点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，试求原点和该点的连线与x 轴的夹角小于
/4π的概率。
四 条件概率
定义4设A 与B 为两个事件，且()0P B >。那么在“已知事件B 发生”的条件下，事件A 的条件概率(|)P A B 定义为
()
(|)()
P AB P A B P B =
。
例题13设有7个红球，5个白球，从中任取两次，每次一球不放回。令{A =第一次为红球}，{B =第二次为红球}。试球(|)P A B 与(|)P B A 。
1.4.2 乘法公式 如果()0,()0P A P B >>，根据条件概率的定义可得：
()()(|)P AB P A P B A =；
()()(|)P AB P B P A B =
1.4.3 全概率公式与Bayes 公式
定义5 设12,,,n A A A L 为一组事件，如果 （1）,i j A A i j φ=?≠； （2）
1
n
i i A ==ΩU 。
则称12,,,n A A A L 为Ω的一个划分（分割，完备事件组）。 定理1.设12,,,n A A A L 为Ω的一个划分。则对任意的事件B ，有
1
()()(|)n
i i i P B P A P B A ==∑
例题14 设有甲、乙两个盒子，甲中有7个红球3个白球；乙中有5个红球6个白球。先从甲盒中任取一球放入乙中，再从乙盒中任取一球。试求从乙盒中取出的是红球的概率。
例题15 设有3旧6新9个乒乓球，第一次比赛，任取3只，用后放回，第二次比赛，任取3只。 （1）求这3个球全新的概率。
（2）若已知第二次比赛的3个乒乓球全新，求第一次比赛的3个乒乓球为2新1旧的概率。
定理2（Bayes 公式）设12,,,n A A A L 是Ω的一个划分，如果()0,1,2,,k P A k n >=L ，则对任意事件B ，只要()0P B >，就有
1
()(|)
(|)()(|)
k k k n
i
i
i P A P B A P A B P A P B A ==
∑。
例题16 设有甲、乙两个盒子，甲中有7个红球3个白球；乙中有5个红球6个白球。先从甲盒中任取两球放入乙中，再从乙盒中任取一球。若已知从乙盒中取出的是红球，试求从甲盒中取出的是一个红球一个白球的概率。
五 独立性与贝努利试验
定义6设A 与B 为两个事件，如果等式成立：()()()P AB P A P B =，则称事件A 与B 相互独立。 性质1 设()0P A >，()0P B >，且A 与B 相互独立，则AB ≠Φ。 性质2 若()0P A >，()0P B >，且AB =Φ，则A 与B 必不独立。
性质3 在(,),(,),(,),(,A B A B A B A B 这四对事件中，如果有一对独立，则另外三对也独立。 例题17掷一均匀硬币两次，令1A ={第一次为正面}，2A ={第一次为反面}，3A ={正反面各一次}。
试判断1A ，2A ，3A 任何两个事件是否独立。
定义 7设n A A A ,,,21Λ为n 个事件，从中任取的k 个事件)2(n k ≤≤ 12,,,k i i i A A A L 都满足
1212()()()()k k i i i i i i P A A A P A P A P A =L L ，
则称事件n A A A ,,,21Λ相互独立.
如果n A A A ,,,21Λ中任何两个事件都相互独立，即
()()()
(,1,2,,;)i j i j P A A P A P A i j n i j ==≠L ，
则称n A A A ,,,21Λ两两相互独立.
例题18 由例17可知123,,A A A 是两两独立的，但由于123()()0P A A A P =Φ= 即
123123()()()()P A A A P A P A P A ≠ 所以 123,,A A A 不是相互独立的。
例题19 设事件,,A B C 相互独立，试判断A B ?与C 是否相互独立？
例题20设,A C 相互独立，,B C 相互独立，,A B 互不相容，证明A B ∪与C 相互独立。
例题21设0()1P B <<，证明,A B 相互独立的充要条件为(|)(|1P A B P A B +=。
伯努利试验 如果试验E 只有两个可能的结果：A 及A ，并且(), ()1P A p P A p q ==?=（其
中01p <<）.把试验E 独立地重复做n 次构成一个试验.用n
E 表示,这个试验称为n 重独立重复试验或n 重伯努利试验.
将一相同硬币连续抛掷n 次;向一目标连续射击n 次.这样的试验均可认为是伯努利试验. 例题22 一名射手向目标连续射击5次,已知每次命中率均为(01).p p <<且每次命中与否相互独立，求恰好命中三次的概率.
在n 次独立重复试验中,如果事件A 在每次试验中发生的概率均为p ,那么A 在这n 次试验中恰好发生k 次的概率为
, 0,1,2,k k n k n C p q k n ?=L
其中1.q p =?
例题23某学生平时根本不学习，期末参加考试，考题均为单项选择题，且每题4个选项。该生只好瞎猜（每题任选一个选项）. 若考题数量为5道, 求此人能及格的概率. 如果考题数量分别变成10道与20道时, 此人能及格的概率又是多少?
例题24 设两两相互独立的三事件,,A B C 满足条件：,()()()0.5ABC P A P B P C φ===<，且已知()9/16P A B C ∪∪=，试求()P A 。
例题25某射手对同一目标独立地进行4次射击，若至少命中一次的概率为80/81，试求该射手的命
中率。
例题26设某种微生物恰好繁殖n 个幼虫的概率为6
-!
6e n n ，每个幼虫能够成长为成虫的概率为0.5，
且每个幼虫能否成长为成虫是相互独立的，求恰有m 个幼虫能成长为成虫的概率。
第二讲 随机变量
一 随机变量的分布函数
定义1：随机变量的分布函数，设X 为一个随机变量，我们称
()()F x P X x =≤，R x ∈
为随机变量的分布函数。
如果把随机变量X 看作是实轴R 上的一个随机点，()F x 是指随机点X 落在固定点x 左方(含点x )的概率。每个随机变量都对应一个分布函数，并且是唯一的。分布函数对于研究随机变量是至关重要的，因为它包含了随机变量几乎一切概率信息。 分布函数的基本性质：
（1）()F x 为x 的右连续函数，即对0
,lim ()()h x R F x h F x +
→?∈+=。（证略） （2）()F x 为x 的单调不减函数。
以上三条性质是所有的分布函数都必须满足的。反之，若一个函数()g x 也满足上述三条性质，那么必存在一个随机变量，使g 为其分布函数。利用分布函数的定义与性质可以证明：
)()()(a F b F b X a P ?=≤< )0()()(??=≤≤a F b F b X a P )()0()(a F b F b X a P ??==<< )0()0()(???=<≤a F b F b X a P
例题 1 设)(,),(),(21x F x F x F n Λ为n 个分布函数，那么当n i a i ,,2,1,0Λ=≥，
11
=∑=n
i i
a
时，
)(1
x F a i
n
i i ∑=是分布函数。
例题2 在曲线2
2y x x =?与x 轴所围区域中等可能地投点，以X 表示该点到y 轴的距离，求X 的分布函数。
例题3 已知随机变量X 的分布函数为
1,0
()0,
0x e x F x x ???≥=?
