 12（92，3分） 设当事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则 （A ）1)()()(-+≤B P A P C P （B ）1)()()(-+≥B P A P C P （C ）)()(AB P C P = （D ）)()(B A P C P = [ ] 13（93，3分） 设两事件A 与B 满足1)|(=A B P ，则 （A ）A 是必然事件。 （B ）0)|(=A B P 。 （C ）B A ?。 （D ）B A ?。 14（94，3分）设1)|()|(,1)(0,1)(0=+<<< （1） 全部能出厂的概率α； （2） 恰有两台不能出厂的概率β； （3） 至少有两台不能出厂的概率θ。 16（96，3分） 已知,1)(0< 且)|()|(]|)[2121B A P B A P B A A P +=+，则下列选项成立的是 （A ）)|()(]|)[(2121B A P B A P B A A P ++=+ （B ）)()()(2121B A P B A P B A B A P +=+ （C ）)|()|()(2121B A P B A P A A P +=+ （D ）)|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P += [ ] 17（96，6分） 考虑一元二次方程,02 =++C Bx x 其中B 、C 分别是将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q 。 18（98，9分） 设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份 （3） 求先抽到的一份是女生表的概率p ； （4） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q 。 19（00，3分） 在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的。在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t 0，电炉就断电。以E 表示事件“电炉断电”，而)4()3()2()1(T T T T ≤≤≤为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于 （A ）}{0)1(t T ≥ （B ）}{0)2(t T ≥（C ）}{0)3(t T ≥ （D ）}{0)4(t T ≥ [ ] 20（03，4分） 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： 1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件 （A ）321,,A A A 相互独立。 （B ）432,,A A A 相互独立。 （C ）321,,A A A 两两独立。 （D ）432,,A A A 两两独立。 数学四： 1（87，2分） 对于任意二事件A 和B ，有P （A-B ）= （A ）P （A ）-P （B ）。 （B ）P （A ）-P （B ）+P （AB ）。 （C ）P （A ）-P （AB ）。 （D ）P （A ）+P （B ）-P （A B ）。[ ] 2（87，8分） 设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品。现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回）。试求： （1） 先取出的零件是一等品的概率p ； （2） 在先取出的是一等品的条件下，后取出的零件仍然是一等品的条件概率q . 3（88，2分） 设P （A ）=0.4, P (A B )=0.7，那么 （1）若A 与B 互不相容，则P （B ）= ； （2）若A 与B 相互独立，则P （B ）= 。 4（88，2分）（是非题） 若事件A ，B ，C 满足等式A C =B C ，则A=B 。（ ） 5（88，7分） 玻璃杯成箱出售，每箱20只。设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8, 0.1和0.1。一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看4只：若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求： （1） 顾客买此箱玻璃杯的概率； （2） 在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。 6（89，3分） 以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为： （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”。 （B ）“甲、乙两种产品均畅销”。 （C ）“甲种产品滞销”。 （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。 7（90，4分） 从略，1，2，…，9等十个数字中任意选出3个不同的数字，求下列事件的概率： A 1={三个数字中不含0和5}；A 2={三个数字中含0但不含5}。 8（91，3分） 设A 、B 为随机事件，P （A ）=0.7，P （A-B ）=0.3，则P （AB ）= 9（91，3分） 设A 和B 是任意两个概率不为0的互不相容事件，则下列结论中肯定正 确的是： （A ）A 与B 不相容。 （B ）A 与B 相容。 （C ）P （AB ）=P （A ）P （B ） （D ）P （A -B ）=P （A ） [ ] 10（92，3分） 设A ，B ，C 为随机事件，P （A ）=P （B ）=P （C ）=4 1 ，P （AB ）=P （BC ）=0， P （AC ）= 8 1 ，则A ，B ，C 至少出现一个的概率为 。 11（92，3分） 设当事件A 与B 同时发生时事件C 也发生，则 （A ）P （C ）=P （AB ）。 （B ）P （C ）=P （A B ） （C ）P （C ）≤P （A ）+P （B ）-1。 （D ）P （C ）≥P （A ）+P （B ）-1。[ ] 12（93，3分） 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 。 13（94，3分） 设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，现从中任了一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为 。 14（94，3分） 设0＜P （A ）＜1，0＜P （B ）＜1，P （A | B ）+P （A | B ）=1，则事件A 和B ： （A ）互不相容。 （B ）互相对立。（C ）不独立。 （D ）独立。 [ ] 15（95，8分） 某厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格产品不能出厂。现该厂新生产了n (n ≥2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求 （1） 全部能出厂的概率α; （2） 恰有两台不能出厂的概率β； （3） 至少有两台不能出厂的概率θ。 16（96，3分） 设A ，B 为随机事件且A ?B ，P （B ）＞0，则下列选项必然成立的是 （A ）P （A ）＜P （A | B ）。 （B ）P （A ）≤P （A | B ）。 （C ）P （A ）＞P （A | B ）。 （D ）P （A ）≥P （A | B ）。 [ ] 17（97，3分） 设A ，B 是任意两个随机事件，则 P {（A +B ）（A+B ）（A +B ）（A+B ）}= 。 18（98，3分） 设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p= 时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为 。 19（98，3分） 设A ，B ，C 是三个相互独立的随机事件，且0＜P （C ）＜1。则在下列给定的四对事件中不．相互独立的是 （A ）B A +与C 。（B ）AC 与C 。 （C ）B A -与C 。（D ）AB 与C 。 [ ] 20（00，3分） 设A ，B ，C 三个事件两两独立，则A ，B ，C 相互独立的充分必要条件是 （A ）A 与BC 独立。 （B ）AB 与A C 独立。 （C ）AB 与AC 独立。 （D ）A B 与A C 独立。 [ ] 21（00，3分） 在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控显示的温度不低于临界温度t 0，电炉就断电。以E 表示事件“电炉断电”，设T （1）≤T （2）≤T （3）≤T （4）为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于事件 （A ）{T （1）≥t 0}. （B ）{T （2）≥t 0}. （C ）{T （3）≥t 0}. （D ）{T （4）≥t 0}. [ ] 22（01，3分） 对于任意二事件A 和B ，与A B=B 不等价．．． 