。
例题4设随机变量X 的分布函数为
x B A x F arctan )(+=，+∞<<∞?x ，
求常数A ，B .
二 离散型随机变量
定义2 如果随机变量X 的所有可能取值为一列离散的点
（可以编号），12,,,,,i x x x L L 则称X 为一个离散型随机变量，并称概率i i p x X P ==)(),2,1(Λ=i 为X 的分布列或分布律。分布列也常常可以写成下列的形式：
???
?
????ΛΛ32
1
321
~p p p
x x x X 。
离散型随机变量的分布列必满足下述性质：
非负性 ),2,1(0Λ=≥i p i ； 归一性
11
=∑∞
=i i
p
．
下面是几个求离散随机变量分布列的例子。
例题5设在n 重独立重复试验中，事件A 在每次试验中发生的概率数为P ，以X 表示事件A 在这n 次试验中发生的次数，求X 得分布列。
例题6设某射手向一目标独立地进行连续射击，每次命中的概率都是p ，以X 表示首次命中时的射击次数，求X 的分布列。
例题7设某射手向一目标独立地进行连续射击，每次命中的概率都是p ，以X 表示第三次命中时的射击次数，求X 的分布列。
常见的离散型随机变量 1. 二项分布
定义2.2.2 设X 为一个离散型随机变量，若X 的分布列为
k
n k k n q p C k X P ?==)( n k ,,1,0Λ=。
其中，10<
2．泊松（Poisson）分布
定义 设X 为一个离散型随机变量，若X 的分布列为
λλ?=
=e k k X P k
!
)( Λ,1,0=k ，
其中，0>λ，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X ～)(λP ．
定理（泊松逼近定理）设n X ～),(n p n B ，常数0>λ，如果λ=∞
→n n np lim ，则有
λλ??∞
→=
?e k p p C k
k
n n k
n k n
n !
)
1(lim ),1,0(Λ=k ．
利用该定理以及泊松分布表，读者容易求出例8中的概率为0.021368. 3. 几何分布
定义 设X 为一个离散型随机变量，若X 的分布列为
Λ,2,1,)(1===?k pq k X P k ，
其中，p q p ?=>1,0，则称X 服从参数为p 的几何分布，记为X ～)(p G 。
例题9 （几何分布的无记忆性） 设X 服从参数为p 的几何分布，求：
)3()6|9(>>>X P X X P ；。
例题10 一批产品共20个，其中有4个次品，从中抽取6个产品，以X 表示次品的个数，分别在
有放回与不放回两种情形下求X 的分布列。
例题11 设离散型随机变量X 的分布列为1
2)(+=
=k a
k X P )3,2,1,0(=k ，
求：（1）常数a ；（2）)2(例题12．在相同条件下独立地进行5次射击，每次射击时击中目标的概率为0.6，以X 表示击中
目标的次数.求：（1）X 的分布列；（2）恰有两次击中的概率；（3）至少击中两次的概率．
例题13．设随机变量X ～),2(p B ，随机变量Y ～),3(p B ．已知9
5
)1(=
≥X P ，求)1(≥Y P ．
三、 连续型随机变量
定义设X 为一个随机变量，如果存在一个函数()f x 使得X 的分布函数()F x 满足
()()d , R x
F x f t t x ?∞
=∈∫
则称X 为一个连续型随机变量，并称)(x f 为X 的概率密度函数，简称密度函数（或概率密度）。
容易看出，密度函数)(x f 具有以下性质： (1) 非负性 0)(≥x f ； (2) 归一性
1)(=∫
∞
+∞
?dx x f ．
注：（1）由归一性知，介于密度曲线)(x f y =与x 轴之间的图形的面积为1．
（2）在密度函数)(x f 的连续点0x 处有)()(00x f x F =′，即密度函数为分布函数的导数． （3）如果X 为连续型随机变量，那么
∫=≤a
dx x f b X a P )()(
另外，由上式知，对任何常数c ，如果X 为连续型随机变量，就有
0)(==c X P ．
例题14 设连续型随机变量X 的分布函数为
??
?≤>+=?.0,
0,
0,)(x x Be A x F x 求：（1）常数B A ,的值；（2）密度函数)(x f 的表达式．
例题15 设随机变量X 的概率密度为
f （x ）=??
?
??<≤?<≤.
,0,21,
2,10, x x x x （1） 求X 的分布函数F （x ），（2）求概率)5.11(<
常见的连续型随机变量
1．均匀分布
定义 若随机变量X 的密度函数为
?????<
0,,1
)(其他b x a a b x f
则称X 在区间),(b a 上服从均匀分布，记为X ～),(b a U ．
容易得到其分布函数为
????
?≥<≤??<=.,
1,,,,0)(b x b x a a
b a
x a x x F 2．指数分布
定义 若随机变量X 的密度函数为
??
?≤>=?,0,
0,
0,)(x x e x f x λλ 其中，参数0>λ，则称X 服从参数为λ的指数分布，记为X ～)(λe ．
易得到X 的分布函数为
??
?≤>?=?,0,
0,0,1)(x x e x F x λ． 例题16 假设一种投影仪的寿命X （单位：小时）服从参数0
2001
=
λ的指数分布，（1）任取一台这种投影仪，求其能正常使用005小时的概率；（2）若一台投影仪已经使用了500小时，求它至少还能使用005小时的概率．
这个等式揭示了指数分布的一个重要性质——“无记忆性”，即
若X ～)(λe ，则对任一0,>s t 有
)()(t X P s X s t X P >=>+>．
3．正态分布
定义 若连续型随机变量X 的密度函数为
22)(21)(σμσ
π??
=
x e
x f ， R x ∈.
其中，参数0,>∈σμR ，则称X 服从参数为2
,σμ的正态分布，记为X ～),(2
σμN ． 我们将1,02
==σ
μ时的正态分布)1,0(N 称为标准正态分布．记它的密度函数为
2
2
21)(x e
x ?
=
π
? )(R x ∈．
此时，它的分布函数为
dt e
x x
t ∫
∞
??
=
Φ2
221)(π
．
定理 若X ～),(2
σμN ，令σ
μ
?=
X Z ，则Z ～)1,0(N ．
例题17 假设随机变量X ～)4,1(N ，试求：
（1）)5.2(≤X P ；（2））（4.25.0≤X P ．
例题18. 设随机变量X 在区间[0,2]内取值，且对于每个[0,2]a ∈，X 落入[0,]a 内的概率与2a
成正比。试求：（1）X 的分布函数；（2）X 的密度函数；（3）X 落在[0,1]内的概率。
例题19 设随机变量X 的密度函数为
||
1(),2
x f x e x ?=
?∞<<∞ 求随机变量X 的分布函数。
四、随机变量函数的分布
例题20 已知X 的分布列为??
??
???
??4.03.02.0 1.0 2 1 0 1~X 求：（1）12+=X Y ，（2）2
X Y =的分布律．
例题21 设连续型随机变量X 的密度函数为
?
?
?<<=,,0,
10,2)(其他x x x f 求随机变量12
+=X Y 的密度函数．
例题22 设随机变量X 服从区间]2,1[?上的均匀分布，求2X Y =的密度函数。
例题23 设随机变量X ～),(2σμN ．b aX Y +=，)0(≠a ，则Y ～))(,(2σμa b a N +．
例题24 设随机变量~(0,1)X N 。
（1）求随机变量X Y e =的密度函数； （2）求随机变量21Y X =+的密度函数； （3）求随机变量||Y X =的密度函数。
例题25 设随机变量X 服从参数为2=λ的指数分布，证明：求X e Y 21??=的密度函数．
第3讲 二维随机变量及其分布
一、 二维随机变量的分布函数及其性质
设X 和Y 为两个随机变量，则称有序数组(,)X Y 为二维随机变量. 定义设二维随机变量(,)X Y ，对任意实数,x y ，二元函数
(,)(,)F x y P X x Y y =≤≤， 称为(,)X Y 的联合分布函数. 可以证明分布函数具有以下的性质：
（1）(,)F x y 对x 或y 都是不减函数，即对任意y ，若12x x ≤，则12(,)(,)F x y F x y ≤，对任意x ，若12y y ≤，则12(,)(,)F x y F x y ≤.
（2）对任意的,x y ，
(,)0F y ?∞=，(,)0F x ?∞=，(,)0F ?∞?∞=，(,)1F +∞+∞=.
（3）(,)F x y 分别对,x y 右连续，即有
(0,)(,)F x y F x y += (,0)(,)F x y F x y +=.
例题1 已知(,)(arctan )(arctan )F x y A B x C y =++（,x y R ∈）为二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数.求常数,,A B C . .
二、二维离散型随机变量
如果X 与Y 是两个一维离散型随机变量,称(,)X Y 为二维离散型随机变量. 由于 X 与Y 的可能取值都是至多可数个,所以(,)X Y 的可能取值也是至多可数个.对于二维离散型随机变量, 我们也想研究一维离散型随机变量一样，重点关注(,)X Y 取每一组可能取值的概率．
定义 设(,)X Y 为二维离散型随机变量，且X 的可能取值为Λ,,21x x ，Y X 的可能取
值为Λ,,21y y ，称
Λ,2,1,),
,(====j i y Y x X P p j i ij
为二维离散型随机变量(,)X Y 的联合分布列或联合分布律． 读者容易验证，ij p 具有以下性质： （1）非负性 0ij p ≥(,1,2,)i j =L ； （2）归一性 1ij i
j
p =∑∑.
Λ,2,1),(===?i x X P p i i 称为X 的边缘分布列; Λ,2,1),
(===?j y Y P p i j 称为Y 的边缘分布列;
对于二维离散型随机变量(,)X Y ，
设ij p 是联合分布律，i p ?，j p ?是边缘分布律，则X 和Y 相互独立的充分必要条件是对所有的,i j 有
ij i j p p p ??=?，(,1,2,)i j =L 即 (,)()()i j i j P X x Y y P X x P Y y ====?=.
例题2 一口袋中有三个球，它们依次标有数字1,2,2. 从这袋中任取一球后，不再放回袋中，再从袋中任取一球. 设每次取球时，袋中各个球被取到的可能性相同.以X ，Y 分别记第一次、第二次取得的球上标有的数字.
（1） 求(,)X Y 得联合分布律；（2）求()P X Y ≥；（3）求(3)P X Y +≤；（4）求(2)P X =。
例题3 设随机变量U 服从区间[3,3]?上的均匀分布，令
1111U X U ?≤??=?
>??， 11
11U Y U ?≤?=?>?， 求(,)X Y 的联合分布律及(0)P X Y +=.
三、二维连续型随机变量
定义 设(,)F x y 为二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数，若存在非负函数(,)f x y ，
使得对于任意的,x y R ∈，有 (,)(,)x y F x y f u v dvdu ?∞
?∞
=∫
∫
，
则称(,)X Y 为二维连续型随机变量，并称(,)f x y 为(,)X Y 的联合密度函数，简称联合密度（或概率密度）.
联合密度(,)f x y 具有以下性质： （1）非负性 (,)0f x y ≥ （,x y R ∈）； （2）归一性 (,)1f x y dxdy +∞+∞?∞
?∞
=∫
∫
.
由联合密度函数的定义还可以得到如下性质： （1）(,)F x y 是二元连续函数； （2）在(,)f x y 的连续点(,)x y 处有
2(,)
(,)F x y f x y x y
?=??；
若D 是xoy 平面上的闭区域，则随机点落点D 内的概率为 ((,))(,)D
P X Y D f x y d σ∈=∫∫.