的是 （A ）A ?B 。 （B ）.A B ? （C ）=B A Φ。（D ）=B A Φ。 [ ] 23（02，8分） 设A ，B 是任意二事件，其中0＜P （A ）＜1。证明： P （B | A ）=P （B | A ）是A 与B 独立的充分必要条件。 24（03，4分） 对行任意二事件A 和B ， (A)若AB ≠Φ，则A ，B 一定独立。(B)若AB ≠Φ，则A ，B 有可能独立。 (C)若AB=Φ，则A ，B 一定独立。(D)若AB =Φ，则A ，B 一定不独立。 25．（06，4分）设A ，B 为两个随机事件，且()0>B P ，() 1=B A P 则有（ ） （A ）()()A P B A P > （B ）()()B P B A P > （C ） ()()A P B A P = （D ）()()B P B A P = 第二章 随机变量及其分布 第一节 基本概念例题 例2．1：4黑球，2白球，每次取一个，不放回，直到取到黑为止，令X(ω)为“取白球的数”，求X 的分布律。 例2．2：给出随机变量X 的取值及其对应的概率如下： ,3 1,,31 ,31,,,2,1|2k k P X ， 判断它是否为随机变量X 的分布律。 例2．3：设离散随机变量X 的分布列为 2 14181812,1,0,1，，，-P X ，求X 的分布函数，并求)21(≤X P ，)231(≤ 1(≤≤X P 。 例2．4： )()(21x f x f +是概率密度函数的充分条件是： （1）)(),(21x f x f 均为概率密度函数 （2）1)()(021≤+≤x f x f 例2．5：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中先后取a+b 个球（放回），试求其中含a 个白球，b 个黑球的概率（a ≤α，b ≤β）。 例2．6：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.001，若独立地射击5000次，试求射中的次数不少于两次的概率，用泊松分布来近似计算。 例2．7：设某时间段内通过一路口的汽车流量服从泊松分布，已知该时段内没有汽车通过的概率为0.05，则这段时间内至少有两辆汽车通过的概率约为多少？ 例2．8：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中任取a+b 个球，试求其中含a 个白球，b 个黑球的概率（a ≤α，b ≤β）。 例2．9：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中先后取a+b 个球（不放回），试求其中含a 个白球，b 个黑球的概率（a ≤α，b ≤β）。 例2．10：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中先后取a+b 个球（放回），试求直到第a+b 次时才取到白球的概率（a ≤α，b ≤β）。 例2．11：4黑球，2白球，每次取一个，放回，直到取到黑为止，令X(ω)为“抽取次数”，求X 的分布律。 例2．12：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开不扔掉，问以下事件的概率？ ①第一次打开；②第二次打开；③第三次打开。 例2．13：若随机变量X 服从[1，6]上的均匀分布，求方程012=++Xx x 有实根的概率。 例2．14：设非负随机变量Ｘ的密度函数为f(x)=A 2 7 2 x e x - ，x>0,则A= 。 例2．15：设 ),(~2 σμN X ，求)3|(|σμ<-X P 。 例2．16：X~N(2,σ2 )且P(2 例2．17：设随机变量X 服从正态分布N(0,1)，对给定的)10(<<αα，数αu 满足 αα=>}{u X P ，若α=<}{x X P ，则x 等于 (A) 2 αu . (B) 2 1α - u . (C) 2 1α-u . (D) α-1u . 例2．18：已知随机变量X 的分布列为 ,, ,,,,2,,,2 , 02n pq pq pq p n P X π ππ ? ， 其中1=+q p 。求X Y sin =的分布列。 例2．19：已知随机变量) 1(1 )(~2x x x f X += ，求32+=X Y 的密度函数)(y f Y 。 第二节 重点考核点 常见分布、函数分布 第三节 常见题型 1、常见分布 例2．20：若有彼此独立工作的同类设备90台，每台发生故障的概率为0.01。现配备三个修理工人，每人分块包修30台，求设备发生故障而无人修理的概率。若三人共同负责维修90台，这时设备发生故障而无人修理的概率是多少？ 例2．21：随机变量X 满足P （X>h ）=P(X>a+h ∣X>a). (a,h 均为正整数)的充分条件为： (1) X 服从几何分布 P(X=k)=p(1-p)k-1 (k=1,2,…) (2) X 服从二项分布 P(X=k)=k n C P k (1-p)n-k (k=0,1,2,…n) 例2．22：实验器皿中产生甲乙两种细菌的机会是相等的，且产生细菌的数X 服从参数为λ的泊松发布，试求： （1）产生了甲类细菌但没有乙类细菌的概率； （2）在已知产生了细菌而且没有甲类细菌的条件下，有两个乙类细菌的概率。 例2．23：设随机变量X 服从[a,b](a>0)的均匀分布，且P(0 1 ，求： （1）X 的概率密度 （2）P(1 例2．24：X,Y 独立，均服从U[1,3]，A={X ≤a}，B={Y ≤a}，已知P(A ∪B)=9 5 ,求a=？ 定义：如果P({X ≤x}∩{Y ≤y})=P(X ≤x)P(Y ≤y)，称X 与Y 独立。 例2．25：设随机主量X 的概率密度为 ?????????∈∈=其他 , 0]6,3[, 92] 1,0[,31)(x x x f 其使得3 2 )(= ≥k X P ，则k 的取值范围是 。 例2．26：设顾客到某银行窗口等待服务的时间X （单位：分）服从指数发布，其密度函数为 ??? ??≤>=-0 ,00,51)(5x x e x f x 某顾客在窗口等待服务，如超过10分钟，他就离开。他一个月到银行5次，以Y 表示一个月内 他未等到服务而离开窗口的次数，求Y 的分布列，并求P(Y ≥1)。 例2．27：X 3~N(1,72 )，则P(1 1)(| |+∞<<-∞= -x e x x φ则其分布函数F(x)是 （A ）?????? ?≥<=.0, 1,0,2 1)(x x e x F x （B ）??? ? ???≥-<=-.0211,0, 21)(x e x e x F x x （C ）??? ? ?? ?≥<-=-. 0,1,0,211)(x x e x F x （D ）????? ? ???≥<≤-<=--. 1, 1,10,211,0., 21)(x x e x e x F x x 例2．29：设随机变量X 的绝对值不大于1，即|X|≤1，且4 1 )1(,81)1(=== -=X P X P ，在事件{-1 成正比。试求X 的分布函数F(x)及P （X<0）（即X 取负值的概率）。 2、函数分布 例2．30：设随机变量X 具有连续的分布函数F(x)，求Y=F （X ）的分布函数F （y ）。 （或证明：设X 的分布函数F(x)是连续函数，证明随机变量Y=F （X ）服从U （0，1）） 例2．31：设随机变量X 的概率密度为 ??? ??∈=其他若, 0]8,1[,31 )(32 x x x f F （x ）是X 的分布函数，求随机变量Y =F （X ）的分布函数。 例2．32：假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布，平均无故障工作的时间（EX ） 为5小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数F （y ）。 第四节 历年真题 1（88，2分）设随机变量X 服从均值为10，均方差为0.02的正态分布上。已知 ， 9938.0)5.2(,21)(2 2=Φ=Φ- ∞ -? du e x u x π 则X 落在区间（9.95, 10.05）内的概率为 。 2（88，6分） 设随机变量X 的概率密度函数为) 1(1 )(2 x x f X += π，求随机变量Y=1-3X 的概率密度函数)(y f Y 。 3（89，2分） 设随机变量ξ在区间（1，6）上服从均匀分布，则方程012 =++x x ξ有实根的概率是 。 4（90，2分） 已知随机变量X 的概率密度函数| |2 1)(x e x f -= ，+∞<<∞-x ，则X 的概率分布函数F （x ）= 。 5（93，3分） 设随机变量X 服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量2X Y =在（0， 4）内的概率分布密度=)(y f Y 。 6（95，6分） 设随机变量X 的概率密度为 ?? ?<≥=-0 , 00)(x x e x f x X ，求随机变量X e Y =的概率密度)(y f Y 。 7（02，3分） 设随机变量X 服从正态分布)0)(,(2>σσμN ，且二次方程 042=++X y y 无实根的概率为 2 1 ，则=μ 。 8（04，4分） 设随机变量X 服从正态分布N(0,1)，对给定的)10(<<αα，数αu 满足αα=>}{u X P ，若α=<}{x X P ，则x 等于 (A) 2 αu . (B) 2 1α - u . (C) 2 1α-u . (D) α-1u . [ ] 9．