设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为(,)f x y , 那么X 与Y 的边际密度分别为
王式安考研概率强化讲义啊
第一讲 随机事件和概率 考试要求：数学一、三、四要求一致。 了解：样本空间的概念 理解：随机事件，概率，条件概率，事件独立性，独立重复试验 掌握：事件的关系与运算，概率的基本性质，五大公式（加法、减法、乘法、全概率、贝叶斯），独立性计算，独立重复试验就算 会计算：古典概率和几何型概率。 §1 随机事件与样本空间 一、随机试验：E （1）可重复（2）知道所有可能结果（3）无法预知 二、样本空间 试验的每一可能结果——样本点ω 所有样本点全体——样本空间Ω 三、随机事件
样本空间的子集——随机事件 A B C 样本点——基本事件， 随机事件由基本事件组成。 如果一次试验结果，某一基本事件ω出现——ω发生，ω出现 如果组成事件A 的基本事件出现——A 发生，A 出现 Ω——必然事件 Φ——不可能事件 §2 事件间的关系与运算 一．事件间关系 包含，相等，互斥，对立，完全事件组，独立 二．事件间的运算： 并，交，差 运算规律：交换律，结合律，分配律，对偶律 概率定义，集合定义，记号，称法，图 三．事件的文字叙述与符号表示 例2 从一批产品中每次一件抽取三次，用(1,2,3)i A i =表示事件： “第二次抽取到的是正品”试用文字叙述下列事件： （1）122313A A A A A A U U ； （2）123A A A ； （3）123A A A U U ； （4）123123123A A A A A A A A A U U ；
再用123,,A A A 表示下列事件： (5)都取到正品； (6)至少有一件次品； (7)只有一件次品； (8)取到次品不多于一件。 §3 概率、条件概率、事件独立性、五大公式 一．公理化定义 ,,A P Ω (1)()0P A ≥ (2)()1P Ω= (3)1212()()()()n n P A A A P A P A P A =++++U UL U UL L L ,i j A A i j =?≠ 二．性质 (1)()0P ?= （2）1212()()()()n n P A A A P A P A P A =++++U UL U UL L L ,i j A A i j =?≠ (3)()1()P A P A =- (4),()()A B P A P B ?≤ (5)0()1P A ≤≤ 三．条件概率与事件独立性 (1)() ()0,(),() P AB P A P B A P A >= 事件A 发生条件下事件B 发生的条件概率； (2)()()(),P AB P A P B =事件,A B 独立， ,A B 独立,A B € 独立,A B € 独立,A B € 独立；
考研数学概率论重要知识点梳理
2017考研数学：概率论重要知识点梳理 来源：文都图书 概率论在历年考研数学真题中特点比较明显。概率论与数理统计对计算技巧的要求低一些，一些题目，尤其是文字叙述题要求考生有比较强的分析问题的能力。所以考生应在这门中尽量做到那全分，这样才能保证数学的分数，下面我们整理了一些概率论的重要知识点： 第一部分：随机事件和概率 (1)样本空间与随机事件 (2)概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式) (3)条件概率与概率的乘法公式 (4)事件之间的关系与运算(含事件的独立性) (5)全概公式与贝叶斯公式 (6)伯努利概型 其中：条件概率和独立为本章的重点，这也是后续章节的难点之一，考生务必引起重视， 第二部分：随机变量及其概率分布 (1)随机变量的概念及分类 (2)离散型随机变量概率分布及其性质 (3)连续型随机变量概率密度及其性质 (4)随机变量分布函数及其性质 (5)常见分布 (6)随机变量函数的分布 其中：要理解分布函数的定义，还有就是常见分布的分布律抑或密度函数必须记好且熟练。 第三部分：二维随机变量及其概率分布 (1)多维随机变量的概念及分类 (2)二维离散型随机变量联合概率分布及其性质 (3)二维连续型随机变量联合概率密度及其性质
(4)二维随机变量联合分布函数及其性质 (5)二维随机变量的边缘分布和条件分布 (6)随机变量的独立性 (7)两个随机变量的简单函数的分布 其中：本章是概率的重中之重，每年的解答题定会有一道与此知识点有关，每个知识点都是重点，务必重视! 第四部分：随机变量的数字特征 (1)随机变量的数字期望的概念与性质 (2)随机变量的方差的概念与性质 (3)常见分布的数字期望与方差 (4)随机变量矩、协方差和相关系数 其中：本章只要清楚概念和运算性质，其实就会显得很简单，关键在于计算 第五部分：大数定律和中心极限定理 (1)切比雪夫不等式 (2)大数定律 (3)中心极限定理 其中：其实本章考试的可能性不大，最多以选择填空的形式，但那也是十年前的事情了。 第六部分：数理统计的基本概念 (1)总体与样本 (2)样本函数与统计量 (3)样本分布函数和样本矩 其中：本章还是以概念为主，清楚概念后灵活运用解决此类问题不在话下 第七部分：参数估计 (1)点估计 (2)估计量的优良性 (3)区间估计
2020考研概率论与数理统计常见问题：几何型概率
2020考研概率论与数理统计常见问题：几何型概率 考研数学是很多考生们比较头疼的问题，而概率论和数理统计在 复习中也总是困难重重。概率的数理统计要怎么复习?什么叫几何型概率? 几何型概率原则上只有理工科考，是数学一考察的对象，最近两 年经济类的大纲也加进来了，但还没有考过，数学三、数学四的话虽 然明确写在大纲里，还没有考。明年是否可能考呢?几何概率是一个考点，但不是一个考察的重点。我个人认为一是它考的可能性很小，如 果考也是考一个小题，或者是选择题或者是填空题或者在大题里使用 一下概率的模式，就是一个事件发生的概率是等于这个事件的度量或 者整个样本空间度量的比。这个度量的话指的是面积，一维空间指的 是长度，二维空间指的是面积，三维空间指的是体积。所以几何概率 指的是长度的比、面积的比和体积的比。重点是面积的比，是二维的 情况。 几何概率其实很简单，是一个程序化的过程，按这四个步骤你肯 定能做出来。第一步把样本空间和让你求概率的事件用几何表示出来。第二步既然是几何概率那就是图形，第二步把几何图形画出来。第三 步你就把样本空间和让你求概率的事件所在的几何图形的度量，就是 刚才所说的面积或者体积求出来。第三步代公式。以前考过的几何概 率的题度量的计算都是用初等的方法做，我推测下次考的话，可能会 难一点的。比如说用意项，面积可能用到定积分或者重积分计算，把 概率和高等数学联系起来。 关于第二个问题，概率统计怎么复习，今年的考试分配很不正常，明年不会是这样的情况。我想明年数学一(统计)应该考一个八、九分 的题是比较适中的。从今年考试中心的样题统计这个块是九分。数学 三(统计)应该八分左右，统计这个块大家不要放弃，明年可能会考， 分数应该是八、九分的题。至于复习，它的内容占了四分之一的样子。但是这个部分的题相对于概率题比较固定，做题的方法也比较固定，
概率论与数理统计(经管类)适合自考和考研
第一章随机事件及其其概率 （1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生， 称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
考研概率论与数理统计题库-题目
概率论与数理统计 第一章 概率论的基本概念 1. 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分） （2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生 （2）A ，B 都发生，而C 不发生 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 （4）A ，B ，C 都发生 （5）A ，B ，C 都不发生 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生 （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最 大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 4. 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4/1)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 5. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数 中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9）
6. 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的 号码。 （1）求最小的号码为5的概率。 （2）求最大的号码为5的概率。 7. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺 脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 8. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1）求恰有90个次品的概率。 （2）至少有2个次品的概率。 9. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 10. 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概 率各为多少？ 11. 已知)|(,5.0)(,4.0)(,3.0)(B A B P B A P B P A P ?===求。 12. )(,2 1 )|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?=== 求。 13. 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白球M 只红球， 今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？ (2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。 14. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人 群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 15. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P ，若第一次及格则第 二次及格的概率也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为2/P
XX考研数学概率论重要考点总结
XX考研数学概率论重要考点总结 第一章随机事件和概率 一、本章的重点内容： 四个关系：包含，相等，互斥，对立﹔ 五个运算：并，交，差﹔ 四个运算律：交换律，结合律，分配律，对偶律(德摩根律)﹔ 概率的基本性质：非负性，规范性，有限可加性，逆概率公式﹔ 五大公式：加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式﹔· 条件概率﹔利用独立性进行概率计算﹔·重伯努利概型的计算。 近几年单独考查本章的考题相对较少，从考试的角度来说不是重点，但第一章是基础，大多数考题中将本章的内容作为基础知识来考核，都会用到第一章的知识。 二、常见典型题型： 1.随机事件的关系运算﹔ 2.求随机事件的概率﹔ 3.综合利用五大公式解题，尤其是常用全概率公式与贝叶斯公式。 第二章随机变量及其分布 一、本章的重点内容： 随机变量及其分布函数的概念和性质(充要条件)﹔
分布律和概率密度的性质(充要条件)﹔ 八大常见的分布：0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布及它们的应用﹔ 会计算与随机变量相联系的任一事件的概率﹔ 随机变量简单函数的概率分布。 近几年单独考核本章内容不太多，主要考一些常见分布及其应用、随机变量函数的分布 二、常见典型题型： 1.求一维随机变量的分布律、分布密度或分布函数﹔ 2.一个函数为某一随机变量的分布函数或分布律或分布密度的判定﹔ 3.反求或判定分布中的参数﹔ 4.求一维随机变量在某一区间的概率﹔ 5.求一维随机变量函的分布。 第三章二维随机变量及其分布 一、本章的重点内容： 二维随机变量及其分布的概念和性质， 边缘分布，边缘密度，条件分布和条件密度， 随机变量的独立性及不相关性， 一些常见分布：二维均匀分布，二维正态分布， 几个随机变量的简单函数的分布。
概率论基本知识(通俗易懂)
第一章概率论的基本概论 确定现象：在一定条件下必然发生的现象，如向上抛一石子必然下落，等 随机现象：称某一现象是“随机的”，如果该现象（事件或试验）的结果是不能确切地预测的。 由此产生的概念有：随机现象，随机事件，随机试验。 例：有一位科学家，他通晓现有的所有学科，如果对一项试验（比如：掷硬币），该万能科学家也无法确切地预测该实验的结果（是正面朝上还是反面朝上），这一实验就是随机实验，其结果是“随机的”----为一随机事件。 例：明天下午三点钟”深圳市区下雨”这一现象是随机的，其结果为随机事件。 随机现象的结果（随机事件）的随机度如何解释或如何量化呢？ 这就要引入”概率”的概念。 概率的描述性定义：对于一随机事件A，用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称为随机事件A发生的概率。
§1.1随机试验 以上试验的共同特点是: 1．试验可以在相同的条件下重复进行； 2．试验的全部可能结果不止一个，并且在试验之前能明确知道所有的可能结果；3．每次试验必发生全部可能结果中的一个且仅发生一个，但某一次试验究竟发
生哪一个可能结果在试验之前不能预言。 我们把对随机现象进行一次观察和实验统称为随机试验，它一定满足以上三个条件。我们把满足上述三个条件的试验叫随机试验，简称试验，记E 。 §1.2样本空间与随机事件 (一) 样本空间与基本事件 E 的一个可能结果称为E 的一个基本事件，记为ω，e 等。 E 的基本事件全体构成的集，称为E 的样本空间，记为S 或Ω, 即：S={ω|ω为E 的基本事件}，Ω={e}. 注意：ω的完备性，互斥性特点。 例：§1.1中试验 E 1--- E 7 E 1：S 1={H,T} E 2：S 2={ HHH,HHT,HTH,THH, HTT,THT,TTH,TTT } E 3：S 3={0，1，2，3} E 4：S 4={1,2,3,4,5,6} E 5: S 5={0,1,2,3,…} E 6：S 5={t 0 ≥t } E 7：S 7={()y x , 10T y x T ≤≤≤} （二） 随机事件
概率论与数理统计考研真题
考研真题一 ( ). ,4,"",,,.,41.)4()3()2()1(0E T T T T E t ≤≤≤等于则事件个温控器显示的按递增顺序为设电炉断电事件以电炉就断电只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度在使用过程其显示温度的误差是随机的个温控器在电炉上安装了中排列的温度值表示}. {(D)}; {(C)};{(B)};{(A)0)4(0)3(0)2(0)1(t T t T t T t T ≥≥≥≥数三、四考研题 00. (D); (C);(B);(A)( ). ,,,,,2.独立与独立与独立与独立与相互独立的充分必要条件是则三个事件两两独立设C A B A AC AB C A AB BC A C B A C B A 数四考研题00( ).,3.=B B A B A 不等价的是与和对于任意二事件 数四考研题 01. (D); (C); (B); (A)?=?=??B A B A A B B A . ) |()|(1,0,,独立的充分必要条件与是事件证明 和的概率不等于其中是任意二事件设B A A B P A B P A B A =4.数四考研题 02;,,;,,( ). }, {},{}, {}, {: ,5.4323214321相互独立相互独立则事件正面出现两次正、反面各出现一次掷第二次出现正面掷第一次出现正面引进事件将一枚硬币独立地掷两次A A A A A A A A A A ====数三考研题 03(B)(A). ,,;,,432321两两独立两两独立A A A A A A . ,,; ,,;,,;,,( ).6.一定不独立则若一定独立则若有可能独立则若一定独立则若和对于任意两个事件B A AB B A AB B A AB B A AB B A ?=?=?≠?≠数四考研题03(D)(C)(D)(C)(B)(A)7.从数1,中任取一个数, 记为X , 再从X ,,1 中任取一个数, 为Y , 则. __________}2{==Y P 2,3,4三、四考研题 05记1. .