（06，4分）设随机变量X 服从正态分布( )2 1 1,σμN ，Y 服从正态分布()2 2 2 ,σμN ，且 {}{}1121<-><-μμY P X P ， （A ）21σσ< （B ）21σσ> （C ）21μμ< （D ）21μμ> 数学三： 1（87，2分）（是非题） 连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于0。 2（87，4分） 已知随机变量X 的概率分布为P {X =1}=0.2，P {X =2}=0.3, P {X =3}=0.5试写出其分布函数F (x ). 3（88，6分） 设随机变量X 在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量X e Y 2=的 概率密度f (y )。 4（89，3分） 设随机变量X 的分布函数为 ??? ? ? ???? >≤≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x A x x F 若若若 则A = ，}6 |{|π < X P = 。 5（89，8分） 设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布，现在对X 进行三次独立观测， 试求至少有两次观测值大于3的概率。 6（90，7分） 对某地抽样调查的结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。 [附表]： 999 .0994.0977.0933.0841.0692.0500.0)(0 .35.20.25.10.15.00x x Φ 表中)(x Φ是标准正态分布函数。 7（91，3分） 设随机变量X 的分布函数为 ????? ? ?≥<≤<≤-<=≤=3, 131,8.01 1-,4.01, 0)()(x x x x x X P x F 若若若若 则X 的概率分布为 。 8（91，5分） 一辆汽车沿一街道行驶，要过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红、绿两种信号显示的时间相等。以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X 的概率分布。 9（92，7分） 设测量误差X~N （0，102 ）。试求在100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率α，并用泊松分布求出α的近似值（要求小数点后取两位有效数字）。 [附表]： 001 .0002 .0007 .0018 .0050 .0135 .0368 .07654321λ λ -e 10（93，8分） 设一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数N （t ）服从参数为λt 的泊松分布。 （1） 求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布； （2） 求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q 。 11（94，3分） 设随机变量X 的概率密度为 ? ? ?<<=其他,01 0,2)(x x x f 以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件}2 1 {≤ X 出现的次数，则==}2{Y P 。 12（95，3分） 设随机变量X~N （μ，σ2 ），则随着σ的增大，概率)|(|σμ<-X P （A ）单调增大。 （B ）单调减小。 （C ）保持不变。 （D ）增减不定。 13（97，7分） 设随机变量X 的绝对值不大于1，4 1 )1(,81)1(=== -=X P X P 。在事件{-1 14（00，3分） 设随机变量X 的概率密度为 ?????????∈∈=其他 若若, 0]6,3[, 92]1,0[,31 )(x x x f ，若k k X P k 则使得,3 2 }{= ≥的取值范围是 。 15（03，13分） 设随机变量X 的概率密度为 ??? ??? ?∈=其他 若,0] 8,1[,31 )(32x x x f .)(.)(的分布函数求随机变量的分布函数是X F Y X x F = 16（04，4分） 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足 αu X P α=>}{, 若αx X P =<}|{|, 则x 等于 (A) 2 αu . (B) 2 1αu - . (C) 2 1αu -. (D) αu -1. [ ] 17．（06，4分）设随机变量X 服从正态分布( ) 2 11,σμN ，随机变量Y 服从正态分布 () 222,σμN ，且{}{}1121<-><-μμY P X P ，则必有（ ） （A ）21σσ< （B ）21σσ> （C ）21μμ< （D ）21μμ> 数学四： 1（87，2分）（是非题） 连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于0。（ ） 2（88，6分） 设随机变量X 在区间[1，2]上服从均匀分布，试求随机变量Y =e 2X 的概率密度f(y). 3（89，3分） 设随机变量X 的分布函数为 F(x)?? ?? ? ? ???>≤≤<2200, 1,sin ,0ππx x x x A 若若若 ，则A = ，P {|X |＜ 6 π ＝ 。 4（89，8分） 某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小时）都服从同一指数分布，分布密度为 f(x)=?? ? ??≤?-00, 0,6001600 x x e x 若若 试求：在仪器使用的最初200小时内，至少有一只电子元件损坏的概率。 5（90，7分） 对某地抽样调查的结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。 999 .00 .3994.05.2977.00.2933.05.1841.00.1692.05.0500.00)(x x Φ 表中Φ（x ）是标准正态分布函数。 6（91，7分） 在电源电压不超过200V 、在200～240V 和超过240V 三种情形下，某种 电子元件损坏的概率分别为0.1、0.001和0.2，设电源电压X ～N （220，252 ），试求 （1） 该电子元件损坏的概率α； （2） 该电子元件损坏时，电源电压在200～240V 的概率β。 919 .040 .1885.020.1841.000.1788.080.0726.060.0655.040.0579.020.0530.010.0)(x x Φ 表中Φ（x ）是标准正态分布函数。 7（92，7分） 设测量误差X ～N （0，102 ）。试求在100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率α，并用泊松分布求出α的近似值（要求小数点后取两位 有效数字）。 001.07002.06007.05018.04050.03135.02368.01λ λ -e 8（93，8分） 设一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数N （t ）服从参数为λ的泊松分布。 （1）求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布； （2）求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q 。 9（94，7分） 设随机变量X 的概率密度为 f (x )=? ??<<其他,010,2x x 现对X 进行n 次独立重复观测，以V n 表示观测值不大于0.1的次数，试求随机变量V n 的概率分 布。 10（95，3分） 设随机变量X ～N （μ，σ2 ），则随着σ的增大，概率P ﹝|X-μ|＜σ﹞ （A ）单调增大。 （B ）单调减小。 （C ）保持不变。 （D ）增减不定。 11（95，7分） 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，证明：Y =1-e -2X 在区间（0，1）上服从均匀分布。 12（96，3分） 一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率p i =1 1 +i (i=1，2，3)，以X 表示3个零件中合格品的个数，则P （X =2）= 。 13（97，3分） 设随机变量服从参数为（2，p ）的二项分布，随机变量Y 服从参数为（3， p ）的二项分布，若P {X ≥1}=9 5，则P {Y ≥1}= 。 14（97，8分） 设随机变量X 的绝对值不大于1，P {X =-1}= 81，p {X =1}=4 1 ，在事件{-1 正比。试求： （1） X 的分布函数};{)(x X p x F ≤= （2） X 取负值的概率。 15（99，3分） 设随机变量X 服从指数分布，则随机变量Y =min{X , 2}的分布函数 （A ）是连续函数 （B ）至少有两个间断点 （C ）是阶梯函数 （D ）恰好有一个间断点 16（03，13分） 设随机变量X 的概率密度为 ??? ??∈=其他若, 0]8,1[,31 )(32 x x x f F （x ）是X 的分布函数，求随机变量Y =F （X ）的分布函数。 