考研数学备考：概率论各章节知识点梳理.doc
考研数学备考：概率论各章节知识点梳理考研备考时间已然快要过半，还在为了备考方法焦灼？不用担心！老司机带你上车，下面由我为你精心准备了“考研数学备考：概率论各章节知识点梳理”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！ 考研数学备考：概率论各章节知识点梳理 众所周知，概率论的知识点又多又杂，需要我们系统的归类并掌握，这样才能获得高分。为此我整理了相关内容，希望对大家有所帮助。 第一部分：随机事件和概率 (1)样本空间与随机事件 (2)概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式) (3)条件概率与概率的乘法公式 (4)事件之间的关系与运算(含事件的独立性) (5)全概公式与贝叶斯公式 (6)伯努利概型 其中：条件概率和独立为本章的重点，这也是后续章节的难点之一，请各位研友务必重视起来。 第二部分：随机变量及其概率分布 (1)随机变量的概念及分类 (2)离散型随机变量概率分布及其性质 (3)连续型随机变量概率密度及其性质 (4)随机变量分布函数及其性质 (5)常见分布 (6)随机变量函数的分布
其中：要理解分布函数的定义，还有就是常见分布的分布律抑或密度函数必须记好且熟练。 第三部分：二维随机变量及其概率分布 (1)多维随机变量的概念及分类 (2)二维离散型随机变量联合概率分布及其性质 (3)二维连续型随机变量联合概率密度及其性质 (4)二维随机变量联合分布函数及其性质 (5)二维随机变量的边缘分布和条件分布 (6)随机变量的独立性 (7)两个随机变量的简单函数的分布 其中：本章是概率的重中之重，每年的解答题定会有一道与此知识点有关，每个知识点都是重点，务必重视! 第四部分：随机变量的数字特征 (1)随机变量的数字期望的概念与性质 (2)随机变量的方差的概念与性质 (3)常见分布的数字期望与方差 (4)随机变量矩、协方差和相关系数 其中：本章只要清楚概念和运算性质，其实就会显得很简单，关键在于计算。 第五部分：大数定律和中心极限定理 (1)切比雪夫不等式 (2)大数定律 (3)中心极限定理
自考概率论与数理统计基础知识.
一、《概率论与数理统计（经管类）》考试题型分析： 题型大致包括以下五种题型，各题型及所占分值如下： 由各题型分值分布我们可以看出，单项选择题、填空题占试卷的50%，考查的是基本的知识点，难度不大，考生要把该记忆的概念、性质和公式记到位。计算题和综合题主要是对前四章基本理论与基本方法的考查，要求考生不仅要牢记重要的公式，而且要能够灵活运用。应用题主要是对第七、八章内容的考查，要求考生记住解题程序和公式。结合历年真题来练习，就会很容易的掌握解题思路。总之，只要抓住考查的重点，记住解题的方法步骤，勤加练习，就能够百分百达到过关的要求。二、《概率论与数理统计（经管类）》考试重点说明：我们将知识点按考查几率及重要性分为三个等级，即一级重点、二级重点、三级重点，其中，一级重点为必考点，本次考试考查频率高；二级重点为次重点，考查频率较高；三级重点为预测考点，考查频率一般，但有可能考查的知识点。第一章随机事件与概率 1．随机事件的关系与计算 P3-5 （一级重点）填空、简答事件的包含与相等、和事件、积事件、互不相容、对立事件的概念 2．古典概型中概率的计算 P9 （二级重点）选择、填空、计算记住古典概型事件概率的计算公式 3. 利用概率的性质计算概率 P11-12 （一级重点）选择、填空 ,（考得多）等，要能灵活运用。 4. 条件概率的定义 P14 （一级重点）选择、填空记住条件概率的定义和公式： 5. 全概率公式与贝叶斯公式 P15-16 （二级重点）计算记住全概率公式和贝叶斯公式，并能够运用它们。一般说来，如果若干因素（也就是事件）对某个事件的发生产生了影响，求这个事件发生的概率时要用到全概率公式；如果这个事件发生了，要去追究原因，即求另一个事件发生的概率时，要用到贝叶斯公式，这个公式也叫逆概公式。 6. 事件的独立性（概念与性质） P18-20（一级重点）选择、填空定义：若，则称A与B 相互独立。结论：若A与B相互独立，则A与，与B 与都相互独立。 7. n重贝努利试验中事件A恰好发生k次的概率公式 P21（一级重点）选择、填空在重贝努利试验中，设每次试验中事件的概率为（），则事件A恰好发生。第二章随机变量及其概率分布 8．离散型随机变量的分布律及相关的概率计算 P29，P31（一级重点）选择、填空、计算、综合。记住分布律中，所有概率加起来为1，求概率时，先找到符合条件的随机点，让后把对应的概率相加。求分布律就需要找到随机变量所有可能取的值，和每个值对应的概率。 9. 常见几种离散型分布函数及其分布律 P32-P33（一级重点）选择题、填空题以二项分布和泊松分布为主，记住分布律是关键。本考点基本上每次考试都考。 10. 随机变量的分布函数 P35-P37（一级重点）选择、填空、计算题记住分布函数的定义和性质是关键。要能判别什么样的函数能充当分布函数，记住利用分布函数计算概率的公式：①；②其中；③。 11. 连续型随机变量及其概率密度 P39（一级重点）选择、填空重点记忆它的性质与相关的计算，如①；；反之，满足以上两条性质的函数一定是某个连续型随机变量的概率密度。③；④ 设为的
概率论 历年考研真题(牛人总结)
考研概率论部分历年真题（总结） 数学一： 1（87，2分） 设在一次试验中A 发生的概率为p ，现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为 ；而事件A 至多发生一次的概率为 。 2（87，2） 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 。已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。 3（88，2分） 设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率等于2719，则事件A 在一次试验中出现的概率为 。 4（88，2分） 在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为 。 5（89，2分） 已知随机事件A 的概率P （A ）=0.5，随机事件B 的概率P （B ）=0.6及条件概率P （B | A ）=0.8，则和事件A B 的概率P （A B ）= 。 6（89，2分） 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 。 7（90，2分） 设随机事件A ，B 及其和事件A B 的概率分别是0.4, 0.3和0.6，若B 表示B 的对立事件，那么积事件A B 的概率P （A B ）= 。 8（91，3分） 随机地向半圆0王式安考研概率讲义
概率统计 第一讲 随机事件和概率 考试要求：数学一、三、四要求一致。 了解：样本空间的概念 理解：随机事件，概率，条件概率，事件独立性，独立重复试验 掌握：事件的关系与运算，概率的基本性质，五大公式（加法、减法、乘法、全概率、贝叶斯），独立性计算，独立重复试验就算 会计算：古典概率和几何型概率。 §1随机事件与样本空间 一、随机试验：E （1）可重复（2）知道所有可能结果（3）无法预知 二、样本空间 试验的每一可能结果——样本点ω 所有样本点全体——样本空间Ω 三、随机事件 样本空间的子集——随机事件A B C 样本点——基本事件，随机事件由基本事件组成。 如果一次试验结果，某一基本事件ω出现——ω发生，ω出现 如果组成事件A的基本事件出现——A发生，A出现 Ω——必然事件Φ——不可能事件 §2事件间的关系与运算 一．事件间关系 包含，相等，互斥，对立，完全事件组，独立 二．事件间的运算： 并，交，差
运算规律：交换律，结合律，分配律，对偶律 概率定义，集合定义，记号，称法，图 三．事件的文字叙述与符号表示 例2 从一批产品中每次一件抽取三次，用(1,2,3)i A i =表示事件： “第i 次抽取到的是正品”试用文字叙述下列事件： （1）122313A A A A A A ； （2）123A A A ； （3）1 23A A A ； （4）123123123A A A A A A A A A ； 再用123,,A A A 表示下列事件： (5)都取到正品； (6)至少有一件次品； (7)只有一件次品； (8)取到次品不多于一件。 §3 概率、条件概率、事件独立性、五大公式 一．公理化定义 ,,A P Ω (1)()0P A ≥ (2)()1P Ω= (3)1 2 12()()()()n n P A A A P A P A P A =++ ++ ,i j A A i j =?≠ 二．性质 (1)()0P ?= （2）1 2 12()()()()n n P A A A P A P A P A =++ ++ ,i j A A i j =?≠ (3)()1()P A P A =- (4),()()A B P A P B ?≤ (5)0()1P A ≤≤ 三．条件概率与事件独立性 (1)() ()0,(),() P AB P A P B A P A >=事件A 发生条件下事件B 发生的条件概率； (2)()()(),P AB P A P B =事件,A B 独立， ,A B 独立 ,A B 独立 ,A B 独立 ,A B 独立； ()0P A >时,,A B 独立()()P B A P B =； (3)1 2 1 212(,,,)()() () 1k k i i i i i i k P A A A P A P A P A i i i n =≤<<<≤ 称12,,n A A A 相互独立,(2321n n n n n C C C n +++=--个等式)
概率统计考研真题汇总
第一章： 87: (1)设在一次实验中，事件A发生的概率为P,现进行n次独立试验，则A至少发生一次的概率为；而事件A至多发生一次的概率为___________________________________ . (2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球,第2个箱子有4个白球,4个红球. 现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出1个球,此球 是白球的概率为____________ .已知上述从第 2个箱子中取出的球是白球，则从第一个箱子 中取出的球是白球的概率为______________ . 88： (1)设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于 19则事件A在一次试验中出现的概率是__________________ . 27， (2)若在区间(01)内任取两个数，则事件”两数之和小于的概率为______________ . 5 89： (1)已知随机事件A的概率p (A) 0.5,随机事件B的概率P( B) 0.6及条件概率 P(B|A) 0.8,则和事件 A U B 的概率 P(A U B) = _________________ ? (2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.6和0.5,现已知目标被 命中，则它是甲射中的概率为______________ . 90： (2)设随机事件A、B及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B表示B的对立事件， 那么积事件AB—的概率P(AB) = _____________ . 91： (2)随机地向半圆0 y . 2ax x2(a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的 概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于—的概率为 4 92： A A (1)已知P(A) P(B) P(C) -,P(AB) 0, P(AC) P(BC)—,则事件A、B、C 4 6 全不发生的概率为______________ . 93： (1)—批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回， 则第二次抽出的是次品的概率为______________ . 94： (1)已知A、B两个事件满足条件P(AB) P(AB),且P(A) p,则P(B)= ______________________ .
考研数学概率论重要章节知识点总结
2018考研数学概率论重要章节知识点总 结 第一章、随机事件与概率 本章需要掌握概率统计的基本概念，公式。其核心内容是概率的基本计算，以及五大公式的熟练应用，加法公式、乘法公式、条件概率公式、全概率公式以及贝叶斯公式。 第二章、随机变量及其分布 本章重点掌握分布函数的性质;离散型随机变量的分布律与分布函数及连续型随机变量的密度函数与分布函数;常见离散型及连续型随机变量的分布;一维随机变量函数的分布。 第三章、多维随机变量的分布 在涉及二维离散型随机变量的题中，往往用到“先求取值、在求概率”的做点步骤。二维连续型随机变量的相关计算，比如边缘分布、条件分布是考试的重点和难点，考生在复习时要总结出求解边缘分布、条件分布的解题步骤。掌握用随机变量的独立性的判断的充要条件。最后是要会计算二维随机变量简单函数的分布，包括两个离散变量的函数、两个连续变量的函数、一个离散和一个连续变量的函数、以及特殊函数的分布。 第四章、随机变量的数字特征 本章的复习，首先要记住常见分布的数字特征，考试中一定会间接地用到这些结论。另外，本章可以与数理统计的考点结合，综合后出大题，应该引起考生足够的重视。 第五章、大数定律和中心极限定理 本章考查的重点是一个切比雪夫不等式，以及三个大数定律，两个中心极限定理的条件和结论，考试需要记住。 第六章、数理统计的基本概念 重点在于“三大分布、八个定理”以及计算统计量的数字特征。 第七章、参数估计 本章的重点是矩估计和最大似然估计，经常以解答题的形式进行考查。对于数一来说，有时还会要求验证估计量的无偏性，这是和数字特征相结合。区间估计和假设检验只有数一的同学要求，考题中较少涉及到。 考生要对每章的出题重点做到了如指掌，加以题目训练，相信会有好的成绩!