17（04，4分） 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足 αu X P α=>}{, 若αx X P =<}|{|, 则x 等于 (A) 2 αu . (B) 2 1αu - . (C) 2 1αu - . (D) αu -1. [ ] 18．（06，4分）设随机变量X 服从正态分布( ) 2 11,θu N ，随机变量Y 服从正态分布 () 222,θu N ，且{}{}11321<-><-u Y P u X P ，则必有（ ） （A ）21θθ< （B ）21θθ> （C ）21u u < （D ）21u u > 第三章 多维随机变量 第一节 基本例题 例3．1 二维随机向量（X ，Y ）共有六个取正概率的点，它们是：（1，-1），（2，-1），（2，0），2，2），（3，1），（3，2），并且（X ，Y ）取得它们的概率相同，则（X ，Y ）的联合分布及边缘分布为 例3．2： 设二维连续型随机变量（X ，Y ）在区域D 上服从均匀分布，其中 },1||,1|:|),{(≤-≤+=y x y x y x D 求X 的边缘密度f X (x) 例3．3：设随机变量X 以概率1取值0，而Y 是任意的随机变量，证明X 与Y 相互独立。 例3．4：如图3.1，f(x,y)=8xy, f X (x)=4x 3, f Y (y)=4y-4y 3 ，不独立。 例3．5：f(x,y)=? ??≤≤≤≤其他,01 0,20,2y x Axy 例3．6：设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，且X ～U （0，1），Y ～e （1），求Z=X+Y 的分布 密度函数f z (z)。 例3．7：设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为 ,6.04 .021~???? ? ?? ???X 而Y 的概率密度为e(1)，求随机变量U= 1 +Y X 的概率密度g(u)。 第二节 重点考核点 二维随机变量联合分布函数、随机变量的独立性、简单函数的分布 第三节 常见题型 1、二维随机变量联合分布函数 例3．8：如下四个二元函数，哪个不能作为二维随机变量（X ，Y ）的分布函数？ （A ）?? ? ? ?+∞<<+∞<<--=--. ,0, 0,0),1)(1(),(1其他y x e e y x F y x （B ）.3arctan 22arctan 2 1),(2 2??? ??+??? ??+= y x y x F π ππ （C ）?? ? ? ?<+≥+=. 12,0, 12, 1),(3y x y x y x F （D ）?? ? ? ?+∞<<+∞<<+--=----. ,0, 0,0,2221),(4其他y x y x F y x y x [ ] 例3．9：设X 与Y 是两个相互独立的随机变量，它们均匀地分布在（0,l ）内，试求方程t 2 +Xt+Y=0有实根的概率。 例3．10：将一枚均匀硬币连掷三次，以X 表示三次试验中出现正面的次数，Y 表示出现正面的次数与出现反面的次数的差的绝对值，求（X ，Y ）的联合分布律。 例3．11：设随机变量2,1,412141101~=??? ?? ? ????????-i X i ，且1)0(21==X X P ，求).(2 1X X P = 例3．12：设某班车起点站上车人数X 服从参数为)0(>λλ的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0 二维随机向量（X ，Y ）的概率分布。 例3．13：设平面区域D 是由x y 1= 与直线y=0,x=1,x=e 2 所围成（如图3.15），二维随机向量ξ=（X ，Y ）在D 上服从均匀分布，求（X ，Y ）关于X 的边缘分布密度在x=2处的值。 例3．14：设随机变量X 在区间)1,0(上服从均匀分布，在)10(<<=x x X 的条件下，随机变量Y 在区间),0(x 上服从均匀分布，求 (Ⅰ) 随机变量X 和Y 的联合概率密度；(Ⅱ) Y 的概率密度； (Ⅲ) 概率}1{>+Y X P ． 2、随机变量的独立性 例3．15：设随机变量X 在1，2，3，4四个整数中等可能地取值，另一随机变量Y 在1～X 中等可能地取一整数值，试求（X ，Y ）的分布律，X ，Y 的边缘分布律，并判断独立性。 例3．16：设随机变量X 与Y 独立，并且P(X=1)=P(Y=1)=p ，P(X=0)=P(Y=0)=1-p=q ，0 ?? ?++=为奇数， 若为偶数， 若Y X Y X Z 0 1 ，问当p 取何值时，X 与Z 相互独立？ 例3．17：设,3arctan 2arctan ),(~),(?? ? ?? +??? ??+=y C x B A y x F Y X ξ 求：（1）A ，B ，C 的值；(2) f(x,y); (3) f 1(x),f 2(y) (4) 判断独立性。 例3．18：设（X ，Y ）的密度函数为?? ? ? ?>>=-. ,0, ,0),(其他x y x e y x y ? 试求： （1）X ，Y 的边缘密度函数，并判别其独立性； （2）（X ，Y ）的条件分布密度；（3）P （X>2|Y<4）. 3、简单函数的分布 例3．19：设随机变量)4,3,2,1(=i X i 相互独立同B （1，0，4），求行列式 4 3 2 1 X X X X X = 的概率分布。 例3．20：设随机变量（X ，Y ）的分布密度为 ?? ? ? ?<<<<=. ,0, 0,103),(其他x y x x y x ? 试求 Z =X-Y 的分布密度。 例3．21：设随机变量X 和Y 的联合分布是正方形G={（x,y ）|1≤x ≤3, 1≤y ≤3}上的均匀分布，试求随机变量U=|X-Y|的概率密度f(u). 例3．22：设某型号的电子元件寿命（以小时计）近似服从N （160，202 ）分布，随机选取4件，求其中没有一件寿命小于180小时的概率。 例3．23：对某种电子装置的输出测量了5次，得到的观察值54321,,,,X X X X X ，设它们是相互独立的变量，且都服从同一分布 ??? ??? ?≥-=- . ,0, 0,1)(82 其他x e z F z 试求：4},,,,m ax {54321>X X X X X 的概率。 例3．24：设1021,,,X X X 相互独立同N （0，22 ）分布，求常数a, b, c, d 使 第一讲 随机事件和概率 考试要求：数学一、三、四要求一致。 了解：样本空间的概念 理解：随机事件，概率，条件概率，事件独立性，独立重复试验 掌握：事件的关系与运算，概率的基本性质，五大公式（加法、减法、乘法、全概率、贝叶斯），独立性计算，独立重复试验就算 会计算：古典概率和几何型概率。 §1 随机事件与样本空间 一、随机试验：E （1）可重复（2）知道所有可能结果（3）无法预知 二、样本空间 试验的每一可能结果——样本点ω 所有样本点全体——样本空间Ω 三、随机事件 样本空间的子集——随机事件 A B C 样本点——基本事件， 随机事件由基本事件组成。 如果一次试验结果，某一基本事件ω出现——ω发生，ω出现 如果组成事件A 的基本事件出现——A 发生，A 出现 Ω——必然事件 Φ——不可能事件 §2 事件间的关系与运算 一．事件间关系 包含，相等，互斥，对立，完全事件组，独立 二．事件间的运算： 并，交，差 运算规律：交换律，结合律，分配律，对偶律 概率定义，集合定义，记号，称法，图 三．事件的文字叙述与符号表示 例2 从一批产品中每次一件抽取三次，用(1,2,3)i A i =表示事件： “第二次抽取到的是正品”试用文字叙述下列事件： （1）122313A A A A A A U U ； （2）123A A A ； （3）123A A A U U ； （4）123123123A A A A A A A A A U U ； 再用123,,A A A 表示下列事件： (5)都取到正品； (6)至少有一件次品； (7)只有一件次品； (8)取到次品不多于一件。 §3 概率、条件概率、事件独立性、五大公式 一．公理化定义 ,,A P Ω (1)()0P A ≥ (2)()1P Ω= (3)1212()()()()n n P A A A P A P A P A =++++U UL U UL L L ,i j A A i j =?≠ 二．性质 (1)()0P ?= （2）1212()()()()n n P A A A P A P A P A =++++U UL U UL L L ,i j A A i j =?≠ (3)()1()P A P A =- (4),()()A B P A P B ?≤ (5)0()1P A ≤≤ 三．条件概率与事件独立性 (1)() ()0,(),() P AB P A P B A P A >= 事件A 发生条件下事件B 发生的条件概率； (2)()()(),P AB P A P B =事件,A B 独立， ,A B 独立,A B € 独立,A B € 独立,A B € 独立； 第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜 色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？ 历年考研概率真题集锦（2000-2019） ——对应茆诗松高教出版社“概率论与数理统计” 第一章 §1.1 1、（2001数学四）（4）对于任意二事件A 和B ，与A B B ?=不等价的是（ ） A 、A B ? B 、B A ? C 、AB =Φ D 、AB =Φ 2、（2000数学三、四）（5）在电炉上安装4 个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，电炉就断电。以E 表示事件“电炉断电”，而(1)(2)(3)(4)T T T T ≤≤≤为4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于（ ） (A ) {}(1)0T t ≥ (B ) {}(2)0T t ≥ (C ) {}(3)0T t ≥ (D ) {} (4)0T t ≥ §1.2 1、（2007数学一、三）(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于1 2 的概率为________. §1.3 1、（2009数学三）（7）设事件A 与事件B 互不相容，则( ) (A )()0P AB = (B )()()()P AB P A P B = (C )()1()P A P B =- (D )()1P A B ?= 2、（2015数学一、三）(7) 若A ,B 为任意两个随机事件，则( ) (A ) ()()()≤P AB P A P B (B ) ()()()≥P AB P A P B (C ) ()()()+2≤ P A P B P AB (D ) ()()() +2 ≥P A P B P AB 3、（2019数学一、三）（7）设A 、B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是（ ） （A ）()()()P A B P A P B =+U （B ） ()()()P AB P A P B = （C ）()()P AB P B A = （D ）()()P AB P AB = §1.4 概率统计讲义 一．近5年全国卷高考题回顾 1.（2012?新课标 第11题） 将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（ ） （A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种 2.（2012?新课标 第18题）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理． （1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式． 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 （i ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列，数学期望及方差； （ii ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由． （1）当时， ， 当 时， ， 得：() *∈?? ?≥≤-=N n n n n y 16 ,8015 ,8010 （2）（ⅰ）X 可取60，70，80。 ， X 的分布列为 ， 。 （ⅱ）购进17枝时，当天的利润为76.4 > 76，从利润角度看，故应购进17枝。 而此时 ，说明购17支在利润相差不大的情况下，其波动较大，故购16支也可。 3.（2013 新课标 第3题）为了解某地区中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理抽样方法是( ) A 、简单随机抽样 B 、按性别分层抽样 C 、按学段分层抽样 D 、系统抽样 4.（2013 新课标 第19题）.一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任 取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n 。如果n=3，再从这批产品中任取4件作 概率论基础知识 第一章随机事件及其概率 一随机事件 §1几个概念 1、随机实验:1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。 例如：E1：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况； E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。 2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件常记为A，B，C……例如，在E1中，A表示“掷出2点”，B表示“掷出偶数点”均为随机事件。 3、必然事件与不可能事件：记为Ω。每次试验都不 记为Φ。 例如，在E1中，“掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而“掷出大于6点”的事件便是 不可能事件,以后 4、基本事件： 例如，在E1中，“掷出1点”，“掷出2点”，……，“掷出6点”均为此试验的基本事件。 例如，在E1中“掷出偶数点”便是复合事件。 5、样本空间：从集合观点看，常记为e. 例如，在E1中，用数字1，2，……，6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}，{2}，…{6}便是E1中的基本事件。在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有（H，H），（H，T），（T，H），（T，T），其基本事件便是{（H，H）}，{（H，T）}，{（T，H）}，{（T，T）}显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。 例如，在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为{2，4，6}。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为Ω。 例如， 在E1中，Ω={1，2，3，4，5，6} 在E2中，Ω={（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）} 在E3中，Ω={0，1，2，……} 第一讲 随机事件与概率 考试要求 1. 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系与运算. 2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率, 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式, 以及贝叶斯公式. 3. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概率, 掌握计算有关事件概率的方法. 一、古典概型与几何概型 1．试验，样本空间与事件. 2．古典概型：设样本空间Ω为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，则 基本事件总数 中有利事件数 A A P = )( 3．几何概型：设Ω为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现具有等可能性，则 、体积）Ω的度量（长度、面积、体积）A的度量（长度、面积= )(A P 【例1】 一个盒中有4个黄球, 5个白球, 现按下列三种方式从中任取3个球, 试求取出的球中有2个黄球, 1 个白球的概率. （1） 一次取3个； （2） 一次取1 个, 取后不放回； （3） 一次取1个, 取后放回. 【例2 】从 （0，1） 中随机地取两个数，试求下列概率： （1） 两数之和小于1.2； （2） 两数之和小于1且其积小于 16 3. 一、 事件的关系与概率的性质 1. 事件之间的关系与运算律（与集合对应）, 其中特别重要的关系有： （1） A 与B 互斥（互不相容） ? Φ=AB （2） A 与B 互逆（对立事件） ? Φ=AB , Ω=B A （3） A 与B 相互独立? P （AB ）=P （A ）P （B ）. ? P （B|A ）=P （B ） （P （A ）>0）. ?(|)(|)1P B A P B A += （0 0） ? 1)|()|(=+B A P B A P （0 2002年全国硕士研究生入学统一考试数学（四）试题 一、 填空题（每小题3分） 二、 选择题（每小题3分） （4）设 X 1 和 X 2 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 )(1 x f 和 )(2 x f ，分布函数分别为)(1x F 和)(2x F ，则（ ） （A ）)(1 x f + )(2 x f 必为某一随机变量的概率密度。 （B ）)(1x F )(2 x F 必为某一随机变量的分布函数 （C ）)(1 x F +)(2 x F 必为某一随机变量的分布函数 （D ） ) (1 x f )(2 x f 必为某一随机变量的概率密度 （5）设随机变量 X 1 ， X 2 ，…， X n 相互独立， X X X S n n K ++=2 1 ，则根据列 维-林德伯格（Levy-Lindberg ）中心极限定理，当n 充分大时，S n 近似服从正态分布，只 要 X 1 ， X 2 … X n （ ） （A ）有相同的数学期望 （B ）有相同的方差 （D ）服从同一指数分布 （D ）服从同一离散型分布 十一、（本题满分8分） 设A ，B 是任意二事件，其中A 的概率不等于0和1，证明， )()(- =A B P A B P 是事件A 与B 独立的充分必要条件。 