[考研类试卷]考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷37.doc
[考研类试卷]考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷37 一、选择题 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 设A，B，C为随机事件，A发生必导致B与C最多一个发生，则有 2 设随机事件A，B，C两两独立，且P(A)，P(B)，P(C)∈(0，1)，则必有（A）C与A—B独立． （B）C与A—B不独立． （C）A∪C与独立． （D）A∪C与不独立． 3 设A，B是两个随机事件，且0＜P(A)＜1，P(B)＞0，P(B|A)=P(B|A)，则必有（A）P(A|B)=． （B）P(A|B)≠． （C）P(AB)=P(A)P(B) （D）P(AB)≠P(A)P(B)． 4 设事件A与B满足条件则 （A）A∪B=． （B）A∪B=Ω．
（C）A ∪ B=A． （D）A ∪ B=B． 5 设随机事件A与B互不相容，且P(A)＞0，P(B)＞0，则下列结论中一定成立的是 （A）A，B为对立事件． （B）互不相容． （C）A，B不独立． （D）A，B相互独立． 6 设A，B是任意两个随机事件，又知，且P(A)＜P(B)＜1，则一定有 （A）P(A∪B)=P(A)+P(B)． （B）P(A一B)=P(A)一P(B)． （C）P(AB)=P(A)P(B|A)． （D）P(A|B)≠P(A)． 7 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1={掷第一次出现正面}，A2={掷第二次出现正面}，A3={正、反面各出现一次}，A4={正面出现两次}，则 （A）A1，A2，A3相互独立． （B）A2，A3，A4相互独立． （C）A1，A2，A3两两独立． （D）A2，A3，A4两两独立．
曹显兵.概率论讲义(打印版)
第一讲 随机事件与概率 考试要求 1. 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系与运算. 2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率, 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式, 以及贝叶斯公式. 3. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概率, 掌握计算有关事件概率的方法. 一、古典概型与几何概型 1．试验，样本空间与事件. 2．古典概型：设样本空间Ω为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，则 基本事件总数 中有利事件数 A A P = )( 3．几何概型：设Ω为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现具有等可能性，则 、体积）Ω的度量（长度、面积、体积）A的度量（长度、面积= )(A P 【例1】 一个盒中有4个黄球, 5个白球, 现按下列三种方式从中任取3个球, 试求取出的球中有2个黄球, 1 个白球的概率. （1） 一次取3个； （2） 一次取1 个, 取后不放回； （3） 一次取1个, 取后放回. 【例2 】从 （0，1） 中随机地取两个数，试求下列概率： （1） 两数之和小于1.2； （2） 两数之和小于1且其积小于 16 3. 一、 事件的关系与概率的性质 1. 事件之间的关系与运算律（与集合对应）, 其中特别重要的关系有： （1） A 与B 互斥（互不相容） ? Φ=AB （2） A 与B 互逆（对立事件） ? Φ=AB , Ω=B A （3） A 与B 相互独立? P （AB ）=P （A ）P （B ）. ? P （B|A ）=P （B ） （P （A ）>0）. ?(|)(|)1P B A P B A += （0
0） ? 1)|()|(=+B A P B A P （0
考研数学概率论公式背诵
概率论公式背诵
离散型随机变量： ⑴0-1 分布
pk p x k pkq1k (k 0,1)
EX p
DX pq
⑵二项分布 B(n, p)
pk p x k Cnk pkqnk (k 0,1, n)
EX np
DX npq
⑶泊本介分布 p()
pk
p x k ke (k 0,1,2,
k!
n)
EX
DX
连续型随机变量
⑴均匀分布U (a,b)
⑶正态分布
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
E(x)
D(x) 2
⑷ 2 分布 x1 xn N(0,1)
2 x12 xn2
EX n DX 2n
正态分布【特殊】
若 X N(, 2)
一维
Z (X ) N(0,1)
F (x) px
p
x
(
)
f
(
x)
b
1
a
x
(a,b)
0
其他
b
EX x f (x)dx x
1
dx b a
a ba
2
DX b x2 1 dx (b a )2 b2 ab a2 b2 2ab a2 (b a )2
a ba
2
3
4
12
⑵指数分布
f
(
x)
e
x
0
x0 其他
EX
1
DX
1 2
二维正态分布
(X ,Y ) N(1, 2；12，22; ) ① X 、Y 独立 X ~ N(1,12)
0
Y
~
N
(2
,
2 2
)
(X ,Y ) N(1, 2;12,22;0)
② aX bY 仍服从正态分布
若 XY 0 X 与Y 不相关(只有在正态条件下，才能推独立)
Cov(X ,Y ) 0
EXY EXEY D(X Y ) DX DY
常用公式：
E(X Y ) EX EY EXY =EXEY DX =EX 2 (EX )2
X、Y独立
D(X Y ) DX DY 2Cov(X ,Y )
D(X C) DX
Cov(X ,Y ) EXY EXEY
Cov(X ,C) 0
Cov(aX ,bY ) abCov(X ,Y )
Cov(X Y , Z) Cov(X , Z) Cov(Y, Z)
XY
Cov(X ,Y ) DX DY
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概率论与数理统计知识点总结材料(详细)78662
《概率论与数理统计》 第一章概率论的基本概念 (2) §2．样本空间、随机事件 (2) §4等可能概型（古典概型） (3) §5．条件概率 (3) §6．独立性 (3) 第二章随机变量及其分布 (3) §1随机变量 (3) §2离散性随机变量及其分布律 (3) §3随机变量的分布函数 (3) §4连续性随机变量及其概率密度 (3) §5随机变量的函数的分布 (3) 第三章多维随机变量 (3) §1二维随机变量 (3) §2边缘分布 (3) §3条件分布 (3) §4相互独立的随机变量 (3) §5两个随机变量的函数的分布 (3) 第四章随机变量的数字特征 (3) §1．数学期望 (3) §2方差 (3)
§3协方差及相关系数 (3) 第五章 大数定律与中心极限定理 (3) §1． 大数定律 ........................................................................................ 3 §2中心极限定理 (3) 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=??