十二、（本题满分8分） 假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布，平均无故障工作的时间（EX ）为5小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作两小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数F （y ）。 2003年全国硕士研究生入学统一考试数学（四）试题 一 、填空题（每小题4分） （6）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5，EX=EY=0，222 ==EY EX ，则 概率统计 第一讲 随机事件和概率 考试要求：数学一、三、四要求一致。 了解：样本空间的概念 理解：随机事件，概率，条件概率，事件独立性，独立重复试验 掌握：事件的关系与运算，概率的基本性质，五大公式（加法、减法、乘法、全概率、贝叶斯），独立性计算，独立重复试验就算 会计算：古典概率和几何型概率。 §1随机事件与样本空间 一、随机试验：E （1）可重复（2）知道所有可能结果（3）无法预知 二、样本空间 试验的每一可能结果——样本点ω 所有样本点全体——样本空间Ω 三、随机事件 样本空间的子集——随机事件A B C 样本点——基本事件，随机事件由基本事件组成。 如果一次试验结果，某一基本事件ω出现——ω发生，ω出现 如果组成事件A的基本事件出现——A发生，A出现 Ω——必然事件Φ——不可能事件 §2事件间的关系与运算 一．事件间关系 包含，相等，互斥，对立，完全事件组，独立 二．事件间的运算： 并，交，差 运算规律：交换律，结合律，分配律，对偶律 概率定义，集合定义，记号，称法，图 三．事件的文字叙述与符号表示 例2 从一批产品中每次一件抽取三次，用(1,2,3)i A i =表示事件： “第i 次抽取到的是正品”试用文字叙述下列事件： （1）122313A A A A A A ； （2）123A A A ； （3）1 23A A A ； （4）123123123A A A A A A A A A ； 再用123,,A A A 表示下列事件： (5)都取到正品； (6)至少有一件次品； (7)只有一件次品； (8)取到次品不多于一件。 §3 概率、条件概率、事件独立性、五大公式 一．公理化定义 ,,A P Ω (1)()0P A ≥ (2)()1P Ω= (3)1 2 12()()()()n n P A A A P A P A P A =++ ++ ,i j A A i j =?≠ 二．性质 (1)()0P ?= （2）1 2 12()()()()n n P A A A P A P A P A =++ ++ ,i j A A i j =?≠ (3)()1()P A P A =- (4),()()A B P A P B ?≤ (5)0()1P A ≤≤ 三．条件概率与事件独立性 (1)() ()0,(),() P AB P A P B A P A >=事件A 发生条件下事件B 发生的条件概率； (2)()()(),P AB P A P B =事件,A B 独立， ,A B 独立 ,A B 独立 ,A B 独立 ,A B 独立； ()0P A >时,,A B 独立()()P B A P B =； (3)1 2 1 212(,,,)()() () 1k k i i i i i i k P A A A P A P A P A i i i n =≤<<<≤ 称12,,n A A A 相互独立,(2321n n n n n C C C n +++=--个等式) 考研数学基础班概率统计讲义 第一章随机事件与概率 一、随机试验与随机事件 （一）基本概念 1、随机试验—具备如下三个条件的试验： （1）相同条件下可重复。（2）试验的可能结果是多样的且是确定的。 （3）某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为E。 2、样本空间—随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。 3、随机事件—样本空间的子集称为随机事件。 （二）事件的运算 1、事件的积—事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A,B的积，记为AB。 2、事件的和—事件A或者事件B发生,称为事件A,B的和事件，记为A+ B。 3、事件的差—事件A发生而事件B不发生,称事件A,B的差事件，记为A- B。 （三）事件的关系 1、包含—若事件A发生则事件B一定发生，称A包含于B，记为A? B。若 A? B且B? A，称两事件相等，记A= B。 2、互斥（不相容）事件—若A与B不能同时发生，即AB= φ ，称事件A,B不相容或互斥。 3、对立事件—若AB = φ 且A+ B = ∧ 称事件A,B为对立事件。 【注解】（1）A= (A- B)+ AB，且A- B与AB互斥。 （2）A+ B= (A- B)+ (B- A)+ AB，且A- B,B- A,AB两两互斥。 （四）事件运算的性质 1、（1）AB? A(或B)? A+ B；（2）AB= BA,A+ B= B+ A； 2、（1）A? A= A,A? A= A； （2）A? (B? C)= (A? B)? (A? C),A? (B? C)= (A? B)? (A? C)； 3、（1）A= (A- B)? A；（2）(A- B)? A= A- B； （3）A+ B= (A- B)? AB? (B- A)。 4、（1）A+ A= ∧ ；（2）A? A= φ 。 二、概率的定义与性质 （一）概率的定义—设随机试验的样本空间为∧ ，满足如下条件的随机事件的函数P(?)称为所对应事件的概率： 2017考研数学：概率论重要知识点梳理 来源：文都图书 概率论在历年考研数学真题中特点比较明显。概率论与数理统计对计算技巧的要求低一些，一些题目，尤其是文字叙述题要求考生有比较强的分析问题的能力。所以考生应在这门中尽量做到那全分，这样才能保证数学的分数，下面我们整理了一些概率论的重要知识点： 第一部分：随机事件和概率 (1)样本空间与随机事件 (2)概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式) (3)条件概率与概率的乘法公式 (4)事件之间的关系与运算(含事件的独立性) (5)全概公式与贝叶斯公式 (6)伯努利概型 其中：条件概率和独立为本章的重点，这也是后续章节的难点之一，考生务必引起重视， 第二部分：随机变量及其概率分布 (1)随机变量的概念及分类 (2)离散型随机变量概率分布及其性质 (3)连续型随机变量概率密度及其性质 (4)随机变量分布函数及其性质 (5)常见分布 (6)随机变量函数的分布 其中：要理解分布函数的定义，还有就是常见分布的分布律抑或密度函数必须记好且熟练。 第三部分：二维随机变量及其概率分布 (1)多维随机变量的概念及分类 (2)二维离散型随机变量联合概率分布及其性质 (3)二维连续型随机变量联合概率密度及其性质 (4)二维随机变量联合分布函数及其性质 (5)二维随机变量的边缘分布和条件分布 (6)随机变量的独立性 (7)两个随机变量的简单函数的分布 其中：本章是概率的重中之重，每年的解答题定会有一道与此知识点有关，每个知识点都是重点，务必重视! 第四部分：随机变量的数字特征 (1)随机变量的数字期望的概念与性质 (2)随机变量的方差的概念与性质 (3)常见分布的数字期望与方差 (4)随机变量矩、协方差和相关系数 其中：本章只要清楚概念和运算性质，其实就会显得很简单，关键在于计算 第五部分：大数定律和中心极限定理 (1)切比雪夫不等式 (2)大数定律 (3)中心极限定理 其中：其实本章考试的可能性不大，最多以选择填空的形式，但那也是十年前的事情了。 第六部分：数理统计的基本概念 (1)总体与样本 (2)样本函数与统计量 (3)样本分布函数和样本矩 其中：本章还是以概念为主，清楚概念后灵活运用解决此类问题不在话下 第七部分：参数估计 (1)点估计 (2)估计量的优良性 (3)区间估计 考研概率论部分历年真题（总结） 数学一： 1（87，2分） 设在一次试验中A 发生的概率为p ，现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为 ；而事件A 至多发生一次的概率为 。 2（87，2） 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 。已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。 3（88，2分） 设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率等于2719，则事件A 在一次试验中出现的概率为 。 4（88，2分） 在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为 。 5（89，2分） 已知随机事件A 的概率P （A ）=0.5，随机事件B 的概率P （B ）=0.6及条件概率P （B | A ）=0.8，则和事件A B 的概率P （A B ）= 。 6（89，2分） 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 。 7（90，2分） 设随机事件A ，B 及其和事件A B 的概率分别是0.4, 0.3和0.6，若B 表示B 的对立事件，那么积事件A B 的概率P （A B ）= 。 8（91，3分） 随机地向半圆0 考研数学备考：概率论各章节知识点梳理考研备考时间已然快要过半，还在为了备考方法焦灼？不用担心！老司机带你上车，下面由我为你精心准备了“考研数学备考：概率论各章节知识点梳理”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！ 考研数学备考：概率论各章节知识点梳理 众所周知，概率论的知识点又多又杂，需要我们系统的归类并掌握，这样才能获得高分。为此我整理了相关内容，希望对大家有所帮助。 第一部分：随机事件和概率 (1)样本空间与随机事件 (2)概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式) (3)条件概率与概率的乘法公式 (4)事件之间的关系与运算(含事件的独立性) (5)全概公式与贝叶斯公式 (6)伯努利概型 其中：条件概率和独立为本章的重点，这也是后续章节的难点之一，请各位研友务必重视起来。 第二部分：随机变量及其概率分布 (1)随机变量的概念及分类 (2)离散型随机变量概率分布及其性质 (3)连续型随机变量概率密度及其性质 (4)随机变量分布函数及其性质 (5)常见分布 (6)随机变量函数的分布 其中：要理解分布函数的定义，还有就是常见分布的分布律抑或密度函数必须记好且熟练。 第三部分：二维随机变量及其概率分布 (1)多维随机变量的概念及分类 (2)二维离散型随机变量联合概率分布及其性质 (3)二维连续型随机变量联合概率密度及其性质 (4)二维随机变量联合分布函数及其性质 (5)二维随机变量的边缘分布和条件分布 (6)随机变量的独立性 (7)两个随机变量的简单函数的分布 其中：本章是概率的重中之重，每年的解答题定会有一道与此知识点有关，每个知识点都是重点，务必重视! 第四部分：随机变量的数字特征 (1)随机变量的数字期望的概念与性质 (2)随机变量的方差的概念与性质 (3)常见分布的数字期望与方差 (4)随机变量矩、协方差和相关系数 其中：本章只要清楚概念和运算性质，其实就会显得很简单，关键在于计算。 第五部分：大数定律和中心极限定理 (1)切比雪夫不等式 (2)大数定律 (3)中心极限定理 第3章 数字特征 1． （1987年、数学一、填空） 设随机变量X 的概率密度函数,1 )(1 22 -+-= x x e x f π 则 E(X)=( ),)(X D =( ). [答案 填：1； 2 1.] 由X 的概率密度函数可见X ～N(1, 21 ),则E(X)=1，)(X D =2 1. 2． （1990年、数学一、填空） 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Z=3X-2, 则E(X)=( ). [答案 填：4] 3． （1990年、数学一、计算） 设二维随机变量(X,Y)在区域D:0 4． （1991年、数学一、填空） 设X ～N(2，2 σ）且P{2 清华大学2000年概率统计研究生入学考试试题 一、设(|)0.5P A B =，(|)0.4P B A =，()0.6P A =。求()P A B ?，并问事件A 与事件B 是否独立，为什么？ 二、设随机向量(,)X Y 服从二维正态分布2 2 1212(,,,,)N a a σσρ。试证明：U X Y =+和 V X Y =-独立。 三、设（12,,,n X X X ）是正态总体2 (,)X N μσ 的一个简单样本，X 为样本均值，求 1 (||)n i i E X X =-∑。 四、设12,,,n X X X 是总体X 的简单样本，而总体101X q r p -?? ? ?? （ 表示遵从），其中01,01,1p q p q r <<<<++=， 1） 求12,,,n X X X 最大值M 的分布。 2） 设0r =。当n 充分大时，利用极限定理求样本均值X 的近似分布。 五、设总体X 的概率密度函数为 (),()0, x e x f x λμλμμ --?>=? ≤?x 。 这里μ和λ（>0）都是参数。又设12,,,n X X X 为该总体的简单样本，而12,,,n x x x 为其样本观察值。 1） 设λ已知，求μ的极大似然估计 L μ 2） 设μ已知，求λ的矩估计 M λ 。 六、设网络中在(0,]t 时段内到某个网站访问的次数(0,]t ξ，0t ≥，是强度为λ（>0）的 Poisson 流。 （1）试求第k 次访问次网站的时间k η的分布，k 为正整数； （2）求比 1 2 ηη的分布和120(|)E t ηη=，00t >； （3）利用Poisson 流的性质，证明Poisson 的可加性，即若随机变量1X ，2X 独立，且()i i X p λ （服从参数为i λ的Poisson 分布），1,2i =。则12X X +12()P λλ+ 。 清华大学2001年概率统计研究生入学考试试题 一、某项福利彩票的抽奖活动中有n 个号码（1,,n ），中奖的号码定为k 个，采用无放回 随机抽样。求k 个中奖号码算术平均值的期望。 二、12,,,n X X X 为独立2 (,)N μσ分布样本，X 为样本均值， 1） 求(||)i E X X -； 2） 用 1 ||n i i c X X σ==-∑作为σ的估计，确定c 使得次估计是无偏的。 三、1212,,;,,X X Y Y ，为两串随机变量序列。 1） 设当n →∞，n Y 依分布收敛到常数a ，证明n Y 依概率收敛到a 。 2） 设当n →∞，n X 依概率收敛到随机变量X ，n Y 依概率收敛到随机变量Y ，证明 n n X Y +依概率收敛到X Y +。 四、设X 和Y 为两个独立的随机变量，都服从期望值为θ的指数分布。 （1）求在已知X Y t +=的条件下，Y 的条件分布； （2）求 Y X Y +的分布。 五、12,,,n X X X 为独立(,1)N μ分布随机变量，记12(,,,)T n X X X X = ，A 为n 阶对 称矩阵。证明，当下列的三条件: （1）2 A A = （2）()tr A k = （3）AI =0，其中I 为所有元素为1的n 阶向量，0为所有元素为0的n 阶向量 全部满足时，T X AX 服从自由度为k 的2 χ分布。 第一章随机事件与概率 §1.1 随机事件 1.1.1 随机试验与样本空间 概率论约定为研究随机现象所作的随机试验应具备以下三个特征： （1）在相同条件下试验是可重复的； （2）试验的全部可能结果不只一个，且都是事先可以知道的； （3）每一次试验都会出现上述可能结果中的某一个结果，至于是哪一个结果则事前无法预知。 为简单计，今后凡是随机试验皆简称试验，并记之以英文字母E。称试验的每个可能结果为样本点，并称全体样本点的集合为试验的样本空间，分别用希腊字母ω和Ω表示样本点及样本空间。 必须指出的是这个样本空间并不完全由试验所决定，它部分地取决于实验的目的。假设抛掷一枚硬币两次，出于某些目的，也许只需要考虑三种可能的结果就足够了，两次都是正面，两次都是反面，一次是正面一次是反面。于是这三个结果就构成了样本空间Ω。但是，如果要知道硬币出现正反面的精确次序，那么样本空间Ω就必须由四个可能的结果组成，正面-正面、反面-反面、正面-反面、反面-正面。如果还考虑硬币降落的精确位置，它们在空中旋转的次数等事项，则可以获得其它可能的样本空间。 经常使用比绝对必要的样本空间较大的样本空间，因为它便于使用。比如，在前面的例子中，由四个可能结果组成的样本空间便于问题的讨论，因为对于一个“均匀”的硬币这四个结果是“等可能”的。尽管这在有3种结果的样本空间内是不对的。 例 1.1.1 1E ：从最简单的试验开始，这些试验只有两种结果。在抛掷硬币这一试验中出现“正面”或“反面”；在检查零件质量时，可能是“合格”或“不合格”；当用来模拟电子产品旋转的方向时，结果是“左边”或者“右边”；在这些情况下样本空间Ω简化为：Ω={正面,反面}。 2E ：更复杂一些，有的随机试验会产生多种可能的结果，比如掷一颗骰子， 观察出现的点数。样本空间为：{1,2,3,4,5,6}Ω=。 3E : 掷两枚硬币（或者观察两个零件或两个电子产品），可以得到 Ω={（正面，正面）、（反面，反面）、（正面，反面）、（反面，正面) } 读者可以将其推广到掷n 个硬币，样本空间里有多少样本点呢？ 4E ：再复杂一些，一名射手向某目标射击，直至命中目标为止，观察其命中目 标所进行的射击次数。从理论上讲，只要不能击中目标,射手就必须一直射下去，故样本空间为 {1,2,3,,,}n Ω=L L ， 其中含无穷多个样本点。这也适用于商品销售，假设商场可以无限量地销售某种商品，每天销售的该商品数的样本空间为},2,1,0{Λ=Ω。 5E ：在人类学研究中“随机抽取一个人”并测量他的身高和重量，电梯设计师能利用这些资料设计电梯的空间和载重，对于中国人，身高（单位：米）的样本空间取]}5.2,0[,{∈=Ωωω就足够了，体重（单位：公斤）的样本空间取]}200,0[,{∈=Ωωω也许就足够了。 在大部分实际的设计问题中，设计师有时会同时考虑电梯使用者的所有可能的身高和体重，更具体地说，设计者通常会对同时提供了可能使用者身高和体重的结果感兴趣。因此，样本空间是 12{(,)()[0,2.5][0200]}ωωωΩ===∈?高度,重量，。 □ 历年考研概率论填空题汇总（2004—2013年） （含答案和解析） （2013Ⅰ，14）设随机变量Y 服从参数为1的指数分布，a 为大于零的常数，则(1|)P Y a Y a ≤+>=． 【详解】这是一个条件概率． 11(1,)(1)a x a a P Y a Y a e dx e e +-≤+>= =- ? ，()x a a P Y a e dx e +∞->= =? ， 从而(1,) 1(1|)1() P Y a Y a P Y a Y a P Y a e ≤+>≤+>= =- >． （2013Ⅲ，14）设随机变量X 服从标准正态分布(0,1)X N ，则2()X E Xe =． 【答案】22e （2012ⅠⅢ，14）设A ，B ，C 是随机事件，A ，C 互不相容，11(),()23 P AB P C == ， 则(|)P AB C =． 【答案】 34 【解析】由条件概率的定义，()(|)() P AB C P AB C P C =． （2011，14）设二维随机变量22(,)~(,,,,0)X Y N μμσσ，则2()E XY =． 【答案】32μμσ+ 【考点分析】本题考查二维正态分布的性质． 【解析】由于0ρ=，由二维正态分布的性质可知随机变量,X Y 独立．因此 2 2 ()E XY EX EY =?． 由于(,)X Y 服从22(,;,;0)N μμσσ，可知()2 222,EX EY DY EY μμσ==+=+，则 ()2 2 2 3 2 ()E XY μμσ μ μσ=+=+． （2010Ⅰ，14）设随机变量X 概率分布为{}(0,1,2,...)! C P X k k k ===，则2 E X =． 【答案】2 【解析】由归一性得 {}1k P X k ∞ ===∑，即0 11! k C C e k ∞ ===∑ ，所以1C e -= 即随机变量X 服从参数为 1的泊松分布，于是1DX EX ==， 2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一) 一、填空题 (5)()2D X =,则根据车贝晓夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P _____________. 二、选择题 (5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 相关系数为 (A) -1 (B)0 (C)1 2 (D)1 十一、(本题满分7分) 设某班车起点站上客人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为(01),p p <<且中途下车与否相互独立.Y 为中途下车的人数,求: (1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率. (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. 十二、(本题满分7分) 设2~(,)X N μσ抽取简单随机样本122,,,(2),n X X X n ≥ 样本均值∑==n i i X n X 2121,∑=+-+=n i i n i X X X Y 12)2(,求().E Y 2002年全国硕士研究生入学统一考试 一、填空题 (5)设随机变量),(~2 σμN X ,且二次方程042=++X y y 无实根的概率为0.5,则μ=_____________. 二、选择题 (5)设X 和Y 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(x f X 和)(y f Y ,分布函数分别为)(x F X 和)(y F Y ,则 (A))(x f X ＋)(y f Y 必为密度函数 (B) )(x f X )(y f Y 必为密度函数 (C))(x F X ＋)(y F Y 必为某一随机变量的分布函数 (D) )(x F X )(y F Y 必为某一随机变量的分布函数. 十一、(本题满分7分) 设维随机变量X 的概率密度为 ()f x = 1c o s 0220 x x x ≤≤其它 对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于 3π的次数,求2Y 的数学期望. 十二、(本题满分7分) 设总体X 的概率分布为 其中θ(1 02θ<<)是未知参数,利用总体X 的如下样本值 考研概率与数理统计 第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念例题 例1．1：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，没有平局，试问 总共输的场次是多少？ 例1．2：到美利坚去，既可以乘飞机，也可以坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有 小鹰号和Titanic 号，问有多少种走法？ 例1．3：到美利坚去，先乘飞机，后坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和 Titanic 号，问有多少种走法？ 例1．4：10人中有6人是男性，问组成4人组，三男一女的组合数。 例1．5：两线段MN 和PQ 不相交，线段MN 上有6个点A 1，A 2…，A 6，线段PQ 上有7 个点B 1， B 2，…，B 7。若将每一个A i 和每一个B j 连成不作延长的线段A i B j (i=1,2,…6;j=1,2,…,7),则由这些线段 A i B j 相交而得到的交点最多有 A ． 315个 B ． 316个 C ． 317个 D ． 318个 例1．6：3封不同的信，有4个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ 例1．7：某市共有10000辆自行车，其牌照号码从00001到10000，求有数字8的牌照号码的个数。 例1．8：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的种数？（有序） 151513=?C C 2112121515=?-?C C C C 例1．9：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的种数？（有序） 121413=?C C 1811121415=?-?C C C C 例1．10：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的种数？（无序） 121413=?C C 92225=-C C 例1．11：化简 (A+B)(A+B )(A +B) 例1．12：)()()(C B C A C B A = 成立的充分条件为： (1)C A ? (2) C B ? 例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的概率？ 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的概率？ 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的概率？ 例1．16：袋中装有α个白球及β个黑球。 ①从袋中任取a+b 个球，试求其中含a 个白球，b 个黑球的概率（a ≤α，b ≤β）。 ②从袋中任意地接连取出k+1（k+1≤α+β）个球，如果取出后不放回，试求最后取出的是白球的概率。 ③上两题改成“放回”。 例1．17：从6双不同的手套中任取4只，求其中恰有一双配对的概率。 例1．18：有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取3个，问其中至少有1个是黑色的概率？ 例1．19：设O 为正方形ABCD[坐标为（1，1），（1，-1），（-1，1），（-1，-1）]中的一点，求 其落在x 2+y 2 ≤1的概率。 2016年考研数学基础班概率统计讲义 第一章 随机事件与概率 例题选讲 一、填空题 1、设7.0)(,4.0)(=?=B A P A P ， （1）若B A ,不相容，则_______)(=B P ；（2）若B A ,相互独立，则_______)(=B P 。 【解】（1）因为B A ,不相容，()P(A)P(B)0.7P A B ?=+=,(B)0.3P = （2）由B A ,相互独立知道(AB)P(A)P(B)P =，即0.70.4(B)0.4P(B)P =+-?，得(B)0.5P =. 【解】 3、设两两相互独立的事件C B A ,,满足：2 1 )()()(,< ===C P B P A P ABC φ，且有16 9 )(= ++C B A P ，则________)(=A P 。 【解】由条件可知 2 (A B C)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC) 93P(A)3P (A)016 P ++=++---+=-+= 解得：1(A)4P = (3 4 舍去) 4、设事件B A ,满足)()(B A P AB P =，且p A P =)(，则________)(=B P 。 【解】由(AB)P(AB)1P(A B)1(A)P(B)P(AB)P P ==-+=--+得(A)P(B)1P +=,故 (B)1p P =-. 5、设B A ,为两个相互独立的随机事件，且B A ,都不发生的概率为9 1，A 发生B 不 发生的概率与A 不发生B 发生的概率相等，则________)(=A P . 【解】由(AB)P(AB),P = 又由(AB)P(A)P(AB),P(AB)P(B)P(AB)P =-=-得：
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